Биплексные числовые системы и функции в них
Рассмотрены алгоритмы проведения арифметических и алгебраических операций, построение таких нелинейностей как экспонента, тригонометрические и гиперболические функции, а также обратные к ним функции в биплексных числовых системах. Algorithms of carrying out arithmetic and algebraic operations, the c...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
|---|---|
| Дата: | 2005 |
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2005
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50785 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Биплексные числовые системы и функции в них / М.В. Синьков, Ю.Е. Бояринова, Я.А. Калиновский, Т.В. Синькова // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2005. — Т. 7, № 4. — С. 21-28. — Бібліогр.: 8 назв. — pос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50785 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Синьков, М.В. Бояринова, Ю.Е. Калиновский, Я.А. Синькова, Т.В. 2013-11-02T23:46:49Z 2013-11-02T23:46:49Z 2005 Биплексные числовые системы и функции в них / М.В. Синьков, Ю.Е. Бояринова, Я.А. Калиновский, Т.В. Синькова // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2005. — Т. 7, № 4. — С. 21-28. — Бібліогр.: 8 назв. — pос. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50785 004.942 Рассмотрены алгоритмы проведения арифметических и алгебраических операций, построение таких нелинейностей как экспонента, тригонометрические и гиперболические функции, а также обратные к ним функции в биплексных числовых системах. Algorithms of carrying out arithmetic and algebraic operations, the construction of such nonlinear functions as exponential function, trigonometrical and hyperbolic functions, and the inverse to them functions in biplex numerical systems are considered. Работа выполнена при поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований Украины. ru Інститут проблем реєстрації інформації НАН України Реєстрація, зберігання і обробка даних Математичні методи обробки даних Биплексные числовые системы и функции в них Biplex Numerical Systems and Functions in Them Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Биплексные числовые системы и функции в них |
| spellingShingle |
Биплексные числовые системы и функции в них Синьков, М.В. Бояринова, Ю.Е. Калиновский, Я.А. Синькова, Т.В. Математичні методи обробки даних |
| title_short |
Биплексные числовые системы и функции в них |
| title_full |
Биплексные числовые системы и функции в них |
| title_fullStr |
Биплексные числовые системы и функции в них |
| title_full_unstemmed |
Биплексные числовые системы и функции в них |
| title_sort |
биплексные числовые системы и функции в них |
| author |
Синьков, М.В. Бояринова, Ю.Е. Калиновский, Я.А. Синькова, Т.В. |
| author_facet |
Синьков, М.В. Бояринова, Ю.Е. Калиновский, Я.А. Синькова, Т.В. |
| topic |
Математичні методи обробки даних |
| topic_facet |
Математичні методи обробки даних |
| publishDate |
2005 |
| language |
Russian |
| container_title |
Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| publisher |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Biplex Numerical Systems and Functions in Them |
| description |
Рассмотрены алгоритмы проведения арифметических и алгебраических операций, построение таких нелинейностей как экспонента, тригонометрические и гиперболические функции, а также обратные к ним функции в биплексных числовых системах.
Algorithms of carrying out arithmetic and algebraic operations, the construction of such nonlinear functions as exponential function, trigonometrical and hyperbolic functions, and the inverse to them functions in biplex numerical systems are considered.
|
| issn |
1560-9189 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50785 |
| citation_txt |
Биплексные числовые системы и функции в них / М.В. Синьков, Ю.Е. Бояринова, Я.А. Калиновский, Т.В. Синькова // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2005. — Т. 7, № 4. — С. 21-28. — Бібліогр.: 8 назв. — pос. |
| work_keys_str_mv |
AT sinʹkovmv bipleksnyečislovyesistemyifunkciivnih AT boârinovaûe bipleksnyečislovyesistemyifunkciivnih AT kalinovskiiâa bipleksnyečislovyesistemyifunkciivnih AT sinʹkovatv bipleksnyečislovyesistemyifunkciivnih AT sinʹkovmv biplexnumericalsystemsandfunctionsinthem AT boârinovaûe biplexnumericalsystemsandfunctionsinthem AT kalinovskiiâa biplexnumericalsystemsandfunctionsinthem AT sinʹkovatv biplexnumericalsystemsandfunctionsinthem |
| first_indexed |
2025-11-27T02:50:03Z |
| last_indexed |
2025-11-27T02:50:03Z |
| _version_ |
1850795391498321920 |
| fulltext |
Математичні методи обробки даних
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2005, Т. 7, № 4 21
УДК 004.942
М. В. Синьков, Ю. Е. Бояринова,
Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
Биплексные числовые системы и функции в них
Рассмотрены алгоритмы проведения арифметических и алгебраиче-
ских операций, построение таких нелинейностей как экспонента,
тригонометрические и гиперболические функции, а также обратные
к ним функции в биплексных числовых системах.
Ключевые слова: гиперкомплексная числовая система, биплексная чи-
словая система, квазикомплексная числовая система, квазидвойная чи-
словая система, квазидуальная числовая система.
Биплексные числовые системы — это гиперкомплексные числовые системы
второго порядка с единичным элементом в базисе. К биплексным числовым сис-
темам приводит обобщение закона умножения базисных элементов «классиче-
ских» систем второй размерности с единичным элементом в базисе { }21 ,ee . Если
для них таблица умножения имеет вид
e1 e2
e1 e1 e2
e2 e2 01 Ue±
то для биплексных чисел соответственно
e1 e2
e1 e1 e2
e2 e2 pe1 + qe2
Здесь p и q — вещественные числа.
© М. В. Синьков, Ю. Е. Бояринова, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова
М. В. Синьков, Ю. Е. Бояринова, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова
22
В работе [6] показано, что все множество биплексных систем состоит из трех
классов систем, изоморфных внутри класса друг другу. При этом представителя-
ми классов являются «классические» системы:
— система комплексных чисел C ;
— система двойных чисел W ;
— система дуальных чисел D .
Критерием принадлежности к тому или иному классу изоморфизма является
значение выражения
4
2qp + . (1)
Если (1) отрицательно, то данная биплексная система принадлежит классу
изоморфизма, представитель которой — система комплексных чисел C . Будем
называть такую биплексную систему кратко квазикомплексной. Введем обозна-
чение:
0)
4
(
2
2 >+-=
qpk .
Если (1) положительно, то данная биплексная система принадлежит классу
изоморфизма, представитель которой — система двойных чисел W . Будем назы-
вать такую биплексную систему кратко квазидвойной. Введем обозначение:
0
4
2
2 >+=
qpk
И, наконец, если (1) равно нулю, то 02 =k , и такая система называется ква-
зидуальной. Она изоморфна системе дуальных чисел D .
Изоморфизм между квазисистемами с базисом { }21, EE и «классическими»
системами с базисом { }21 ,ee устанавливается следующими соотношениями:
— для квазикомплексных и квазидвойных систем:
,1
2
,
212
11
E
k
E
k
qe
Ee
+-=
=
;
2
,
212
11
keeqE
eE
+=
=
— для квазидуальных систем:
,
2
,
212
11
EEqe
Ee
+-=
=
.
2
,
212
11
eeqE
eE
+=
=
Биплексные числовые системы и функции в них
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2005, Т. 7, № 4 23
Разбиение всех биплексных систем на классы изоморфизмов наглядно пред-
ставляется на евклидовой плоскости [1] в системе координат, оси которых соот-
ветствуют параметрам закона композиции p и q , как это показано на рисунке.
Области классов изоморфизмов биплексных систем.
Рассмотрим матричное представление биплексных чисел. Так как элемент ба-
зиса 1E — единичный элемент системы биплексных чисел, то его представлением
будет единичная матрица:
10
01
1 ÞE ,
а матричное представление второго элемента базиса 2E найдется из решения
матричного уравнения
2122 qEpEEE +=× ,
откуда:
11
1
11
2
--
-
-+
Þ
qq
q
qp
E .
Таким образом, в матричном представлении биплексное число выглядит так:
212
221
2211
)1()1(
1
1
aqaaq
a
q
qpaaEaEaA
-+-
-
-+
+
Þ+= .
М. В. Синьков, Ю. Е. Бояринова, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова
24
Рассмотрим алгоритмы проведения арифметических и алгебраических опера-
ций в бикомплексных числовых системах [2]. Если сложение и вычитание в них
ничем не отличается от тех же операций в комплексных, двойных и дуальных
системах, то умножение выглядит иначе. В частности:
22212211221122112211 )()()()( EbqababaEbpabaEbEbEaEa ++++=+×+ .
Вопрос о сопряженном числе рассматривается в работе [3]. Сопряженное
число A определяется по формуле:
22121 )( EaEqaaa -+= .
Используя это выражение, можно определить и норму биплексного числа:
2
221
2
1)( paaqaaAAAN -+== .
Рассмотрим вопрос о существовании делителей нуля, которое обусловлено
возможностью обращения в нуль нормы биплексного числа:
0)( =AN ,
откуда следует соотношение между компонентами биплексного числа:
2
2
1 )
42
( apqqa +±-= .
Для квазикомплексных систем:
0
4
2
<+ pq ,
то есть 1a будет комплексным числом. Но оно должно быть действительным чис-
лом, а это означает, что в квазикомплексных системах (и в том числе в системе
комплексных чисел) делителей нуля не существует.
Для квазидуальных систем:
0
4
2
=+ pq ,
что дает:
21 2
aqa -= .
Биплексные числовые системы и функции в них
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2005, Т. 7, № 4 25
Поэтому делители нуля в системе квазидуальных чисел имеют такой вид:
Î+-= aa ),
2
( 210 eeqD R \ 0 .
Для квазидвойных систем соответственно:
0
4
2
>+ pq ,
Î++±-= aa ),)
42
(( 21
2
0 eepqqD R \0 .
Алгоритм деления биплексных чисел состоит из проверки того, является ли
делитель операции делителем нуля, и определения частного по обычному правилу
деления:
)(BN
BA
B
A ×
= .
Рассмотренные алгоритмы выполнения операций позволяют строить пред-
ставления таких нелинейных функций, как степенные и дробно-рациональные.
Что касается построения иррациональных функций, то оно также возможно, но, в
общем случае не в исходной биплексной системе, а в гиперкомплексной системе,
полученной удвоением исходной биплексной системы с помощью системы ком-
плексных чисел.
В биплексных числовых системах возможны построения и таких трансцен-
дентных нелинейностей как экспонента, тригонометрические и гиперболические
функции. Наиболее универсальным методом построения таких представлений яв-
ляется разработанный авторами метод ассоциированной системы дифференци-
альных уравнений [4]. В табл. 1 приводятся результаты, полученные авторами при
использовании этого метода.
Аргументом приведенных в табл. 1 функций является биплексное число
2211 EmEmM += , а его обозначения следующие:
221
qmm +=j ; 21 )
2
( mkqm ++=f ; 21 )
2
( mqkm --=h .
В системах биплексных чисел возможны также построения представлений
обратных функций [5].
Зная значения для прямых функций от гиперкомплексной переменной
)(XF , строится изображение обратных функций, используя соотношение
XXFF =- ))((1 .
М. В. Синьков, Ю. Е. Бояринова, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова
26
Таблица 1
Класс Функция Представления функций
К
ва
зи
ко
мп
ле
кс
ны
е
exp )sin1)sin
2
((cos 22122
2 21 Ekm
k
Ekm
k
qkme
mqm
×+-
+
sin 22122 sinhcos)sincos
2
cosh(sin EkmEkm
k
qkm ×+- jjj
cos 22122 sinhsin)sinsin
2
cosh(cos EkmEkm
k
qkm ×+- jjj
sinh 22122 sin1)sin
2
cos( Ekmch
k
Ekmch
k
qkmsh jjj +-
cosh 22122 sin1)sin
2
cos( Ekmsh
k
Ekmsh
k
qkmch jjj +-
К
аз
ид
уа
ль
ны
е
exp ))
2
1(( 2212
2 21 EmEmqe
mqm
+-
+
sin 2212 cos
2
)cos
2
(sin EqmEqm jjj +-
cos 2212 sin
2
)sin
2
(cos EqmEqm jjj -+
sinh 2212 )
2
( EchmEchqmsh jjj +-
cosh 2212 )
2
( EshmEshqmch jjj +-
К
ва
зи
дв
ой
ны
е
exp ))(1))(
2
)((( 22122
)
2
( 21 Ekmsh
k
Ekmsh
k
qkmche
tmqm
××+×-
+
sin 21 )sin(sin
2
1)sinsin)
2
1((
2
1 E
k
E
k
q hfhf -++-
cos 21 )cos(cos
2
1)coscos)
2
1((
2
1 E
k
E
k
q hfhf -++-
sinh 21 ))
2
((
2
1))
2
()
2
((
2
1 Eshqksh
k
Eshqkshqk
k
hfhf -++++-
cosh 21 ))
2
()
2
((
2
1))
2
()
2
((
2
1 Echqkchqk
k
Echqkchqk
k
hfhf -+-+++-
Так как экспонента, гиперболические и тригонометрические функции пред-
ставляют собой гиперкомплексные функции, то обратные функции также являют-
ся гиперкомплексными, то есть имеют вид:
j
n
j
jj
n
j
nj eyexxf ×=× åå
== 11
1 ),..,( .
Биплексные числовые системы и функции в них
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2005, Т. 7, № 4 27
Если это уравнение представить в виде системы уравнений
njyxxf jnj ,..,1,),..,( 1 == ,
то ее можно решить относительно переменных nxx ,..,1 :
njyygx njj ,...,1);,...,( 1 == .
Если эти решения подставить в выражение
j
n
j
jj
n
j
nj exexxfF ×=× åå
==
-
11
1
1 )),..,(( ,
то получим изображение обратной функции:
j
n
j
njj
n
j
j eyygeyF ×=× åå
==
-
1
1
1
1 ),...,()( .
Таким образом, были определены обратные функции для квазидуальной чи-
словой системы, которые сведены в табл. 2.
Таблица 2
Класс Функция Представления функций
К
аз
ид
уа
ль
ны
е
Ln 2
21
2
1
21
212212
2
)
2
)
2
ln(
2
)
2
ln(
2( E
xqx
xE
xqx
xqxxqxqxxq
+
+
+
+-+-
Arcsin 22
21
2
12
21
2
212
21
21
2
)(1
2
)(1
)(1
)(1
(arctg
E
xxq
xE
xx
xx
xx
xxx
+-
+
+-
+-×
+-
+
+-
Arccos
22
21
2
12
21
2
21
21
2
21
2
)(1
2
)(1
)(1
)(1
(arctg
E
xxq
xE
xx
xx
xx
xx
x
+-
+
+-
+-×
+
+-
+
Arcsinh 2
21
2
1
21
221
22
2
22
)lnln2(ln2 E
qxx
xE
qxx
qxqxx
++
+
++
×+-×+
aa
a
aa
aaaa
Arccosh 2
21
2
1
21
212
22
2
22
)lnln2(ln2 E
qxx
xE
qxx
qxxqx
-+
+
-+
×+×+-+-
bb
b
bb
bbbb
М. В. Синьков, Ю. Е. Бояринова, Я. А. Калиновский, Т. В. Синькова
28
Здесь 4)2(
2
1
2
1 2
2121 -+++= qxxqxxa , 4)2(
2
1
2
1 2
2121 ++++= qxxqxxb .
Полученные в работе результаты позволяют производить обработку данных в
биплексных числовых системах, которые находят достаточно важные применения
как в техничских, так и научных областях, например, анализ и синтез плоских ме-
ханизмов, специальная теория относительности и др. [7, 8].
Работа выполнена при поддержке Государственного фонда фундаментальных
исследований Украины.
1. Синьков М.В., Калиновский Я.А О связи систем дифференциальных уравнений с гипер-
комплексными числовыми системами: Сб. Проблемы регистрации информации. — К.: Наук. дум-
ка, 1991. — С. 100–103.
2. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В. Некоторые линейные и нелинейные опе-
рации обобщенных комплексных чисел // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2002. — Т. 4, №
3. — С. 55–61.
3. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Постникова Т.Г., Синькова Т.В. Построение сопряжен-
ностей в гиперкомплексных числовых системах. Ч. 1. Online: http://www.hypercomplex.ru/sinkov.zip.
— 2002.
4. Калиновский Я.А., Роенко Н.В., Синьков М.В. Методы построения нелинейностей в рас-
ширениях комплексных чисел // Кибернетика и системный анализ. — 1996. — № 4. — C. 178–181.
5. Синьков М.В., Каліновський Я.О., Боярінова Ю.Є. Розробка та дослідження алгоритмів по-
будови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного // Реєстрація, зберігання і
оброб. даних. — 2005. — Т. 7, № 1. — С. 32–42.
6. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 144 с.
7. Bardhan D., Osler T.J. An Еasy Introduction to Biplex Numbers Mathematics and Computer
Education. — 2002. — 36. — Р. 278–286.
8. Sobczyk G. The Hyperbolic Number Plane // The College Mathematics Journal. — 1995. —
26(4). — Р. 268–280 р.
Поступила в редакцию 02.12.2005
http://www.hypercomplex.ru/sinkov.zip
|