К численному решению задач о деформации анизотропных пластин с отверстием
Представлен подход к расчету напряженно-деформированного состояния пластин с отверстием, основанный на численной параметризации двусвязной области, сведении исходной нелинейной краевой задачи к последовательности линейных двухмерных и интегрировании последних устойчивым численным методом. Исследу...
Gespeichert in:
| Datum: | 2003 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України
2003
|
| Schriftenreihe: | Проблемы прочности |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47005 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | К численному решению задач о деформации анизотропных пластин с отверстием / Н.Д. Панкратова, В.Б. Польчук // Проблемы прочности. — 2003. — № 5. — С. 122-135. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47005 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-470052025-02-23T17:42:16Z К численному решению задач о деформации анизотропных пластин с отверстием Numerical Solution of Problems on Deformation of Anisotropic Plates with Aperture Панкратова, Н.Д. Польчук, В.Б. Научно-технический раздел Представлен подход к расчету напряженно-деформированного состояния пластин с отверстием, основанный на численной параметризации двусвязной области, сведении исходной нелинейной краевой задачи к последовательности линейных двухмерных и интегрировании последних устойчивым численным методом. Исследуется влияние формы и месторасположения отверстия на напряженно-деформированное состояние квадратной пластины. Представлено підхід до розрахунку напружено-деформованого стану пластин, що послаблені отвором. Підхід базується на числовій параметризації двозв’язної області, зведенні вихідної нелінійної задачі до послідовності лінійних двомірних та останніх до одномірних, інтегрування яких проводиться стійким числовим методом. Досліджується вплив форми та місцезнаходження отвору на напружено-деформований стан квадратної пластини. The study presents an approach to stressed-state analysis of plates with apertures which is based on the numerical parameterization of a doubly-connected area, reduction of the initial nonlinear boundary-value problem to a sequence of linear two-dimensional problems and integrating the latter by the stable numerical method. The effect of form and place of an aperture on stressed state of a square plate has been analyzed. 2003 Article К численному решению задач о деформации анизотропных пластин с отверстием / Н.Д. Панкратова, В.Б. Польчук // Проблемы прочности. — 2003. — № 5. — С. 122-135. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0556-171X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47005 539.3 ru Проблемы прочности application/pdf Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел |
| spellingShingle |
Научно-технический раздел Научно-технический раздел Панкратова, Н.Д. Польчук, В.Б. К численному решению задач о деформации анизотропных пластин с отверстием Проблемы прочности |
| description |
Представлен подход к расчету напряженно-деформированного состояния пластин с отверстием,
основанный на численной параметризации двусвязной области, сведении исходной
нелинейной краевой задачи к последовательности линейных двухмерных и интегрировании
последних устойчивым численным методом. Исследуется влияние формы и месторасположения
отверстия на напряженно-деформированное состояние квадратной пластины. |
| format |
Article |
| author |
Панкратова, Н.Д. Польчук, В.Б. |
| author_facet |
Панкратова, Н.Д. Польчук, В.Б. |
| author_sort |
Панкратова, Н.Д. |
| title |
К численному решению задач о деформации анизотропных пластин с отверстием |
| title_short |
К численному решению задач о деформации анизотропных пластин с отверстием |
| title_full |
К численному решению задач о деформации анизотропных пластин с отверстием |
| title_fullStr |
К численному решению задач о деформации анизотропных пластин с отверстием |
| title_full_unstemmed |
К численному решению задач о деформации анизотропных пластин с отверстием |
| title_sort |
к численному решению задач о деформации анизотропных пластин с отверстием |
| publisher |
Інститут проблем міцності ім. Г.С. Писаренко НАН України |
| publishDate |
2003 |
| topic_facet |
Научно-технический раздел |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/47005 |
| citation_txt |
К численному решению задач о деформации анизотропных
пластин с отверстием / Н.Д. Панкратова, В.Б. Польчук // Проблемы прочности. — 2003. — № 5. — С. 122-135. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Проблемы прочности |
| work_keys_str_mv |
AT pankratovand kčislennomurešeniûzadačodeformaciianizotropnyhplastinsotverstiem AT polʹčukvb kčislennomurešeniûzadačodeformaciianizotropnyhplastinsotverstiem AT pankratovand numericalsolutionofproblemsondeformationofanisotropicplateswithaperture AT polʹčukvb numericalsolutionofproblemsondeformationofanisotropicplateswithaperture |
| first_indexed |
2025-11-24T05:33:55Z |
| last_indexed |
2025-11-24T05:33:55Z |
| _version_ |
1849648674829762560 |
| fulltext |
УДК 539.3
К численному решению задач о деформации анизотропных
пластин с отверстием
Н . Д . П а н к р а т о в а , В . Б . П о л ь ч у к
Институт прикладного системного анализа НАН и Минобразования Украины, Киев,
Украина
Представлен подход к расчету напряженно-деформированного состояния пластин с отвер
стием, основанный на численной параметризации двусвязной области, сведении исходной
нелинейной краевой задачи к последовательности линейных двухмерных и интегрировании
последних устойчивым численным методом. Исследуется влияние формы и местораспо
ложения отверстия на напряженно-деформированное состояние квадратной пластины.
Ключевые слова : двусвязная область, геометрически нелинейная постановка,
численное интегрирование, концентрация напряжений.
М ногие конструктивные элементы современной техники, в частности
ослабленные отверстиями, изготовляют в виде анизотропных оболочек и
пластин сложной формы. В таких случаях на границах и вблизи отверстий
имеет место концентрация напряжений, которую необходимо учитывать при
проектировании и эксплуатации изделия.
Задачи о деформации пластин, срединная поверхность которых явля
ется двусвязной областью, связаны с интегрированием внутри геометри
чески сложных областей системы дифференциальных уравнений в частных
производных при определенных видах граничных условий на контурах. При
этом представление разрешающей системы дифференциальных уравнений и
сложность реш ения соответствующей краевой задачи существенно зависят
от системы координат, которая вводится для параметризации указанной
области. Рассматриваемой проблеме посвящены исследования [1-5] и др.
Наиболее простой вид имеют уравнения, когда многосвязная область
отнесена к такой ортогональной криволинейной системе координат, где обе
ограничивающие область контурные линии совпадают с координатными
линиями системы [6].
В настоящей работе на основании предложенного в [1] приема постро
ения ортогональной криволинейной системы координат для двусвязной
области сложной формы, ограниченной гладкими контурными линиями без
угловых точек, реш ается задача численной параметризации двусвязной
области путем построения в ней ортогональной криволинейной сетки,
топологически эквивалентной прямоугольнику. Задача о деформации тонких
анизотропных пластин, ослабленных отверстием, реализуется в нелинейной
геометрической постановке.
М атем ати ческая п остан овка задачи численной п арам етри зац ии
двусвязной области. Рассмотрим тонкую анизотропную пластину, коорди
натная плоскость (х ,у ) которой представляет собой двусвязную область Д
ограниченную гладкими контурными линиями без угловых точек (рис. 1):
ф о(х ,У) = 0; ф N (х ,У) = °. (1)
© Н. Д. ПАНКРАТОВА, В. Б. ПОЛЬЧУК, 2003
122 ТХОТ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 5
К численному решению задач о деформации
Реализуется численное построение ортогональной криволинейной сетки
применительно к задаче о деформации пластины, ослабленной отверстием,
основанное на отыскании функций х (а 1, а 2 ), у ( а 1, а 2 ), которые обеспечи
вают однолистное отображение на область пластины В параметрического
прямоугольника Я = {(а 1, а 2 ): 0 < а ! < Ь1;0 < а 2 ^ £ 2 )- При этом на кон
турных линиях учитываются граничные условия (1), условия ортогональ
ности координатной системы ( а 1, а 2 ) в области В , включая границы
дх дх ду ду
------------ + — ----- — = 0 (2)
д а 1 д а 2 д а 1 д а 2 у ’
и условия периодичности по координате а 2
х (а ь 0) = х (а ь ̂ 2 ); У (а 1 ,0) = у (а 1, £ 2 )- (3)
Для нахождения функций х ( а 1, а 2 ), у ( а 1, а 2 ) на каждой границе
области В используем систему из двух уравнений (1), (2). Два семейства
линий сетки внутри области В строятся как линии уровня функций
а 1(х ,у ), а 2(х ,у ), удовлетворяю щ их уравнениям Лапласа:
2 2 2 2 д а ] д а ] д а 2 д а 2
2~+ 2~ = 0; 2 ~ + 2~ = 0 (4)дх2 ду2 дх2 ду2
Выполняя преобразования уравнений (4) с учетом (2), определение
х ( а 1, а 2 ), у ( а 1, а 2 ) сводится к системе из двух нелинейных дифферен
циальных уравнений в частных производных:
1 д 2 х 1 д 2 х 1 д 2 у 1 д 2 у
—; 2 + _ 2 2 = 0, ” 2 2 + _ 2 2 = 0, (5)Л { д а 2 Л \ д а 2 А]2 д а 2 Л | д а 2
г д е Л 12 , Л | - п а р а м е т р ы Л а м е .
0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, N 5 123
Н. Д. Панкратова, В. Б. Полъчук
Предлагается численное построение ортогональной криволинейной сет
ки проводить итерационным методом до определенной заданной практи
ческой точности. Для реализации указанного процесса представим уравне
ния (1) и (3) для внутреннего контура в виде
др 0 . 0 0 ч , др 0 . 0 0 ч
~ Х ~(х 0 у , У 0 у )х_ 0 1 + ~ ^ ~ (х 0 ] , у 0 у ) У 0 у
др 0 . 0 0 ч 0
( х 0 у ,У 0 у )х 0 удх
др 0 , 0 0 ч 0 , „ / 0 0 Ч _ п
ду Х 0] ,У 0] )У 0] + Р 0 (х 0у 5у 0у ) _ 0, у = 0, М - 1; (6)
(х_1 1 - х_0 1 )(х 0у+1 - х о у -1) + (у \у_ - х 0 у )(У 0 у+1 - У 0 у- 1 ) +
+ (х 10у - х 0у )[ (х 0у+1 - х 0у-1 ) - (х 0у+1 - х 0у-1 )] +
+ (У1у - У 0у )[(У 0у+1 - У 0у-1 ) - (У 0у+1 - У 0у-1)]= 0 у = 0 М - 1 (7)
Здесь и далее черта снизу обозначает неизвестные величины.
В уравнении (7) заменим неизвестные х 1 у , у 1 у , х 0у+1, х 0у-1, у 0у+ 1,
У 0у- 1 их значениями на предыдущей итерации, тогда третье и четвертое сла
гаемые обратятся в нуль, и уравнение преобразуется следующим образом:
(х 1у - х 0у) (х 0у+1 - х 0у-1) + (У1у - у 0у)(У0у+1 - У0у-1) = 0 ] = 0 М - 1. (8)
Уравнения (6) и (8) составляют систему из 2М уравнений и 2М не
известных х 0у , У 0у , у = 0, М - 1. Для каждого у соответствующая система
из двух уравнений может быть явно разрешена относительно х 0у , У 0у :
0у
др 0 . 0 0 ч. 0 _ 0 Ч др 0 ( 0 0 ч. 0 _ 0 Ч
(х 0у ,У 0у )(У 0у+1 У 0у-1) дУ (х 0у ,У 0у ) (х 0у+1 х 0у-1)дх
0 0
( У 0 у+1 У 0 у-1)
д<Р 0 , 0 0 ч 0 , д<Р 0 , 0 0 ч 0 _ , 0 0 ч
(х 0 у , У 0 у )х 0 у + ~ У ~ (х 0 у , У 0 у ) У 0 у - Р 0 ( х 0 у , У 0 у ) +
, д(Р 0 , 0 0 чг 0 . 0 0 ч . 0 . 0 0 4-,
+ ~ (х 0у ,У 0у )[У1у (У 0у-1 - У 0у+1) + х 1у (х 0у-1 - х 0у+1)] ;дУ
У 0 у
д<Р 0 , 0 0 ч. 0 0 Ч д<Р 0 . 0 0 V 0 0 ч
(х 0у ,У 0у ) (х 0у+1 х 0у-1) дх (х 0у ,У 0у )(У 0у+1 У 0у-1)дУ
= (х О у+1 - х О у-1)
0 0 ч 0 , д р 0 , 0 0 ч 0 „ / 0 0 ч
(х 0 у ,У 0 у )у 0 у + дх (х 0 у ,У 0 у )х 0 у Р 0(х 0 у ,У 0 у )дУ
(9)
+
, др 0 , 0 0 чг 0 / 0 0 ч , 0 / 0 0 чп
+ дх (х 0у ,У 0у )[х 1у (х 0у-1 х 0у+1) + у 1у (У 0у-1 У 0у+1)] .
124 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 5
К численному решению задач о деформации
Аналогично, записав уравнения (1) и (2) для внешнего контура, получим
выражения для х щ , у щ , у = 0, М - 1:
■щ
др^ ( 0 0 ч/ 0 _ 0 ч
(х щ ,у щ )(х Щі+і х Щі-і)дУ
0 0
- (у N/+1 у N/-1)
д<Р N , 0 0 ч 0 ,
(x Nj ,у N ) х ^ +дх
+, др N , 0 0 ч 0 . / 0 0 ч
+ ду N , у N )у N р N (х N , у N )
. др N , 0 0 чг 0 / 0 _ 0 \ , 0 / 0 0 ч-і
+ - ,у N ^ N - 1 / \ у N'-1 у И'+1) + x N-1 / ̂ Щ- І x Nj+1)i;ду
др N ( 0 0 ч/ 0 _ 0 ч
ду ( ,у N ) ( х ^+1 x Nj-1) '
др N { 0 0 0 0 ч
(x ^̂ ' ,у N , ) ( у N'+1 у ^ - 1 )дх
- (х %+1 х N/-1 )
др N , 0 0 ч 0 ,
ду ( х N , у N ) у N +
, др N ( 0 0 ч 0 п Г 0 0 ч
+ дх і , у N і Р N і , у N
+
(10)
, др N ( 0 0 чг 0 ( 0 0 ч , 0 ( 0 0 ч-,
+ дх N ,у щ )[х щ-1 у (ХЩ>-1 х Щ>+1) + у щ-1 у(у Щ]-1 у Щ?+1)]-
Таким образом получаются выражения для всех граничных точек.
Рассмотрим процесс определения выражений для внутренних точек.
Уравнения (5), записанные через конечные разности, имеют вид
1 1 1
2
~х;,- +
(Л1)
1
2 х и + (А1) 2 Хі+1/ + (а 2 ) 2 '
1 2 1 1
2 у 1/ + (л ч 2 у і+11 + , А ч 2 у і -
(11)
(Л1) ^ - (Л2 ) 2
2 1 ---------- -----------
— у / + ~ ~ 2 у /+1 - °> 1 - 1 ш - 1 ' - 0 м - 1
(Л 2 ) 2 * (Л2 ) 2
Замена переменных х ц_у, Ху+1, у ц~\, у гу+1 их значениями на предыдущей
итерации позволяет уравнения (11) представить так:
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 5 125
Н. Д. Панкратова, В. Б. Польчук
і
2 л і-і]
( Л і) '
-Уі- і і
2Лі + 2Л2 і
(Л1Л 2 ) 2 Х і + (Л і)
2Л1 + 2Л2 і
і
2 л і+і і
(Л Л ) 2 У і + (Л і)2 У м >
( Л2 )
1
( Л2 )
0
Хі - і
0
2 У і- і
1 0 .
х і + і .
(Л 2 ) 2
і 0
'< Л 2 ) 2 У і+ і:
(і2 )
і = і, Ж - і, і = 0, М - і .
Записывая для х уравнения (9), (і0 ), ( і2 ) в следующем порядке: для
і (і = 0, М - і) - уравнение (9), для і ( і = і, N - і) - уравнения (і2 ), для
і (і = 0, М - і) - уравнение (і0 ), получаем систему уравнений в блочном
виде
(і3 )
'Б 0 0 . . 0 . . 0
0 Б і . . 0 . . 0 / Х ̂Х 0 ( В 0 )
X і Ві
0 0 . . . . 0 Х і В і
0 0 . . 0 . М
.
і 1
\ Х М- і у \В М-і )
Здесь Б і , В і , X і имеют вид
д ((N+і)х( N +і)) =
а і 0 0 0 ... 0 0
Р іі Р Ь Р у 0 ... 0 0
0 Р2і Р 2і Р 32 ... 0 0
0 0 Р3і Р Зі ... 0 0
0 0 0 0 . . р N -і і р N - і і
0 0 0 0 ... 0 У і _
В (N +і) =
Ьіі
Ь2 і
Ь3 і
ЬЖ -і і
\ Сі )
Х і =
/х 0 і Х
х іі
где а і - коэффициенты при х 0 ,• из уравнений (9); а і - правые части
соответ-
X ̂ V у IV!! X и л . 11̂ /Я. 1 0у Т ̂ А. А. 1-1И1 ̂ КЛг у 11̂ / Wi.LIJ
уравнений (9); , 3 2 , (33 - коэффициенты при х _ у , Х у , х 1+1 у
ственно из (12); Ь1у - правые части (12) ( I = 1, N _ 1); у у - коэффициенты
при х N из уравнений (10); с у - правые части уравнений (10).
126 ІББЖ 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 5
а
К численному решению задач о деформации
Таким образом получено М + 1 трехдиагональных систем для X раз
мерности N + 1, аналогично можно получить М + 1 трехдиагональных
систем для У размерности N + 1. Учитывая периодичность по ], количество
систем сужается до М для X и до М для У размерности N + 1.
За начальные значения координат сетки принимаются координаты сетки,
образованной концентрическими окружностями и радиальными линиями, а
при ограничивающих контурах сложной формы начальную сетку можно
получить путем масштабирования специально подобранного контура, за
ключенного между ограничивающими контурами, и узлов сетки на этом
контуре.
М атем ати ческая п остан овка задачи расчета напряж енно-деф орм и
рованного состояния п ласти н ы , ослабленной отверстием . Задачу о де
формации анизотропных пластин, в общем случае имеющих одну плоскость
упругой симметрии, рассматриваем в геометрически нелинейной постановке
с учетом квадратичных приближений [7]. Полная система уравнений, описы
вающая в произвольной ортогональной системе координат двухмерную гео
метрически нелинейную деформацию анизотропных слоистых пластин, све
дена к разрешающ ей системе, состоящей из восьми дифференциальных
уравнений в частных производных [1]:
(14)
— ~ ~ т
Здесь 2 = { N !, 5 ! , Q 1, М !, и , V, •№, ^ } - вектор разрешающих функций;
& = {Е{ }Т ( I = 1, 8) - вектор правой части системы уравнений, являющийся
нелинейной вектор-функцией от 2 и имеющий следующий вид:
а-|2 а 21 ~
8 2 = А т (N 1 - N 2 ) - А г ( ~ + Т ) - А
а 2 а 2
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 5 127
Н. Д. Панкратова, В. Б. Полъчук
где
#12
ё 7 = —А1в 1; ё 8 = А1К1 — “Г- в 2,а 2
ЭАи Э^2 ~
#12 = Э а ~ ; #21 = Э о~ ; Т = ^1 _ М 1^1 + М2®2;
~ 1 2 а і? 2 а ті ~
~ = А2 1 0 7 + а т ; ( М 2 - М . ) + 4 % И - « 2 ^ 2 - * А ;
N 1 = С 11£ 1 + С 12£ 2 + С 16^ + К 11к 1 + К 12к 2 + 2 К 16г 2 - М1і;
М2 = С 12£ 1 + С 22£ 2 + С 26^ + К 12к 1 + К 22к 2 + 2 К 26г 2 — М2г;
М 1 = К 11£ 1 + К 12£ 2 + К 16^ + В 11к 1 + В 12к 2 + 2 В 16г 2 — М 1і;
М 2 = К 12 £ 1 + К 22 £ 2 + К 26^ + В 12 к 1 + В 22 к 2 + 2В 26 г 2 — М 2 і;
~1 = С 16 £ 1 + С 26 £ 2 + С 66^ + К 16К1 + К 26к 2 + 2К 66 г 2 — ^ і ;
И = К 16£ 1 + К 26£ 2 + К 66^ + В 16к 1 + В 26к 2 + 2 В 66г 2 — И і ;
1 Эу а 21 1 лП = Ш1 + И 2; £ 2 = — — + — и + - ( в 2 ) ;
1 Эв 2 а 21 1 Эи #12
= ~ -------- + , , в 1; и 2 = —----------— , , у;
2 А Эа 2 АиА2 1 2 А2 Эа 2 АиА2
1 Эв1 а 21 1 Э^
г 2 = ^ ~ ^ — л а в 2 ; в 2 = — ; (15)
А2 Эа 2 А1А2 А2 Эа 2
N і , ~ 1, (~1 , М и - соответственно нормальное, приведенные сдвигающее и
перерезывающее усилия и изгибающий момент; и , V, ^ - компоненты пере
мещения; в і - угол поворота нормали; q j ( ] = 1, 3) - компоненты внеш ней
поверхностной нагрузки; С т р , К т р , Б тр ( т, р = 1, 2, 6) - жесткостные ха
рактеристики; интегральные характеристики температурного поля , М и ,
Б {, ( і = 1,2) выражаются через физико-механические характеристики,
толщину и температурное поле пластины.
Решение нелинейной краевой задачи, описываемой системой диффе
ренциальных уравнений в частных производных (14) с соответствующими
граничными условиями, сводится с помощью метода Н ью тона-Канторо
вича к последовательности реш ений линейных краевых задач для линеари
зованной системы дифференциальных уравнений в частных производных с
переменными в двух направлениях коэффициентами [1]:
128 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 5
К численному решению задач о деформации ...
д г (*+1)
да.
= Б
д кХ ^ д кХ (*+1)
\ 19 2 ’ д а 2 да к
2 /
(к = 1,4; * = 0 ,1 ,. . . ) , (16)
где Б = { / } ( і = 1,8);
Б = в
д кг
а 1, а 2, к
да 2 /
к 7 (*)^д
а 1,а 2 , к
да
( г (*+1) _ г (х))-
2
а , а
\
1,а 2, Д^кда
- матрица Якоби правой части системы (16).
2 /
Для понижения размерности и перехода от полученной двухмерной
краевой задачи к одномерной искомые функции и правые части системы
дифференциальных уравнений в частных производных (16) представляются
в виде отрезков тригонометрических рядов:
ЫИ
X (а ь а 2 ) = X о( а О + 2 с х ; ( а 1)ео8 па 2 + Х ” ( а 1)8Іп па 2 ). (17)
п=1
Представление разрешающ их функций в виде рядов Фурье позволяет раз
делить переменные в исходной системе (16), и двухмерная система урав
нений приводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
относительно амплитудных значений разрешающих функций.
Таким образом, решение задачи сводится с помощью метода линеари
зации Нью тона-Канторовича к итерационному процессу, на каждом шаге
которого реш ается краевая задача для системы линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений большой размерности. При этом первая ите
рация является решением задачи в линейной постановке.
Данная краевая задача приводится к семейству задач Коши, которые
решаются устойчивым численным методом дискретной ортогонализации
[8]. Для вычисления коэффициентов Фурье (17) таблично заданных разре
шающих функций используется интерполяция их кубическими сплайнами.
О боснование достоверности подхода. В качестве тестового примера
рассматривалась задача о напряженно-деформированном состоянии круглой
изотропной пластины, ослабленной центральным круговым отверстием
Пластина, жестко заделанная по внешнему контуру, находится под дейст
вием равномерной нагрузки д = д 0 . Расчеты в линейной постановке выпол
нялись для пластины толщины к = к 0 , диаметра а = 30А0 , диаметра отверс
тия Ь = 10к0 , модуля упругости Е = Е 0 и коэффициента Пуассона у = 0,3
0 _ а г - о - , д 0к0М аксимальный прогиб пластины в линейной постановке = 6,583-
Ег
X
X 10 , что согласуется до третьего значащего разряда с аналитическим
расчетом [9].
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 5 129
Н. Д. Панкратова, В. Б. Польчук
Для сопоставления результатов расчетов в линейной и геометрически
нелинейной постановках, осуществляемых по предлагаемому и известному
численно-аналитическому подходу [10], реш алась задача о напряженно-
деформированном состоянии кольцевой пластины, находящейся под дейст
вием нормальной поверхностной нагрузки д = д о(1+ 0 ,1со8 а 2 ) ( 0 —а 2 —
— 2 л ). Расчеты выполнялись для пластины толщ ины И = И о, диаметра
а = Го, диаметра отверстия Ь = 0,5го. Полученные результаты для макси
мальных значений прогибов в линейной 0 = 3,079И0 и в геометрически
нелинейной w = 1,966И0 постановках согласуются с расчетами, приведен
ными в [2 ].
Н апряж енно-деф орм ированное состояние квад р атн о й п ласти н ы с
отверстием . На основании предложенного подхода рассматривается задача
о напряженно-деформированном состоянии тонкой изотропной квадратной
пластины со сглаженными углами, ослабленной отверстием, которая жестко
закреплена по внешним сторонам, свободна по внутреннему контуру отвер
стия и находится под действием равномерной внешней нагрузки д = д 0 .
Срединная поверхность пластины отнесена к декартовой системе коор
динат хОу так, чтобы ее стороны были параллельны координатным осям, а
начало координат лежало в середине отверстия.
Расчеты выполнялись при следующих параметрах: толщина пластины
И = И0 , стороны пластины а = 28И0, модуль упругости Е = Е 0, коэффициент
Пуассона у = 0,3.
При реш ении задачи исследовалось влияние изменения формы и место
расположения отверстия на пластине на ее напряженно-деформированное
состояние. Рассматривались два случая отверстия: круглое диаметра d = 8И0
(случай I) и квадратное со сторонами Ь = 6И0 (случай II). При этом учитыва
лись следующие варианты смещения отверстия относительно центра плас
тины: а) Ах = 0; Ду = 0; б) Ах = 0; Ду = 3И0; в) Дх = 0; Ду = 6И0; г) Дх = 6И0;
Ду = 6И0 . ___ _____
Построение численной параметризации (а { ,а у ), где I = 1, 30; у = 1, 200,
срединной поверхности пластины проводилось до достижения при итера-
_3
ционном процессе точности £ = 10 . Визуализация численной параметри
зации пластин для случаев круглого и квадратного отверстий приведена на
рис. 2 и 3 соответственно.
При численном интегрировании краевой задачи в разложениях (17)
удерживалось 11 членов ряда. Решение двухмерных краевых задач (14) на
основании итерационного процесса (16) проводилось до достижения точ-
_3ности £ = 10 . При рассмотрении центрального расположения отверстия
удерживалось в (16) до 6 итераций, для остальных случаев расположения
отверстия - до 8-10 итераций. На рис. 4 -9 представлены результаты числен
ных расчетов полей перемещений и напряжений. Распределения нормаль
ных перемещений вдоль контуров круглого и прямоугольного отверстий
приведены на рис. 4, 5, где штриховые линии - результаты решения задачи
в линейной постановке, сплошные - в нелинейной. Как видно, различие
результатов решения задачи превышает 50%. Наблюдается некоторая законо
мерность в распределении нормальных перемещений: наибольшая податли
130 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 5
К численному решению задач о деформации .
вость контура отверстия имеет место в точках, наиболее отдаленных от края
пластины, и наоборот, наименьшая - в точках, максимально приближенных
к краю пластины. В окрестности скругленных углов квадратного отверстия
отмечается меньшая податливость, чем на других участках отверстия.
в г
Рис. 2. Визуализация численной параметризации пластины с круглым отверстием. (Здесь и на
рис. 3-9 а-г соответствуют вариантам смещения отверстия.)
№
в г
Рис. 3. Визуализация численной параметризации пластины с квадратным отверстием.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 5 131
Н. Д. Панкратова, В. Б. Польчук
л1______ I_______I______ I_______I______ I_______I______ I_______I______ I_______I______ I_______I______ I______ I_______I______ I_______I______ I_______I______IО 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
Рис. 4. Распределение нормальных перемещений w вдоль контура круглого отверстия.
2 ---- -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1 -
Г]1______ I______ I______ I______ I______ I______ I______ I______ I______ I______ I______ I______ I______ I______ I______ I______ I______ I______ I______ I_____ IО 10 20 3 0 40 5 0 6 0 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 j
Рис. 5. Распределение нормальных перемещений w вдоль контура квадратного отверстия.
Двухмерное распределение нормальных напряжений показано на рис. 6,
7, а вдоль контуров круглого и квадратного отверстия - соответственно на
рис. 8, 9. Видно, что для вариантов а)-в) при Ах = 0 перемещения и
напряжения симметрично распределены относительно оси у. При этом с
увеличением Ау наблюдается уменьшение значений нормальных переме
щений w с приближением к окрестности ] = 0 и ] = 100.
Для варианта г) при Ах ^ 0 имеет место несимметричное распределе
ние перемещений и напряжений вдоль контуров круглого и квадратного
отверстия. М аксимальные значения нормальных перемещений w на кон
туре находятся в точках ] = 87 и ] = 80 для круглого и квадратного отвер
стия соответственно.
Смещение отверстия (варианты б) Ау = 3Н0 и в ) Ау = 6Н0) от центра
пластины приводит к немонотонному перераспределению напряжений вдоль
его контура. В случае квадратного отверстия, где наблюдается локальное
увеличение напряжений в окрестности угловых точек контура отверстий,
перераспределение напряжений проявляется более существенно. Так, квад
ратное отверстие со сглаженными углами инициирует значительно большие
концентрации напряжений, превышающие напряжения в пластине с круг
лым отверстием.
132 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 5
К численному решению задач о деформации
в г
Рис. 6. Распределение нормальных напряжений в пластине с круглым отверстием.
в г
Рис. 7. Распределение нормальных напряжений о2 в пластине с квадратным отверстием.
ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 5 133
Н. Д. Панкратова, В. Б. Польчук
ґ і і_______ і_______ і_______ і_______ і_______ і_______ і_______ і_______ і_______і_______ і_______ і_______ і_______ і_______і_______ і_______ і_______ і_______ і_______і______ іО 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 ]
Рис. 8. Распределение нормальных напряжений о2 вдоль контура круглого отверстия.
8Г а б в г
ґ і і_______ і_______ і_______ і_______ і_______ і_______ і_______ і_______ і_______і_______ і_______ і_______ і_______ і_______і_______ і_______ і_______ і_______ і_______і______ іО 10 20 30 40 50 60 70 60 90 100 110 120 130 140 150 160 170 160 190 у
Рис. 9. Распределение нормальных напряжений о2 вдоль контура квадратного отверстия.
Проведенные исследования показали, что форма и месторасположение
отверстия на пластине оказывают существенное влияние на перераспреде
ление напряжений, которые локализуются в его окрестности. При этом
максимальное значение прогиба практически не зависит от формы отвер
стия: перераспределение значений прогиба увеличивается со смещением
отверстия от центра пластины.
Р е з ю м е
Представлено підхід до розрахунку напружено-деформованого стану плас
тин, що послаблені отвором. Підхід базується на числовій параметризації
двозв’язної області, зведенні вихідної нелінійної задачі до послідовності
лінійних двомірних та останніх до одномірних, інтегрування яких прово
диться стійким числовим методом. Досліджується вплив форми та місце
знаходження отвору на напружено-деформований стан квадратної пластини.
1. Григоренко Я. М., Тимонин А. М. Численное решение задач о дефор
мации гибких анизотропных пластин сложной геометрии // Докл. АН
УССР. - 1990. - № 6. - С. 43 - 47.
134 ISSN 0556-171Х. Проблемы прочности, 2003, № 5
К численному решению задач о деформации
2. Довбня Е. Н. Исследование напряженно-деформированного состояния
ортотропной оболочки с эллиптическим отверстием // Теорет. и. прикл.
механика. - 2001. - № 32. - С. 140 - 144.
3. Колоеров С. А , Горянская Е. С. Двумерное напряженно-деформиро
ванное состояние многосвязного анизотропного тела // М еханика ком
позитов. Т. 7. Концентрация напряжений. - Киев: А.С.К, 1998. - С. 10 -
26.
4. Chern S. M. and Tutle M. E. On displacement fields in orthotropic laminates
containing an elliptical hole // Trans. ASM E, J. Appl. Mech. - 2000. - 67,
No. 3. - P. 527 - 540.
5. Gudushouri I , Kipiani G , and Danelia D. Algorithm o f solving for the
concrete problem o f calculating the rectangular plate with the hole o f the
same form // Probl. Appl. Mech. - 2000. - No. 1. - P. 60 - 68.
6. Григоренко Я. М., Василенко А. Т. М етоды расчета оболочек. - Киев:
Наук. думка, 1 9 8 1 .- 544 с.
7. Шаповалов Л. А. Об одном простейшем варианте уравнений геометри
чески нелинейной теории тонких оболочек // Изв. АН СССР. Сер. М еха
ника твердого тела. - 1968. - № 1. - С. 56 - 62.
8. Григоренко Я. М., Панкратова Н. Д. Обчислювальні методи в задачах
прикладної математики. - Киев: Либідь, 1995. - 280 с.
9. Тимошенко С. П ., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. - М.:
Наука, 1966. - 636 с.
10. Григоренко Я. М., Крюков Н. П. Численное решение задач статики
гибких слоистых оболочек с переменными параметрами. - Киев: Наук.
думка, 1988. - 264 с.
Поступила 20. 11. 2002
ISSN 0556-171X. Проблемы прочности, 2003, № 5 135
|