Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью свободы. Сообщение 3. Гидравлическое нагружение системы

Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью свободы. Сообщение 3. Гидравлическое нагружение системы

Проанализировано движение открытой механической системы с одной степенью свободы, моделирующей одноосное растяжение вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в машине с гидравлическим приводом, создающим переменную силу и являющимся одновременно демпфирующим элементом. Показано, что переходны...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2000
Main Author: Ковальченко, М.С.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України 2000
Series:Проблемы прочности
Subjects:
Научно-технический раздел
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46184
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью свободы. Сообщение 3. Гидравлическое нагружение системы / М.С. Ковальченко // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 42-61. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-46184
record_format dspace
spelling nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-461842025-02-09T09:32:07Z Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью свободы. Сообщение 3. Гидравлическое нагружение системы Dynamics of Uniaxial Tension of a Viscoelastic Strain-Hardenable Body in a System with One Degree of Freedom. Report 3. Hydraulic Loading of the System Ковальченко, М.С. Научно-технический раздел Проанализировано движение открытой механической системы с одной степенью свободы, моделирующей одноосное растяжение вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в машине с гидравлическим приводом, создающим переменную силу и являющимся одновременно демпфирующим элементом. Показано, что переходным процессам движения рассмотренной системы соответствует неавтономная динамическая система четвертого порядка, которая в зависимости от ее управляющих параметров имеет устойчивые периодические и апериодические решения. Ввиду существенного снижения вязкого сопротивления системы, вызванного наличием гидравлического привода, апериодическое затухание характерно для переходного процесса. Показано, что система с гидравлическим элементом существенно отличается от механической системы, не содержащей такого элемента. The motion of a mechanical dissipative system with a single degree of freedom, which simulates uniaxial tension of a viscoelastic strain-hardenable body, is analyzed and its dependence on the control parameters and initial loading conditions from a hydraulic drive that generates a variable force and simultaneously is a damping element of the system is considered. Periodic and aperiodic solutions of a fourth-order non-autonomous dynamic system are derived taking into account the transient processes of motion from the initial state. The transient process of the system motion is argued to be either forced damping oscillation or aperiodic damping. In view of essential decreasing of the system viscous resistance caused by the presence of a hydraulic drive, aperiodic damping is characteristic of the transient process. 2000 Article Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью свободы. Сообщение 3. Гидравлическое нагружение системы / М.С. Ковальченко // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 42-61. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46184 531.391+539.4.011.2 ru Проблемы прочности application/pdf Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Научно-технический раздел
Научно-технический раздел
spellingShingle Научно-технический раздел
Научно-технический раздел
Ковальченко, М.С.
Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью свободы. Сообщение 3. Гидравлическое нагружение системы
Проблемы прочности
description Проанализировано движение открытой механической системы с одной степенью свободы, моделирующей одноосное растяжение вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в машине с гидравлическим приводом, создающим переменную силу и являющимся одновременно демпфирующим элементом. Показано, что переходным процессам движения рассмотренной системы соответствует неавтономная динамическая система четвертого порядка, которая в зависимости от ее управляющих параметров имеет устойчивые периодические и апериодические решения. Ввиду существенного снижения вязкого сопротивления системы, вызванного наличием гидравлического привода, апериодическое затухание характерно для переходного процесса. Показано, что система с гидравлическим элементом существенно отличается от механической системы, не содержащей такого элемента.
format Article
author Ковальченко, М.С.
author_facet Ковальченко, М.С.
author_sort Ковальченко, М.С.
title Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью свободы. Сообщение 3. Гидравлическое нагружение системы
title_short Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью свободы. Сообщение 3. Гидравлическое нагружение системы
title_full Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью свободы. Сообщение 3. Гидравлическое нагружение системы
title_fullStr Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью свободы. Сообщение 3. Гидравлическое нагружение системы
title_full_unstemmed Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью свободы. Сообщение 3. Гидравлическое нагружение системы
title_sort динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью свободы. сообщение 3. гидравлическое нагружение системы
publisher Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
publishDate 2000
topic_facet Научно-технический раздел
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/46184
citation_txt Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью свободы. Сообщение 3. Гидравлическое нагружение системы / М.С. Ковальченко // Проблемы прочности. — 2000. — № 1. — С. 42-61. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.
series Проблемы прочности
work_keys_str_mv AT kovalʹčenkoms dinamikaodnoosnogorastâženiâvâzkouprugogodeformacionnoupročnâemogotelavsistemesodnojstepenʹûsvobodysoobŝenie3gidravličeskoenagruženiesistemy
AT kovalʹčenkoms dynamicsofuniaxialtensionofaviscoelasticstrainhardenablebodyinasystemwithonedegreeoffreedomreport3hydraulicloadingofthesystem
first_indexed 2025-11-25T08:48:27Z
last_indexed 2025-11-25T08:48:27Z
_version_ 1849751536727490560
fulltext УДК 531.391+539.4.011.2 Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью свободы. Сообщение 3. Гидравлическое нагружение системы М. С. Ковальченко Институт проблем материаловедения им. И. Н. Францевича НАН Украины, Киев, Украина Проанализировано движение открытой механической системы с одной степенью свободы, моделирующей одноосное растяжение вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в машине с гидравлическим приводом, создающим переменную силу и являющимся одно­ временно демпфирующим элементом. Показано, что переходным процессам движения рас­ смотренной системы соответствует неавтономная динамическая система четвертого порядка, которая в зависимости от ее управляющих параметров имеет устойчивые перио­ дические и апериодические решения. Ввиду существенного снижения вязкого сопротивления системы, вызванного наличием гидравлического привода, апериодическое затухание харак­ терно для переходного процесса. Показано, что система с гидравлическим элементом существенно отличается от механической системы, не содержащей такого элемента. Для механических испытаний ма­ териалов и обработки их давлением наряду с машинами, имеющими меха­ нический привод, широко использу­ ются гидравлические прессы и маши­ ны с гидравлическим приводом. Ме­ ханическое воздействие на материаль­ ное тело в машине с гидравлическим нагружением отличается тем, что ра­ бочая жидкость, создающая требуе­ мую силу, сама является демпфиру­ ющим элементом. Поэтому реологи­ ческая модель открытой механичес­ кой системы с одной степенью сво­ боды, дающая представление о вза­ имодействии машины с деформируе­ мым телом [1], должна быть допол­ нена еще одним вязким элементом, соединенным последовательно с упругим элементом машины (рис. 1). Этот дополнительный элемент дол­ жен быть учтен в исходном уравнении скоростей рассеяния и изменения во времени полной энергии механической системы: 4 (Е к. + Ер + и , ) + 2W = № . ( 1) I Рис. 1. Реологическая модель механичес­ кого взаимодействия вязкоупругого дефор­ мационно упрочняемого тела, рабочего ин­ струмента и гидравлического привода ма­ шины, помещенных во внешнюю вязкую среду гт (,е, ,чр - упругий, вязкий и деформационно упрочняемый элементы тела соответственно; М - приведенная масса; те и ту - упругий и вязкий элемент гидропривода машины.) © М. С. КОВАЛЬЧЕНКО, 2000 42 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 Здесь г - время; х - обобщенная координата (смещение от исходного со­ стояния или общее удлинение системы); Е к и Е р - кинетическая и по­ тенциальная энергия; и 8 - внутренняя энергия деформируемого тела; 2Ш' - скорость диссипации энергии в системе; N - внешняя сила, в рассмат­ риваемом случае создаваемая гидроприводом; точка над переменной обо­ значает дифференцирование по времени. При этом 2Ек = Мх 2 ; 2Ер = стх те + С8х 8е'; 2 и 8 = '; Ж = Ьх + Ьх т + гх 2, (2 ) Динамика одноосного растяжения вязкоупругого ... где х = х те + х хе + х 5І + х ті = х е + х 5І + х ті (х5е - упругое удлинение де­ формируемого тела, х те - удлинение упругих элементов машины, х яі - неупругое (вязкое) удлинение деформируемого тела, х е - удлинение упру­ гих элементов системы, х ті - вязкое удлинение гидравлического элемента машины). Во всех случаях рассматривается удлинение от исходного со­ стояния. В рамках рассматриваемой модели сила Ьтх ті имеет диссипа­ тивное происхождение. Она возникает в результате прокачки вязкой жид­ кости через гидравлический привод и не обязательно должна сопровож­ даться видимым линейным удлинением. Наиболее отчетливо это прояв­ ляется при сжатии упругого тела постоянной силой, создаваемой гидро­ приводом без видимого удлинения элементов системы. Поэтому величину вязкого удлинения х ті следует понимать как результат работы гидро­ привода. Следовательно, вязкое сопротивление машины Ьт также зависит от характеристик гидропривода. При этом М - приведенная масса, ст - упругая жесткость машины, ся - упругая жесткость тела, g - дефор­ мационное упрочнение и Ья - вязкое сопротивление деформируемого тела, Ьт - вязкое сопротивление гидравлического элемента машины, г - обоб­ щенное вязкое сопротивление внешней среды. Величины с, Ь3 и g опре­ деляются соотношениями (6 ) из сообщения 1 [1]. После дифференцирования уравнения (1) и приведения полученного результата к реологической модели имеем х = х + х + х • + х • = ------------------х +л, ^ т е 1 ^ яе 1 л ті 1 л яі -кТ я V - - т е 1N — Мх — гх +____ сях яе х +____ Ьтх ті х + ЬзР& зі + ё х яі ■ (з) N — Мх — гх яе N — Мх — гх т1 N — Мх — гх 3 , откуда следуют соотношения стх те = с8х 8е = Ьтх т1 = Ь8х 8 + ёх *1 = N - М х - ™, (4) позволяющие выразить удлинения х те, х 8е и х т через общую координату х системы: х те = — (N - Мх - гх ); (5) ст ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 43 М. С. Ковалъченко х ,Є = — (N - М х - гх ); (6 ) х ті = Т~ (N - Мх - гх)-Ьт (7) Согласно тем же условиям (4), скорость удлинения деформируемого тела в правой части содержит само удлинение х : х «' = ^ ( 1Ч' - Мх - гх - 8х * )- Ь, (8) Для его определения воспользуемся дополнительным дифференциальным соотношением х ,і = х - х є - х ті = х - 1 (N - Мх - гХ) - Ь ~ ( N - Ш - гх& ) ’ (9)С От где С 1 = ст1 + С-1 . Дифференцирование выражения (8) и подстановка (9) в его правую часть позволяют выразить х ^ через х: 1 Х ---- ( N - Мх - гХ) ------- ( N - МХ - гх ) с Ьт (10) /у Поэтому для составления общего уравнения необходимо суммировать не скорости (3), а ускорения: 1 х = — С ґ I2N „ й 4х й 3х — ---- М — - - г йг4 йг 3 + 1 - М — -— г- йг йгъ йг2 + 1 + — Ь, dN , , й 3х й 2х - М — — - г — — йг йг 3 йх 1 йг С dN й х й х М — — - г — — йг йг 3 N - М 2 й х йх йг2 йг (11) После преобразований получим дифференциальное уравнение четвертого порядка для координаты х: С Ь Ьт Ьт 44 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 а х ■ + а й 3 х 3 йг3 йх Динамика одноосного растяжения вязкоупругого ... + а й 2 х 2 йг2 + а йг й 2 N + с + ё + _с_ \ Ьт J " + ^ N йг Ь5Ьт ( 12) или третьего порядка для скорости V = х: V + а з т? + а 2 V + а ^ = М N + N + - С̂ N Ь яЬт ; (12а) где а = сё МЬг 1 + — Ьт ; а 2 =■ а 3 = М с + ё 1 + — Ь 1 + ё + s \ У + сё . Ь Ь т ’ + — + (13) поскольку уравнение (12) в левой части является неполным для х. При Ьт = га, что соответствует выключению вязкого элемента машины, уравнение (12) путем сокращения на оператор дифференцирования й / йг преобразуется в уравнение (9) из сообщения 1 или (8) из сообщения 2 для системы с механическим приводом [1, 2]. При этом заметим, что управля­ ющие параметры динамической системы, соответствующей уравнению (12), включают те же параметры динамической системы третьего порядка, что видно из следующего сравнения: а 1 = Й1 + СёГ МЬЪ„ а 2 = а 2 + сг МЬ„ + сё Ь Ь т а 3 = а 3 + где « 1, а 2 и а 3 - параметры уравнения (9) для системы с механическим приводом [1]. Когда ё = 0, что соответствует механической системе с вязкоупругим телом Максвелла, в левой части уравнения (12а) член а 1? обращается в нуль, и ( 12а) преобразуется в рассмотренное ранее уравнение (28) из [2 ]. Отметим, что в этом случае Ь-1 = Ь- 1 + Ьт1. При Ь = Ьт упомянутое выше уравнение (28) из [2] описывает пове­ дение открытой гидроприводной механической системы с упругим телом или в общем случае с деформируемым телом до его предела упругости. Если Ьт = га и Ь8 = га, то уравнение (12) преобразуется в классическое уравнение второго порядка. Прежде чем перейти к решению уравнения (12), рассмотрим возмож­ ность определения необратимого изменения длины деформируемого тела по г Ь т ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 45 М. С. Ковалъченко данным определения общей скорости и ускорения, полученным в результате решения уравнения (12) или эквивалентной динамической системы. Для этого воспользуемся левой частью соотношения (3) и условиями модели (4), которые позволяют выразить Хе и х т через Х ^ : 1 1 * = х *і + х е + х ті = х *і + - (ь*х *і + §х *і ) + -Г~ (V 8І + §х *і )• (14)С и т После преобразований имеем вспомогательное дифференциальное уравнение Ґ \ С + § + _с_ V Ьт у - , С§ С ■х*і +--------- х „■ = — х ЬЬт * Ъ8 (15) или х *і + У 2 х *і + У 1х *І = ~ г х = у , ь * ь * (15а) позволяющее по известным значениям общего удлинения х или общей скорости у, полученным в результате решения уравнения (12), определить необратимое удлинение деформируемого тела х хі. В уравнении (15а) вве­ дены обозначения У1 = С§ (ь*ь т ) - 1 ; У 2 = (С + § )ь -1 + сЬт1 • Применяя, как и в случае уравнения (1) из [2], операторный метод 2 решения (с учетом того, что (у 2 / 2 ) - у 1 > 0 , и, следовательно, корни ха­ рактеристического трехчлена действительны), получим х = е - рі І 1 I у(т)еРТ8Ц<г - туіх + - (рх *і(0) + х *і(0) + х *{(0) * — (16) где р := у 2 /2 ; ч := л!р 2 - у 1 ; x si(0) = x si^ о). Чтобы определить х , необходимо найти также скорость удлинения деформируемого тела: 1 — у(І) - у 1х *і(0) - Рх *і(0) + х *і(0)СЬ-г (17) При выборе узких интегралов интегрирования общую скорость V в указанных интервалах можно усреднить, тогда, введя среднюю скорость V , вместо решений (16) и (17) следует записать 46 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 х ы ( г) = е - р ) + — (у); (18) Динамика одноосного растяжения вязкоупругого ... р ((дВ1 - рА1 + (дА1 - рВ 1 )сЦ г), (19) где А 1 р х и (0) + х (0) ь Я т Движение системы за пределом упругости вязкоупругого деформаци­ онно упрочняемого тела описывается неавтономной динамической систе­ мой, эквивалентной уравнению (12). Для системы с гидравлическим нагру­ жением характерны три случая: нагружение переменной силой; воздействие постоянной силы и постоянная скорость нагружения. Рассмотрим последо­ вательно эти случаи. Воздействие переменной силы. Для решения динамической системы воспользуемся операторным методом, полагая управляющие параметры в левой части и коэффициенты в правой части уравнения (12) постоянными. Переписав уравнение при отличных от нуля начальных условиях х о , х о , х о и Xо, имеем Х (^ = М В ( 5) ( 5 2 + у 2 5 + У 1) N ( ̂ + ^ ( ̂ . (2 0 ) Здесь X (5) и N (5) - однозначные функции комплексной переменной 5 (изображение), связанные с однозначными функциями х( г) и N (г) дей­ ствительной переменной г (оригинал) интегральным преобразованием Лап- 3 2ласа; В ( 5) = 5 + а 3 5 + а 25 + а1 = (5 - 51) ( 5 - 52 ) ( 5 - 53); 51, 52 и 53 - корни полинома В (5); у 1 и у 2 определены выше; После разложения выражений (20) и (21) на множители, преобразования к оригиналу (с действительной переменной г) с учетом свертки функций для первого члена в (2 0 ) справа для трех различных корней полинома В (5) решение рассматриваемой неавтономной динамической системы принимает вид (2 1 ) где £1 = а2Х0 + а 3X0 + Х'0 - у 2 N 0М 1 - N 0М 1; £ 2 = а 3X0 + X0 - N 0М 1. х( г) = х 0 + | N (т )(Ав3[( г-т) + Вв*2( г-т) + Св*3(г - т) + К )йх + 0 ISSN 0556-171Х. Проблемы! прочности, 2000, № 1 47 М. С. Ковалъченко +Л у е '13 + Е у е *2 2 + С у + К у ; (2 2 ) х( і) = М (Ле^3 + Ее*2 3 + Се*3 3 + К ) + гр (3); (23) х (3) = Л(N + N )е¥ + Е (N + *2 N )е "23 + С ( N + *3 N )е"зі + ЙК + ір(3); (24) х ( 3) = Л( N + 51 ТУ + 5? N )е5 3 + Е( N + *2 ТУ + *2 N ) е ^ + где +С ( N + 53 N + "2 N У 3 + ІГК + &р (3), Л = - - 51 + У 2 "1 + У1 . М 1( *1 - *2 )(*3 - Е = С = Л у 53 + У 2 " 3 + У1 . М 3(*3 - *1)(*3 - *2 ) ! X 0 "12 + 1 2 "1 + 1 1 . *1( *1 - *2 )(*3 - *1) ’ х 0 *3 + 1 2 *3 + 1 1 * 2 + У 2 * 2 + У1 . М 2 ( *1 - *2 )(*3 - *2) ’ К = - - ^ 1 — = 1 ± _ ; М*1*2 *3 МЯ1 Е = х 0 * 2 + І 2 * 2 + 1 1 . У *2(*1 - *2)(*3 - *2) ’ = - - 1 ± - = ї ї У *3(*3 - *1)(*3 - *2 ) * У *1*2 *3 «1 (25) При двух комплексно сопряженных корнях *12 = - р ± ід и одном действительном корне *3 = 2 р - а 3 полинома Б ( *), где р и д опреде­ ляются теми же соотношениями, что и для системы с механическим при­ водом [2 ], если в них параметры а п заменить на ап, решение (2 2 ) для удлинения преобразуется следующим образом: х( 3) = X 0 + | N (т )ерт (Л0 8Ш д(3 - т ) + Е 0 С08 д (3 - т ))йт + Л1 8Іп д3 + Е 1 С08 д3+ е - Р3 0 + +е (2Р- а 3 )3 С 0 } N (т )е - (2р-«3 )т йт + С 1 + К 0 } N (т )йт + К 1, (26) V 0 ) 0 где Л 0 = р (3р - а 3 ) + д - (3р - а 3 ) Ґ Л С + g + V Ьт у + 1 48 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 Динамика одноосного растяжения вязкоупругого ... + (р (3р - а з ) - д 2 )с ? Л ( р 2 + д 2)ь,ъ В 0 = - С 0 = М ( (3 р - а з )2 + д 2) с + г с ( 4р - аз )сг 0 М ((3р - а з )2 + д 2) 2р - а з +— -------+ -------2 2 Ъз Ът (р + д )ЪзЪ сгс + г с 2 р - а з +-----------\--------+ т \ Ъз Ът (2р - а з )ЪзЪт К 0 = - сг ( ЪзЪт) -1 сг М (2р - а з )(р 2 + д 2) а 1 МЪ,Ъ„ 1 А 1 - д((з р - а з )2 + д 2) X X ^ /о 4+ ^ ^ ^ + р (зр - а з ) - д % ^ (р (з р - а з ) + д )х 0 - (зр - а з )§ 2 + 2 2 *1 р + д В 1 - (з р - а з )2 + д 2 (2р - а з )х 0 + 1 2 4 р - а з 2 . 2 р + д С 1 - 1 (з р - а з )2 + д 2 (2р - а з )х 0 + 1 2 + 2 р - а К 1 — а 1 N 0 - N 0 М М Скорость, ускорение и производную ускорения (вторую производную скорости) по времени выразим общим соотношением: х п( 0 - е р ( А п вшдг + В п сое д ^ + С пе(2р аз)г + К п (27) где индекс п - 2 соответствует скорости х 2 ( г) : - х (г), п - з - ускорению х з ( г) : - х ( г), п - 4 - производной ускорения по времени х 4 (г):- х(г); А2 - ^ 0 - рА1 - дВу; В 2 - N B0 - рВ1 + дА1; С 2 - N С 0 + (2р - а з)С 1; К 2 - N K 0 ; Аз - А0 ( N - pN ) - дВ0 N + ( р 2 - д 2 А + 2 р д В ^ в з - В 0 (N - р ^ + дА0 N + (р 2 - д 2 )В1 - 2 рдА^ ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 49 1 1 1 1 М. С. Ковалъченко С 3 = С о (N + (2 р - а 3 )N ) + (2 р - а 3 )2 С 1. К 3 = Ж о . А4 = А0( N - 2 р!Ч + (р 2 - д 2)N ) - 2дВ0(N - p N ) - - р (р 2 - 3д 2 ) а 1 - д(3р 2 - д 2 )В1. В 4 = В 0( N - 2р!Ч + (р 2 - д 2 )N ) - 2 дАо( N - p N ) - - р ( р 2 - 3д 2 ) В 1 + д(3р 2 - д 2 )А1. С 4 = С 0( N + 2(2р - а 3)N + (2р - а 3 ) 2 N ) + (2 р - а 3 ) 3 С 1; К 4 = ТУК0. При различных действительных корнях ^ 2 = - р ± д и 53 = 2р - а 3 полинома В (5) решение (2 2 ) имеет вид, аналогичный выражению (26), но при этом тригонометрические функции должны быть заменены на гипер­ болические, а в выражениях для коэффициентов в членах, содержащих д , - знаки на противоположные. С учетом сказанного скорость, ускорение и производную ускорения по времени выразим подобно (27) общим соот­ ношением (с теми же индексами): х п(г) = е - р ( А п ^ ( + ВпсЪд1) + С пе (2р-а3)г + К п , (28) где А2 = NAо - рА х + дВ 1. В 2 = N B о - рВ 1 + цА^. С 2 = NC о + (2р - а 3 )С 1. К 2 = NK о. А3 = Ао( NN - p N ) + дВ о N + (р 2 + д 2А - 2рдВ^ в 3 = В о ( N - p N ) + дАо N + (р 2 + д 2 )В1 - 2рдА^ С 3 = С о( + (2 р - а 3 ) N ) + (2 р - а 3 ) 2 С 1. К 3 = Ж о. А4 = Ао( N - 2р!Ч + (р 2 + д 2)N ) + 2дВо( - р ^ ) - - р ( р 2 + 3д 2 ) а 1 + д(3 р 2 + д 2 )В1. В 4 = В о(N - 2рЖ + (р 2 + д 2 )N) + 2дАо( - pN) - - р ( р 2 + 3д 2 ) В 1 + д(3 р 2 + д 2 )А1. С 4 = С о( N + 2(2р - а 3 ) + (2р - а 3 ) 2 N ) + (2 р - а 3 ) 3 С 1. К 4 = о. 50 ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2000, № 1 Динамика одноосного растяжения вязкоупругого ... При кратном корне —1 = —2 = - Р и —3 = 2р - а 3 полинома В (—) изо­ бражение координаты X (—) принимает вид х ( -) = -2 + + у 1 щ - ) + Х0 + х «- 2 + 1 2- + £ 1 = А + В + С К ------+ — N (—) + где + — + + В 1 + С 1 К 1+ А = - — — - —1 (— - —1) 2 — - —3 — 1 / Л —3 - 2—1 —3 + У 2 --------2— У1 —1 (29) 1 М (3Р - а3 )2 \ , С + g , с (4Р - а3>С?Л 2 р - а 3 +-----------1--------------- 2---------- Ъ— Ьт р Ъ—Ъ В = - 1 С = М —1(—3 - —1) М (3 р - а 3 ) 2 —3 + — 3 У 2 + У1 1 ' р - С + А - ^ _ + ^ ^ Л Ъ— Ьт рЬ—Ъп М — 3 (—3 - —1 )2 М (3р - а 3 ) 2 С + g С 2 р - а 3 +-----------\--------+ Ъ— Ът (2 р - а3)ЪА К = - У1 Ал = - М—2—3 а 1 МЪ—Ът ’ — 2—3 х о + —2£ 2 - (—3 - 2—1)£ 1 —12(—3 - —1)2 1 В, = - (3 р - а 3 ) —12 х о + —1£ 2 + £ 1 (2р - а 3 )х о + £ 2 - 4р 2 3 £ 1 С 1 = р 1 (р х о - £ 2 + р 1£ 1); (2 р - а 3 )х о + £ 2 + 1 2 р - а 3 £ 1 коэффициент К 1 определен выше. 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, N 1 51 Преобразование изображения к оригиналу дает зависимость удлинения от времени: М. С. Ковалъченко | N (т )ер (А + В ( і - т))йт + А 1 + В 1ґ 0 + + е (2 р- а3)і 0 С І N (т )е - (2р-аз) йт + С 1 + К І N (т )йт + К х. (30) Скорость, ускорение и производную ускорения выразим общим соотно­ шением с теми же индексами, что и для (27) и (28): ( І) = е - р (А„ + В ПІ) + С пе (2 р- аз)і + К п (31) где А2 = A N - рА 1 + В1, В 2 = B N - рВ 1, С 2 = CN + (2р - а 3 )С 1, К 2 = КШ; А3 = А( N - p N ) + р 2А1 - 2 рВ 1, В 3 = В( N - p N ) + р 2В 1, С 3 = С ( N + (2 р - а 3 ) N ) + (2 р - а 3 ) 2 С 1, К 3 = К1&; А4 = А( N - 2рЖ ) + ВІ& + р (рА - В )N - р 2 (рА1 - 3В1), В 4 = В0(N - 2р N + р 2 N ) - р 3В 1, С 4 = С ( N + 2( 2р - а 3)Ж + ( 2р - а 3 ) 2 N ) + ( 2р - а 3 ) 3 С 1, К 4 = К7У. Воздействие постоянной силы. При воздействии постоянной силы N о или выборе узких интервалов интегрирования, когда силу можно усреднить, поведение механической системы до предела упругости деформируемого тела описывается, как отмечено выше, уравнением (28) из [2 ]. Выше предела упругости тела решения (26), (27) динамической систе­ мы в случае комплексно сопряженных корней ^1 2 = - р ± іц и действи­ тельного корня 53 = 2р - а 3 полинома В (5) преобразуются к виду х( ґ) = х о + е - р (А1 зіп цґ + В 1 соз цґ) + С 1е (2 р -а3)ґ + Л + К ; (32) х 2 ( і): = Х(і ) = е - рі(А2 зіпці + В 2 созці) + С 2е (2р-а3)і + Л. (33) При п = 3 и п = 4 , соответствующим ускорению и производной уско­ рения, имеем 0 52 ISSN 0556-171Х. Проблемы! прочности, 2000, № 1 x n( t ) = e - pt(A n s in qt + B n cos qt) + C ne (2p-a3)t. (34) Здесь 1 2 Ai = ---------------- 2------^ (((p - a3 )(3p - a 3) + q ) ( x 0 - J ) - q((3 p - a 3) + q ) - (3p - a3)xо - (2p - a 3)(p (3p - a 3) - q 2 Ж ); 2P(x о - J ) + x о + (2p - a 3 )(4p - a3 )K Bi = - ; (3p - a 3 ) + q = 2p (x о - J ) + x о - ( p 2 + q 2)K . C 1 2 2 ; (3 p - a 3) + q r N оCg ^ К / • гч , •• , ••• 4 J = ----L ; K = ~ ̂ ^ о - J ) + a 3x о + &̂ о);a i M bsbm a i A 2 = - pAi - qB 1; B 2 = - pBi + qAi; C 2 = (2p - a 3)C 1; A3 = ( p 2 - q 2)Ai + 2pqBi; B 3 = ( p 2 - q 2)Bi - 2pqAi; C 3 = (2 p - a 3 ) 2 C 1; A4 = - p ( p 2 - 3q 2)Ai - q(3p 2 - q 2 )Bi; B 4 = - p ( p 2 - 3q2 )Bi + q(3p 2 - q 2 A C 4 = (2p - a 3 ) 3 C 1. Для трех различных действительных корней S12 = - p ± q и s3 = 2 p - a 3 полинома D (s) выражения для переменных поведения сис­ темы x i ( t), x 2 ( t), x 3 ( t) и x 4 ( t) имеют вид, аналогичный приведенным выше соотношениям (32), (33) и (34) соответственно, в которых тригоно­ метрические функции заменены гиперболическими, а в выражениях для коэффициентов знаки в членах, содержащих q 2, заменены на противо­ положные. При этом изменяются также выражения для A n и B n : A2 = - pAi + qBi, B 2 = - pBi + qAi; A3 = (p 2 + q 2)Ai - 2pqB i, B 3 = (p 2 + q 2)Bi - 2pqAi; A4 = - p ( p 2 + 3q 2 )Ai + q(3 p 2 + q 2 )Bi , B 4 = - p ( p 2 + 3q 2)Bi + q(3 p 2 + q 2 )Ai. Для кратного корня s1 = s 2 = - p и s 3 = 2p - a 3 зависимости удли­ нения, скорости, ускорения и производной ускорения от времени при посто­ янной силе или усреднении ее в интервале интегрирования имеют вид Динамика одноосного растяжения вязкоупругого ... ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1 53 x ( t ) = x 0 + e - pt (Ai + B l t) + C ie (2p-a3)t + Jt + K ; М. С. Ковалъченко (35) x 2 ( t): = X(t) = e p t(A2 + B 2 1) + C 2e (2p a3)t + J ; (36) x n ( t) = e - pt (An + B nt) + C ne (2 p- a3)t (37) для n = 3 и n = 4, соответствующим ускорению и производной ускорения. Здесь 2p ( x 0 - J ) + x 0 + (2p - a 3 )(4p - a 3 )K Ai = Bi = - (3p - a 3 ) (p + a 3 )x 0 + x 0 - (5p - a 3 ) J + p (2p - a 3 )K . 3 p - a 3 C i = 2 p ( x 0 - J ) + x 0 - p K (3p - a3 )2 при этом соотношения для J и ^ такие же, как и в предыдущем случае; A 2 = - p A 1 + B 2 = - PB \ , С 2 = (2Р - а 3)С 1; A3 = Р 2Ai - 2 PB 1, B 3 = p 2^ 1, С 3 = (2 Р - а 3 ) 2 С 1; A4 = - p 2( pA1 - 3B 1), B 4 = - p 3 B 1, С 4 = (2 p - а 3 ) 3 С 1. Постоянная скорость нагружения системы. При постоянной скорости нагружения N = N 0 = const механической системы с гидравлическим при­ водом, воздействующим на упругое тело (или в общем случае на дефор­ мируемое тело до его предела упругости), ввиду того, что bs = ^ и вслед­ ствие этого изменяются управляющие параметры динамической системы, уравнение (12) принимает вид x + a 3 x + a 2 x = M N 0 + — ( N 0 + N 0 t) bm (38) где а 2 = сМ !(1 + гЬт1); а 3 = + гМ 1; Ж0 - начальная сила. Для решения этого уравнения операторным методом представим его изображение при ^ Ф 52: 3 2, , ч х 0 X05 + Ь + тз + п х 0 А В Н J К Х(*) = + ^ ^ ---------------- -- = — + --------+ ---------+ — + — + - , (39) 5 5 (з + аз5 + а 2 ) 5 5 - з 1 5 - з 2 5 5 5 54 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1 Динамика одноосного растяжения вязкоупругого ... где I. = а зх о + х о; т. = М 1( N 0 + с Ь ^ N 0 ); п: = N о с( МЬт ) 1; X о - 3 + К 2 X о - 3 + К ^ п п N о с А = ------------------ ; В = ---------------------; Н = ------ = — = *1 - *2 *1 - * 2 *1*2 а 2 а 2 МЬт ’ М - а 3 Н ; К = — (а з (х о - 3 ) + х о - Н ) . а 2 Преобразование изображения (39) к оригиналу дает решение х ( t ) = х о + Ае 1 + Ве 2 + ^ Н 1 + 31 + К , (4о) которое для комплексных корней *1,2 = - р ± iq (где р: = а 3 / 2 и q: = д/а 2 - р 2) приобретает вид где х ( t) = хо + е р (А1 з т + В 1 со8 д1) + ^ Н 2 + Jt + К , (41) 1 А1 = - (хо - 3 - р К ); В 1 = - К ; Н , 3 и К определены выше. Временные зависимости скорости и ускорения выражаются соотноше­ ниями х( t) = х о + е - р (А2 зш qt + В 2 соз qt) + Ш + 3; (42) где х ( t) = е р (А3 з т qt + В 3 соэ qt) + Н , А2 = ^ ( - р ( х о - 3 ) + а 2К ); В 2 = х о - 3 ; (43) 1 А3 = - ((р 2 - q 2)(хо - 3 ) - р а 2К ); В 3 = х о - Н . q В случае действительных корней ^ 2 = - р ± q (р: = а 3 / 2 и 2 2 g: = \ р - а 2 ) трехчлена 5 + а 3 5 + а 2 в приведенных выше соотношениях следует заменить тригонометрические функции гиперболическими, а для коэффициентов использовать формулы, приведенные выше. При кратном корне ^ ^ = - р полученное таким же методом реше­ ние имеет вид ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 55 - рг 1 2х ( г) = х о + е ^ (А1 + В 1 г) + ^ н г + лг + К . М. С. Ковалъченко (4 4 ) х( г) = е р (А2 + в 2 г) + н г + л . (45) х ( г) = е - р{ (А3 + в 3 г) + н , (46) где А1 = - К . В = х о - Л - р К , при этом коэффициенты А п и В п, входящие в соотношения (45) и (46), выражаются через А1 и В 1 по тем же формулам, что и для соотношений (36) и (37), а коэффициенты Н , Л и К - по приведенным выше соот­ ношениям (для случая разных корней трехчлена В (5)). Постоянной скорости нагружения рассматриваемой системы выше пре­ дела упругости вязкоупругого деформационно упрочняемого тела соответ­ ствует уравнение йх йг£ ‘ йг й 4 х ■ + а 3 й 3 х 4 ■ + а 2 “7 Т + а1йг йг3 /V Л С + ё + С ЧЛ IV о + т сё Ь5Ьт (N о + Nо г) (47) Преобразование его в изображение с комплексной переменной 5 предста­ вим в виде х о х о 54 + к$3 + I5 2 + т$ + п X (5) = — + -- -------------- 2----------------- = 5 5 (5 + а 3 5 + а 2 5 + а 1) Здесь А В С Н Л К + ------- + + + —т + —г + — . к : = а 3х о + х о. I: = а 2х о + а 3х о + х'о. (48) т: = М /V л с + ё + _С \ \ Ья Ьт у N о + T ^ N о Ь5Ьт п:= N о сё МЬ5Ьт 1 при этом коэффициенты разложения на множители определяются соотно­ шениями х о 51 + к - Н + Л(52 + 53 ) - К 2 53 А = (51 - 52 )(53 - 51) 56 ISSN 0556-171Х. Проблемыг прочности, 2000, № 1 B = C = Динамика одноосного растяжения вязкоупругого ... x 0S2 + k - H + J(Sj + S3 ) - Ks^s3 (S1 - s2 )(s3 - s2 ) x 0 s3 + k - H + J (Sj + S2 ) - KS1S2 (s3 - s1)(s3 - s2 ) ’ n n N 0 cg H = S1S2S3 a1 a1 M bsbm J = — «1 c + g + _C_ VM bs bm J N 0 + T ^ N 0 bsbm j j K = — (a 2 (x 0 - J ) + a 3(x 0 - H ) + x 0 ) ■ a 1 Преобразование (48) к оригиналу с действительной переменной г дает решение уравнения (47) для трех разных корней полинома В (5): x ( t) = x 0 + A es + Be 2 + Ce 3 + 2 Ht + J t + K ■ (49) В случае комплексно сопряженных корней *12 = - р ± ід и действитель­ ного корня ^3 = 2 р - а 3 полинома В (*) это решение принимает вид x(t) = x 0 + e pt(A1 s in qt + B 1 cosqt) + C 1e (2p «3)t + 2 1 H t2 + J t + K ■ (50) Здесь A 1 = 1 2 — ------------ 2— ^ (((p - a 3 ) (3p - a 3 ) + q )(x:0 - J )■ q((3p - a 3 ) 2 + q 2) - ( 3 p - a 3 )(^ 0 - H ) - ( 2 p - a 3 )(p (3p - a 3 ) - q )K ); 2p (x 0 - J ) + x 0 - H + (2p - a 3 )(4p - a 3 )K B 1 = (3p - a 3 )2 + q 2 C 1 = 2 p (x 0 - J ) + x 0 - H - (p 2 + q 2)K (3p - a3 )2 + q 2 H , J , K определены выше для разложения (48). Временная зависимость скорости определяется соотношением х 2: = x( t) = e - pt (A 2 sin qt + B 2 cos qt) + C 2 e (2p~°3)t + Ht + J , (51) ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1 57 М. С. Ковалъченко а временные зависимости ускорения и производной ускорения - соотно­ шениями х з ( t ): = x ( t) = e - pt(A3 sin qt + B 3 cos qt) + C 3 e (2p-a3)t + H ; (52) x 4 ( t): = x ( t) = e -pt (A 4 sin qt + B 4 cos qt) + C 4e (2p-°3)t (53) с выражениями для коэффициентов A n , B n и C n через Aj, Bj и Cj таки­ ми же, как и для зависимостей (33), (34). В случае трех действительных корней полинома D (s ) можно либо непосредственно воспользоваться решением (49), либо, если представить корни как sj 2 = - p ± q и s 3 = 2p - a 3, решением (50), в котором при этом следует заменить тригонометрические функции гиперболическими и изме­ нить знаки при q 2 на противоположные в выражениях для коэффициентов A 1, B 1 и C j. Коэффициенты A n , B n и C n в зависимостях скорости, уско­ рения и производной ускорения от времени определяются через Aj , Bj и C j по формулам, приведенным для действительных корней после зави­ симостей (32)-(34). Для случая кратного корня sj = S2 = - p и s 3 = 2p - а 3 полинома D (s) решение рассматриваемой динамической системы имеет вид х( t) = х 0 + e ~pt (Aj + B jt) + C le (2p-a3)t + 2-j H t2 + Jt + K ; (54) jc( t) = e ~pt (A2 + B 2 1) + C 2 e (2p-a3)t + Ht + J ; (55) X ( t) = e - pt (A3 + B 3 1) + C 3 e (2p-a3)t + H ; (56) X ( t) = e ~pt (A4 + B 4 1) + C 4 e (2p- a3)t, (57) ̂ 2p ( 0 - J ) + X0 - H + (2p - a 3 )(4p - a 3 )K At = 2 ; (3p - a 3 ) (p + a 3 )X 0 + XJ 0 - H - (5p - a 3 )J + p(2p - a 3 )K 3 p - a 3 ^ 2p (x 0 - J ) + 0 - H - p 2 K C t = 2 ; (3p - a 3 ) где Bj = - коэффициенты Н , J и К определены выше. Определение коэффициентов Ап, В п и С п по приведенным здесь коэффициентам А1, В1 и С 1 про­ изводится так же, как и для соотношений (35)-(37). 58 ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2000, № 1 В качестве примера на рис. 2 приведены результаты расчета зави­ симостей общего удлинения х, удлинения упругих элементов х е и необра­ тимого удлинения деформируемого тела х от времени при постоянной скорости нагружения N 0 = 1000 Н/с системы с гидравлическим элементом, обладающим вязким сопротивлением Ът = 55000 Н • с /м , и при остальных параметрах системы таких же, как в сообщении [2], т.е. с = 10 МН/м, = 5 М Н • с /м , g = 5 М Н /м , М = 1000 кг, г = 1000 М Н • с /м в предполо­ жении предела упругости деформируемого тела при N = 300 Н. Значение вязкого сопротивления гидравлического элемента системы выбрано с таким расчетом, чтобы оно было не слишком высоким, а решения системы были бы периодическими, что позволило бы сопоставить их с такими же реше­ ниями механической системы без гидравлического элемента. Динамика одноосного растяжения вязкоупругого ... Рис. 2. Временные зависимости общего удлинения х (а), удлинения упругих элементов хе и необратимого удлинения деформируемого тела х£; (б) при постоянной скорости нагружения системы с гидравлическим приводом. Рис. 3. Временные зависимости общего удлинения х и необратимого удлинения дефор­ мируемого тела х£; при постоянной скорости нагружения механической системы. Результаты расчета механической системы, не содержащей гидравли­ ческого элемента, представлены на рис. 3. Расчет поведения этой системы до предела упругости деформируемого тела при той же постоянной скорости нагружения проведен с использованием решения динамической системы, эквивалентной уравнению х + ~Л х + ~— х = ^ 7 ( N 0 + N 0 ̂ М М М (58) и выше предела упругости тела - с использованием решений системы, соответствующей уравнению х + а з х + а 2 х + а ^ _1_ М N o + - — g ( N 0 + N 0 г) (59) £ ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 59 М. С. Ковалъченко Сопоставление результатов расчетов показывает, что, несмотря на пери­ одический характер решения, поведение системы с гидравлическим эле­ ментом резко отличается от такой же системы без гидравлического эле­ мента. Наличие последнего сильно сокращает переходный процесс, и в целом система с гидравлическим элементом проявляет вязкое поведение уже на стадии упругого растяжения деформируемого тела. При переходе через предел упругости обнаруживается кратковременное снижение удлинения упругих элементов системы х е. Для системы без гидравлического элемента начальная стадия нагружения характеризуется интенсивными упругими ко­ лебаниями с небольшой амплитудой, составляющей десятые доли мкм. При переходе через предел упругости вследствие естественного затягивания ста­ дии упругого растяжения до завершения полупериода колебаний (дости­ жения его верхней точки) обнаруживается резкое увеличение амплитуды колебаний общего удлинения х. При этом изменение во времени необра­ тимого (вязкого) удлинения деформируемого тела имеет заметно выра­ женный пульсирущий характер. Из сопоставления поведения рассмотренных систем можно сделать вывод о том, что испытание материалов в машинах с гидравлическим приводом носит весьма спокойный характер. При этом деформируемый материал не подвергается дополнительным колебательным воздействиям, влияющим на структурные повреждения в процессе испытания. Такие испы­ тания в большей мере соответствуют “статическим” испытаниям, чем испы­ таниям в машине с механическим нагружением, где могут проявляться динамические эффекты, связанные с переходным процессом нагружения. В то же время обработка материалов в машинах с механическим нагружением может оказаться более эффективной в связи с присущими этим системам переходными колебательными процессами, которые могут оказать благо­ приятное воздействие на формирование более мелкозернистой структуры обрабатываемого материала и в итоге на повышение его механических свойств. Р е з ю м е Проаналізовано рух відкритої механічної системи з одним ступенем сво­ боди, що моделює одноосьове розтягування в ’язкопружного деформаційно зміцнюваного тіла в машині з гідравлічним приводом, який створює змінну силу і в той же час є демпфірувальним елементом. Показано, що перехідним процесам руху відповідає неавтономна динамічна система четвертого по­ рядку, яка в залежності від її керуючих параметрів має стійкі періодичні та аперіодичні розв’язки. З огляду суттєвого зниження в ’язкого опору системи, викликаного наявністю гідравлічного приводу, аперіодичне згасання є ха­ рактерним для перехідного процесу. Показано, що система з гідравлічним елементом суттєво відрізняється від механічної системи, що немає такого елемента. 60 ISSN 0556-171Х. Проблемыі прочности, 2000, № 1 Динамика одноосного растяжения вязкоупругого 1. Ковалъченко М. С. Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью сво­ боды. Сообщ. 1. Предписанное движение системы // Пробл. прочности. - 1998. - № 4. - С. 16 - 27. 2. Ковалъченко М. С. Динамика одноосного растяжения вязкоупругого деформационно упрочняемого тела в системе с одной степенью сво­ боды. Сообщ. 2. Воздействие внешней силы // Там же. - № 5. - С. 12 - 26. Поступила 04. 03. 99 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2000, № 1 61

Similar Items