Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП
Предложены приближенные верхние и нижние оценки коэффициента готовности высоконадежной восстанавливаемой системы со структурной избыточностью. Полученные расчетные соотношения могут использоваться для оценки надежности высоконадежных систем с учетом различных стратегий пополнения ЗИП....
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
|---|---|
| Datum: | 2007 |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2007
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50900 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП / И.Н. Коваленко, А.Н. Буточнов // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2007. — Т. 9, № 3. — С. 117-128. — Бібліогр.: 27 назв. — pос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-50900 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Коваленко, И.Н. Буточнов, А.Н. 2013-11-06T11:49:29Z 2013-11-06T11:49:29Z 2007 Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП / И.Н. Коваленко, А.Н. Буточнов // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2007. — Т. 9, № 3. — С. 117-128. — Бібліогр.: 27 назв. — pос. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50900 681.3(075) Предложены приближенные верхние и нижние оценки коэффициента готовности высоконадежной восстанавливаемой системы со структурной избыточностью. Полученные расчетные соотношения могут использоваться для оценки надежности высоконадежных систем с учетом различных стратегий пополнения ЗИП. ru Інститут проблем реєстрації інформації НАН України Реєстрація, зберігання і обробка даних Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП |
| spellingShingle |
Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП Коваленко, И.Н. Буточнов, А.Н. |
| title_short |
Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП |
| title_full |
Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП |
| title_fullStr |
Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП |
| title_full_unstemmed |
Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП |
| title_sort |
оценка надежности высоконадежных систем с учетом зип |
| author |
Коваленко, И.Н. Буточнов, А.Н. |
| author_facet |
Коваленко, И.Н. Буточнов, А.Н. |
| publishDate |
2007 |
| language |
Russian |
| container_title |
Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| publisher |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| format |
Article |
| description |
Предложены приближенные верхние и нижние оценки коэффициента готовности высоконадежной восстанавливаемой системы со структурной избыточностью. Полученные расчетные соотношения могут использоваться для оценки надежности высоконадежных систем с учетом различных стратегий пополнения ЗИП.
|
| issn |
1560-9189 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/50900 |
| citation_txt |
Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП / И.Н. Коваленко, А.Н. Буточнов // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2007. — Т. 9, № 3. — С. 117-128. — Бібліогр.: 27 назв. — pос. |
| work_keys_str_mv |
AT kovalenkoin ocenkanadežnostivysokonadežnyhsistemsučetomzip AT butočnovan ocenkanadežnostivysokonadežnyhsistemsučetomzip |
| first_indexed |
2025-11-26T13:58:10Z |
| last_indexed |
2025-11-26T13:58:10Z |
| _version_ |
1850623886376304640 |
| fulltext |
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2007, Т. 9, № 3 117
УДК 681.3(075)
И. Н. Коваленко1, А. Н. Буточнов2
1Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины
пр. Академика Глушкова, 40, 03680, ГСП, Киев-187, Украина
2Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
Оценка надежности высоконадежных
систем с учетом ЗИП
Предложены приближенные верхние и нижние оценки коэффициента
готовности высоконадежной восстанавливаемой системы со струк-
турной избыточностью. Полученные расчетные соотношения могут
использоваться для оценки надежности высоконадежных систем с
учетом различных стратегий пополнения ЗИП.
Ключевые слова: высоконадежные системы, стратегии пополнения
запасов, показатели надежности, оптимизация технического обслу-
живания, асимптотические методы
При построении систем обработки информации реального времени [27], к на-
дежности функционирования которых предъявляются достаточно высокие требо-
вания, необходимо решать целый ряд оптимизационных задач, таких как оптими-
зация структуры, распределение требований по надежности между показателями
отдельных составляющих надежности (например, безотказности и ремонтопри-
годности), введение различных видов избыточности (структурной, функциональ-
ной, временной), расчет комплектов ЗИП, оптимизация систем технического об-
служивания и ремонта и др. Решение такого рода задач не представляется воз-
можным без построения математической модели функционирования системы и
получения достаточно простых расчетных соотношений для определения основ-
ных показателей надежности (вероятность отказа, коэффициент готовности и др.).
Математическая теория надежности представляет собой прикладную дисцип-
лину, использующую как логико-алгоритмические, так и вероятностно-статисти-
ческие методы. Не ставя перед собой цель сколь-либо полного обзора, приведем
некоторые основные монографии, связанные с логико-вероятностным анализом
надежности сложных систем.
Если говорить о надежности систем на уровне событий, то основополагаю-
щей является монография [1]. Основы логико-вероятностного анализа структур-
но-сложных систем изложены в книгах [2, 3].
Для определения основных показателей надежности, связанных с функциони-
И. Н. Коваленко, А. Н. Буточнов
И. Н. Коваленко, А. Н. Буточнов
118
рованием системы во времени, традиционно используются марковские, полумар-
ковские и регенерирующие процессы. Так, в монографиях [4–6] дается необходи-
мый теоретический аппарат; в [7, 8] рассмотрен целый ряд моделей надежности
(главным образом восстанавливаемых систем, описываемых указанными класса-
ми случайных процессов). Особо следует упомянуть монографии [9, 10], где ис-
следованы широкие классы моделей теории надежности и, в частности, предло-
жены обобщенные схемы классификации резервированных систем с необходи-
мым математическим аппаратом.
По поводу выбора вероятностной модели той или иной системы отметим та-
кой (впрочем, широко известный) факт. В большинстве случаев гипотеза экспо-
ненциальности распределения наработки элемента на отказ не приводит к боль-
шой погрешности. Однако, случайные процессы восстановления элементов сис-
темы после отказов имеют законы распределения, отличные от экспоненциаль-
ных, что приводит к неадекватности используемых моделей реальным случайным
процессам.
Использование моделей полумарковских процессов и законов распределения
времени пребывания системы в состояниях работоспособности, отличных от экс-
поненциальных, существенно затрудняет получение практически полезных рас-
четных соотношений для показателей надежности. Это в особенности относится к
решению оптимизационных задач, связанных с выбором структуры системы и
правил ее технического обслуживания. Здесь уместно упомянуть некоторые из-
вестные монографии [11–13], посвященные оптимизации технического обслужи-
вания. Монография [14] трактует полумарковские модели технического обслужи-
вания, в основном связанные с временным резервированием. Отметим также два
фундаментальных обзора [15, 16]. В частности, статья [16] — это обзор работ по
оптимизации технического обслуживания многокомпонентных систем. В упомя-
нутых выше работах [9, 10], а также монографии [17], отдельные главы посвяще-
ны вопросам оптимизации.
Совершенствование техники и увеличение надежности элементов привело к
созданию нового направления в теории надежности — асимптотических методов,
применимых для получения приближенных формул в случае, когда точный ана-
лиз является делом безнадежным. Асимптотический анализ показателей надежно-
сти начался в середине XX столетия. Вначале задача рассматривалась в схеме
«малого параметра», в которой характеристики надежности раскладывались в ряд
по степеням интенсивностей отказа элементов системы. Затем Б.В. Гнеденко [18],
А.Д. Соловьев [19, 20] и многие их ученики использовали более общий подход,
так называемую треугольную схему предельных теорем. Дальнейшее развитие
метода, включая алгоритмы ускоренного моделирования редких событий, пред-
ставлено в [21–23]. Общий метод разложения функционала случайного потока
однородных событий по степеням интенсивности потока Пуассона описан в [24].
Среди последних работ в этом направлении отметим работы [25, 26], в которых
предложена новая идея асимптотической нечувствительности при малой загрузке
системы (light-traffic insensitivity). Характеристики системы обслуживания могут
зависеть от вида функции распределения времени обслуживания, однако при ма-
лой загрузке такая зависимость исчезает. Такой подход имеет хорошие перспек-
тивы использования для расчета надежности немарковских систем.
Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2007, Т. 9, № 3 119
Таким образом, решение оптимизационных задач для высоконадежных сис-
тем, в которых показатели надежности выступают в роли целевых функций, пред-
ставляет достаточно сложную задачу, так что простота математического аппарата
оценки надежности существенно упрощает ее решение.
Одним из удачных подходов к решению этой задачи является приближенное
представление показателя надежности системы в виде полинома от времени и ин-
тенсивностей отказа элементов. Целью данной статьи является вывод именно та-
ких формул для некоторых схем надежности высоконадежных систем с пополне-
нием запасов. При выборе таких схем надежности мы ориентировались на фунда-
ментальную монографию [12].
Некоторые вспомогательные оценки. Рассмотрим марковскую невосста-
навливаемую систему с состояниями 0,1,2,…, описываемую процессом гибели
X(t). Интенсивность гибели:
{ }.)(1)(P1 ktXkdttX
dtk =-=+=L
Состояние )(tX интерпретируется как число исправных элементов системы в мо-
мент t . Обозначим через ijg (см. рис.) время перехода процесса )(tX из состоя-
ния i в j , .}P{)( dtdttf ijij Î= g
ijg
Процесс гибели Х(t)
Легко видеть, что
),,;()( 11 ++ LLQLL= jiijjiij ttf KK , (1)
где
{ }dSxxt jjii
txxx
jiij
jii
][exp),,;( 111
11
++
=+++
+ L++L-=LLQ
+-
ò ò KKK
K
. (2)
В этой формуле dS обозначает элемент гиперплощади на симплексе
И. Н. Коваленко, А. Н. Буточнов
120
),0,,0( 11 txxxx jiji =++>> ++ KK .
Здесь и далее произведение 1+LL ji K обозначает Õ
+=
L
i
jk
k
1
.
Верхняя оценка. Заменяя }exp{K на 1, из формул (1), (2) получим верхнюю
оценку:
),,;(
)!1(
),,;( 1
1
1 +
--
+ LLQ=
--
£LLQ jiij
ji
jiij t
ji
tt KK .
Точное значение выписывается при l=L==L +1ji K :
tл
ji
ij e
ji
tt -
--
--
=Q
1)!(
),,;(
1
ll K . (3)
Нижняя оценка. Из (2) очевидно, что частные производные
k
ij
L¶
Q¶
монотонно
возрастают по 1,, +LL ji K в области )0,,0( 1 ³L³L +ji K и достигают минимума
при 01 =L==L +ji K . Следовательно,
=
L¶
Q¶
L+Q³LLQ å
+=
+
01
1 0),0,;(),,;(
k
ij
i
jk
kijjiij tt KK
dSt
ji
t
k
txx
i
jk
k
ji
ji
)!1(
11
1
=+++=
--
+
ò òåL-
--
=
K
K . (4)
Из (2) очевидно, что все
0k
ij
L¶
Q¶
)1( ikj ££+ равны между собой; из (3) на-
ходим, что их сумма составляет
)!1( --
-
-
ji
t ji
.
Следовательно,
ikj
ji
tdSt
ji
k
txx ji
££+
-
=
-
=++ +
ò ò 1,
)!(
1K
K . (5)
Подстановка (5) в (4) дает нижнюю оценку
),,;(1
)!1(
),,;( 1
1
1
1 +
+
--
+ LLQ=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
L++L
-
--
³LLQ jiij
ji
ji
jiij tt
jiji
tt K
K
K .
Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2007, Т. 9, № 3 121
В результате получаем оценки для плотности случайной величины ijg :
),,;(),,;(),,;( 111 +++ LL£LL£LL jiijjiijjiij
tftftf KKK , (6)
где
)!1(
),,;(
1
11 --
LL=LL
--
++ ji
ttf
ji
jijiij KK , (7)
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
L
-
-LL=LL å
+=
++
i
jk
kjiijjiij ji
ttftf
1
11 1),,;(),,;( KK . (8)
Обозначим
å
+=
L
-
=
i
jk
kji
t
1
e .
Тогда, согласно (7), (8), величина e будет мерой относительного отклонения
нижней оценки от верхней:
1
),,;(
),,;(
1
1
1
£
LL
LL
£-
+
+
jiij
jiij
tf
tf
K
K
e .
Оценки функции распределения (ф.р.) случайной величины ijg . Для сокраще-
ния записи, опустим 1,, +LL ji K в обозначении )(tFij и ее оценок. Не оговаривая
особо, опустим подобные символы и в некоторых других характеристиках. Ин-
тегрированием (7) и (8) получаем двустороннюю оценку ф.р. )(tFij случайной ве-
личины ijg :
)()()( tFtFtF ijijij ££ ,
где
)!(
)( 1 ji
ttF
ji
jiij
-
LL=
-
+K , (9)
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-
L++L
-= + t
ji
tFtF ji
ijij 1
1)()( 1K
. (10)
Мера относительного отклонения
1
)(
)(
1 1 ££-
tF
tF
ij
ije ,
И. Н. Коваленко, А. Н. Буточнов
122
где
ee
11
1
1 +-
-
=
+-
L++L
= +
ji
jit
ji
ji K
.
Оценки для момента достижения уровня 1-j . Пусть
{ }iXjtXtQij =<= )0()(P)( .
Целью исследования является получение оценок
)()()( tQtQtQ ijijij
££ .
Заметим, что { } )(P)( 1,1, tFttQ jijiij -- =<= g , т.е. в оценках (9) и (10) нужно толь-
ко заменить j на 1-j . Таким образом, нового здесь ничего нет. Тем не менее, так
как )(tQij используется для вывода важных формул для надежности резервиро-
ванных систем, мы выпишем для них оценки. Имеем:
— для плотности вероятности )(1, tf ji - случайной величины ijg (момента пер-
вого попадания процесса )(tX в состояние 1-j при начальном состоянии i )
справедливы неравенства:
)()()( 1,1,1,
tftftf jijiji ---
££ ,
где
)!(
)(1, ji
ttf
ji
jiji -
LL=
-
- K ,
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-
L++L
-³ --
t
ji
tftf ji
jiji 1
1)()( 1,1,
K
;
— для )(tQij выполняются неравенства:
)()()( tQtQtQ ijijij
££ , (11)
где
)!1(
)(
1
+-
LL=
+-
ji
ttQ
ji
jiij K , (12)
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-
L++L
-= t
ji
tQtQ ji
jiji 2
1)()( ,,
K
. (13)
Отметим также оценки для среднего по времени
Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2007, Т. 9, № 3 123
ò=
T
ij
T
ij dttQ
T
Q
0
)(1 ,
а именно,
T
ij
T
ij
T
ij
QQQ ££ ,
где
)!2(
1
+-
LL=
++
ji
TQ
ji
ji
T
ij K , (14)
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+-
L++L
-= T
ji
QQ jiT
ij
T
ij 3
1
K
. (15)
Наконец, отметим формулу для среднего и дисперсии времени до достижения
процессом )(tX уровня j из уровня i :
1
11E
+L
++
L
=
ji
ij Lg ,
2
1
2
2 11][
+L
++
L
=
ji
ij Kgs .
В частности,
ji
ji L
++
L
=-
11E 1, Kg ,
[ ] 221,
2 11
ji
ji L
++
L
=- Kgs .
Приведем приближенные формулы для расчета ГK системы с ЗИП. Рас-
смотрим несколько моделей системы с ЗИП.
Системы с периодическим пополнением запаса. Обозначим через L объем за-
пасного комплекта, а через Т — период пополнения. Отказ системы наступает при
исправности менее m элементов. Требуется оценить
ò-=
T
LmГ dttQ
T
K
0
)(11 .
Из (14) находим нижнюю оценку ГK :
1
1)!2(
11 +-
- LLL
+-
-= mL
mLLГ T
mL
K K . (16)
И. Н. Коваленко, А. Н. Буточнов
124
Из (15) находим верхнюю оценку ГK :
T
mL
KKK mLL
ГГГ
3
)1( 1
+-
L++L+L
-+= - K . (17)
Удобнее оперировать с величиной ГK-1 — коэффициентом неготовности.
Из (16) и (17) имеем:
£÷
ø
ö
ç
è
æ
+-
L++L+L
-LLL
+-
-+-
- T
mL
T
mL
mLLmL
mLL 3
1
)!2(
1 11
1
K
K
1
1)!2(
11 +-
-+- LLL£-£ mL
mLLmLГ TK K .
Оценка ГK-1 величиной ГK-1 имеет относительную погрешность, не превы-
шающую
T
mL
mLL
3
1
1 +-
L++L+L
= - Ke .
Системы с пополнением по уровню. В данной системе заказ на пополнение
элементов поступает, когда число исправных элементов снижается до уровня l ,
где Llm <£ . Время выполнения заказа равно постоянному T. Обозначим через C
среднюю продолжительность цикла (работа до заказа + выполнение заказа). Имеем:
TC
lLL
+
L
++
L
+
L
=
+- 11
111
K . (18)
Пусть 1C — среднее время нахождения системы в состоянии отказа на про-
тяжении цикла. Тогда
ò=
T
lm dttQC
0
1 )( .
Согласно (14) и (15) имеем:
1
2
11 )!2(
11 CT
ml
C ml
mll =LLL
+-
-£ +-
- K , (19)
1
1
11 3
1 CT
ml
CC mll =÷
ø
ö
ç
è
æ
+-
L++L+L
-³ - K . (20)
Из (19) и (20) получаем оценку
C
C
C
CK
C
C
Г
111 1 £=-£ ,
Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2007, Т. 9, № 3 125
где C , 1C и 1C определяются согласно (18)–(20). Относительная погрешность
вычисляется следующим образом:
T
ml
mll
3
1
2 +-
L++L+L
= - Ke .
Системы с экстренным заказом. В данной системе, если отказ системы не
наступает за время T после последнего пополнения, то пополнение происходит
именно в этот момент. Допустим, однако, что отказ происходит в момент
Ttt <<0, . Если при этом 1TTt -³ , то замена происходит в момент T ; если же
1TTt -< , то в момент t делается заказ, который выполняется в момент 1Tt + , и в
этот момент происходит полное пополнение; следующая плановая замена будет в
момент TTt ++ 1 , и т.д.
Средняя продолжительность цикла определяется следующим образом:
{ } { }111 ;EP TTTTTTC -<++-³= ggg , (21)
где g — момент, когда число исправных элементов достигает уровня 1-m .
Для плотности )(tfg случайной величины g выполняются оценки:
)(
)!(
)( 1 tft
mL
tf mLmLL
gg =
-
LLL
£ -- K , (22)
1)!()!(
)( 1111
+-
L++L+L
-
LLL
-
-
LLL
³ -+----
mL
t
mL
t
mL
tf mLLmLmLLmLmLL KKK
g . (23)
Поскольку
{ } ò
-
-=-³
1
0
1 )(1P
TT
dttfTT gg ,
то из (22) и (23) получаем:
{ } { }11
1
1
1 P)(
)!1(
1P TTTT
mL
TT mLmLL -³=-
+-
LLL
-³-³ +-- gg K ,
{ } { } ´-
+-
LLL
+-³£-³ +-- 2
1
1
11 )(
)!1(
PP mLmLL TT
mL
TTTT Kgg
{ } )(1P
2 11
1 TTQTT
mL Lm
mLL --=-³=
+-
L++L+L
´ - g
K .
Для второго слагаемого формулы (21) имеем:
{ } ò
-
+-=-<+
1
0
1111 )()(;E
TT
LmLm dttQTTQTTTT gg . (24)
И. Н. Коваленко, А. Н. Буточнов
126
Использовав неравенства (11)–(13), из (24) найдем границы изменения С, а
именно,
CCC ££ .
Средняя продолжительность 1C пребывания системы в неисправном состоя-
нии на цикле вычисляется следующим образом:
ò
-
-+-=
T
TT
Lm dttTtfTTQTC
1
)()()( 111 g .
Подставив найденные выше оценки )(tQLm и )(tfg , найдем верхнюю и ниж-
нюю оценки для 1C :
111 CCC ££ .
Наконец для ГK получаем:
C
CK
C
C
Г
11 11 -££- .
Уточнение оценок. Из формулы (2) путем разложения экспоненты по степе-
ням ее аргумента и последующего интегрирования можно получить не только
оценки (6)–(8), но и оценки любой степени точности. Так, использовав неравенства
2
1
62
1
232 zzezzz z +-££-+- - ,
после несложных преобразований получим весьма точную для практических рас-
четов двустороннюю оценку
),,;(),,;(),,;( 111 +++ LL£LL£LL jiijjiijjiij
tftftf KKK , (25)
где
î
í
ì
+L
-
-
--
LL=LL å
+=
--
++
i
jk
k
ji
jijiij ji
t
ji
ttf
1
1
11 1
)!1(
),,;( KK
ïþ
ï
ý
ü
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
L+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
L
+--
+ åå
+=+=
i
jk
k
i
jk
kjiji
t
1
2
2
1
2
)1()(2
, (26)
î
í
ì
+L
-
-
--
LL=LL å
+=
--
++
i
jk
k
ji
jijiij ji
t
ji
ttf
1
1
11 1
)!1(
),,;( KK
Оценка надежности высоконадежных систем с учетом ЗИП
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2007, Т. 9, № 3 127
-
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
L+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
L
+--
+ åå
+=+=
i
jk
k
i
jk
kjiji
t
1
2
2
1
2
)1()(2
ïþ
ï
ý
ü
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
L+LL+÷÷
ø
ö
çç
è
æ
L
+-+--
- åååå
+=+=+=+=
i
jk
k
i
jk
k
i
jk
k
i
jk
kjijiji
t
1
3
11
2
3
1
3
23
)2()1()(6
. (27)
В частном случае ikjk ££+=L 1,l , имеем:
úû
ù
êë
é +-
--
=
--
2
1
)(
2
11
)!1(
)();( tt
ji
ttf
ji
ij ll
ll
l ,
úû
ù
êë
é -+-
--
=
--
32
1
)(
6
1)(
2
11
)!1(
)();( ttt
ji
ttf
ji
ij
lll
ll
l .
Эти оценки можно получить и непосредственно из точного выражения
t
ji
ij e
ji
ttf lll
l -
--
--
=
)!1(
)();(
1
(действительно, в этом случае );( ltfij представляет собой плотность распределе-
ния Эрланга порядка ji - ).
Используя оценки (25)–(27), легко получить уточненные оценки характери-
стик, рассмотренных выше. Ввиду очевидности, подробности опускаем; заметим
лишь, что все полученные оценки представляют собой полиномы по t и kL , что
очень удобно при расчете и оптимизации.
1. Barlow R.E., Proshan F. Statistical theory of reliability and life testing. — New York: Reinehart
and Winston, 1975.
2. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. — С-Пб: Политех-
ника, 2000.
3. Рябинин И.А., Черкесов Г.Н. Логико-вероятностные методы исследования надежности
структурно-сложных систем. — М.: Радио и связь, 1981. — 264 с.
4. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения. — К.: Наук. дум-
ка, 1976. — 184 с.
5. Анисимов В.В., Война А.А. Марковские и полумарковские процессы. — К.: Киевский госу-
дарственный университет им. Т.Г.Шевченко, 1986.
6. Сильвестров Д.С. Полумарковские системы со счетным пространством состояний. Оценка
функциональных и надежностных характеристик стохастических систем. — М.: Сов. Радио, 1980.
7. Birolini A. Reliability Еngineering. Theory and Рractice. — Berlin: Springer, 2004. — 544 p.
8. Trivedi K.S. Probability and Statistics with Reliability, Queueing, and Сomputer Science Аppli-
cations. — New York: Wiley, 2002. — 830 p.
И. Н. Коваленко, А. Н. Буточнов
128
9. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности.
Основные характеристики надежности и их статистический анализ. — М.: Наука, 1965. — 524 с.
10. Вопросы математической теории надежности / Е.Ю. Барзилович, Ю.К. Беляев, В.А. Каш-
танов и др.; Под ред. Б.В.Гнеденко. — М.: Радио и связь, 1983. — 376 с.
11. Барзилович Е.Ю., Каштанов В.А. Некоторые математические вопросы теории обслужи-
вания сложных систем. — М.: Советское радио, 1971. — 272 с.
12. Черкесов Г.Н. Надежность аппаратно-программных комплексов: Учебное пособие. С-Пб:
Питер, 2005. — 480 с.
13. Gertsbakh I. Reliability Тheory with Аpplications to Рreventive Мaintenance. — Berlin: Sprin-
ger, 2000.
14. Креденцер Б.П. Прогнозирование надежности систем с временной избыточностью. — К.:
Наук. думка, 1978. — 240 с.
15. Jensen U. Stochastic Мodels of Reliability and Мaintenance: An Оverview. — In the book: Re-
liability and Мaintenance of Сomplex Systems / S.Özekici (Ed.). — Berlin: Springer, 1996. — P. 3–35.
16. Van der Duyn Schouten F. Maintenance Рolicies for Мulticomponent Systems. — In the book: Re-
liability and maintenance of complex systems / S.Özekici (Ed.). — Berlin: Springer, 1996. — P. 117–136.
17. Gnedenko B., Ushakov I. Probabilistic Reliability Еngineering. — New York: Wiley, 1995.
18. Гнеденко Б.В. О ненагруженном дублировании // Изв. АН СССР. Техническая кибернети-
ка. — 1964. — № 4. — С. 3–12.
19. Соловьев А.Д. Резервирование с быстрым восстановлением // Изв. АН СССР. Техническая
кибернетика. — 1970. — № 1. — С. 56–71.
20. Соловьев А.Д. Асимптотическое поведение момента первого наступления редкого собы-
тия в регенерирующем процессе // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1971. —№ 6. —
С. 79–89.
21. Коваленко И.Н. Анализ редких событий при оценке эффективности и надежности систем.
— М.: Сов. Радио, 1980. — 208 с.
22. Kovalenko I.N., Kuznetsov N.Yu., Pegg Ph.A. Mathematical Theory of Reliability of Time-
Dependent Systems with Practical Applications // J. Wiley & Sons, Chichester, 1997. — 303 p.
23. Коваленко И.Н., Кузнецов Н.Ю. Методы расчета высоконадежных систем. — М.: Радио и
связь, 1988. — 176 с.
24. Borovkov A.A. Asymptotic Еxpansions for Functionals of Dilations of Рoint Рrocesses. —
INRIA, Sophia-Antipolis (Internet), 2002. — P. 1–27.
25. Kovalenko I.N., Atkinson J.B., Mykhalevych K.V. Three Cases of Light-Traffic Insensitivity of
the Loss Probability in a GI/G/m/0 Loss System to the Shape of the Service Time Distribution // Queue-
ing Systems. — 2003. — 45. — Р. 245–271.
26. Баум Д., Коваленко І.М. Оцінка ймовірності втрати в системі обслуговування типу
MAP/G/m/0 за умови малого навантаження // Теорія ймовірностей і математична статистика. — 2004. —
71. — С. 15–21.
27. Технический проект «Системы и ЦОИ»: Отчет / Институт проблем регистрации инфор-
мации. — К., 2006.
Поступила в редакцию 30.07.2007
|