Алгоритмы оценивания процессов со случайной структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке
На основе аппарата смешанных марковских процессов в дискретном времени синтезированы оптимальные и квазиоптимальные алгоритмы фильтрации, экстраполяции и интерполяции процессов со случайной структурой. Их анализ проведен на примере решения задачи оценивания параметров движения маневрирующей цели при...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2011
|
| Назва видання: | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50527 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Алгоритмы оценивания процессов со случайной структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке / С.Я. Жук, В.И. Кожешкурт, В.В. Юзефович // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2011. — Т. 13, № 3. — С. 40-50. — Бібліогр.: 5 назв. — pос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50527 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-505272025-02-09T20:37:06Z Алгоритмы оценивания процессов со случайной структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке Алгоритми оцінювання процесів із випадковою структурою у дискретному часі та їхнє застосування при траєкторній обробці Algorithms for Estimation of Random-Structure Processes in Discrete Time and Their Application in Trajectory Processing Жук, С.Я. Кожешкурт, В.И. Юзефович, В.В. Інформаційно-аналітичні системи обробки даних На основе аппарата смешанных марковских процессов в дискретном времени синтезированы оптимальные и квазиоптимальные алгоритмы фильтрации, экстраполяции и интерполяции процессов со случайной структурой. Их анализ проведен на примере решения задачи оценивания параметров движения маневрирующей цели при наличии аномальных измерений. На основі апарату змішаних марківських процесів у дискретному часі синтезовано оптимальні та квазіоптимальні алгоритми фільтрації, екстраполяції й інтерполяції процесів із випадковою структурою. Їхній аналіз здійснено на прикладі вирішення задачі оцінювання параметрів руху цілі, що маневрує, за наявності аномальних вимірювань. Using apparatus of mixed Markovian processes in discrete time as a basis optimal and quasi-optimal algorithms of filtration, extrapolation and interpolation of random structure processes are synthesized. Their analysis is performed by using as an example the solution of problem of estimating parameters for maneuvering target movement with presence of anomalous measurements. 2011 Article Алгоритмы оценивания процессов со случайной структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке / С.Я. Жук, В.И. Кожешкурт, В.В. Юзефович // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2011. — Т. 13, № 3. — С. 40-50. — Бібліогр.: 5 назв. — pос. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50527 621.391 ru Реєстрація, зберігання і обробка даних application/pdf Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Інформаційно-аналітичні системи обробки даних Інформаційно-аналітичні системи обробки даних |
| spellingShingle |
Інформаційно-аналітичні системи обробки даних Інформаційно-аналітичні системи обробки даних Жук, С.Я. Кожешкурт, В.И. Юзефович, В.В. Алгоритмы оценивания процессов со случайной структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| description |
На основе аппарата смешанных марковских процессов в дискретном времени синтезированы оптимальные и квазиоптимальные алгоритмы фильтрации, экстраполяции и интерполяции процессов со случайной структурой. Их анализ проведен на примере решения задачи оценивания параметров движения маневрирующей цели при наличии аномальных измерений. |
| format |
Article |
| author |
Жук, С.Я. Кожешкурт, В.И. Юзефович, В.В. |
| author_facet |
Жук, С.Я. Кожешкурт, В.И. Юзефович, В.В. |
| author_sort |
Жук, С.Я. |
| title |
Алгоритмы оценивания процессов со случайной структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке |
| title_short |
Алгоритмы оценивания процессов со случайной структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке |
| title_full |
Алгоритмы оценивания процессов со случайной структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке |
| title_fullStr |
Алгоритмы оценивания процессов со случайной структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке |
| title_full_unstemmed |
Алгоритмы оценивания процессов со случайной структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке |
| title_sort |
алгоритмы оценивания процессов со случайной структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке |
| publisher |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Інформаційно-аналітичні системи обробки даних |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50527 |
| citation_txt |
Алгоритмы оценивания процессов со случайной структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке / С.Я. Жук, В.И. Кожешкурт, В.В. Юзефович // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2011. — Т. 13, № 3. — С. 40-50. — Бібліогр.: 5 назв. — pос. |
| series |
Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| work_keys_str_mv |
AT žuksâ algoritmyocenivaniâprocessovsoslučainoistrukturoivdiskretnomvremeniiihprimeneniepritraektornoiobrabotke AT kožeškurtvi algoritmyocenivaniâprocessovsoslučainoistrukturoivdiskretnomvremeniiihprimeneniepritraektornoiobrabotke AT ûzefovičvv algoritmyocenivaniâprocessovsoslučainoistrukturoivdiskretnomvremeniiihprimeneniepritraektornoiobrabotke AT žuksâ algoritmiocínûvannâprocesívízvipadkovoûstrukturoûudiskretnomučasítaíhnêzastosuvannâpritraêktorníiobrobcí AT kožeškurtvi algoritmiocínûvannâprocesívízvipadkovoûstrukturoûudiskretnomučasítaíhnêzastosuvannâpritraêktorníiobrobcí AT ûzefovičvv algoritmiocínûvannâprocesívízvipadkovoûstrukturoûudiskretnomučasítaíhnêzastosuvannâpritraêktorníiobrobcí AT žuksâ algorithmsforestimationofrandomstructureprocessesindiscretetimeandtheirapplicationintrajectoryprocessing AT kožeškurtvi algorithmsforestimationofrandomstructureprocessesindiscretetimeandtheirapplicationintrajectoryprocessing AT ûzefovičvv algorithmsforestimationofrandomstructureprocessesindiscretetimeandtheirapplicationintrajectoryprocessing |
| first_indexed |
2025-11-30T13:55:45Z |
| last_indexed |
2025-11-30T13:55:45Z |
| _version_ |
1850223833868402688 |
| fulltext |
Інформаційно-аналітичні системи
обробки даних
40
УДК 621.391
С. Я. Жук1, В. И. Кожешкурт2, В. В. Юзефович2
1 Национальный технический университет Украины «КПИ»
просп. Победы, 37, 03056 Киев, Украина
2 Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
Алгоритмы оценивания процессов
со случайной структурой в дискретном времени
и их применение при траекторной обработке
На основе аппарата смешанных марковских процессов в дискретном
времени синтезированы оптимальные и квазиоптимальные алгоритмы
фильтрации, экстраполяции и интерполяции процессов со случайной
структурой. Их анализ проведен на примере решения задачи оценива-
ния параметров движения маневрирующей цели при наличии аномаль-
ных измерений.
Ключевые слова: стохастический процесс со случайной структурой,
смешанный марковский процесс в дискретном времени, фильтрация,
экстраполяция, интерполяция, плотность вероятности.
Введение
Актуальной задачей обработки информации является синтез оптимальных
и квазиоптимальных алгоритмов оценивания стохастических процессов,
структура которых изменяется скачком в случайные моменты времени [1]. К
данному классу задач относятся фильтрация параметров движения маневри-
рующей цели, комплексирование измерителей с отказами, совместное оцени-
вание и распознавание речевых сигналов, и многие другие.
Широкое применение при решении таких задач находят дискретные мо-
дели со случайной структурой, которые также называют моделями с пере-
ключениями. С целью сокращения объемов математических выкладок и, не
снижая общности полученных результатов, ограничимся рассмотрением ли-
нейных дискретных моделей со случайной структурой вида
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1 1 , 1,j jx k F k k x k G k k j Lw= - - + = , (1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 1,m my k H k x k B k k m Mu= + = , (2)
© С. Я. Жук, В. И. Кожешкурт, В. В. Юзефович
Алгоритмы оценивания процессов со случайной
структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 3 41
где x(k) — вектор состояния динамической системы; y(k) — вектор наблюдения;
( ), 1jF k k - , ( )jG k , ( )mH k , ( )mB k — матрицы, являющиеся известными функ-
циями дискретных параметров aj(k), bm(k); w(k), u(k) — некоррелированные га-
уссовские последовательности ( )( )0,N Q k , ( )( )0,N R k соответственно; x(0) —
начальный вектор состояния с априорной плотностью вероятности (ПВ)
( )( ) ( ) ( )( )ˆˆ0 0 , 0P x N x P= .
Уравнение (1) описывает модель формирования процесса со случайной
структурой x(k) в виде дискретной динамической системы, а выражение (2) —
механизм образования данных, доступных наблюдению, который также имеет
случайную структуру. Тип и смена структуры уравнений (1), (2) определяются с
помощью цепей Маркова aj(k), bm(k) матрицами вероятностей переходов
( ), 1 , , 1,a
ij k k i j L- =Õ , ( ), 1 , , 1,b
nm k k n m M- =Õ , и начальными вероятностями
( )0 , 1,a
ip i L= , ( )0 , 1,b
np n M= , соответственно.
Для решения задачи фильтрации процесса со случайной структурой x(k)
по наблюдению y(k) в настоящее время применяется байесовский метод адап-
тивного оценивания [2]. Однако синтезируемый на его основе оптимальный
фильтр относится к классу устройств с растущим числом каналов и является
практически нереализуемым, а квазиоптимальные фильтры получают путем огра-
ничения числа каналов оптимального устройства.
Большое число задач статистического синтеза оптимальных систем может
быть решено на основе теории условных марковских процессов [3]. Кроме основ-
ных четырех видов таких процессов существуют и более сложные смешанные
марковские процессы (СМП), часть компонентов которых принимает непрерыв-
ное множество значений, а часть — дискретное. Наряду с широко применяемым
классом СМП в непрерывном времени, важное практическое значение имеют
СМП в дискретном времени. При этом они адекватны решаемой задаче при реа-
лизации синтезированных алгоритмов на ЦВМ.
Синтез оптимальных и квазиоптимальных алгоритмов
фильтрации и интерполяции
Введем в рассмотрение расширенный смешанный процесс, включающий как
непрерывный, так и дискретные компоненты ( ) ( ) ( ) ( )( ), ,j mk x k a k b kx = . Обозна-
чим совместную априорную ПВ смешанного процесса ( ) ( ) ( )( ), ,j mP x k a k b k .
Следуя методике, приведенной в монографии [4], можно показать, что расширен-
ный процесс x(k) относится к классу СМП в дискретном времени. При этом ПВ
перехода такого процесса описывается выражением
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )/ 1 / 1 , , 1 , 1a b
j ij nmk k x k x k a k k k k kx x - = - - -Õ Õ Õ Õ ,
С. Я. Жук, В. И. Кожешкурт, В. В. Юзефович
42
а априорная ПВ ( ) ( ) ( )( ), ,j mP x k a k b k вычисляется рекуррентно с помощью
уравнения
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 1
, , , 1 , 1
L M
a b
j m ij nm
i n
P x k a k b k k k k k
= =
= - - ´ååÕ Õ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )/ 1 , 1 , 1 , 1 1j i nx k x k a k P x k a k b k dx k
¥
-¥
´ - - - - -Õò , (3)
1,j L= , 1,m M= ,
при начальном условии ( ) ( ) ( )( )0 , 0 , 0j mP x a b = ( )( ) ( ) ( )0 0 0a b
i nP x p p , 1,i L= ,
1,n M= .
Одними из основных задач оптимальной обработки информации являются
фильтрация, экстраполяция и интерполяция. Необходимо отметить, что процесс
со случайной структурой x(k) не обладает марковским свойством, что значительно
затрудняет, а в ряде случаев, и не позволяет получать решение этих задач. Однако
эту трудность можно обойти при рассмотрении расширенного процесса x(k), об-
ладающего марковским свойством. При этом алгоритм оценивания процесса со
случайной структурой x(k) будет являться частью общего алгоритма оценивания
расширенного процесса x(k).
Базовой среди указанных задач является задача фильтрации. Наиболее пол-
ное решение задачи фильтрации состоит в определении апостериорной ПВ
фильтруемого процесса. Учитывая марковское свойство x(k) и следуя традицион-
ной методике синтеза алгоритмов фильтрации марковских процессов в дискрет-
ном времени, можно показать [3], что апостериорная ПВ расширенного процесса
x(k) вычисляется на основе рекуррентных уравнений
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )*
1 1
, , , 1 , 1
L M
a b
j m ij nm
i n
W x k a k b k k k k k
= =
= - - ´ååÕ Õ
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )/ 1 , 1 , 1 , 1 1j i nx k x k a k W x k a k b k dx k
¥
-¥
´ - - - - -Õò , (4)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )*, , / , , , /j m m j mW x k a k b k P y k x k b k W x k a k b k=
( ) ( )( )/ / 1P y k Y k - , (5)
где ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )* , , , , / 1j m j mW x k a k b k P x k a k b k Y k= - , ( ) ( ) ( )( ), ,j mW x k a k b k =
= ( ) ( ) ( ) ( )( ), , /j mP x k a k b k Y k — экстраполированная и апостериорная ПВ расши-
ренного процесса x(k); ( ) ( ) ( )( )/ , mP y k x k b k — одношаговая функция правдопо-
добия, определяемая на основе уравнения (2); ( ) ( )( )/ 1P y k Y k - — условная ПВ,
являющаяся нормировочным коэффициентом и вычисляемая с помощью соотно-
шения
Алгоритмы оценивания процессов со случайной
структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 3 43
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
/ 1 / ,
L M
m
i m
P y k Y k P y k x k b k
¥
= = -¥
- = ´åå ò ( ) ( ) ( )( ) ( )* , ,j mW x k a k b k dx k ;
( ) ( ) ( )1 , ...,Y k y y k= — последовательность наблюдений. Начальные условия
имеют вид:
( ) ( ) ( )( )0 , 0 , 0i nW x a b = ( )( ) ( ) ( )0 0 0a b
i nP x p p , 1,i L= , 1,n M= .
С помощью уравнения (4) вычисляется экстраполированная ПВ
( ) ( ) ( )( )* , ,j mW x k a k b k . После поступления очередного наблюдения y(k) с помо-
щью соотношения (5) выполняется коррекция экстраполированной ПВ и опреде-
ляется апостериорная ПВ ( ) ( ) ( )( ), ,j mW x k a k b k . При этом задача фильтрации
традиционно включает в себя и решение задачи экстраполяции, а уравнение (4)
аналогично уравнению (3) для вычисления априорной ПВ расширенного процесса.
Оптимальный фильтр, реализующий алгоритм (4), (5), содержит L M´ кана-
лов и относится к классу устройств с обратными связями между каналами. В нем
отсутствует рост числа каналов, как в известном устройстве, что обусловлено
марковским свойством смешанного процесса.
Однако практическая реализация оптимального алгоритма (4), (5) затрудни-
тельна в силу больших вычислительных затрат. Применяя на каждом шаге гаус-
совскую аппроксимацию условной экстраполированной ПВ ( ) ( )( / ,jP x k a k
( ) ( )),mb k Y k , а также следуя методике, приведенной в [3], можно показать, что
квазиоптимальный алгоритм фильтрации процессов со случайной структурой
описывается уравнениями:
( ) ( ) ( ) ( )
2
*
1 1
, 1 , 1 1
M
a b
jm ij nm in
i n
W k k k k k W k
= =
= - - -ååÕ Õ , (6)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
*
1 1
, 1 , 1 1 , 1
M
a b
jm ij nm in j
i n
x k k k k k W k F k k
= =
= - - - - ´ååÕ Õ
( ) ( )*ˆ 1 / jmix k W k´ - , (7)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){
2
*
1 1
, 1 , 1 1 , 1
M
a b
jm ij nm in j
i n
P k k k k k W k F k k
= =
= - - - - ´ååÕ Õ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( )* ˆ1 , 1 , 1 , 1T T
i j j j j inP k F k k G k Q k G k F k k x k k- - + + - - -
( )) ( ) ( ) ( )( ) } ( )* * *ˆ, 1 1 /
T
jm j in jm jmx k F k k x k x k W k- - - - , (8)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )* *ˆ jm jm jm m jmx k x k K k y k H x k= + - , (9)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1* *T T T
jm jm m m jm m m mK k P k H H P k H B k R k B k
-
= + , (10)
( ) ( ) ( ) ( )* *ˆ
jm jm jm m jmP k P k K k H P k= - , (11)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )*/ , , 1 /jm j m jmW k P y k a k b k Y k W k= - ( ) ( )( )/ 1P y k Y k - , (12)
С. Я. Жук, В. И. Кожешкурт, В. В. Юзефович
44
где ( )*
jmx k , ( )*
jmP k — математическое ожидание и корреляционная матрица ус-
ловной экстраполированной ПВ ( ) ( ) ( ) ( )( )/ , , 1j mP x k a k b k Y k - ; ( )ˆ jmx k , ( )ˆ
jmP k
— математическое ожидание и корреляционная матрица условной апостериорной
ПВ ( ) ( ) ( ) ( )( )/ , ,j mP x k a k b k Y k ; ( )jmK k — матричный коэффициент усиления
jm-го канала квазиоптимального устройства; ( ) ( ) ( ) ( )( )* , / 1jm j mW k P a k b k Y k= - ,
( ) ( ) ( ) ( )( ), /jm j mW k P a k b k Y k= — экстраполированная и апостериорная вероят-
ности ( )ja k , ( )mb k ; ( ) ( ) ( ) ( )( )/ , , 1j mP y k a k b k Y k - — условная ПВ, определяе-
мая по формуле
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1/2/2/ , , 1 = 2 detm
j m jmP y k a k b k Y k D kp
--- ´
( ) ( )
( ){ }1
*exp 0,5
jm
m jm D k
y k H x k -´ - - ;
m — размерность вектора измерения ( )y k ; ( )jD k — матрица, определяемая на
основе соотношения ( ) ( ) ( )* T T
jm m jm m m mD k H P k H B R k B= + ; ( ) ( )( )/ 1P y k Y k - — ус-
ловная ПВ, являющаяся нормирующим коэффициентом и вычисляемая по фор-
муле
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
1
/ 1 = / , , 1 , / 1
M
j m j m
i
P y k Y k P y k a k b k Y k P a k b k Y k
=
- - ´ -å .
Начальные условия имеют вид:
( ) ( )ˆ ˆ0 0ix x= , ( ) ( )ˆ ˆ0 0iP P= , ( ) ( ) ( )0 0 0a b
im i nW p p= , 1,i L= , 1,n M= .
Синтезированный квазиоптимальный алгоритм фильтрации (6)–(12) является
нелинейным и включает в себя квазиоптимальный алгоритм экстраполяции
(6)–(8). Нелинейные операции выполняются при вычислении условной ПВ
( ) ( ) ( ) ( )( )/ , , 1j mP y k a k b k Y k - . Квазиоптимальный алгоритм (6)–(12) обеспечи-
вает представление апостериорной ПВ ( )( ) ( ) ( )( )/W x k P x k Y k= при переходе на
следующий шаг фильтрации в виде суммы L M´ гауссовских плотностей, а ква-
зиоптимальный фильтр содержит L M´ каналов и в основном сохраняет структу-
ру оптимального устройства.
Наряду с фильтрацией и экстраполяцией, важным классом задач оценивания
является интерполяция. При интерполяции необходимо получить оценку процесса
внутри интервала наблюдения, т.е. в моменты времени, предшествующие текущему
наблюдению. Выделяют три основных вида интерполяционных задач: интерполяция
в фиксированной точке, интерполяция на фиксированном интервале и интерполя-
ция с постоянным запаздыванием.
Алгоритмы оценивания процессов со случайной
структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 3 45
В силу ограниченности объема статьи, ограничимся рассмотрением задачи ин-
терполяции на фиксированном интервале, которая имеет важное практическое зна-
чение при решении задач траекторной обработки. При ее решении выполняется
уточнение фильтровых оценок после поступления всех наблюдений ( )y k , 1,k N= .
Она сводится к вычислению интерполяционной ПВ ( ) ( ) ( ) ( )( ), , ,j mP x k a k b k Y N ,
0 k N£ < , в обратном времени.
Вводя в рассмотрение совместную интерполяционную ПВ ( ) ( )( , ,jP x k a k
( ) ( ) ( ) ( ) ( )), 1 , 1 , 1 /m i nb k x k a k b k Y N- - - и применяя теорему умножения вероят-
ностей, можно записать:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), , , 1 , 1 , 1 /j m i nP x k a k b k x k a k b k Y N- - - =
( ) ( ) ( ) ( )( ), , /j mP x k a k b k Y N= ´ (13)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 , 1 , 1 / , , ,i n j mP x k a k b k x k a k b k Y N´ - - - .
Учитывая марковское свойство процесса ( )kx , можно показать [3], что
условная ПВ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 , 1 , 1 / , , ,i n j mP x k a k b k x k a k b k Y N- - - не зависит
от наблюдений ( ),y n k n N£ < и описывается выражением
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 , 1 , 1 / , , , 1i n j mP x k a k b k x k a k b k Y k- - - - =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), 1 , 1 / 1 ,a b
ij nm jk k k k x k x k a k= - - - ´Õ Õ Õ (14)
( ) ( ) ( ) ( )( )1 , 1 , 1 / 1 /i nP x k a k b k Y k´ - - - - ( ) ( ) ( ) ( )( ), , / 1j mP x k a k b k Y k - .
Подставляя выражение (14) в уравнение (13) и выполняя суммирование по
,j m и интегрирование по ( )x k , получим алгоритм интерполяции СМП в дис-
кретном времени на фиксированном интервале в виде:
( ) ( ) ( ) ( )( )1 , 1 , 1 /i nP x k a k b k Y N- - - = ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
, , /
L M
j m
i m
P x k a k b k Y N
¥
= = -¥
´åå ò
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ), 1 , 1 / 1 ,a b
ij nm jk k k k x k x k a k´ - - - ´Õ Õ Õ
( ) ( ) ( ) ( )( )1 , 1 , 1 / 1 /i nP x k a k b k Y k´ - - - - (15)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )/ , , / 1j mP x k a k b k Y k dx k- .
На основании уравнения (15) интерполяционная ПВ ( ) ( ) ( )( , , /j mP x k a k b k
( ))/Y N вычисляется рекуррентно в обратном времени при начальном усло-
вии ( ) ( ) ( ) ( )( ), , /j mP x N a N b N Y N , 1,j L= , 1,m M= . Поэтому такие алгорит-
С. Я. Жук, В. И. Кожешкурт, В. В. Юзефович
46
мы также называют алгоритмами обратной интерполяции. Устройство, реали-
зующее алгоритм (15), содержит L M´ каналов и относится к классу устройств с
обратными связями между каналами.
Практическая реализация оптимального алгоритма (13)–(15) затруднительна
в силу больших вычислительных затрат. Применяя на каждом шаге гауссовскую
аппроксимацию условной интерполяционной ПВ ( ) ( ) ( ) ( )( )/ , ,j mP x k a k b k Y N , а
также следуя методике [3], можно показать, что квазиоптимальный алгоритм об-
ратной интерполяции процессов со случайной структурой описывается уравне-
ниями:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )* 1 *
min min min minˆj j j jm jz k x k K k x k N x k= + - , (16)
( ) ( ) ( )*
min min
ˆ =j jm jk P k N P kD - , (17)
( ) ( ) ( )1 1
min min
ˆ
j jm jK k I P k N k-= - D , (18)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
min min
ˆ ˆ ˆ
j jm jm j jmU k P k N P k N k P k N-= - D , (19)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )* 2 *
min min minˆ j jm j j jmx k N x k K k z k x k= + - , (20)
( ) ( ) ( )*
min min =j j jmk U k P kL - , (21)
( ) ( ) ( )2 1
min min minj j jK k I U k k-= - L , (22)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
min min min min min
ˆ
j j j j jP k N U k U k k U k-= - L , (23)
( ) ( ) ( ) ( )* 1
min
ˆ1 = 1 , 1j in j jinA k P k F k k P k-- - - , (24)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )*
min min minˆ ˆ ˆ1 = 1 1j in j j jinx k N x k A k x k N x k- - + - - , (25)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )*
min min min min min
ˆ ˆ ˆ1 = 1 1 1 ,T
j in j j j jP k N P k A k P k N P k A k- - + - - - (26)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
min
1 1
ˆ ˆ1 = 1 , /
1 , 1 / , /
/ 1 , 1 / ,
L M
in j j m
j m
i n j m
i n
x k N x k N P a k b k Y N
P a k b k a k b k Y N
P a k b k Y N
= =
- - ´
´ - -
- -
åå
(27)
( ) ( ) ( ) ( )( ){
( ) ( )( ) } ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
min min
1 1
min
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1 1 1
ˆ ˆ1 1 , /
1 , 1 / , , / 1 , 1 / ,
L M
in j j in
j m
T
j in j m
i n j m i n
P k N P k N x k N x k N
x k N x k N P a k b k Y N
P a k b k a k b k Y N P a k b k Y N
= =
- = - + - - - ´
´ - - - ´
´ - - - -
åå
(28)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )
1
2*
min
1
2*
min
1 , 1 / , ,
ˆdet det 1 , 1 / 1
ˆdet det , / 1
i n j m
jm j i n
j jm j m
P a k b k a k b k Y N
P k P k N P a k b k Y k
P k P k N P a k b k Y k
- - =
× - - -
= ´
× -
Алгоритмы оценивания процессов со случайной
структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 3 47
( ) ( ) ( ) ( ){
( ) ( ) }
min
min
*
min ( )
*
min ( )
ˆ, 1 , 1 exp 0,5
0,5 ,
j
j
a b
jm jij nm k
j jm k
k k k k x k N x k
z k x k
D
L
´ - - - × - -
- × -
Õ Õ
(29)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1
1 , 1 / = , /
1 , 1 / , , ,
L M
i n j m
j m
i n j m
P a k b k Y N P a k b k Y N
P a k b k a k b k Y N
= =
- - ´
´ - -
åå
(30)
где ( )ˆ 1inx k N- , ( )ˆ 1inP k N- — математическое ожидание и корреляционная мат-
рица условной интерполяционной ПВ ( ) ( ) ( ) ( )( )1 / 1 , 1 ,i nP x k a k b k Y N- - - ;
( )minˆ jx k N , ( )min
ˆ
jP k N — математическое ожидание и корреляционная матрица
условной интерполяционной ПВ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )/ , , 1 , 1 ,j m i nP x k a k b k a k b k Y N- - ;
( )*
minjx k , ( )*
minjP k — математическое ожидание и корреляционная матрица услов-
ной экстраполированной ПВ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )/ , , 1 , 1 , 1j m i nP x k a k b k a k b k Y k- - - ; ( )minjz k
— вектор; ( )m inj kD , ( )m injU k , ( )1
minjK k , ( )2
minjK k — матрицы; I — единич-
ная матрица; ( ) ( ) ( )( ), /j mP a k b k Y N — интерполяционная вероятность ( )ja k ,
( )mb k ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1 , 1 / , ,i n j mP a k b k a k b k Y N- - — условная вероятность ( )1ia k - ,
( )1nb k - при условии ( )ja k , ( )mb k , ( )Y N .
Уравнения (16)–(28) используются для обратной интерполяции непрерывного
компонента ( )x k , а (29), (30) — дискретных компонентов ( )ja k , ( )mb k . Квази-
оптимальный алгоритм (16)–(30) обеспечивает представление апостериорной ПВ
( ) ( )( )/P x k Y N на каждом шаге интерполяции в виде суммы L M´ гауссовских
плотностей.
Как отмечалось выше, модели со случайной структурой находят при решении
задач траекторной обработки. Так в работе [5] на основе аппарата СМП в дис-
кретном времени синтезированы оптимальный и квазиоптимальный алгоритмы
адаптивной фильтрации параметров движения маневрирующего объекта в прямо-
угольной системе координат.
Важной задачей траекторной обработки информации является сглаживание
параметров движения цели. Широкое применение для ее решения находят алго-
ритмы обратной интерполяции. Для повышения точности оценивания необходимо
учитывать возможность маневра цели и появления аномальных измерений. Вы-
полним оценку качества квазиоптимальных алгоритмов фильтрации (6)–(12) и об-
ратной интерполяции (16)–(30) на примере оценивания параметров движения ма-
неврирующей цели при наличии аномальных измерений по дальности, модель
движения которой описывается уравнениями:
С. Я. Жук, В. И. Кожешкурт, В. В. Юзефович
48
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1 1j jx k F k k x k G k kw= - - + , 1, 2j = , (31)
( ) ( ) ( ) ( )my k Hx k b k ku= + , 1, 2m = . (32)
Уравнение (31) описывает модель движения цели c маневром и без него. При
описании почти равномерного движения цели 1j = матрицы, входящие в уравне-
ние (31), имеют вид:
( )1
1
, 1
0 1
T
F k k é ù
- = ê ú
ë û
, ( )1
0
1
G k é ù
= ê ú
ë û
, ( ) 2 2
1 1MQ k T s= ,
а при описании маневра 2j = соответственно:
( )2
1 0
, 1 0 1 1
0 0
T
F k k
r
é ù
ê ú- = ê ú
ê úë û
, ( )2
0
0
1
G k
é ù
ê ú= ê ú
ê úë û
, ( )2 2 2
2 2 1MQ T s r= - .
При этом параметры маневра M1 2s = м/с2, M2 50s = м/с2, 0,9r = .
Уравнение (32) описывает механизм образования данных, доступных наблю-
дению, при наличии аномальных измерений. Измеряется дальность до цели с
нормальными ошибками измерения 270R = м2 при темпе поступления информа-
ции 3T = с.
Тип и смена структуры уравнений (31), (32) определяются с помощью цепей
Маркова ( )ja k , 1, 2j = , ( )mb k , 1, 2m = , которые полагались симметричными
11 11
0,9a b
= =Õ Õ , а ( )2 20b k = . В целях повышения наглядности функционирова-
ния алгоритма были сформированы тестовые реализации для дискретных компо-
нентов ( )ja k , ( )mb k . Длина реализации N = 20, а цепи Маркова во всех реализа-
циях принимают значения:
( ) 1
2
, 1 10,
, 10 20,j
a k
a k
a k
£ £ì
= í £ £î
( ) 1
2
, 5 10, 15 20,
, 1 5, 10 15.m
b k k
b k
b k k
£ £ £ £ì
= í £ £ £ £î
Число реализаций — 100.
Оценки дискретных компонентов определялись по максимуму апостериор-
ных и интерполяционных вероятностей, а в качестве оценки непрерывного ком-
понента использовались соответствующие условные апостериорные математиче-
ские ожидания.
На рисунке (а), непрерывной линией показана зависимость ( )1 2
11
ˆ Np k средне-
квадратических отклонений (СКО) ошибок интерполяции дальности ( )1x k , а
штриховой и штрихпунктирной линиями — зависимости СКО ( )1ˆ
N ks , ( )1ˆ ks
Алгоритмы оценивания процессов со случайной
структурой в дискретном времени и их применение при траекторной обработке
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 3 49
фактических ошибок ее интерполяционных и фильтровых оценок. На рисунке (б)
приведены аналогичные показатели качества оценивания радиальной скорости
( )2x k . Ошибки, рассчитанные алгоритмом, и фактические ошибки интерполяци-
онных оценок непрерывного компонента хорошо согласуются между собой, что
свидетельствует о правильной его работе. СКО ошибок интерполяционных оце-
нок в переходных режимах работы в 1,5–2 раза меньше, чем фильтровых, которые
получены с помощью алгоритма (6)–(12).
На рисунке (в) непрерывной и штриховой линиями показаны интерполяцион-
ная ( )N
прp k и фильтровая ( )прp k вероятности правильного совместного распозна-
вания значений дискретных компонентов. В целом вероятность правильного рас-
познавания дискретных компонентов, полученная при решении задачи интерпо-
ляции, в 2–3 раза выше.
Эффективность алгоритмов фильтрации и интерполяции на фиксированном
интервале параметров движения маневрирующей цели при наличии
аномальных измерений
С. Я. Жук, В. И. Кожешкурт, В. В. Юзефович
50
Выводы
Расширенный смешанный процесс, включающий в качестве непрерывного
компонента процесс со случайной структурой ( )x k и дискретные компоненты
( )ja k , ( )mb k , относится к классу СМП в дискретном времени. Наличие марков-
ского свойства у расширенного процесса позволяет применить для решения задач
оценивания процессов со случайной структурой математический аппарат теории
условных марковских процессов.
Синтезированные оптимальные и квазиоптимальные алгоритмы фильтра-
ции и обратной интерполяции СМП в дискретном времени являются нелиней-
ными и рекуррентными. При этом квазиоптимальные алгоритмы обеспечивают
представление апостериорной ПВ непрерывного компонента в виде суммы L M´
гауссовских плотностей. Оптимальные и квазиоптимальные фильтры содержат
L M´ каналов и относятся к классу устройств с обратными связями между кана-
лами.
При решении задачи оценивания параметров движения маневрирующей цели,
при наличии аномальных измерений по дальности, синтезированный квазиопти-
мальный алгоритм интерполяции на фиксированном интервале позволяет умень-
шить СКО ошибок определения параметров движения цели в 1,5–2 раза и увели-
чить вероятность правильного распознавания значений дискретных компонентов
в 2–3 раза по сравнению с квазиоптимальным алгоритмом фильтрации.
1. Казаков И.Е. Стохастические системы со случайной сменой структуры / И.Е. Казаков // Известия
АН СССР. Техническая кибернетика. — 1989. — № 1. — С. 58–79.
2. Watanabe K. Multiple-Model Adaptive Control for Djump-Liner Stochastic Systems / K.
Watanabe, S.G. Tzafestas // Intern. J. Control. — 1989. — 50, N 5. — Р. 1603–1617.
3. Тихонов В.И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем / В.И.
Тихонов, В.Н. Харисов. — М.: Радио и связь, 1991. — 608 с.
4. Жук С.Я. Методы оптимизации дискретных динамических систем со случайной структурой / С.Я.
Жук. — Монография. — К.: НТУУ «КПИ», 2008. — 232 с.
5. Жук С.Я. Адаптивная фильтрация параметров движения маневрирующего объекта в прямо-
угольной системе координат / С.Я. Жук, В.И. Кожешкурт, В.В. Юзефович // Реєстрація, зберігання
і оброб. даних. — 2009. — Т. 11, № 2. – С. 12–24.
Поступила в редакцию 01.09.2011
|