Группы Ли и автомодельные формы уравнений Прандтля
Основываясь на теории групп Ли, получены автомодельные переменные, функции и дифференциальные уравнения, включая общее уравнение Блазиуса. Показано, что форма общего обыкновенного дифференциального уравнения определяется выбором параметрической переменной. Используя свойства симметрии, общее уравнен...
Saved in:
| Date: | 1999 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут гідромеханіки НАН України
1999
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5185 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Группы Ли и автомодельные формы уравнений Прандтля / А.А. Авраменко // Прикладна гідромеханіка. — 1999. — Т. 1, № 2. — С. 3-11. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5185 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-51852025-02-09T16:36:58Z Группы Ли и автомодельные формы уравнений Прандтля The Lee groups and automodelling forms of the Prandtl equations Авраменко, А.А. Основываясь на теории групп Ли, получены автомодельные переменные, функции и дифференциальные уравнения, включая общее уравнение Блазиуса. Показано, что форма общего обыкновенного дифференциального уравнения определяется выбором параметрической переменной. Используя свойства симметрии, общее уравнение Блазиуса было редуцировано к уравнению первого порядка. Получено два новых автомодельных решения уравнений Прандтля. Показан способ трансформации однопараметрической алгебры Ли уравнений Прандтля, содержащей четыре подалгебры, к алгебре Прандтля с тремя подалгебрами, одна из которых является двухпараметрической. Грунтуючись на теорiї груп Лi, були отриманi автомодельнi змiннi, функцiї i диференцiальнi рiвняння, включаючи загальне рiвняння Блазiуса. Показано, що форма загального звичайного диференцiального рiвняння визначається вибором параметричної змiнної. Використовуючи властивостi симетрiї, загальне рiвняння Блазiуса було редуцировано до рiвняння першого порядку. Було отримано два нових автомодельних рiшення рiвнянь Прандтля. Показано засiб трансформацiї однопараметричної алгебри Лi рiвнянь Прандтля, що мiстять чотири пiдалгебри, до алгебри Прандтля з трьомя пiдалгебрами, одна з яких є двопараметричною. Basing on the Lie groups, various forms of automodelling variables, functions and differential equations have been obtained including the generalized Blasius equation. It has been shown that the form of the general ordinary differential equation is determined by the use of the parametric variable. Using the property of symmetry, the generalized Blasius equation has been redused to the first order. Two new automodelling solutions of the Prandtl equations have obtained. The way has been shown of ransforming the one-parameter Lie algebra of the Prandtl equations, consisting of four subalgebras, to the algebra with three subalgebras with one subalgebra one-parameter one. 1999 Article Группы Ли и автомодельные формы уравнений Прандтля / А.А. Авраменко // Прикладна гідромеханіка. — 1999. — Т. 1, № 2. — С. 3-11. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1561-9087 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5185 532.526 ru application/pdf Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Основываясь на теории групп Ли, получены автомодельные переменные, функции и дифференциальные уравнения, включая общее уравнение Блазиуса. Показано, что форма общего обыкновенного дифференциального уравнения определяется выбором параметрической переменной. Используя свойства симметрии, общее уравнение Блазиуса было редуцировано к уравнению первого порядка. Получено два новых автомодельных решения уравнений Прандтля. Показан способ трансформации однопараметрической алгебры Ли уравнений Прандтля, содержащей четыре подалгебры, к алгебре Прандтля с тремя подалгебрами, одна из которых является двухпараметрической. |
| format |
Article |
| author |
Авраменко, А.А. |
| spellingShingle |
Авраменко, А.А. Группы Ли и автомодельные формы уравнений Прандтля |
| author_facet |
Авраменко, А.А. |
| author_sort |
Авраменко, А.А. |
| title |
Группы Ли и автомодельные формы уравнений Прандтля |
| title_short |
Группы Ли и автомодельные формы уравнений Прандтля |
| title_full |
Группы Ли и автомодельные формы уравнений Прандтля |
| title_fullStr |
Группы Ли и автомодельные формы уравнений Прандтля |
| title_full_unstemmed |
Группы Ли и автомодельные формы уравнений Прандтля |
| title_sort |
группы ли и автомодельные формы уравнений прандтля |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
1999 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5185 |
| citation_txt |
Группы Ли и автомодельные формы уравнений Прандтля / А.А. Авраменко // Прикладна гідромеханіка. — 1999. — Т. 1, № 2. — С. 3-11. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT avramenkoaa gruppyliiavtomodelʹnyeformyuravnenijprandtlâ AT avramenkoaa theleegroupsandautomodellingformsoftheprandtlequations |
| first_indexed |
2025-11-28T01:49:01Z |
| last_indexed |
2025-11-28T01:49:01Z |
| _version_ |
1849996919471865856 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 2. �. 3 { 11��� 532.526������ �� � ������������� �������������� ���������. �. ����������áâ¨âãâ â¥å¨ç¥áª®© ⥯«®ä¨§¨ª¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 15.10.98�á®¢ë¢ ïáì ⥮ਨ £à㯯 �¨, ¯®«ãç¥ë ¢â®¬®¤¥«ìë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥, äãªæ¨¨ ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï,¢ª«îç ï ®¡é¥¥ ãà ¢¥¨¥ �« §¨ãá . �®ª § ®, çâ® ä®à¬ ®¡é¥£® ®¡ëª®¢¥®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ë¡®à®¬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®©. �ᯮ«ì§ãï ᢮©á⢠ᨬ¬¥âਨ, ®¡é¥¥ ãà ¢¥¨¥ �« §¨ãá ¡ë«® ।ãæ¨à®¢ ® ª ãà ¢¥¨î ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . �®«ã祮 ¤¢ ®¢ëå ¢â®¬®¤¥«ìëå à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© �à ¤-â«ï. �®ª § ᯮᮡ âà áä®à¬ 樨 ®¤®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© «£¥¡àë �¨ ãà ¢¥¨© �à ¤â«ï, ᮤ¥à¦ 饩 ç¥âë९®¤ «£¥¡àë, ª «£¥¡à¥ �à ¤â«ï á âà¥¬ï ¯®¤ «£¥¡à ¬¨, ®¤ ¨§ ª®â®àëå ï¥âáï ¤¢ãå¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®©.�àãâãîç¨áì ⥮à÷ù £à㯠�i, ¡ã«¨ ®âਬ i ¢â®¬®¤¥«ìi §¬ii, äãªæiù i ¤¨ä¥à¥æi «ìi ài¢ïï, ¢ª«îç î稧 £ «ì¥ ài¢ïï �« §iãá . �®ª § ®, é® ä®à¬ § £ «ì®£® §¢¨ç ©®£® ¤¨ä¥à¥æi «ì®£® ài¢ïï ¢¨§ ç õâìá¡®à®¬ ¯ à ¬¥âà¨ç®ù §¬i®ù. �¨ª®à¨á⮢ãîç¨ ¢« á⨢®áâi ᨬ¥âàiù, § £ «ì¥ ài¢ïï �« §iãá ¡ã«® ।ãæ¨à®-¢ ® ¤® ài¢ïï ¯¥à讣® ¯®à浪ã. �ã«® ®âਬ ® ¤¢ ®¢¨å ¢â®¬®¤¥«ì¨å àiè¥ï ài¢ïì �à ¤â«ï. �®ª § ®§ ái¡ âà áä®à¬ æiù ®¤®¯ à ¬¥âà¨ç®ù «£¥¡à¨ �i ài¢ïì �à ¤â«ï, é® ¬iáâïâì ç®â¨à¨ ¯i¤ «£¥¡à¨, ¤® «£¥¡à¨�à ¤â«ï § âàì®¬ï ¯i¤ «£¥¡à ¬¨, ®¤ § 直å õ ¤¢®¯ à ¬¥âà¨ç®î.Basing on the Lie groups, various forms of automodelling variables, functions and di�erential equations have been obtainedincluding the generalized Blasius equation. It has been shown that the form of the general ordinary di�erential equationis determined by the use of the parametric variable. Using the property of symmetry, the generalized Blasius equationhas been redused to the �rst order. Two new automodelling solutions of the Prandtl equations have obtained. The wayhas been shown of ransforming the one-parameter Lie algebra of the Prandtl equations, consisting of four subalgebras, tothe algebra with three subalgebras with one subalgebra one-parameter one.���������® ¬®£¨å á«ãç ïå ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¯à®æ¥áᮢ £¨-¤à®¤¨ ¬¨ª¨ ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢-⮬®¤¥«ìë¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ãà ¢¥¨© �à ¤â«ï.� ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à®¢ ¬®¦® ¯à¨¢¥á⨠¢â®¬®¤¥«ì-ë¥ à¥è¥¨ï �« §¨ãá ¤«ï â¥ç¥¨ï ¢ ¯®£à ¨ç®¬á«®¥ ®ª®«® ¯«®áª®© ¯« áâ¨ë [1], à¥è¥¨¥ �«¨å-⨣ ¤«ï â¥ç¥¨ï ¢ § ⮯«¥®© áâà㥠[1], à¥è¥-¨¥ ¤«ï ¯à¨á⥮© áâà㨠[2]. �¤ ª® ¯à¨ í⮬¯à¨å®¤¨âáï 㣠¤ë¢ âì ¢¨¤ ¢â®¬®¤¥«ìëå ¯¥à¥-¬¥ëå ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¢¨¤ ¨áª®¬ëå äãª-権. � áâ®ï饩 áâ âì¥ ¬ë ¯®ª ¦¥¬ ª ª ¬®¦® ©â¨ ¢á¥¢®§¬®¦ë¥ ä®à¬ë ¢â®¬®¤¥«ìëå ¯¥à¥-¬¥ëå ¨ ¨áª®¬ëå äãªæ¨©, § ï £à㯯ë �¨, ¨á-á«¥¤ã¥¬ëå ãà ¢¥¨©.�áá«¥¤®¢ ¨î £à㯯®¢ëå ᢮©á⢠ãà ¢¥¨©�à ¤â«ï ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¯®á¢ï饮 àï¤ à -¡®â. �¯¥à¢ë¥ ®á®¢ ï £à㯯 ᨬ¬¥âਨ íâ¨åãà ¢¥¨© ¡ë« ¯®«ãç¥ ¢ [3]. �ਠí⮬ ¤ ¢«¥¨¥à áᬠâਢ «®áì ª ª ¨áª®¬ ï äãªæ¨ï. � à ¡®-⥠[4] ®á®¢¥ ¤ ëå [3] ¯à®¢¥¤¥ «¨§ £àã¯-¯®¢®£® à áá«®¥¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©¯®£à ¨ç®£® á«®ï. �à㯯®¢®¥ à áá«®¥¨¥ { í⮯।áâ ¢«¥¨¥ á¨áâ¥¬ë ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢-¥¨© ¢ ¢¨¤¥ ®¡ê¥¤¨¥¨ï ¤¢ãå á¨á⥬: ¢â®¬®àä-
®© ¨ à §à¥è î饩. �¢â®¬®àä ï á¨á⥬ ®¡« -¤ ¥â ⥬ ᢮©á⢮¬, çâ® «î¡®¥ ¥¥ à¥è¥¨¥ ¯®«ã-ç ¥âáï ¨§ ®¤®£® à¥è¥¨ï á ¯®¬®éìî ¯à¥®¡à §®-¢ ¨© ¨§ £à㯯ë �¨, ¤®¯ã᪠¥¬®© ®á®¢®© á¨-á⥬®© ãà ¢¥¨©. � §à¥è îé ï á¨á⥬ ¥ ¤®-¯ã᪠¥â ¨ª ª®£®, ªà®¬¥ ⮦¤¥á⢥®£® ¯à¥®¡à -§®¢ ¨ï £à㯯ë �¨, â.¥. ¢á¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¨§£à㯯ë �¨ ïîâáï ¤«ï à¥è¥¨© à §à¥è î饩á¨á⥬ë ⮦¤¥á⢥묨 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨. � -«¥¥ ¢ [4] ¯®ª § ¯à®æ¥áá à¥è¥¨ï ¢â®¬®à䮩 ¨à §à¥è î饩 á¨á⥬. �ਠí⮬ à §à¥è îé ï á¨-á⥬ ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¯¥à¥¬¥ëå �பª®. �¤ ª®á«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¯®-¯à¥¦¥¬ã ®¡¥ á¨á⥬ë®áâ îâáï á¨á⥬ ¬¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥-¨© ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå. �¥à¥å®¤ ¦¥ ª ¢â®-¬®¤¥«ìë¬ ä®à¬ ¬ ¯®§¢®«¨« ¡ë ¯®«ãç¨âì ®¡ëª-®¢¥ë¥ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ãà ¢¥¨ï, à¥è¥¨¥ª®â®àëå á ¯®¬®éìî ᮢ६¥ëå ¯à¨ª« ¤ëå ¯ -ª¥â®¢ ( "Mathcad ", "Maple" ¨ ¤à.) ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï-¥â ¨ª ª¨å âà㤮á⥩.� § ª«î票¥ ªà ⪮£® ¢¢¥¤¥¨ï ®â¬¥â¨¬, ç⮢ à ¡®â å [4,5] ¯à¨¢¥¤¥ë £à㯯ë ᨬ¬¥âਨ £à -¤¨¥â®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¯à¨ ç áâëå § ª®- å ¨§¬¥¥¨ï ¤ ¢«¥¨ï ¢ ¯à®¤®«ì®¬ ¯à ¢«¥-¨¨. � à ¡®â å [6, 7] ¨áá«¥¤®¢ «¨áì £à㯯®¢ë¥á¢®©á⢠âà¥å¬¥àëå ¯®£à ¨çëå á«®¥¢ ¨ ¯®£à -¨çëå á«®¥¢ á ¬®¬¥â묨 ¯à殮¨ï¬¨.c
�. �. �¢à ¬¥ª®, 1999 3
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 2. �. 3 { 11���������������� �����������à ¢¥¨ï �à ¤â«ï ¨¬¥îâ á«¥¤ãî騩 ¢¨¤:u@u@x + V @u@Y = @2u@Y 2 ; (1)@u@x + @V@Y = 0;£¤¥ u ¨ v { ª®¬¯®¥âë ᪮à®á⨠¢ ¯à ¢«¥¨ïåx ¨ y ᮮ⢥âá⢥®; V = v=(�)0;5 ¨ Y = y=(�)0;5;� { ª¨¥¬ â¨ç¥áª ï ¢ï§ª®áâì. � áèâ ¡¨à®¢ ¨¥¯à®¨§¢¥¤¥® ¤«ï 㤮¡á⢠¤ «ì¥©è¨å ®¯¥à 権.�䨨⥧¨¬ «ì ï ®¡à §ãîé ï £à㯯 �¨ ãà ¢-¥¨© (1) ¯à¨¢¥¤¥ ¢ à ¡®â¥ [5], ¨ ¨¬¥¥â á«¥¤ãî-騩 ¢¨¤:q = (c1+c3Y )@Y+(c2+c4x)@x+(c4�2c3)u@u�c3V @V :�«£¥¡à ᨬ¬¥â਩, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®à®¦¤ ¥âáﯮ«ï¬¨ q1 = @Y ;q2 = @x; (2)q3 = Y @Y � 2u@u � V @V ;q4 = x@x + u@u:�¥¯¥àì á«¥¤ã¥â ¯à®¢¥á⨠íªá¯®¥æ¨à®¢ ¨¥ 㪠-§ ëå ¯®«¥©. �â ®¯¥à æ¨ï ᢮¤¨âáï ª à¥è¥¨îá¨áâ¥¬ë ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢-¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ¯¥à¥¬¥®© ", ª®â®à ï ¢ ¤ «ì-¥©è¥¬ ¡ã¤¥â ¨£à âì à®«ì ¯ à ¬¥âà ¯à¥®¡à §®-¢ ¨ï £à㯯 �¨. � ¬¨ ãà ¢¥¨ï ®¡à §ãîâáï á«¥-¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¨å «¥¢ ï ç áâì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â á®-¡®© ¯à®¨§¢®¤ãî ®â ¯¥à¥¬¥®© ç á⮩ ¯à®¨§-¢®¤®© ª ¦¤®£® á« £ ¥¬®£® ¢¥ªâ®à q (2) ¯® ", ¯à ¢ ï - ª®íää¨æ¨¥â ¯à¨ í⮩ ¯à®¨§¢®¤®©. �¥-襨¥ 室¨âáï ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¨áª®¬ ï äãª-æ¨ï à ¢ á ¬ ᥡ¥ ¯à¨ " = 0. � ª ç¥á⢥ ¯à¨¬¥à à áᬮâਬ ®¯¨á ãî ®¯¥à æ¨î ¤«ï ¢¥ªâ®à q3.�¨á⥬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¨¬¥¥â ¢¨¤dY=d" = Y;du=d" = �2u;dV=d" = �V; ¥¥ à¥è¥¨ï { Y = Y exp(");u = u exp(�2");
V = V exp(�"):�¥¯¥àì ¬ ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¤¥«¨âì "®¢ë©" ¥§ ¢¨-á¨¬ë© à£ã¬¥â Y , ª®â®àë© á⮨⠢ ¯à ¢®© ç -á⨠¯¥à¢®£® á®®â®è¥¨ï, ç¥à¥§ "áâ àë©" («¥¢ ïç áâì). � १ã«ìâ ⥠¬ë ¯®«ã稬 ¯à¥®¡à §®¢ -¨¥ ®¤®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© £à㯯ë �¨, ª®â®à ï ¯®-஦¤¥ ¢¥ªâ®à®¬ q3:Y ! Y exp(�");u! u exp(�2");V ! V exp(�"):�த¥«ë¢ ï ¯®¤®¡ë¥ ®¯¥à 樨 á ®áâ «ì묨¢¥ªâ®à ¬¨ (2), ¯®«ãç ¥¬ ¯®«ë© ᯨ᮪ £à㯯 �¨ãà ¢¥¨© �à ¤â«ï. �⨬ £à㯯 ¬ (®¬¥à £àã¯-¯ë ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ®¬¥àã ¢¥ªâ®à q) ᮮ⢥âáâ¢ã-îâ á«¥¤ãî騥 ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¤«ï ®¡à §®¢ â®ç¥ª(x; Y; u; V ): G1 : (x; Y � "; u; V );G2 : (x� "; Y; u; V );G3 : (x; Y exp(�"); u exp(�2"); V exp(�"));G4 : (x exp(�"); Y; u exp("); V ):� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ u = F (x; Y ), V = ((x; Y ) -à¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© �à ¤â«ï (1), â® äãªæ¨¨u(1) = F (x; Y � ");V (1) = �(x; Y � ");u(2) = F (x� "; Y );V (2) = �(x� "; Y ); (3)u(3) = exp(�2")F (x; Y exp(�"));V (3) = exp(�")�(x; Y exp(�"));u(4) = exp(")F (x exp(�"); Y );V (4) = �(x exp(�"); Y )(§¤¥¥áì " { ¯à®¨§¢®«ì®¥ ç¨á«®) ⮦¥ ïîâ-áï à¥è¥¨ï¬¨ ãà ¢¥¨© �à ¤â«ï. � í⮬ «¥£-ª® ã¡¥¤¨âìáï ¥¯®á।á⢥®© ¯®¤áâ ®¢ª®© ¢ë-à ¦¥¨ï (3) ¢ (1). �«¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® «î-¡ë¥ «¨¥©ë¥ ª®¬¡¨ 樨 ¢¥ªâ®àëå ¯®«¥© (2)â ª¦¥ ¡ã¤ãâ ¯®à®¦¤ âì £à㯯ë ᨬ¬¥â਩ ãà ¢-¥¨© (1). �¤ ª® áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ¯®ï⨥4 �. �. �¢à ¬¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 2. �. 3 { 11ª ª ®¯â¨¬ «ì ï á¨á⥬ ¨¢ ਠâëå ®â®á¨-â¥«ì® s-¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å £à㯯 à¥è¥¨© á¨áâ¥-¬ë ¤¨ääà¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ª®â®à ï ¯à¥¤-áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¡®à à¥è¥¨© F (xi). �â á¨-á⥬ ®¡« ¤ ¥â ⥬ ᢮©á⢮¬, çâ® ¥á«¨ F �(xi) {«î¡®¥ ¤à㣮¥ à¥è¥¨¥, ¨¢ ਠ⮥ ®â®á¨â¥«ì-® s-¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© £à㯯ë ᨬ¬¥âਨ, â® áã-é¥áâ¢ã¥â â ª ï ᨬ¬¥âà¨ï á¨â¥¬ë, ª®â®à ï ®â®-¡à ¦ ¥â F � ¢ F ¨§ ᯨ᪠®¯â¨¬ «ì®© á¨á⥬ë.�«ï ⮣®, çâ®¡ë ¯®«ãç¨âì ®¯â¨¬ «ìãî á¨á⥬ãà¥è¥¨©, ¥®¡å®¤¨¬® ¯®áâநâì ®¯â¨¬ «ìãî á¨-á⥬㠢¥ªâ®àëå ¯®«¥©. � í⮩ 楫ìî ᮧ¤ ¥â-áï â ¡«¨æ â ª §ë¢ ¥¬ëå ¯à¨á®¥¤¨¥ëå ¯à¥¤-áâ ¢«¥¨©. �à¨á®¥¤¨¥®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¯®«ï v®â®á¨â¥«ì® w ®¯à¥¤¥«ï¥âáï «¨¡® ¨â¥£à¨à®¢ -¨¥¬ á¨áâ¥¬ë ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëåãà ¢¥¨©dw=d" = adv jw= [w; v]; w(0) = w0;(§¤¥áì [w; v] ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª®¬¬ãâ â®à ¨«¨áª®¡ªã �¨) c à¥è¥¨¥¬w(") = Ad(exp("v))w0;«¨¡® á㬬¨à®¢ ¨¥¬ à冷¢ �¨:Ad(exp("v))w0 = 1Xn=0 "n=n!(adv)n(w0) == w0 � "[v; w0] + "2=2[v; [v; w0]]� : : :� ¯®¬®éìî 㪠§ ëå ®¯¥à 権 áâந¬ â ¡«¨æã¯à¨á®¥¤¨¥ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ¤«ï «£¥¡àë (2):Ad q1 q2 q3 q4q1 q1 q2 q3 � "q1 q4q2 q1 q2 q3 q4 � "q2q3 q1 exp(") q2 q3 q4q4 q1 q2 exp(") q3 q4� ¤ ®© â ¡«¨æ¥ (i; j)-®¬ ¬¥á⥠㪠§ ®Ad(exp("qi))qj. � ᮮ⢥âá⢨¨ á ४®¬¥¤ æ¨ï¬¨[8] ¤«ï ®âë᪠¨ï ®¯â¨¬ «ì®© á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à-ëå ¯®«¥© ¯®áâ㯠¥¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. �¥à¥¬á㬬 ஥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯®«¥q� = aq1 + bq2 + kq3 + gq4 (4)¨ á ç « ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® g 6= 0. � áâï㢢¥ªâ®à (4), ¬®¦® áç¨â âì g = 1. �¥¯¥àì ¡ã-¤¥¬ ¢®§¤¥©á⢮¢ âì ¢¥ªâ®à (4) ¯à¥®¡à §®¢ ¨-ﬨ ¨§ â ¡«¨æë ¯à¨á®¥¤¨¥ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥¨©.�®®ç¥à¥¤®¥ ¢®§¤¥©á⢨¥ ¢á¥¬¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï-¬¨ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¢¥ªâ®à (4)ã¯à®é ¥âáï ¤® ¢¨¤ q0 = kq3 + q4:
� á«¥¤ãî饬 è £¥ ¬ë ¯®« £ ¥¬, çâ® g = 0, k = 1 ¢ ¢ëà ¦¥¨¥ (4) ¨ ¯®¢â®à塞 ¯à®æ¥¤ã-àã ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¯à¨á®¥¤¨¥ë¬¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï-¬¨ ¤® ¬ ªá¨¬ «ì®£® ã¯à®é¥¨ï ¢¥ªâ®à (4). �१ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬ q00 = bq2 + q3:�த®«¦ ï ¤ «ì¥©è¨¥ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¢ ⮬ ¦¥ª«îç¥, 室¨¬ ®¯â¨¬ «ìã á¨á⥬㠢¥ªâ®àë寮«¥©: q1;aq1 + bq2bq2 + kq3;kq3 + gq4:�âáî¤ ¯®«ãç ¥¬ ®¯â¨¬ «ìãî á¨á⥬ã à¥è¥¨©ãà ¢¥¨© �à ¤â«ï (1):u(1) = F (x; Y � ");V (1) = �(x; Y � ");u(2) = F (x� b"; Y � a");V (2) = �(x� b"; Y � a"); (5)u(3) = exp(�2k")F (x� b"; Y exp(�k"));V (3) = exp(�k")�(x � b"; Y exp(�"));u(4) = exp((g � 2k)")F (x exp(�g"); Y exp(�k"));V (4) = exp(�k")�(x exp(�g"); Y exp(�k"));£¤¥ a; b; k; g { ¯à®¨§¢®«ìë¥ ¯®áâ®ïë¥. �¥¯¥à쯮áâந¬ à¥è¥¨¥, ¯®à®¦¤ ¥¬®¥ ¯®«ë¬ ¢¥ªâ®à-ë¬ ¯®«¥¬ (4). �®á«¥ ¯à®¬¥¦ãâ®çëå ®¯¥à 権,®¯¨á ëå ¢ëè¥, ¨¬¥¥¬:u� = exp((g � 2k)")F ((b=g + x) exp(�g")��b=g; (a=k+ Y ) exp(�k") � a=k); (6)V � = exp(�k")(((b=g + x) exp(�g")��b=g; (a=k+ Y ) exp(�k") � a=k):�¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® à¥è¥¨ï (5) ¨ (6) ¤¥©á⢨-â¥«ì® ï¢«ïîâáï à¥è¥¨ï¬¨ ãà ¢¥¨© �à ¤â«ï�. �. �¢à ¬¥ª® 5
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 2. �. 3 { 11(1). �¥ªâ®àë¥ ¯®«ï, ª®â®àë¥ ¯®à®¦¤ îâ £à㯯ë�¨, ®¡« ¤ îâ ⥬ § ¬¥ç ⥫ìë¬ á¢®©á⢮¬, çâ® ¨å ®á®¢¥ ¬®¦® áâநâì ¢â®¬®¤¥«ìë¥ ¯¥à¥-¬¥ë¥ ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨¢®¤¨âì ãà ¢¥¨ï ¢ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ª ®¡ëª®¢¥ë¬ ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ìë¬ ãà ¢¥¨ï¬. � áᬮâਬ, ª ª¨¥ ¢â®-¬®¤¥«ìë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ®á®¢¥¯®«®£® ¢¥ªâ®à®£® ¯®«ï (4). �«ï í⮣® ¯¥à¥¯¨-襬 ¥£® ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:q� = (a+ kY )@Y + (b + gx)@x++(g � 2k)u@u � kV @V : (7)������������� ������¢â®¬®¤¥«ìë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª¨¢ ਠâë ¢¥ªâ®à®£® ¯®«ï, â.¥. ª ª à¥è¥¨ï®¤®à®¤ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¢ ç áâ-ëå ¯à®¨§¢®¤ëå ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¯®à®¦¤¥ë寮«¥¬ (7). �«ï ¥§ ¢¨á¨¬®© ¢â®¬®¤¥«ì®© ¯¥à¥-¬¥®© ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãî饥 ãà ¢¥¨¥:(a+ kY )@�=@Y + (b+ gx)@�=@x = 0;ª®â®à®¥ à¥è ¥¬, ¨á¯®«ì§ãï ¬¥â®¤ å à ªâ¥à¨á⨪[9]. � १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬� = C(a+ kY )g=(b+ gx)k;£¤¥ C { ¯à®¨§¢®«ì ï ¯®áâ®ï ï. �ਠ宦¤¥-¨¨ ¢¨¤ ¢â®¬®¤¥«ìëå ¨áª®¬ëå äãªæ¨© ¥®¡å®-¤¨¬® § ¤ âìáï ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®©. � -ç «¥ ¢ë¡¥à¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ â ª®¢®© x. �®£¤ ®¯à¥¤¥-«ïî騥 ãà ¢¥¨ï ¤«ï u ¨ V ¨¬¥îâ ¢¨¤(g � 2k)u@f 0(�)=@u + (b+ gx)@f 0(�)=@x = 0;�kV @!(�)=@V + (b+ gx)@!(�)=@x = 0;£¤¥ èâà¨å ®¡®§ ç ¥â ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® �.� ª ç¥á⢥ ¨áª®¬®© äãªæ¨¨ ¤«ï u ¢ë¡à ¯à®-¨§¢®¤ ï ¤«ï 㤮¡á⢠¢ ¤ «ì¥©è¨å ¯à¥®¡à §®¢ -¨ïå. �¥è¥¨¥ íâ¨å ãà ¢¥¨©:u = f 0(�)(b + gx)1�2k=g=m;V = !(�)=(b + gx)k=g;£¤¥ m { ¯à®¨§¢®«ì ï ª®áâ â . �ᯮ«ì§ãï ãà ¢-¥¨¥ ¥à §à뢮á⨠(1), ©¤¥¬ á¢ï§ì ¬¥¦¤ãf 0(�) ¨ !(�), ª®â®à ï ¢ë£«ï¤¨â á«¥¤ãî騬 ®¡à -§®¬: !(�) = C�1=g[f 0(�)�1=g++(k � g)=(kg) �Z0 f 0(�)�1=g�1d�]=m:
C«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ®à¬ «ì®© ª®¬¯®-¥âë ᪮à®á⨠¨¬¥¥â ¢¨¤V = C�1=g(b+ gx)�k=g[f 0(�)�1=g++(k � g)=(kg) �Z0 f 0(�)�1=g�1d�]=m:�®¤áâ ¢¨¬ u ¨ V ¢ ¯¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ (1). �®£¤ ¯®«ã稬(g � 2k)f 02 + (k � g)f 00�1�1=g �Z0 f 0�1=g�1d� == m(kg)2C2=g�2�2=gf 000++mk2g(g � 1)C2=g�1�1=gf 00: (8)�â® ãà ¢¥¨¥ ¬®¦® §¢ âì ®¡®¡é¥ë¬ãà ¢¥¨¥¬ �« §¨ãá . �® ¨¬¥¥â ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥æ¨ «ìãî ä®à¬ã. �¤ ª® ¥£® ¬®¦® ᤥ-« âì ç¨áâ® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬, ¥á«¨ ¢ë¤¥«¨âì ¨-â¥£à «, ª®â®àë© á⮨⠢ «¥¢®© ç áâ¨, ¨ § ⥬ ®¤¨à § ¯à®¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ âì. � १ã«ìâ ⥠¯®«ã稬¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¥ ãà ¢¥¨¥ ç¥â¢¥à⮣® ¯®à浪 .� § ¤ ç å ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ®¡ëç® ¯à¨¨¬ ¥âáïg = 1. � í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (8) áãé¥á⢥-® ã¯à®é ¥âáï (§¤¥áì ¯à¨¨¬ ¥âáï, ª ª ®¡ë箢 § ¤ ç å £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï,f(0) = 0):(1� 2k)f 02 + (k � 1)f 00f = m(kC)2f 000:�஬¥ ⮣®, â ª¦¥ ®¡ëç® ¯à¨¨¬ ¥âáï, çâ® a == b = 0. �®£¤ ®¡ê¥¤¨¨¢ k ¨ � ¢ ®¢ãî ª®áâ -âã ��, ¯¥à¥¯¨è¥¬ ¯à¥¤ë¤ã饥 ãà ¢¥¨¥ ¢ á«¥¤ã-î饩 ä®à¬¥:(1� 2k)f 02 + (k � 1)f 00f = mC�2f 000: (9)�§ ãà ¢¥¨ï (9) á«¥¤ãî⠢ᥢ®§¬®¦ë¥ ¢ ਠ-âë ¨áá«¥¤®¢ ëå à ¥¥ ¢¨¤®¢ â¥ç¥¨ï ⨯ "¯®-£à ¨çë© á«®©". �᫨ ¯®«®¦¨âì k = 1=2, m = 1,C� = 1, â® ãà ¢¥¨¥ (9) ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ ãà ¢-¥¨¥ �« §¨ãá , ®¯¨áë¢ î饥 ¯à®æ¥ááë â¥ç¥¨ï¢ ¯®£à ¨ç®¬ á«®¥ ®ª®«® «®áª®© ¯« áâ¨ë ¨ £à ¨æ¥ à §¤¥« ¤¢ãå ¯®â®ª®¢ [1]:f 00f + 2f 000 = 0: (9 )�᫨ ¯®«®¦¨âì �� = (2)�0;5 ¯à¨ ¥¨§¬¥ëå § -票ïå ®áâ ¢è¨åáï ¤¢ãå ¯ à ¬¥â஢, â® ª®íää¨-樥â 2 ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 ãà ¢¥¨¨ ¨á祧¥â. �à¨k = 2=3, m = 3 ¨ �� = 1=3 ¬ë ¯¥à¥å®¤¨¬ ª ãà ¢¥-¨î, ª®â®à®¥ ®¯¨áë¢ ¥â â¥ç¥¨¥ ¢ ¯«®áª®© § ⮯-«¥®© áâà㥠[1]:f 02 + f 00f + f 000 = 0:6 �. �. �¢à ¬¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 2. �. 3 { 11�᫨ ¯à¨ ⮬ ¦¥ § 票¨ k ¯à¨ïâì m = C� = 1,â® ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥f 02 + f 00f + 3f 000 = 0:�â® ãà ¢¥¨¥ ¡ë«® ¨á¯®«ì§®¢ ® ¤«ï ®¯¨á ¨ï⮩ ¦¥ áâà㨠¢ à ¡®â¥ [2]. �à ¢¥¨¥ (9) ¯¥à¥-室¨â ¢ ãà ¢¥¨¥ ¤«ï ¯«®cª®© ¯®«ã®£à ¨ç¥®©áâàã¨, ¥á«¨ ¯à¨ïâì k = 3=4, m = C� = 1 [2]:2f 02 + f 00f + 4f 000 = 0:�ਠk = 1 ¨§ ãà ¢¥¨ï (9) ¯®«ãç ¥¬f 02 +C�2mf 000 = 0: (10)�â® ãà ¢¥¨¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à®¨â¥£à¨à®¢ ® ¢ª®¥ç®¬ ¢¨¤¥. �«ï í⮣® ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì® á¤¥« -¥¬ ¤¢¥ § ¬¥ë. � ¯®¬®éìî ¯¥à¢®© § ¬¥ë f 0 = '¯®¨§¨¬ ¯®à冷ª ãà ¢¥¨ï (10) ¤® ¢â®à®£®, ᯮ¬®éìî ¢â®à®© '0 = p(') ('00 = pp0, £¤¥ èâà¨å®§ ç ¥â ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® ') { ¤® ¯¥à¢®£®:pp0 = �'3=(C�2m):�¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ïp = d'=d� = (C�1 � 2'3=(3C�2m))1=2;®âªã¤ d(i�=(6C�2m)1=2) = 1Z' (4'3 � C1)�1=2d';£¤¥ i { ª®¬¯«¥ªá ï ¥¤¨¨æ . �¡à 饨¥ ¨â¥£à « ¢ ¯®á«¥¤¥¬ á®®â®è¥¨¨ ¯à¨¢®¤¨â ª í««¨¯â¨ç¥-᪮© äãªæ¨¨ �¥©¥àèâà áá . � ª¨¬ ®¡à §®¬, à¥-襨¥ ãà ¢¥¨ï (10) ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ á«¥¤ã-î騬 ¢¨¤¥:f 0 = ' = �#(�=(6C�2m)1=2 + C2; h2 = 0; h3 = C1);£¤¥ #(�=(6C�2m)1=2 + C2; h2 = 0; h3 = C1) { í««¨-¯â¨ç¥áª ï äãªæ¨ï �¥©¥àèâà áá , �1 ¨ �2 { ª®-áâ âë ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï, h2 ¨ h3 { â ª §ë¢ ¥¬ë¥¨¢ ਠâë äãªæ¨¨ �¥©¥àèâà áá [10]. �ëà -¦ ï u ¨ V ç¥à¥§ f 0, ¬ë ¨¬¥¥¬u = �#(�=(6C�2m)1=2 + C2; h2 = 0; h3 = C1)=(mx);V = �#(�=(6C�2m)1=2 + C2; h2 = 0; h3 == C1)�=(C�mx):C«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬¨ ¯®«ã祮 ¢â®¬®¤¥«ì®¥ à¥-襨¥ ãà ¢¥¨© �à ¤â«ï ¯à¨ a = b = 0, g =
k = 1. �®«ãç¥ë¥ à¥è¥¨ï ᮣ« áãîâáï á à á-¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ᪮à®á⨠¢ á«¥¤¥ § ®¡â¥ª ¥¬ë¬ â¥-«®¬ ¯à¨ âãà¡ã«¥â®¬ ०¨¬¥ â¥ç¥¨ï. � ®á®¢¥íâ¨å ¯à®ä¨«¥© ¨ ¨¤ãªâ¨¢®© ⥮ਨ �. �¥©å à¤-â [1] ¯® íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¬ ¤ ë¬ ¬®¦® ¯®«ã-ç âì ¨ä®à¬ æ¨î ® âãà¡ã«¥â®© áâàãªâãॠ¯®-⮪ .�¥¯¥àì ¯®ª ¦¥¬, ª ª ¬®¦® ã¯à®áâ¨âì ãà ¢¥-¨¥ (9), ¨á¯®«ì§ãï ¥£® £à㯯ë ᨬ¬¥âਨ. � ç -« ¯®¨§¨¬ ¯®à冷ª ãà ¢¥¨ï (9), ¨á¯®«ì§ãï á«¥-¤ãîéãî § ¬¥ã: f 0 = p(f);f 00 = pp0;f 000 = pp02 + p2p00;£¤¥ èâà¨å ¢®§«¥ p ®¡®§ ç ¥â ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥¯® f . �®¤áâ ¢«ïï ¯à¨¢¥¤¥ë¥ á®®â®è¥¨ï ¢ (9),¯®«ãç ¥¬(1� 2k)p+ (k � 1)p0f = mC�2(pp00 + p02): (11)�®¦® ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® £à㯯®© ᨬ¬¥âਨ¤ ®£® ãà ¢¥¨ï ï¥âáï £à㯯 à áâ殮¨©:G : (f; p)! (f exp("); p exp(n")): (12)�«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï n ¯®¤áâ ¢¨¬ ®¡à §ë f ¨ p ¢ ¢ë-à ¦¥¨¥ (11). �§ ãá«®¢¨ï ᮪à 饨ï íªá¯®¥âë, 室¨¬, çâ® n = 2. �«¥¤®¢ ⥫ì®, ¨ä¨¨â¥§¨-¬ «ì ï ®¡à §ãîé ï ¢ë£«ï¤¨â á«¥¤ãî騬 ®¡à -§®¬: q = f@f + np@p = f@f + 2p@p:� ï ¨ä¨¨â¥§¨¬ «ìãî ®¡à §ãîéãî, ¬®¦®à¥¤ãæ¨à®¢ âì ãà ¢¥¨¥ (11) ¥áª®«ìª¨¬¨ ᯮá®-¡ ¬¨. � áᬮâਬ ¨å. �¤ ª® ¢® ¢á¥å á«ãç ïå ¬¯® ¤®¡ïâáï ¨¢ ਠâë 襩 £à㯯ë à áâ殮-¨©. �¥¯®á।áâ¢¥ë© ¨¢ ਠ⠣à㯯ë (12) z®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª à¥è¥¨¥ ®¤®à®¤®£® ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå, á®-áâ ¢«¥®£® ¯® ¨ä¨¨â¥§¨¬ «ì®© ®¡à §ãî饩q: f@f z + 2p@pz = 0:�«¥¤®¢ ⥫ì®, z = p=f2:� ¤ «ì¥©è¥¬ z ¡ã¤¥â ¨£à âì à®«ì ®¤®© ¨§ ®-¢ëå ¯¥à¥¬¥ëå. �«ï 宦¤¥¨ï ¢â®à®© ®¢®©¯¥à¥¬¥®© w ¨á¯®«ì§ã¥âáï ãá«®¢¨¥q(w) = 1;¨§ ª®â®à®£® 室¨¬w = ln f; f = exp(w); dw=df = 1=f = exp(�w):�. �. �¢à ¬¥ª® 7
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 2. �. 3 { 11�¥à¢ë© ¨§ ᯮᮡ®¢, ª®â®àë¥ ¡ã¤ãâ à áᬮâà¥ë,§ ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¢ ª ç¥á⢥ ®¢®© ¨áª®¬®©äãªæ¨¨ ¢ë¡¨à ¥âáï z, ¢ ª ç¥á⢥ ®¢®£® à£ã-¬¥â - w. �®£¤ ãà ¢¥¨¥ (11) ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤(k � 1)z0 � kz = mC�2(zz00 + 4zz0 + z02 + 2z2);£¤¥ èâà¨å ®ª®«® z ®§ ç ¥â ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥¯® w. �®«ã祮¥ ãà ¢¥¨¥ ¥ ᮤ¥à¦¨â à£ã-¬¥â ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥£® ¯®à冷ª ¬®¦¥â ¡ëâ쯮¨¦¥ á ¯®¬®éìî § ¬¥ë z0 = t(z), z00 = tt0.�ª®ç â¥«ì® ¨¬¥¥¬(k � 1)t � kz = mC�2(ztt0 + 4zt+ t2 + 2z2);£¤¥ èâà¨å ®¡®§ ç ¥â ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥ ¯® z.� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ 㤠«®áì ¯®¨§¨âì ¯®à冷ª ¨á-室®£® ãà ¢¥¨ï �« §¨ãá (9) á âà¥â쥣® ¤® ¯¥à-¢®£®. �â®à®© ᯮᮡ ã¯à®é¥¨ï ãà ¢¥¨ï (11)§ ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ®, ¨á¯®«ì§ãï ⥠¦¥ ®¢ë¥¯¥à¥¬¥ë¥, ¯®¬¥ïâì ¨å ¬¥áâ ¬¨, â.¥. ¢ ª ç¥á⢥äãªæ¨¨ ¢ë¡à âì w, ¢ ª ç¥á⢥ à£ã¬¥â { z.� í⮬ á«ãç ¥ ãà ¢¥¨¥ (11) âà áä®à¬¨àã¥âáï¢ ¢ëà ¦¥¨¥(k � 1� z)w0 = mC�2(7zw02 + 6z2w03 � zw00);£¤¥ èâà¨å ®ª®«® w ®§ ç ¥â ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥¯® z. � ®¥ ãà ¢¥¨¥ ¥ ᮤ¥à¦¨â äãªæ¨¨.�ᯮ«ì§ãï § ¬¥ã w0 = s(z), ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥¯¥à¢®£® ¯®à浪 (k � 1� z)s = mC�2(7zs2 + 6z2s3 � zs0):C«¥¤ãî騩 ¬¥â®¤, ª®â®àë© ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ { í⮬¥â®¤ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ¨¢ ਠ⮢. �ãâì ¥£®§ ª«îç ¥âáï ¢ ®âë᪠¨¨ ¨¢ ਠ⮢ ¯à®¤®«¦¥-¨ï 襣® ¯®«ï q� pr(n)q, £¤¥ ¯®à冷ª ¯à®¤®«¦¥-¨ï ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯®à浪㠨áá«¥¤ã¥¬®£® ¤¨ää¥-à¥æ¨ «ì®£® ®¯¥à â®à . � 襬 á«ãç ¥ n = 2.� ª¨¬ ®¡à §®¬, á ç « ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨¢ ਠâëá ¬®£® ¯®«ï q, § ⥬ ¥£® ¯¥à¢®£® ¯à®¤®«¦¥¨ï ¨, ª®¥æ, ¢â®à®£®. � ©¤¥¬ ¯¥à¢®¥ ¯à®¤®«¦¥¨¥ ¯®-«ï q. �® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥pr(1)q = q + 'f@=@pf = f@f + 2p@p + 'f@=@pf ;£¤¥ ª®íää¨æ¨¥â 'f = p0 = pf ®âë᪨¢ «áï ¯® § -¢¨á¨¬®á⨠[4]. �ª®ç â¥«ì® ¨¬¥¥¬pr(1)q = f@f + 2p@p + pf@=@pf :�¢ ਠâë ¯¥à¢®£® ¯à®¤®«¦¥¨ï ®¯à¥¤¥«ïîâáïâ ª ¦¥, ª ª ¨ á ¬®£® ¯®«ï. �¨ ¢ë£«ï¤ïâ á«¥¤ãî-騬 ®¡à §®¬: z = p=f2; r = p0=f:
�«ï 宦¤¥¨ï ¨¢ ਠ⮢ ¢â®à®£® ¯à®¤®«¦¥-¨ï ¥®¡ï§ â¥«ì® áâநâì ¢â®à®¥ ¯à®¤®«¦¥¨¥.�®¦® ¯®áâ㯨âì ¨ ç¥. �®£« á® à ¡®â¥ [8],¥á«¨ z ¨ r { ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ¨¢ ਠâë n-¯®à浪 , â® ¯à®¨§¢®¤ ï dr=dz ï¥âáï ¤¨ää¥-à¥æ¨ «ìë¬ ¨¢ ਠ⮬ £à㯯ë G ¯®à浪 n++1. �®«ì§ãïáì í⨬ ¯à ¢¨«®¬ ¨ ¢ëà ¦¥¨ï¬¨ ¤«ï¯¥à¢ëå ¨¢ ਠ⮢ z ¨ w, 室¨¬ ¨¢ ਠâ¢â®à®£® ¯®à浪 :r0 = drdz = dr=dfdz=df = (fp00 � p0)f(fp0 � 2p) :�ëà ¦ ï ®âáî¤ p00 ¨ ¯®¤áâ ¢«ïï ¯®«ã祮¥ á®-®â®è¥¨¥ ¢ (11), 室¨¬(1 � 2k)z + (k � 1)r = mC�2(zr0(r � 2y) + zr + r2):� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¨¬¥¥¨¥ âà¥å à §«¨çëå ¬¥-⮤®¢ ¯®§¢®«¨«® ।ãæ¨à®¢ âì ãà ¢¥¨¥ �« §¨ã-á âà¥â쥣® ¯®à浪 ª â६ à §«¨çë¬ ¯® ä®à¬¥ãà ¢¥¨ï¬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¨á¯®«ì§ãï ᢮©á⢠ᨬ¬¥âਨ ¨á室®£® ãà ¢¥¨ï. �®á¬®âਬ, ª ª¨§¬¥¨âáï ä®à¬ ¢â®¬®¤¥«ì®£® ãà ¢¥¨ï, ¥á«¨¨§¬¥¨âì ¯ à ¬¥âà¨ç¥áªãî ¯¥à¥¬¥ãî. � ¯®-¬¨¬, çâ® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥ ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à -¬¥âà¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®© ¨á¯®«ì§®¢ «áï x. �¥¯¥àì¢ ª ç¥á⢥ â ª®¢®© ¨á¯®«ì§ã¥¬ Y . �஢¥¤¥¬ ¨á-á«¥¤®¢ ¨¥ ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® a = b = 0, â ª ª ªíâ® ¯à ªâ¨ç¥áª¨ ¥ ¢«¨ï¥â ¯®«ãç¥ë¥ १ã«ì-â âë. �â ª, ¥á«¨ ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¯ -à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®© Y , â® è¨ ¨áª®¬ë¥äãªæ¨¨ ¡ã¤ã⠢룫拉âì â ª:u = f 0(�)Y g=k�2;V = !(�)=Y:�¤¥áì ¤«ï ¯à®áâ®âë ¯à¨ïâ®, çâ® m = 1. �ᯮ«ì-§ãï ãà ¢¥¨¥ ¥à §à뢮áâ¨, 室¨¬ ¢ëà ¦¥-¨¥ ¤«ï V :V = k�1=g �Z0 f 00�1=k�1=gd�=(Y gC1=k):�®¤áâ ¢¨¬ u ¨ V ¢ ãà ¢¥¨¥ (1). �®£¤ ¨¬¥¥¬�kf 0f 00�1+1=k=C1=k + k�1=g �Z0 f 00�1=k�1=gd���[f 00� + (g=k � 2)f 0]=(gC1=k) == f 000�2 + f 00[(g=k + g � 3)� + (g=k � 2)f 00�]++(g=k � 2)(g=k � 3)f 0: (13)8 �. �. �¢à ¬¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 2. �. 3 { 11�â® ãà ¢¥¨¥ â ª¦¥ ¨¬¥¥â ¨â¥£à®-¤¨ää¥à¥-æ¨ «ìãî ä®à¬ã ¨ â ª¦¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥®¡à §®-¢ ® ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®¬ã ãà ¢¥¨î ç¥â¢¥à⮣®¯®à浪 ª ª ¨ ãà ¢¥¨¥ (8). � ª ¬®¦® «¥£ª® ¢¨-¤¥âì, ãà ¢¥¨¥ (8) áâ ®¢¨âáï ç¨áâ® ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ìë¬ ¯à¨ ãá«®¢¨¨ k = g. � í⮬ á«ãç ¥ ¬ë¨¬¥¥¬��1=gf 02=C1=k = f 000�2 + f 00[(k � 2)� � f 00�] + 2f 0:�®à冷ª í⮣® ãà ¢¥¨ï ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®¨¦¥ ¤®¢â®à®£® á ¯®¬®éìî § ¬¥ë f 0 = p(�). � á«ãç ¥k = 1 ¯à¥¤ë¤ã饥 ãà ¢¥¨¥ ã¯à®é ¥âáï ¤® ¢¨¤ ��f 02=C = f 000�2 � f 00�[1 + f 00] + 2f 0; ¯à¨ k = 2 ¤® ¢¨¤ ��1=2f 02=C1=2 = f 000�2 � f 002� + 2f 0:�®á«¥¤¨¥ ¤¢ ãà ¢¥¨ï â ª¦¥ ¬®¦® ᢥá⨠ªãà ¢¥¨ï¬ ¢â®à®£® ¯®à浪 . �᫨ ¦¥ ¢ ãà ¢¥-¨¨ (13) ¯à¨ïâì 1=k � 1=g = 1, k = 1=2, g = 1,â® ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ª« áá¨ç¥áª®¬ã ãà ¢¥¨î �« -§¨ãá (9 ). � áᬮâਬ, ª ª ¨§¬¥¨âáï ¢¨¤ ¢-⮬®¤¥«ìëå ãà ¢¥¨©, ¥á«¨ ¢®§ì¬¥¬ ¤«ï ¨áª®-¬ëå äãªæ¨© à §«¨çë¥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯¥à¥-¬¥ë¥: "ªà¥áâ ªà¥áâ". � ç « ¢®§ì¬¥¬ ¤«ï u¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®© Y , ¤«ïV - x, â.¥. u = f 0(�)Y g=k�2;V = !(�)=xk=g:�¤¥áì ¯à¨ïâ®, çâ® a = b = 0 ¨ m = 1, â ª ª ª í⮥ ¢«¨ï¥â ä®à¬ã ¯®«ãç ¥¬ëå ãà ¢¥¨©. �§ãà ¢¥¨ï ¥à §à뢮á⨠室¨¬, çâ®V = kC1=g�1=k �Z0 f 00�1=k� 1=gd�=(xk=gg):�®¬®¦ ï ¨ ¤¥«ï ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ Y , ¯®«ã-ç ¥¬ â ª®¥ ¦¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï V ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã-饬 á«ãç ¥, â. ¥. ª ª ¢ á«ãç ¥, ª®£¤ ¢ ª ç¥á⢥ ¯ -à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®© ¨á¯®«ì§®¢ «áï Y . � -ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¨¤ ¢â®¬®¤¥«ì®£® ãà ¢¥¥¨ï ¡ã-¤¥â ¨¬¥âì ä®à¬ã (13), â.¥. ¥ ¡ã¤¥â ®â«¨ç âìáï ®â¯à¥¤ë¤ã饣® á«ãç ï. �᫨ ¯®áâ㯨âì ®¡®à®â,â.¥. ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®© ¤«ïu ¨á¯®«ì§®¢ âì x, ¤«ï V { Y , â® ¬ë ¯à¨¤¥¬ ª ¢-⮬®¤¥«ì®¬ã ãà ¢¥¨î ¢ ä®à¬¥ (8). �§ à áᬮ-âà¥ëå ¯à¨¬¥à®¢ ¢¨¤®, çâ® ä®à¬ ®¡ëª®¢¥-®£® ¢â®¬®¤¥«ì®£® ãà ¢¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ë-¡®à®¬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®© ¤«ï äãªæ¨¨u, ¢¨¤ ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï V , ª®â®àë© ¯®«ãç ¥âáï
¨§ ãà ¢¥¨ï ¥à §à뢮áâ¨, ¬®¦¥â ¡ëâì ᪮à-४â¨à®¢ , ¨á¯®«ì§ãï á ¬ã ¢â®¬®¤¥«ìãî ¯¥à¥-¬¥ãî. �¥à¥©¤¥¬ ª à áᬮâ२î á«¥¤ãî饣®á«ãç ï. �®«®¦¨¬ ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ á㬬 ண® ¢¥ª-â®à (7) k = b = 0. �®£¤ ®¯à¥¤¥«ïî騩 ¢¥ªâ®à¨ä¨¨â¥§¨¬ «ì®© ®¡à §ãî饩 ¡ã¤¥â ¢ë£«ï¤¥âìá«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:q = a@Y + gx@x + gu@u = aq1 + gq4:�âáî¤ å®¤¨¬, ¥á«¨ ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥-᪮© ¯¥à¬¥®© ¢ë¡¨à ¥¬ Y :� = x exp(�gY=a); u = f 0(�)�2 exp(gY=a):� ¢ëà ¦¥¨¨ ¤«ï u ¢¬¥áâ® f 0(�) ¨á¯®«ì§ã¥âáïf 0(�)�2 ¤«ï 㤮¡á⢠¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ãà ¢¥¨ï¥à §à뢮áâ¨. �â® ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¯à¨ ãá«®¢¨¨f(0) = 0 ¤ ¥âV = a=g(f 0(�)� + f(�)):� ª ¢¨¤¨¬, á®áâ ¢«ïîé ï ᪮à®á⨠V ¥ § ¢¨á¨â®â ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®©. �⮣® ¨ á«¥¤®-¢ «® ®¦¨¤ âì, â ª ª ª ® ¥ ¢å®¤¨â ¢ ®¯à¥¤¥«ïî-騩 ¢¥ªâ®à. �®¤áâ ®¢ª á®®â®è¥¨© ¤«ï u ¨ V¢ ãà ¢¥¨¥ (1) ¯à¨¢®¤¨â ª ¢ëà ¦¥¨î�f 02 � ff 00� � ff 0 = (g=a)2(f 000�2 + 3f 00� + f 0):�᫨ ¦¥ ¢ ª ç¥á⢥ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ª®®à¤¨ âë¢ë¡à âì x, â® ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï u 㤮¡® § ¯¨á âì ¢¢¨¤¥ u = f 0(�)�x:�ਠí⮬ ¢¨¤ ¢â®à®© á®áâ ¢«ïî饩 ᪮à®á⨠¥¨§¬¥¨âáï, ª ª ¨ ä®à¬ ¢â®¬®¤¥«ì®£® ¤¨ää¥-à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï. �. ¥. ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥¬®¦® ᤥ« âì ¢ë¢®¤, çâ® ä®à¬ ¢â®¬®¤¥«ì®£®ãà ¢¥¨ï ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®©¯¥à¥¬¥®©. �«¥¤ãî騩 á«ãç ©: a = g = 0. �¯à¥-¤¥«ïî騩 ¢¥ªâ®à ¢ë£«ï¤¨â á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:q = kY @Y + b@x � 2ku@u � kV @V = bq2 + kq3:�¢â®¬®¤¥«ì ï ¯¥à¥¬¥ ï ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥â� = Y exp(�kx=b):�¨¤ ¦¥ ¨áª®¬ëå äãªæ¨© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¢ë¡®à®¬¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®©. �᫨ ¢ ª ç¥á⢥ â -ª®¢®© ¢§ïâì x, â®u = f 0(�) exp(�2kx=b);V = (k=b)(f 0(�)� + f(�)) exp(�kx=b):�. �. �¢à ¬¥ª® 9
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 2. �. 3 { 11�«ï ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®© Yu = f 0(�)�=Y 2;V = (k=b)(f 0(�)� + f(�))=Y:� ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥, ¢¨¤ ®¡ëª®¢¥®£® ¢â®¬®¤¥«ì®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ¥§ ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®©¨ ¨¬¥¥â ¢¨¤ �2f 02 + f 00f = (b=k)f 000:�â® ãà ¢¥¨¥ á â®ç®áâìî ¤® ¯®áâ®ïëå ª®íä-ä¨æ¨¥â®¢ ᮢ¯ ¤ ¥â á ãà ¢¥¨¥¬ (9) ¨, á«¥¤®¢ -⥫ì®, ¬®¦¥â ¡ëâì ।ãæ¨à®¢ ® ¤® ãà ¢¥¨ï¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¨á¯®«ì§ãï ᯮᮡë, ®¯¨á 륢ëè¥. �®á«¥¤¨© á«ãç ©, ª®â®àë© ¬ë à áᬮâਬ{ íâ® á«ãç ©, ª®£¤ k = g = 0, â.¥.q = a@Y + b@x = aq1 + bq2:� ª ¢¨¤®, ¨ä¨¨â¥§¨¬ «ì ï ®¡à §ãîé ï ¥ á®-¤¥à¦¨â ¨áª®¬ëå äãªæ¨© ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, íâ¨äãªæ¨¨ ¥ § ¢¨áï⠮⠯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨å ¯¥à¥¬¥-ëå. �¢â®¬®¤¥«ìë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¨¬¥îâ ¢¨¤� = bY � ax;u = f 0(�);V = (a=b)(f 0(�)� f 0(0)):� ãç¥â®¬ ¯à¨¢¥¤¥ëå á®®â®è¥¨© ¨§ (1) ¯®«ã-ç ¥¬ �af 00f 0(0) = b3f 000:�⥣à¨à®¢ ¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï ¤ ¥âf = C1b6 exp(�f 0(0)a�=b3)=(a2f 0(0)2) + C2� + C3;£¤¥ C1, C2, C3 { ª®áâ âë ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. � áâ-ë© á«ãç © ¨áá«¥¤ã¥¬®£® ãà ¢¥¨ï ¨¬¥¥â ¬¥á⮯ਠãá«®¢¨¨ f 0(0) = 0, ª®â®à®¥ ç áâ® ¢ë¯®«ï¥âáï¢ § ¤ ç å £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï.�®£¤ f 000 = 0;â ª çâ® f = C1�2=2 + C3:� ¤ ®¬ á«ãç ¥ ª®áâ ⠨⥣à¨à®¢ ¨ï �2,ª®â®à ï ï¥âáï ª®íää¨æ¨¥â®¬ ®ª®«® «¨¥©®£®ç«¥ �, ¤®«¦ ¡ëâì à ¢ ã«î, çâ®¡ë ¢ë¯®«-ï«®áì ãá«®¢¨¥ f 0(0). � ª¨¬ ®¡à §®¬, è¥ ¢â®-¬®¤¥«ì®¥ à¥è¥¨¥ ¯à¨ f 0(0) 6= 0 ¢ë£«ï¤¨â â ª:u = f 0 = C1b3 exp(�f 0(0)a�=b3)=(af 0(0)) +C2;V = (a=b)(C1b3 exp(�f 0(0)a�=b3)=(af 0(0))+C2�f 0(0)):
�ਠf 0(0) = 0 ¨¬¥¥¬ u = C1�V = (a=b)C1�:�᫨ ¢ íªá¯®¥æ¨ «ì®¬ à á¯à¥¤¥«¥¨¨ ᪮à®á⨯®«®¦¨âì a, b � i (ª®¬¯«¥ªá ï ¥¤¨¨æ ), ¬ë ¯®-«ã稬 à¥è¥¨¥ ¢ ¢¨¤¥ ¤¢ã¬¥à®© ¡¥£ã饩 ¢®«ë.� ª®¥ à¥è¥¨¥ 㤮¡® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ ¨áá«¥¤®-¢ ¨¨ « ¬¨ à®-âãà¡ã«¥â®£® ¯¥à¥å®¤ . � ®¥à¥è¥¨¥ ¯®¬¨ ¥â ª« áá¨ç¥áª¨¥ ¢®«ë ¯¥à¥å®¤ �®««¬¨ -�«¨å⨣ , ®¤ ª® ¢ ®â«¨ç¨¨ ®â ¨å,®á¨â ¤¢ã¬¥àë© å à ªâ¥à [11]. �â® ¯®§¢®«ï¥â¨§ãç âì ¡®«¥¥ á«®¦ë¥ ¥¨ï ¯¥à¥å®¤ .�¨á⥬ ⨧¨à®¢ ë¥ ¯®«ãç¥ë¥ १ã«ìâ âëᢥ¤¥ë ¢ â ¡«¨æã.� § ª«î票¥ ¯®ª ¦¥¬ ª ª ¬®¦® § ¬¥¨âì ®¤-®¯ à ¬¥âà¨ç¥áªãî «£¥¡àã �¨ (2), á®áâ®ïéãî ¨§ç¥âëà¥å ¯®¤ «£¥¡à, «£¥¡àã ᮤ¥à¦ éãî ®¤ã¤¢ãå¯ à ¬¥âà¨ç¥áªãî ¨ ¤¢¥ ®¤®¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥¯®¤ «£¥¡àë. �«ï í⮣® ¯¥à¥¯¨è¥¬ âà¥âì¥ ¨ ç¥-⢥à⮥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ (3) ¢ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥:u = exp(�A")F (x exp(�B"); Y exp(�D"));V = exp(�H")�(x exp(�B"); Y exp(�D")):�â®¡ë ©â¨ á¢ï§ì ¬¥¦¤ã ¢®¢ì ¢¢¥¤¥ë¬¨ ª®-íää¨æ¨¥â ¬¨, ¯®¤áâ ¢¨¬ ¯à¨¢¥¤¥ë¥ á®®â®è¥-¨ï ¢ ãà ¢¥¨ï (1). � १ã«ìâ ⥠¨¬¥¥¬ á«¥¤ãî-騥 ãá«®¢¨ï: A+ B = H +D = 2D;A+ B = H +D:�âáî¤ å®¤¨¬H = D;B = 2D �A:� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤¢ãå¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¢ëà ¦¥¨ïu = exp(�A")F (x exp((2D � A)"); Y exp(�D"));V = exp(�D")�(x exp((2D �A)"); Y exp(�D"))ïîâáï à¥è¥¨¥¬ ãà ¢¥¨© �à ¤â«ï ¯à¨ ¯à®-¨§¢®«ìëå A ¨ D. �㬬 àë© ¢¥ªâ®à ¯à¨ í⮬¯à¨®¡à¥â ¥â ¢¨¤q� = (a+c(2D�A)x)@x+g(b+DY )@Y�Au@u�DV @V :� ¯®à®¦¤ ¥â á«¥¤ãî饥 à¥è¥¨¥:u = exp(�A")F (((a+c(2D�A)x) exp(�c(2D�A)")��a)=(c(2D � a)); ((b+DY ) exp(�gD") � b)=D);V = exp(�D")((((a+c(2D�A)x) exp(�c(2D�A)")��a)=(c(2D � a)); ((b+DY ) exp(�gD") � b)=D):10 �. �. �¢à ¬¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 1999. �®¬ 1 (73), N 2. �. 3 { 11�¥ªâ®à �¢â®¬®¤¥«ì- � à ¬¥- �á«®¢¨ï ï ¯¥à¥- âà¨ç¥- áãé¥á⢮-¬¥ ï � ᪠ï u V ¢ ¨ï¯¥à¥- â®ç®£®¬¥ ï à¥è¥¨ïq� C (a+kY )g(b+gx)k x f 0(�)(b+ !(�)=(b+ g=1:+gx)1�k=g=m +gx)k=g k=2/3,k=3/4,k=1kq3 + gq4 C(kY )g=(gx)k x f 0(�)(b+ !(�)=(gx)k=g g=1:+gx)1�k=g k=2/3,k=3/4,k=1â®â ¦¥ âa ¦¥ Y f 0(�)Y g=k�2 !(�)=Yaq1 + gq4 � = x exp(�gY=a) Y f20� exp(gY=a) a=g(f 0� + f)â®â ¦¥ âa ¦¥ x f 0(�)�x âa ¦¥bq2 + kq3 Y exp(�kx=b) x f 0(�) exp(�2kx=b) (k=b)(f 0� + f)�� exp(�kx=b)â®â ¦¥ â ¦¥ Y f 0(�)�=Y 2 (k=b)(f 0� + f)=Yaq1 + bq2 � = bY � ax f 0(�) (a=b)(f 0(�)� ¤«ï «î-�f 0(0)) ¡ëå a,b�������®¤¢®¤ï ¨â®£¨ ¯à®¢¥¤¥ëå ¨áá«¥¤®¢ ¨©, ¬®¦-® ᤥ« âì á«¥¤ãî騥 ¢ë¢®¤ë:1. � ®á®¢¥ £à㯯 �¨ ãà ¢¥¨© �à ¤â«ï¯®«ãç¥ë à §«¨çë¥ ä®à¬ë ¢â®¬®¤¥«ìëå ¯¥-६¥ëå, ¨áª®¬ëå äãªæ¨© ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì-ëå ãà ¢¥¨©, ¢ ⮬ ç¨á«¥ ®¡®¡é¥®¥ ãà ¢¥¨¥�« §¨ãá .2. �®ª § ®, çâ® ä®à¬ ®¡ëª®¢¥®£® ¢â®¬®-¤¥«ì®£® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì®£® ãà ¢¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï-¥âáï ¢ë¡®à®¬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®© ¯¥à¥¬¥®©.3. �ᯮ«ì§ãï ᢮©á⢠ᨬ¬¥âਨ, ®¡®¡é¥®¥ãà ¢¥¨¥ �« §¨ãá ।ãæ¨à®¢ ® ¤® ¯¥à¢®£® ¯®-à浪 .4. �®«ãç¥ë ¤¢ ®¢ëå â®çëå ¢â®¬®¤¥«ìëåà¥è¥¨ï ãà ¢¥¨© �à ¤â«ï.5. �®ª § ® ª ª ¬®¦® âà áä®à¬¨à®¢ âì ®¤-®¯ à ¬¥âà¨ç¥áªãî «£¥¡àã �¨ ãà ¢¥¨© �à ¤-â«ï, á®áâ®ïéãî ¨§ ç¥âëà¥å ¯®¤ «£¥¡à, ¢ «£¥¡àãá âà¥¬ï ¯®¤ «£¥¡à ¬¨, ®¤ ¨§ ª®â®àëå ï¥âá濫ãå¯ à ¬¥âà¨ç¥áª®©.
1. �«¨å⨣ �. �¥®à¨ï ¯®£à ¨ç®£® á«®ï.{ �.: � ã-ª , 1974.{ 712 á.2. �®©æï᪨© �.�. �¥å ¨ª ¦¨¤ª®á⨠¨ £ § .{ �.:� 㪠, 1978.{ 736 á.3. � ¢«®¢áª¨© �.�. �áá«¥¤®¢ ¨ï ¥ª®â®àëå ¨¢ à¨- âëå à¥è¥¨© ãà ¢¥¨© ¯®£à ¨ç®£® á«®ï //�ãà « ¢ëç. ¬ ⥬ ⨪¨ ¨ ¬ â. 䨧¨ª¨.{ 1961.{1, N 2.{ �. 280{294.4. �¢á飯®¢ �.�. �à㯯®¢®¥ à áá«®¥¨¥ ãà ¢¥¨©¯®£à ¨ç®£® á«®ï // �¨ ¬¨ª ᯫ®è®© á।ë.{1969.{ �ë¯. 1.{ �. 24{35.5. �¢á飯®¢ �.�. �à㯯®¢®© «¨§ ¤¨ää¥à¥æ¨- «ìëå ãà ¢¥¨©.{ �.: � 㪠, 1978.{ 400 á.6. � ª¥à®¢¨ç �.�. �à㯯®¢ë¥ ᢮©á⢠ãà ¢¥¨©âà¥å¬¥à®£® ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¯à®¨§¢®«ì®©¯®¢¥àå®á⨠// �¨ ¬¨ª ᯫ®è®© á।ë.{ 1971.{�ë¯. 7.{ �. 12{24.7. �£ã¥ �.�. �¡ ãà ¢¥¨ïå ¯®£à ¨ç®£® á«®ï ¦¨¤-ª®áâ¨ á ¬®¬¥â묨 ¯à殮¨ï¬¨ // �ਪ«. ¬ â.¨ ¬¥å.{ 1968.{ 32, N 4.{ �. 748{753.8. �«¢¥à �. �ਫ®¦¥¨¥ £à㯯 �¨ ª ¨áá«¥¤®¢ ¨î¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©.{ �.: �¨à, 1989.{639 á.9. � ¬ª¥ �. �¯à ¢®ç¨ª ¯® ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ ãà ¢-¥¨ï¬ ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ¯¥à¢®£® ¯®à浪 .{�.: � 㪠, 1966.{ 260 á.10. �¯à ¢®ç¨ª ¯® á¯¥æ¨ «ìë¬ äããæ¨ï¬/ �®¤ à¥-¤ ªæ¨¥© �. �¡à ¬®¢¨æ ¨ �. �⨣ .{ �.: � 㪠,1979.{ 832 á.11. �¨£ã«¥¢ �.�., �㬨 �.�. �®§¨ª®¢¥-¨¥ âãà¡ã«¥â®áâ¨.{ �®¢®á¨¡¨àáª: � 㪠, 1987.{282 á.�. �. �¢à ¬¥ª® 11
|