Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр

На шляху розвитку вказаного напрямку тісно сплітаються термінологія та понятійний зміст алгебри і гіперкомплексних числових систем. Вивченню цього питання та зв’язаних з ним особливостей присвячено матеріал цієї статті....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2009
Main Authors:	Синьков, М.В., Каліновський, Я.О., Боярінова, Ю.Є., Федоренко, О.В., Синькова, Т.В.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут проблем реєстрації інформації НАН України 2009
Series:	Реєстрація, зберігання і обробка даних
Subjects:	Математичні методи обробки даних
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50397
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр / М.В. Синьков, Я.О. Каліновський, Ю.Є. Боярінова, Т.В. Синькова, О.В. Федоренко // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2009. — Т. 11, № 4. — С. 18-24. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50397
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-503972025-02-23T17:34:36Z Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр Развитие основ теории гиперкомплексных числовых систем и алгебр Development of Foundation of Hypercomplex Numerical Systems and Algebras Theory Синьков, М.В. Каліновський, Я.О. Боярінова, Ю.Є. Федоренко, О.В. Синькова, Т.В. Математичні методи обробки даних На шляху розвитку вказаного напрямку тісно сплітаються термінологія та понятійний зміст алгебри і гіперкомплексних числових систем. Вивченню цього питання та зв’язаних з ним особливостей присвячено матеріал цієї статті. На пути развития указанного направления тесно сплетаются терминология и понятийное содержание алгебры и гиперкомплексной числовой системы. Стремление ввести уточнения в эти понятия, показать связи между ними, а также их характерные черты составляет основную цель данной публикации. In the way development of the indicated direction are closely interwoven terminology and conceptual content of algebra and hypercomplex numerical systems. The material of this paper is dedicated to investigation of this question and features connected with it. 2009 Article Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр / М.В. Синьков, Я.О. Каліновський, Ю.Є. Боярінова, Т.В. Синькова, О.В. Федоренко // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2009. — Т. 11, № 4. — С. 18-24. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50397 004.942 uk Реєстрація, зберігання і обробка даних application/pdf Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математичні методи обробки даних Математичні методи обробки даних
spellingShingle	Математичні методи обробки даних Математичні методи обробки даних Синьков, М.В. Каліновський, Я.О. Боярінова, Ю.Є. Федоренко, О.В. Синькова, Т.В. Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр Реєстрація, зберігання і обробка даних
description	На шляху розвитку вказаного напрямку тісно сплітаються термінологія та понятійний зміст алгебри і гіперкомплексних числових систем. Вивченню цього питання та зв’язаних з ним особливостей присвячено матеріал цієї статті.
format	Article
author	Синьков, М.В. Каліновський, Я.О. Боярінова, Ю.Є. Федоренко, О.В. Синькова, Т.В.
author_facet	Синьков, М.В. Каліновський, Я.О. Боярінова, Ю.Є. Федоренко, О.В. Синькова, Т.В.
author_sort	Синьков, М.В.
title	Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр
title_short	Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр
title_full	Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр
title_fullStr	Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр
title_full_unstemmed	Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр
title_sort	розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр
publisher	Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Математичні методи обробки даних
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50397
citation_txt	Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр / М.В. Синьков, Я.О. Каліновський, Ю.Є. Боярінова, Т.В. Синькова, О.В. Федоренко // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2009. — Т. 11, № 4. — С. 18-24. — Бібліогр.: 12 назв. — укр.
series	Реєстрація, зберігання і обробка даних
work_keys_str_mv	AT sinʹkovmv rozvitokosnovteoríígíperkompleksnihčislovihsistemíalgebr AT kalínovsʹkijâo rozvitokosnovteoríígíperkompleksnihčislovihsistemíalgebr AT boârínovaûê rozvitokosnovteoríígíperkompleksnihčislovihsistemíalgebr AT fedorenkoov rozvitokosnovteoríígíperkompleksnihčislovihsistemíalgebr AT sinʹkovatv rozvitokosnovteoríígíperkompleksnihčislovihsistemíalgebr AT sinʹkovmv razvitieosnovteoriigiperkompleksnyhčislovyhsistemialgebr AT kalínovsʹkijâo razvitieosnovteoriigiperkompleksnyhčislovyhsistemialgebr AT boârínovaûê razvitieosnovteoriigiperkompleksnyhčislovyhsistemialgebr AT fedorenkoov razvitieosnovteoriigiperkompleksnyhčislovyhsistemialgebr AT sinʹkovatv razvitieosnovteoriigiperkompleksnyhčislovyhsistemialgebr AT sinʹkovmv developmentoffoundationofhypercomplexnumericalsystemsandalgebrastheory AT kalínovsʹkijâo developmentoffoundationofhypercomplexnumericalsystemsandalgebrastheory AT boârínovaûê developmentoffoundationofhypercomplexnumericalsystemsandalgebrastheory AT fedorenkoov developmentoffoundationofhypercomplexnumericalsystemsandalgebrastheory AT sinʹkovatv developmentoffoundationofhypercomplexnumericalsystemsandalgebrastheory
first_indexed	2025-11-24T05:35:39Z
last_indexed	2025-11-24T05:35:39Z
_version_	1849648784182607872
fulltext	Математичні методи обробки даних 18 УДК 004.942 М. В. Синьков, Я. О. Каліновський, Ю. Є. Боярінова, Т. В. Синькова, О. В. Федоренко Інститут проблем реєстрації інформації НАН України вул. М. Шпака, 2, 03113 Київ, Україна Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр На шляху розвитку вказаного напрямку тісно сплітаються терміноло- гія та понятійний зміст алгебри і гіперкомплексних числових систем. Вивченню цього питання та зв’язаних з ним особливостей присвячено матеріал цієї статті. Ключові слова: гіперкомплексна числова система, алгебра, комплексні числа, кватерніони, бікватерніони. Вступ Автори статті багато років працюють над теорією гіперкомплексних число- вих систем [1]. При цьому в літературі помічена неоднаковість визначень різних авторів. Одні кажуть, що ми маємо справу з алгебрами, приділяючи увагу на ви- гляд елемента, правила додавання та множення елементів. Це ж, по суті, властиво гіперкомплексним числовим системам, тому можна зустріти у великих математи- ків висловлювання такого типу: це алгебра або гіперкомплексна числова система. Автори намагаються більш глибоко вникнути в ці поняття, в зв’язку з цим намі- тили випуск двох статей, з яких перша розглядає етапи розвитку гіперкомплекс- них числових систем, як предмета, найбільш близького нам, а в наступній буде наведено значну кількість висловлювань і визначень алгебри і гіперкомплексної числової системи. У висновку другої статті буде дано визначення гіперкомплексної числової си- стеми (ГЧС), який, з точки зору авторів, найбільш точно відображає справжню сутність цього поняття. Постановка задачі полягає у визначені співвідношення поняття алгебри та гіперкомплексної числової системи в процесі розвитку теоретичних досліджень і виявлення їхньої практичної спрямованості. © М. В. Синьков, Я. О. Каліновський, Ю. Є. Боярінова, Т. В. Синькова, О. В. Федоренко Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2009, Т. 11, № 4 19 Формування поняття гіперкомплексной числової системи Гіперкомплексні числові системи є розширенням поля комплексних чисел. Вивчення цих розширень є новим науковим і практичним напрямком, розвиток якого зустрічав значні труднощі і вимагав зусиль провідних фахівців. Цій роботі присвятили свої праці: У. Гамільтон, А. Келі, Д. Сильвестр, Б. Пірс, Ч. Пірс, Е. Лагерр, А. Пуанкаре, Ш. Ерміт, Р. Грассман, Р. Ганкель, Д. Вейерштрас, Р. Деде- кінд, Р. Фробеніус, А. Кліффорд та інші. Поняття про число розвивалось і розширювалося, починаючи з глибокої ста- ровини, відповідно до практичних і теоретичних потреб. Так, на цьому шляху ви- никли числа натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні, алгебраїчні, трансценде- нтні. Всі ці числа називаються дійсними. При цьому слід зазначити, що вони є од- новимірними. У 1545 р. вийшла в світ книга Д. Кардано «Велике мистецтво» [2]. У ній були введені комплексні числа, які є числами двовимірними. Цікаво зазначити, що во- ни виникли при розв’язанні системи рівнянь, в якій всі праві частини і коефіцієн- ти — числа дійсні. У цей же період почалося вивчення методів розв’язання кубічних рівнянь. До розв’язання цієї задачі певний вклад вніс Н. Тарталья. З’ясувалося, що комплексні числа зустрічаються і при розв’язанні кубічних рівнянь. Формули для їхнього розв’язання відомі під іменами Кардано–Тартальї. Величезне значення для розвитку алгебри мають роботи Р. Бомбеллі. По суті, він розробив у 1572 р. правила роботи з уявними одиницями. Його знаменита «Алгебра» складалася з п’яти частин [3]. У цій книзі Р. Бомбеллі записує правила для складання, віднімання та множення комплексних чисел. Розвиваючи вчення про комплексні числа, Р. Бомбеллі поліпшив формули Кардана–Тартальї для розв’язання кубічних рівнянь. Цікава оцінка, яку дав комплексним числам Лейбніц в 1702 р. Він назвав їх «дивом аналізу, чудовиськом світу ідей, амфібією між буттям і небуттям» [4]. Ставлення до уявних величин принципово змінилося після роботи Ж. Далам- бера «Досвід нової теорії опору рідин» (1752 р.), де він записав рівняння у вигляді дійсної і уявної частин функції комплексної змінної [5]. У цій роботі вперше з’явилися так звані умови Коші–Рімана для аналітичної функції. Можна вважати, що і алгебраїчний шлях до векторів йшов через завдання механіки. Поняття вектор почало широко використовуватися в XVI столітті. Воно за- стосовується для представлення таких фізичних величин, як сила, швидкість та інші, тобто які характеризуються величиною та напрямком. Зображення комплексних чисел у вигляді векторів на площині з чітким гео- метричним поясненням дій над комплексними числами вперше зустрічається в роботі датського геодезиста і картографа К. Весселя «Дослід про аналітичне пред- ставлення напряму і спроба його застосування, переважно до розв’язання плоских і сферичних трикутників» (1799 р.). Найважливішою особливістю цієї роботи бу- ло те, що разом з векторами на площині К. Вессель висунув ідею векторів у прос- торі та зробив спробу виведення закону множення цих векторів [6]. Думки про геометричне тлумачення операцій над комплексними числами бу- М. В. Синьков, Я. О. Каліновський, Ю. Є. Боярінова, Т. В. Синькова, О. В. Федоренко 20 ли висловлені так само Ж. Арганом у роботі «Досвід деякого способу представ- лення уявних величин в геометричних побудовах» (1806 р.). Роботи Ж. Аргана набули найбільшого поширення після публікації «Курсу алгебраїчного аналізу» О. Коші і теорії біквадратичних лишків К. Гаусса [6]. Тому математики XIX сто- ліття стали називати площину комплексної змінної «площиною Коші» або «пло- щиною Гауса». Усі ці роботи можна розглядати як просування до побудови просторової чис- лової системи. І. Кант писав: «Тривимірність виникає від того, що в існуючому світі субстанції діють одна на одну таким чином, що сила цієї дії обернено пропо- рційна квадрату відстань … з іншого закону виникав би зв’язок з іншими власти- востями і вимірами. Наука про всі ці можливі види простору, поза сумнівом, яв- ляла б собою вищу геометрію, яку здатний побудувати кінцевий розум … Якщо можливі зв’язки з іншими вимірами, то ймовірно, що вони дійсно існують» [2]. Необхідно зазначити, що поняття чотиривимірного простору цікавить уже в XVIII столітті такі найсвітліші голови людства, як Ж. Даламбер (стаття «Розмір- ність») і Д. Дідро в їх спільній праці «Енциклопедія або тлумачний словник наук, мистецтв і ремесла» [8]. Про багатовимірність чимало написано Ж. Лагранжем в його роботі «Аналі- тична механіка» (1788 р.). А про чотиривимірний простір, який, як пише автор — «уявити собі не можливо», пише в 1827 р. А. Мебіус в «Барицентричному чис- ленні» [9]. Цікавість до багатовимірності безпосередньо супроводжувалася розвитком алгебраїчних ідей побудови багатовимірних числових систем. Так У. Гамільтон у роботі «Теорія спряжених функцій» (1835 р.) зробив спробу побудови тривимір- ного аналога комплексних чисел [6]. Він у цій праці строго обґрунтував комплек- сну числову систему і представлення цих чисел у вигляді пар дійсних чисел або, що рівнозначно, як векторів на площині. Далі він пробував в 1837–1838 рр. побу- дувати аналітичну теорію для трійок дійсних чисел. Проте всі ці системи мали ді- льники нуля: 0, 0A B  , але 0A B  . А. Морган у роботі «Про основу алгебри» (1847 р.) також розглянув триви- мірні числа виду: 1 2 3ae be ce  з таблицею множення 1e 2e 3e 2e – 3e 1e 3e 1e – 2e Алгебраїчною або числовою системою з елементами наведеного виду працю- вав Ч. Гревс. У статті «Про алгебраїчні триплети» (1847 р.) він показав, що три- плет 1 2 3ae be ce  можна представити у вигляді точки тривимірного простору і що триплет за певних умов можна представити у вигляді суми дійсного і компле- ксного чисел. З цього виходить, що алгебру триплетів можна представити прямою сумою поля дійсних і поля комплексних чисел, що було підтверджено досліджен- нями авторів книги по множинності комутативних ГЧС третьої розмірності. Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2009, Т. 11, № 4 21 У. Гамільтон встановив наявність дільників нуля в усіх розглянутих алгебр третьої розмірності. Тому він почав шукати серед алгебр четвертої розмірності таку алгебру, яка не мала б дільників нуля. І він знайшов таку алгебру, яка має, як і поля дійсних і комплексних чисел, усі властивості поля за винятком комутатив- ності. Результати цих досліджень опубліковані в роботі «Про кватерніони або про нову систему уявностей в алгебрі» (1850 р.), і в «Лекціях про кватерніони» (1853 р.). Елемент системи кватерніонів має вигляд: ,kdjciba  для них додаван- ня покомпонентне, а множення виконується з урахуванням таблиці 1 i j k i –1 k –j j –k –1 i k j –i –1 Слідом за кватерніонами А. Келі ввів їхнє узагальнення — так звані числа Келі або октави. Про них він вперше написав у роботі «Про еліптичні функції Якобі і про кватерніони». Елемент гіперкомплексної системи октав представля- ється у вигляді: .rtqzpylxkdjciba  Додавання октав виконується так само, як і кватерніонів, а множення відповідно до таблиці Значний вплив на розвиток теорії гіперкомплексних числових систем мала робота А. Келі «Мемуари про теорію матриць» (1858 р.), де обґрунтовано матрич- не представлення ГЧС. Істотний внесок у розвиток теорії комплексної числової системи вніс Ж. Ар- ган. Він значною мірою відомий як математик, що дав геометричну інтерпретацію комплексних чисел і вивчав модуль комплексних чисел. К. Гаусс вніс величезний вклад в алгебру і теорію чисел, що значно вплинуло на розвиток теорії гіперкомплексних числових систем. Його праці з теорії чисел дали світу фундаментальну теорему про ізоморфізми в класах лишків комплекс- них і дійсних чисел. 1 i j k l p q r i –1 k –j –p –l r –q j –k –1 i -q –r l p k j –i –1 –r q –p l l –p q r –1 –i –j –k p –l r –q –i –1 r –q q –r –l p j –r –1 l r q –p –l r q –l –1 М. В. Синьков, Я. О. Каліновський, Ю. Є. Боярінова, Т. В. Синькова, О. В. Федоренко 22 Роботи А. Коші є потужним базисом в теорії функцій дійсної і комплексної змінної. Ці дослідження мали суттєвий вплив на подальший розвиток теорії фун- кцій гіперкомплексної змінної. А. Морган запропонував подвійну алгебру і в своєму варіанті дав геометрич- ну інтерпретацію комплексних чисел. Векторне числення в 1844 р. запропонував Г. Грассман, який істотно просу- нув теорію гіперкомплексного представлення даних. Значний розвиток отримала комплексна система чисел у працях Р. Рімана. Ним вивчено застосування комплексних змінних у теорії еліптичних функцій. Рі- ман наблизив свої роботи до побудови так званих ріманових поверхонь. Вважа- ється, що Ріман побудував загальну теорію комплексних змінних. Англійський математик Д. Сильвестр провів важливі дослідження з теорії ма- триць у розвиток робот А. Келі. Величезний вклад в математику і розділи, що нас цікавлять, вніс К. Вейєршт- рас, який ще в 1856 р. написав книгу по теорії аналітичних функцій. Цікавим є той факт, що Вейєрштрас вважав, що комплексне число — це єдине комутативне ал- гебраїчне розширення дійсних чисел. Б. Пірс у США працював над асоціативними алгебрами та почав класифіка- цію комплексних асоціативних алгебр. В. Кліффорд узагальнив кватерніони Гамільтона і ввів бікватерніони, які він використовував для вивчення руху в неевклідових просторах. Велику роль у розвитку ГЧС зіграла знаменита теорема Ф. Фробеніуса, яка стверджує: «Поле дійсних чисел і поле комплексних чисел є єдиною скінченномі- рною асоціативно-комутативною алгеброю без дільників нуля, тіло кватерніонів є єдиною скінченномірною асоціативною, але не комутативною алгеброю без діль- ників нуля, алгебра Келі є єдиною скінченномірною альтернативною, але не асо- ціативною алгеброю без дільників нуля». Подальший розвиток теорія кватерніонів і алгебри Кліффорда отримали в ро- ботах Р. Ліфшиця. Вважається, що він незалежно сформулював і представив алге- бри Кліффорда і застосував їх для вивчення груп обертання [2]. На можливість побудови числових систем, аналогічних комплексним числам, вказував також один з найбільших російських математиків XIX століття Є.І. Золо- тарьов, який в своїй докторській дисертації побудував теорію чисел, що є уза- гальненням комплексних чисел. Дослідження Є.І. Золотарьова належать до алгеб- раїчного напряму побудови гіперкомплексних чисел. Вони були продовжені Д.М. Волковим і М.М. Криловим, які розглядали комплексні числа вигляду 1 0 1 1... n nz x x e x e      , де е — корінь незведеного алгебраїчного рівняння п-го степеня: 1 0 1 1...n n ne p p e p e      в теорії комплексів Галуа. М.М. Крилов нази- ває такі числа z комплексами Галуа. Окремий випадок таких чисел розглянуто В.О. Філіновим у роботах «Багатовимірне узагальнення комплексного числення», «Полінарна алгебра» і «Теорія функцій полінарного аргументу», де як визначаль- не алгебраїчне рівняння п-го ступеня вибрано рівняння 1nj  . Узагальнення комплексних чисел у формі Золотарьова–Крилова, виконане В.Є. Слівінським для матриць, є природним продовженням робіт М.М. Крилова, Є.І. Золотарьова, І.О. Лаппо-Данілевського. Важливість цього узагальнення дик- Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2009, Т. 11, № 4 23 тується збереженням комутативності множення і однозначності ділення на число, що відмінне від нуля або дільника нуля. Подібний підхід застосував Е. Штуді, розглянувши побудову комутативних гіперкомплексних числових систем 2, 3 і 4- го порядку. При цьому він виходив з лінійної незалежності векторів 0 1 2 1, , ,...., na a a a  , де 1 1 ... n na e e    , а побудову уявних одиниць виконував за- лежно від розв’язання рівняння 1 0 1 ...n n na a a    . В.В. Люш у «Теорії універсальних чисел і застосування її до розв’язання ал- гебраїчних рівнянь», а також в «Теорії функцій триплексної змінної» запропону- вав будувати гіперкомплексні числа, виходячи з розв’язання задачі про представ- лення числами векторів в просторі трьох і більше вимірів. Автор вказав, що дана задача може бути розв’язана вибором одиниць — спочатку для простору 2n вимі- рів, а потім для простору числа вимірів, що відрізняється від 2n . Для представ- лення числами векторів у просторі 2n вимірів в розгляд вводяться п незалежних між собою уявних одиниць, квадрат кожною з яких дорівнює –1. Оскільки кожна така одиниця виражає лише один вимір у просторі, то для представлення всіх 2n вимірів слід розглядати окрім ( 1)n базисних одиниць ( 11, ,..., ni i ) ще і всі добут- ки цих одиниць по дві, по три і т.д. У цьому випадку загальне число одиниць до- рівнює 2n . Для простору розмірності m число незалежних одиниць дорівнює т і за одиниці беруться елементарні симетричні функції від 1 2, ,..., mi i i відповідно но- рмовані. У 1973 р. І.Л. Кантор і О.С. Солодовніков у роботі [10] навели основні відо- мості про теорію гіперкомплексних числових систем з позицій загальної алгебри. Книга отримала велику популярність, перекладена декількома мовами і є одним із першим посібником в цій області. Узагальненням некомутативних розширень числових систем довільного по- рядку є числа Грассмана, альтерніони і числа Кліффорда. У загальному випадку числа Грассмана п-го порядку виходять некомутативним подвоєнням чисел Грас- смана ( 1)n  -го порядку за допомогою дуальних чисел. Числа Кліффорда є уза- гальненням чисел Грассмана і альтерніонів. М.В. Синьков і Н.М. Губарені [11] вивчають і доводять фундаментальні тео- реми Гауса про ізоморфізми і проводять побудову систем залишкових класів для алгебр другого порядку, вивчають комутативні і некомутативні подвоєння алгебр, побудови систем залишкових класів для квадриплексних, триплексних чисел, ква- терніонів, октав, бікватерніонів, алгебр Грассмана і Кліффорда. І.Я. Акушський, В.М. Амербаєв, І.Т. Пак [12] займаються дослідженнями з побудови машинної арифметики в комплексній області. Вони розглядають ком- плексне число (або плоский вектор) як елементарний неділимий об’єкт, що дає можливість створення нових методів чисельного розв’язання. Висновки Цей короткий огляд становлення теорії гіперкомплексних числових систем далеко не вичерпує весь матеріал за даною темою. Але з наведеного можна зроби- М. В. Синьков, Я. О. Каліновський, Ю. Є. Боярінова, Т. В. Синькова, О. В. Федоренко 24 ти висновок про велику роль гіперкомплексних числових систем для розвитку те- оретичних досліджень і виявлення їхньої практичної спрямованості. 1. Синьков М.В. Гіперкомплексні числові системи: основи теорії, практичні використання, бібліографія / М.В. Синьков, Я.О. Каліновський, Ю.Є. Боярінова, О.В. Федоренко, Т.В. Синькова. — К.: ІПРІ НАНУ , 2009. ― 49 с. — (Препринт / НАНУ, Ін-т пробл. реєстр. інформації). 2. Колмогоров А.Н. Математика ХІХ века: математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей / А.Н. Колмогоров, А.П. Юшкевич. — М.: Наука, 1970. — Т. 1. —353 с. 3. Смышляев В.К. О математике и математиках / В.К. Смышляев. — Йошкар-Ола: Наука, 1977. — 224 с. 4. Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. Сер. Библиотечка Квант / С.Г. Гинди- кин. — М.: Наука, 1981. — 192 с. 5. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики/ Д.Я. Стройк. — М.: Наука, 1984. — 285 с. 6. Вернадский В.И. Труды по всеобщей истории науки / В.И. Вернадский — М.: Наука, 1988. — 380 c. 7. Лейбниц Г. Рассуждения о метафизике. — Соч. в 4-х томах / Лейбниц Г. — М.: Мысль, 1982. —Т. 1. — 356 с. 8. История механики с древнейших времен до конца XVIII в. — М.: Наука, 1972. 9. Розенфельд А.Б. История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом пространстве / А.Б. Розенфельд. — М.: Наука, 1976. — 408 с. 10. Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа / И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. — М.: Наука, 1973. — 144 с. 11.Синьков М.В. Непозиционные представления в многомерных числовых системах / М.В. Синьков, Н.М. Губарени. — К.: Наук. думка, 1979. — 140 с. 12. Акушский И.Я. Основы машинной арифметики комплексных чисел / И.Я. Акушский, В.М. Амербаев, И.Т. Пак. — Алма-Ата: Наука, 1970. — 247 с. Надійшла до редакції 08.12.2009

Розвиток основ теорії гіперкомплексних числових систем і алгебр

Institution

Similar Items