Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов
Предложены алгоритмы оценивания многомерных функций распределения вероятностей с усреднением по ансамблю реализаций и по времени. Приведены структурные схемы устройств, реализующих эти алгоритмы. Показано, что оценки многомерных функций распределения вероятностей — несмещенные и состоятельные. Запро...
Saved in:
| Published in: | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
|---|---|
| Date: | 2004 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2004
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50689 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов / О.В. Брягин, А.К. Егоров, Г.Н. Розоринов // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2004. — Т. 6, № 3. — С. 41-49. — Бібліогр.: 8 назв. — pос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50689 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Брягин, О.В. Егоров, А.К. Розоринов, Г.Н. 2013-10-28T00:26:31Z 2013-10-28T00:26:31Z 2004 Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов / О.В. Брягин, А.К. Егоров, Г.Н. Розоринов // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2004. — Т. 6, № 3. — С. 41-49. — Бібліогр.: 8 назв. — pос. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50689 621.301 Предложены алгоритмы оценивания многомерных функций распределения вероятностей с усреднением по ансамблю реализаций и по времени. Приведены структурные схемы устройств, реализующих эти алгоритмы. Показано, что оценки многомерных функций распределения вероятностей — несмещенные и состоятельные. Запропоновано алгоритми оцінювання багатомірних функцій розподілу імовірностей з усередненням за ансамблем реалізацій і за часом. Надано структурні схеми пристроїв, які реалізують такі алгоритми. Показано, що оцінки багатомірних функцій розподілу імовірностей — незміщені та повні. Estimation algorithms of multivariate distribution functions with ensemble realization averaging and with time averaging аre proposed. Block diagrams of devices realizing these algorithms are presented. It is showed that estimation of multivariate distribution functions are unbiased and consistent. ru Інститут проблем реєстрації інформації НАН України Реєстрація, зберігання і обробка даних Математичні методи обробки даних Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов Щодо оцінки багатомірних функцій розподілу імовірностей мовних сигналів About Estimation of Multivariate Distribution Functions of Speech Signals Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов |
| spellingShingle |
Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов Брягин, О.В. Егоров, А.К. Розоринов, Г.Н. Математичні методи обробки даних |
| title_short |
Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов |
| title_full |
Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов |
| title_fullStr |
Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов |
| title_full_unstemmed |
Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов |
| title_sort |
об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов |
| author |
Брягин, О.В. Егоров, А.К. Розоринов, Г.Н. |
| author_facet |
Брягин, О.В. Егоров, А.К. Розоринов, Г.Н. |
| topic |
Математичні методи обробки даних |
| topic_facet |
Математичні методи обробки даних |
| publishDate |
2004 |
| language |
Russian |
| container_title |
Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| publisher |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Щодо оцінки багатомірних функцій розподілу імовірностей мовних сигналів About Estimation of Multivariate Distribution Functions of Speech Signals |
| description |
Предложены алгоритмы оценивания многомерных функций распределения вероятностей с усреднением по ансамблю реализаций и по времени. Приведены структурные схемы устройств, реализующих эти алгоритмы. Показано, что оценки многомерных функций распределения вероятностей — несмещенные и состоятельные.
Запропоновано алгоритми оцінювання багатомірних функцій розподілу імовірностей з усередненням за ансамблем реалізацій і за часом. Надано структурні схеми пристроїв, які реалізують такі алгоритми. Показано, що оцінки багатомірних функцій розподілу імовірностей — незміщені та повні.
Estimation algorithms of multivariate distribution functions with ensemble realization averaging and with time averaging аre proposed. Block diagrams of devices realizing these algorithms are presented. It is showed that estimation of multivariate distribution functions are unbiased and consistent.
|
| issn |
1560-9189 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50689 |
| citation_txt |
Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов / О.В. Брягин, А.К. Егоров, Г.Н. Розоринов // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2004. — Т. 6, № 3. — С. 41-49. — Бібліогр.: 8 назв. — pос. |
| work_keys_str_mv |
AT brâginov obocenkemnogomernyhfunkciiraspredeleniâveroâtnosteirečevyhsignalov AT egorovak obocenkemnogomernyhfunkciiraspredeleniâveroâtnosteirečevyhsignalov AT rozorinovgn obocenkemnogomernyhfunkciiraspredeleniâveroâtnosteirečevyhsignalov AT brâginov ŝodoocínkibagatomírnihfunkcíirozpodíluímovírnosteimovnihsignalív AT egorovak ŝodoocínkibagatomírnihfunkcíirozpodíluímovírnosteimovnihsignalív AT rozorinovgn ŝodoocínkibagatomírnihfunkcíirozpodíluímovírnosteimovnihsignalív AT brâginov aboutestimationofmultivariatedistributionfunctionsofspeechsignals AT egorovak aboutestimationofmultivariatedistributionfunctionsofspeechsignals AT rozorinovgn aboutestimationofmultivariatedistributionfunctionsofspeechsignals |
| first_indexed |
2025-11-27T02:02:50Z |
| last_indexed |
2025-11-27T02:02:50Z |
| _version_ |
1850792619261558784 |
| fulltext |
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 3 41
УДК 621.301
О. В. Брягин1, А. К. Егоров2, Г. Н. Розоринов2
1Министерство внутренних дел Украины
ул. Богомольца 10, 01024 Киев, Украина
2Национальный технический университет Украины
«Киевский политехнический институт»
проспект Победы, 37, 03056 Киев, Украина
Об оценке многомерных функций распределения
вероятностей речевых сигналов
Предложены алгоритмы оценивания многомерных функций распреде-
ления вероятностей с усреднением по ансамблю реализаций и по вре-
мени. Приведены структурные схемы устройств, реализующих эти
алгоритмы. Показано, что оценки многомерных функций распределе-
ния вероятностей — несмещенные и состоятельные.
Ключевые слова: случайные процессы, многомерные функции, довери-
тельная вероятность.
Введение
Одним из наиболее актуальных и сложных вопросов в современной статисти-
ческой радиотехнике, электроакустике, теории связи, статистическом анализе,
теории проверки статистических гипотез и во многих других прикладных облас-
тях науки и техники является вопрос о виде многомерных распределений вероят-
ностей анализируемых или обрабатываемых случайных процессов. Как правило,
эту проблему не решают, а ограничиваются допущениями о том, что рассматри-
ваемые процессы либо имеют нормальное распределение, либо процессы марков-
ские, либо отсчеты процессов независимы [1, 2]. Связано это с тем, что практиче-
ски единственным известным многомерным распределением вероятностей явля-
ется многомерное нормальное распределение, а предположение о марковости или
независимости отсчетов случайного процесса позволяет заменить многомерное
распределение произведением одномерных или условных распределений вероят-
ностей. Вместе с тем, имеется дольно широкий круг задач, для которых предпо-
ложение, например, о нормальности или о марковости процесса может оказаться
не совсем корректным. К таким процессам относятся прежде всего нестационар-
ные случайные процессы, например, речевые и видео сигналы.
© О. В. Брягин, А. К. Егоров, Г. Н. Розоринов
О. В. Брягин, А. К. Егоров, Г. Н. Розоринов
42
В статье предлагается физически реализуемый способ оценки многомерных
функций распределения вероятностей случайных процессов.
На рис. 1 показана структура ранее предложенного в [3] устройства для оцен-
ки многомерных распределений, которую в дальнейшем будем называть устрой-
ством совмещения событий.
Рис. 1. Структура устройства совмещения событий
При поступлении на вход элемента задержки 1, имеющего n выходов слу-
чайного процесса )(tx , на его выходах формируются n процессов nitx i ,1),( =-t .
Эти процессы подаются на пороговые элементы 2 (компараторы), где сравнива-
ются с величинами nixi ,1, = , в соответствии с алгоритмом:
î
í
ì
=
>-
£-
=- ni
xtxпри
xtxпри
tX
ii
ii
i ,1,
)(0
)(1
)(
t
t
t . (1)
Полученные в результате сравнений случайные последовательности единиц и
нулей поступают на входы п-входового элемента И3, на выходе которого форми-
руется процесс, представляющий собой совмещение процессов nitX i ,1),( =-t ,
т.е.
î
í
ì ="£-
=-=
= ).1(,0
,1,)(,1)(),,(
1 условияодногобыхотяииневыполненпри
nixtxприtXxty i
n
i
iii
ittt I (2)
С учетом (1) и (2) математическое ожидание процесса ),1,,,( nixty ii =t будет
равно:
})(,...,)(,)({)},1,,,({ 2211 nnii xtxxtxxtxPnixtyE £-£-£-== tttt . (3)
( )1t-tx
( )2t-tx
( )ntx t-
( )1t-tX
( )2t-tX
( )ntX t-
( )n,i,,x,tY ii 1=t
Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 3 43
Основываясь на определении многомерной функции распределения вероят-
ностей [4, 5], приходим к выводу, что математическое ожидание, получаемое на
выходе устройства совмещения событий, совпадает с многомерной функцией
распределения вероятностей случайного процесса )(tx . Следовательно, оценка
многомерной функции распределения вероятностей случайного процесса )(tx
сводится к статистическому усреднению отклика ),1,,,( nixty ii =t устройства со-
вмещения событий.
Рассмотрим возможные процедуры оценки многомерной функции распреде-
ления вероятностей.
Оценка с усреднением по ансамблю реализаций
Структура устройства для оценки многомерной функции распределения ве-
роятностей путем статистического усреднения по ансамблю реализаций показана
на рис. 2.
Рис. 2. Устройство для оценки п-мерной функции распределения
вероятностей с усреднением по ансамблю реализаций
( )tx1
( )tx2
( )txN
( )ty1
( )ty2
( )tyN
{ }n,i,,x,tF ii 1=* t
О. В. Брягин, А. К. Егоров, Г. Н. Розоринов
44
Каждая і-я реализация Nitxi ,1),( = , исследуемого процесса поступает на
вход соответствующего устройства 1 совмещения событий, на выходах каждого
из которых формируются процессы Njnixty iij ,1),,1,,,( ==t , типа (2). Процессы
Njnixty iij ,1),,1,,,( ==t , подаются на сумматор 2 (аналоговый или цифровой),
на выходе которого формируется оценка п-мерной функции распределения веро-
ятностей процесса )(tx вида
å
=
===
N
i
iiiiiN nixty
N
nixtF
1
* ),1,,,(1),1,,,( tt . (4)
Найдем математическое ожидание и дисперсию оценки (4). С учетом (3) для
математического ожидания имеем:
{ } { } { }nixtxFnixtyE
N
nixtFE ii
N
i
iiiiiN ,1,)(),1,,,(1),1,,,(
1
* =£-==== å
=
ttt , (5)
где { } { }nnii xtxxtxxtxPnixtxF £-£-£-==£- )(,...,)(,(,1,)( 2211 tttt — п-мер-
ная функция распределения вероятностей процесса )(tx . Следовательно, оценка
(4) — несмещенная. С учетом (4), (5) и в случае, когда процессы nitxi ,1),( = ,
представляют собой ансамбль независимых реализаций, для дисперсии оценки (4)
получаем:
{ } { }( )nixtxFnixtxF
N
nixtFD iiiiiiN ,1,)(,1,)(1)},1,,,({ 2* =£--=£-== ttt . (6)
Отметим, что так как для любой, в том числе и многомерной функции рас-
пределения вероятностей, имеет место соотношение 1}{0 ££ xF , то из (6) следу-
ет, что дисперсия оценки ),1,,,(* nixtF ii =t удовлетворяет условию
{ }
N
nixtFD iiN
25,0),1,,,(* £=t , (7)
то есть не зависит от вида распределения исследуемого процесса.
Оценка с усреднением по времени
На рис. 3 показана структура устройства оценки многомерной функции рас-
пределения вероятностей случайного процесса путем усреднения отклика устрой-
ства 1 совмещения событий по времени.
Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 3 45
Рис. 3. Устройство для оценки п-мерной функции распределения
вероятностей с усреднением по времени
Для этого требуется устройство накопления 2, например интегратор с посто-
янной интегрирования T . В этом случае оценка многомерной функции распреде-
ления вероятностей равна:
ò ===
T
iiiiT dtnixty
T
nixtF
0
* ),1,,,(1),1,,( tt . (8)
Тогда математическое ожидание оценки ),1,,,(* nixtF iiT =t будет:
{ } { }ò ===
T
iiiiT dtnixtyE
T
nixtFE
0
* ),1,,,(1),1,,,( tt , (9)
что для стационарных эргодических процессов приводит к равенству
{ } { }nixtxFnixtFE iiiiT ,1,)(),1,,,(* =£-== tt . (10)
Как видим и при усреднении по времени оценка многомерной функции рас-
пределения вероятностей — несмещенная, по крайней мере, для стационарных
случайных процессов. Для дисперсии оценки (8), в случае стационарных случай-
ных процессов получим выражение:
{ }== ),1,,,(* nixtFD iiT t
{ } { }ò ò =£--===
T T
iiiiii dtdtnixtxFnixtynixtyE
T 0 0
21
2
212 ,),1,)(),1,,,(),1,,,((1
ttt (11)
где, с учетом (2) и (3):
( )tx
( )n,i,,x,ty ii 1=t { }n,i,,x,tF ii 1=* t
О. В. Брягин, А. К. Егоров, Г. Н. Розоринов
46
{ } { }nixtxxtxFnixtynixtyE iiiiiiii ,1,)(,)(),1,,,(),1,,,( 2121 =£-£-=== tttt (12)
— неизвестная 2п-мерная функция распределения вероятностей процесса )(tx .
Это делает расчет дисперсии оценки весьма сложным. Однако, как показано в [7],
при 0®T дисперсия { }),1,,,(* nixtFD iiT =t стремится к нулю. Там же отмечается,
что, как правило, интегрирование в (8) не может быть выполнено аналитически и
в качестве альтернативы предлагается численное интегрирование выборок про-
цесса ),1,,,( nixty ii =t , равноотстоящих через промежутки времени TD . Таким
образом, если =D==D==D= ixTNynixTyynixTyy iiNiiii ,,,(),...,,1,,,2(),,1,,,( 21 ttt
),1 n= и TTN =D , то оценка многомерной функции распределения ,,,(*
iixtF t
),1 ni = может быть представлена в виде:
å
=
==
N
i
iii y
N
nixtF
1
* 1),1,,,( t , (13)
что для статистически независимых выборок приводит к аналогичным (6) и (7)
выражениям для дисперсии оценки (13).
В заключение этого раздела отметим возможность статистического усредне-
ния отклика устройства совмещения событий с помощью предложенного в [8]
t-текущего интегратора, позволяющего отслеживать характер изменений много-
мерной функции распределения вероятностей во времени. При этом оценка нахо-
дится в соответствии с правилом
{ } ò
+
===
Tt
t
iiiiT dtnixty
T
nixtF ),1,,(1,1,,,* tt . (14)
Очевидно, что для стационарных эргодических процессов математическое
ожидание и дисперсия этой оценки будут совпадать с аналогичными параметрами
оценки (8).
Точность оценки многомерных функций
распределения вероятностей
Доверительные вероятности для предлагаемых оценок многомерных функций
распределения можно определить двумя способами. Первый из них заключается
в использовании для определения доверительной вероятности результатов изме-
рений неравенства Чебышева [6]. При этом для доверительной вероятности рас-
сматриваемых оценок можно записать:
( ) { }
2
*
* ),1,,,(
},1,)({),1,,,(
d
t
dtt
nixtFDnixtxFnixtFP iiN
iiiiN
=
£>=£--= , (15)
Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 3 47
где d — максимально допустимое отклонение оценки от истинного значения n-
мерной функции распределения вероятностей, или с учетом (7), более жесткое
условие
( ) 2
* 25,0},1,)({),1,,,(
d
dtt
N
nixtxFnixtFP iiiiN £>=£--= , (16)
в котором N равно либо числу реализаций в ансамбле, по которому производится
статистическое усреднение, либо числу выборок на выходе устройства совмеще-
ния событий при усреднении по времени. Отметим, что этот критерий накладыва-
ет довольно жесткие условия на величину N , особенно при нахождении малых
значений функции распределения. Так, например, для обеспечения условия
( ) 1,001,0},1,)({),1,,,(* £>=£--= nixtxFnixtFP iiiiN tt
из (16) получаем 1000³N , что иногда довольно сложно реализовать практиче-
ски.
Второй подход к решению вопроса о точности оценки многомерных функций
распределения вероятностей основан на том, что при достаточно больших N
можно полагать отклонение полученной оценки от ее математического ожидания
распределенным по нормальному закону [1, 4, 7]. При этом для доверительной
вероятности получаем:
( )
{ }÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
=
F-£>=£--=
)1,,,(
21},1,)({),1,,,(
*
*
nixtFD
nixtxFnixtFP
iiN
iiiiN
t
ddtt , (17)
где )(xF — интеграл вероятностей, или, с учетом (16):
( ) ( )NnixtxFnixtFP iiiiN ddtt 221},1,)({),1,,,(* F-£>=£--= . (18)
При этом для приведенного выше примера условие
( ) 1,001,0},1,)({),1,,,(* £>=£--= nixtxFnixtFP iiiiN tt
будет выполняться уже при 350³N . Как видим, условия (15), (16) предъявляют к
величине N гораздо более жесткие требования.
В качестве примера в табл. 1, 2 приведены результаты измерения семимерной
функции распределения вероятностей с усреднением по ансамблю и по времени
соответственно для 10000 независимых реализаций или отсчетов гауссовского
случайного процесса.
О. В. Брягин, А. К. Егоров, Г. Н. Розоринов
48
Таблица 1. Усреднение по ансамблю реализаций
1x –0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 1,2500 1,5000 –0,2500 1,2500
2x –0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 1,2500 1,5000 0,0000 1,0000
3x –0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 1,2500 1,5000 0,2500 0,7500
4x –0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 1,2500 1,5000 0,5000 0,5000
5x –0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 1,2500 1,5000 0,7500 0,2500
6x –0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 1,2500 1,5000 1,0000 0,0000
7x –0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 1,2500 1,5000 1,2500 –0,2500
*
7F 0,0014 0,0080 0,0275 0,0739 0,1660 0,2973 0,4664 0,6232 0,0484 0,0493
*
70 F 0,0017 0,0078 0,0260 0,0733 0,1643 0,2963 0,4619 0,6200 0,0479 0,0478
70 F 0,0017 0,0078 0,0276 0,0756 0,1655 0,2984 0,4577 0,6163 0,0483 0,0483
d 0,0003 0,0002 0,0001 0,0017 0,0005 0,0011 0,0087 0,0069 0,0001 0,0010
Таблица 2. Усреднение по времени
1x –0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 1,2500 1,5000 –0,2500 1,2500
2x –0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 1,2500 1,5000 0,0000 1,0000
3x –0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 1,2500 1,5000 0,2500 0,7500
4x –0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 1,2500 1,5000 0,5000 0,5000
5x –0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 1,2500 1,5000 0,7500 0,2500
6x –0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 1,2500 1,5000 1,0000 0,0000
7x –0,2500 0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000 1,2500 1,5000 1,2500 –0,2500
*
7F 0,0027 0,0096 0,0281 0,0766 0,1692 0,2982 0,4616 0,6071 0,0483 0,0497
*
70 F 0,0016 0,0078 0,0288 0,0770 0,1675 0,3025 0,4643 0,6076 0,0487 0,0487
70 F 0,0020 0,0078 0,0276 0,0756 0,1655 0,2984 0,4577 0,6163 0,0495 0,0495
d 0,0007 0,0018 0,0005 0,0010 0,0037 0,0002 0,0039 0,0092 0,0012 0,0002
В таблицах приняты такие обозначения:
( )
{ }7321
*
7321
**
7
)6(,...,)3(,)(,)(
6,...,;2,;,;,
xtxxtxxtxxtxP
txtxtxtxFF
<-<-<-<=
=---=
ttt
ttt
— оценка семимер-
ной функции распределения вероятностей;
( ) { }ÕÕ
==
<--=--=
7
1
*
7
1
*
1
*
70 ))1(()1(,
i
i
i
i xitxPitxFF tt — произведение оценок
одномерных функций распределения вероятностей для соответствующих отсче-
тов анализируемого процесса;
( )Õ
=
--=
7
1
170 )1(,
i
i itxFF t — произведение расчетных (теоретических) значе-
ний одномерных функций распределения вероятностей для соответствующих от-
счетов анализируемого процесса;
Об оценке многомерных функций распределения вероятностей речевых сигналов
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 3 49
*
7 0 7F Fd = - — отклонение оценки семимерной функции распределения
вероятностей от расчетного значения.
Выводы
1. Разработаны алгоритмы оценивания многомерных функций распределения
вероятностей с усреднением по ансамблю реализаций и по времени.
2. Приведены структурные схемы устройств, реализующих эти алгоритмы.
3. Показано, что получаемые оценки многомерных функций распределения
вероятностей — несмещенные и состоятельные.
4. Приведены формулы для расчета доверительных вероятностей и довери-
тельных интервалов оценок.
5. Полученные результаты могут быть использованы не только для много-
мерного вероятностного анализа случайных процессов, но и для проверки гипо-
тез: о стационарности случайного процесса; о марковости случайного процесса; о
независимости отсчетов случайного процесса.
1. Кендалл М. Дж., Стюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. —
М.: Наука, 1976. — 736 с.
2. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 2. — М.: Сов. радио,
1968. — 552 с.
3. Авт. свид. СССР. Устройство для измерения многомерных функций распределения веро-
ятностей / Белов С.В., Егоров А.К., Железняк В.К. — № 234924; Опубл. 01.04.86.
4. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 1. — М.: Сов. радио,
1974. — 504 с.
5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1984. — 832 с.
6. Унковский В.А. Теория вероятностей. — М.: Военно-морское изд-во, 1953. — 320 с.
7. Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. — М.: Мир,
1989. — 376 с.
8. Козанне А., Флере Ж., Метр Г., Руссо М. Оптика и связь. — М.: Мир, 1984. — 504 с.
Поступила в редакцию 27.07.2004
УДК 621.301
|