Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве
Рассмотрен один метод определения оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве до совмещения с направлением, заданным другим вектором. Метод базируется на изоморфизме квадриплексных и бикомплексных чисел. Розглянуто один метод визначення оператора повороту вектора в квадриплексному прост...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
|---|---|
| Дата: | 2004 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2004
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50704 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве / М.В. Синьков, Я.А. Калиновский // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2004. — Т. 6, № 1. — С. 59-65. — Бібліогр.: 20 назв. — pос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50704 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. 2013-10-28T19:14:31Z 2013-10-28T19:14:31Z 2004 Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве / М.В. Синьков, Я.А. Калиновский // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2004. — Т. 6, № 1. — С. 59-65. — Бібліогр.: 20 назв. — pос. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50704 519.68; 620.179.15; 681.3 Рассмотрен один метод определения оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве до совмещения с направлением, заданным другим вектором. Метод базируется на изоморфизме квадриплексных и бикомплексных чисел. Розглянуто один метод визначення оператора повороту вектора в квадриплексному просторі до суміщення з напрямком, який задано іншим вектором. Метод базується на ізоморфізмові квадриплексних та бікомплексних чисел. A method of determination of an operator of vector rotational displacement in quadruplex space before overlapping with a direction given by other vectors is considered. The method is founded on the isomorphism of quadruplex and bicomplex numbers. ru Інститут проблем реєстрації інформації НАН України Реєстрація, зберігання і обробка даних Математичні методи обробки даних Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве Визначення оператора повороту вектора в квадриплексному просторі Determination of an Operator of Vector Rotational Displacement in Quadruplex Space Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве |
| spellingShingle |
Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. Математичні методи обробки даних |
| title_short |
Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве |
| title_full |
Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве |
| title_fullStr |
Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве |
| title_full_unstemmed |
Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве |
| title_sort |
определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве |
| author |
Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. |
| author_facet |
Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. |
| topic |
Математичні методи обробки даних |
| topic_facet |
Математичні методи обробки даних |
| publishDate |
2004 |
| language |
Russian |
| container_title |
Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| publisher |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Визначення оператора повороту вектора в квадриплексному просторі Determination of an Operator of Vector Rotational Displacement in Quadruplex Space |
| description |
Рассмотрен один метод определения оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве до совмещения с направлением, заданным другим вектором. Метод базируется на изоморфизме квадриплексных и бикомплексных чисел.
Розглянуто один метод визначення оператора повороту вектора в квадриплексному просторі до суміщення з напрямком, який задано іншим вектором. Метод базується на ізоморфізмові квадриплексних та бікомплексних чисел.
A method of determination of an operator of vector rotational displacement in quadruplex space before overlapping with a direction given by other vectors is considered. The method is founded on the isomorphism of quadruplex and bicomplex numbers.
|
| issn |
1560-9189 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50704 |
| citation_txt |
Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве / М.В. Синьков, Я.А. Калиновский // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2004. — Т. 6, № 1. — С. 59-65. — Бібліогр.: 20 назв. — pос. |
| work_keys_str_mv |
AT sinʹkovmv opredelenieoperatorapovorotavektoravkvadripleksnomprostranstve AT kalinovskiiâa opredelenieoperatorapovorotavektoravkvadripleksnomprostranstve AT sinʹkovmv viznačennâoperatorapovorotuvektoravkvadripleksnomuprostorí AT kalinovskiiâa viznačennâoperatorapovorotuvektoravkvadripleksnomuprostorí AT sinʹkovmv determinationofanoperatorofvectorrotationaldisplacementinquadruplexspace AT kalinovskiiâa determinationofanoperatorofvectorrotationaldisplacementinquadruplexspace |
| first_indexed |
2025-11-25T21:05:31Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:05:31Z |
| _version_ |
1850548221981491200 |
| fulltext |
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 4 59
УДК 519.68; 620.179.15; 681.3
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
Определение оператора поворота вектора
в квадриплексном пространстве
Рассмотрен один метод определения оператора поворота вектора в
квадриплексном пространстве до совмещения с направлением, задан-
ным другим вектором. Метод базируется на изоморфизме квадрип-
лексных и бикомплексных чисел.
Ключевые слова: квадриплексное пространство, бикомплексное про-
странство, изоморфизм, поворот.
Постановка проблемы
В статье продолжены исследования, начатые в работе [1], которые связаны со
свойствами изоморфизма квадриплексных и бикомплексных чисел. Исследуется
метод построения оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве, то
есть построения такого квадриплексного вектора, который, будучи умноженным
на данный квадриплексный вектор, переведет его в заданное направление без из-
менения нормы, а именно путем чистого поворота.
Анализ последних достижений и публикаций
Исследованиям свойств и применений квадриплексных и бикомплексных чи-
сел и пространств посвящены многочисленные работы.
В трудах [2, 3] квадриплексные числа рассматриваются как продукт коммута-
тивного удвоения системы комплексных чисел с помощью процедуры Грассмана-
Клиффорда. Изучаются арифметические и алгебраические свойства квадриплекс-
ных чисел, а также их непозиционные представления.
Для квадриплексных чисел построены представления таких нелинейных
функций, как экспонента, логарифм, тригонометрических и гиперболических
функций, обратных функций [4, 5]. В работах [6, 7] рассмотрены некоторые гео-
метрические интерпретации квадриплексных пространств, предназначенные для
конкретных физических задач.
Квадриплексные числа нашли эффективное применение и в такой важной об-
ласти, как криптография [8, 9].
© М. В. Синьков, Я. А. Калиновский
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский
60
В работах [9–18] квадриплексные числа применяются для синтеза цифровых
фильтров, обладающих повышенным быстродействием. Использование квадрип-
лексных чисел позволяет снизить порядок фильтра при сохранении частотных ха-
рактеристик.
Весьма перспективным представляется использование свойств изоморфизма
систем квадриплексных и бикомплексных чисел. В работе [19] показано, как с
помощью перехода от квадриплексных чисел к бикомплексным можно сущест-
венно повысить производительность вычислений.
Цель статьи
Целью статьи является разработка метода решения следующей задачи. Пусть
в квадриплексном пространстве заданы векторы A и С. Требуется найти такой
квадриплексный вектор D, что направления векторов D*A и C будут совпадать, а
нормы векторов D*A и A будут равными:
AAD =* . (1)
Это означает, что вектор A просто поворачивается до совмещения с направ-
лением вектора С. Таким образом, вектор D должен быть нормированным.
Результаты исследований
В дальнейшем квадриплексное пространство будем обозначать через K, а би-
комплексное через B. Пусть в квадриплексном пространстве с базисом
{ }4321 ,,, eeee заданы векторы KCA Î, :
44332211 eaeaeaeaAK +++= , (2)
44332211 ececececCK +++= . (3)
Индекс K в (2) и (3) означает, что вектора заданы в квадриплексном про-
странстве.
Перейдем в бикомплексное пространство В с базисом { }4321 ,,, EEEE . Как по-
казано в [1], векторы А и С примут вид:
BEaaEaaEaaEaaAB Î-+++--+-= 432341232141 )()()()( , (4)
BEccEccEccEccCB Î-+++--+-= 432341232141 )()()()( . (5)
Представим BA и BC в экспоненциальной форме, как это показано в [1]:
4221
21
E
A
E
AB eeA jj rr += , (6)
Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 4 61
где
2111 sincos21 EEe E jjj += , (7)
4232 sincos42 EEe E jjj += , (8)
å
=
±=
4
1 43
212
2,1 2
i
i aa
aa
ar , (9)
14
32
2,1 arctg
aa
aa
m
±
=j . (10)
Аналогично представим вектор BC :
4221
21
E
C
E
CB eeC yy rr += , (11)
где все компоненты определяются по формулам (7)–(10).
Рассмотрим геометрическую интерпретацию бикомплексного пространства и
векторов BA и BC . Как известно, бикомплексное пространство представляет со-
бой совокупность двух независимых комплексных плоскостей α и β, на которых
установлены независимые системы координат (см. рис.).
Геометрическая интерпретация бикомплексного пространства
Здесь каждый бикомплексный вектор изображается парой комплексных век-
торов с модулями 1r и 2r с соответствующими индексами и аргументами 1j и 2j
(соответственно 1y и 2y ).
Для того, чтобы совместить бикомплексный вектор BA с направлением би-
комплексного вектора BC , необходимо его комплексные компоненты повернуть
на углы 11 yj - и 22 yj - соответственно. Если бы такая задача была только для
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский
62
комплексной плоскости, то необходимо было бы исходный вектор умножить на
оператор поворота )( 11 jy -je .
В бикомплексном же пространстве такой оператор примет вид:
)()( 224112 jyjy -- += EE
B eeD . (12)
Тогда:
.
)(*)(**
4221
2241124221
21
)()(
21
E
A
E
A
EEE
A
E
ABBBB
ee
eeeeADAD
jj
jyjyjj
rr
rr
+=
=++== --
(13)
Значит вектор BA примет направление вектора BC , а его норма не изменится,
так как 1=BD .
Поэтому:
BBBBBB AAADAD === *1** . (14)
С помощью выражений (6) и (7) представим оператор BD покомпонентно:
)sin()cos()sin()cos( 224223112111 jyjyjyjy -+-+-+-= EEEEDB . (15)
Теперь делаем обратный переход из бикомплексного пространства в квадри-
плексное путем преобразования базиса { }4321 ,,, EEEE в базис { }4321 ,,, eeee по
формулам, приведенным в [1]:
].)coscos()sinsin(
)sinsin()cos[(cos
2
1
421321
221121
ee
eeDK
D+D-+D-D-+
+D+D-+D+D=
(16)
Здесь для краткости введены следующие обозначения:
2,1 , =-=D iiii jy . (17)
Нас интересует выражение оператора KD через компоненты квадриплексных
векторов KA и KC . Для его вывода необходимо подставить в (16) выражения (10)
и (17) и произвести необходимые преобразования. Так как эти преобразования
весьма громоздки, то они проводились с помощью системы аналитических вы-
числений Мaple7 [20].
> restart;
>assume(a[1],real):assume(a[2],real):assume(a[3],real):assume(a[4],real:
Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 4 63
>assume(b[],real):assume(b[2],real):assume(b[3],real):assume(b[4],real):
> phi[1]:=-arctan((a[2]+a[3])/(a[1]-a[4]));
> psi[1]:=-arctan((b[2]+b[3])/(b[1]-b[4]));
:= y1 -
æ
è
ççç
ö
ø
÷÷÷
arctan
+ b~2 b~3
- b~1 b~4
>phi[2]:=arctan((a[2]-a[3])/(a[1]+a[4]));
:= f2
æ
è
ççç
ö
ø
÷÷÷
arctan
- a~2 a~3
+ a~1 a~4
>psi[2]:=arctan((b[2]-b[3])/(b[1]+b[4]));
:= y2
æ
è
ççç
ö
ø
÷÷÷
arctan
- b~2 b~3
+ b~1 b~4
>Delta[1]:=psi[1]-phi[1];
:= D1 - +
æ
è
ççç
ö
ø
÷÷÷
arctan
+ b~2 b~3
- b~1 b~4
æ
è
ççç
ö
ø
÷÷÷
arctan
+ a~2 a~3
- a~1 a~4
>Delta[2]:=psi[2]-phi[2];
:= D2 -
æ
è
ççç
ö
ø
÷÷÷
arctan
- b~2 b~3
+ b~1 b~4
æ
è
ççç
ö
ø
÷÷÷
arctan
- a~2 a~3
+ a~1 a~4
>Dk[1]:=simplify(expand(cos(Delta[1])+cos(Delta[2])),sqrt,symbolic);
).)())(()()*
*)())(()()(/(
/))())(()()(*
*)(
)())(()()(*
*)((
2
32
2
41
2
32
2
41
2
32
2
41
2
32
2
41
2
32
2
41
2
32
2
41
3332232244144111
2
32
2
41
2
32
2
41
33322322441441111
ccccaaaa
ccccaaaa
ccccaaaa
cacacacacacacaca
ccccaaaa
cacacacacacacacaDK
++-++-
-++-++
++-++-
+--+++++
+-++-++
+++++--=
Как видно из этого фрагмента, под радикалами — модули бикомплексных
векторов BA и BC в соответствии с (9). Такие же выражения будут и в формулах
для трех остальных компонент оператора KD . Произведя преобразования и введя
обозначения:
,))(())((
,))(())((
4,332324141
2,132324141
Sbbaabbaa
Sbbaabbaa
=±--
=±±+
mm
mm
(18)
получим компактные выражения для компонентов оператора поворота:
KD :
CACA
K
SSD
22
2
11
1
4,1 rrrr
±= , (19)
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский
64
CACA
K
SSD
22
4
11
3
3,2 rrrr
±= . (20)
Полное выражение для оператора поворота:
i
i
KiK eDD å
=
=
4
1
. (21)
Используя проведенные вычисления, можно получить условия перпендику-
лярности векторов KA и KC . В бикомплексном пространстве условие перпенди-
кулярности этих векторов имеет вид:
.
2
,
2
22
11
p
jy
p
jy
=-
=-
(22)
Dзяв тангенсы от обеих частей уравнений системы (22) и выполнив необхо-
димые преобразования (также с помощью системы Maple7), получим необходи-
мые и достаточные условия перпендикулярности квадриплексных векторов KA и
KC :
.0))(())((
,0))(())((
324321414321
324321414321
=-++--++-+
=+-+++----
ccaaaaccaaaa
ccaaaaccaaaa
(23)
Выводы
В работе показана возможность определения оператора поворота вектора в
квадриплексном пространстве, что позволяет решать задачи моделирования дви-
жения в этом пространстве. Задача решается с помощью изоморфного перехода из
квадриплексного в бикомплексное пространство, где существуют прямые анало-
гии объектов эвклидового пространства. Такой подход позволяет эффективно ре-
шать целый ряд задач, как, например, повышение эффективности вычислений,
моделирование геометрических объектов и их движений, обработка сигналов и др.
1. Калиновский Я.А. Исследование свойств изоморфизма квадриплексных и бикомплексных
числовых систем // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2003.— Т. 5, №1. — С. 69–73.
2. Синьков М.В., Губарени Н.М. Непозиционные представления в многомерных числовых
системах. — К.: Наук. думка., 1979. — 138 с.
3. Davenport C. Commutative Hypercomplex Mathematics. On line: http://home.usit.net/~
cmdaven/hyprcplx.htm. 2000.
4. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Чапор А.А., Синькова Т.В. О повышении производитель-
ности вычислений в некоторых классах гиперкомплексных числовых систем // Электрон. модели-
рование. — 2000. — Т. 22, № 6. — С. 13–18.
http://home.usit.net/~cmdaven/hyprcplx.htm
http://home.usit.net/~cmdaven/hyprcplx.htm
Определение оператора поворота вектора в квадриплексном пространстве
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2004, Т. 6, № 4 65
5. Синьков М.В., Калиновский Я.А, Роенко Н.В. Методы построения нелинейностей в рас-
ширениях комплексных чисел // Кибернетика и систем. анализ. — 1996. — № 4. — С. 178–181.
6. Елисеев В.И. Введение в методы теории функций пространственного комплексного пере-
менного. — М., 2002. — 458 c. On line: http://www.maths.ru
7. Silviu Olariu. Complex Numbers in n Dimensions. On line: http://arXiv.org/pdf/math.CV/
0011044.2000.
8. Stay M. Hypercomplex Numbers and RSA. On line: http://www.xaim.com/staym/hypercomplex-
rsa.2002.
9. Синьков М. В., Калиновский Я. А., Синькова Т. В., Бояринова Ю.Е. Новые применения ги-
перкомплексных квадриплексных чисел. Ч. 1 // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2003. —
Т. 5, № 2. — С. 34–39 .
10. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В. Повышение эффективности цифровых
фильтров с помощью гиперкомплексного представления информации: Сб. научн. тр. 8-й Между-
нар. науч. конф. «Теория и техника передачи, приема и обработки информации» ИИИСТ-2002. —
Харьков, 2002. — С. 503–504.
11. Синьков М. В., Калиновский Я. А., Синькова Т. В., Бояринова Ю.Е. Новые применения ги-
перкомплексных квадриплексных чисел. Ч. 2 // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2003. —
Т. 5, № 3. — С. 4–7.
12. Toyoshima H., Higuchi S. Design of Hypercomplex All-Pass Filters to Realize Complex Trans-
fer Functions // Proc. Second International Conf. Information, Communications and Signal Processing. —
1999, Dec. — 2B3.4. — Р. 1–5.
13. Petrovsky A., Parfieniuc M., Omieljanovich M. Computationally Efficient Hypercomplex Filter
Based on Matrix-by-Vector Multiplier // IEEE Poland Section the Scientific Workshop Signal Process-
ing-2001. — Poznan. — 2001. — Р. 7–12.
14. Toyoshima H. Computationally Efficient Implementation of Hypercomplex Digital Filters //
Proc. International Conf. Acoustics, Speech, and Signal Processing. — 1998, May. — Vol. 3. — Р. 1761–
1764.
15. Toyoshima H. Computationally Efficient Bicomplex Multipliers for Digital Signal Processing //
IEICE Trans. Inf. & Syst. — 1998, Feb. — E81-D, N 2 — Р. 236–238.
16. Toyoshima H. Complex IIR Digital Filters Composed of Hypercomplex All-Pass Filters // Proc.
1995 IEEE Singapore Int. Conf. Signal Processing, Circuits & Systems. — 1995, July. — Р. 178–183.
17. Toyoshima H. Realization of Complex Transfer Functions Using Hypercomplex Digital Filters
// Proc. International Symp. Information Theory and Its Applications. — 1994, Nov. — Р. 293–298
18. Mizukami K., Toyoshima H. and Takahashi S. A Residue Number System for The Hypercomp-
lex Arithmetic // Proc. Joint Technical Conference on Circuits/Systems, Computers and Communications.
— 1992. — Р. 163–167.
19. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Чапор А.А., Синькова Т.В. О повышении произво-
дительности вычислений в некоторых классах гиперкомплексных числовых систем // Электрон.
моделирование. — 2000. — Т.22, № 6. — С. 13–18.
20. Прохоров Г., Колбеев В., Желнов К., Леденев М. // Математический пакет MapleV
Release4: Руководство пользователя. On line: http://www.exponenta.ru/soft/maple/kaluga/1.asp.2003
Поступила в редакцию 08.12.2004
http://www.maths.ru/
http://arxiv.org/pdf/math.CV/0011044
http://arxiv.org/pdf/math.CV/0011044
http://www.xaim.com/staym/hypercomplex-rsa
http://www.xaim.com/staym/hypercomplex-rsa
http://www.exponenta.ru/soft/maple/kaluga/1.asp
|