Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления
Предложена процедура синтеза регулятора состояния для дискретной во времени системы управления, основанная на теории модального управления и обеспечивающая произвольную степень устойчивости замкнутой системы в пространстве переменных состояния и их средних интегральных значений. Полученные результат...
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2010
|
| Series: | Системні дослідження та інформаційні технології |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50046 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления / А.Г. Филатов // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 2. — С. 80-93. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50046 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-500462025-02-09T21:46:39Z Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления Синтез регулятора стану для дискретної в часі системи модального управління Design of state regulator for discrete-time system of modal control Филатов, А.Г. Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Предложена процедура синтеза регулятора состояния для дискретной во времени системы управления, основанная на теории модального управления и обеспечивающая произвольную степень устойчивости замкнутой системы в пространстве переменных состояния и их средних интегральных значений. Полученные результаты проиллюстрированы примером. Запропоновано процедуру синтезу регулятора стану для дискретної в часі системи керування, яка базується на теорії модального керування та забезпечує довільний і максимальний cтупінь стійкості замкненої системи у просторі змінних стану та їх середніх інтегральних значень. Отримані результати проілюстровано на прикладі. A procedure for design of a state regulator for a discrete-time control system is proposed. It is based on the theory of modal control and provides arbitrary and maximal degree of stability for a closed system in the space of variable states and their average integral values. The results obtained are illustrated by an example. 2010 Article Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления / А.Г. Филатов // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 2. — С. 80-93. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1681–6048 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50046 621.34-52 ru Системні дослідження та інформаційні технології application/pdf Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності |
| spellingShingle |
Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності Филатов, А.Г. Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления Системні дослідження та інформаційні технології |
| description |
Предложена процедура синтеза регулятора состояния для дискретной во времени системы управления, основанная на теории модального управления и обеспечивающая произвольную степень устойчивости замкнутой системы в пространстве переменных состояния и их средних интегральных значений. Полученные результаты проиллюстрированы примером. |
| format |
Article |
| author |
Филатов, А.Г. |
| author_facet |
Филатов, А.Г. |
| author_sort |
Филатов, А.Г. |
| title |
Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления |
| title_short |
Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления |
| title_full |
Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления |
| title_fullStr |
Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления |
| title_full_unstemmed |
Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления |
| title_sort |
синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Методи аналізу та управління системами в умовах ризику і невизначеності |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50046 |
| citation_txt |
Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления / А.Г. Филатов // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2010. — № 2. — С. 80-93. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT filatovag sintezregulâtorasostoâniâdlâdiskretnoivovremenisistemymodalʹnogoupravleniâ AT filatovag sintezregulâtorastanudlâdiskretnoívčasísistemimodalʹnogoupravlínnâ AT filatovag designofstateregulatorfordiscretetimesystemofmodalcontrol |
| first_indexed |
2025-12-01T03:53:35Z |
| last_indexed |
2025-12-01T03:53:35Z |
| _version_ |
1850276546247393280 |
| fulltext |
© А.Г. Филатов, 2010
80 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2
УДК 621. 34-52
СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ДИСКРЕТНОЙ
ВО ВРЕМЕНИ СИСТЕМЫ МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
А.Г. ФИЛАТОВ
Предложена процедура синтеза регулятора состояния для дискретной во вре-
мени системы управления, основанная на теории модального управления и
обеспечивающая произвольную степень устойчивости замкнутой системы в
пространстве переменных состояния и их средних интегральных значений.
Полученные результаты проиллюстрированы примером.
ВВЕДЕНИЕ
В работе [1] рассмотрен метод синтеза достаточно простого в реализации
модального регулятора состояния в дискретной во времени системе управ-
ления электрическими нагрузками электроэнергетических систем, обеспе-
чивающий произвольную степень устойчивости системы в пространстве
переменных состояния и их средних интегральных значений. Однако этот
метод применим только для квазидинамических дискретных систем, харак-
теризуемых единичной матрицей состояния. Ниже изложено развитие этого
метода для дискретной во времени системы модального управления с про-
извольной матрицей состояния.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим дискретную во времени систему управления, представленную
следующими уравнениями состояния:
)()()1( kuBkxAkx +=+ , (1)
где )(kx — n-мерный вектор состояния в момент времени kt ; )( 1+kx —
n -мерный вектор состояния в момент времени 1+kt ; )(ku — n -мерный век-
тор управления в момент времени kt ; A и B — nn × -матрица состояния и
матрица управления соответственно с постоянными действительными эле-
ментами. Предположим, что пара матриц BA, является полностью управ-
ляемой, а все собственные числа nλλλ …,, 21 матрицы A — различны. Бу-
дем также полагать, что элементы вектора состояния x являются кусочно-
постоянными величинами на интервалах времени 1−−=∆ kkk ttt , ...,3,2,1=k
и представлены их непосредственными измерениями или их оценками.
Как известно [2–4], в системе (1) при формировании управляющих
сигналов с помощью обратной связи (ОС) по состоянию (регулятора
состояния)
)()( kKxku = , (2)
Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 81
где K — матрица коэффициентов ОС размерностью nn× , собственные
числа матрицы )( BKA + замкнутой системы могут быть выбраны произ-
вольным образом, если пара BA, полностью управляема. Соответствую-
щим выбором собственных чисел замкнутой системы можно обеспечить
желаемый характер свободного движения переменных состояния. Для
уменьшения установившейся ошибки системы и противодействия некон-
тролируемым возмущениям в законы управления вводят интегральную со-
ставляющую. Однако введение интегральной составляющей, реализация
которой в дискретных системах может быть достигнута различными спосо-
бами, приводит к снижению степени устойчивости системы и усложняет
устройство управления [4].
В данной работе интегральная составляющая формируется на основе
средних интегральных значений переменных состояния объекта на текущий
момент времени k с начала некоторого периода контроля kk tT ∆>>∆ . Это
позволяет непосредственно включить в контур модального управления не
только переменные состояния процесса, но и их средние интегральные зна-
чения на текущий момент времени. В итоге возникает возможность задания
произвольного спектра замкнутой системы управления.
Под средним интегральным значением i-й переменной состояния на
каждом k -м шаге управления будем понимать величину, определяемую
следующим уравнением:
)(1)(
1
jx
k
k
k
j
ii ∑
=
=δ , ni …,1= , (3)
где k — количество интервалов (шагов) управления 1−−=∆ kkk ttt ,
( ...,3,2,1=k ) с начала некоторого периода контроля kT∆ на текущий момент
времени kt . В дальнейшем величину (3) будем именовать средней инте-
гральной ошибкой управления. Совокупность величин (3) образует вектор
[ ] .)(,...),(),(),()( 321
T
n kkkkk δδδδ=Ω
Закон управления с пропорциональной и интегральной составляющими
в цепи обратной связи (дискретный регулятор состояния с ПИ-законом
управления) можно сформировать в следующем виде:
),()()( 21 kKkxKku Ω+= (4)
где 1K и 2K — nn × -матрицы коэффициентов усиления пропорциональной
и интегральной обратных связей соответственно.
Затем можно определить нашу задачу, как задачу определения способа
вычисления матриц 1K и 2K коэффициентов усиления обратных связей
таким образом, чтобы собственные числа системы (1), замкнутой обратной
связью (4), имели желаемые наперед заданные значения.
СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРА СОСТОЯНИЯ
Преобразуем систему (1) к каноническому диагональному виду. Пусть P —
невырожденная матрица собственных векторов матрицы A , преобразующая
вектор состояния )(kx в вектор )(ky , т.е.
А.Г. Филатов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 82
)()( kPykx = , (5)
)()( 1 kxPky −= . (6)
Cделав замену переменных в (1) с помощью (5), получим
)()()1( kBukAPykPy +=+ . (7)
Умножая (7) слева на 1−P , получаем
).()()1( 11 kBuPkAPyPky −− +=+ (8)
Напомним теперь определение собственных чисел и собственных век-
торов. Если Λ — диагональная n×n матрица собственных чисел квадратной
nn× матрицы A :
,},,1,{diag nii …==Λ λ (9)
то справедливо следующее соотношение:
APP =Λ . (10)
Умножая (10) слева на 1−P получим:
APP 1−=Λ . (11)
С учетом (11) уравнение (8) примет следующий канонический диаго-
нальный вид:
)()()1( kGukyky +Λ=+ , (12)
где
BPG 1−= ( nn × ). (13)
Аналогично запишем уравнение (3) для переменных )(ky линейно
преобразованного вектора )(kx , т.е. средняя интегральная ошибка управле-
ния для переменных )(kyi , 1,...,i n= будет иметь вид:
.,...,1,)(1)(
1
nijy
k
k
k
j
ii == ∑
=
θ (14)
Величины i ( )kθ , 1,...,i n= будут линейной комбинацией наблюдае-
мых по предположению переменных состояния )(kxi , ni ,...,1= .
Рассмотрим динамическое уравнение, определяющее среднюю ин-
тегральную ошибку i ( 1)kθ + на ( 1)k + -м шаге в зависимости от номера
шага управления и от величины ошибки i ( )kθ на k -м шаге или величины
ошибки i ( 1)kθ − на ( 1)k − -м шаге:
=
+
++
+
=
+
=+ ∑
+
=
)(
1
)1(
1
1)(
1
1)1(
1
1
k
k
kky
k
jy
k
k ii
k
j
ii θθ
),1(
1
1)(
1
1)1(
1
1
−
+
−
+
+
++
+
= k
k
kky
k
ky
k iii θ 1,...,i n= . (15)
Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 83
Необходимым требованием к системе управления (1) или (12) является
требование асимптотической устойчивости. Этому требованию эквивалент-
но условие:
0)(lim =
∞→
ky
k
. (16)
Воспользуемся условием (16) и будем считать, что система управления
функционирует таким образом, чтобы обеспечить отклонение состояния на
)1( +k -м шаге управления равным нулю, т.е. примем 0)1( =+ky
i
,
1,...,i n= . Тогда уравнение (15) примет следующий вид:
),1(
1
1)(
1
1)1( −
+
−
+
+
=+ k
k
kky
k
k iii θθ ni ,...,1= . (17)
Запишем уравнение (17) в матричном виде:
)()()1( kFkDyk Θ+=+Θ , (18)
где )1( +Θ k и )1( −Θ k вектора-столбцы вида:
[ ] ,)1(,...),1(),1()1( 21
T
n kkkk +++=+Θ θθθ (19)
[ ] .)1(,...),1(),1()1( 21
T
n kkkk −−−=−Θ θθθ (20)
D и F — nn× диагональные матрицы:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+=
1
1
0
0
1
1
k
kD ,
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−+
−
=
1
1
0
0
1
1
k
kk
k
F . (21)
Сформируем расширенный вектор состояния системы управления в
следующем виде:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+Θ
+
=+
)1(
)1(
)1(
k
ky
kz , ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−Θ
=
)1(
)(
)(
k
ky
kz . (22)
Таким образом, расширенный вектор состояния (22) включает в себя
линейно-преобразованные вектора переменных состояния )(ky и средних
интегральных ошибок управления )1( −Θ k .
Далее, объединив уравнения (12) и (18), получим расширенное уравне-
ние состояния системы управления:
)(
0)1(
)(
)1(
)1(
ku
G
k
ky
FD
O
k
ky
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−Θ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡Λ
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+Θ
+
(23)
или
)(ˆ)(ˆ)1( kuBkzAkz +=+ , (24)
где
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡Λ
=
FD
O
 , (25)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0
ˆ G
B . (26)
А.Г. Филатов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 84
Вектор управляющих сигналов )(ku будем искать в виде следующей
обратной связи по расширенному вектору состояния )(kz , т.е.
[ ]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−Θ
= −
)1(
)(
;)( 21
1
k
ky
CCPBku , (27)
где 1С и 2С — nn× -матрицы коэффициентов усиления соответственно
пропорциональной ОС по состоянию и ОС по средней интегральной ошибке
управления. Множитель PB 1− введен для компенсации взаимодействий
между управляющими сигналами.
Подставив уравнение (27) в уравнение (23) и учитывая уравнение (13),
получим расширенное уравнение замкнутой системы управления:
[ ] =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−Θ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−Θ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡Λ
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+Θ
+
−
−
)1(
)(
;
0)1(
)(
)1(
)1(
21
1
1
k
ky
CCPB
BP
k
ky
FD
O
k
ky
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−Θ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡Λ
=
)1(
)(+ 21
k
ky
FD
CC
. (28)
Окончательно задача синтеза регулятора состояния формулируется
следующим образом: найти такие ( nn× )-матрицы коэффициентов усиления
ОС 1С и 2С , чтобы при управлении (27) корни характеристического урав-
нения расширенной замкнутой системы (28) размещались в наперед задан-
ных точках комплексной плоскости. Это позволит обеспечить асимптотиче-
скую устойчивость (сходимость) системы (28). Кроме того, матрицы 1С и
2С будем искать в виде диагональных ( nn× )-матриц, что значительно уп-
рощает реализацию управляющего устройства, т.е.
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
nC
C
C
1
11
1
0
0
, ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
nC
C
C
2
21
2
0
0
. (29)
Асимптотическая устойчивость замкнутой дискретной системы (28)
будет обеспечена, если собственные числа ее матрицы состояния
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡Λ
=
FD
CC
H
21+
(30)
будут лежать внутри единичного круга комплексной плоскости.
Для нахождения собственных чисел рассмотрим характеристическое
уравнение системы (28):
[ ] ,0ˆdetˆ+
det 21 =Λ−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Λ−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡Λ
H
FD
CC
(31)
где Λ̂ — диагональная ( nn 22 × )-матрица:
.
0
0
ˆ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=Λ
λ
λ
(32)
Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 85
Произведем )1(2 −n перестановок строк и столбцов в матрице ]ˆ[ Λ−H
размерности nn 22 × так, чтобы в результате получить следующую блок-
диагональную матрицу:
[ ]
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
+
−+
=
=Λ− λ
λλ
1
1
1
1
,...,1
blokdiagˆ 211
k
k
k
CC
ni
H
ii
. (33)
Так как четное число перестановок строк и столбцов матрицы не изме-
няет её определителя, то характеристическое уравнение (31) можно записать
так:
[ ] =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
+
−+
=Λ− ∏
=
n
i
ii
k
k
k
CC
H
1
211
1
1
1
1detˆdet
λ
λλ
( )( )
0
1
1
1
1
1
21112 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−−+
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−++++
−=∏
=
n
i
iiiiiii
k
CkC
k
kCkCk λ
λ
λλ
λ . (34)
Из (34) следует, что для нахождения коэффициентов усиления iС1 и
iС2 ( ni ,...,1= ) матриц обратных связей 1С и 2С достаточно определить
способ нахождения коэффициентов iС1 и iС2 одного из сомножителей, ко-
торый представляет собой полином второго порядка:
0
1
)(
1
1 211112 =
+
−−+−
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−++++
−
k
CCkCk
k
kCkCk iiiiiiiii λλ
λ
λλ
λ . (35)
ni ,...,1= .
Коэффициенты iС1 и iС2 определим так, чтобы корни характеристиче-
ского уравнения замкнутой системы, т.е. корни всех полиномов второго по-
рядка (35), имели наперед заданные значения ii 21
~,~ λλ , 1,...,i n= . Пусть же-
лаемый i-й характеристический полином второго порядка равен
021
2 =++ ii αλαλ . Коэффициенты ii 21 , αα этого полинома можно опреде-
лить по заданным значениям корней ii 21
~,~ λλ с помощью формул Виета, или
же путем раскрытия скобок в произведении ( )( )ii 21
~~ λλλλ −− , т.е.
( )( ) ( ) 0~~~~~~
2121
2
21 =++−=−− iiiiii λλλλλλλλλλ , 1,...,i n= . (36)
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях полиномов (35) и
(36) для i-го полинома второго порядка, получим:
1
1~~ 11
21 +
−++++
=+
k
kCkCk iiii
ii
λλ
λλ , (37)
1
~~ 211
21 +
−−+−
=
k
CCkCk iiiii
ii
λλ
λλ . (38)
Теперь из уравнений (37) и (38) можно выразить неизвестные коэффи-
циенты iС1 и iС2 обратных связей через остальные известные величины:
А.Г. Филатов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 86
,
1
1~~
211 +
−
−−+=
k
kC iiii λλλ (39)
( ) ( )1~~1
1
1~~
21212 +−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−+= kk
k
kC iiiii λλλλ , .,...,1 ni = (40)
Таким образом, найденные уравнения (39) и (40) позволяют вычислить
коэффициенты усиления iС1 и iС2 ( 1,...,i n= ) регулятора состояния (27) по
заданным желаемым собственным числам i1
~λ и i2
~λ ( 1,...,i n= ) замкнутой
системы (28). Очевидно, что коэффициенты iС1 и iС2 ( 1,...,i n= ) являются
переменными во времени коэффициентами, т. к. зависят от номера шага
управления k . Смысл этого состоит в том, что коэффициенты iС1 и iС2
формируют динамическую обратную связь системы управления.
Задав желаемые корни характеристического уравнения дискретной сис-
темы в начале координат комплексной плоскости, т.е. задав 0~~
21 == ii λλ ,
ni ,...,1= , получим из (39) и (40) коэффициенты обратных связей, обеспечи-
вающие максимальную степень устойчивости дискретной системы (23), т.е.
,,...,1,
1
1
1 ni
k
kC ii =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+−= λ (41)
.,...,1,
1
)1( 2
2 ni
k
kC i =
+
−
−= (42)
В этом случае матрицы обратных связей 1С и 2С уравнения регулято-
ра состояния (27) будут иметь следующий вид:
,
1
1
0
0
1
1
1 ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
+−=
k
kk
k
C
n
i
λ
λ (43)
.
1
)1(
0
0
1
)1(
2
2
2
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−+
−
−=
k
kk
k
C (44)
Очевидно, что использование регулятора состояния в виде (27) приво-
дит к разложению замкнутой системы (28) на независимые матричные под-
системы второго порядка:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
)1(
)(
1
1
1
1
+
)1(
)1( 21
k
ky
k
k
k
CC
k
ky
i
iiii
i
i
θ
λ
θ
, .,...,1 ni = (45)
Изменяя коэффициенты iС1 и iС2 согласно уравнениям (39) и (40),
можно как угодно менять собственные числа каждой замкнутой подсистемы
(45) независимо друг от друга, т.е. изменение коэффициентов iС1 и iС2 бу-
дет влиять только на i-ю переменную iy и соответствующую ей среднюю
интегральную ошибку iθ .
Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 87
Возвращаясь в уравнении (28) к исходным переменным состояния, по-
лучим следующее уравнение состояния замкнутой системы:
.
)1(
)()(
)1(
)1(
11
1
2
1
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−Ω⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +Λ
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+Ω
+
−−
−−
k
kx
PFPPDP
PPCPCP
k
kx
(46)
Аналогично получим и уравнение регулятора состояния (27) для ис-
ходных переменных:
[ ] =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−Θ
= −−
)1(
)(
;)( 1
21
1
k
kx
PCCPBku
[ ] ),1()()1()( 21
1
2
1
1
1 −Θ+=−Θ+= −−− kKkxKkPPCkxPPCB (47)
где
1
1
1
1
−−= PPCBK ,
.1
2
1
2
−−= PPCBK
Матрица состояния замкнутой системы (28)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −Λ
=
FD
CC
Ay
21 (48)
полностью определяется характеристическим полиномом, который остается
неизменным при эквивалентных преобразованиях. Поэтому матрица со-
стояния системы (46)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +Λ
=
−−
−−
11
1
2
1
1)(
PFPPDP
PPCPCP
Ax (49)
будет иметь такой же характеристический полином, что и матрица (48). От-
сюда следует, что изменяя коэффициенты усиления iС1 и iС2 в матрицах
1С и 2С можно как угодно менять и собственные числа замкнутой системы
(46) с первоначальными переменными состояния x и их средними инте-
гральными ошибками Ω .
Следует отметить, что совокупность всех собственных векторов, отве-
чающих заданному собственному числу, образует линейное подпространст-
во в пространстве всех числовых векторов размерности n. Однако, в рассма-
триваемом случае, когда все собственные числа системы (1) предполагаются
различными, каждое из этих подпространств одномерное, т.е. для каждого
собственного числа соответствующий собственный вектор определен с точ-
ностью до числового множителя [5]. Эта одномерность вытекает из того, что
ненулевые собственные векторы, отвечающие различным собственным чис-
лам, обязательно линейно независимы, а в n-мерном пространстве числовых
векторов не может быть более n линейно независимых векторов. Поэтому,
каноническое преобразование Λ=− APP 1 в данном случае не зависит от
численных значений элементов матрицы собственных векторов P и являет-
ся однозначным. Отсюда следует, что результат предлагаемого способа вы-
числения матриц обратной связи 1K и 2K , при вычислении которых испо-
льзуется умножение на прямую и обратную матрицу собственных векторов
А.Г. Филатов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 88
P , также является однозначным и независящим от численных значений ма-
трицы P .
Следует также отметить, что если размерность вектора управления m
меньше размерности вектора состояния n (матрица управления B имеет
размерность mn × ), то изложенный метод модального управления может
быть применен к первым m собственным числам матрицы ,A а значит
управляемыми будут только первые m переменных состояния.
Блок-схема системы управления вида (46) с регулятором состояния ви-
да (47) приведена на рис. 1. На схеме выделены те вычисления, которые
можно провести вне контура управления (в режиме off-line). Начальная ус-
тановка индекса дискреты времени 1=k , используемая в блок-схеме систе-
мы управления (рис. 1), может осуществляться по условию
2доп1доп )(,)( δδ ≤Ω≤ kkx , (50)
Интегральный регулятор
Вне контура управления
Контур управления
Пропорциональный регулятор
Управляемый процесс
x(k+1)= A x(k) + B u(k)
Начальная установка индекса
дискреты времени k =1 и
его отсчет k:=k+1
P P–1
k
1
Звено
задержки
k
k 1−
Вычисление:
1
21
,.2
),,,()(.1
−
=
PP
A nλλλλ …
Задание:
)~,~,...,~,~,~,~()( 2122122111 nnxA λλλλλλλ =
Модальный
компенсатор B-1
P P–1
Ω(k–1) Ω(k)
},,1;
1
1
~~{diag 2111
ni
k
k
CC
i
iii
…=
+
−
−−
−+==
λ
λλ
},...,1);1(~~
)1)(
1
1~
~({diag
21
2
122
nik
k
k
k
CC
ii
i
ii
=+−
−−
+
−
−+
+==
λλ
λ
λ
+
+
+
+
Рис. 1. Блок-схема модальной дискретной во времени системы управления
Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 89
где 1допδ , 2допδ — заданные допустимые значения нормы векторов состоя-
ния и средних интегральных ошибок состояния.
Пример. Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим дискретную
систему
)()()1( kBukAxkx +=+ , где
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
=
10
01
;
097,0466,0
233,06,0
BA .
Пара матриц [ ]BA; является управляемой. Задача состоит в определе-
нии матриц 1K и 2K таких, чтобы при наличии обратной связи вида =)(ku
),1()( 21 −Ω+= kKkxK собственные значения замкнутой системы располага-
лись в точках 0~~~~
22211211 ==== λλλλ .
Так как матрицы 1K и 2K согласно (43), (44) и (47) являются функ-
циями шага управления k. Рассмотрим вычисление этих матриц на несколь-
ких последовательных шагах управления, начиная с 1=k при [ ]Tx 1;1)1( = и
[ ] ,0;0)0( T=Ω т.е. рассмотрим вычисление переходной функции замкнутой
системы управления. Одновременно на каждом шаге покажем вычисление
переменных )(),( kxku и )(kΩ .
Собственные числа матрицы состояния A равны 138,01 =λ и
365,02 =λ . Соответствующая матрица собственных векторов
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
12
11
P и
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −−
=−
12
111P .
При этом значения собственных чисел и собственных векторов округ-
лены, что дает несущественную погрешность (около 1–3% ) в приведенных
ниже вычислениях.
Найдем выражения для матриц обратной связи 1K и ,2K воспользо-
вавшись формулой (47):
== −− 1
1
1
1 PPCBK
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
12
11
1
1365,00
0
1
1138,0
12
11
10
01
k
k
k
k
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−−
≅
1
1089,0454,0
227,0
1
1592,0
k
k
k
k
;
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
+
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
== −−
12
11
1
)1(0
0
1
)1(
12
11
10
01
2
2
1
2
1
2
k
k
k
k
PCPBK
А.Г. Филатов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 90
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
+
−
−
=
1
)1(0
0
1
)1(
2
2
k
k
k
k
.
Тогда управляющий сигнал можно вычислить по формуле (47):
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
)1(
)1(
)(
)(
)(
)(
)(
2
1
2
2
1
1
2
1
k
k
K
kx
kx
K
ku
ku
ku
δ
δ
.
Вектор состояния согласно формуле (46) можно вычислить так:
( )
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
)(
)(
10
01
097,0466,0
233,06,0
)1(
)1(
2
1
2
1
2
1
ku
ku
kx
kx
kx
kx
.
Средние интегральные ошибки управления, составляющие вектор
[ ]Tkkk )(),()( 21 δδ=Ω вычисляются по формуле (3).
Матрица состояния замкнутой системы согласно формуле (49) имеет вид:
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +Λ
= −−
−−
11
1
2
1
1)(
PFPPPD
PCPPCPAx
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
+
+
−
+
+
−
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
+
−
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
−
=
1
10
1
10
0
1
10
1
1
1
)1(0
1
10
0
1
)1(0
1
1
2
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
.
Последовательные во времени вычисления:
1=k
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
=
00
00
)1(,
089,0454,0
227,0592,0
)1( 21 KK ,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=Ω⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
=
1
1
)1(,
1
1
)1(,
543,0
819,0
)1( xu ,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
≅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
0
0
0
0
)(,
005,00
0005,0
0000
0000
)1( xx AA λ .
2=k
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
333,00
0333,0
)2(
244,0454,0
227,0925,0
)2( 21 , KK ,
Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 91
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=Ω⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
49,0
507,0
)2(,
02,0
014,0
)2(,
322,0
34,0
)2( xu ,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
≅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
0
0
0
0
)(,
333,00333,00
0333,00333,0
333,00333,00
0333,00333,0
)2(
xx AA λ .
3=k
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
411,0454,0
227,0092,1
)3(1K ,
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
10
01
)3(2K ,
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=Ω
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
218,0
226,0
)3(,
327,0
336,0
)3(,
508,0
005,0
)3( xu ,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
≅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
0
0
0
0
)(,
5,0025,00
05,0025,0
105,00
0105,0
)3( xx AA λ .
4=k
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
8,10
08,1
)4(,
511,0454,0
227,0192,1
)4( 21 KK ,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=Ω⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
083,0
087,0
)4(,
32,0
328,0
)4(,
378,0
073,0
)4( xu ,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
≅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
0
0
0
0
)(,
6.002,00
06,002,0
8,106,00
08,106,0
)4( xx AA λ .
5=k
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
667,20
0667,2
)5(,
578,0454,0
227,0259,1
)5( 21 KK ,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=Ω⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
028,0
03,0
)5(,
194,0
198,0
)5(,
199,0
071,0
)5( xu ,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
≅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
0
0
0
0
)(,
667,00167,00
0667,00167,0
667,20667,00
0667,20667,0
)5( xx AA λ .
А.Г. Филатов
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2010, № 2 92
6=k
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−−
=
571,30
0571,3
)6(,
625,0454,0
227,0306,1
)6( 21 KK ,
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=Ω
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
009,0
01,0
)6(,
088,0
093,0
)6(,
087,0
034,0
)6( xu ,
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
≅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
=
0
0
0
0
)(,
714,00143,00
0714,00143,0
571,30714,00
0571,30714,0
)6( xx AA λ .
На основании полученных в примере результатов для шести расчетных
шагов управления, построены соответствующие графики переходных про-
цессов по каждому из двух каналов управления. На рис. 2 приведены пере-
ходные дискретные функции системы для переменных состояния 1x и 2x .
На рис. 3 приведены дискретные процессы изменения управляющих сигна-
лов 1u и 2u . На рис. 4 приведены дискретные графики изменения средних
интегральных ошибок управления 1δ и 2δ . Анализ полученных в примере
результатов показывает, что замкнутая модальная система управления под
1 2 3 4 5 6
x1
1,0
0,5
0
-0,5
k
1 2 3 4 5 6
x2
1,0
0,5
0
-0,5
k
Рис. 2. Переходные дискретные функции системы
k
0,8
0,5
0
-0,5
u2
-1,0
0,8
0,5
0
-0,5
k
u1
-1,0
Рис. 3. Дискретные процессы изменения управляющих сигналов
Синтез регулятора состояния для дискретной во времени системы модального управления
Системні дослідження та інформаційні технології, 2010, № 2 93
действием управлений 1u и 2u имеет заданный спектр и небольшое перере-
гулирование при экспоненциальном затухании средних интегральных оши-
бок управления 1δ и 2δ .
ВЫВОДЫ
Для дискретной во времени системы управления разработан метод синтеза
модального регулятора состояния, который позволяет обеспечить произ-
вольную, в том числе и максимальную степень устойчивости замкнутой
системы в пространстве переменных состояния и их средних интегральных
значений. Полученный закон управления позволяет обеспечить экспоненци-
альный характер переходной функции для средних интегральных ошибок
управления системы при наименьшем перерегулировании переменных со-
стояния и минимально возможном при этом времени сходимости переход-
ной функции для переменных состояния к установившейся ошибке. Регуля-
тор имеет достаточно простую структуру, что упрощает его физическую
реализацию, а использование средних интегральных ошибок управления
системы в цепи обратной связи позволяет использовать потенциально по-
лезное влияние случайных возмущений в реальных условиях работы на
процесс поддержания их заданных значений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Филатов А.Г. Стабилизация электрических нагрузок в электроэнергетических
системах // Технічна електродинаміка. Тематичний випуск «Проблеми
сучасної електротехніки», частина 5. — 2006. — С. 3–8.
2. Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем. — М.: Нау-
ка, 1985. — 352 с.
3. Рей У. Методы управления технологическими процессами. — М.: Мир, 1983.
— 368 с.
4. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. — М.: Маши-
ностроение, 1986. — 448 с.
5. Мышкис А. Д. Лекции по высшей математике. — М.: Наука, 1973. — 640 с.
Поступила 02.06.2008
1 2 3 4 5 6
δ1
1,0
0,5
0
-0,5
k
1 2 3 4 5 6
δ2
1,0
0,5
0
-0,5
k
Рис. 4. Дискретные процессы изменения средних интегральных ошибок управления
|