Построение высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерности
Исследовано построение новых высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерностей, что позволяет конструировать слабо- и сильнозаполненные таблицы умножения изоморфных гиперкомплексных числовых систем, которые могут применяться при синтезе цифровых фильтров. Ра...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
|---|---|
| Datum: | 2011 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2011
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50526 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Построение высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерности / Ю.Е. Бояринова // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2011. — Т. 13, № 3. — С. 30-39. — Бібліогр.: 8 назв. — pос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50526 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бояринова, Ю.Е. 2013-10-22T23:43:26Z 2013-10-22T23:43:26Z 2011 Построение высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерности / Ю.Е. Бояринова // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2011. — Т. 13, № 3. — С. 30-39. — Бібліогр.: 8 назв. — pос. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50526 004.942 Исследовано построение новых высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерностей, что позволяет конструировать слабо- и сильнозаполненные таблицы умножения изоморфных гиперкомплексных числовых систем, которые могут применяться при синтезе цифровых фильтров. Рассмотрены свойства процедуры умножения размерности. Досліджено побудову нових високорозмірних гіперкомплексних числових систем за допомогою процедури множення розмірності, що дозволяє конструювати слабо- і сильнозаповнені таблиці множення ізоморфних гіперкомплексних числових систем, які можуть бути застосовані при синтезі цифрових фільтрів. Розглянуто властивості процедури множення розмірності. The construction of new high-dimension hypercomplex number systems using the dimension multiplication procedure is studied. This allows to construct low- and high-filled multiplication tables of isomorphic hypercomplex number systems, which can be used in the synthesis of digital filters. The properties of the dimension multiplication procedure are considered. ru Інститут проблем реєстрації інформації НАН України Реєстрація, зберігання і обробка даних Математичні методи обробки даних Построение высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерности Побудова високорозмірних гіперкомплексних числових систем за допомогою процедури множення розмірності Сonstruct of Gigh-Dimension Hypercomplex Number Systems Using the Dimension Multiplication Procedure Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Построение высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерности |
| spellingShingle |
Построение высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерности Бояринова, Ю.Е. Математичні методи обробки даних |
| title_short |
Построение высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерности |
| title_full |
Построение высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерности |
| title_fullStr |
Построение высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерности |
| title_full_unstemmed |
Построение высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерности |
| title_sort |
построение высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерности |
| author |
Бояринова, Ю.Е. |
| author_facet |
Бояринова, Ю.Е. |
| topic |
Математичні методи обробки даних |
| topic_facet |
Математичні методи обробки даних |
| publishDate |
2011 |
| language |
Russian |
| container_title |
Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| publisher |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Побудова високорозмірних гіперкомплексних числових систем за допомогою процедури множення розмірності Сonstruct of Gigh-Dimension Hypercomplex Number Systems Using the Dimension Multiplication Procedure |
| description |
Исследовано построение новых высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерностей, что позволяет конструировать слабо- и сильнозаполненные таблицы умножения изоморфных гиперкомплексных числовых систем, которые могут применяться при синтезе цифровых фильтров. Рассмотрены свойства процедуры умножения размерности.
Досліджено побудову нових високорозмірних гіперкомплексних числових систем за допомогою процедури множення розмірності, що дозволяє конструювати слабо- і сильнозаповнені таблиці множення ізоморфних гіперкомплексних числових систем, які можуть бути застосовані при синтезі цифрових фільтрів. Розглянуто властивості процедури множення розмірності.
The construction of new high-dimension hypercomplex number systems using the dimension multiplication procedure is studied. This allows to construct low- and high-filled multiplication tables of isomorphic hypercomplex number systems, which can be used in the synthesis of digital filters. The properties of the dimension multiplication procedure are considered.
|
| issn |
1560-9189 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50526 |
| citation_txt |
Построение высокоразмерных гиперкомплексных числовых систем с помощью процедуры умножения размерности / Ю.Е. Бояринова // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2011. — Т. 13, № 3. — С. 30-39. — Бібліогр.: 8 назв. — pос. |
| work_keys_str_mv |
AT boârinovaûe postroenievysokorazmernyhgiperkompleksnyhčislovyhsistemspomoŝʹûproceduryumnoženiârazmernosti AT boârinovaûe pobudovavisokorozmírnihgíperkompleksnihčislovihsistemzadopomogoûprocedurimnožennârozmírností AT boârinovaûe sonstructofgighdimensionhypercomplexnumbersystemsusingthedimensionmultiplicationprocedure |
| first_indexed |
2025-11-26T01:46:00Z |
| last_indexed |
2025-11-26T01:46:00Z |
| _version_ |
1850606878641356800 |
| fulltext |
30
УДК 004.942
Ю. Е. Бояринова
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
Построение высокоразмерных гиперкомплексных
числовых систем с помощью процедуры
умножения размерности
Исследовано построение новых высокоразмерных гиперкомплексных
числовых систем с помощью процедуры умножения размерностей,
что позволяет конструировать слабо- и сильнозаполненные таблицы
умножения изоморфных гиперкомплексных числовых систем, которые
могут применяться при синтезе цифровых фильтров. Рассмотрены
свойства процедуры умножения размерности.
Ключевые слова: гиперкомплексные числовые системы, таблица ум-
ножения, процедура умножения размерностей.
Памяти доктора технических наук,
профессора М.В. Синькова
Введение
В настоящее время происходит бурное развитие технологий, связанных с об-
работкой и представлением информации. Следует отметить, что теория гипер-
комплексных числовых систем (ГЧС), как один из способов представления ин-
формации, активно развивается во многих странах, а ее методы используются для
моделирования важных задач науки и техники. Гиперкомплексные числовые сис-
темы получили важные применения в задачах инерциальной навигации и управ-
ления подвижными объектами, в практических задачах механики, электродина-
мики, радиоэлектроники, криптографии, цифровой обработке сигналов и многих
других [1, 2]. Эти примеры свидетельствуют о тенденции развития прикладных
аспектов с использованием гиперкомплексных числовых систем. Ранее применя-
лись ГЧС небольшой размерности — 3–4. Однако все большее усложнение ре-
шаемых задач требует применения высокоразмерных ГЧС, поэтому становится
необходимым получение их с различными таблицами умножения.
Для формирования ГЧС можно использовать следующие методы:
— метод перебора всевозможных таблиц определенной размерности с после-
дующей проверкой на принадлежность полученной таблицы к гиперкомплексным
числовым системам;
© Ю. Е. Бояринова
Построение высокоразмерных гиперкомплексных
числовых систем с помощью процедуры умножения размерности
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 3 31
— метод путей на графах, позволяющий получить только один представитель
класса изоморфизма, но не его состав;
— метод перехода от бесконечномерных гиперкомплексных систем к конеч-
номерным ГЧС. Однако с увеличением размерности получаемые ГЧС будут нека-
ноническими.
Эти методы получения высокоразмерных ГЧС являются трудоемкими, по-
этому появилась необходимость предложить более простой метод получения изо-
морфных ГЧС.
Интерес к вопросу о возможности конструирования пар изоморфных ГЧС
высокой размерности, одна из которых сильнозаполненная, а другая — слабоза-
полненная, возник сравнительно недавно в связи с использованием гиперком-
плексных числовых систем для математического моделирования. Дело в том, что
для создания математических моделей, как правило, нужны сильнозаполненные
ГЧС, а при их использовании выгоднее применять изоморфные слабозаполнен-
ные, так как при этом значительно сокращается количество вычислений [2].
Слабозаполненной гиперкомплексной числовой системой называется такая
ГЧС, в таблице умножения которой много нулевых ячеек. В слабозаполненной
ГЧС ненулевые ячейки лежат не только на диагонали таблицы умножения. В про-
тивоположность этому в сильнозаполненной ГЧС нулевых ячеек мало, или они
вообще отсутствуют.
Примеры слабо- и сильнозаполненных ГЧС
Простейшими примерами таких ГЧС является пара следующих изоморфных
ГЧС, принадлежащих алгебре двойных чисел:
Как видно, если в таблице умножения ГЧС W ненулевых ячеек нет, то в таб-
лице умножения ГЧС 1W они только на диагонали, а остальные ячейки нулевые.
Таким образом, система W — сильнозаполненная, система 1W — слабозаполнен-
ная.
Сравним вычисления в слабо- и сильнозаполненных ГЧС.
Так, например, при умножении двух чисел в системе W
212211221122112211 )()())(( ebabaebabaebebeaea +++=++
необходимо выполнить 4 умножения и 2 сложения над вещественными числами, а
при умножении в системе 1W
22211122112211 ))(( EBAEBAeBeBeAeA +=++
1E 2E
1W – 1E 1E 0
2E 0 2E
1e 2e
W – 1e 1e 2e
2e 2e 1e
Ю. Е. Бояринова
32
всего лишь 2 умножения. При увеличении размерности используемых ГЧС этот
эффект значительно увеличивается.
Правда, при переходе из одной системы в другую необходимо произвести
дополнительные операции. Так, в данном случае преобразования имеют следую-
щий вид:
1 1 2 1 1 2
2 1 2 2 1 2
, = ( ) / 2,
, = ( ) / 2.
A a a a A A
A a a a A A
= + +
= - -
Они предполагают 4 сложения, а деление на 2 — короткая операция, осуще-
ствляемая сдвигом регистров, что занимает очень мало времени. Как правило, с
преобразованными числами осуществляется много операций, при этом расход
времени на преобразование в расчете на одну операцию с гиперкомплексными
числами невелик.
Процедуры удвоения ГЧС
Получение изоморфных пар ГЧС более высоких размерностей был бы воз-
можен, если бы были перечислены классы изоморфизмов ГЧС необходимой раз-
мерности и были бы известны полные составы этих классов. Однако, как показы-
вают исследования, перечисление классов изоморфизмов ГЧС сопряжено с боль-
шими трудностями и в настоящее время возможно только для ГЧС невысоких
размерностей [2].
С другой стороны, известны рекуррентные процедуры удвоения ГЧС, кото-
рые позволяют строить ГЧС все больших и больших размерностей. Целью данной
работы является исследование возможностей применения процедур удвоения ГЧС
для получения именно таких пар изоморфных ГЧС сильной и слабой заполнен-
ности.
Существуют два типа процедур удвоения: процедуры Кейли–Диксона (КД) и
процедуры Грассмана–Клиффорда (ГК).
КД-процедуры позволяют получать нормированные ГЧС размерности n2 , где
NnÎ — порядок удвоения [3–7]. При 4>n они неассоциативные, что делает вы-
полнение алгебраических операций в таких ГЧС очень трудными.
ГК-процедуры позволяют получить более широкие классы ГЧС как по раз-
мерности, так и по свойствам [4, 8].
Рассмотрим подробнее процесс удвоения по ГК-процедуре.
Оператор удвоения ГЧС
Для дальнейшего изложения условимся о следующих обозначениях. В самом
общем случае гиперкомплексная числовая система будет обозначаться ),( neG ,
где },...,,{ 21 neeee = — базис ),( neG , n — размерность ГЧС ),( neG .
В том случае, когда речь идет о ГЧС конкретного типа, она будет обозначать-
ся именем своего типа, как, например, рассмотренная выше система двойных чи-
сел )(eW . Здесь уже размерность можно не указывать, так как она известна из типа
Построение высокоразмерных гиперкомплексных
числовых систем с помощью процедуры умножения размерности
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 3 33
ГЧС. Однако имя базиса указывать нужно, так как при удвоении могут рассматри-
ваться два экземпляра одной и той же ГЧС, но базисы у них нужно различать.
Если рассматривается коммутативная ГЧС в общем виде, то ее таблица ум-
ножения будет иметь наиболее обобщенный вид:
(1)
Введем далее обозначение оператора удвоения системы ),(1 neG системой
)2,(2 fG :
))2,(),,(( 21 fneД GG . (2)
Результатом выполнения оператора удвоения Д в данном случае будет неко-
торая ГЧС (коммутативная) размерности n2 . Ее базис, обозначение которого —
ef , будет таким:
1 1 1 2 2 1 2 2 1 2{ , , , ,..., , }n nef e f e f e f e f e f e f= , (3)
т.е. можно записать:
)2,())2,(),,(( 321 neffneД GGG = .
Заметим, что размерность полученной ГЧС равна n2 исключительно из-за
коммутативности ГЧС 1G и 2G . В противном случае размерность полученной
системы в общем случае должна была быть равной n4 .
Рассмотрим пример удвоения
)4,())2,(),2,(( 321 effeД GGG = .
Базис системы )4,(3 efG : },,,{ 22122111 fefefefeef = . С таблицей умножения
системы )4,(3 efG можно проделать следующие символические преобразования,
основанные на коммутативности всех рассматриваемых систем:
1e 2e ... ne
1e 11ee 21ee ... nee1
2e 21ee 22ee ... nee2
... ... ... ... ...
ne nee1 nee2 ... nnee
11 fe 21 fe 12 fe fe2
11 fe 1111 ffee 2111 ffee 1121 ffee 2121 ffee
21 fe 2111 ffee 2211 ffee 2121 ffee 2221 ffee Û (4)
12 fe 1121 ffee 2121 ffee 1122 ffee 2122 ffee
22 fe 2121 ffee 2221 ffee 2122 ffee 2222 ffee
Ю. Е. Бояринова
34
Если изменить порядок следования базисных элементов системы 3 ( ,4)efG
таким образом: },,,{ 22211211 fefefefeef = , что равносильно перемене мест второй и
третьей строк и соответственно столбцов таблицы умножения системы )4,(3 efG ,
то получим такую символическую таблицу умножения:
Заметим, что в таблицах (5) и (6) вынесенные символически за таблицу ум-
ножения произведения базисных элементов сами представляют собой таблицу
умножения «своей» ГЧС: в таблице (5) — 1( , 2)eG , в таблице (6) — 2 ( ,2)fG . По-
лученный результат приводит к выводу о коммутативности процедуры умноже-
ния относительно своих операндов. Формальное доказательство этого факта, а
также его обобщение, будет приведено в последующих работах.
Представление результата удвоения с помощью блочных таблиц позволяет
быстро построить таблицу умножения.
Обобщение процедуры удвоения —
процедура умножения размерности ГЧС
Процедура удвоения фактически означает то, что компоненты гиперком-
плексного числа для данной ГЧС уже не являются вещественными числами, а
числами, принадлежащими к какой-либо ГЧС размерности 2. В принципе они мо-
гут принадлежать к ГЧС любой размерности. В этом случае размерность полу-
ченной ГЧС будет уже не удваиваться по отношению к исходной, а умножаться
на размерность той ГЧС, элементами которой будут компоненты исходной ГЧС.
В отличие от процедуры удвоения назовем такой процесс процедурой умно-
жения размерности ГЧС. Оператор умножения размерности будем обозначать так
же, как и оператор удвоения размерности:
),()),(),,(( 321 nmefmfneД GGG = . (7)
11 fe 21 fe 12 fe 22 fe
11 fe
21 fe 211 Gee 221 Gee
(5)
12 fe
22 fe 221 Gee 222 Gee
11 fe 12 fe 21 fe 22 fe
11 fe
12 fe 111 Gff 121 Gff (6)
21 fe
22 fe 121 Gff 122 Gff
Построение высокоразмерных гиперкомплексных
числовых систем с помощью процедуры умножения размерности
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 3 35
Базис полученной системы будет иметь nm элементов:
1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1{ , ,... , , ,..., ,... ,..., }m m n n mef e f e f e f e f e f e f e f e f= . (8)
Представление результата умножения размерности с помощью блочных таб-
лиц позволяет быстро построить таблицу умножения. Блочная таблица в зависи-
мости от порядка перечисления элементов базиса может представлять собой либо
nn´ блоков размерами mm´ , как показано на следующей схеме
либо mm´ блоков размерами nn´ .
Основные свойства оператора умножения размерности ГЧС
При использовании процедуры умножения размерности базис получаемых
ГЧС состоит из парных произведений базисных элементов исходных ГЧС. При
этом предполагается коммутативность базисных элементов относительно их про-
изведения. Поэтому, независимо от порядка расположения ГЧС в операторе ум-
ножения размерности, полученные базисы будут одинаковыми. А, значит, будут
идентичными и таблицы умножения ГЧС, полученных при перестановке их в
операторе умножения размерности.
Таким образом, может быть сформулирована теорема о коммутативности
процедуры умножения размерности относительно своих операндов.
Теорема 1.
Если:
1) 1( , )e nG и 2 ( , )f mG коммутативны,
2) i j j ie f f e= , 1,..., ; 1,...,i n j m" = " = ,
11 fe 21 fe … mfe1 12 fe 22 fe … mfe2 … 1fen … mn fe
11 fe
21 fe
…
mfe1
211 Gee 221 Gee 21 Gnee
12 fe
22 fe , (9)
…
mfe2
221 Gee 222 Gee 22 Gnee
… …
1fen
…
mn fe
21 Gnee 22 Gnee 2Gnnee
Ю. Е. Бояринова
36
тогда )),(),,((~)),(),,(( 1221 nemfДmfneД GGGG - , причем изоморфизм устанавли-
вается перестановкой строк и столбцов таблиц умножения.
Действительно, пусть 1 2( ( , ), ( , )) = ( , )Д e n f m ef nm¢G G G , а 2 1( ( , ), ( , ))Д f m e nG G =
( , )fe nm¢¢= G . Но из коммутативности элементов базисов ijji effe = вытекает
коммутативность базисов ( ) ( )ef fe= , откуда следует: ),(~),( nmfenmef GG -¢ , что
и требовалось доказать.
Рассмотрим случай, когда к одной и той же ГЧС применяются процедуры
умножения размерности различными ГЧС, но одинаковых размерностей. Тогда в
результате получаются различные ГЧС одинаковой размерности, но, в общем слу-
чае, неизоморфные между собой. Однако, если для умножения размерности при-
меняются изоморфные ГЧС, то и результаты умножения также будут изоморф-
ными между собой. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема 2.
Пусть: ),(~),( 32 mgmf GG - .
Тогда )),(),,((~)),(),,(( 3121 mgneДmfneД GGGG - , т.е. умножение размерности
одной и той же ГЧС изоморфными ГЧС приводит к изоморфным ГЧС.
Для доказательства необходимо показать существование невырожденного
линейного преобразования, связывающего базисы полученных ГЧС.
Пусть: 1 2 4( ( , ), ( , )) = ( , )Д e n f m ef nmG G G , 1 3 5( ( , ), ( , )) = ( , )Д e n g m eg mnG G G .
Так как 32
~ GG - , то существует линейное преобразование 1L , переводящее ба-
зис ( )f в базис ( )g :
1
1
: , 1,..., ,
m
i ij j
j
L f g i ma
=
= " =å det 0.ija ¹ (10)
Тогда базис ( )ef преобразуется так:
å
=
=
m
j
jkijik gefe
1
a , 1,..., , 1,...,i m k m" = " = . (11)
Это также линейное преобразование, матрица которого имеет размеры
mnmn´ . В каждой строке матрицы только m ненулевых элементов ija . Это ли-
нейное преобразование можно построить таким образом, что на главной диагона-
ли его матрицы располагаются n квадратных матриц линейного преобразования
1L ( mm´ ), так что определитель этого линейного преобразования равен
1(det ) 0nL ¹ .
Для более наглядного представления распишем подробно структуру линейно-
го преобразования для случая 3=n , 2=m .
Пусть:
Построение высокоразмерных гиперкомплексных
числовых систем с помощью процедуры умножения размерности
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 3 37
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
,
.
f g g
f g g
a a
a a
= +
= +
Тогда:
1 1 11 1 1 12 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2
1 2 21 1 1 22 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2
2 1 1 1 1 2 11 2 1 12 2 2 3 1 3 2
2 2 1 1 1 2 21 2 1 22 2 2 3 1 3 2
3 1
0 0 0 0 ,
0 0 0 0 ,
0 0 0 0 ,
0 0 0 0 ,
e f e g e g e g e g e g e g
e f e g e g e g e g e g e g
e f e g e g e g e g e g e g
e f e g e g e g e g e g e g
e f
a a
a a
a a
a a
= + + × + × + × + ×
= + + × + × + × + ×
= × + × + + + × + ×
= × + × + + + × + ×
1 1 1 2 2 1 2 2 11 3 1 12 3 2
3 2 1 1 1 2 2 1 2 2 21 3 1 22 3 2
0 0 0 0 ,
0 0 0 0 .
e g e g e g e g e g e g
e f e g e g e g e g e g e g
a a
a a
= × + × + × + × + +
= × + × + × + × + +
Вполне очевидно, что детерминант матрицы этого линейного преобразования
равен:
3
11 12
21 22
a a
a a
æ ö
D = ç ÷
è ø
.
Учитывая (10), 0.D ¹
В общем случае получим:
= (det ) 0n
ijaD ¹ .
Таким образом, показано существование невырожденного линейного преоб-
разования, переводящего базис 4 ( , )ef nmG в базис 5 ( , )eg mnG . А значит, эти ГЧС
изоморфны:
)),(),,((~)),(),,(( 3121 mgneДmfneД GGGG - ,
что и требовалось доказать.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть есть две пары изоморфных между со-
бой систем
),(~),( 31 mfne GG - и ),(~),( 42 mhng GG - ,
так, что
gLe 1= , или j
n
j
iji ge å
=
=
1
a , hLf 2= , или å
=
=
m
l
lklk hf
1
b .
Ю. Е. Бояринова
38
Что можно сказать о связи между системами 1 2( ( , ), ( , ))Д e n f mG G и
3 4( ( , ), ( , ))Д g n h mG G , полученными умножениями размерности? Их изоморфизм
вытекает из теорем 1 и 2:
1 2 1 4 4 1
4 3 3 4
( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , )) = ( ( , ), ( , ))
( ( , ), ( , )) = ( ( , ), ( , )).
Д e n f m Д e n f m Д e n f m
Д e n f m Д e n f m
G G - G G G G -
- G G G G
% %
%
Возникает вопрос, как построить линейное преобразование, связывающее
системы 1 2( ( , ), ( , ))Д e n f mG G и 3 4( ( , ), ( , ))Д g n h mG G ?
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.
Теорема 3.
Пусть: ),(~),( 31 nfne GG - и ),(~),( 42 mhmg GG - , gLe 1= , hLf 2= .
Тогда 1 2( ( , ), ( , ))Д e n f mG G = ),(~),( 65 mnghmnef GG - = 3 4( ( , ), ( , ))Д g n h mG G , и
существует невырожденное линейное преобразование, переводящее базис ( )ef в
базис ( )gh .
Первая часть утверждения доказана выше. Искомое линейное преобразование
строится так:
ljkl
n
j
m
l
ij
m
l
lklj
n
j
ijki hghgfe baba åååå
= ===
=×=
1 111
; 1,..., ; 1,...,i n k m" = " = . (12)
Невырожденность этого линейного преобразования можно доказать так же, как и
при доказательстве Теоремы 2.
Таким образом, путь построения высокоразмерных ГЧС состоит в следую-
щем: берется 2 пары изоморфных ГЧС и, в соответствии с Теоремой 2, строится
пара изоморфных ГЧС, размерности, равной произведению размерностей исход-
ных ГЧС, а, в соответствии с Теоремой 3, строится оператор изоморфизма, кото-
рый позволяет выполнять вычисления в слабозаполненной ГЧС и переносить ре-
зультат в сильнозаполненную ГЧС.
Выводы
В статье изложены и теоретически обоснованы возможности получения вы-
сокоразмерных изоморфных ГЧС с помощью процедуры умножения размерно-
стей, рассмотрены свойства процедуры умножения. В дальнейшем будут приве-
дены примеры получения высокоразмерных ГЧС со слабо- и сильнозапоненными
таблицами умножения.
1. Дослідження та використання гіперкомплексних числових систем в задачах динаміки,
кінематіки та кодування інформації застосування / [Синьков М.В., Каліновський Я.О., Боярінова
Ю.Є. та ін.] // Пріоритети наукової співпраці ДФФД і БРФФД. — К., 2007. ― C. 21–34. —
(Бібліотека Держфонду фундаментальних досліджень).
Построение высокоразмерных гиперкомплексных
числовых систем с помощью процедуры умножения размерности
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 3 39
2. Синьков М.В. Конечномерные гиперкомплексные числовые системы. Основы теории.
Применения / Синьков М.В., Бояринова Ю.Е., Калиновский Я.А. — К.: Инфодрук, 2010. — 388 с.
3. Chaitin-Chatelin F. Computation with Hypercomplex Numbers [Электронный ресурс] /
F. Chaitin-Chatelin, T. Meskauskas, A. Zaoui // GERFACS Technical Report TR/PA/00/69. — Режим
доступа: http://www.gerfacs.fr (2000).
4. Сильвестров В.В. Системы чисел / В.В. Сильвестров // Соросовский образовательный
журнал. — 1998. — № 8. — С. 121–127.
5. Baez J.C. The Octonions [Электронный ресурс] / J.C. Baez. — Режим доступа:
http://math/ucr.edu/home/baez/Octonions/ octonions.html (2001).
6. Chaitin-Chatelen F. Geometry and Algebra [Электронный ресурс] / F. Chaitin-Chatelen,
T. Meskauskas, A. Zaoui // CERFACS Technical Report TR/PA/00/74. — Режим доступа:
http://www.cerfacs.fr/algor/reports/2000/TR-PA-00-74.ps.gz (2000).
7. Chaitin-Chatelen F. The Сomputing Рower of Geometry [Электронный ресурс] / F. Chaitin-
Chatelin // CERFACS Technical Report TR/PA/99/74. — Режим доступа: http://www.cerfacs.fr/algor/
reports/2000/ TR-PA-99-74.ps.gz (1999).
8. Кантор И.Л. Гиперкомплексные числа / И.Л. Кантор, А.С. Солодовников. — М.: Наука,
1973. — 144с.
Поступила в редакцию 01.09.2011
http://www.gerfacs.fr/
http://math/ucr.edu/home/baez/ Octonions/ octonions.html
http://www.cerfacs.fr/
http://www.cerfacs.fr/
.(2)
,(3)
.(7)
.(8)
(10)
, .(11)
; .(12)
|