Нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах
Рассмотрена нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах (ГЧС), ее структура, методы построения и возможности использования для решения задачи определения изоморфности различных ГЧС. Розглянуто нормалізовану форму представлення експо...
Saved in:
| Published in: | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50541 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах / Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2011. — Т. 13, № 4. — С. 12-22. — Бібліогр.: 5 назв. — pос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859813263574827008 |
|---|---|
| author | Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. |
| author_facet | Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. |
| citation_txt | Нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах / Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2011. — Т. 13, № 4. — С. 12-22. — Бібліогр.: 5 назв. — pос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| description | Рассмотрена нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах (ГЧС), ее структура, методы построения и возможности использования для решения задачи определения изоморфности различных ГЧС.
Розглянуто нормалізовану форму представлення експоненціальної функції у комутативних гіперкомплексних числових системах (ГЧС), її структуру, методи побудови та можливості використання для розв’язку задачі визначення ізоморфності різних ГЧС.
The normalized form of representation of the exponential function in the commutative hypercomplex number systems (HNSs), its structure, methods of construction and capabilities of use for solving the problem of determining the isomorphism of various HNSs is considered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:20:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
12
УДК 004.942
Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
Нормализованная форма представления
экспоненциальной функции в коммутативных
гиперкомплексных числовых системах
Рассмотрена нормализованная форма представления экспоненциаль-
ной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах
(ГЧС), ее структура, методы построения и возможности использо-
вания для решения задачи определения изоморфности различных ГЧС.
Ключевые слова: гиперкомплексная числовая система, экспонента,
характеристическое уравнение, изоморфизм, кратные корни.
Вступление
Экспоненциальная функция от вещественного и комплексного аргументов
играет основополагающую роль как в математике в целом, так и в многочислен-
ных приложениях. Многие зависимости между величинами, применяющиеся при
математическом моделировании различных процессов и объектов, носят именно
экспоненциальный характер. Решения дифференциальных уравнений и их систем
также основаны на экспоненциальной функции.
В последнее время в математическом моделировании все шире используются
гиперкомплексные числовые системы (ГЧС). Поэтому актуальным является во-
прос о построении представлений различных нелинейностей от гиперкомплекс-
ных переменных и, в первую очередь, представлений экспоненты.
Здесь необходимо отметить, что представлением нелинейной функции назы-
вается приведение ее к гиперкомплексной функции, то есть функции )(XF от ги-
перкомплексного аргумента ),(
1
neГexX
n
i
ii Î=å
=
вида
å
=
×=
n
i
ini exxxfXF
1
21 ),...,,()( , (1)
где ),...,,( 21 ni xxxf , ni ,...,1= — действительные функции от многих действитель-
ных аргументов.
© Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова
Нормализованная форма представления
экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 4 13
Авторами предложен метод построения представлений экспоненциальных
функций в ГЧС [1]. Однако он дает такие представления, которые не всегда удоб-
ны для решения различных задач и, прежде всего, для решения задачи определе-
ния изоморфности различных ГЧС. В данной работе рассматривается другой вид
представления экспоненты, который базируется на принципе группирования по
корням характеристического уравнения ГЧС и назван авторами нормализованной
формой представления.
Конструктивное определение экспоненциальной функции
от гиперкомплексного переменного
Один из творцов гиперкомплексных чисел В.Р. Гамильтон первым предложил
конструктивное определение экспоненциальной функции от гиперкомплексного
переменного. В работе «Researches respecting Quaternions: First Series» [2] он пред-
лагает определить экспоненциальную функцию от гиперкомплексного перемен-
ного X как сумму степенного ряда
å
¥
=
=
0 !
)(
m
m
m
XXExp . (2)
Со временем этот поход был обобщен на другие трансцендентные функции
гиперкомплексного переменного: тригонометрические, гиперболические и другие
[3–5].
Так из (3) непосредственно выводится формула Эйлера для системы ком-
плексных чисел )2,(eC с таблицей умножения
122
211
21
eee
eee
eeC
-
(3)
)sin(cos)( 22122211
1 exexeexexExp x ×+×=+ , (4)
а также системы двойных чисел )2,(eW
122
211
21
eee
eee
eeW
(5)
)()( 22122211
1 eshxechxeexexExp x ×+×=+ (6)
и дуальных чисел )2,(eD
Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова
14
022
211
21
ee
eee
eeD
(7)
)()( 2212211
1 emeeexexExp x ×+=+ . (8)
Для ГЧС больших размерностей и, особенно, более сложной структуры, в том
числе и неканонических, вывод представлений экспоненты непосредственно из
ряда (2) становится весьма затруднительным, так как заметить закономерность
строения выражения при очень большом количестве слагаемых тяжело. Для пре-
одоления этих трудностей авторами предложен оригинальный метод построения
представлений экспоненты от гиперкомплексного переменного с помощью ассо-
циированной системы линейных дифференциальных уравнений [1].
Метод построения представлений экспоненты
от гиперкомплексного переменного с помощью ассоциированной
системы линейных дифференциальных уравнений
Будем в дальнейшем обозначать гиперкомплексные числа большими латин-
скими буквами:
å
=
=
n
i
iiexX
1
; å
=
=
n
i
iiemM
1
, (9)
а вектор-столбцы, составленные из компонентов гиперкомплексных чисел, —
большими латинскими буквами с чертой:
T
nxxX ),...,( 1= , T
nmmM ),...,( 1= . (10)
Тогда основные положения вышеназванного метода состоят в следующем.
Представление экспоненты в системе ),( neГ от числа ),( neГM Î , которое
будем обозначать )(MExp , есть частное решение гиперкомплексного линейного
дифференциального уравнения
MXX =& (11)
при начальном условии
e=)0(Exp , (12)
где e — единичный элемент системы ),( neG .
Для построения решения гиперкомплексного линейного дифференциального
уравнения (11) его необходимо представить в векторно-матричной форме. При
этом
Нормализованная форма представления
экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 4 15
T
nxxX ),...,( 1 &&
& = , (13)
а вектор-столбец MX , полученный из гиперкомплексного числа MX , можно
представить в виде матричного произведения некоторой матрицы M размерами
nn´ , элементы которой есть линейные комбинации компонентов гиперкомплекс-
ного числа M , на вектор-столбец X :
XMX M= . (14)
Тогда гиперкомплексное уравнение (11) превратится в систему из n линейных
дифференциальных уравнений первого порядка, которая называется ассоцииро-
ванной системой линейных дифференциальных уравнений
XX M=& . (15)
Далее необходимо найти характеристические числа nll ,...,1 матрицы M , то есть
решить характеристическое уравнение:
0)det( =-M El . (16)
Таким образом, характеристические числа (корни этого уравнения nll ,...,1 )
будут функциями от компонентов числа M .
После этого нужно построить общее решение, зависящее от 2n произвольных
постоянных, из которых nn -2 линейно зависимы от n свободных переменных.
Для получения этих линейных зависимостей необходимо решить систему линей-
ных уравнений [1], после чего можно получить общие решения (15), зависящие от
n произвольных постоянных и компонентов числа M — ),...,,,...,( 11 nn mmCCX .
Значения произвольных постоянных устанавливаются с помощью начального ус-
ловия (12). Компоненты вектор-столбца решения X и будут компонентами экс-
поненты от гиперкомплексного числа M :
i
n
i
iexMExp å
=
=
1
)( . (17)
В работе [1] приведены представления экспонент для большого количества
ГЧС. Они характеризуются значительными отличиями друг от друга как по
структуре, так и по сложности. Таблицы умножения и представления экспонент
некоторых из них показаны в приведенной ниже таблице.
Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова
16
Таблицы умножения и представления экспонент в некоторых ГЧС.
№ Обозна-
чение Таблица умножения Представление экспоненты
1 CC Å
34
43
12
21
00
00
00
00
ee
ee
ee
ee
-
- ( )
( )
1
3
1 1 2 2 3 3 4 4
2 1 2 2
4 3 4 4
( )
cos sin
cos sin
m
m
Exp m e m e m e m e
e m e m e
e m e m e
+ + + =
= × + × +
+ × + ×
2 K
1234
2143
3412
4321
eeee
eeee
eeee
eeee
--
--
-- 1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 4
1 1 2 2 3 3 4 4
( )
2 3
( )
2 3 1
( )
2 3
( )
2 3 2
( )
2 3
( )
2 3 3
( )
2 3
( )
1( cos( )
2
1 cos( ))
2
1( sin( )
2
1 sin( ))
2
1( sin( )
2
1 sin( ))
2
1( cos( )
2
1
2
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
Exp m e m e m e m e
e m m
e m m e
e m m
e m m e
e m m
e m m e
e m m
e
-
+
-
+
-
+
-
+ + + =
= + +
+ - + +
+ + -
- - + +
+ + +
+ - + +
+ - + +
+ 1 4( )
2 3 4cos( ))m m m m e+ - +
3 44Г
000
00
00
4
43
42
4321
e
ee
ee
eeee
1
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 2 3 3
2 2
4 2 3 4
( )
(
1( ( )) )
2
m
Exp m e m e m e m e
e e m e m e
m m m e
+ + + =
= + + +
+ + +
4 45Г
000
00
00
4
43
42
4321
e
ee
ee
eeee
-
1
1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 2 3 3
2 2
4 2 3 4
( )
(
1( ( )) )
2
m
Exp m e m e m e m e
e e m e m e
m m m e
+ + + =
= + + +
+ + -
Как видно из этой таблицы, ГЧС могут быть изоморфными (например, систе-
мы CC Å и K ), но представления их экспонент сильно отличаются друг от дру-
га. И, в то же время, представления их экспонент могут быть очень похожими, но
сами ГЧС — не изоморфны (системы 44Г и 45Г ).
Так как представления экспонент в таком виде слабо отражают структурные
свойства ГЧС, то появляется необходимость в поиске такого вида представления
Нормализованная форма представления
экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 4 17
экспоненты, который бы в большей мере отражал структурные характеристики
ГЧС.
Нормализованная форма представления экспоненты
Анализ приведенных в таблице представлений экспонент говорит о том, что
по структуре они соответствуют гиперкомплексному числу: сумма одночленов,
каждый из которых состоит из базисного элемента с некоторыми множителями.
Альтернативной формой построения представления является группирование
членов с одинаковыми вещественными экспонентами iel , где il — корни харак-
теристического уравнения. При этом множители у таких экспонент будут не толь-
ко вещественными, но и гиперкомплексными, а также могут включать в себя
классическую мнимую единицу i ( 12 -=i ). Как видно из метода построения
представлений экспоненты от гиперкомплексного переменного с помощью ассо-
циированной системы линейных дифференциальных уравнений, изложенного в
[1], именно в таком виде определяются компоненты представления экспоненты.
Однако там при решении систем линейных дифференциальных уравнений для па-
ры комплексно сопряженных корней частное решение берется в виде
)))sin(Im())cos(Im(( 21
)Re( lll CCex += . (18)
В нормализованной форме представления вместо (18) для пары комплексно-
сопряженных корней компоненты представления записываются в виде двух сла-
гаемых:
iiiii eeCexx il=×= , 1111 ++++ =×= iiiii eeCexx il , (19)
но произвольные константы здесь уже не вещественные, а комплексные: CCi Î .
Таким образом, в представлении экспоненты будут отсутствовать тригонометри-
ческие и гиперболические функции, и ее вид унифицируется.
В общем случае множество корней nll ,...,1 характеристического уравнения
имеет n корней и может состоять из следующих подмножеств.
1. Подмножество однократных вещественных корней Ri Îl .
В представлении экспоненты ему соответствует слагаемое вида
iiiii eeCexx il=×= . (20)
2. Подмножество сопряженных пар комплексных корней Ciii Î=+ lll 1, .
Для пары комплексно-сопряженных корней компоненты представления запи-
сываются в виде двух слагаемых (19).
3. Подмножество вещественных кратных корней.
Пусть кратность одного из наборов вещественных кратных корней равна s :
Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова
18
siii +++ == lll ...21 .
Тогда, как следует из теории линейных дифференциальных уравнений, этой сово-
купности корней будут соответствовать s компонентов общего решения вида
ji
j
s
jj
jijiji eePPPexx ji
++++
++++== l)...( 10 , sj ,...,1= , (21)
где j
kP — полином k -й степени от переменных nmm ,...,1 . Вид этих полиномов
определяется из определяющего уравнения ассоциированной системы линейных
дифференциальных уравнений.
4. Подмножество кратных пар комплексно-сопряженных корней.
Пусть кратность одного из наборов кратных пар комплексно-сопряженных
корней равна s . Тогда всего в этом наборе будет s2 корней:
1231 ... -+++ === siii lll , 122 ... +++ === isii lll .
Тогда этой совокупности корней будут соответствовать s2 компонентов общего
решения вида:
ji
j
s
jj
jijiji eePPPexx ji
++++
++++== l)...( 10 , (22)
110111 )...( ++++++++
++++== ji
j
s
jj
jijiji eePPPexx jil , 1,3,..., 2 1j s= - . (23)
Здесь уже будут полиномы с комплексными коэффициентами.
Таким образом, представление экспоненты будет представлять собой сумму
n слагаемых, каждое из которых — одночлен, у которого в первых двух случаях
три сомножителя: вещественная или комплексная произвольная постоянная, экс-
понента от вещественного или комплексного характеристического корня и базис-
ный элемент. В третьем и четвертом случаях — четыре сомножителя. К трем пре-
дыдущим сомножителям добавляется полином )1( -s -й степени с вещественными
или комплексными перемененными. Такую форму представления экспоненты бу-
дем называть нормализованной формой представления.
Построение нормализованной формой представления осуществляется двумя
способами:
1) использованием при решении дифференциального уравнения (11) при на-
личии комплексных корней выражений (19) и (22), (23);
2) заменой в существующей ненормализованной форме тригонометрических
и гиперболических функций показательными:
)(
2
1cos aaa ii ee -+= , )(
2
1sin aaa ii eei ---= , )(
2
1 aaa -+= eech , )(
2
1 aaa --= eesh .
Например, для системы комплексных чисел C известная формула Эйлера
преобразуется так:
Нормализованная форма представления
экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 4 19
1 1
1 2 1 2
1 1 2 2 2 1 2 2 1 2
1 2 1 2
11
1 1( )= (cos sin ) = ( ( ) ( ) )
2 2
= .
2 2
m m i i i i
m im m im
Exp m e m e e m e m e e e e e i e e e
e ie e iee e C e C e
a a a a
l l
- -
+ -
+ × + × + - - =
- +
= + +
(24)
Аналогично для системы двойных чисел W :
1 1 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 2 1 2 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 1( ) = ( ) = ( ( ) ( ) )
2 2
= .
2 2
m m m m m m
m m m im
Exp m e m e e chm e shm e e e e e e e e
e e e ee e C e C el l
- -
+ -
+ × + × + + - =
+ -
= + +
(25)
Приведем нормализованные формы представления экспонент для некоторых
ГЧС третьей и четвертой размерности.
1. Система триплексных чисел T .
Корни характеристического уравнения:
1 1 3,m ml = + 2,3 1 3 2.m m iml = - ±
Ненормализованное представление:
1 3 1 3
1 3 1 3 1 3
1 1 2 2 3 3 2 1
2 2 2 3
1( ) = ( cos )
2
1sin ( cos ) .
2
m m m m
m m m m m m
Exp m e m e m e e e m e
e m e e e m e
+ -
- + -
+ + + +
+ × + -
Нормализованное представление:
21 2
21 2
1 1 2 2 3 3 1 3 1 3 2 1 3 2
21 2
1 1 1( ) = ( ) ( 2 ) ( 2 ) =
2 4 4
.
Exp m e m e m e e e e e e ie e e e ie e
C e C e C e
l l l
l l l
+ + + + - - + - +
= + +
(26)
2. Система вещественно-комплексных чисел CR Å .
Корни характеристического уравнения:
1 1,ml = 2,3 2 3.m iml = ±
Ненормализованное представление:
( )33231332211 sincos)( 21 ememeeeemememExp mm ×+×+=++ .
123
21322
3211
321
)2/(
eeee
eeeee
eeee
eee
e -
--
133
322
11
321
0
0
00
eee
eee
ee
eee
-
Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова
20
Нормализованное представление:
21 2
21 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 2 3
21 2
1 1( ) = ( ) ( ) =
2 4
.
Exp m e m e m e e e e ie e e ie e
C e C e C e
l l l
l l l
+ + + - + +
= + +
(27)
3. Система квадриплексных чисел K .
Корни характеристического уравнения:
)( 32412,1 mmimm +±-=l ,
)( 32414,3 mmimm +-±+=l .
Ненормализованное представление
(см. таблицу).
Нормализованное представление:
11
3 1 33 31
1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4
1 31 2 3 4 1 2 3 4 1 3
1( ) = [( ) ( )
4
( ) ( ) ] = .
Exp m e m e m e m e e ie ie e e e ie ie e e
e ie ie e e e ie ie e e C e C e C e C e
l l
l lll l l
+ + + - - - + + + - +
+ + - + + - + + + + +
(28)
4. Система бикомплексных чисел CC Å .
Корни характеристического уравнения:
212,1 imm ±=l , 434,3 imm ±=l .
Ненормализованное представление
(см. таблицу).
Нормализованное представление:
11
3 1 33 31
1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 1 2
1 33 4 3 4 1 3
1( ) = [( ) ( )
2
( ) ( ) ] = .
Exp m e m e m e m e e ie e e ie e
e ie e e ie e C e C e C e C e
l l
l lll l l
+ + + - + + +
+ - + + + + +
(29)
5. Система гиперкомплексных чисел 41Г .
Корни характеристического уравнения:
212,1 imm ±=l , 214,3 imm ±=l — двукратная
пара комплексно-сопряженных корней.
Ненормализованное представление:
12344
21433
34122
43211
321
eeeee
eeeee
eeeee
eeeee
eeeeK
--
--
--
344
433
122
211
4321
00
00
00
00
eee
eee
eee
eee
eeeeCC
-
-
Å
00
00
344
433
34122
43211
432141
eee
eee
eeeee
eeeee
eeeeГ
-
--
Нормализованная форма представления
экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2011, Т. 13, № 4 21
1
1 1 2 2 3 3 4 4 2 1 2 2
3 2 4 2 3 4 2 3 2 4
( ) = (cos sin
( cos sin ) ( cos sin ) .
mExp me m e m e m e e m e m e
m m m m e m m m m e
+ + + × + × +
+ - × + + ×
Нормализованное представление:
1 2
1 2
1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 3 4 3 4
1 2 3 4 3 4 3 4
( ) = ( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) ) = .
m im
m im
Exp m e m e m e m e e e ie m im e m im e
e e ie m im e m im e Pe Pel l
+
-
+ + + - + + + - +
+ + + - + + +
(30)
6. Система гиперкомплексных чисел 44Г .
Корни характеристического уравнения:
14,3,2,1 m=l — четырехкратный вещественный ко-
рень.
Ненормализованное и нормализованное пред-
ставления совпадают:
)))(
2
1(()( 4
2
3
2
243322144332211
1 emmmememeeememememExp m +++++=+++ .
7. Система гиперкомплексных чисел 45Г .
Корни характеристического уравнения:
14,3,2,1 m=l — четырехкратный вещественный
корень.
Ненормализованное и нормализованное пред-
ставления совпадают:
)))(
2
1(()( 4
2
3
2
243322144332211
1 emmmememeeememememExp m -++++=+++ .
Выводы
Как видно из вышеизложенного, нормализованная форма представления экс-
поненты во многих случаях более полно отражает структуру ГЧС, чем ненорма-
лизованная. Так, например, ненормализованные формы представления триплекс-
ных чисел T и системы вещественно-комплексных чисел CR Å (строки 1 и 2 со-
ответственно таблицы) отличаются очень сильно. А нормализованные формы (26)
и (27) очень похожи. То же самое можно сказать и о системах квадриплексных
чисел K и бикомплексных чисел CC Å (строки 3 и 4 соответственно таблицы и
выражения (28) и (29)). Этот факт наводит на мысль об изоморфизме этих систем:
CRT Å@ и CCK Å@ . И они, как показано в [1], действительно изоморфны.
000
00
00
44
433
422
43211
432144
ee
eee
eee
eeeee
eeeeГ
000
00
00
44
433
422
43211
432144
ee
eee
eee
eeeee
eeeeГ
-
Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова
22
Однако представления экспонент в системах 44Г и 45Г тоже очень похожи — от-
личаются всего лишь одним знаком, но, как показано в [1], эти системы неизо-
морфны. То есть признак изоморфизма по одинаковости вида представлений яв-
ляется необходимым, но недостаточным. Более подробно и точно этот вопрос бу-
дет исследован в дальнейших работах авторов. Отметим только, что нормализо-
ванное представление экспоненты может позволить решить не только вопрос об
изоморфности двух конкретных ГЧС, но и, в случае наличия такового, найти опе-
ратор изоморфизма без решения громоздкой системы квадратичных уравнений.
1. Синьков М.В. Конечномерные гиперкомплексные числовые системы. Основы теории.
Применения / Синьков М.В., Бояринова Ю.Е., Калиновский Я.А. — К.: Инфодрук, 2010. — 388 с.
2. Hamilton W.R. Researches Respecting Quaternions: First Series / W.R. Hamilton // Transactions
of the Royal Irish Academy. — 1848. — Vol. 21. — Рart 1. — P. 199–296.
3. Kähler U. Die Anwendung der Hyperkomplexen Funktionentheorie auf Die Losung Partieller
Differentialgleichungen [Электронный ресурс] / U. Kähler. — 1998. — Режим доступа: www.tuche-
mnitz.de/mathematik/prom_habil/promint.pdf
4. Brackx F. The Exponential Function of a Quaternion Variable / F. Brackx // Applicable
Analysis. — 1979. — Vol. 8. — P. 265–276.
5. Olariu S. Complex Numbers in n Dimensions [Электронный ресурс] / S. Olariu. — 2000. —
Режим доступа: www.arXiv:math/0011044
Поступила в редакцию 28.11.2011
http://www.tu-chemnitz.de/
http://www.tu-chemnitz.de/
http://arxiv.org/abs/math/0011044
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50541 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1560-9189 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:20:35Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. 2013-10-23T18:03:55Z 2013-10-23T18:03:55Z 2011 Нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах / Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2011. — Т. 13, № 4. — С. 12-22. — Бібліогр.: 5 назв. — pос. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50541 004.942 Рассмотрена нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах (ГЧС), ее структура, методы построения и возможности использования для решения задачи определения изоморфности различных ГЧС. Розглянуто нормалізовану форму представлення експоненціальної функції у комутативних гіперкомплексних числових системах (ГЧС), її структуру, методи побудови та можливості використання для розв’язку задачі визначення ізоморфності різних ГЧС. The normalized form of representation of the exponential function in the commutative hypercomplex number systems (HNSs), its structure, methods of construction and capabilities of use for solving the problem of determining the isomorphism of various HNSs is considered. ru Інститут проблем реєстрації інформації НАН України Реєстрація, зберігання і обробка даних Математичні методи обробки даних Нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах Нормалізована форма представлення експоненціальної функції у комутативних гіперкомплексних числових системах The Normalized Form of Representation of the Exponential Function in Commutative Hypercomplex Number Systems Article published earlier |
| spellingShingle | Нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Математичні методи обробки даних |
| title | Нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах |
| title_alt | Нормалізована форма представлення експоненціальної функції у комутативних гіперкомплексних числових системах The Normalized Form of Representation of the Exponential Function in Commutative Hypercomplex Number Systems |
| title_full | Нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах |
| title_fullStr | Нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах |
| title_full_unstemmed | Нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах |
| title_short | Нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах |
| title_sort | нормализованная форма представления экспоненциальной функции в коммутативных гиперкомплексных числовых системах |
| topic | Математичні методи обробки даних |
| topic_facet | Математичні методи обробки даних |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50541 |
| work_keys_str_mv | AT kalinovskiiâa normalizovannaâformapredstavleniâéksponencialʹnoifunkciivkommutativnyhgiperkompleksnyhčislovyhsistemah AT boârinovaûe normalizovannaâformapredstavleniâéksponencialʹnoifunkciivkommutativnyhgiperkompleksnyhčislovyhsistemah AT kalinovskiiâa normalízovanaformapredstavlennâeksponencíalʹnoífunkcííukomutativnihgíperkompleksnihčislovihsistemah AT boârinovaûe normalízovanaformapredstavlennâeksponencíalʹnoífunkcííukomutativnihgíperkompleksnihčislovihsistemah AT kalinovskiiâa thenormalizedformofrepresentationoftheexponentialfunctionincommutativehypercomplexnumbersystems AT boârinovaûe thenormalizedformofrepresentationoftheexponentialfunctionincommutativehypercomplexnumbersystems |