Алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора
Рассмотрен алгоритм проверки гипотезы о нормальности двухмерного случайного вектора. В качестве меры расхождения выборочного и гипотетического распределения в алгоритме используется кумулянтный критерий. Приведены результаты исследования зависимости мощности кумулянтного критерия от объема выборки....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
|---|---|
| Datum: | 2007 |
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50883 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора / О.В. Мукан, В.А. Василенко, О.А. Егоров, Т.М. Артеев // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2007. — Т. 9, № 2. — С. 26-32. — Бібліогр.: 5 назв. — pос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859850476408799232 |
|---|---|
| author | Мукан, О.В. Василенко, В.А. Егоров, О.А. Артеев, Т.М. |
| author_facet | Мукан, О.В. Василенко, В.А. Егоров, О.А. Артеев, Т.М. |
| citation_txt | Алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора / О.В. Мукан, В.А. Василенко, О.А. Егоров, Т.М. Артеев // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2007. — Т. 9, № 2. — С. 26-32. — Бібліогр.: 5 назв. — pос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| description | Рассмотрен алгоритм проверки гипотезы о нормальности двухмерного случайного вектора. В качестве меры расхождения выборочного и гипотетического распределения в алгоритме используется кумулянтный критерий. Приведены результаты исследования зависимости мощности кумулянтного критерия от объема выборки. Предложен способ повышения эффективности кумулянтного критерия.
Розглянуто алгоритм перевірки гіпотези щодо нормальності двомірного випадкового вектора. Як міру розходження вибіркового та гіпотетичного розподілу в алгоритмі використано кумулянтний критерій. Наведено результати дослідження залежності потужності кумулянтного критерію від об’єму вибірки. Запропоновано спосіб підвищення ефективності кумулянтного критерію.
The algorithm of testing the hypothesis about Gaussian distribution of two-dimensional random vector is considered. The cumulative test as a measure of a divergence of selective and hypothetical distribution in algorithm is used. Results of research of dependence of capacity of cumulative test from volume of sample are given. The way of increasing efficiency of cumulative test is offered.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:41:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
26
УДК 519.2
О. В. Мукан, В. А. Василенко, О. А. Егоров, Т. М. Артеев
Институт компьютерных технологий Национального авиационного университета
Алгоритм проверки гипотезы
нормальности случайного вектора
Рассмотрен алгоритм проверки гипотезы о нормальности двухмерно-
го случайного вектора. В качестве меры расхождения выборочного и
гипотетического распределения в алгоритме используется кумулянт-
ный критерий. Приведены результаты исследования зависимости
мощности кумулянтного критерия от объема выборки. Предложен
способ повышения эффективности кумулянтного критерия.
Ключевые слова: алгоритм, нормальный случайный вектор, гипотеза,
критерий, кумулянт.
Подтверждение гипотезы о принадлежности технического объекта (ТО) к
классу изнашиваемых — тесты Вульфа–Холландера, Прошана–Пайка, Холланде-
ра–Прошана, Вилкоксона [1] — позволяет случайный процесс (СП) изменения его
определяющих парметров (ОП) )}({)( tXtX l=
®
, =l N,1 , представить как необра-
тимый нестационарный СП, каждая составляющая которого описывается матема-
тической моделью вида:
( ) htVVtX lll += ,0 , l = N,1 , (1)
где NlVV ll ,1,,,0 = — случайные коэффициенты; h — неслучайный показатель
степени.
Такая модель процесса достаточно адекватно описывает реальные процессы
изменения определяющих параметров объектов, подверженных воздействию ста-
рения, коррозии и износа. Для ее математического описания требуется минималь-
ное (по сравнению с известными моделями случайных процессов) количество
экспериментальных данных [2–4]. Эта модель дает возможность наиболее просто
(аналитически) исследовать надежность технических объектов при изменении их
свойств, и, наконец, данная модель учитывает два основных свойства, присущих
практически всем процессам изменения определяющих параметров сложных сис-
тем — нестационарность и непрерывность [2].
© О. В. Мукан, В. А. Василенко, О. А. Егоров, Т. М. Артеев
Алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2007, Т. 9, № 2 27
В работе [5] показано, что для определения показателей параметрической на-
дежности изнашиваемых ТО необходимо знать вид плотности распределения ве-
роятности ),( 0 vvql случайных коэффициентов NlVV ll
,1,,,0 = , модели (1) и ее па-
раметры, а также значение неслучайного показателя степени h .
В нашем случае нет надежных теоретических обоснований для выбора того
или иного закона распределения случайных коэффициентов модели. Тем не ме-
нее, должны учитываться соображения в пользу нормального распределения. Во-
первых, известно, что нормальный закон порождается в результате воздействия
большого числа примерно равных по влиянию факторов. Во-вторых, известно
также, что нормальный закон распределения содержит минимум информации по
сравнению с любым распределением с той же дисперсией. В-третьих, проведен-
ный анализ большого числа параметров изнашиваемых ТО позволил сделать вы-
вод, что, несмотря на некоторые отклонения (особенно на «хвостах» распределе-
ния), практически все коэффициенты полиномиальной модели имеют нормальное
или близкое к нормальному распределение.
Для проверки гипотезы о нормальности двумерного случайного вектора при-
менимы критерий w2 и кумулянтные критерии. Требование большого объема N
исходных статистических данных (N > 100) и плохая формализуемость процедуры
разбиения этих данных на разряды делают невозможным использование первого
из них. Отсутствие аналитического и табличного описания статистики w2 для
двумерного случая в условиях малой выборки не позволяет здесь применить и
критерий w2. Кумулянтные критерии, использующие в качестве меры расхожде-
ния выборочного и гипотетического распределений статистику Q,
Q = Tg g´´ -1R ,
где g — вектор-столбец кумулянтных коэффициентов и R — выборочная кова-
риационная матрица, соответствующая вектору g , в достаточной степени свобод-
ны от указанных выше недостатков.
Схема алгоритма NORM2 проверки нормальности двумерного случайного
вектора с использованием двумерных кумулянтных коэффициентов 4-го порядка,
т.е. когда ),,,,( *
04
*
13
*
22
*
31
*
40 gggggg =T , приведена на рис. 1.
Работа алгоритма NORM2 начинается с ввода массива {v0,i, v1,i}, і = I,1 , уров-
ня значимости a . В блоке 3 по формуле
,4,0),(,1
1
,1,0
* =×= å
=
I
i
k
i
l
ilk klvv
I
a 0¹Ù kl
определяются оценки начальных 4,1),(,* =kllka моментов.
О. В. Мукан, В. А. Василенко, О. А. Егоров, Т. М. Артеев
28
Рис. 1. Схема алгоритма проверки гипотезы о нормальности двумерного вектора
2 Ввод
{v0,i, v1,i},
i= I,1 , α
3 klklkl Ù= ;4,0,;*
,a
4 2213
*
31
*
40
*
04
*
02
*
20 ,,,,, lllllll
5 *
22
*
13
*
31
*
40
*
04 ,,,, ggggg
6 Формирование
векторов Tgg ,
7 r*
8 Формирование
матрицы R–1
9 gg ´´= -1RQ T
10
]
2
1,
2
[
)exp(1
aa
-
Î- Q
Да Нет
13 NORM2
11
Гипотеза
принимается
12
Гипотеза не
принимается
1 NORM2
Алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2007, Т. 9, № 2 29
Используя известные
2*
01
*
02
*
02 aal -= ,
2*
10
*
20
*
20 aal -=
и полученные методом кумулянтных скобок соотношения
,61243 4*
10
*
20
2*
10
*
30
*
10
2*
20
*
40
*
40 aaaaaaal -+--=
,66633 *
01
3*
10
*
11
2*
10
*
20
*
01
*
10
*
11
*
20
*
30
*
01
*
21
*
10
*
31
*
31 aaaaaaaaaaaaaal -++---=
,66633 *
10
3*
01
*
11
2*
01
*
02
*
10
*
01
*
11
*
02
*
03
*
10
*
12
*
01
*
13
*
13 aaaaaaaaaaaaaal -++---=
,61243 *
01
*
02
2*
01
*
03
*
01
2*
02
*
04
*
04 aaaaaaal -+--=
2*
11
*
21
*
01
*
11
*
01
*
20
*
12
*
10
2*
01
2*
10
*
02
2*
10
2*
01
*
20
*
02
*
20
*
22
*
22 22103832 aaaaaaaaaaaaaaaaal --+--++-= ,
в блоке 4 определяются оценки кумулянтов второго *
20
*
02 , ll и четвертого
2213
*
31
*
40
*
04 ,,,, lllll порядков. В блоке 5 по формуле
2*
20
2*
02
*
*
lk
lk
lk
ll
l
g
×
=
рассчитываются оценки кумулянтных коэффициентов *
22
*
13
*
31
*
40
*
04 ,,,, ggggg четвер-
того порядка.
Дальнейшее функционирование алгоритма NORM2 связано с вычислением
статистики Q:
,222
222
222
2*
0455
*
24
*
1345
2*
1344
*
04
*
2235
*
13
*
2234
*
2233
*
04
*
3125
*
13
*
3124
*
22
*
3123
*2
3122
*
04
*
4015
*
31
*
4013
*
31
*
4012
2*
4011
gggggggg
gggggggg
ggggggg
RRRRR
RRRRR
RRRRQ
+++++
++++++
++++=
где JjIiRij ,1,,1, == — элементы симметричной матрицы R–1:
О. В. Мукан, В. А. Василенко, О. А. Егоров, Т. М. Артеев
30
42*
3*
42*
3*
42*
2*
42*
*
42* )1(24)1(6)1(4)1(6)1(24 r
Ir
r
Ir
r
Ir
r
Ir
r
I
--
-
-
×
-
-
-
42*
3*
42*
2*2*
2*
2**
42*
2*
)1(6)1(6
)3(
4)1(2
)1(
)1(6
)31(
r
Ir
r
rIr
r
rIr
r
rI
-
-
-
+
-
+
-
+
42*
2*
42*
2**
42*2*
2*
)1(4)1(2
)1(
)1)(1(4
)51(
r
Ir
r
rIr
rr
rI
--
+
-
-+
+
42*42*
2*
)1(6)1(6
)31(
r
Ir
r
rI
--
+
42* )1(24 r
I
-
Здесь
*
10
*
01
1
,1,0
2
1*
20
*
02*
11
)(
aa
ll
×
-
-×
-
×
= å
=
-
I
Ivv
I
r
I
i
ii
оценка коэффициента корреляции.
Так, в блоке 6 осуществляется формирование вектора-столбца g и вектора-
строки ).,,,,( *
04
*
13
*
22
*
31
*
40 gggggg =T В блоке 7 вычисляется оценка r* коэффициента
корреляции. В блоке 8 рассчитываются элементы Rij матрицы R–1, и производится
ее формирование. В блоке 9 вычисляется значение статистики Q.
В блоке 10 для заданного уровня значимости α осуществляется принятие ре-
шения: если выполняется неравенство
21)exp(12
aa -<-< Q ,
то гипотеза о нормальности вектора {v0, v1} принимается, в противном случае —
отвергается. В блоках 11, 12 печатаются соответствующие сообщения. На этом
работа алгоритма NORM2 завершается (блок 13).
Для оценки свойств кумулянтного критерия, использующего выборочные ку-
мулянты четвертого порядка, производилось исследование его мощности
M =1 – β, в зависимости от объема N выборки. В качестве исходной для такого
исследования использовалась выборка двумерного вектора {X, Y}, распределенно-
го по закону:
W(x, y) = q(x, y) + af (x, y),
где
Алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2007, Т. 9, № 2 31
ú
û
ù
ê
ë
é
-
+--
-
-
=
)1(2
2exp
)1(2
1),( 2
22
2
12 r
yrxyx
r
yxq
p
,
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
><
££×
=
1,1,0
1,1,
),(
yx
yxyx
yxf ,
отличному от нормального, но каждая из составляющих которого имеет нормаль-
ное распределение. При проведении исследований объем N выборки, коэффици-
ент корреляции r и уровень значимости α изменялись в пределах: N = 5, 10, 20, 40,
50, 60, 100; r = 0,2, 0,7, 0,9; α = 0,01, 0,05, 0,1. Оценка мощности M* при фиксиро-
ванных N, r, α определялись методом статистического моделирования, для чего в
каждом варианте производилось 100 опытов по проверке гипотезе о нормально-
сти. Это обеспечило абсолютную ошибку оценки мощности 1,0* £-=D MM с
надежностью 95,0=g .
Полученные в результате эксперимента зависимости приведены на рис. 2–5.
Анализ их содержания показывает, что мощность критерия при прочих равных
условиях существенно зависит от тесноты стохастической связи между состав-
ляющими вектора {X, Y}. Так, при малой выборке и очень слабой связи ( 2,0£r )
мощность не превышает уровня 0,4 (рис. 2), при слабой связи (0,4 < r < 0,7) —
уровня 0,6 (рис. 3). При средней связи (0,7 £ r < 0,9) и очень сильной связи
(r ³ 0,5) мощность данного критерия превышает уровень 0,8 практически для
всех значений α (рис. 5).
Рис. 2. Зависимости мощности М
кумулянтного критерия от объема
выборки N при различных уровнях
значимости α и коэффициенте
корреляции r = 0,2
Рис. 3. Зависимости мощности М
кумулянтного критерия от объема
выборки N при различных уровнях
значимости α и коэффициенте
корреляции r = 0,4
О. В. Мукан, В. А. Василенко, О. А. Егоров, Т. М. Артеев
32
Низкую эффективность работы кумулянтного критерия при значениях r < 0,4
нельзя считать недостатком, препятствующим его практическому использованию.
Во-первых, потому что ситуации, когда каждая из составляющих случайного век-
тора распределена по нормальному закону, а распределение вектора отлично от
нормального, крайне редки. Во-вторых, негативные последствия этого недостатка
можно значительно ослабить, если в случае положительного результата работы
алгоритма NORM2 осуществлять проверку гипотезы о независимости составляю-
щих вектора {v0, v1}, используя для этих целей высокоэффективный критерий.
1. Барзилович Е.Ю., Савенков М.В. Статистические методы оценки состояния авиационной
техники. — М.: Транспорт, 1987. — 240 с.
2. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных производственных систем. — 4-е изд.,
пер. и доп. — М.: Энергоатомиздат, 1986. — 480 с.
3. Абрамов О.В., Бернацкий Ф.И., Здор В.В. Параметрическая коррекция систем управления.
— М.: Энергоатомиздат, 1982. — 176 с.
4. Оптимизация радиоэлектронной аппаратуры / Маслов А.Я., Чернышов А.А., Ведерников
В.В. и др. / Под. Ред. А.Я. Маслова, А.А. Чернышева. — М.: Радио и связь, 1982. — 200 с.
5. Мукан О.В., Бушмелев П.А., Олейник С.А. Математические модели оценки локальных по-
казателей достоверности многоразового контроля пригодности однопараметрических объектов
РЭО // Материалы ВНК училища.: Сб. статей. — К.:КВВАИУ, 1989. — Вып. 1. — С. 23–27.
Поступила в редакцию 05.04.2007
Рис. 4. Зависимости мощности М
кумулянтного критерия от объема
выборки N при различных уровнях
значимости α и коэффициенте
корреляции r = 0,7
Рис. 5. Зависимости мощности М
кумулянтного критерия от объема
выборки N при различных уровнях
значимости α и коэффициенте
корреляции r = 0,9
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50883 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1560-9189 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:41:28Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мукан, О.В. Василенко, В.А. Егоров, О.А. Артеев, Т.М. 2013-11-06T01:38:38Z 2013-11-06T01:38:38Z 2007 Алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора / О.В. Мукан, В.А. Василенко, О.А. Егоров, Т.М. Артеев // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2007. — Т. 9, № 2. — С. 26-32. — Бібліогр.: 5 назв. — pос. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50883 519.2 Рассмотрен алгоритм проверки гипотезы о нормальности двухмерного случайного вектора. В качестве меры расхождения выборочного и гипотетического распределения в алгоритме используется кумулянтный критерий. Приведены результаты исследования зависимости мощности кумулянтного критерия от объема выборки. Предложен способ повышения эффективности кумулянтного критерия. Розглянуто алгоритм перевірки гіпотези щодо нормальності двомірного випадкового вектора. Як міру розходження вибіркового та гіпотетичного розподілу в алгоритмі використано кумулянтний критерій. Наведено результати дослідження залежності потужності кумулянтного критерію від об’єму вибірки. Запропоновано спосіб підвищення ефективності кумулянтного критерію. The algorithm of testing the hypothesis about Gaussian distribution of two-dimensional random vector is considered. The cumulative test as a measure of a divergence of selective and hypothetical distribution in algorithm is used. Results of research of dependence of capacity of cumulative test from volume of sample are given. The way of increasing efficiency of cumulative test is offered. ru Інститут проблем реєстрації інформації НАН України Реєстрація, зберігання і обробка даних Математичні методи обробки даних Алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора Алгоритм перевірки гіпотези щодо нормальності випадкового вектора Algorithm of Testing the Hypothesis about Normality of a Random Vector Article published earlier |
| spellingShingle | Алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора Мукан, О.В. Василенко, В.А. Егоров, О.А. Артеев, Т.М. Математичні методи обробки даних |
| title | Алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора |
| title_alt | Алгоритм перевірки гіпотези щодо нормальності випадкового вектора Algorithm of Testing the Hypothesis about Normality of a Random Vector |
| title_full | Алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора |
| title_fullStr | Алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора |
| title_full_unstemmed | Алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора |
| title_short | Алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора |
| title_sort | алгоритм проверки гипотезы нормальности случайного вектора |
| topic | Математичні методи обробки даних |
| topic_facet | Математичні методи обробки даних |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50883 |
| work_keys_str_mv | AT mukanov algoritmproverkigipotezynormalʹnostislučainogovektora AT vasilenkova algoritmproverkigipotezynormalʹnostislučainogovektora AT egorovoa algoritmproverkigipotezynormalʹnostislučainogovektora AT arteevtm algoritmproverkigipotezynormalʹnostislučainogovektora AT mukanov algoritmperevírkigípoteziŝodonormalʹnostívipadkovogovektora AT vasilenkova algoritmperevírkigípoteziŝodonormalʹnostívipadkovogovektora AT egorovoa algoritmperevírkigípoteziŝodonormalʹnostívipadkovogovektora AT arteevtm algoritmperevírkigípoteziŝodonormalʹnostívipadkovogovektora AT mukanov algorithmoftestingthehypothesisaboutnormalityofarandomvector AT vasilenkova algorithmoftestingthehypothesisaboutnormalityofarandomvector AT egorovoa algorithmoftestingthehypothesisaboutnormalityofarandomvector AT arteevtm algorithmoftestingthehypothesisaboutnormalityofarandomvector |