Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры
Представлены инструментальные средства для системы алгебраического программирования APS, Maple, Mathematica и другиx систем компьютерной алгебры. Этими средствами конструируют программы для таких систем....
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Штучний інтелект |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58446 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры / П.Н. Денисенко // Штучний інтелект. — 2010. — № 4. — С. 350-358. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-58446 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-584462025-02-09T20:09:13Z Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры Розв’язування iнтегральних рiвнянь в системах комп’ютерної алгебри The Integral Equations Solving in the Computer Algebra Systems Денисенко, П.Н. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Представлены инструментальные средства для системы алгебраического программирования APS, Maple, Mathematica и другиx систем компьютерной алгебры. Этими средствами конструируют программы для таких систем. Представлено iнструментальнi засоби для системи алгебраїчного програмування APS, Maple, Mathematica та iнших систем комп’ютерної алгебри. Цими засобами конструюють комп’ютернi програми для таких систем. We presented the efficient mathematical apparatus (the tools) for the Algebraic Programming System (APS), Maple, Mathematica and other computer algebra systems. This tools construct the computer programs. 2010 Article Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры / П.Н. Денисенко // Штучний інтелект. — 2010. — № 4. — С. 350-358. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58446 518.3 / 681.142.2 ru Штучний інтелект application/pdf Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| spellingShingle |
Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Денисенко, П.Н. Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры Штучний інтелект |
| description |
Представлены инструментальные средства для системы алгебраического программирования APS, Maple, Mathematica и другиx систем компьютерной алгебры. Этими средствами конструируют программы для таких систем. |
| format |
Article |
| author |
Денисенко, П.Н. |
| author_facet |
Денисенко, П.Н. |
| author_sort |
Денисенко, П.Н. |
| title |
Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры |
| title_short |
Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры |
| title_full |
Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры |
| title_fullStr |
Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры |
| title_full_unstemmed |
Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры |
| title_sort |
решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры |
| publisher |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/58446 |
| citation_txt |
Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры / П.Н. Денисенко // Штучний інтелект. — 2010. — № 4. — С. 350-358. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Штучний інтелект |
| work_keys_str_mv |
AT denisenkopn rešenieintegralʹnyhuravneniivsistemahkompʹûternoialgebry AT denisenkopn rozvâzuvannâintegralʹnihrivnânʹvsistemahkompûternoíalgebri AT denisenkopn theintegralequationssolvinginthecomputeralgebrasystems |
| first_indexed |
2025-11-30T09:16:46Z |
| last_indexed |
2025-11-30T09:16:46Z |
| _version_ |
1850206277258444800 |
| fulltext |
«Искусственный интеллект» 4’2010 350
5Д
УДК 518.3 / 681.142.2
П.Н. Денисенко
Кировоградский учебно-научный педагогический комплекс (КННПК), Украина
pnden_osvita@yahoo.com
Решение интегральных уравнений
в системах компьютерной алгебры
Представлены инструментальные средства для системы алгебраического программирования APS,
Maple, Mathematica и другиx систем компьютерной алгебры. Этими средствами конструируют программы
для таких систем. Эти программы имеют следующие вход и выход:
INPUT = ( F[ y ] = 0, [a,b], n), где F[ y ] = f( x, y(x), ∫ab K(x,t, y(t)) dt ),
OUTPUT = yn = c0 + c1 x + …+ cn xn ≈ y( x ) = solve( F[ y ] = 0 ), x ∈ [a,b] ,
|| y(x) – yn(x) ||C[a,b] / infc_0, …, c_n || y(x) - (c0 + … + cn xn) || C[a,b] = O(1).
Этими инструментальными средствами сконструирована процедура системы APS. Эта процедура
решает линейные интегральные уравнения вида
A y + L[ y ] + g = 0, где A = solve(B y + H[ y ] + f = 0), L[y] = K1[y] +…+ Kp[y],
H[y] = Kp+1[y] + … + Ks[y], Ki[y] = ∫c_i(x) d_i(x) Ki(x,t) y(t) dt ,
ядра Ki(x,t) и коэффициенты ci(x), di(x), g , B, f – многочлены. Доказана эффективность этой процедуры.
Доказана эффективность метода – основания этой процедуры. Процедура доказывает эффективность
этих средств.
Введение
Задача. Построить инструментальные средства для системы алгебраического
программирования APS, Maple, Mathematica и другиx систем символьных вычис-
лений на компьютерах – систем компьютерной алгебры (СКА). Этими средствами
конструируют программы для таких систем. Эти программы имеют следующие вход
и выход:
INPUT = (F[y] = 0, [a,b], n), где F [y] = f( x, y(x), ∫ab K( x, t, y(t)) dt), (1)
OUTPUT = yn = c0 + c1 x +…+ cn xn ≈ y(x) = solve(F[ y ] = 0), x ∈ [a,b]. (2)
Коэффициент оптимальности алгоритма, реализованного в такой программе, на
интегральном уравнении (1) в пространстве X = C[a,b] ограничен
Cn(algorithm, F[y] = 0, X) = ||y - yn||X / infc_0, …, c_n || y(x) – (c0 +…+ cn xn) ||X = O(1). (3)
Актуальность задачи. Maple, Mathematica и другие СКА вычисляют решение
обыкновенных дифференциальных уравнений в аналитическом виде.
СКА не решают аналитически функциональные уравнения других типов.
Интегральные уравнения моделируют явления окружающего нас мира более
широкого класса, чем обыкновенные дифференциальные уравнения.
Возможности классического математического обеспечения. Программно
реализованы, как правило, методы с насыщением. По этим программам вычисляют
сеточную аппроксимацию {yi ≈ y(xi)}i=0
n решения y(x) интегрального уравнения. Для
исследования этого сеточного решения {yi ≈ y(xi)}i=0
n на отрезке [a,b] его интерпо-
Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры
«Штучний інтелект» 4’2010 351
5Д
лируют – преобразуют в алгебраический многочлен Pn[{yi} i=0
n]. Если функция y – не
целая и узлы сетки {xi}i=0
n – равноотстоящие на отрезке [a,b], то с ростом n алгебраи-
ческий многочлен Pn[{y(xi)} i=0
n] (интерполирующий функцию y в этих узлах) часто не
сходится к функции y в пространстве C[a,b].
Методы ряда Чебышева решают интегральные уравнения [1, с. 275-348] и вы-
числяют аппроксимацию частной суммы ряда Фурье – Чебышева решения. СКА не вы-
полняют преобразования этих методов.
1 Инструментальные средства
1. Операторы на языке APLAN системы алгебраического программирования APS.
Эти операторы выполняют преобразования a-метода Дзядыка [2].
2. Процедуры из этих операторов для решения линейных интегральных уравнений
A y + L[y] + g = 0, (4)
где интегральный оператор имеет вид
L[y] = K1[y] + … + Kp[y], Ki[y] = ∫c_i(x) d_i(x) Ki(x,t) y(t) dt, (5)
ядра Ki(x,t), коэффициенты ci(x), di(x), A и свободный член g – многочлены (линейные
интегральные уравнения с многочленными коэффициентами – ЛИУМК) следующих
типов:
– без особенности на отрезке аппроксимации [a,b] [3],
– с одной регулярной особой точкой ноль.
3. Метод конструирования процедур для решения интегральных уравнений:
– аппроксимация исходного уравнения последовательностью ЛИУМК (4),
– решение ЛИУМК этой последовательности по указанной выше процедуре.
2 Решение интегральных уравнений типа A5
INPUT = (A y + L[y] + g = 0, A = solve(B y + H[y] + f = 0), [a,b], n), (6)
где g, f, B – многочлены, L[y], H[y] – операторы вида (5).
Метод 1. Распространение a-метода Дзядыка решения ЛИУМК Вольтерра [2].
1. По методу [3] преобразовать ЛИУМК B y + H[y] + f = 0 системы (6) в
многочлен
An = method_[3](B y + H[y] + f = 0, [a,b], n). (7)
2. Преобразовать уравнение A y + L[ y ] + g = 0 системы (6) в ЛИУМК
An y + L[y] + g = 0. (8)
3. По методу [3] преобразовать ЛИУМК (8) в многочлен
yn = method[3](An y + L[y] + g = 0, [a,b], n). (9)
Алгоритм 1.
1. По алгоритму [3] преобразовать ЛИУМК B y + H[y] + f = 0 (6) в многочлен
An = algorithm[3](B y + H[y] + f = 0, [a,b], n ). (10)
2. Преобразовать уравнение A y + L[ y ] + g = 0 системы (6) в ЛИУМК
An y + L[y] + g = 0. (11)
Денисенко П.Н.
«Искусственный интеллект» 4’2010 352
5Д
3. По алгоритму [3] преобразовать ЛИУМК (11) в многочлен
yn = algorithm[3](An y + L[y] + g = 0, [a,b], n). (12)
Лемма 1. Метод 1 эквивалентен алгоритму 1 – тождественны многочлены yn
(9) и (12).
Доказательство. Согласно определению метода [3] и алгоритма [3], многочлен
An (10) тождественен многочлену An (7). Поэтому тождественны уравнения (8) и (11).
Следовательно, согласно определению метода [3] и алгоритма [3], многочлен yn (12)
тождественен многочлену yn (9).
Из спецификации алгоритма 1 и алгоритма [3] следует такое утверждение.
Лемма 2. Все преобразования алгоритма 1 – алгебраические.
Структура данных на входе APLAN-процедуры.
1. ЛИУМК B y + H[y] + f = 0 системы (6) имеет вид требуемый процедурой [3]
LIUMK := B * y + int_op(c_1 , d_1 , K_1 * y , t) +
. . . + int_op(c_s , d_s , K_s * y , t) + f = 0, (13)
где y, t – атомы. Эта процедура решает ЛИУМК. Ядра K_1,...,K_s – термы, имеют
естественный вид и аргументы x , t – атомы.
Коэффициент B, сводный член g и пределы интегрирования c_1,...,c_s, d_1,...,
d_s – термы, имеют естественный вид и аргумент x – атом.
2. Уравнение A y + L[y] + g = 0 системы (6) определяет оператор
Ly: = int_op(c_1, d_1, K_1 * y, t) +…+ int_op(c_p, d_p, K_p * y, t) + g.
3. Отрезок аппроксимации [a, b] определяет список (a, b) .
4. Параметр n является целым числом.
APLAN-процедура 1. Алгебраическая спецификация алгоритма 1.
A_n := solve_i_u(LIUMK,interval,n); /* A_n */
LIUMK_1 := (A_n * y + Ly = 0); /* A_n * y + L[y] + g = 0 */
y_n := solve_i_u(LIUMK_1,interval,n); /* y_n */
Замечание 1. APLAN-процедура solve_i_u – реализация алгоритма [3].
Структура выхода операторов APLAN-процедуры.
1. Многочлен A_n (10) имеет коэффициенты – числа и вид
d + e * x +…+ f * x ^ n. (14)
2. Уравнение LIUMK_1 (11) имеет вид (13).
3. Многочлен y_n (12) имеет коэффициенты – числа и вид (14).
3 Эффективность APLAN-процедуры
Теорема 1. Для сложности APLAN-процедуры справедливо тождество
Q( algorithm_1(A y + L[y] + g = 0, A = solve(B y + H[ y ] + f = 0), [a,b], n)) =
O(1) + Q(solve_i_u (B y + H[y] + f = 0, [a,b], n)) +
Q(solve_i_u (An y + L[y] + g = 0, [a,b], n)) ,
где Q( solve_i_u (B y + H[y] + f = 0, [a,b], n)) – (полиномиальная) сложность решения
ЛИУМК B y + H[y] + f = 0 процедурой solve_i_u [3].
Доказательство. APLAN-процедура 1 – линейная. Сложность линейной про-
цедуры тождественна сумме сложности её частей. Сложность формирования ЛИУМК (8)
Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры
«Штучний інтелект» 4’2010 353
5Д
не зависит от параметра n. Согласно оценке [3], процедура solve_i_u имеет полиноми-
альную сложность.
Теорема 2. Пусть числа – константы операндов входа APLAN-процедуры
являются целыми или рациональными.
Тогда APLAN-процедура выполняет преобразования алгоритма 1 точно.
Доказательство. Согласно лемме 2, преобразования алгоритма 1 – только алгеб-
раические. При алгебраических преобразованиях система APS (и другие СКА) выпол-
няет арифметические операции с целыми и рациональными числами (константами
операндов этих преобразований) точно.
Модельное интегральное уравнение метода ряда Чебышева [1 c. 305]
A y – ∫0x (x - t) y(t) dt– x = 0, (15)
A = solve(y + 4 ∫0x (x-t) y(t) dt – 1/2 x2 – 1/2 = 0 ) = cos(x)2/2. (16)
Описание системы уравнений (15), (16) на языке APLAN.
process[1] := (LIUMK := (y + (-1/2) × x ^ 2 + (-1/2) +
int_op (0, x, (4 × (x + -1 × t)) x y, t) = 0) ;
Ky := int_op(0, x, (-1 × (x + -1 × t)) ×x y, t) + -1 × x; ...);
Результаты решения системы (15), (16) процедурой.
n := 3; interval := (-1, 1) ;
A_n = rat(-6,17) × x ^ 2 + rat(33,68) ;
LIUMK_1 = (rat(-6,17) × x ^ 2 + rat(33,68)) × y +
int_op (0, x, (-1 × (x + -1 × t)) × y, t) + -1 × x = 0 );
y_n = rat(57664,6271) × x ^ 3 + rat(-2040,6271) × x ;
4 Эффективность алгоритма 1
Построенная выше APLAN-процедура и теоремы 1, 2 доказывают следующие
утверждения.
Теорема 3. Сложность алгоритма 1 – полиномиальная по параметру n.
Теорема 4. Пусть числа – константы операндов входа алгоритма 1 являются
целыми или рациональными.
Тогда СКА выполняют преобразования этого алгоритма точно.
Коэффициенты Фурье – Чебышева решения уравнения (15)
y(x)= solve( cos(x)2/2 y – ∫0x (x - t) y(t) dt – x = 0) = 2 tg(x) / \cos( x )2 (17)
на отрезке [-1,1] принимают следующие значения a2 i(y, [-1,1]) = 0,
{a2i+1(y, [-1,1])}i = 0
10 = {7,3, 2,6, 0,65, 0,14, 0,027, 0,0049,
0,00084, 0,00014, 2,3 10-5, 3,6 10-6, 5,6 10-7, 8,4 10-8} (18)
и регулярно убывают с ростом параметра 2 i + 1
|a2i + 3(y, [-1,1])| / |a2i + 1(y, [-1,1])| = qi,
{qi }i=0
9 = {0,36, 0,25, 0,22, 0,19, 0,18, 0,17, 0,167, 0,164, 0,156, 0,155, 0,15} .
Следовательно, справедливо тождество
infc_0,…, c_n || y(x) – (c0 +…+ cn xn) ||C[-1,1] = |a2 [(n+1)/2] + 1(y, [-1,1]) | (1 + βn),
где βn < 1/(1 – q[(n-1)/2]), {1/(1 – qi)}i=0
9 = {0,6,\ 0,3, …, 0,17}. (19)
Денисенко П.Н.
«Искусственный интеллект» 4’2010 354
5Д
Норма в пространстве X = C[-1,1] погрешности аппроксимации многочленом yn =
= algurithm1(A y – ∫0x (x – t) y(t) dt – x = 0, y + 4 ∫0x (x-t) y(t) dt – 1/2 x2 – 1/2 = 0, [-1,1], n)
решения y (17) уравнения (15) принимает следующие значения
{|| y – y2i+1 ||X = || y – y2i+2 ||X }i =0
5 = {6,7, 1,8, 0,25, 0,062, 0,0093, 0,0017}. (20)
Из тождеств (18), (19) и (20) следуют заключения.
Вывод 1. Главной частью коэффициента оптимальности (3) алгоритма 1 на
интегральном уравнении (15) в пространстве X = C[-1,1] является отношение
||y – yn ||C[-1,1] / | a2 [(n-1)/2] + 1(y, [-1,1]) | = C + α2[(n-1)/2]+1,
где {C + α2i+1}i =0
5 = {2,6, 2,8, 1,8, 2,3, 1,9, 2}.
Вывод 2. Для коэффициента оптимальности (3) алгоритма 1 на уравнении (15) в
пространстве C[-1,1] справедливо тождество
Cn( algorithm_1, equation (15), C[-1,1]) = (C + α2[(n-1)/2]+1) / (1 + βn) ,
где βn < 1/(1 – q[(n-1)/2]), {1/(1 - qi)}i=0
9 = {0,6,\ 0.3, …, 0,17} .
Замечание 2. Минимальное значение коэффициента оптимальности алгоритма
преобразования системы уравнений (6) в алгебраический многочлен – 1.
Замечание 3. Коэффициент оптимальности метода ряда Чебышева на задаче
Коши, эквивалентной системе (15), (16), принимает близкие значения [1, c. 306].
5 Вариант применения метода Галеркина
INPUT = (A y + L[y] + g = 0 , A = solve(B y + H[y] + f = 0), [a,b], n) ,
OUTPUT = Galerkin(A y + L[y] + g = 0, A = solve(B y + H [y] + f = 0), [a,b], n) =
yn = solve(Sn[An (yn ∈ Hn[a,b]) + H[ (yn ∈ Hn[a,b])] + g] = 0),
An = solve(Sn[B (yn ∈ Hn[a,b]) + H[(yn ∈ Hn[a,b])] + f] = 0). (21)
где Sn[y] = a0(y, [a,b]) cheb(0,z(x)) +…+ an(y, [a,b]) cheb(n,z(x)) : L2(a,b;ρ) → Hn[a,b]
cheb( i, x ) = cos(i arccos( x)), z(x) = 2 (x-a) / (b-a) – 1,
(yn ∈ Hn[a,b]) = c0 cheb(0,z(x)) +…+ cn cheb(n,z(x)), c0,…, cn ∈ Atom .
Метод 2.
1. По методу Галеркина в пространстве L2(a,b;ρ) преобразовать ЛИУМК B y +
+ H[y] + f = 0 системы (6) в многочлен
An = Galerkin_ L2(a, b;ρ)(B y + H[y] + f = 0, [a,b], n). (22)
2. Преобразовать уравнение A y + L[y] + g = 0 системы (6) в уравнение вида (8) с
многочленом An (22)
An y + L[y] + g = 0. (23)
3. По методу Галеркина в пространстве L2(a,b;ρ) преобразовать уравнение (23)
в искомый многочлен
yn = Galerkin_ L2(a,b;ρ) (An y + L[y] + g = 0, [a,b], n). (24)
6 Алгоритм – реализация метода 2
INPUT = (A y + L[y] + g = 0, A = solve(B y + H[y] + f = 0), [a,b], n).
Алгоритм 2.
1. Преобразовать ЛИУМК B y + H[y] + f = 0 системы (6) в многочлен
An = solve(Sn[B (yn ∈ Hn[a,b]) + H [(yn ∈ Hn[a,b])] + f = 0). (25)
Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры
«Штучний інтелект» 4’2010 355
5Д
2. Преобразовать уравнение A y + L[y] + g = 0 системы (6) в уравнение вида (8) с
многочленом An (25)
An y + L[y] + g = 0. (26)
3. Преобразовать ЛИУМК (26) в многочлен
algorithm_2(A y + L[y] + g = 0, A = solve(B y + H[ y ] + f = 0), [a,b], n) =
OUTPUT = yn = solve(Sn[ An (yn ∈ Hn[a,b]) + L[ (yn ∈ Hn[a,b])] + g] = 0). (27)
Лемма 3. Метод 2 эквивалентен алгоритму 2 – тождественны многочлены
(21) и (27).
Доказательство. Согласно определению метода Галеркина в пространстве L2 (a,b;ρ),
многочлен An (25) тождественен многочлену An (22). Поэтому тождественны уравнения
(23) и (26). Следовательно, согласно определению метода Галеркина в пространстве
L2(a,b;ρ), многочлен yn (21) тождественен многочлену yn (27).
Оптимальность алгоритма 2. В пространстве L2(a,b;ρ) оператор Sn (21) –
наилучший аппарат для аппроксимации функций (y(x), x ∈ [a,b]) ∈ L2(a,b;ρ)
алгебраическими многочленами – справедливы тождества
||y – Sn[y] ||L2(a,b;ρ) = infc_0,…, c_n || y(x) – (c0 +…+ cn xn) ||L2(a,b;ρ), ||Sn||L2(a,b;ρ) = 1 .
Определение 1. Система уравнений (6) принадлежит классу A'5 . <=>
Коэффициент оптимальности (3) варианта (21) метода Галеркина в простран-
стве L2(a,b;ρ) на этой системе уравнений в пространстве X = C[a,b] ограничен
Cn(Galerkin, A y + L[y] + g = 0, A = solve(B y + H[y] + f = 0), X) =|| y(x) - yn(x) ||X /
infc_0,…, c_n || y(x) - (c0 +…+ cn xn) ||X = O(1) .
В пространстве C[a,b] оператор Sn – оптимальный среди операторов проектиро-
вания функций (y(x), x ∈ [a,b]) ∈ C[a,b] в пространство алгебраических многочленов и
справедливо тождество
|| Sn ||C[a,b] = (4/π2) ln(n) + O(1), O(1) < 3.
Поэтому класс A'5 систем уравнений вида (6) достаточно широкий.
Класс A'5 оценивают условия основной теоремы сходимости метода Галеркина (21).
7 Оптимальность метода 1
Лемма 4. Аппроксимация ЛИУМК A y + L[ y ] + g = 0 (4) по методу [3]
A (yn ∈ Pn ) + L[yn ∈ Pn] + g + (Em,n ∈ Hm\n [a,b]) = 0, (28)
где m = deg(A (yn ∈ Pn ) + L[ yn ∈ Pn ] + g ) (29)
(yn ∈ Pn ) = c0 + c1 x +…+ cn xn , c0 , c1 ,…, cn ∈ Atom, (30)
(Em,n ∈ Hm\n [a,b]) = τ1 cheb (n+1,z(x)) +…+ τm-n cheb(m,z(x)), τ1 ,…, τm-n ∈ Atom, (31)
эквивалентна системе:
– аппроксимация этого ЛИУМК по методу Галеркина в пространстве L2(a,b;ρ)
Sn[A (yn ∈ Hn[a,b]) + L[ (yn ∈ Hn[a,b])] + g] = 0, (32)
– система уравнений
{ai(A yn + L[ yn ] + g, [a,b] ) + τi-n = 0 } i = n+1
m, (33)
где yn = solve(Sn[A (yn ∈ Hn[a,b]) + L[(yn ∈ Hn[a,b])] + g] = 0) (34)
Денисенко П.Н.
«Искусственный интеллект» 4’2010 356
5Д
Доказательство. Для ЛИУМК (4) левая часть уравнения (28) – многочлен порядка
m (29). Многочлен Pm – порядка m тождественен нулю тогда и только тогда, когда нулю
тождественны его коэффициенты Фурье – Чебышева порядка
i = 0,…,m на отрезке [a,b] – ai( Pm, [a,b]) = 0, i = 0,…,m.
Следовательно, уравнение (28) эквивалентно системе уравнений
{ai(A (yn ∈ Pn ) + L[yn ∈ Pn ] + g + ( Em,n ∈ Hm\n [a,b]), [a,b] ) = 0}i = 0
m (35)
относительно коэффициентов многочленов
(yn ∈ Pn ) (30) и (Em,n ∈ Hm\n [a,b]) (36)
Функционал ai(Pm, [a,b]) – линейный и для него справедливо тождество
ai(c0 cheb(0,z(x)) +…+ ci cheb(i,z(x)) +…+ cn cheb(n,z(x)), [a,b]) = ci.
Следовательно, справедливы тождества
ai((Em,n ∈ Hm\n [a,b]), [a,b]) = 0, i = 0,…, n,
ai((Em,n ∈ Hm\n [a,b]), [a,b]) = τm-i, i = n+1,…, m.
Поэтому первые n + 1 уравнения системы (35) имеют вид
ai(A (yn ∈ Pn ) + L[ yn ∈ Pn ] + g, [a,b]) = 0, i = 0,…, n. (37)
Элементы пространства Hn[a,b] – алгебраические многочлены порядка n и толь-
ко эти многочлены. Поэтому многочлен yn (34) тождественен многочлену
yn = solve( Sn[ A (yn ∈ Pn ) + L[yn ∈ Pn ] + g] = 0), Sn : L2(a,b;ρ) → Hn[a,b]. (38)
Следовательно:
– уравнение (37) эквивалентно системе уравнений (36),
– решение системы (36) – коэффициенты многочлена yn (37),
– результат подстановки многочлена yn (37) в систему уравнений (35) вместо
yn ∈ Pn) – система уравнений (33) и n + 1 тождество 0 = 0.
Лемма 5. Пусть уравнение A y + L[ y ] + g = 0 (4) – ЛИУМК.
Тогда на этом уравнении алгоритм [3] эквивалентен методу Галеркина в
пространстве L2(a,b;ρ) – тождественны многочлены yn (34) и
yn = method[3] (A y + L[y] + g = 0, [a,b], n). (39)
Доказательство. Согласно лемме 4, уравнение (28) эквивалентно системе: урав-
нение (32) и система уравнений (33).
Уравнение (32) является аппроксимацией уравнения (4) по методу Галеркина в
пространстве L2(a,b;ρ).
Уравнение i = 1,…,m-n системы (33) определяет коэффициент τi через коэффи-
циенты многочлена yn (34). Следовательно:
– уравнения (33) являются тождествами,
– многочлен yn (38) тождествен решению yn (34) уравнения (32).
Лемма 6. Алгоритм 1 эквивалентен алгоритму 2 – тождественны многочлены
yn (12) и (27).
Доказательство. Согласно лемме 5, тождественны многочлены An (25) и (10).
Поэтому тождественны уравнения (11) и (26).
Следовательно, согласно лемме 5, тождественны многочлены yn (12) и (27).
Теорема 5. Метод 1 эквивалентен методу 2 – тождественны многочлены yn
(9) и (21).
Доказательство. Согласно лемме 1, тождественны многочлены yn (9) и (12).
Решение интегральных уравнений в системах компьютерной алгебры
«Штучний інтелект» 4’2010 357
5Д
Согласно лемме 6, тождественны многочлены yn (12) и (27).
Согласно лемме 3, тождественны многочлены yn (27) и (21).
Теорема 6. Пусть система уравнений (6) принадлежит классу A'5 .
Тогда коэффициент оптимальности (3) алгоритма 1 на этой системе уравне-
ний в пространстве X = C[a,b] ограничен.
Cn( algorithm_1, A y + L[y] + g = 0, A = solve( B y + H[ y ] + f = 0), X ) =
|| y – yn ||X / infc_0, …, c_n || y(x) – (c0 +…+ cn xn) ||X = O (1).
Доказательство. Согласно лемме 6, тождественны многочлены yn (12) и (27).
Согласно лемме 3, тождественны многочлены yn (27) и (21). По определению 1
класса A'5 , коэффициент оптимальности метода Галеркина в пространстве L2(a,b;ρ)
(21) на системе уравнений этого класса в пространстве C[a,b] ограничен.
Заключение
Построенная APLAN-процедура доказывает эффективность представленных
инструментальных средств для создания процедуры СКА для решения интегральных
уравнений отдельного типа.
Эта APLAN-процедура в случае системы интегральных уравнений вида (6) ре-
шает задачу Дзядыка [2]. На основании a-метода построить эффективные алгоритмы
для вычисления алгебраических многочленов – аппроксимации решения y(x), x ∈ [a.b]
функциональных уравнений оптимальной в пространстве C[a,b].
Дополнение
1. Алгоритм 1'. Модификация алгоритма 1. В алгоритме [3] базис пространства
L2(a,b;ρ) заменен на базис пространства Гильберта H[a,b] .
2. Для алгоритма 1' имеют место аналоги теорем 5 и 6. В этих аналогах прост-
ранство L2(a,b;ρ) заменено на пространство H[a,b] .
3. Модификация APLAN-процедуры. Реализация алгоритма 1'. Реализация ал-
горитма [3] заменена реализацией модификации этого алгоритма c базисом простран-
ства H[a,b] .
4. Распространение алгоритма 1 на интегральные уравнения вида (6), где коэф-
фициенты – решения ЛИУМК (4) или многочлены, эквивалентно соответствующему
варианту метода Галеркина в пространстве L2(a,b;ρ) .
5. Этими инструментальными средствами мы построили процедуры для ре-
шения интегральных уравнений вида
A y + L[y] + g = f(x, H[y]) и A y + L[y] + g = H[f( x, y)],
где L, H – линейные интегральные операторы вида (5) с многочленными коэффи-
циентами и нелинейность – f(x, y) – функция или многочлен.
Эти процедуры вычисляют многочлен yn – аппроксимацию решения исходного
уравнения оптимальную (3) в пространстве C[a,b] .
Литература
1. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева / Пашковский С. –
М. : Наука, 1983. – 384 с.
2. Дзядык В.К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений /
Дзядык В.К. – Киев : Наукова думка, 1988. – 304 с.
Денисенко П.Н.
«Искусственный интеллект» 4’2010 358
5Д
3. Денисенко П.Н. Оптимальное решение интегральных уравнений в APS / П.Н. Денисенко // Комп’ю-
теpна математика. Оптимiзацiя обчислень. Т. 1. – К. : Iнститут кiбеpнетики iменi В.М. Глушкова
HАHУ, 2001. – С. 124-130.
П.М. Денисенко
Розв’язування iнтегральних рiвнянь в системах комп’ютерної алгебри
Представлено iнструментальнi засоби для системи алгебраїчного програмування APS, Maple, Mathematica
та iнших систем комп’ютерної алгебри. Цими засобами конструюють комп’ютернi програми для таких
систем. Цi програми мають наступнi вхiд та вихiд:
INPUT = (F[ y ] = 0 , [a,b], n), где F[ y ] = f( x, y(x), ∫ab K(x,t, y(t)) dt ),
OUTPUT = yn = c0 + c1 x + …+ cn xn ≈ y( x ) = solve( F[ y ] = 0), x ∈ [a,b] ,
|| y(x) - yn(x) ||C[a,b] / infc_0, …, c_n || y(x) - (c0 + … + cn xn) || C[a,b] = O(1) .
Цими засобами сконструйована процедура системи APS. Ця процедура розв’язує лiнiйнi iнтегральнi
рiвняння виду
A y + L[ y ] + g = 0, де A = solve(B y + H[ y ] + f = 0), L[y] = K1[y] +…+ Kp[y],
H[y] = Kp+1[y] + … + Ks[y] , Ki[y] = ∫c_i(x) d_i(x) Ki(x,t) y(t) dt ,
ядра Ki(x,t) и коефiцiєнти ci(x), di(x), g, B, f – багаточлени. Доведена ефективнiсть процедури. Доведена
ефективнiсть алгоритму та методу – основ процедури. Ця процедура доводить ефективнiсть побудова-
них засобiв.
P.N. Denisenko
The Integral Equations Solving in the Computer Algebra Systems
We presented the efficient mathematical apparatus (the tools) for the Algebraic Programming System (APS),
Maple, Mathematica and other computer algebra systems. This tools construct the computer programs. These
programs have:
INPUT = (F[ y ] = 0, [a,b], n), где F[ y ] = f( x, y(x), ∫ab K(x,t, y(t)) dt ),
OUTPUT = yn = c0 + c1 x + …+ cn xn ≈ y( x ) = solve(F [y] = 0), x ∈ [a,b] ,
|| y(x) - yn(x) ||C[a,b] / infc_0, …, c_n || y(x) - (c0 + … + cn xn) || C[a,b] = O(1) .
Using these tools we constructed the procedure for APS. This procedure solves the linear integral equations
A y + L[ y ] + g = 0 , where A = solve(B y + H[ y ] + f = 0), L[y] = K1[y] +…+ Kp[y],
H[y] = Kp+1[y] + … + Ks[y] , Ki[y] = ∫c_i(x) d_i(x) Ki(x,t) y(t) dt ,
the kerns Ki(x,t) and the coefficients ci(x), di(x), g , B , f – the polinomials. We proved the efficiency of this
procedure. We proved the efficiency of this method which is the basis for this procedure. This procedure proves
the efficiency of these tools.
Статья поступила в редакцию 14.06.2010.
|