Моделирование динамики подковообразного вихря в турбулентном пограничном слое
Рассматривается взаимодействие системы подковообразных (шпилькообразных) вихрей в пограничном слое с профилем невозмущенного ламинарного и усредненного турбулентного слоев над твердой поверхностью. Сформирована модель вихря, основанная на тонкой вихревой трубке в рамках модели идеальной несжимаемой...
Saved in:
| Date: | 2006 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2006
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4754 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование динамики подковообразного вихря в турбулентном пограничном слое / А.А. Гуржий, В.В. Мелешко, Е.И. Никифорович, Р.Дж. Адриан // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 2. — С. 26-49. — Бібліогр.: 51 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-4754 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-47542025-02-23T17:52:56Z Моделирование динамики подковообразного вихря в турбулентном пограничном слое Modelling of dynamics of hairpin vortex in turbulent boundary layer Гуржий, А.А. Мелешко, В.В. Никифорович, Е.И. Адриан, Р.Дж. Рассматривается взаимодействие системы подковообразных (шпилькообразных) вихрей в пограничном слое с профилем невозмущенного ламинарного и усредненного турбулентного слоев над твердой поверхностью. Сформирована модель вихря, основанная на тонкой вихревой трубке в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости. Проведен сравнительный анализ кинематических и динамических характеристик результатов численного моделирования с результатами реального эксперимента и известными теоретическими решениями. Изучены основные закономерности взаимодействия системы подковообразных вихревых структур в сдвиговом течении над твердой поверхностью. Сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными данными дает незначительное отклонение в скорости удаления подковообразных вихревых структур от твердой поверхности. Эта скорость характеризуется углом Q. Данные численного моделирования и эксперимента совпадают, Q»6o. Замечено, что скорость удаления вихрей остается неизменной в течение достаточно долгого промежутка времени и, вероятно, не зависит от геометрии вихря. Исследования позывают, что динамика подковообразных вихрей над твердой плоскостью определяется в основном типом профиля сдвигового течения и толщиной пограничного слоя, а не абсолютным значением скорости набегающего потока. Розглядається взаємодiя системи пiдковоподiбних (шпилькоподiбних) вихорiв у прикордонному шарi з профiлем необуреного ламiнарного i усередненого турбулентного шарiв над твердою поверхнею. Сформовано модель вихора, яка заснована на тонкiй вихровiй трубцi в рамках моделi iдеальної нестисливої рiдини. Проведено порiвняльний аналiз кiнематичних i динамiчних характеристик результатiв чисельного моделювання з результатами реального експерименту i вiдомих теоретичних рiшень. Вивчено основнi закономiрностi взаємодiї системи пiдковоподiбних вихрових структур у сдвиговiй течiї над твердою поверхнею. Порiвняння результатiв чисельного моделювання з експериментальними даними дає незначне вiдхилення у швидкостi вiддалення пiдковоподiбних вихрових структур вiд твердої поверхнi. Ця швидкiсть характеризується кутом Q. Данi чисельного моделювання та експерименту збiгаються, Q»6o. Помiчено, що швидкiсть вiддалення вихорiв залишається незмiнною протягом досить довгого промiжку часу i, iмовiрно, не залежить вiд геометрiї вихора. Дослiдження позують, що динамiка пiдковоподiбних вихорiв над твердою площиною визначається в основному типом профiлю сдвигової течiї i товщиною прикордонного шару, а не абсолютним значенням швидкостi потоку, що набiгає. The interaction of system of horseshoe (hairpin) vortices in a boundary layer with profile of unperturbated laminar and averaged turbulent layers above a firm surface is considered. A vortex model based on thin vortex tube within the framework of model of an ideal incompressible fluid is formed. The comparative analysis of kinematic and dynamic characteristics of results of numerical modeling with results of real experiment and known theoretical solutions is carried out. The main regularity of interaction of hairpin system of vortex structures in shift flow above a firm surface are investigated. The comparison of numerical modeling results with experimental data gives an insignificant deviation in a removal velocity of horseshoe vortical structures from a firm surface. Removal velocity of vortices from firm surfaces is characterized by a corner Q. The numerical modeling data and experimental data coincide, Q»6o. Note that the removal velocity of vortices remains constant during enough long time interval and, probably, does not depends on a vortex geometry. Researches shows that dynamics of horseshoe vorices above a firm plane is defined basically by the type of a shift flow profile and boundary layer thickness, instead of absolute value of an external velocity flow. 2006 Article Моделирование динамики подковообразного вихря в турбулентном пограничном слое / А.А. Гуржий, В.В. Мелешко, Е.И. Никифорович, Р.Дж. Адриан // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 2. — С. 26-49. — Бібліогр.: 51 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4754 532.526 ru application/pdf Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается взаимодействие системы подковообразных (шпилькообразных) вихрей в пограничном слое с профилем невозмущенного ламинарного и усредненного турбулентного слоев над твердой поверхностью. Сформирована модель вихря, основанная на тонкой вихревой трубке в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости. Проведен сравнительный анализ кинематических и динамических характеристик результатов численного моделирования с результатами реального эксперимента и известными теоретическими решениями. Изучены основные закономерности взаимодействия системы подковообразных вихревых структур в сдвиговом течении над твердой поверхностью. Сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными данными дает незначительное отклонение в скорости удаления подковообразных вихревых структур от твердой поверхности. Эта скорость характеризуется углом Q. Данные численного моделирования и эксперимента совпадают, Q»6o. Замечено, что скорость удаления вихрей остается неизменной в течение достаточно долгого промежутка времени и, вероятно, не зависит от геометрии вихря. Исследования позывают, что динамика подковообразных вихрей над твердой плоскостью определяется в основном типом профиля сдвигового течения и толщиной пограничного слоя, а не абсолютным значением скорости набегающего потока. |
| format |
Article |
| author |
Гуржий, А.А. Мелешко, В.В. Никифорович, Е.И. Адриан, Р.Дж. |
| spellingShingle |
Гуржий, А.А. Мелешко, В.В. Никифорович, Е.И. Адриан, Р.Дж. Моделирование динамики подковообразного вихря в турбулентном пограничном слое |
| author_facet |
Гуржий, А.А. Мелешко, В.В. Никифорович, Е.И. Адриан, Р.Дж. |
| author_sort |
Гуржий, А.А. |
| title |
Моделирование динамики подковообразного вихря в турбулентном пограничном слое |
| title_short |
Моделирование динамики подковообразного вихря в турбулентном пограничном слое |
| title_full |
Моделирование динамики подковообразного вихря в турбулентном пограничном слое |
| title_fullStr |
Моделирование динамики подковообразного вихря в турбулентном пограничном слое |
| title_full_unstemmed |
Моделирование динамики подковообразного вихря в турбулентном пограничном слое |
| title_sort |
моделирование динамики подковообразного вихря в турбулентном пограничном слое |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2006 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/4754 |
| citation_txt |
Моделирование динамики подковообразного вихря в турбулентном пограничном слое / А.А. Гуржий, В.В. Мелешко, Е.И. Никифорович, Р.Дж. Адриан // Прикладна гідромеханіка. — 2006. — Т. 8, № 2. — С. 26-49. — Бібліогр.: 51 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT guržijaa modelirovaniedinamikipodkovoobraznogovihrâvturbulentnompograničnomsloe AT meleškovv modelirovaniedinamikipodkovoobraznogovihrâvturbulentnompograničnomsloe AT nikiforovičei modelirovaniedinamikipodkovoobraznogovihrâvturbulentnompograničnomsloe AT adrianrdž modelirovaniedinamikipodkovoobraznogovihrâvturbulentnompograničnomsloe AT guržijaa modellingofdynamicsofhairpinvortexinturbulentboundarylayer AT meleškovv modellingofdynamicsofhairpinvortexinturbulentboundarylayer AT nikiforovičei modellingofdynamicsofhairpinvortexinturbulentboundarylayer AT adrianrdž modellingofdynamicsofhairpinvortexinturbulentboundarylayer |
| first_indexed |
2025-11-24T05:34:06Z |
| last_indexed |
2025-11-24T05:34:06Z |
| _version_ |
1849648686724808704 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
УДК 532.526
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПОДКОВООБРАЗНОГО
ВИХРЯ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
A. A. Г У Р ЖИ Й∗, В. В. МЕЛ Е ШК О∗∗,
Е. И. Н И К И ФО РО В И Ч∗, Р. Дж. А Д РИ А Н∗∗∗
∗ Институт гидромеханики НАН Украины, Киев,
∗∗ Национальный университет им.Т.Г.Шевченко, Киев,
∗∗∗ Иллинойский университет в Урбане-Шампейн, Чикаго, США
Получено 19.06.2005
Рассматривается взаимодействие системы подковообразных (шпилькообразных) вихрей в пограничном слое с про-
филем невозмущенного ламинарного и усредненного турбулентного слоев над твердой поверхностью. Сформирована
модель вихря, основанная на тонкой вихревой трубке в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости. Прове-
ден сравнительный анализ кинематических и динамических характеристик результатов численного моделирования
с результатами реального эксперимента и известными теоретическими решениями. Изучены основные закономерно-
сти взаимодействия системы подковообразных вихревых структур в сдвиговом течении над твердой поверхностью.
Сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными данными дает незначительное отклонение
в скорости удаления подковообразных вихревых структур от твердой поверхности. Эта скорость характеризуется
углом Θ. Данные численного моделирования и эксперимента совпадают, Θ ≈ 6◦. Замечено, что скорость удаления
вихрей остается неизменной в течение достаточно долгого промежутка времени и, вероятно, не зависит от геоме-
трии вихря. Исследования позывают, что динамика подковообразных вихрей над твердой плоскостью определяется
в основном типом профиля сдвигового течения и толщиной пограничного слоя, а не абсолютным значением скорости
набегающего потока.
Розглядається взаємодiя системи пiдковоподiбних (шпилькоподiбних) вихорiв у прикордонному шарi з профiлем
необуреного ламiнарного i усередненого турбулентного шарiв над твердою поверхнею. Сформовано модель вихора,
яка заснована на тонкiй вихровiй трубцi в рамках моделi iдеальної нестисливої рiдини. Проведено порiвняльний
аналiз кiнематичних i динамiчних характеристик результатiв чисельного моделювання з результатами реального
експерименту i вiдомих теоретичних рiшень. Вивчено основнi закономiрностi взаємодiї системи пiдковоподiбних
вихрових структур у сдвиговiй течiї над твердою поверхнею. Порiвняння результатiв чисельного моделювання з
експериментальними даними дає незначне вiдхилення у швидкостi вiддалення пiдковоподiбних вихрових структур
вiд твердої поверхнi. Ця швидкiсть характеризується кутом Θ. Данi чисельного моделювання та експерименту
збiгаються, Θ ≈ 6◦. Помiчено, що швидкiсть вiддалення вихорiв залишається незмiнною протягом досить довгого
промiжку часу i, iмовiрно, не залежить вiд геометрiї вихора. Дослiдження позують, що динамiка пiдковоподiбних
вихорiв над твердою площиною визначається в основному типом профiлю сдвигової течiї i товщиною прикордонного
шару, а не абсолютним значенням швидкостi потоку, що набiгає.
The interaction of system of horseshoe (hairpin) vortices in a boundary layer with profile of unperturbated laminar
and averaged turbulent layers above a firm surface is considered. A vortex model based on thin vortex tube within
the framework of model of an ideal incompressible fluid is formed. The comparative analysis of kinematic and dynamic
characteristics of results of numerical modeling with results of real experiment and known theoretical solutions is carried
out. The main regularity of interaction of hairpin system of vortex structures in shift flow above a firm surface are
investigated. The comparison of numerical modeling results with experimental data gives an insignificant deviation in
a removal velocity of horseshoe vortical structures from a firm surface. Removal velocity of vortices from firm surfaces
is characterized by a corner Θ. The numerical modeling data and experimental data coincide, Θ ≈ 6◦. Note that the
removal velocity of vortices remains constant during enough long time interval and, probably, does not depends on a
vortex geometry. Researches shows that dynamics of horseshoe vorices above a firm plane is defined basically by the type
of a shift flow profile and boundary layer thickness, instead of absolute value of an external velocity flow.
ВВЕДЕНИЕ
В течение многих десятилетий усилия исследо-
вателей при изучении турбулентного погранично-
го слоя были направлены на изучение усредненно-
го движения пульсаций поля скорости. Статисти-
ческое описание и некоторые модели турбулентно-
сти [1–5] игнорируют в пограничном слое вклад
в результирующее поле скорости крупномасштаб-
ных, квази-периодических вихревых образований.
Имеется ряд экспериментальных работ [6–10], в
которых была обнаружена определенная органи-
зованность крупномасштабных вихревых струк-
тур в турбулентном пограничном слое. Однако по-
лученные в этих работах результаты, связанные с
изучением основных особенностей и закономерно-
стей вихревого движения в пограничных областях
течения, несоизмеримы с усилиями, которые были
направленны на изучение “внутренней” структуры
турбулентности, что в конечном итоге и отражает
фундаментальную сложность явления турбулен-
тности [1, 11, 12]. Вот почему исследования вну-
тренней структуры турбулентности имеют боль-
шое значение с позиций понимания динамики по-
граничного слоя, управления его развития и, в ко-
26 c© A.A. Гуржий и др., 2006
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
нечном итоге, снижения сопротивления движения
тел в сплошной среде.
Общепринято [1–3, 12] что именно исследова-
ния развития усредненных параметров пограни-
чного слоя при умеренных числах Рейнольдса
(Re< 5000) внесли определяющий вклад в понима-
ние внутренней структуры турбулентного погра-
ничного слоя. Несмотря на то, что методы усре-
днения явно не объясняют существование коге-
рентных движений в турбулентности, отдельный
вид мгновенного упорядоченного движения мож-
но проследить и в усредненных параметрах тур-
булентного погранслоя. Примером может служить
высокая корреляция продольной и поперечной со-
ставляющих пульсаций скорости в вязком подслое
и в переходных областях [1, 11, 13, 14].
В последнее время значительные усилия многих
исследователей в области турбулентного пограни-
чного слоя направлены на обнаружение и изу-
чение особенностей эволюции крупномасштабных
вихревых структур. Вероятно, начиная с работы
[15], в литературе стало доступным понятие “ко-
герентное движение” для турбулентных потоков.
Большой вклад в понимание особенностей эволю-
ции крупномасштабных вихревых структур в по-
граничном слое внесли многочисленные экспери-
ментальные исследования (интересный обзор ра-
бот можно найти, например, в [1, 13]). Хотя боль-
шинство экспериментов остается восприимчивым
к предыстории развития потока и ограничено низ-
кими числами Рейнольдса Re, современные ме-
тоды визуализации обладают высокой разреша-
ющей способностью и большим числом каналов
регистрации информации, что позволяет обра-
батывать большие поля скорости турбулентного
пристеночного течения [16–18]. Современные эк-
спериментальные методы регистрации полей тече-
ния в пограничном слое и мощные вычислитель-
ные средства, привлекаемые к обработке данных,
позволяют успешно выделять в поле скорости про-
странственные вихревые структуры и прослежи-
вать их развитие в пограничном слое на различ-
ных этапах [19–21].
Тщательно проведенные экспериментальные ис-
следования во многом стимулировали численно-
аналитические методы изучения крупномасшта-
бных вихревых структур в пограничном слое. Сре-
ди многочисленных подходов к решению задач те-
чения жидкости в пограничном слое можно выде-
лить, пожалуй, два основных направления [1, 22,
23], интенсивно развиваемых в вычислительной
гидродинамике: моделирование течения жидкости
в приповерхностном слое системой крупномасшта-
бных вихрей и прямое численное моделирование
течения в пограничном слое.
К первому направлению можно отнести во мно-
гом оказавшиеся удачными попытки моделирова-
ния пристеночной турбулентности системой вих-
рей малого масштаба. Такой подход основан на эк-
спериментально выявленных свойствах мелкомас-
штабной турбулентности. Замечено [5], что поведе-
ние мелкомасштабных вихрей обладает определен-
ной универсальностью и относительной стабиль-
ностью, в то время как крупномасштабные вихри
в основном определяют геометрию и параметры
потока. Отметим, что прямое численное модели-
рование течения в пограничном слое в отношении
широкого диапазона масштабов вихрей встречает
множество вычислительных трудностей, является
весьма трудоемким и требует больших вычисли-
тельных ресурсов [22, 24].
В настоящее время не существует единой мето-
дики выделения когерентных вихревых структур
в экспериментальных срезах полей скоростей при-
стеночного течения. Несмотря на то, что имеется
ряд оригинальных методов визуализации течения
(см., например, [16, 21, 25]), часто исследователи
прибегают к численным методам обработки полей,
среди которых следует указать методы иденти-
фикации вихревых структур из систем вихревых
линий [5], из распределений амплитуды вихрей
[26], из собственных значений тензора деформаций
[27], из продольных областей низкого давления [22]
и некоторые другие. К сожалению, все упомяну-
тые численные и экспериментальные методы не
являются универсальными. Обсуждение их преи-
муществ и недостатков продолжается по сегодня-
шний день. По этой причине в настоящее время
существует множество различных форм и тополо-
гий вихрей в турбулентном пограничном слое: про-
дольные вихревые структуры [28], поперечные ви-
хри различного масштаба [29], петлеобразные ви-
хри [20, 30, 31].
Во многих экспериментах, среди широкого клас-
са выделенных трехмерных вихрей, особое мес-
то занимают так называемые подковообразные,
или шпилькообразные, вихревые структуры [22,
32]. На рис. 1 приведен снимок [33], на ко-
тором запечатлен момент образования системы
подковообразных вихревых структур на после-
дних стадиях развития ламинарного пограничного
слоя на пластине. В диапазоне чисел Рейнольдса
500 <Re< 17500 такие вихревые структуры явля-
ются доминирующими в области раздела погра-
ничного слоя с внешним течением. Подковообра-
зные вихри имеют вытянутую вдоль потока фор-
му, образуя характерный угол ≈ 45◦ к плоскости
стенки [22, 23]. При малых числах Рейнольдса под-
A.A. Гуржий и др. 27
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Рис. 1. Подковообразные вихревые структуры в
ламинарном пограничном слое (вид сверху)[33]
ковообразные вихри менее вытянуты и часто обра-
зуют вихревые пакеты, состоящие из двух или не-
скольких крупномасштабных вихрей [19, 34, 35].
Одну из первых моделей подковообразных ви-
хрей, полученную из уравнения переноса вихрей,
предложил Теодорсен [36]. В этой модели вихри
формируются в пристеночной области, где гради-
енты скорости еще остаются небольшими, с зави-
хренностью, наведенная компонента скорости ко-
торой направлена против течения. Подход Теодор-
сена был предложен для мгновенного детермини-
рованного описания динамики пристеночной тур-
булентности. В этой модели принято склонение ви-
хря под углом 45◦ вниз по течению по отношению
к твердой поверхности. Несмотря на большое ко-
личество допущений, вихревая модель Теодорсе-
на удовлетворительно описывает локальную стру-
ктуру поля скорости в пристеночной турбулентно-
сти, которая наблюдается во многих эксперимен-
тах [17–19, 28, 32, 34].
Более сложная концептуальная модель пограни-
чного слоя предложена Блэком (1966) (подробно-
сти можно найти в обзоре [22]). Рассматривается
система подковообразных вихрей одного масшта-
ба, но различного размера на последовательных
стадиях своего роста в пограничном слое. На-
чальная конфигурация каждого вихря представ-
ляет прямоугольный четырехугольник. В подходе
Блэка пакет вихревых структур, несмотря на свою
идеализированную геометрию, удовлетворительно
описывает медленные движения жидкости через
плоскость вихря, а также процессы разрушения
и зарождения новых вихревых структур, которые
приводят к неустойчивому развитию и разруше-
нию в конечном итоге пограничного слоя.
Несколько позже Смит [32] представил другую
концептуальную модель подковообразных вихрей
в пристеночном течении. Его модель обладает бо-
лее сложной структурой и в значительной степе-
ни описывает более точно кинематику и динами-
ку подковообразных вихрей (при сравнении с дан-
ными экспериментов) и их реакцию на малые во-
змущения в потоке. Модель позволяет качествен-
но анализировать захват сдвиговым течением вне-
шнего потока, образование вторичной завихренно-
сти в пограничном слое. Показано, что изначально
сформированный подковообразный вихрь, с тече-
нием времени вырывается из пограничного слоя
за счет взаимодействия самоиндукции и внешнего
сдвигового течения. При этом опоры вихря остаю-
тся в пристеночной области, формируя поток жид-
кости из пограничного слоя во внешнее течение
между его опорами [37].
Несмотря на обширный теоретический и эк-
спериментальный материал, сегодня остаются не-
достаточно изученными особенности взаимодей-
ствия подковообразных вихревых структур в тур-
булентном пограничном слое. Каждая из рассмат-
риваемых моделей достаточно точно описывает
процессы формирования, эволюцию и отрыв под-
ковообразных вихревых структур, а также некото-
рые вторичные эффекты (например, перенос жид-
кости через центральную часть подковообразных
вихрей, зарождения и разрушения вторичных ви-
хревых структур меньшего масштаба и некоторые
другие). Однако анализ влияния параметров сдви-
гового течения на особенности эволюции одино-
чного подковообразного вихря (или пакета таких
вихревых структур, которые наблюдаются в эк-
сперименте, рис 1) до настоящего времени иссле-
дователями практически не проводился.
Цель настоящей работы – исследование механи-
змов неустойчивости ламинарного и турбулентно-
го пограничного слоев на основе моделирования
динамики вихревых структур. Объектом исследо-
вания является система подковообразных вихре-
вых структур, сформированных на плоской пла-
стине на основе данных реального эксперимента.
Подход использует начальную конфигурацию ви-
хрей, которая наблюдается в реальном экспери-
менте, и вычисляет ее эволюцию во времени. По-
следовательность подковообразных вихрей смоде-
лирована системой вихревых трубок и вложена в
невозмущенное сдвиговое течение, которое пред-
ставляет собой пограничный слой плоской пласти-
ны в эксперименте. Полученные результаты срав-
ниваются с экспериментальными данными.
28 A.A. Гуржий и др.
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
1. МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
Для достижения главной цели исследований в
настоящем разделе формируется численная мо-
дель для изучения динамики когерентных вихре-
вых структур. Подковообразные вихри представ-
ляются системой тонких вихревых трубок, про-
странственное положение которых определяется
формой подковообразных вихревых структур в ре-
альном эксперименте. Внешнее пристеночное те-
чение задается в виде невозмущенного пограни-
чного слоя, в котором развиваются вихри. Основ-
ное внимание исследований направлено на процесс
разрушения и трансформации потока в турбулен-
тный. Настоящие исследования основаны на эк-
спериментах, представленных в работах [8, 9], а
полученные результаты сравниваются с данными
прямого численного моделирования [23].
1.1. Экспериментальные данные
В переходном режиме течения жидкости погра-
ничного слоя профиль поля скорости развивается
от первоначально гладкого ламинарного распре-
деления к заключительному, турбулентному про-
филю скорости. В экспериментах можно наблю-
дать устойчивые трехмерные возмущения в пере-
ходной области потока. Они могут быть описаны
как Λ-образные (или подковообразные) вихри. Та-
кие вихревые структуры направлены по течению
(часто их называют вихрями K-типа), иногда вих-
ри образуют ступенчатые структуры вниз по те-
чению (говорят, система вихрей H-типа), часто в
эксперименте наблюдается их комбинация в зави-
симости от возбужденных резонансных мод. Эк-
спериментальные исследования показывают, что
в достаточно широком диапазоне параметров те-
чения наклон плоскости подковообразных вихре-
вых структур к твердой поверхности (угол склоне-
ния) составляет величину порядка 45◦, в то время
как склонение пакета (прямая, проведенная через
точки вихрей, максимально удаленные от твердой
поверхности) лежит в достаточно широких преде-
лах, (5 ... 30)◦ (см., например [20, 34, 35]).
Схематический вид экспериментальной установ-
ки показан на рис. 2. Опыты [9, 10] проводи-
лись при обтекании потоком воздуха со скоростью
U∞ = 9.18 м/с плоской пластинки. Начальные во-
змущения, вносимые в исследуемый поток, гене-
рировались тонкой резиновой лентой, помещенной
на расстоянии x=250 мм от края пластинки. Ча-
стота колебаний ленты в эксперименте составила
Рис. 2. Схема экспериментальной установки для
генерации подковообразных вихрей в эксперименте [9]
f1=96.4 Гц. Поле скорости потока над твердой по-
верхностью измерялось в области от xст=300 мм
до xфин=700 мм с помощью раскаленного прово-
дного анемометра. Амплитуда вносимых в поток
колебаний подбиралась такой, чтобы первые дете-
ктируемые амплитуды возмущений в поле скоро-
сти регистрировались на расстоянии x=430 мм от
края пластинки. Для фиксации поперечной коор-
динаты образующихся в потоке вихревых струк-
тур в эксперименте применялась система перио-
дически расположенных турбулезаторов, прикре-
пленных к возмущающей ленте.
Визуализация течения и детектирование вихре-
вых структур значительно усложняются при нало-
жении наведенного ими поля скорости на нестаци-
онарное пристеночное течение. Их суперпозиция
приводит к различной интерпретации деталей изу-
чаемого потока [38]. Подковообразные вихри явля-
ются не просто связанной областью, а имеют до-
полнительные переходные области (вихревые мо-
сты) и некоторое число обрывов. В эксперимен-
тах замечено, что возмущенный поток, имеющий
место около плоскости симметрии, может сфор-
мировать систему отдельных дискретных вихрей
с достаточно сложной структурой. В результате
процесс выделения вихревых структур в сдвиго-
вом нестационарном течении становится достаточ-
но проблематичным. В этом случае рекомендуется
применять методы сглаживания и интерполяции
[38], которые позволяют выделять из поля зави-
хренности области, изначально принадлежавшие
исследуемой вихревой структуре. Один из приме-
ров выделения вихря из потока над плоской пла-
стинкой из результатов эксперимента представлен
на рис. 3, на котором пространственные коорди-
наты пронормированы на толщину пограничного
A.A. Гуржий и др. 29
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Рис. 3. Пример выделения подковообразного вихря из
экспериментальных данных распределения поля
скорости в пограничном слое над пластинкой
слоя δ в головной части вихря.
1.2. α-модель тонкой вихревой трубки
Один из подходов, который часто используе-
тся при численном моделировании динамики вих-
ревых структур, основан на представлении про-
странственного положения реального вихря с ко-
нечным поперечным сечением в виде бесконечно
тонкой вихревой трубки, или вихревой нити [20,
39]. Из условия конечности циркуляции в пределах
бесконечно маленького поперечного сечения вихря
(ядра вихря) следует, что завихренность имеет бес-
конечную величину. В этом случае поле завихрен-
ности вдоль пространственной кривой C, которая
описывает положение вихря, может быть пред-
ставлено выражением
ω(x) = Γ
∫
C
δ
[
x − r(ξ)
] ∂r
∂ξ′
dξ′ , (1)
где r = r(ξ) – радиус-вектор текущей точки вихря,
который является функцией длины образующей ξ′
вихря от произвольно выбранной начальной точки
(маркера); δ-функция Дирака; Γ – интенсивность
вихревой нити,
Γ =
∫
S
ω · dS = const , (2)
S – площадь поперечного сечения вихря, dS =
= dS · n, n – единичная нормаль к поперечному
сечению вихря. В рамках модели идеальной не-
сжимаемой жидкости циркуляция вихря остается
величиной неизменной [2, 40].
Вычисление поля скорости, наведенного вихрем
в безграничной среде, основано на интегрировании
закона Био-Савара
u(x, t) = −
1
4π
∫
[
x− r(ξ′)
]
×
∂r
∂ξ′
|x− x′|3
dξ′ + ∇φ , (3)
где φ – потенциал скорости, определяющий рас-
пределение поля скорости, накладываемого вне-
шним сдвиговым течением. Закон является хоро-
шим приближением для конечного ядра реальной
вихревой структуры до тех пор, пока x остается на
расстояниях, бо́льших, по сравнению с характер-
ным радиусом ядра, для любой из частей рассма-
триваемого вихря.
С вычислительной точки зрения, начальное ра-
спределение завихренности в пределах вихревой
трубки должно быть заданным. Однако беско-
нечно малая толщина вихревой нити совместно с
бесконечной завихренностью приводит к логари-
фмической особенности при вычислении самоин-
дуцированной скорости и, как следствие, к беско-
нечной скорости распространения вихревой нити.
По этой причине вихревые методы обычно исполь-
зуют такие модельные представления вихревой
трубки, в которых завихренность гладко распре-
делена в пределах конечного поперечного сечения
вихревого ядра с характерным радиусом σ [20, 39].
Вероятно, впервые Розенхед (1930) и позднее
Мур (1965) предприняли попытку усовершенство-
вания модели тонкой вихревой трубки (подробно-
сти можно найти в [41, 42]). В их подходах матема-
тическое описание нормированного распределения
завихренности вдоль вихревой трубки задается в
виде
γ
(
x − r(ξ′)
)
=
3ασ2
4π
(
|x− r(ξ′)|2 + ασ2
)5/2
(4)
с нормировкой
∫
γ
(
x − r(ξ′)
)
dx = 1 . (5)
В приведенных уравнениях x – локальная коор-
дината; r описывает пространственное положение
трубки в зависимости от значения параметра ξ′;
σ – характерный радиус ядра вихря, который рас-
сматривается как свободный параметр; α – некото-
рая константа, значение которой будет определено
позднее.
Если заменить функцию Дирака в выражении
(1) введенной ранее нормированной функцией ра-
спределения завихренности (4), то получим выра-
жение для поля завихренности в вихре, который в
30 A.A. Гуржий и др.
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
общем случае мoжет иметь произвольную форму
ω(x) = Γ
∫
C
γ
(
x − r(ξ′)
) ∂r
∂ξ′
dξ′ . (6)
Представление этих результатов известно в лите-
ратуре как приближение Розенхеда-Мура.
Если рассматриваемая система состоит из N ви-
хревых трубок, то суммирование следует прово-
дить по всем трубкам. В результате выражение
для наведенного поля скорости принимает вид
u(x, t) = −
N
∑
j=1
Γj
4π
∫
rj
[
x − r(ξ′)
]
×
∂r
∂ξ′
[
|x− rj |2 + ασ2
j
]3/2
+ ∇φ ,
(7)
где Γj – циркуляция соответствующей вихревой
трубки, j = 1, ..., N .
В предложенной модели используется допуще-
ние, что изменения в распределении завихренно-
сти тонкой вихревой трубки на малых масшта-
бах не являются существенными. Если учесть, что
размер поперечного сечения трубки мал по срав-
нению с размером вихревой структуры и с рас-
стоянием до твердой поверхности, то оказывается,
что влияние стенки не приводит к существенным
деформациям поперечного сечения вихревой труб-
ки. В этих условиях предложенная вычислитель-
ная модель находит хорошее соответствие с имею-
щимися экспериментальными данными и данными
прямого численного моделирования [41, 42].
Для сокращения вычислений в правой части
выражения (7) может быть достигнута симметрия
при замене σj на геометрическое среднее значе-
ние σij =
√
σ2
i + σ2
j для тонких вихревых трубок с
индексами i и j при определении взаимных наве-
денных компонент скорости. В этом случае полу-
чается точное выполнение закона сохранения ли-
нейного и углового импульса, а выражение для
определения наведенных компонент скорости при-
нимает следующий вид [41]:
∂ri(ξ, t)
∂t
= (8)
= −
N
∑
j=1
Γj
4π
∫
rj
[
ri − rj(ξ
′, t)
]
×
∂rj
∂ξ′
[
|ri − rj |2 + ασ2
ij
]3/2
dξ′ + +∇φ .
В приведенном выражении параметр α выбира-
ется таким, чтобы наведенные компоненты ско-
рости, вычисленные с помощью (8), совпадали с
результатами других известных модельных пред-
ставлений тонкой вихревой трубки. В частности,
в работе [41] показано, что для вихревого коль-
ца радиуса R с поперечным малым сечением σ
(σ << R) и Гауссовским распределением зави-
хренности в поперечном сечении вихревого коль-
ца, получается значение α = 0.413. Для других ра-
спределений завихренности значение α отличается
незначительно от указанной величины. В дальней-
шем предложенную в работе [41] модель вихря бу-
дем называть как α-модель вихревой трубки.
В более общем случае, радиус поперечного се-
чения вихревого ядра может меняться со време-
нем. Часто для того, чтобы сохранять полный
объем вихревой трубки при численном моделиро-
вании, дополнительно навязывают условие сохра-
нения объема вихревой трубки
d
dt
(
σ2
i Li
)
= 0 , (9)
где Li(t) – мгновенная длина сегмента рассмат-
риваемой вихревой трубки при текущем радиусе
ядра σi. Для этого случая в работе [41] было пока-
зано, что полная энергия системы вихрей сохра-
няется вплоть до того момента, когда вихревые
трубки, приближаясь друг к другу, начинают по
результатам вычислений накладываться друг на
друга.
При численном анализе динамики подковообра-
зных вихревых структур каждая тонкая вихревая
трубка моделируется трехмерной пространствен-
ной кривой ri(ξi, t), где i – номер трубки, а ξi – те-
кущая координата (длина) пространственной кри-
вой. Для реализации численного алгоритма вихри
формируются системой дискретных узловых то-
чек (часто их именуют маркерами) и в некоторых
случаях координата на вихре ξi может быть за-
менена текущим номером узла. Динамика вихря
описывается движением во времени этих узловых
точек. При необходимости пространственная кри-
вая может быть восстановлена по этим узловым
точкам в рассматриваемый момент времени.
Из представления линии системой маркеров сле-
дует, что каждая тонкая вихревая трубка мо-
жет рассматриваться как совокупность прямоли-
нейных отрезков. Поэтому скорость, наведенная
одной из трубок, является суммой наведенных
компонент скоростей всеми составляющими ви-
хревую трубку отрезками. Последующее суммиро-
вание вкладов в поле скорости, наведенное всеми
вихревыми трубками в рассматриваемой системе,
приводит к определению поля скорости в текущей
точке течения.
Поскольку отрезок вихревой трубки является
прямой линией, интеграл в (8) может быть вычис-
лен аналитически для каждого текущего отрезка
A.A. Гуржий и др. 31
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
трубки. Если n – индекс узловой точки (марке-
ра), то каждый отдельный отрезок тонкой вих-
ревой трубки может быть представлен вектором
по отношению к его начальной rj(n, t) и конечной
rj+1(n, t) точкам. В этом случае вектор направле-
ния представляет разность
l = rj(n + 1, t) − rj(n, t) (10)
и отрезок вихревой трубки может быть определен
как
rj(ξ
′) = rj(n, t) + ξ′l, 0 ≤ ξ′ ≤ 1 . (11)
Таким образом, динамика системы подковооб-
разных вихрей описывается системой обыкновен-
ных дифференциальных уравнений первого по-
рядка с соответствующими начальными условия-
ми для каждого из маркеров, которые задают про-
странственное положение тонкой вихревой труб-
ки:
∂ri(m, t)
∂t
=
= −
N
∑
j=1
Γj
4π
Nm
∑
n=1
[
1 − p
√
(1 − p)2 + λ2
+
p
q
]
×
×
[
(x − rj(n, t)) × l
]
λ2| l |3
(12)
с обозначениями
p =
l · (ri(m, t) − lj(n, t))
| l |2
,
λ2 = q2 − p2, (13)
q =
√
|ri(m, t) − rj(n, t)|2 + α(σ2
i + σ2
j )
| l |2
.
Здесь m представляет индекс маркера текущей
вихревой трубки с номером i.
Предложенная модель тонкой вихревой трубки
с точки зрения организации вычислений облада-
ет определенными преимуществами и некоторыми
недостатками по сравнению с другими методами,
используемыми в вычислительной гидродинамике
при решении аналогичных задач [24]. Прежде все-
го к достоинствам модели можно отнести:
• aналитическое интегрирование закона Био-
Савара;
• учет изменения поперечного сечения вихревой
трубки.
Среди недостатков следует указать:
• представление вихревой трубки ломаной кри-
вой;
• необходимость формирования тонкой вихре-
вой трубки большим числом маркеров.
В дальнейшем, при моделировании движе-
ния вихря над твердой поверхностью необходимо
выполнить граничные условия на плоской твердой
поверхности:
u · n|σ = 0 , (14)
где n – нормальный вектор к поверхности σ. Это
условие часто трактуется как граничное условие
непроницаемости. Несмотря на то, что оно соот-
ветствует модели идеальной жидкости, выраже-
ние (14) часто используется при моделировании
течений в вязком пограничном слое [1, 20, 22, 38].
Приведенное граничное условие можно выпол-
нить, воспользовавшись методом изображений [2,
24, 39, 44], который предусматривает отображение
рассматриваемой вихревой трубки относительно
плоской твердой поверхности, y = 0. При этом
формируется мнимый вихрь, интенсивность кото-
рого берется с противоположным знаком. В ре-
зультате рассматривается движение уже двух вих-
рей (действительного и мнимого), но в безграни-
чном пространстве. Нормальная компонента ско-
рости к твердой поверхности при y = 0 в силу сим-
метрии течения автоматически обращается в нуль.
Таким образом, наведенное поле скорости в то-
чке rj(n, t) ≡ x системой N вихрей над твердой
поверхностью во внешнем течении для α-модели
тонкой вихревой трубки определяется выражени-
ем
u(x, t) = −
N
∑
j=1
Γj
4π
Nm
∑
n=1
[
1 − p
√
(1 − p)2 + λ2
+
p
q
]
×
×
[
(x − rj(n, t)) × l
]
λ2| l |3
+ (15)
+
N
∑
j=1
Γj
4π
Nm
∑
n=1
[
1 − p?
√
(1 − p?)2 + (λ?)2
+
p?
q?
]
×
×
[
(x − r
?
j (n, t)) × l
?
]
(λ?)2| l?|3
+ ∇φ ,
где
p =
l · (x− lj(n, t))
| l |2
, p? =
l
? · (x − l
?
j (n, t))
| l?|2
,
λ2 = q2 − p2 , (λ?)2 = (q?)2 − (p?)2 , (16)
q2 =
|x− rj(n, t)|2 + α(σ2
i + σ2
j )
| l |2
,
(q?)2 =
|x− r
?
j (n, t)|2 + α(σ2
i + σ2
j )
| l?|2
,
где rj(n, t) – пространственная кривая, описыва-
ющая положение основного (реального) вихря, а
32 A.A. Гуржий и др.
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
r
?
j (n, t) – его отображение относительно твердой
поверхности, y = 0.
1.3. ε-модель тонкой вихревой трубки
В настоящих исследованиях предлагается
использовать другую модель вихревой трубки
для численного анализа динамики подковообра-
зного вихря в пограничном слое. Известно [39, 40],
что тонкая вихревая трубка оказывается наиболее
подходящей при описании поля скорости течения
в точках, удаленных от вихревых структур на
достаточно большие расстояния по сравнению с
радиусом поперечного сечения вихрей. Выраже-
ние для поля скорости, наведенного одиночной
вихревой трубкой, следует из закона Био-Савара
[2, 40]:
u(x, t) =
Γ
4π
∫
C
[
x − r(ξ′)
]
×
∂r(ξ′)
∂ξ′
dξ′
|x− r(ξ′)|3
, (17)
где интегрирование необходимо проводить вдоль
кривой C, описывающей пространственное поло-
жение вихревой трубки.
Интегралы в (17) имеют общую структуру вида
U =
∫
F (s)ds. (18)
Характерный пример изменения подынтеграль-
ной функции F (s) для текущего маркера s = 0
(здесь s – текущее расстояние до рассматривае-
мого маркера вдоль тонкой вихревой трубки) по-
казан сплошной линией на рис. 4. Видно, что
при s, стремящемся к нулю, F (s) стремится к бе-
сконечности. В результате получаем бесконечное
значение самоиндуцированной скорости для бес-
конечно тонкой вихревой нити. Упомянутая ра-
нее α-модель устраняет эту сингулярность посред-
ством введения в знаменатель выражения (8) ма-
лой величины ασ2
ij. В этом случае в подынтеграль-
ной функции устраняется сингулярность (штрих-
пунктирная линия на рис. 4). Штриховкой на ри-
сунке показана площадь, численное значение ко-
торой равно величине самоиндуцированной скоро-
сти, наведенной отрезком тонкой вихревой трубки.
Заметим, что на больших расстояниях от рассма-
триваемого участка вихря, σ << |r−r
′|, слагаемое
ασ2
ij в (8) существенного влияния на результат не
оказывает.
В настоящих исследованиях динамики вихре-
вых структур в пограничном слое предлагае-
тся другой способ преодоления сингулярности
Рис. 4. Интегрирование выражений закона
Био-Савара в различных модельных представлениях
тонких вихревых структур
при интегрировании закона Био-Савара. Основ-
ная идея заключается во введении вдоль тонкой
вихревой трубки некоторой ±ε-окрестности, окру-
жающей каждый маркер с обеих сторон (см. рис.
4). Вклад в поле скорости исследуемого марке-
ра вносят все участки трубки s, за исключени-
ем ε-окрестности. Площадь под кривой F (s), ко-
торая определяет значение самоиндуцированной
скорости, также показана штриховкой на рисун-
ке. В дальнейшем это модельное представление
вихря будем условно называть ε-моделью вихре-
вой трубки.
Рассматриваемая ε-модель допускает увеличе-
ние порядка интерполяции кривых для опреде-
ления расстояний между маркерами, на основе
которых формируется аргумент подынтегральной
функции в выражении (18). Интерполяцию тон-
кой вихревой трубки можно проводить сегмента-
ми окружностей, которые формируются с помо-
щью трех близлежащих маркеров [43], включая
текущий. В результате, расстояния между марке-
рами будут определяться с большей точностью по
сравнению с α-моделью (11), в которой отрезки ви-
хревой трубки интерполируются прямолинейными
отрезками. Как и для ε-модели, при определения
самоиндуцированной скорости u(x, t) необходимо
проводить суммирование вкладов всех фрагмен-
тов, формирующих рассматриваемую тонкую ви-
хревую трубку.
С вычислительной точки зрения ε-модель вих-
ревой трубки обладает определенными преимуще-
ствами по сравнению с α-моделью и другими чи-
A.A. Гуржий и др. 33
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
сленными методами [24]. К достоинствам ε-модели
вихревой трубки можно отнести:
• возможность применения численного интег-
рирования к выражениям для компонент по-
ля скорости, используя формулы различного
порядка,
• учет поперечного сечения вихревой трубки,
• представление тонкой вихревой трубки плав-
ной пространственной кривой,
• пространственное описание вихревой трубки
меньшим числом маркеров.
К явным недостаткам модели следует отнести:
• большой объем вычислений при увеличении
порядка интерполяционных формул при ин-
тегрировании выражений для компонент поля
скорости.
В дальнейшем, при моделировании движения
вихря над твердой поверхностью, необходимо
выполнить граничное условие (14) на твердой по-
верхности. Применяя метод изображения, форми-
руем мнимый вихрь, интенсивность которого при-
нимается равной по модулю, но с противополо-
жным знаком. Таким образом, наведенное поле
скорости системой N вихрей в точке с координа-
тами x над твердой поверхностью во внешнем те-
чении для ε-модели тонкой вихревой трубки опре-
деляется выражением
u(x, t) = −
N
∑
j=1
1
4π
∫
Lj
Γj(ξ
′) (x− r) ×
∂r
∂ξ′
dξ′
{
|x− rj |2 + ασ2
j
}3/2
+
+
N
∑
j=1
1
4π
∫
L?
j
Γj(ξ
′) (x − r
?) ×
∂r
?
∂ξ′
dξ′
{
|x− r?
j |
2 + ασ2
j
}3/2
+ ∇φ, (19)
где r(ξ), r
?(ξ) – пространственные кривые, опи-
сывающие положение действительного и мнимого
вихрей соответственно. Заметим, что введение пе-
ременной циркуляции вихревой трубки Γj(ξ′) под
знак интеграла позволяет модели учитывать рас-
пределение циркуляции вихревой трубки вдоль ее
образующей.
2. ТЕСТИРОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ
Рассматриваемые модели для описания движе-
ния вихрей над твердой поверхностью в сдвиго-
вом внешнем течении имеют по одному неизве-
стному параметру α или ε соответственно, числен-
ное значение которых можно определить, сравни-
вая самоиндуцированные скорости тонких вихре-
вых трубок со значением соответствующих ско-
ростей (аналитических, по-возможности, выраже-
ний) вихревых структур при различных значени-
ях поперечного сечения σ вихрей. Такой вихре-
вой структурой является осесимметричное вихре-
вое кольцо с малым, но конечным поперечным се-
чением в идеальной безграничной несжимаемой
жидкости, так называемое вихревое кольцо Дай-
сона [45].
2.1. Вихревое кольцо Дайсона
Рассмотрим осесимметричное вихревое кольцо
в виде тонкого тора радиуса R, двигающегося в
безграничной идеальной жидкости, спокойной на
бесконечности. Пусть завихренность распределе-
на равномерно внутри вихревого ядра (без азиму-
тальной закрутки) радиуса a (a/R � 1) с интен-
сивностью Γ. Такое изолированное вихревое коль-
цо движется стационарно, без изменения размеров
и формы, в соответствии с самоиндуцированной
скоростью, направленной нормально к плоскости
кольца [40, 46]:
Uc =
Γ
4πR
(
ln
8R
a
−
1
4
)
+ O
( a
R
)2
. (20)
Рассмотрим взаимодействие двух одинаковых в
начальный момент вихревых колец, двигающихся
вдоль общей оси симметрии. На динамику каждо-
го кольца оказывает влияние поле скорости, наве-
денное со стороны другого вихревого кольца. Дай-
сон [45] получил уравнения движения для двух
тонких осесимметричных вихревых колец в иде-
альной безграничной жидкости. При анализе он
предполагал, что ядра вихревых колец при взаи-
модействии не деформируются, остаются круго-
выми в поперечном сечении, тонкими по сравне-
нию с радиусами колец и не пересекаются с тече-
нием времени. Эти условия выполняются только
в том случае, если расстояния между ядрами вих-
ревых колец остаются большими по сравнению с
размерами самих ядер.
Уравнения движения двух вихревых колец с ин-
тенсивностями Γ1 и Γ2, которые описывают изме-
нение радиусов колец R1, R2 и осевых положений
Z1 и Z2, могут быть представлены в виде [44, 45,
47]:
Ṙ1 =
Γ2Z12
2πR1Rmax
(
W(k) −
2R1R2E(k)
R2
min
)
,
Ṙ2 =
−Γ1Z12
2πR2Rmax
(
W(k) −
2R1R2E(k)
R2
min
)
,
34 A.A. Гуржий и др.
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Ż1 =
Γ1
4πR1
(
ln
8R1
a1
−
1
4
)
+
Γ2
2πRmax
×
×
(
W(k) −
2R2(R1 − R2)E(k)
R2
min
)
, (21)
Ż2 =
Γ2
4πR2
(
ln
8R2
a2
−
1
4
)
+
Γ1
2πRmax
×
×
(
W(k) −
2R1(R2 − R1)E(k)
R2
min
)
,
где
R2
max = Z2
12 + (R1 + R2)
2, Z12 = Z1 − Z2,
R2
min = Z2
12 + (R1 − R2)
2, k2 =
4R1R2
R2
max
,
W(k) = K(k) −E(k).
Здесь K(k) и E(k) – полные эллиптические интег-
ралы первого и второго рода соответственно. Сис-
тема уравнений (21) должна вычисляться сов-
местно с условием постоянства объема вихревых
ядер
a2
1R1 = const, a2
2R2 = const. (22)
Можно показать, что система уравнений (21)
имеет два независимых инварианта движения
Pz = P1 + P2 = Γ1R
2
1 + Γ2R
2
2 = const, (23)
Etot = E1 + E2 + E1−2 =
=
Γ2
1R1
2
(
ln
8R1
a1
−
7
4
)
+
Γ2
2R2
2
(
ln
8R2
a2
−
7
4
)
+
+Γ1Γ2
√
R1R2
[
2
k
W(k) − kK(k)
]
= const, (24)
которые выражают законы сохранения импульса
вдоль оси симметрии и кинетической энергии по-
ля течения, соответственно. Общая энергия Etot
состоит из кинетической энергии изолированных
вихревых колец E1, E2 и слагаемого E1−2, выра-
жающего энергию взаимодействия двух вихревых
колец. При интегрировании уравнений движения
инварианты (23) и (24) используются для контро-
ля точности проведенных вычислений.
Теперь рассмотрим тонкую вихревую трубку в
виде кольца радиуса R с постоянным распреде-
лением интенсивности Γ вдоль образующей коль-
ца. Для точного определения значения компонент
скорости, наведенной двумя кольцами, в рамках
α-модели необходимо неограниченно увеличивать
число маркеров, N → ∞. Тогда, при условии
φ = 0, интегрирование уравнений (7) вдоль окру-
жности радиуса R приводит к следующему выра-
жению для осевой компоненты самоиндуцирован-
ной скорости одиночного вихревого кольца:
U (c)
α =
Γk
4πR
[
K(k?) − E(k?)
]
, (25)
(k?)2 =
4R2
4R2 + ασ2
.
В то же время, применение ε-модели к тонко-
му вихревому кольцу с аналогичными парамет-
рами приводит к следующему выражению для са-
моиндуцированной скорости одиночного вихрево-
го кольца:
U (c)
ε =
Γ
4πR
ln
(
4R
ε
)
. (26)
Приравнивая выражения (25) и (26) со значе-
нием самоиндуцированной скорости одиночного
кольца (21), получаем зависимость параметров α
и ε от радиуса a поперечного сечения вихревого
кольца Дайсона. Для α-модели α ≈ 0.223 в доста-
точно широком диапазоне толщин вихревого коль-
ца 0 < a/R < 0.2. Зависимость ε(a) представляет
собой в первом приближении линейную функцию
ε ≈
exp(1/4)
2
a
R
= 0.642
a
R
, при
a
R
→ 0. (27)
Полученные зависимости будут использоваться
в выражениях (15), (16) для α-модели и в (19) для
ε-модели в дальнейшем при тестировании моде-
лей для описания динамики взаимодействия двух
тонких вихревых колец и при анализе процессов
взаимодействия подковообразных вихрей с твер-
дой поверхностью в сдвиговом потоке.
2.2. Сравнение самоиндуцированной
скорости вихревых колец
Рассмотрим зависимость ошибки при вычисле-
нии самоиндуцированной скорости одиночного
тонкого вихревого кольца от числа маркеров N ,
формирующих вихрь для обеих моделей. Началь-
ное расстояние между маркерами принимаем оди-
наковым. Точное значение U (c) самоиндуцирован-
ной скорости определяется выражением (20), а
ошибку в вычислении скоростей установим разно-
стью значений
Errст = |U (c) − U (c)
мод|, (28)
где U
(c)
мод – значение осевой скорости, полученное
при использовании выражения (12) для α-модели
или выражения (17) для ε-модели.
На рис. 5 представлены ошибки вычисления са-
моиндуцированной скорости одиночного вихрево-
го кольца с поперечным сечением a = 0.05 для
рассматриваемых моделей в зависимости от чис-
ла маркеров N , формирующих кольцо. Сплошной
A.A. Гуржий и др. 35
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Рис. 5. Ошибки вычисления самоиндуцированной
скорости для одиночного вихревого кольца толщиной
a = 0.05 при разном числе маркеров обоих численных
моделей
Рис. 6. Траектории движения двух осесимметричных
вихревых колец в идеальной безграничной среде
(модель Дайсона)
линией на рисунке представлена ошибка Errст, во-
зникающая при использовании конечного числа
маркеров в вихревом кольце для α-модели. Видно,
что увеличение числа маркеров в нити уменьшает
ошибку при определении значения скорости коль-
ца.
Аналогичные оценки точности вычислений са-
моиндуцированной скорости вихревого кольца для
ε-модели представлены на рис. 5 штриховыми ли-
ниями. Кривая, обозначенная ε2, получена при ин-
тегрировании выражений (17) численными мето-
Рис. 7. Ошибка в определении траектории первого
вихревого кольца различными моделями при
взаимодействии двух осесимметричных вихревых
колец в безграничной среде
дами второго порядка. Кривая, обозначенная ε4,
получена при использовании численных методов
четвертого порядка, а кривая ε6 – методов шесто-
го порядка. Во всех случаях значения необходи-
мых производных находились численно с исполь-
зованием методов аналогичного порядка [43, 48].
Видно, что увеличение числа маркеров, формиру-
ющих кольцо, приводит к более точному определе-
нию самоиндуцированной скорости (при N → ∞
оба метода дают точные результаты), равно как
и увеличение порядка используемого численного
метода. В верхней части рисунка нанесена шкала
расстояний между маркерами ∆s, которая опре-
деляется числом маркеров N при формировании
вихревого кольца.
Сравнение результатов показывает, что вели-
чина самоиндуцированной скорости изолирован-
ного вихревого кольца более точно определяется
у ε-модели. Например, для вычисления скорости
с точностью до двух значащих цифр, α-модель
требует использования 200 маркеров, в то время
как для ε2-модели достаточно 100 маркеров. Для
достижения аналогичной точности для ε6-модели
можно использовать всего 40 маркеров, что суще-
ственно сокращает объем вычислений.
2.3. Сравнение траекторий движения
двух вихревых колец
Теперь рассмотрим точность вычисления трае-
кторий взаимодействия двух одинаковых вихре-
36 A.A. Гуржий и др.
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Рис. 8. Составляющие ошибки Errдин при
определении траектории движения двух
осесимметричных колец и неизменном числе
маркеров, формирующих вихревое кольцо
вых колец в безграничной жидкости, используя
α- и ε-модели. Пусть два вихревых кольца с ра-
диусами R0
1 = R0
2 = R = 1.0, с интенсивностя-
ми Γ1 = Γ1 = 1.0 и с поперечными сечениями
a0
1 = a0
2 = 0.05R расположены на оси симметрии
в точках с координатами Z0
1 = 0.0 и Z0
2 = 1.0 в
цилиндрической системе координат (r, φ, z).
Траектории движения колец представлены на
рис. 6. Вихри движутся в сторону положительных
значений оси oz. Сплошной линией представлена
траектория первого (заднего) вихревого кольца, а
штриховой – второго (переднего). Кружочками с
соответствующими цифрами на рисунке обозначе-
ны положения колец через одинаковые промежу-
тки времени, ∆t = 2.0. При взаимодействии пе-
реднее вихревое кольцо начинает замедляться и
увеличивать свой радиус, в то время как заднее
кольцо ускоряется и уменьшает свой радиус. За-
тем заднее вихревое кольцо проскакивает сквозь
переднее, и кольца меняются “названиями”. Теперь
переднее кольцо замедляется и увеличивает свой
радиус, а заднее, наоборот, уменьшает свой ради-
ус и ускоряется. Такое периодическое взаимодей-
ствие получило название “чехарда” вихревых ко-
лец, и в рамках идеальной жидкости это взаимо-
действие продолжается неограниченно долго [44,
45, 47].
Периодическое взаимодействие вихревых колец
Дайсона может быть смоделировано с использова-
нием α- и ε-моделей. При сравнении моделей будем
следить за изменением ошибки в определении ко-
ординат первого вихревого кольца с течением вре-
Рис. 9. Составляющие ошибки Errдин при
определении траектории движения двух
осесимметричных колец и переменном числе
маркеров, формирующих вихревое кольцо
мени. Пространственное положение вихря можно
определить как
ρ(t) =
√
R2
1(t) + Z2
1 (t), (29)
где R1(t) – радиус кольца, равный расстоянию от
любого из маркеров в кольце (например первого)
до оси симметрии; Z1(t) – осевое положение пер-
вого вихревого кольца. Тогда величину ошибки в
вычислениях координат можно оценить, вычисляя
значение
Errдин(t) = |ρ(t) − ρмод(t)|, (30)
где ρ(t) – пространственное положение вихрей
в текущий момент времени для точного реше-
ния (вихревые кольца Дайсона); ρмод(t) – соответ-
ствующее значение пространственного положения
(29), полученного при использовании α- или ε-
моделей.
На рис. 7 представлены ошибки при вычислении
пространственного положения первого вихревого
кольца с течением времени. Рассматривается слу-
чай N = 250, где N – количество маркеров, фор-
мирующих вихревые кольца для обеих моделей.
Ошибка Errдин в определении пространственно-
го положения кольца для α-модели нанесена спло-
шной линией, а для ε-модели – штриховыми лини-
ями с использованием численных методов второго
и четвертого порядков.
Видно, что представление вихревого кольца сис-
темой N = 250 маркеров отслеживает траекторию
взаимодействия вихревых колец для α-модели с
A.A. Гуржий и др. 37
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
точностью до одного знака. Применение ε-модели
с использованием численных процедур второго
порядка не увеличивает существенно точность в
определении траектории кольца. Однако увели-
чение порядка (до четвертого) численных схем
позволяет вычислять траектории взаимодействия
вихревых колец с точностью до двух знаков в рас-
сматриваемом временном диапазоне.
При взаимодействии вихрей с твердой по-
верхностью вихревые нити подвергаются растя-
жению. Для уменьшения вычислительных оши-
бок, связанных с растяжением вихревых нитей
в работе используется метод кусочной сплайн-
интерполяции, который позволяет на каждом вре-
менном шаге интегрирования уравнений движе-
ния определять координаты дополнительных мар-
керов на образующей вихревой трубки [49, 50]. В
качестве параметра кривой, который описывает
пространственное положение системы маркеров,
используется длина вихревой нити от произвольно
выбранного первого маркера. Каждый раз все ко-
ординаты маркеров описываются интерполяцион-
ной формулой и при необходимости вычисляются
координаты дополнительных маркеров с прибли-
зительно равномерным их распределением вдоль
образующей исследуемой вихревой нити. Обычно
координаты первого и последнего маркеров при
описании замкнутой кривой совпадают. В то же
время, если расстояние между маркерами мень-
ше некоторого критического значения, метод кусо-
чной сплайн-интерполяции позволяет сокращать
количество маркеров при формировании образу-
ющей вихря, сокращая при этом общий объем вы-
числений.
На рис. 8 показаны составляющие ошиб-
ки Errдин (30) в определении траектории пер-
вого вихря, которые получаются при числен-
ном интегрировании уравнений движения систе-
мы двух вихрей, сформированных неизменным ко-
личеством маркеров. Рассматривается случай N =
37, в вычислениях применяется ε6-модель. Спло-
шной линией показана ошибка в вычислениях осе-
вой координаты первого маркера Z1, а штриховой
– ошибка в определении расстояния от этого мар-
кера до оси симметрии R1. Видно, что на рассма-
триваемом временном интервале точность опреде-
ления обеих координат составляет порядка трех
знаков.
На рис. 9 показаны составляющие ошибки
Errдин в определении координат первого вихря
при использовании переменного количества мар-
керов. На начальной стадии движения, пока пер-
вое вихревое кольцо уменьшает свой собственный
радиус, количество маркеров, используемых при
Рис. 10. Модельное представление подковообразного
вихря тонкой вихревой нитью
Рис. 11. Динамика развития подковообразного вихря
над твердой поверхностью (эксперимент)
описании пространственного положения кольца,
составляет N = 37. В тот момент, когда коль-
цо увеличивает свой радиус, количество маркеров,
необходимых для описания вихря, увеличивается
до N = 73. Затем, в силу периодичности движе-
ния, вихрь снова уменьшает свой радиус, количе-
ство необходимых маркеров снова уменьшается до
N = 37. Важно отметить, что применение пере-
менного количества маркеров улучшает точность
численного решения задачи примерно на порядок.
38 A.A. Гуржий и др.
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Табл 1. Нормированные начальные данные
Название Обозначение Значение
Форма вихревой трубки r(s) из эксперимента
Распределение интенсивности Γ(s) из эксперимента
Распределение толщины вихря a(s) из эксперимента
Толщина пограничного слоя δ 0.5 < ∆ < 1.5
Скорость внешнего течения U0 5.0 < U0 < 6.0
Профиль внешнего течения γ 0.15 < γ < 0.6
Временной интервал t t < 4.0
Поэтому есть основания полагать, что применение
вычислений с переменным числом маркеров су-
щественно улучшит точность вычисления динами-
ки системы подковообразных вихрей, которые по-
двергаются растяжению в сдвиговом течении над
твердой поверхностью.
3. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ
Исследования в этом разделе направлены на
выявление основных особенностей и закономерно-
стей движения подковообразных вихрей в сдвиго-
вом течении над плоской твердой поверхностью.
При проведении численного эксперимента в каче-
стве начальных параметров вихрей принимаются
данные, полученные из экспериментов [9, 10]. Вих-
ри помещаются в невозмущенный сдвиговый ла-
минарный поток жидкости с начальным профи-
лем, полученным также из данных реального эк-
сперимента. В дальнейшем систему подковообра-
зных вихрей представляют системой тонких ви-
хревых трубок и в расчетах используют ε6-модель
с переменным числом маркеров, которая показа-
ла наилучшие результаты при проведении стати-
ческого и динамического тестирований.
Рис. 12. Усредненный профиль скорости в
пограничном слое (эксперимент)
3.1. Исходные данные
Применение процедур сглаживания и интерпо-
ляции экспериментальных данных, а также отсле-
живание предыстории развития вихря позволяют
выделять вихревые структуры из распределения
поля скорости в погранслое. В определенный мо-
мент вихри приобретают форму гладкой шпильки
(рис. 10, a) и значительно растянуты в направ-
лении потока (ось ox). Экспериментальные дан-
ные показывают, что основная часть завихренно-
сти подковообразного вихря сосредоточена в его
головной части, а поперечное сечение вихря оста-
ется практически неизменным вдоль его образую-
щей.
Пример представления подковообразного вихря
тонкой вихревой нитью показан на рис. 10, б. В
дальнейшем будем нумеровать маркеры, начиная
от маркера, который находится в головной части и
является наиболее удаленным от твердой поверх-
ности. Этот маркер отмечен на рисунке значением
s = 0. Вихрь имеет длину порядка (25–30) мм, под-
кова у основания раздвинута на расстояние поряд-
ка (8–10) мм. Головная часть имеет радиус криви-
зны порядка (2.0–2.5) мм при максимальном уда-
лении (2.0–3.0) мм от твердой поверхности [9, 23,
38].
Система подковообразных вихрей (вихревой па-
кет) проявляет довольно быстрое развитие во вре-
мени. На рис. 11 показано пространственное поло-
жение вихрей, полученное по результатам прямого
численного моделирования [23] по данным экспе-
риментов [10, 51]. Моменты времени, соответству-
ющие рисункам с индексами “а” и “б”, отличаются
всего на ∆t ≈ 0.001 с. Исследования показали, что
за достаточно короткий промежуток времени (по-
рядка 0.01 c) головная часть вихря (точка s = 0
на рис. 10, б) быстро удаляется от поверхности, с
расстояния 5.0 до 6.0 мм.
Подковообразные вихревые структуры развива-
ются в пограничном слое в сдвиговом воздушном
A.A. Гуржий и др. 39
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Рис. 13. Начальные конфигурации и распределение завихренности вдоль вихревых трубок
при численном эксперименте:
a, б – деформированное вихревое кольцо, в, г – подковообразное вихревое кольцо
потоке. Усредненный профиль скорости, получен-
ный из данных эксперимента на срезах с коорди-
натами x=410 мм и x=460 мм от края пластины
при скорости набегающего потока U0=9200 мм/c,
приведен на рис. 12. Важно отметить, что приве-
денный профиль скорости в эксперименте меня-
ется незначительно в пределах рассматриваемой
области течения.
Для последующего анализа задачи все параме-
тры необходимо обезразмерить. В качестве основ-
ных обезразмеривающих параметров выбираем:
• D = 5 мм – диаметр головной части подково-
образного вихря,
• Γ=-8200 мм2/c – интенсивность завихренности
в головной части вихря.
Далее все геометрические величины L относим к
D, скорость U пронормируем на отношение D/|Γ|,
а время t относим к величине |Γ|/D2.
Таким образом, начальными исходными дан-
ными для численного моделирования являются:
начальная форма вихревой трубки r(s), распреде-
ление интенсивности Γ(s) и поперечного сечения
a(s) вдоль подковообразного вихря, толщина δ и
профиль Ux(y) скорости в пограничном слое, вре-
менной диапазон исследований. Диапазон значе-
ний используемых в дальнейшем начальных исхо-
дных данных приведен в табл. 1.
В дополнение отметим, что число Рейнольдса по
отношению к толщине пограничного слоя δ в эк-
сперименте лежит в диапазоне
Re =
U0δ
ν
≈ (0.8 ... 2.5) · 103 , (31)
где ν – кинематическая вязкость воздуха.
Нормированное распределение скорости вне-
шнего невозмущенного потока вдоль плоской
пластины принимаем в виде
Ux(y) = U0
(y
δ
)γ
, (32)
где U0 – скорость набегающего потока вдали от
поверхности; γ – коэффициент, описывающий кру-
тизну изменения профиля скорости в пограничном
40 A.A. Гуржий и др.
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Рис. 14. Движение деформированного вихревого кольца над твердой поверхностью в сдвиговом течении:
δ = 1.1, U0 = 5.7, γ = 0.5
слое. Значение γ = 0.5 соответствует ламинарному
течению, а γ ≈ 0.15 описывает в первом приближе-
нии профиль турбулентного пограничного слоя.
3.2. Одиночный вихрь над твердой
поверхностью
Как отмечено ранее, выявить начальное рас-
пределение завихренности, особенно в хвостовой
части подковообразного вихря (наиболее прибли-
женной к твердой поверхности), оказывается до-
статочно сложно. Поэтому в качестве начально-
го распределения рассмотрим две разные конфи-
гурации вихрей, пространственное распределение
параметров которого ближе всего соответствует
данным эксперимента. На рис. 13, a показано де-
формированное вихревое кольцо. Внешняя, наибо-
лее удаленная часть кольца, обладает единичной
нормированной завихренностью, Γ = 1.0, в то вре-
мя как нижняя часть, наиболее близкая к поверх-
ности, имеет интенсивность Γ1 = 0.1Γ. Распреде-
ление интенсивности такого кольца показано на
рис. 13, б. При анализе распределения интенсив-
ности вдоль кольца следует обратить внимание на
переходную область BC, в которой интенсивность
завихренности меняется от значения Γ в верхней
части кольца до значения Γ0, которое по моду-
лю на порядок меньше интенсивности кольца в
верхней части. Пусть в первом приближении на-
чальное распределение толщины вихревого коль-
ца остается неизменным, a(s) = 0.05. В этом слу-
чае закон изменения Γ(s) вдоль вихря наиболее
точно отражает распределение завихренности под-
ковообразного вихря вдоль образующей вихревого
кольца.
Другое нормированное начальное распределе-
A.A. Гуржий и др. 41
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Рис. 15. Подковообразное вихревое кольцо над твердой поверхностью в сдвиговом течении:
δ = 1.1, U0 = 5.7, γ = 0.5
ние параметров подковообразного вихря представ-
лено на рис. 13, в. В начальный момент времени
вихрь имеет плоскую структуру, форма которой
имеет вид подковы. Верхняя часть имеет интен-
сивность Γ = 1.0 и характерную нормированную
ширину D = 1.0. Нижняя часть вихря замыкается
“под поверхностью”, здесь интенсивность вихревой
трубки равна нулю1. Как и в предыдущем слу-
чае, промежуточная область BC имеет перемен-
ную интенсивность завихренности (рис. 13, г), ко-
торая достигает нулевого значения на твердой по-
верхности. Начальное распределение толщины ви-
хревой нити также принимаем неизменным, a(s) =
0.05.
1При численном моделировании удобно пользоваться
замкнутыми вихревыми трубками. Поскольку интенсив-
ность этой части подковообразного вихря равна нулю, то
присутствие вихря “под плоскостью” не оказывает влияния
на эволюцию верхней части подковообразного вихря.
Динамика взаимодействия деформированного
вихревого кольца над твердой поверхностью в
сдвиговом течении представлена на рис. 14 при
следующих параметрах внешнего течения: δ = 1.1,
U0 = 5.7, γ = 0.5. Положение вихря в момент вре-
мени t = 0 показано на рисунке с индексом “а”.
На начальной стадии вихрь под действием сдви-
гового внешнего течения подвергается растяже-
нию и удлиняется в направлении потока (рисунки
с индексами “б” и “в”). При этом головная часть
вихря, которая обладает наибольшей интенсивно-
стью, оказывается на большем расстоянии от по-
верхности по сравнению с формирующейся хво-
стовой частью. К моменту времени t = 2.0 (рис. 14,
г) головная часть вихря увеличивается в размерах
и трансформируется в характерную для подково-
образных вихрей кольцевую структуру.
В дальнейшем вихревая структура достаточ-
42 A.A. Гуржий и др.
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Рис. 16. Динамика одиночного подковообразного
вихря (по данным эксперимента)
Рис. 17. Изменение интенсивности одиночной
подковообразной вихревой структуры вдоль линии
вихря (эксперимент)
Рис. 18. Изменение интенсивности одиночной
подковообразной вихревой структуры вдоль линии
вихря (моделирование)
но интенсивно сносится потоком и отдаляется от
твердой поверхности. Несмотря на сильное рас-
тяжение, кормовая часть подковообразного вихря,
интенсивность которой остается наименьшей в ви-
хревой структуре, взаимодействуют с твердой по-
верхностью значительно медленнее. Заметим, что
общая тенденция развития подковообразного ви-
хря качественно совпадает с данными эксперимен-
та (см. рис. 11). Динамика движения самой уда-
Рис. 19. Изменение толщины одиночной
подковообразной вихревой структуры вдоль линии
вихря (эксперимент)
Рис. 20. Изменение толщины одиночной
подковообразной вихревой структуры вдоль линии
вихря (моделирование)
ленной точки деформированного вихревого коль-
ца по отношению к поверхности показана на рис.
14, e. Кружочками отмечены положения самого
удаленного маркера через эквидистантные момен-
ты времени, ∆t = 0.5. Анализ данных численно-
го эксперимента показывает, что угол склонения
головной части вихря над твердой поверхностью
составляет величину Θ = 5◦25′.
Аналогичные особенности развития подковооб-
разного вихря можно проследить на рис. 15. Па-
раметры внешнего течения над твердой поверхно-
стью выбираем аналогичными: δ = 1.1, U0 = 5.7,
γ = 0.5. Начальное положение вихря показано на
рис. 15, a. В рассматриваемом случае основания
шпилек практически не двигаются, в то время как
головная часть вихря проявляет почти аналогич-
ный сценарий движения, формируя угол склоне-
ния Θ = 4o30′ над твердой поверхностью, несколь-
ко меньший по сравнению с деформированным ви-
хревым кольцом (рис. 15, e).
A.A. Гуржий и др. 43
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Анализ экспериментальных данных показывает,
что головная часть подковообразных вихрей до-
статочно быстро формирует кольцевую структу-
ру (рис. 16, a), которая движется практически с
постоянной скоростью в направлении от твердой
поверхности, формируя угол склонения над пло-
скостью порядка Θ = 6.0o. Отметим хорошее ко-
личественное совпадение углов склонения в экспе-
рименте и при численном моделировании.
На рис. 17 представлены распределения завих-
ренности и циркуляции подковообразного вихря,
полученные из данных эксперимента. Видно, что
наибольшей по модулю циркуляцией обладает го-
ловная часть вихря, а циркуляция в опорах по-
степенно уменьшается от головной части к кор-
мовой. Аналогичная тенденция прослеживается в
численном эксперименте (рис. 18), однако длина
опор подковообразных вихрей здесь оказывается
несколько меньшей по сравнению с эксперимен-
тальными данными.
Интересно отметить качественное совпадение
распределения толщины поперечного сечения под-
ковообразных вихревых структур в реальном эк-
сперименте (рис. 19) и при численном моделиро-
вании (рис. 20). Головная часть вихря обладает
наибольшим поперечным сечением. Это означает,
что головная часть вихря растягивается меньше
по сравнению с опорами подковообразных вихрей.
Очевидно по этой причине возникают наиболь-
шие трудности при идентификации в эксперимен-
те опор вихрей около поверхности, как это отме-
чено в работах [20, 31, 34].
Рассмотрим влияние параметров внешнего по-
тока на значение угла склонения подковообразно-
го вихря. На рис. 21, a показана зависимость угла
склонения от толщины пограничного слоя для раз-
личных значений скорости течения ламинарного
пограничного слоя, γ = 0.5. Видно, что с увеличе-
нием толщины пограничного слоя угол склонения
вихря увеличивается. Интересно, что эта тенден-
ция сохраняется при различных значениях скоро-
сти внешнего потока в пределах U0 = 5.0 ... 6.0.
На рис. 21,б показана аналогичная зависимость
для различных значений скорости внешнего по-
тока при фиксированной толщине пограничного
слоя. Анализ данных позволяет заключить, что
значение скорости внешнего потока не оказыва-
ет существенного влияния на образующийся угол
склонения подковообразного вихря над твердой
поверхностью, хотя в целом наблюдается тенден-
ция уменьшения значения угла с увеличением ско-
рости для достаточно широкого диапазона значе-
ний толщин пограничного слоя.
Наконец, рис. 21, в иллюстрирует зависимость
угла склонения вихрей в зависимости от типа про-
филя скорости в пограничном слое при фиксиро-
ванном значении его толщины, δ = 1.1. Вихри в
ламинарных течениях (при γ ≈ 0.5) удаляются от
поверхности быстрее, чем вихри в турбулентных
профилях пограничного слоя (при γ < 0.2). В це-
лом, эта тенденция сохраняется при различных
значениях скорости внешнего потока U0.
3.3. Два вихря над твердой поверхностью
Проанализируем взаимодействие двух подково-
образных вихрей в невозмущенном пограничном
слое. Пусть в начальный момент вихри с диаме-
трами D1 = D2 = 1.0, интенсивностями Γ1 = Γ2 =
1.0 и с поперечными сечениями a1 = a2 = 0.05
расположены перпендикулярно к плоскости гра-
ницы и имеют продольные координаты в направ-
лении потока x1 = 0.0, x2 = 1.0. Сначала рассмо-
трим взаимодействие деформированных вихревых
колец. Начальное положение вихрей показано на
рис. 22, a. Параметры внешнего потока соответ-
ствуют ламинарному пограничному слою: δ = 1.1,
U0 = 5.0, а γ = 0.5.
С течением времени вихри проявляют характер-
ное взаимодействие с твердой поверхностью, кото-
рое приводит к наклону плоскости колец по отно-
шению к поверхности и постепенному удалению от
нее (рис. 22, б). Однако на это движение накла-
дывается влияние соседнего кольца, которое выра-
жается в замедлении переднего вихревого кольца
и одновременном ускорении заднего вихря (рис.
22, в). При этом образующаяся кормовая часть
переднего кольца направляется во внутрь заднего
кольца, что отчетливо наблюдается в момент вре-
мени t = 1.5, (рис. 22, д). Интересно, что, несмотря
на взаимное влияние вихрей друг на друга, кольца
удаляются от поверхности с практически постоян-
ной скоростью, формируя угол склонения порядка
Θ1 ≈ 8◦ для заднего вихря и Θ2 ≈ 7◦ для пере-
днего вихревого кольца. На приведенном рисун-
ке представлены положения вихрей вплоть до мо-
мента времени t = 1.5. Необходимо отметить, что
дальнейшие вычисления с использованием числен-
ной модели подковообразных вихрей в виде тонкой
вихревой трубки провести не удается, поскольку
кормовая часть переднего вихревого кольца при-
ближается достаточно близко к боковой части за-
днего кольца. В рамках модели вязкой жидкости
такое приближение вихрей друг к другу часто со-
провождается перезамыканием вихрей. Использу-
емая в вычислениях модель идеальной жидкости
процессы перезамыкания описать не может. В ре-
44 A.A. Гуржий и др.
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Рис. 21. Зависимость наклона переднего фронта одиночного подковообразного вихря
от параметров внешнего сдвигового потока:
а – от толщины пограничного слоя, б – от скорости внешнего потока, в – от профиля пограничного слоя
зультате приближающиеся друг к другу части ви-
хрей испытывают сильное взаимное закручивание,
и в конечном итоге такое взаимодействие приводит
к потере точности вычислений и последующему их
численному прерыванию.
Похожий сценарий взаимодействия вихрей мож-
но наблюдать для двух одинаковых в началь-
ный момент подковообразных вихрей и аналоги-
чных предыдущему случаю параметрах сдвигово-
го течения. Результаты численного моделирова-
ния представлены на рис. 23. Сравнение резуль-
татов позволяет заметить опеределенные отличия
в формировании кормовых частей вихрей, кото-
рые в рассматриваемом случае лучше всего соо-
тветствуют данным реального эксперимента. Име-
ется отличие также в размерах подковообразных
вихрей: диаметр головной части заднего вихря не-
сколько превышает соответствующий размер пе-
реднего вихря, что не соответствует эксперимен-
тальным наблюдениям. Увеличение начального
удаления вихрей друг от друга в направлении на-
бегающего потока приводит к уменьшению влия-
ния вихрей друг на друга. В результате наблю-
дается движение двух подковообразных вихрей с
практически одинаковыми геометрическими ра-
змерами.
ВЫВОДЫ
Приведенный сравнительный кинематический и
динамический анализ взаимодействия осесиммет-
ричных вихревых колец в безграничной идеаль-
ной несжимаемой жидкости позволяет заключить,
что численное моделирование взаимодействия ви-
хрей, основанное на представлении крупномас-
штабных вихревых структур системой тонких вих-
ревых трубок, может быть выполнено с достаточ-
A.A. Гуржий и др. 45
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Рис. 22. Динамика двух кольцевых вихрей над твердой поверхностью в сдвиговом течении:
δ = 1.1, U0 = 5.0, γ = 0.5
но высокой точностью. Для численного модели-
рования движения вихревых структур различной
формы предлагается использовать два численных
метода. Первый (α-модель) основан на уравне-
ниях движения, в которых устранена сингуляр-
ность в законе Био-Савара для компонент поля
скорости путем введения дополнительного пара-
метра, значение которого зависит от величины ра-
диуса поперечного сечения исследуемой вихревой
трубки. Второй численный метод базируется на
уравнениях движения, в которых упомянутая син-
гулярность устраняется введением некоторой ε-
окрестности при интегрировании выражений за-
кона Био-Савара, вклад которой в значение наве-
денного вихрем самоиндуцированной скорости не
учитывается. Размер ε-окрестности также опреде-
ляется значением радиуса поперечного сечения ви-
хря.
Сравнительный анализ обеих численных моде-
лей подковообразных вихревых структур на при-
мере взаимодействия двух осесимметричных вих-
ревых колец в безграничной идеальной жидкости
показывает, что точность вычисления траекторий
вихрей в обоих подходах сильно зависит от точно-
сти определения длины исследуемой вихревой ни-
ти. В исследованиях образующая вихря формиру-
ется последовательностью пассивных жидких час-
тиц (маркеров), которые в соответствии с теоре-
мой Гельмгольца [2, 40, 44] можно интерпретиро-
вать как точечные вихри с нулевой циркуляцией.
Численный анализ показывает, что ε-модель, ин-
терполирующая нить между маркерами с помо-
щью сегментов окружностей, определяет динами-
ку колец приблизительно на порядок точнее по
сравнению с α-моделью для одинакового числа
используемых маркеров при формировании обра-
46 A.A. Гуржий и др.
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Рис. 23. Динамика двух подковообразных вихрей над твердой поверхностью в сдвиговом течении:
δ = 1.1, U0 = 5.0, γ = 0.5
зующей вихревых колец.
В целом можно заключить, что с позиций чи-
сленного моделирования ε-модель оказывается бо-
лее эффективной по сравнению с α-моделью для
изучения и анализа движения системы вихревых
структур при взаимодействии с твердыми поверх-
ностями, или при отсутствии симметрии в про-
странственном положении вихрей.
Сравнение результатов численного моделирова-
ния динамики одиночного подковообразного ви-
хря в невозмущенном сдвиговом потоке над твер-
дой поверхностью с экспериментальными дан-
ными показывает незначительное отклонение в
вертикальной скорости удаления подковообра-
зных вихревых структур от поверхности. Неи-
зменная вертикальная скорость удаления вихрей
от поверхности характеризуется углом склонения
Θ, значение которого при численном моделиро-
вании практически совпадает с эксперименталь-
ными данными и составляет в среднем величину
Θ ≈ 6.0◦. Численный эксперимент показывает, что
скорость удаления вихря от поверхности остается
с течением времени практически постоянной и, по
всей вероятности, не зависит от геометрии голов-
ной части подковообразного вихря в сдвиговом те-
чении над плоской поверхностью.
Анализ решений показывает, что увеличение то-
лщины пограничного слоя приводит к увеличению
скорости удаления (или увеличению угла склоне-
ния Θ) подковообразных вихревых структур от
твердой поверхности. К аналогичному результату
приводит увеличение крутизны профиля скорости
набегающего сдвигового течения: вихри быстрее
удаляются от твердой поверхности в усредненном
турбулентном пограничном слое по сравнению с
невозмущенным ламинарным пограничным слоем.
A.A. Гуржий и др. 47
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
Увеличение абсолютного значения скорости набе-
гающего потока в пристеночной области не ока-
зывает существенного влияния на скорость удале-
ния подковообразных вихревых структур от твер-
дой поверхности.
Однако имеются некоторые отличия в резуль-
татах численного моделирования по сравнению с
экспериментальными данными при описании вза-
имодействия подковообразных вихревых структур
над плоскостью. К основным отличиям можно
отнести:
1) более быстрое формирование наклона вихре-
вых опор по отношению к поверхности;
2) быстрое взаимное приближение опор друг к
другу;
3) интенсивное расширение головной части ви-
хря.
Первое отличие наблюдается только в области,
близлежащей к головной части подковообразного
вихря. Эта часть наиболее удалена от поверхности
и от опор вихря, которые размещаются значитель-
но ближе к твердой поверхности. Взаимная инду-
кция от двух опор объясняет вертикальное движе-
ние головной части в соответствии с направлени-
ем циркуляции: вверх вовнутрь и вниз на внешней
стороне опор. В то же время, большое влияние на
динамику передней части подковообразного вихря
оказывает профиль скорости сдвигового течения,
который стремится наклонить плоскость головной
части вихря по отношению к твердой поверхно-
сти, другими словами поток уменьшает угол скло-
нения Θ подковообразного вихря над твердой по-
верхностью.
Второе отличие может быть объяснено отсут-
ствием вязкости при численном моделировании.
Индуцированная скорость действительного и мни-
мого вихрей смещает опоры подковообразных вих-
рей друг к другу, не встречая сопротивления, вы-
званного вязкостью в приповерхностном слое.
При взаимодействии со стенкой головная часть
подковообразного вихря растет в диаметре, по-
скольку опоры вихрей наводят скорость, направ-
ленную наружу по отношению к плоскости, кото-
рую формирует головная часть. Одновременно, с
другой стороны плоскости, мнимый вихрь наво-
дит компоненты поля скорости, которые способ-
ствуют расширению петли. К тому же, наведен-
ная скорость со стороны быстро сближающихся
опор имеет ненулевую компоненту, которая так-
же приводит к расширению головной части ви-
хря. Другими словами, третье отличие – наблю-
даемое в эксперименте расширение головной ча-
сти подковообразного вихря над твердой поверх-
ностью в основном связано с геометрией подково-
образного вихря. Можно предположить, что при-
чина быстрого расширения головной части вихря
при численном моделировании по отношению к
данным эксперимента кроется в отсутствии дисси-
пации в рассматриваемом течении и пренебреже-
нии появления вторичной завихренности меньше-
го масштаба над плоской поверхностью, которая
имеет место в реальном эксперименте.
Настоящие исследования выполнены в рамках
проекта UP2-2429-KV-02 (2002), спонсированно-
го Civilian Research and Development Foundation
(C.R.D.F.), США.
1. Шлихтинг Г. Теоpия погpаничного слоя.– М.: На-
ука, 1969.– 742 с.
2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.– М.:
Наука, 1987.– 840 с.
3. Федяевский К.К., Гиневский А.С., Колесни-
ков А.В. Расчет турбулентного пограничного
слоя.– Л.: Судостроение, 1973.– 266 с.
4. Ross D., Robertson I. An empirical method for
calculation of the growth of a turbulent boundary
layer // J. Aeron. Sci.– 1954.– 21.– P. 355–358.
5. Moin P., Kim J. The structure of the vorticity fi-
eld in turbulent channel flow. Part I. Analysis of
instantaneous fields and statistical correlations // J.
Fluid Mech.– 1985.– 155.– P. 441–464.
6. Hommema S.E., Adrian R.J. Similarity of apparently
random structures in the outer region of wall
turbulemtce // Experiments in Fluids.– 2002.– 33.–
P. 5–12.
7. Hoyt J.W., Sellin H.R.J. Three-dimensional visuali-
zation of large structures in the turbulent boundary
layer // Experiments in Fluids.– 2001.– 30.– P. 295–
301.
8. Klebanoff P.S., Tidstrom K.D., Sargent L.M. The
three-dimensional nature of boundary layer instabi-
lity // J. Fluid Mech.– 1962.– 12.– P. 1–34.
9. Качанов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Ю. Нели-
нейное развитие волн в пограничном слое // Акад.
наук СССР. МЖГ.– 1977.– N.3.– С. 49–53.
10. Kachanov Y.S., Kozlov V.V., Levchenko V.Y.,
Ramazanov M.P. On the nature of K-breakdown of
laminar boundary layer; new experimental data / In
“Laminar-turbukent transition” (ed.V.V.Kozlov) //
Berlin.– Springer.– 1985.– P. 209–247.
11. Perry A.E., Chong M.S. On the mechanism of wall
turbulence // J. Fluid Mech.– 1973.– 119.– P. 173–
217.
12. Alfredsson P.H., Johansson A.V. Time scales in
turbulent channel flow // Phys. Fluids.– 1984.– 27.–
P. 1974–1981..
13. Хинце И.О. Турбулентность.– М: Физматгиз,
1963.– 352 с.
14. Гиневский А.С., Илизарова Л.И., Шубин Ю.М.
Исследование микроструктуры турбулентной
струи в спутном потоке // Акад. наук СССР.
МЖГ.– 1966.– 4.– С. 81–88.
15. Hussain A.K.M.F. Coherent structures and
turbulence // J. Fluid Mech.– 1986.– 173.–
P. 306–356.
48 A.A. Гуржий и др.
ISSN 1561 -9087 Прикладна гiдромеханiка. 2006. Том 8, N 2. С. 26 – 49
16. Adrian R.J. Particle-imaging theciques for experi-
mental fluid mechanics // Annu. Rev. Fluid Mech.–
1991.– 23.– P. 261–304.
17. Nychas S.G., Hershey H.C., Brodkey R.S. A visual
study of turbulent shear flow // J. Fluid Mech.–
1973.– 61.– P. 513–540.
18. Wark C.E., Nagib H.M. Experimental investigation of
coherent structures in turbulent boundary layers //
J. Fluid Mech.– 1991.– 230.– P. 183–208.
19. Adrian R.J., Chritensen K.T., Liu Z.-C. Analysis and
interpretation of instantaneous turbulent velocity fi-
elds // Exp. Fluids.– 2000.– 29.– P. 275–290.
20. Adrian R.J., Meinhart C.D., Tomkings C.T. Vortex
organization in the outer region of the turbulent
boundary layer // J. Fluid Mech.– 2000.– 442.– P. 1–
57.
21. Foss J.F., Wallace J.M. The measurement of veloci-
ty in transitional and fully developed turbulent flows
/ In “Frontiers in experimental fluid mechanics” //
Berlin.– Springer-Verlag.– 1989.– P. 344.
22. Robinson S.K. Coherent motions in the turbulent
boundary layer // Annu. Rev. Fluid Mech.– 1991.–
23.– P. 601–639.
23. Rist U., Fasel H. Direct numerical simulation of
controlled transition in a transition in a flat-plate
boundary-layer // J. Fluid Mech.– 1995.– 298.–
P. 211–248.
24. Роуч П. Вычислительная гидродинамика.– М.:
Мир, 1980.– 616 с.
25. Ярин Л.П., Генкин А.Л., Кукес В.И. Термоане-
мометрия газовых потоков.– Л.: Машиностроение,
1983.– 180 с.
26. Kim J. Evolution of a vortical structure associated
with the bursting event in a channel flow / In
“Turbulent shear flows” // Berlin.– Springer-Verlag.–
1987.– P. 221–233.
27. Chong M.S., Perry A.E., Cantwell B.J. A general
classification of three dimensional flow fields // Phys.
FLuids A.– 1990.– 1.– P. 122-136.
28. Kasagi N., Hirata M., Nishino K. Streamwise psevdo-
vortical structures and associated vorticity in the
near-wall region of a wall-bounded turbulent shear
flow // Exp. Fluids.– 1986.– 4.– P. 309–318.
29. Kim J., Kline S.J., Reynolds W.C. The producti-
on of turbulence near a smooth wall in a turbulent
boundary layer // J. Fluid Mech.– 1989.– 50.–
P. 133–160.
30. Christensen K.T., Adrian R.J. Statistical evidence of
hairpin vortex packets in wall turbulence // J. Fluid
Mech.– 2001.– 431.– P. 433–443.
31. Zhou J., Adrian R.J., Balachandar S., Kendall T.M.
Mechanisms for generating coherent packets of hai-
rpin vortices in channel flows // J. Fluid Mech.–
1999.– 387.– P. 353–396.
32. Smith C.R., Walker J.D.A., Haidari A.H., Sobrun U.
On the dynamics of near-wall turbulence // Phil.
Trans. of Roy. Soc. London.– 1991.– A336.– P. 131–
175.
33. Ван-Дайк М. Альбом течения жидкости и газа /
пер. с англ.– М.: Мир, 1986.– 180 с.
34. Brown G.L., Thomas A.S.W. Large structures in a
turbulent boundary layer // Phys. Fluids.– 1977.–
10.– P. 243–251.
35. Falco R.E. Combined simultaneous flow visualization
/ hot-wire anemometry for study of turbulent flow //
J. Fluid Eng.– 1980.– 102.– P. 174–183.
36. Theodorsen T. Mechanism of turbulence / In
Proceeding of the 2nd Midwestern Conference on
Fluid Mechanics // Ohio.– Ohio State University, Co-
mulbus.– 1952.– P. 1–19.
37. Meinhart C.D., Adrian R.J. On the existance of
uniform momentum zones in a turbulent boundary
layer // Phys. Fluids.– 1995.– 7.– P. 694–696.
38. Muller K., Rist U., Wagner S. Enhanced visualizati-
on of late-stage transitional structures using vortex
inedtification and automatic feature extraction /
In Papailiou et all, editor, Computational Fluid
Dynamics’98.– London: John & Sons Ltd, 1998.– 786–
791 p.
39. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости.–
М.: Мир, 1973.– 758 с.
40. Lamb H. Hydrodynamics.– Cambridge: Cambridge
University Press, 6th ed., 1967.– 677 p.
41. Leonard A. Vortex methods for flow simulation // J.
Comp. Phys.– 1980.– 37.– P. 289–335.
42. Tomkins D., Andian R.J. Soanwise structure and
scale growth in turbulent boundary layers // TAM
Rep. N.1006.– UILU-ENG-2002-6014.– 2002.– P. 40.
43. Korn C.A., Korn T.M. Mathematical Handbook for
scientists and engineers.– New York: McGraw-Hill
Publ, 1968.– 1130 p.
44. Мелешко В.В., Константинов М.Ю. Динамика
вихревых структур.– Киев: Наукова думка, 1993.–
283 p.
45. Dyson F.W. The potential of an anchor vortex ring.
II // Phil. Trans. R. Soc. London.– 1893.– A184.–
P. 1041–1106.
46. Thomson W. The translatory velocity of a circular
vortex ring // Phil. Mag.– 1867.– 33.– P. 511–512.
47. Гуржий A.A. О классификации взаимодействий
двух тонких вихревых колец в идеальной безгра-
ничной жидкости // Гидромеханика.– 1994.– 68.–
С. 79–85.
48. Абрамовиц А., Стиган И. Справочник по специ-
альным функциям.– М.: Наука, 1979.– 832 с.
49. Гуржiй О.А., Мелешко В.В., ван Хейст Г.Я.Ф. Ме-
тод кускової сплан-iнтерполяцiї в задачi про адве-
кцiю пасивної домiшки у вiдомому полi швидко-
стi // Доповiдi АН України.– 1996.– 8.– С. 48–54.
50. Гуржий А.А., Мелешко В.В., ван Хейст Г.Я.Ф. Ре-
жимы хаотического перемешивания жидкости в
круге парой точечных вихрей / в кн. “Фундамен-
тальные и прикладные проблемы теории вихрей”
под ред. Борисова А.В. и др. // Москва, Ижевск.–
Ин-т компьютерных исследований.– 2003.– С. 441–
467.
51. Kachanov Y.S., Levchenko V.Y. The resonant
interaction of disturbances at laminar-turbulent
transition in a boundary layer // J. Fluid Mech.–
1984.– 138.– P. 209–247.
A.A. Гуржий и др. 49
|