Развитие исследований алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше першого
Рассмотрены алгоритмы решения линейных однородных дифференциальных уравнений высших порядков в гиперкомплексных числовых система; изучены особенности, возникающие при наличии кратных корней характеристического уравнения и корней, не принадлежащих к заданной гиперкомплексной числовой системе. Розглян...
Saved in:
| Published in: | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
|---|---|
| Date: | 2004 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2004
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50653 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Развитие исследований алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше першого / М.В. Синьков, Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова, Т.В. Синькова // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2004. — Т. 6, № 2. — С. 19-26. — Бібліогр.: 7 назв. — pос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859693656574787584 |
|---|---|
| author | Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Синькова, Т.В. |
| author_facet | Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Синькова, Т.В. |
| citation_txt | Развитие исследований алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше першого / М.В. Синьков, Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова, Т.В. Синькова // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2004. — Т. 6, № 2. — С. 19-26. — Бібліогр.: 7 назв. — pос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| description | Рассмотрены алгоритмы решения линейных однородных дифференциальных уравнений высших порядков в гиперкомплексных числовых система; изучены особенности, возникающие при наличии кратных корней характеристического уравнения и корней, не принадлежащих к заданной гиперкомплексной числовой системе.
Розглянуто алгоритми розв’язування лінійних однорідних диференціальних рівнянь вищих порядків у гіперкомплексних числових системах; вивчено особливості, які виникають за наявності кратних коренів характеристичного рівняння та коренів, які не належать до вихідної гіперкомплексної системи.
The algorithms for a solution of linear homogeneous differential equations of the higher orders in hypercomplex numerical systems are considered; the features originating at presence of the multiple roots of a characteristic equation and roots which do not belong to the given hypercomplex numerical system are studied.
|
| first_indexed | 2025-12-01T00:09:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 2 19
УДК 519.68; 620.179.15; 681.3
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский,
Ю. Е. Бояринова, Т. В. Синькова
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
Развитие исследований алгоритмов решения линейных
дифференциальных уравнений от гиперкомплексного
переменного порядка выше первого
Рассмотрены алгоритмы решения линейных однородных дифференци-
альных уравнений высших порядков в гиперкомплексных числовых сис-
тема; изучены особенности, возникающие при наличии кратных кор-
ней характеристического уравнения и корней, не принадлежащих к за-
данной гиперкомплексной числовой системе.
Ключевые слова: гиперкомплексная числовая система, линейные диф-
ференциальные уравнения, кратные корни.
Постановка проблемы
Результаты, изложенные в данной статье, являются продолжением исследо-
ваний, которым посвящены работы [1–5]. Здесь рассматриваются вопросы по-
строения алгоритмов решения линейных однородных дифференциальных уравне-
ний высших порядков, которые находят весьма важные применения в различных
областях науки и техники.
Цель работы
Целью работы является повышение эффективности моделирования различ-
ных процессов, описываемых такими дифференциальными уравнениями от ги-
перкомплексных переменных, порядок которых выше первого, путем создания
алгоритмов их решения аналитическими методами на основе представлений не-
линейных функций от гиперкомплексного переменного.
Результаты исследований
Однородные линейные уравнения от гиперкомплексного переменного поряд-
ка выше первого имеют вид
0... 11
1
1 =++++ --
-
XA
dt
dXA
dt
XdA
dt
Xd
mmm
m
m
m
, (1)
© М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова, Т. В. Синькова
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова, Т. В. Синькова
20
где X и iA — гиперкомплексные числа в заданной гиперкомплексной числовой
системе п-го порядка G ; m — порядок дифференциального уравнения.
Решением линейного однородного дифференциального уравнения высокого
порядка является гиперкомплексная функция )(tX , имеющая число производных
не менее, чем порядок той гиперкомплексной числовой системы, в которой задано
само уравнение.
Как видно из самой структуры дифференциального уравнения, линейная
комбинация решений есть также его решение, т.е., если 1X и 2X — решения, то
2211 XCXC + — также решение. Здесь 21 ,CC — гиперкомплексные числа.
Будем искать решение )(tX уравнения (1) в виде:
tCeX L= , (2)
где L,C — гиперкомплексные числа.
Действительно, так как гиперкомплексная экспонента определяется как сум-
ма ряда Маклорена
å
¥
=
L L=
0 !
)(
k
k
t
k
te , (3)
то
t
k
k
eC
k
tC
dt
dX L
¥
=
å L=
L
L=
0 !
)(
, (4)
а т-я производная
tm
m
m
eC
dt
Xd LL= . (5)
Подставляя выражения для производных от Х в (1) и (3) и сокращая на
0¹L tCe , получим
0... 1
1
1 =+L++L+L -
-
mm
mm AAA . (6)
Это есть характеристическое уравнение дифференциального уравнения (1).
Если определить его корни и подставить в (3), то получим m решений kX урав-
нения (1), а, составив их линейную комбинацию с гиперкомплексными коэффи-
циентами kC , получим общее решение
å
=
L=
m
k
t
k
keCX
1
. (7)
Развитие исследований алгоритмов решения линейных
дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше первого
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 2 21
Далее, используя представление экспоненты в исходной гиперкомплексной
числовой системе, получим решение уравнения (1), куда входят только функции
вещественного переменного.
Рассмотрим числовой пример.
Пусть в системе дуальных чисел 2211 exexX += , где ;111 eee = ;022 =ee
21221 eeeee == , задано дифференциальное уравнение третьего порядка
0)52()75()2(2 21212
2
213
3
=+-+++- ee
dt
dXee
dt
Xdee
dt
Xd
. (8)
Его характеристическое уравнение
0)52()75()2(2 2121
2
21
3 =+-L++L+-L eeeeee ,
где 2211 ee ll +=L имеет три корня:
.2
;2
;
213
212
211
ee
ee
ee
-=L
+=L
+=L
Решение дифференциального уравнения в общем виде запишем как
teeteetee eCeCeCX )2(
3
)2(
2
)(
1
212121 -++ ++= ,
где iC — произвольные дуальные постоянные ( 2211 eCeCC iii += ).
Возьмем из [6] дуальную экспоненту
)( 221
12211 emeee memem +=+ .
Тогда решение дифференциального уравнения (8) примет вид:
.))2(())((
)2())2()(
2
2
3211
2
321
213
2
221121
teecetceececc
teeceecctecceX
tttt
tt
-++++=
=-++++=
Если характеристическое уравнение (6) будет иметь кратные корни, то число
частных решений вида t
i
ieC l станет меньше порядка уравнения. Недостающие
корни будут иметь вид: tk iet l (здесь il — кратный корень, а 1,...,1 -= rk , где r
— кратность корня il ).
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова, Т. В. Синькова
22
Это можно доказать методом, изложенным в [7], который полностью подхо-
дит и для гиперкомплексных переменных. Таким образом, корню характеристи-
ческого уравнения (6) кратности r соответствует решение:
å
-
=
=
1
0
r
j
j
kj
t
n tCeX nl , (9)
где kjC — гиперкомплексная произвольная постоянная.
Итак, общее решение уравнения (1), у которого характеристическое уравне-
ние имеет r кратных корней 1l и rm - различных корней, принимает вид
åå
=
-
=
+=
m
rj
t
j
r
j
j
j
t
n
jeCtCeX ll
1
0
1
1 . (10)
В выражении (10) все экспоненты — гиперкомплексные.
Рассмотрим числовой пример. Пусть в системе некоммутативной гиперком-
плексной числовой системы кватернионов
44332211 exexexexX +++=
с законом композиции
e1 e2 e3 e4
e1 1 e2 e3 e4
e2 e2 –1 e4 –e3
e3 e3 –e4 –1 e2
e4 e4 e3 –e2 –1
задано дифференциальное уравнение второго порядка:
0)86428()8642( 43243212
2
=+++-+++-- Xeee
dt
dXeeee
dt
Xd
. (11)
Его характеристическое уравнение
0)86428()8642( 4324321
2 =+++-+L+++-L eeeeeee .
имеет два одинаковых корня
432121 432 eeee +++=L=L=L .
Развитие исследований алгоритмов решения линейных
дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше первого
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 2 23
В соответствии с (10) решение уравнения (11)
tetCCX L+= )( 21 .
Здесь экспонента — кватернионная, которая имеет следующее представление
[6]:
)),sin)(cos( 4433221
1
44332211
m
mmemememee
e
m
emememem
++++=
=+++
где 2
4
2
3
2
2 mmmm ++= .
В соответствии с этим представлением общее решение (11) запишем как
))432(
28
28sin28)(cos( 22121 eeetttCCeX t ++++= .
Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение (6) не имеет корней
в заданной гиперкомплексной числовой системе.
Корни характеристического уравнения (6)
å
=
=L
m
k
kkii e
1
l
должны быть гиперкомплексными числами из той же гиперкомплексной число-
вой системы G , в которой задано дифференциальное уравнение. Однако, харак-
теристическое уравнение (6) не всегда имеет корни в системе G . Это происходит
по следующей причине: гиперкомплексное уравнение (6) равносильно системе из
m алгебраических уравнений т-й степени, которая в общем виде имеет 22m ком-
плексно-сопряженных решений. Однако, в исходной гиперкомплексной числовой
системе G в общем не содержится система комплексных чисел. Поэтому целесо-
образно рассматривать исходную систему G не над полем вещественных чисел, а
над полем комплексных чисел, что позволяет воспользоваться всеми формулами
представления нелинейностей, полученными ранее.
Рассмотрим числовой пример. Пусть в системе двойных чисел
2211 exexX += ,
где ,,0, 2122122111 eeeeeeeeee ==== задано дифференциальное уравнение вто-
рого порядка
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова, Т. В. Синькова
24
0)23()(2 21212
2
=+++- ee
dt
dXee
dt
Xd
.
Характеристическое уравнение его
0)23()(2 2121
2 =++L+-L eeee .
Если подставить сюда
2211 ee ll +=L ,
то характеристическое уравнение равносильно системе из двух уравнений второй
степени:
î
í
ì
=++-
=++-+=
.02)(22
;03)(2
2121
21
2
2
2
1
llll
llll
Эта система имеет четыре решения:
1)
;1
;1
2
1
=
+=
l
l i
2)
;1
;1
2
1
=
-=
l
l i
3)
;1
;1
2
1
i+=
=
l
l
4)
,1
;1
2
1
i-=
=
l
l
где 12 -=i .
Как видно решения 1, 2 и 3, 4 — попарно сопряжены.
Но в исходной двойной системе нет чисел, которые получились при решении
характеристического уравнения. Поэтому будем рассматривать заданное уравне-
ние не в двойной системе, а в системе комплексно-двойных чисел, т.е. двойной
системе, удвоенной комплексными числами.
Общее решение исходного уравнения состоит из четырех компонент, каждая
из которых соответствует одному из решений:
)()()()()( 4321 tXtXtXtXtX +++= .
Определим первую компоненту:
Развитие исследований алгоритмов решения линейных
дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше первого
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 2 25
t
ee
i
teet eCeCeCtX 2122111
1
1
)(
111 )( +
+
+L === ll .
Здесь 1C — константа, принадлежащая системе двойных чисел, а экспонента
— также в системе двойных чисел. Представление экспоненты в этой системе сле-
дующее [6]:
)( 21
21 eshbechbee abeae ×+×=+ .
Поэтому
)()( 21
)1(
11 shtechteeCtX ti += + .
Здесь экспонента представлена уже в системе комплексных чисел
)sin(cos bibee abia +=+ ,
из чего следует, что
).sinsincos
cos())(sin(cos)(
212
112111
shttiechttieshtte
chtteeCshtechtetiteCtX tt
×+×+×+
+×=++=
Это гиперкомплексное число в системе комплексно-двойных чисел. Осталь-
ные компоненты решения определяются аналогично.
Выводы
Проведенные исследования позволили получить алгоритмы решения диффе-
ренциальных уравнений высших порядков от гиперкомплексного переменного в
различных гиперкомплексных системах в аналитическом виде.
1. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова М.В., Чапор А.А. Использование ГЧС для пред-
ставления общих решений систем линейных однородных дифференциальных уравнений // Реєст-
рація, зберігання і оброб. даних. — 1999. — Т. 1, № 6. — С. 31–35.
2. Калиновский Я.А. Разработка алгоритмов решения линейных однородных дифференци-
альных уравнений первого порядка от гиперкомплексного переменного // Реєстрація, зберігання і
оброб. даних. — 2001. — Т. 3, № 2. — С. 22–29.
3. Калиновский Я.А. Алгоритм решения систем линейных однородных дифференциальных
уравнений первого порядка от гиперкомплексного переменного, основанный на удвоении исход-
ной гиперкомплексной числовой системы // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2001. — Т. 3,
№ 3. — С. 43–48.
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова, Т. В. Синькова
26
4. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова М.В. Применение гиперкомплексных чисел для
эффективного представления систем дифференциальных уравнений // Реєстрація, зберігання і об-
роб. даних. — 2001. — Т. 3, № 4. —С. 53–61.
5. Синьков М.В., Калиновский Я.А. Исследование алгоритмов решения некоторых типов
дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного // Реєстрація, зберігання і об-
роб. даних. — 2004. — Т. 6, № 1. — С. 53–61.
6. Исследование арифметических, алгебраических и аналитических свойств гиперкомплекс-
ных числовых систем, ориентированных на повышение эффективности моделирования систем
уравнений для широкого класса задач: Отчет о НИР «Число» (закл.) / ИПРИ НАН Украины. —
№ ГР 0298U001097. — К., 1997. — 231 с.
7. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: ГИФМЛ, 1961. —
311 c.
Поступила в редакцию 15.06.2004
Рассмотрим числовой пример. Пусть в системе двойных чисел
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50653 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1560-9189 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T00:09:05Z |
| publishDate | 2004 |
| publisher | Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Синькова, Т.В. 2013-10-27T00:53:18Z 2013-10-27T00:53:18Z 2004 Развитие исследований алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше першого / М.В. Синьков, Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова, Т.В. Синькова // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2004. — Т. 6, № 2. — С. 19-26. — Бібліогр.: 7 назв. — pос. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50653 519.68; 620.179.15; 681.3 Рассмотрены алгоритмы решения линейных однородных дифференциальных уравнений высших порядков в гиперкомплексных числовых система; изучены особенности, возникающие при наличии кратных корней характеристического уравнения и корней, не принадлежащих к заданной гиперкомплексной числовой системе. Розглянуто алгоритми розв’язування лінійних однорідних диференціальних рівнянь вищих порядків у гіперкомплексних числових системах; вивчено особливості, які виникають за наявності кратних коренів характеристичного рівняння та коренів, які не належать до вихідної гіперкомплексної системи. The algorithms for a solution of linear homogeneous differential equations of the higher orders in hypercomplex numerical systems are considered; the features originating at presence of the multiple roots of a characteristic equation and roots which do not belong to the given hypercomplex numerical system are studied. ru Інститут проблем реєстрації інформації НАН України Реєстрація, зберігання і обробка даних Математичні методи обробки даних Развитие исследований алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше першого Розвиток досліджень алгоритмів розв’язування лінійних диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного порядку вище першого Development of Studying Algorithms for a Solution of Linear Differential Equations from the Hypercomplex Variable Order Over the First One Article published earlier |
| spellingShingle | Развитие исследований алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше першого Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Синькова, Т.В. Математичні методи обробки даних |
| title | Развитие исследований алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше першого |
| title_alt | Розвиток досліджень алгоритмів розв’язування лінійних диференціальних рівнянь від гіперкомплексного змінного порядку вище першого Development of Studying Algorithms for a Solution of Linear Differential Equations from the Hypercomplex Variable Order Over the First One |
| title_full | Развитие исследований алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше першого |
| title_fullStr | Развитие исследований алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше першого |
| title_full_unstemmed | Развитие исследований алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше першого |
| title_short | Развитие исследований алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше першого |
| title_sort | развитие исследований алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений от гиперкомплексного переменного порядка выше першого |
| topic | Математичні методи обробки даних |
| topic_facet | Математичні методи обробки даних |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50653 |
| work_keys_str_mv | AT sinʹkovmv razvitieissledovaniialgoritmovrešeniâlineinyhdifferencialʹnyhuravneniiotgiperkompleksnogoperemennogoporâdkavyšeperšogo AT kalinovskiiâa razvitieissledovaniialgoritmovrešeniâlineinyhdifferencialʹnyhuravneniiotgiperkompleksnogoperemennogoporâdkavyšeperšogo AT boârinovaûe razvitieissledovaniialgoritmovrešeniâlineinyhdifferencialʹnyhuravneniiotgiperkompleksnogoperemennogoporâdkavyšeperšogo AT sinʹkovatv razvitieissledovaniialgoritmovrešeniâlineinyhdifferencialʹnyhuravneniiotgiperkompleksnogoperemennogoporâdkavyšeperšogo AT sinʹkovmv rozvitokdoslídženʹalgoritmívrozvâzuvannâlíníinihdiferencíalʹnihrívnânʹvídgíperkompleksnogozmínnogoporâdkuviŝeperšogo AT kalinovskiiâa rozvitokdoslídženʹalgoritmívrozvâzuvannâlíníinihdiferencíalʹnihrívnânʹvídgíperkompleksnogozmínnogoporâdkuviŝeperšogo AT boârinovaûe rozvitokdoslídženʹalgoritmívrozvâzuvannâlíníinihdiferencíalʹnihrívnânʹvídgíperkompleksnogozmínnogoporâdkuviŝeperšogo AT sinʹkovatv rozvitokdoslídženʹalgoritmívrozvâzuvannâlíníinihdiferencíalʹnihrívnânʹvídgíperkompleksnogozmínnogoporâdkuviŝeperšogo AT sinʹkovmv developmentofstudyingalgorithmsforasolutionoflineardifferentialequationsfromthehypercomplexvariableorderoverthefirstone AT kalinovskiiâa developmentofstudyingalgorithmsforasolutionoflineardifferentialequationsfromthehypercomplexvariableorderoverthefirstone AT boârinovaûe developmentofstudyingalgorithmsforasolutionoflineardifferentialequationsfromthehypercomplexvariableorderoverthefirstone AT sinʹkovatv developmentofstudyingalgorithmsforasolutionoflineardifferentialequationsfromthehypercomplexvariableorderoverthefirstone |