Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы
Исследованы структура и изоморфизмы неканонических коммутативных гиперкомплекных числовых систем размерности 2 общего вида. Досліджено структуру та ізоморфізми неканонічних комутативних гіперкомплексних числових систем розмірності 2 загального вигляду. The structure and isomorphisms of noncanonical...
Saved in:
| Published in: | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50501 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы / Ю.Е. Бояринова // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 29-38. — Бібліогр.: 6 назв. — pос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860250040751095808 |
|---|---|
| author | Бояринова, Ю.Е. |
| author_facet | Бояринова, Ю.Е. |
| citation_txt | Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы / Ю.Е. Бояринова // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 29-38. — Бібліогр.: 6 назв. — pос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| description | Исследованы структура и изоморфизмы неканонических коммутативных гиперкомплекных числовых систем размерности 2 общего вида.
Досліджено структуру та ізоморфізми неканонічних комутативних гіперкомплексних числових систем розмірності 2 загального вигляду.
The structure and isomorphisms of noncanonical commutative hypercomplex number systems of dimension 2 of the common form are investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:42:01Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 1 29
УДК 004.942
Ю. Е. Бояринова
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
Неканонические гиперкомплексные числовые системы
размерности 2 и их изоморфизмы
Исследованы структура и изоморфизмы неканонических коммутатив-
ных гиперкомплекных числовых систем размерности 2 общего вида.
Ключевые слова: гиперкомплексная числовая система, изоморфизм,
коммутативная система, базис, неканоническая система.
Вступление
Исследования коммутативных гиперкомплексных числовых систем (ГЧС) в
настоящее время в основном ограничивается коммутативными системами [1, 2]. В
то же время исследование неканонических систем имеет как теоретическое, так и
прикладное значение. Так, например, при факторизации бесконечномерных ги-
перкомплексных систем получаются, как правило, неканонические гиперком-
плексные числовые системы [3], исследование которых выходит на повестку дня.
Обзор существующих работ
Неканонические системы второй размерности рассматривались и ранее [2, 4–
6], однако полное их обозрение не проведено.
Напомним определение канонической гиперкомплексной числовой системы.
ГЧС называется канонической, если в выражении произведения двух любых ба-
зисных элементов
å
=
Î=
n
k
k
k
ijji njieee
1
],1[,,g (1)
либо все структурные константы k
ijg равны нулю, либо только одна структурная
константа принимает значения 1± , а все остальные равны нулю.
С точки зрения этого определения ГЧС )2,(eD размерности 2 с базисом
),( 21 ee и таблицей умножения
© Ю. Е. Бояринова
Ю. Е. Бояринова
30
022
211
21
ee
eee
ee
(2)
является канонической, а системы )2,(, eГ qp и )2,(eWa с таблицами умножения
соответственно
12
11
21
0
0
ee
ee
ee
a 2122
211
21
qepeee
eee
ee
+
(3)
являются неканоническими.
Некоторые неканонические ГЧС вида (3) рассмотрены в работах [1, 4–6], ос-
новные результаты которых изложены ниже.
Любая система )2,(eГ размерности 2=n , базис которой содержит единич-
ный элемент, и таблица умножения имеет вид (3), с помощью линейных преобра-
зований
1 1
2 1 2
1
2
e E
qe E E
k k
=
= - +
или
1 1
2 2 12
e E
qe E E
=
= -
(4)
может быть преобразована в только одну из трех изоморфных ей канонических
систем: систему комплексных чисел )2,(EC , систему двойных чисел )2,(EW или
систему дуальных чисел )2,(ED . Критерием изоморфности является знак величи-
ны
4
2qpk += , если
0
0
0
4
2
ï
î
ï
í
ì
@>
@=
@<
+
qp
( ,2),
( ,2),
( , 2),
C E
D E
W E
(5)
где знак @ означает изоморфизм гиперкомплексных систем.
Правило (5) разбивает декартову координатную плоскость структурных кон-
стант p и q на две незамкнутые области, которые отвечают системам, изоморф-
ным C и W , а граница между ними отвечает системам, изоморфным D , как это
показано на рисунке.
На этом же рисунке точка ( )0,0 отвечает канонической системе дуальных
чисел D , точка с координатами ( )1,0 — канонической системе двойных чисел
W , а точка ( )1,0 - — канонической системе комплексных чисел C .
Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 1 31
Области классов изоморфизмов систем размерности 2n = ,
базисы которых содержат единичный элемент
Также в работах [2, 4–6] показано: система двойных чисел )2,(eW с таблицей
умножения
122
211
21
eee
eee
ee
(6)
изоморфна системе )2,(1 EW с таблицей умножения
22
11
21
0
0
EE
EE
EE
, (7)
являющейся прямой суммы двух вещественных систем RRW Å=1 . Изоморфизм
систем (6) и (7) описывается парой линейных преобразований:
.
,
212
211
EEe
EEe
-=
+=
.)(
2
1
,)(
2
1
212
211
eeE
eeE
-=
+=
(8)
Исследование неканонической
коммутативной системы общего вида
Рассмотрим неканоническую коммутативную систему )2,(eГ размерности 2 с
базисом ),( 21 eee = самого общего вида
Ю. Е. Бояринова
32
221122112
221122111
21
)2,(
ececebebe
ebebeaeae
ee
eГ
++
++= , (9)
где все структурные константы — вещественные числа. Конечно, не любая таб-
лица вида (9) будет представлять собой гиперкомплексную числовую систему.
Она, прежде всего, должна иметь единичный элемент e .
Если
2211 exex +=e , (10)
то наличие единичного элемента будет требовать существования нетривиального
вещественного решения гиперкомплексного уравнения
WW =e , (11)
где )2,(2211 eГewewW Î+= . Уравнение (11) превращается в систему линейных
вещественных уравнений
1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1
1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2
( ) ( ) ,
( ) ( ) ,
w a w b x w b w c x w
w a w b x w b w c x w
+ + + =ì
í + + + =î
(12)
откуда
2 2
2 1 2 1 1 2 1 2
1 2 2
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2
2 2
2 1 1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2
( ) ,
( ) ( ) ( )
( ) .
( ) ( ) ( )
b w c b w w c wx
a b a b w a c a c w w b c b c w
a w a b w w b wx
a b a b w a c a c w w b c b c w
+ - +
=
- + - + -
- + - +
=
- + - + -
(13)
Как видно из (13), компоненты единичного элемента зависят не только от
структурных констант гиперкомплексной системы )2,(eГ , что, в общем, не проти-
воречит определению единичного элемента, но и от компонентов коэффициента
W уравнения определения единичного элемента (11), чего не должно быть. Един-
ственным методом избавления зависимости выражений (13) от компонентов чис-
ла W является пропорциональность коэффициентов квадратичных форм, стоящих
в числителях и знаменателях (13):
1221
1
1221
12
1221
2
cbcb
c
caca
bc
baba
b
-
-
=
-
-
=
-
, (14)
1221
1
1221
21
1221
2
cbcb
b
caca
ba
baba
a
-
=
-
-
=
-
- . (15)
Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 1 33
Выражения (14) и (15) представляют собой систему из четырех независимых
уравнений, которые определяют такие требования к структурным константам, что
ГЧС (9) будет иметь единичный элемент e .
Система четырех уравнений (14), (15) имеет шесть неизвестных структурных
констант. Будем считать константы 1 2,c c свободными, поскольку ГЧС с такими
структурными константами уже известны.
Тогда система (14), (15) имеет два решения.
1 решение:
.,,,0,0, 2112121 RccabbaRa Î===Î (16)
Это решение приводит к такой системе:
2211212
21111
21
1 )2,(
ececeae
eaeae
ee
eГ
+
= . (17)
Система )2,(1 eГ имеет единичный элемент ε, не являющийся элементом базиса
1
1
1 e
a
=e , (18)
в чем можно убедиться непосредственно:
Wewewea
a
wea
a
we
a
ewewW =+=+=+= 221121
1
211
1
11
1
2211
111)(e . (19)
Линейным невырожденным преобразованием базиса ),( 21 eee = можно перейти к
новому базису:
1 1
1
2 2
1 ,
,
f e
a
f e
=
=
(20)
что дает ГЧС )2,(2 fГ , изоморфную )2,(1 eГ :
2211122
211
21
2 )2,(
fcfcaff
fff
ff
fГ
+
= . (21)
Ю. Е. Бояринова
34
Система )2,(2 fГ — это система, совпадающая с точностью до обозначений с
системой )2,(, eГ qp . В зависимости от знака величины
4
2
2
11
cca + , (22)
она изоморфна одной из «классических» систем: комплексной )2,(eC , дуальной
)2,(eD , двойной )2,(eW .
2 решение:
{ }
2
1 1 1 1 2
1 2 2 1 1
1
1 1 2
2 1 2
1
( )( ), , ,
( ) , \ 0 , .
b b c b cb R b c b a
c
b b ca c R c R
c
- - -
Î = - =
-
= - Î Î
(23)
Это решение приводит к такой системе:
2211212112
212112
1
211
1
1
2111
2
1
1
21
3
)(
)(
)())((
)2,(
ececebcebe
ebcebe
c
cbbe
c
cbcbbe
ee
eГ
+-+
-+
-
-
---
= . (24)
ГЧС )2,(3 eГ имеет единичный элемент
)(
)(
1
2111
21121
ebec
ccbcc
-
+-
=e , (25)
в чем можно убедиться непосредственно, как и в (19), однако ввиду громоздкости
выражений этот вывод здесь приводить не будем.
При значениях структурных констант
1 2 2 1 2 20, , , 0b b c a c a= = = = (26)
система (24) )2,(3 eГ превращается в изоморфную ей систему
2211222
22121
21
4 )2,(
ececece
ecece
ee
eГ
+
= (27)
с единичным элементом
Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 1 35
1
2
1 e
c
=e . (28)
Линейным невырожденным преобразованием базиса ),( 21 eee = можно перейти к
новому базису:
1 1
2
2 2
1 ,
,
f e
c
f e
=
=
, (29)
что дает ГЧС )2,(5 fГ , изоморфную )2,(4 eГ :
2212122
211
21
5 )2,(
fcfccff
fff
ff
fГ
+
= . (30)
Система )2,(5 fГ — это система, совпадающая с точностью до обозначений с
системой )2,(, eГ qp . В зависимости от знака величины
4
2
2
21
ccc + (31)
она изоморфна одной из «классических» систем: комплексной )2,(eC , дуальной
)2,(eD , двойной )2,(eW .
Выше отмечалось, что система двойных чисел )2,(eW (6) изоморфна системе
)2,(1 EW с таблицей умножения (7).
Рассмотрим некоторые неканонические ГЧС диагонального типа (7). Наибо-
лее общий вид такой системы:
212
211
21
6
0
0)2,(
eee
eee
ee
eГ
dg
ba
+
+= . (32)
Исследуем, какие условия на структурные константы накладывает требова-
ние наличия в системе единичного элемента e . Пусть e имеет вид (10), тогда на-
личие единичного элемента будет требовать существования нетривиального ве-
щественного решения гиперкомплексного уравнения (11), которое при выполне-
нии всех операций превращается в систему линейных вещественных уравнений
Ю. Е. Бояринова
36
1 1 2 2 1
1 1 2 2 2
,
,
w x w x w
w x w x w
a g
b d
+ =ì
í + =î
откуда
2
1 2 2
1
1 2
2
1 1 2
2
1 2
,
( )
.
( )
w w wx
w w
w w wx
w w
d g
ad bg
b a
ad bg
-
=
-
- +
=
-
Так как компоненты единичного элемента e не должны зависеть от 1w и 2w ,
то необходимо 0== gb , и система (32) принимает вид
22
11
21
7
0
0)2,(
ee
ee
ee
eГ
d
a= (33)
с единичным элементом 21
11 ee
da
e += .
Определим оператор изоморфизма, переводящий систему )2,(1 eW с таблицей
умножения
22
11
21
1
0
0)2,(
ee
ee
ee
eW = (34)
в систему )2,(7 fГ :
1 7( ,2) ( , 2),
L
W e Г f@
1 11 1 12 2
1 21 1 22 2
,
:
.
e x f x f
L
e x f x f
= +ì
í = +î
Гиперкомплексная система изоморфизма в соответствии с (34) и (33) имеет
вид
2 2
1 1 1 11 1 12 2 11 1 12 2
1 2 11 21 1 12 22 2
2 2
2 2 2 21 1 22 2 21 1 22 2
= ,
0 = 0,
= ,
e e e x f x f x f x f
e e x x f x x f
e e e x f x f x f x f
a d
a d
a d
ì ì= + +
ï ï= Þ +í í
ï ï= + +îî
(35)
Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 1 37
что дает такую вещественную систему
2
11 11
2
12 12
11 21
12 22
2
21 21
2
22 22
,
,
0,
0,
,
,
x x
x x
x x
x x
x x
x x
a
d
a
d
a
d
ì =
ï =ï
ï =ï
í
=ï
ï =
ï
=ïî
которая имеет два решения:
01102
10011
22211211
ad
da
xxxx
.
Оба решения эквивалентны в том смысле, что дают невырожденное линейное
преобразование, переводящее систему )2,(1 eW в )2,(7 fГ , в чем можно убедиться,
используя таблицы умножения (33), (34). Для определенности в дальнейших рас-
суждениях будем пользоваться первым решением:
1 1
2 2
1 ,
1 .
e f
e f
a
d
=
=
(36)
Как было показано выше, любая неканоническая ГЧС общего вида (9) может
быть изоморфна ГЧС )2,(, eГ qp вида (3), которая, в свою очередь, при
0
4
2
>+=
qpk изоморфна системе )2,(7 gГ . Построим изоморфный переход от си-
стемы )2,(, eГ qp к системе )2,(7 gГ . Для облегчения этого процесса осуществим
этот переход через систему )2,(1 fW , так как изоморфные переходы между ней и
двумя другими системами известны: (4) и (36) с соответствующим переименова-
нием базисов. То есть, осуществим такую цепочку изоморфных переходов
1 2
, 1 7( ,2) ( ,2) ( , 2),
L L
p qГ e W f Г g@ @ (37)
где
Ю. Е. Бояринова
38
1 1
1
2 1 2
,
: 1 ,
2
e f
L qe f f
k k
=ì
ï
í
= - +ïî
1 1
2
2 2
1 ,
:
1 .
f g
L
f g
a
d
ì =ïï
í
ï =
ïî
(38)
С помощью соотношений (37), (38) можно построить оператор изоморфизма
3L между системами )2,(, eГ qp и )2,(7 gГ , являющийся суперпозицией операторов
1L и 2L :
3
, 7( , 2) ( , 2).
L
p qГ e Г g@
Тогда:
1 1
3 1 2
2 1 2
1 ,
:
1 .
2
e g
L L L
qe g g
k k
a
a d
ì =ïï= í
ï = - +
ïî
Выводы
В работе исследованы неканонические гиперкомплексные числовые системы
размерности 2 общего вида. Показано, что при соответствующих наборах струк-
турных констант они изоморфны «классическим» гиперкомплексным числовым
системам.
1. Синьков М.В. Конечномерные гиперкомплексные числовые системы. Основы теории.
Применения / М.В. Синьков, Ю.Е. Бояринова, Я.А. Калиновский. — К.: Инфодрук, 2010. — 388 с.
2. Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа / И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. — М.: Наука,
1973. — 144 с.
3. Бояринова Ю.Е. Решение задачи множественности гиперкомплексных числовых систем //
Матерiали 12-ї Мiжнар. наук.-техн. конф. SAIT 2010. — Київ, 25–29 травня 2010 р. — 411 с.
4. Изучение специальных видов преобразования базиса в ГЧС второго порядка / М.В. Синь-
ков, Я.А. Калиновский, А.А. Чапор, Т.В. Синькова // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. ―
1999. ― Т. 1, № 2. ― С. 39–43.
5. Синьков М.В. Некоторые линейные и нелинейные операции обобщенных комплексных
чисел / М.В. Синьков, Я.А. Калиновский, Т.В. Синькова // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. ―
2002. ― Т. 4, № 3. ― С. 55–61.
6. Биплексные числовые системы и функции в них / М.В. Синьков, Я.А. Калиновский, Ю.Е.
Бояринова, Т.В. Синькова // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. ― 2005. ― Т. 7, № 4. ―
С. 21–28.
Поступила в редакцию 07.02.2011
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50501 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1560-9189 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:42:01Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Бояринова, Ю.Е. 2013-10-22T15:31:53Z 2013-10-22T15:31:53Z 2011 Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы / Ю.Е. Бояринова // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2011. — Т. 13, № 1. — С. 29-38. — Бібліогр.: 6 назв. — pос. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50501 004.942 Исследованы структура и изоморфизмы неканонических коммутативных гиперкомплекных числовых систем размерности 2 общего вида. Досліджено структуру та ізоморфізми неканонічних комутативних гіперкомплексних числових систем розмірності 2 загального вигляду. The structure and isomorphisms of noncanonical commutative hypercomplex number systems of dimension 2 of the common form are investigated. ru Інститут проблем реєстрації інформації НАН України Реєстрація, зберігання і обробка даних Математичні методи обробки даних Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы Неканоничні гіперкомплексні числові системи розмірності 2 та їхні ізоморфізми Noncanonical Hypercomplex Number Systems of Dimension 2 and Their Isomorphisms Article published earlier |
| spellingShingle | Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы Бояринова, Ю.Е. Математичні методи обробки даних |
| title | Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы |
| title_alt | Неканоничні гіперкомплексні числові системи розмірності 2 та їхні ізоморфізми Noncanonical Hypercomplex Number Systems of Dimension 2 and Their Isomorphisms |
| title_full | Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы |
| title_fullStr | Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы |
| title_full_unstemmed | Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы |
| title_short | Неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы |
| title_sort | неканонические гиперкомплексные числовые системы размерности 2 и их изоморфизмы |
| topic | Математичні методи обробки даних |
| topic_facet | Математичні методи обробки даних |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50501 |
| work_keys_str_mv | AT boârinovaûe nekanoničeskiegiperkompleksnyečislovyesistemyrazmernosti2iihizomorfizmy AT boârinovaûe nekanoničnígíperkompleksníčislovísistemirozmírností2taíhníízomorfízmi AT boârinovaûe noncanonicalhypercomplexnumbersystemsofdimension2andtheirisomorphisms |