Локально ступінчасті групи з нормальними неметациклічними підгрупами
Установлена разрешимость локально ступенчатых групп с нормальными неметациклическими подгруппами и отмечено, что ступень разрешимости не превышает числа 4.
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5512 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Локально ступінчасті групи з нормальними неметациклічними підгрупами / В.І. Коваленко // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 133-135. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-5512 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-55122025-02-09T23:29:08Z Локально ступінчасті групи з нормальними неметациклічними підгрупами Коваленко, В.І. Установлена разрешимость локально ступенчатых групп с нормальными неметациклическими подгруппами и отмечено, что ступень разрешимости не превышает числа 4. The solvability of locally graded groups with normal nonmetacyclic subgroups is proved. It is known that the degree of solvability does not exceed the number 4. 2007 Article Локально ступінчасті групи з нормальними неметациклічними підгрупами / В.І. Коваленко // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 133-135. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. 1027-3190 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5512 512.54 uk application/pdf Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Установлена разрешимость локально ступенчатых групп с нормальными неметациклическими подгруппами и отмечено, что ступень разрешимости не превышает числа 4. |
| format |
Article |
| author |
Коваленко, В.І. |
| spellingShingle |
Коваленко, В.І. Локально ступінчасті групи з нормальними неметациклічними підгрупами |
| author_facet |
Коваленко, В.І. |
| author_sort |
Коваленко, В.І. |
| title |
Локально ступінчасті групи з нормальними неметациклічними підгрупами |
| title_short |
Локально ступінчасті групи з нормальними неметациклічними підгрупами |
| title_full |
Локально ступінчасті групи з нормальними неметациклічними підгрупами |
| title_fullStr |
Локально ступінчасті групи з нормальними неметациклічними підгрупами |
| title_full_unstemmed |
Локально ступінчасті групи з нормальними неметациклічними підгрупами |
| title_sort |
локально ступінчасті групи з нормальними неметациклічними підгрупами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/5512 |
| citation_txt |
Локально ступінчасті групи з нормальними неметациклічними підгрупами / В.І. Коваленко // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 133-135. — Бібліогр.: 12 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT kovalenkoví lokalʹnostupínčastígrupiznormalʹniminemetaciklíčnimipídgrupami |
| first_indexed |
2025-12-01T18:58:30Z |
| last_indexed |
2025-12-01T18:58:30Z |
| _version_ |
1850333475211575296 |
| fulltext |
K�O�R�O�T�K�I���P�O�V�I�D�O�M�L�E�N�N�Q
UDK 512.54
V. I. Kovalenko (Çernihiv. ped. un-t)
LOKAL|NO STUPINÇASTI HRUPY Z NORMAL|NYMY
NEMETACYKLIÇNYMY PIDHRUPAMY
The solvability of locally graded groups with normal nonmetacyclic subgroups is proved. It is known
that the degree of solvability does not exceed the number 4.
Ustanovlena razreßymost\ lokal\no stupençat¥x hrupp s normal\n¥my nemetacyklyçeskymy
podhruppamy y otmeçeno, çto stupen\ razreßymosty ne prev¥ßaet çysla 4.
U robotax [1 – 3] vyvçalys\ skinçenni hrupy z normal\nymy nemetacykliçnymy
pidhrupamy. U danij statti vyvçagt\sq lokal\no stupinçasti hrupy, u qkyx
koΩna nemetacykliçna pidhrupa [ normal\nog. Umova normal\nosti nemetacyk-
liçnyx pidhrup [ odnym iz pryrodnyx uzahal\nen\ umovy normal\nosti vsix
pidhrup, wo pryvodyt\ do dedekindovyx hrup. Umova lokal\no] stupinçastosti
— odna z najbil\ß slabkyx umov skinçennosti v zahal\nij teori] hrup. Klas
lokal\no stupinçastyx hrup dostatn\o ßyrokyj i mistyt\ lokal\no skinçenni
hrupy, lokal\no rozv’qzni hrupy, klasy hrup Kuroßa – Çernikova ta in.
Osnovnym rezul\tatom statti [ teorema, v qkij vstanovlg[t\sq rozv’qznist\
lokal\no stupinçastyx hrup iz normal\nymy nemetacykliçnymy pidhrupamy i
zaznaça[t\sq, wo stupin\ rozv’qznosti takyx hrup ne perevywu[ çysla 4. Dlq
dovedennq dano] teoremy vykorystano rezul\tat avtora pro te, wo neskinçenna
lokal\no stupinçasta hrupa z vlasnymy metacykliçnymy pidhrupamy [ abo me-
tacykliçnog, abo kvazicykliçnog hrupog (u podal\ßomu — teorema 1) [4, s. 54;
5]. Teorema 1 ma[ i samostijne znaçennq.
Oznaçennq 1 [6, s. 236]. Hrupu G budemo nazyvaty lokal\no stupinças-
tog, qkwo bud\-qka ]] neodynyçna skinçennoporodΩena pidhrupa ma[ vlasnu pid-
hrupu skinçennoho indeksu.
Oznaçennq 2. Nemetacykliçnu hrupu G iz metacykliçnymy vlasnymy pid-
hrupamy nazyva[mo minimal\nog nemetacykliçnog hrupog.
Teorema 1. Lokal\no stupinçasti hrupy G z normal\nymy nemetacykliç-
nymy pidhrupamy rozv’qzni, pryçomu stupin\ rozv’qznosti ne perevywu[ çysla ço-
tyry. Nil\potentni hrupy takoho rodu magt\ skinçennyj komutant.
Dovedennq. TverdΩennq teoremy [ oçevydnym, qkwo G — abeleva hrupa.
Tomu v podal\ßomu budemo vvaΩaty, wo G — neabeleva hrupa. Nexaj M — pe-
retyn usix nemetacykliçnyx pidhrup X iz G. Za lemog 2 [1] X normal\na v G,
G / M — dedekindova hrupa, vsi vlasni pidhrupy iz M — metacykliçni. Oçevydno,
wo komutant G / M — elementarna abeleva 2-hrupa. Z c\oho vyplyva[, wo G′′ ≤
≤ M, otΩe, G′′′ ≤ M ′, G(
iv
) ≤ M ′′.
Qkwo M ′′ = 1, to G(
iv
) = 1. Qkwo M ′′ ≠ 1, to M moΩe buty lyße skinçen-
nog minimal\nog nemetacykliçnog hrupog (za teoremog 1). Z opysu nil\po-
tentnyx minimal\nyx nemetacykliçnyx hrup roboty [7] vyplyva[, wo M — hrupa
typu 7 teoremy 2.5.2 [8]. Tomu M = P l Q, P — hrupa kvaternioniv, Q — nenor-
mal\na cykliçna sylovs\ka 3-pidhrupa v M, [ P, Q ] = P, P normal\na v G. Za
lemog Fratini [9, s. 157] G = M ⋅⋅⋅⋅ D = P ⋅⋅⋅⋅ D, de D = NG ( Q ), P ∩ D = NP ( Q ) =
= Φ ( P ) i [ P, D ] = [ P, Q ] = P. Qkwo D normal\na v G, to NM ( Q ) normal\na v
© V. I. KOVALENKO, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1 133
134 V. I. KOVALENKO
M. Tomu Q normal\na v M. Pryjßly do supereçnosti. Takym çynom, D ne-
normal\na v G, a otΩe, metacykliçna. Za rezul\tatamy [10, s. 442] G′ = P′ ⋅⋅⋅⋅ D′ ⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅ [ P, D ] = P ⋅⋅⋅⋅ D′. Oskil\ky D — metacykliçna hrupa, to D′ — cykliçna hrupa i
G′′ = P′ ⋅⋅⋅⋅ D′′ ⋅⋅⋅⋅ [ P, D′ ] = P ⋅⋅⋅⋅ [ P, D′ ] ≤ P. Takym çynom, G′′′ ≤ P′, G(
iv
) ≤ P′′ = 1.
Perßu çastynu teoremy dovedeno.
Nexaj G — nil\potentna hrupa. Za vidomymy rezul\tatamy [10, s. 400] vona
ma[ periodyçnu çastynu T ( G ). MoΩlyvi vypadky:
1) T ( G ) = 1;
2) T ( G ) ≠ 1.
Vypadok 1. Nexaj G ′ ≠ 1. V nil\potentnij hrupi G bez skrutu znajdut\sq
taki elementy a ta b, wo [ a, b ] = c ∈ Z ( G ), | c | = ∞. Poklademo H = 〈 a, b 〉. Za
tverdΩennqm 1.2.1 [11] dlq dovil\noho natural\noho n [ an, b ] = [ a, b ]
n = cn ≠ 1.
Tomu H = ( 〈 c 〉 × 〈 a 〉 ) l 〈 b 〉. Zrozumilo, wo H > N, de N = ( 〈 cp
2
〉 × 〈 ap
〉 ) l 〈 bp
〉
— nemetacykliçna hrupa. Za lemog 2 [1] N normal\na v G i G / M — dedekin-
dova hrupa, komutant qko] mistyt\ sumiΩnyj klas N ⋅⋅⋅⋅ c porqdku p2
, wo supere-
çyt\ teoremi 12.5.4 [12]. Takym çynom, u vypadku 1 G′ = 1 i teoremu dovedeno.
Vypadok 2. U c\omu vypadku za lemog 1 [1] i rozhlqnutym vypadkom 1 ma[mo
G′ ≤ T ( G ). Prypustymo, wo G mistyt\ taki nemetacykliçni pidhrupy A ta B,
dlq qkyx A ∩ B = 1. Todi za lemog 2 [1] A normal\na v G, B normal\na v G,
G / A ta G / B — dedekindovi hrupy, a otΩe, | ( G / A ) ′ | ≤ 2 i | ( G / B ) ′ | ≤ 2.
Nexaj G* = G / A × G / B. Oskil\ky A ∩ B = 1, to za teoremog Remaka [9,
s. 54] G vklada[t\sq v G*
. Tomu | G′ | ≤ 4, i v c\omu vypadku teoremu dovedeno.
Nexaj G ne mistyt\ zhadanyx pidhrup A ta B. Todi za poperednim v T ( G )
dovil\na cilkom faktoryzovana abeleva pidhrupa [ skinçennog hrupog, wo ne
mistyt\ pidhrup porqdku p q r, de p, q, r — neobov’qzkovo rizni prosti çysla.
Za teoremog 1.2 [6] i teoremog 1.9 [6] T ( G ) — çernikovs\ka hrupa z povnog ças-
tynog R, R ≤ Z ( G ). Za prypuwennqm R ne ma[ dvox riznyx kvazicykliçnyx
pidhrup. Pry | T ( G ) | < ∞ teorema [ oçevydnog. Nexaj | T ( G ) | = ∞. Todi za
poperednim povna çastyna R hrupy T ( G ) [ kvazicykliçnog p-hrupog. Pry
T ( G ) = G R ≤ Z ( G ) i G — skinçenna nad centrom hrupa, u qko], qk vidomo,
| G′ | ≤ ∞. Tomu v podal\ßomu ma[mo T ( G ) < G, R ≤ G′ i R ≤ Z ( G ).
Nexaj D — pidhrupa, porodΩena deqkym ßarom elementiv iz T ( G ), wo mis-
tyt\ po odnomu iz predstavnykiv sumiΩnyx klasiv T ( G ) / R. Todi T ( G ) = R ⋅⋅⋅⋅ D,
de D — xarakterystyçna pidhrupa iz T ( G ) i | D | < ∞. Qkwo G / D — abeleva
hrupa, to R ne naleΩyt\ G′, wo supereçyt\ vyboru. OtΩe, G / D ne moΩe bu-
ty navit\ dedekindovog hrupog, a tomu G / D ne moΩe buty rozßyrennqm svo[]
central\no] kvazicykliçno] pidhrupy T ( G ) / D za dopomohog lokal\no cykliç-
no] hrupy bez skrutu ( G / D ) / ( T ( G ) / D ). Zrozumilo, wo sylovs\ka p-pidhrupa iz
G [ abelevog hrupog. Z c\oho vyplyva[, wo v G znajdut\sq taki elementy a
ta b, dlq qkyx | a | ∈ { pα, ∞ }, | b | ∈ { pβ, ∞ }, α > 0, β > 0, | a | = ∞, abo | b | =
= ∞, [ a, b ] = c, c ∈ R, | c | = p3
.
Poklademo H = 〈 a, b 〉. Todi bez porußennq zahal\nosti H = ( 〈 c 〉 × 〈 a 〉 ) l
l 〈 b 〉, H > N , de N = ( 〈 cp
2
〉 × 〈 a 〉 ) l 〈 bp
2
〉 — nemetacykliçna hrupa, | b | = ∞ .
OtΩe, qk i raniße, oderΩaly supereçnist\, wo G / N — dedekindova hrupa. Cq
supereçnist\ zaverßu[ dovedennq teoremy. Vsi vypadky rozhlqnuto.
Teoremu dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
LOKAL|NO STUPINÇASTI HRUPY Z NORMAL|NYMY … 135
1. Kovalenko V. I. Budova skinçennyx nedyspersyvnyx hrup, v qkyx koΩna nemetacykliçna pid-
hrupa normal\na // Ukr. mat. Ωurn. – 1996. – 48, # 10. – S. 1337 – 1342.
2. Kovalenko V. I. Deqki klasy skinçennyx nenil\potentnyx hrup z normal\nymy nemetacyk-
liçnymy pidhrupamy // Klasy hrup z obmeΩennqmy dlq pidhrup: Zb. nauk. pr. – Ky]v: In-t
matematyky NAN Ukra]ny, 1997. – S. 79 – 83.
3. Kovalenko V. I. Deqki klasy skinçennyx hrup z normal\nymy nemetacykliçnymy pidhrupamy
// Dopov. NAN Ukra]ny. – 1997. – # 9. – S. 17 – 20.
4. Çernykov N. S., DovΩenko S. A. Lokal\no stupençat¥e hrupp¥ s sobstvenn¥my sverxrazre-
ßym¥my podhruppamy // Alhebra i teoriq çysel: Tezy dop. (Ukr. mat. konh.-2001). – Ky]v: In-
t matematyky NAN Ukra]ny, 2001. – S. 54 – 55.
5. Kovalenko V. I. Deqki klasy hrup z metacykliçnymy pidhrupamy // Visn. Çernihiv. ped. un-tu.
Ser. Ped. nauky. – 2001. – Vyp. 4. – S. 69 – 72.
6. Çernykov S. N. Hrupp¥ s zadann¥my svojstvamy system¥ podhrupp. – M.: Nauka, 1980. –
384Qs.
7. Blackburn N. Generalization of certain elementary theorem on p-groups // Proc. London Math.
Soc. – 1961. – 11, # 41. – P. 1 – 22.
8. Levywenko S. S., Kuzenn¥j N. F. Koneçn¥e hrupp¥ s systemamy dyspersyvn¥x podhrupp. –
Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, 1997. – 230 s.
9. Karhapolov M. Y., Merzlqkov G. Y. Osnov¥ teoryy hrupp. – M.: Nauka, 1982. – 288 s.
10. Kuroß A. H. Teoryq hrupp. – M.: Nauka, 1967. – 648 s.
11. Kuzennyj M. F., Semko M. M. Metahamil\tonovi hrupy ta ]x uzahal\nennq. – Ky]v: In-t mate-
matyky NAN Ukra]ny, 1997. – 230 s.
12. Xoll M. Teoryq hrupp. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1962. – 468 s.
OderΩano 25.05.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
|