Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания
Рассмотрен один из возможных подходов к идентификации параметрической модели движения объектов по направляющим специальных систем метания по отсчетам положения при стендовых и натурных испытаниях таких систем. Розглянуто один із можливих підходів до ідентифікації параметричної моделі руху об’єктів п...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
|---|---|
| Дата: | 2004 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2004
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50688 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания / А.Г. Додонов, В.Г. Елизарьев, В.И. Путятин, В.А. Валетчик // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2004. — Т. 6, № 3. — С. 25-40. — Бібліогр.: 12 назв. — pос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50688 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Додонов, А.Г. Елизарьев, В.Г. Путятин, В.И. Валетчик, В.А. 2013-10-28T00:23:59Z 2013-10-28T00:23:59Z 2004 Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания / А.Г. Додонов, В.Г. Елизарьев, В.И. Путятин, В.А. Валетчик // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2004. — Т. 6, № 3. — С. 25-40. — Бібліогр.: 12 назв. — pос. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50688 517.5 Рассмотрен один из возможных подходов к идентификации параметрической модели движения объектов по направляющим специальных систем метания по отсчетам положения при стендовых и натурных испытаниях таких систем. Розглянуто один із можливих підходів до ідентифікації параметричної моделі руху об’єктів по напрямним спеціальних систем метання по відлікам положення при стендових і натурних випробуваннях таких систем. An approach which allows to identify the parametrical model of high-speed objects movement over guides of special throwing system according to readouts of position at stand and full-scale tests of such systems is considered. ru Інститут проблем реєстрації інформації НАН України Реєстрація, зберігання і обробка даних Математичні методи обробки даних Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания Ідентифікація параметрів руху об’єктів по напрямним спеціальних систем метання Identification of Movement Parameters of Objects Over Guides of special Throwing Systems Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания |
| spellingShingle |
Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания Додонов, А.Г. Елизарьев, В.Г. Путятин, В.И. Валетчик, В.А. Математичні методи обробки даних |
| title_short |
Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания |
| title_full |
Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания |
| title_fullStr |
Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания |
| title_full_unstemmed |
Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания |
| title_sort |
идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания |
| author |
Додонов, А.Г. Елизарьев, В.Г. Путятин, В.И. Валетчик, В.А. |
| author_facet |
Додонов, А.Г. Елизарьев, В.Г. Путятин, В.И. Валетчик, В.А. |
| topic |
Математичні методи обробки даних |
| topic_facet |
Математичні методи обробки даних |
| publishDate |
2004 |
| language |
Russian |
| container_title |
Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| publisher |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Ідентифікація параметрів руху об’єктів по напрямним спеціальних систем метання Identification of Movement Parameters of Objects Over Guides of special Throwing Systems |
| description |
Рассмотрен один из возможных подходов к идентификации параметрической модели движения объектов по направляющим специальных систем метания по отсчетам положения при стендовых и натурных испытаниях таких систем.
Розглянуто один із можливих підходів до ідентифікації параметричної моделі руху об’єктів по напрямним спеціальних систем метання по відлікам положення при стендових і натурних випробуваннях таких систем.
An approach which allows to identify the parametrical model of high-speed objects movement over guides of special throwing system according to readouts of position at stand and full-scale tests of such systems is considered.
|
| issn |
1560-9189 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50688 |
| citation_txt |
Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания / А.Г. Додонов, В.Г. Елизарьев, В.И. Путятин, В.А. Валетчик // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2004. — Т. 6, № 3. — С. 25-40. — Бібліогр.: 12 назв. — pос. |
| work_keys_str_mv |
AT dodonovag identifikaciâparametrovdviženiâobʺektovponapravlâûŝimspecialʹnyhsistemmetaniâ AT elizarʹevvg identifikaciâparametrovdviženiâobʺektovponapravlâûŝimspecialʹnyhsistemmetaniâ AT putâtinvi identifikaciâparametrovdviženiâobʺektovponapravlâûŝimspecialʹnyhsistemmetaniâ AT valetčikva identifikaciâparametrovdviženiâobʺektovponapravlâûŝimspecialʹnyhsistemmetaniâ AT dodonovag ídentifíkacíâparametrívruhuobêktívponaprâmnimspecíalʹnihsistemmetannâ AT elizarʹevvg ídentifíkacíâparametrívruhuobêktívponaprâmnimspecíalʹnihsistemmetannâ AT putâtinvi ídentifíkacíâparametrívruhuobêktívponaprâmnimspecíalʹnihsistemmetannâ AT valetčikva ídentifíkacíâparametrívruhuobêktívponaprâmnimspecíalʹnihsistemmetannâ AT dodonovag identificationofmovementparametersofobjectsoverguidesofspecialthrowingsystems AT elizarʹevvg identificationofmovementparametersofobjectsoverguidesofspecialthrowingsystems AT putâtinvi identificationofmovementparametersofobjectsoverguidesofspecialthrowingsystems AT valetčikva identificationofmovementparametersofobjectsoverguidesofspecialthrowingsystems |
| first_indexed |
2025-11-24T19:10:10Z |
| last_indexed |
2025-11-24T19:10:10Z |
| _version_ |
1850494380581847040 |
| fulltext |
Математичні методи обробки даних
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 3 25
УДК 517.5
А. Г. Додонов1, В. Г. Елизарьев2, В. И. Путятин1, В. А. Валетчик1
1Институт проблем регистрации информации НАН Украины,
ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
2ДП «Главный сервисный центр компьютерных технологий» ГНАУ
Львовская площадь, 8, 04655 Киев, Украина
Идентификация параметров движения объектов
по направляющим специальных систем метания
Рассмотрен один из возможных подходов к идентификации парамет-
рической модели движения объектов по направляющим специальных
систем метания по отсчетам положения при стендовых и натурных
испытаниях таких систем.
Ключевые слова: оценка, система, модель, носитель, модуль, инфор-
мация, взаимодействие.
Методы оценки параметров движения объектов по направляющим специаль-
ных систем метания (ССМ) по результатам измерений естественным образом свя-
зана с состоянием техники измерений [1–5].
В настоящее время, в основном, используются контактные или индукцион-
ные датчики фиксации положения объекта, расположенные вдоль направляющих
ССМ. Применяются также радиочастотные датчики, действие которых основано
на доплеровском сдвиге частот, обусловленном движением объекта. Известно,
например микроволновое устройство для связи с объектом, движущимся по на-
правляющим системы, основанное на применении микроволнового генератора,
сигнал от которого подается внутрь системы через встроенный зонд [3].
При анализе измерительной информации, полученной при оценке параметров
движения объекта по направляющим ССМ, традиционно использовались различ-
ные методы математической статистики: корреляционный, регрессионный, дис-
персионный анализы, факторный анализ и другие. В последнее время получили
развитие ССМ на новых физических принципах метания объектов (например,
электродинамического, газодинамического). Внутри таких ССМ, как правило,
действует сверхмощное электромагнитное поле, помехи от которого не позволяют
производить достоверные измерения при использовании указанных инструмен-
тальных средств. Стали применяться современные средства измерений, что по-
требовало более широкого внедрения новых методов анализа, требующих значи-
тельных вычислительных мощностей. Одновременно наблюдается качественное
© А. Г. Додонов, В. Г. Елизарьев, В. И. Путятин, В. А. Валетчик
А. Г. Додонов, В. Г. Елизарьев, В. И. Путятин, В. А. Валетчик
26
изменение процессов движения объектов по направляющим ССМ, что делает осо-
бенно актуальным построение математических моделей, позволяющих анализи-
ровать влияние различных факторов на течение процесса движения. В этих усло-
виях особенно актуальным становится вопрос идентификации параметров движе-
ния объектов.
Для обеспечения необходимой помехозащищенности в практике испытаний
ССМ стали использоваться измерительные средства оптического диапазона, рабо-
тающие в интервале длин волн l = 0,4 …1,1 мкм. Как показано в [1, 2], геомет-
рия светового потока в этом диапазоне и его интенсивность за счет разогрева от-
ражающей поверхности при движении объекта по направляющим системы со
скоростью до 3 км/с изменяется незначительно. Наиболее перспективным направ-
лением исследований в данной области является разработка лазерных измерите-
лей на основе датчиков, фиксирующих положение объекта при движении по на-
правляющим с точной привязкой по времени [4–5].
Целью исследований является разработка методологии идентификации пара-
метрической модели движения объектов по направляющим ССМ по отсчетам по-
ложения, позволяющей реализовать методы сплайн-функций для осуществления
оценки достоверности параметров выборок малого объема и математического мо-
делирования процессов движения объектов и проведения их коррекции. Задачами
исследования были разработка модели объекта движения, алгоритма регрессион-
ной идентификации параметров модели объекта, оценивания переменных состоя-
ния по интерполированным значениям положения объекта, алгоритма сглажива-
ния измерений.
Модель объекта
В практике модель движения объекта обычно задается разработчиком ССМ в
виде дифференциального уравнения n-го порядка. Если при этом в качестве ос-
новной для практического применения рассматривать задачу управления объек-
том в ССМ как задачу коррекции его динамических характеристик на управляе-
мом участке движения (т.е. во время движения по направляющим системы), то
целесообразно для анализа принять простую динамическую модель объекта [6]:
)()( )(
0
)(
0
tubtya j
m
j
j
i
n
i
i åå
==
= , (1)
где )(tu — изменяющееся во времени напряжение управления, приложенное к
электромагнитному ускорителю ССМ; G — линейный оператор; StSty 0)()( -º¢
— измеряемый выход системы (положение отсчетной точки на объекте относи-
тельно начального ее положения в момент времени t′, t′ = t – t0); TTt ,Î — интер-
вал измерений.
( )ty( )tu
G
Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 3 27
На практике 3£n , 2£m . Следовательно:
),()()()()()()( )2()1(
10
)3(
3
)2(
2
)1(
10 tbutubtubtyatyatyatya ++=+++
или:
.)()()()()()()(
2
2
1
103
3
32
2
210 dt
tud
bdt
tud
btub
td
tyda
td
tydadt
tdy
atya ++=+++ (2)
Запишем уравнение (1) в виде:
)()( )(
2
0
)(
3
0
tuDbtyDa j
m
j
j
i
n
i
i åå
=
=
=
=
= , (3)
где D = d\dt — введенный оператор дифференцирования [6].
Обозначим:
)(
0
)(
0
~,~ j
m
j
j
i
n
i
i DbBDaA åå
==
== . (4)
Получим:
)(~)(~ tuBtyA = . (5)
Следовательно, возможна запись:
)(~~)( 1 tuBAty -= . (6)
Введем формально вектор состояния объекта Х(t):
)(~)(~~ 1 tXBtUBA =- . (7)
Тогда
)()(~ 1 txtuA =- . (8)
Имеем два уравнения:
)()(~ tutxA = , (9)
)()(~ tytxB = . (10)
А. Г. Додонов, В. Г. Елизарьев, В. И. Путятин, В. А. Валетчик
28
Исходя из начальной постановки задачи, выберем переменные состояния,
входящие в вектор состояния:
[ ])(),(),()( 321 txtxtxtX T
= ,
ï
ï
ï
ï
þ
ï
ï
ï
ï
ý
ü
=
==
==
=
dt
txd
dt
txd
dt
txd
x
dt
txd
dt
txd
xdt
tdx
txtx
)()(
)()(
)()(
)()(
3
3
3
2
32
2
1
2
1
. (11)
Из уравнения (9) получим:
)()()()(1)(
1
3
0
2
3
1
3
3
2
3
3 tx
a
atx
a
atx
a
atu
adt
txd
---= . (12)
Уравнение динамики объекта имеет следующий вид:
),(
1
0
0
)(
)(
)(
1
0
0
1
0
0
)(
)(
)(
33
2
3
1
3
0
3
2
1
3
2
1
tu
a
tx
tx
tx
a
a
a
a
a
atx
tx
tx
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
+
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
×
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
---
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
&
&
&
(13)
)()()( tGutFXtX +=& . (14)
Из рассмотрения уравнений (10) и (11)следует:
)()()()()( 33322110 tytxbtxbtxbtxb =+++ & . (15)
Подставив уравнение (12) в уравнение (15), получим:
),()()()()()()()(
)()()()(1)()()(
1
3
3 0
2
3
3 1
3
3
3 2
3
3
322110
1
3
0
2
3
1
3
3
2
3
3322110
tytx
a
abtx
a
abtx
a
abtu
a
btxbtxbtxb
tx
a
atx
a
atx
a
atu
a
btxbtxbtxb
=---+++
=ú
û
ù
ê
ë
é
---+++
)()()()()(
3
3
3
3
3 2
22
3
3 1
11
3
3 0
0 tu
a
btx
a
abbtx
a
abbtx
a
abbty +ú
û
ù
ê
ë
é
-+ú
û
ù
ê
ë
é
-+ú
û
ù
ê
ë
é
-= . (16)
Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 3 29
На практике 10 =b , 0321 === bbb (нет динамических звеньев по управлению;
считаем, что динамические свойства оцениваются по выходу).
Таким образом,
[ ] [ ])(),(),()(),(),()( 321 tStStStxtxtxtX
TT
&&&º= . (17)
Получаем уравнение наблюдений в виде:
)()( 1 txte = . (18)
Компактная запись модели в пространстве состояний имеет вид:
î
í
ì
º=
+=
),()()(
),()()(
1 tStxty
tGutFXtX&
(19)
где F — матрица [ ]33´ ; G — вектор [ ] 1,0,0 3a T .
Учитывая, что оценка параметров движения объекта по направляющим ССМ,
а также регистрация полученных значений производится дискретным образом,
заменим обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее динамику
объекта (1), на соответствующее разностное уравнение:
)()(
00
jkubikya
m
j
j
n
i
i -=- åå
==
. (20)
Причем для упрощения взят единичный период квантования TTT ÎD=D ,1 .
Введя аналогичным образом переменные состояния, получаем уравнение ди-
намики объекта в дискретной форме:
)()()1( kBukAXkX +=+ , (21)
где А =
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
--- aaa 321
0
1
0
2
0
3
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
a
a
a
a
a
a
— матрица перехода;
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
=
b1
0
0
0
1
0
0
a
B — вектор усиления по входу объекта. (22)
Соответственно уравнение наблюдений (18) можно представить в виде:
А. Г. Додонов, В. Г. Елизарьев, В. И. Путятин, В. А. Валетчик
30
)()( 1 kxky = . (23)
Алгоритм регрессионной идентификации
параметров модели объекта
Для реализации алгоритма идентификации введем расширенный вектор со-
стояния:
[ ] [ ] .)(),(),(),()(),(),(),()( 4321321 kwkwkwkwkukxkxkxkW TT
== (24)
Выполним переобозначения:
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
F
F
F
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=F
T
T
T
3
2
1
1321
0
0
1
0
0
1
0
0
baaa
. (25)
Таким образом, уравнение (21) можно записать в виде:
)()1( kWkX F=+ . (26)
Фактически, идентификация системы (26) состоит в определении элементов
матрицы-строки Ф3. Оценка 3Ф
)
может быть выполнена по методу наименьших
квадратов [7, 8] известным способом:
[ ] )1(~)(~)(~)(~Ц 3
1
3 +-= kYkWkWkW
TT) , (27)
где
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
××××
××××
=
)(),(),(),(
)(),(),(),(
)(),(),(),(
)(~
4321
4321
14131211
kwkwkwkw
kwkwkwkw
kwkwkwkw
kW
rrrr
mmmm ; (28)
[ ]),1(~),...,1(~),...,1(~)1(~
33313 +++=+ kxkxkxkY r
T
m , (29)
где ;,...,2,1 r=m 4ñr — число измерений (оценок) переменных состояния xxx 321 ,,
и управления u в t k момент времени и переменной состояния x3 в момент време-
ни t k 1+ , т.е. общее число измерений rR 5³ . При этом значение r фактически оп-
ределяет минимально необходимое число сеансов измерений в ходе процесса
идентификации динамических параметров объекта.
Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 3 31
Оценивание переменных состояния по интерполированным
значениям положения объекта
Предложенный подход к идентификации модели движения объекта исследо-
вания состоит, как было показано выше, в использовании отсчетов положения
)()( 1 txtS kk º . Однако, на практике измеряется некоторый сигнал Z(t) (вид сигнала
связан с конструкцией реальной системы контроля параметров движения объек-
та). Поскольку модель движения задана с точностью до параметра, возникает за-
дача интерполяции отсчетов положения, полученных по измерениям непрерывной
и дифференцируемой функции времени. Необходимая непрерывность производ-
ных на интервале измерений, а также минимизация погрешностей между узлами
обеспечивается интерполяцией с помощью сплайн-функций [9, 10].
Физически сплайн представляет собой упругую линейку, закрепленную в
опорных точках. Математически сплайн принимает в узлах значения функции,
т.е. сплайн-функция это такая функция
yx iii =)(s , (i = 1,…, N), (30)
у которой
ò ¢¢=¢¢
b
a
y dxx 22 ))((ss . (31)
Величина (31) трактуется как потенциальная энергия изгибания упругой ли-
нейки, закрепленной в точках плоскости ),( yx ii , i = 1,…, N.
Кубическая сплайн-функция представляется как функция, собранная из кус-
ков кубических многочленов, и при этом обеспечивается минимум функционала
потенциальной энергии изгибания упругой линейки.
Для решения задачи интерполяции используется интерполяционный кубиче-
ский сплайн. Определяются значения сплайна в точке x j , причем
[ ] [ ] [ ] [ ]baxxxxxbax iiiijj ;;,;,; 11 ÎÎÎ += , (32)
где [а, b] — интервал задания функции.
Шаг задания функции может быть произвольным, т.е.
,1xh ii +¹ но xx ii ñ+1 , (33)
где xxhxxh iiiiii -=-= ++- 111, .
Кубический интерполяционный сплайн записывается как система уравнений
по i (i = 1,…, N)
А. Г. Додонов, В. Г. Елизарьев, В. И. Путятин, В. А. Валетчик
32
( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) ( ) ( ) .
66
1
6
1
1
`1
2
1
2
3
11
3
ú
û
ù
ê
ë
é
--+--+
+-+-=
+
++
++
xxhmyxxhmy
h
xxmxxm
h
x
iji
i
ijii
i
i
i
ijijii
i
js
(34)
Такая система в матричном виде записывается как
YHmA 6= , (35)
где m — вектор-столбец корней системы уравнений;Y — вектор-столбец значе-
ний функции; HA, — квадратные ленточные матрицы ранга N, состоящие соот-
ветственно из строк hhhh iiii 11 )(2 =- +-+ , i = 3,…, (N – 2); hhhh iiii
111
1
1 )( ---
-
- +-+ ,
i = 2,…, (N – 1).
Вторая и предпоследняя строки матрицы А имеют вид:
hhh 221 )(2 +- ,
)(2 122 hhh NNN --- ++ .
Первая и последняя строки матрицы А равны 1, а матрицы Н — равны 0.
При решении задачи экстраполяции кубический сплайн записывается в виде:
– при axi á :
( ) ( ) ( )ax
ax
yymaxyx ijj -÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
+--=
2
122
21 6
s ; (36)
– при bx jñ :
( ) ( ) ( )bx
xb
yymxbyx j
N
NNN
NNjj -÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
-
+++=
-
--
-
1
11
1 6
s .
Решая систему уравнений (35) и найдя ее корни, можно по формулам (34),
(36), (37) определить интерполяционные и экстраполяционные значения сплайна.
Алгоритм решения системы (35) основан на методе обратной прогонки и изложен
в работах [7, 9, 10].
Для каждого отрезка [ ]tt kk 1 , + изменения TtÎ кубическая сплайн-функция за-
писывается в виде:
)(
6
)(
2
)()(~)(~ 32
1 ttdttcttbatxtS k
k
k
k
kkkkk -¢+-¢+-¢+¢== , (37)
,,...,2,1, 11 Nkttt kk =áá-
Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 3 33
где N1 — количество отсчетов положения, обеспечиваемое конкретной системой
контроля параметров движения объекта; dcba kkkk ¢¢¢¢ ,,, — коэффициенты, подле-
жащие определению.
Очевидно, выражения для скорости и ускорения объекта на k-м интервале
времени при этом имеют вид:
)(
2
)()(~)(~ 2
2 ttdttcbtxtS k
k
kkkkk -¢+-¢+¢==& , (38)
).()(~)(~
3 ttdctxtS kkkkk -¢+¢==&& (39)
Причем, в соответствии с [7]:
)(tSa iii ¢=¢ , (40)
где )(tS ii¢ — значения положения в момент времени t i , полученные по измерени-
ям NiTttz ii 2,...,1,),( =Î .
Но, в общем случае t i не совпадает с t k , а N1 не равно N 2 , т.е. количество
измерений N 2 не равно количеству отсчетов положения, используемых для опре-
деления параметров модели движения объектов.
Коэффициенты c i¢ определяются путем решения системы линейных уравне-
ний:
)(6)(2 1
1
1
1111 h
SS
h
SSchchhch
i
ii
i
ii
iiiiiii
-
+
+
+++-
-¢-¢
-¢=¢+¢++¢ , Ni ,...,2,1 2= (41)
для краевых условий 020 =¢=¢ cc N .
Коэффициенты db ii ¢¢ , определяются по формулам:
h
SSdhchb
h
ccd
i
ii
i
i
i
i
i
i
ii
i
¢-¢+¢-¢=¢
¢-¢=¢ -- 1
2
1
62
; , Ni ,...2,1 2= . (42)
Алгоритм сглаживания измерений
Шум измерений, включая аномальные выбросы, серьезно затрудняет даль-
нейшую обработку. Поскольку характер распределения шума априори неизвестен
удобно в качестве сглаживающей функции взять кубическую сплайн-функцию [7,
9, 10], построенную по дискретным отсчетам )(tz i .
Используется следующий алгоритм построения сглаживающего сплайна. При
сглаживании значений )(tz i сплайн-аппроксимация измеренных данных осущест-
вляется методом покоординатного спуска. Идея метода состоит в аппроксимации
в выражении для функционала
А. Г. Додонов, В. Г. Елизарьев, В. И. Путятин, В. А. Валетчик
34
dttZ
T
ò ¢¢
0
2)( (43)
второй производной сплайна, разделенной разностью, составленной из значений
сплайна )(tZz ii = в узлах сетки D, с заменой интегрирования суммированием. В
случае краевых условий типа
0)()0( =¢¢=¢¢ TZZ (44)
приходим к функционалу типа:
[ ]å ---=F
= --+
N
i
iiiiiii hzzhzzZ
2
0 111
2
/)(/)()( h ,
где hth iii -= +1 ; ( ) 2/1 hh iii += -h . (45)
Для устранения неоднородности в узлах сетки с номерами NN i 2,1,1,0 - до-
полним сетку узлами tt 12 , -- и tt NN 21 22 , ++ , причем такими, что ,210 ttt -- ññ
ttt NNN 21 222 ++ áá и будем на каждой итерации вычислять дополнительные значения
zzzz NN , , , 2112 22 ++-- путем линейной экстраполяции:
./))((
,/)(
,/)(
,/))((
1112
111
001101
0011202
2222222
222222
hzzhhzz
hzzhzz
hzzhzz
hzzhhzz
NNNNNNN
NNNNNN
-++
--+
--
---
--++=
-+=
--=
-+-=
(46)
Тогда суммирование в (45) можно формально производить от –1 до 12 +N , а
формулы для вычисления приближенного значения ( )z k
i
~ для i-го узла на k-й ите-
рации будут однородными и приобретут вид:
[ ]
,1112
1121141~
)1(
2
11
)1(
1
11
2
)(
1
2
2
1
)(
2
1121
2
1
22
11
2
1
)(
þ
ý
ü
-ú
û
ù
ê
ë
é
++
î
í
ì
+ú
û
ù
ê
ë
é
++-´++=
-
+
++
-
+
+-
-
--
-
------+
-
z
hh
z
hhh
z
hhh
z
hhhhhh
z
k
i
iii
k
i
iii
k
i
iii
k
i
iiiiiii
i
ii
k
i
h
hh
h
h
(47)
где
;
;
;~
,
,~
,
0)(
0)(0
0)(
0
)(
0
)(
e
ee
e
e
e
ii
k
i
ii
k
iii
ii
k
i
ii
k
i
ii
k
i
zz
zzz
zz
если
если
если
z
z
z
z
+ñ
+££-
-á
ï
î
ï
í
ì
+
-
= (48)
e i — погрешность измерения zi.
Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 3 35
Процесс продолжается до тех пор, пока не станет:
d£-+ zz k
i
k
i
i
)()1(max , (49)
где d — некоторое малое число. Для кубического сплайна полагают ed 10 2-= .
Учет искажающего воздействия технологических дефектов
изготовления специальной системы метания
Учет особенностей конкретных систем, анализ которых проводится по экспе-
риментальным данным, в настоящее время стал одним из направлений практиче-
ской методологии идентификации. В этом контексте представляет интерес рас-
смотрение следующих особенностей системы «объект – направляющие» ССМ:
– в результаты измерений весьма существенные искажения вносят локальные
неоднородности по пространственной координате (технологические дефекты из-
готовления направляющих ССМ);
– указанные искажения данных измерений соответственно расположены в уз-
ких зонах, величина которых пренебрежительно мала по сравнению с длиной на-
правляющих (деформации направляющих фактически оказываются в пределах
единиц сантиметров при длине направляющих до нескольких метров);
– пространственное расположение зон действия неоднородностей во времени
не меняется и разработчику, как правило, не известно;
– динамика движения объекта может быть с высокой точностью описана про-
стыми моделями (не выше 5-го порядка), однако, если в ходе натурного экспери-
мента измерительные точки случайно попадают в зону действия локальных неод-
нородностей, применение простых моделей приведет к существенному смещению
оценок.
В работе предложен один из возможных подходов к учету искажающего дей-
ствия локальных неоднородностей. Учитывая важность проблемы, рассмотрим ее
в общем виде. Для этого выберем полиномиальную модель системы, выход кото-
рой является функцией одной пространственной координаты x, определенной на
множестве X и отягощен V в общем случае нелинейными неоднородностями, про-
являющимися на каждом локальном участке p в некотором интервале [ ]xx pp ¢¢¢ , ,
причем ее динамические свойства описываются полиномом времени степени R:
xq +å+å+å=++=
===
);(~
111
xftbtaYYYY pp
V
p
p
l
R
l
j
j
M
j
j
CBA , (50)
где x — шум измерений с характеристиками ),0( 2sx » ; [ ] ="΢¢¢Î pGxxx ppp ,
V,...,1= ; ttt 0
~ -= .
Для гладких функций );и( xf практически всегда можно подобрать линейную
модель в виде сплайна, адекватную модели (50), и действующую во всем диапа-
зоне изменения x. Однако такой метод чрезвычайно неэффективен, поскольку
А. Г. Додонов, В. Г. Елизарьев, В. И. Путятин, В. А. Валетчик
36
минимальное количество измерений при этом следует брать большим
å
=
++
V
p
sMRM
1
для M s коэффициентов сплайна в каждой p-й неоднородности.
На практике широко пользуются моделями вида (50), игнорируя воздействие
неоднородностей, т.е. исключая Y C . При этом воздействие неоднородностей с
учетом их локального характера относят к шумовым воздействиям наряду с
ошибками измерений. При оценивании Y аномальные выбросы в данных, обу-
словленные неоднородностями при попадании x в p-й интервал отбраковывают,
применяя для этого специальные процедуры.
Покажем, что применение таких подходов часто приводит к смещению оце-
нок.
Пусть в ходе эксперимента по идентификации рассматриваемой системы по-
лучают N измерений в точках, образующих сетку NNN tx ~´= .
Запишем модель (50) без составляющейY C в виде матричного уравнения рег-
рессии:
[ ] Y= 11AYM , (51)
где
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
tttxxx
tttxxx
A
R
N
I
NN
M
N
J
NN
RIMj
~...~...~......1
..........
~...~...~......1 111111
1 ;
[ ]bbaa RM
T
...,,...,, 101 =Y ; (52)
[ ] ,...,...,,1 yyyY Ni
T
= ( )Ni ...,,1= .
При минимизации функционала
( )( )Y-Y- €€ 1111 AYAYtrace
T
по методу наименьших квадратов [11] получают оценки вектора неизвестных па-
раметров Y1 :
( ) YAAA ТT
111
1
1€ -=Y . (53)
Очевидно, что если в ходе проведения эксперимента измерительные точки не
лежат в области неоднородностей, то модель (51) адекватна выборке и справедли-
во соотношение
[ ] ( ) [ ] ( ) Y=Y==Y
--
111111
1
111
1
1 AAAAYAAAM TTТT . (54)
В действительности, однако, измерения при идентификации могут прово-
диться и в зонах действия неоднородностей, расположение которых в области X,
Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 3 37
как правило, неизвестно. Тогда при линейном представлении неоднородностей
составляющей Y22A адекватная модель системы будет иметь вид
[ ] Y+Y= 2211 AAYM . (55)
Следовательно,
[ ] ( ) [ ] ( ) ( )
( ) ( ) ,2122111
1
11111
1
1211111
1
111
1
1
Y+Y=Y+Y=
=Y+Y==Y
--
--
AAAAAAAAA
AAAAAYAAAM
C
TTTT
TTTT
(56)
где ( ) AAAAA ТT
C 2111
1
=
- — матрица смещения [11].
Таким образом, в отличие от задачи оценивания при идентификации пара-
метров динамических систем с локальными неоднородностями их влияние приво-
дит к смещению оценок параметров и, следовательно, к смещению регрессии.
Как было показано выше, для достаточно частого заполнения измерительны-
ми точками области изменения x усложнение модели позволяет добиться ее адек-
ватности. Однако, учитывая, что расположение и амплитуда неоднородностей
стационарны, зона их действия на практике значительно меньше рабочего диапа-
зона х, а скорость изменения по х намного выше, чем для составляющей Y A в
формуле (49).
Применим подход [12], состоящий в исключении из обработки части измере-
ний, попадающих в зону неоднородностей. Для его реализации целесообразно
процесс идентификации разделить на два этапа.
На первом этапе во временном интервале t kT £ (t k — время корреляции
системы) определяются отрезки [ ]xx pp ¢¢¢ , ,,...,1 Vp = т.е. зоны действия неодно-
родностей по пространственной переменной х для первого временного сечения
tt ~~
1= .
С этой целью с использованием процедуры взвешенного метода наименьших
квадратов идентифицируется статистическая модель пространственной низкочас-
тотной составляющей Y A в виде:
xxKAY +Y=* 3 , (57)
где
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
xxx
xxx
xxx
A
M
n
j
nn
M
k
j
kk
Mj
......1
......1
......1 111
3
M
MM
;
[ ]aaa Mj
T
,...,,...,0=Y ; (58)
А. Г. Додонов, В. Г. Елизарьев, В. И. Путятин, В. А. Валетчик
38
[ ]
( ) .
,,...,,..., ~
1
33
1
3
1
1
1
YKAAKA
yyy
t
Y
TT
nk
T
*-- -
*
=Y
=
xx
)
(59)
При этом предполагается, что во всем диапазоне X корреляционная матрица
Kx диагональная и выполняется условие:
( ) XxKN Î"» xx ,0 . (60)
Составляется вектор невязок YD :
[ ] Y=-=DDD=D * €€,...,,..., 31 AYYY kknk
T
. (61)
В [12] показано, что при выполнении условия (60) значения Dk , nk ,...,1="
являются независимыми величинами и [ ] 0=DYM . Влияние неоднородностей
приводит к нарушению гауссовости и сериальной корреляции остатков между из-
мерениями и моделью ( )Dk на участках [ ]xx pp ¢¢¢ Vp ,...,1= . Этот факт может быть
использован для определения зон действия неоднородностей по следующему ал-
горитму [12].
1. Формируется «окно» [ ]xx sww + размером s, которое перемещается по
пространственной переменной из начального положения w = 1 c шагом
( )nkxxx wwk ,...,1,1 =-=D + в конечное положение x sn- .
2. С помощью широко распространенного критерия для выявления сериаль-
ной корреляции определенного вида, называемого критерием Дарбина–Уотсона
[11], проверяется нуль-гипотеза H 0 о том, что все сериальные корреляции 0=r p
против альтернативы )1,0(:1 á¹= rrrr p
pH . Такая альтернатива H1 появляется
из предположения о том, что ошибки Dk подчиняются условию:
),,0(, 2
1 sr Nzz kkkk »+D=D - (62)
а независимы DD -- 21, kk и DD -- 21, zz .
При этом еще предполагается, что и среднее, и дисперсия ошибок Dk постоян-
ны и не зависят от k , откуда с необходимостью следует, что ( ) )1/(,0 22 rs -»D Nk .
Далее строится статистика вида:
( ) åå
**
==
- DD-D=
n
k
k
n
k
kkd
1
2
2
1
2 / , (63)
где nn =* , и на ее основе определяется, можно ли отвергнуть нуль-гипотезу.
Гипотеза H1 справедлива, если
Идентификация параметров движения объектов по направляющим специальных систем метания
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 3 39
dd Lá . (64)
Гипотеза H 0 не отбрасывается, если
dd Uñ и dd Uñ-4 . (65)
Неравенства (64), (65) выполняются для заданных уровней значимости e2 .
Значения ),;(, Mnd LU e табулированы и представлены в виде, удобном для
хранения в памяти ЭВМ. Принимается dd 0= .
3. Составляется вектор [ ]DD=D -
~,...,~~
1 sn
TY из точек, не попадающих в «окно»,
и строится статистика d, (переход к п. 2) для nn =* – s .
4. На каждом шаге перемещения «окна» производится контроль текущего
значения d, при этом неоднородность с наибольшей корреляцией покрывается
«окном» в его текущем положении:
.,...,1,maxarg 0 nkdd
x
x k
X
w
w
=-=
Î
(66)
5. Учитывая, что перемещение «окна» происходит в направлении возрастания
х, уточняется его левая граница при сдвиге в сторону неоднородности на величи-
ну s0.
swwfdd
x
x f
Xsw
sw +=-=
Î+
+ ,...,,maxarg 0
0
0
. (67)
Таким образом, определяются границы первой наихудшей по критерию Дар-
бина–Уотсона локальной неоднородности [ ]xx ¢¢¢ 11 , :
xxxx swpswp +=+= =¢¢=¢ 11 ;
0
. (68)
Затем осуществляется переход к пп. 3, 4, 5 и аналогично производится опре-
деление границ остальных неоднородностей при стробировании расположения
уже найденных.
Критерий останова процесса поиска — выполнение неравенства (64).
На втором этапе находят оценки параметров Y1 модели (51) с использовани-
ем точек, не попадающих в интервалы для всех имеющихся в выборке временных
сечений.
Следует также отметить, что при обращении положительно определенной
матрицы в стандартной регрессионной задаче хорошие результаты дает примене-
ние метода квадратных корней, обладающих лучшей, по сравнению с методом
Гаусса–Жордана, устойчивостью к погрешностям округления [7].
А. Г. Додонов, В. Г. Елизарьев, В. И. Путятин, В. А. Валетчик
40
Выводы
1. Рассмотренные подходы к идентификации параметрической модели дви-
жения объектов по направляющим ССМ по отсчетам положения позволяют реа-
лизовать различные методы сплайн-функций для осуществления оценки досто-
верности параметров выборок малого объема, математического моделирования
процессов движения объектов и проведения их коррекции.
2. Наиболее адекватным методом математического моделирования процессов
движения объекта по направляющим ССМ является метод, использующий ап-
проксимацию функции интерполяционным кубическим сплайном, построенным
по дискретным отсчетам.
3. При обработке результатов измерений небольших объемов выборки ис-
пользование указанной методологии позволяет значительно повысить информа-
тивность получаемых данных и оценить их достоверность.
1. Плотников В.С. Геодезические приборы. — М.: Недра,1987. — 396 с.
2. Barker L., Hallenbach R. Laser Interferometer for Measuring High Velocity of Any reflecting
Surface // J. Appl. Phys. — 1972. — Vol. 43. — Р. 46–69.
3. Assay J., Konrad C., Hall C. Continuous Measurements of In-Bore Projective Velocity // IEEE
TRANSACTIONS ON MAGNETICS. — 1989. — Vol. 25, N 1.
4. Красюк Б.А., Корнеев Г.И. Оптические системы связи и световодные датчики. — М.: Ра-
дио и связь,1985. — 191 с.
5. Меркишин Г.В. Многооконные оптико-электронные датчики линейных размеров. — М.:
Радио и связь, 1986. — 166 с.
6. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управ-
ления. — М.: Наука, 1985. — 294 с.
7. Волков Е.А. Численные методы. — М.: Наука, 1987. — 248 с.
8. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории
обработки наблюдений. — М.: Физматгиз, 1962. — 349 с.
9. Вершинин В.В., Завьялов Ю.С., Павлов Н.Н. Экстремальные свойства сплайнов и задача
сглаживания. — Новосибирск: Наука. СО, 1988. — 102 с.
10. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближений. — М.: Наука, 1984. — 352 с.
11. Дрейпер И., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: [В 2 кн.]. — М.: Финансы и ста-
тистика. Кн.1. — 1986. — 365 с.
12. Сердюк В.Г., Шевырев А.М. Идентификация динамических систем с местными техноло-
гическими дефектами // Электрон. моделирование. — 1991. — Т. 13, № 3. — С. 60–62.
Поступила в редакцию 29.07.2003
|