Гравітаційні моделі тривимірного розподілу густини планет земної групи

Розглянуто інтерпретацію планетарних аномалій гравітаційного поля Землі, Венери, Марса і Місяця у взаємозв’язку з внутрішньою неоднорідною будовою цих планет. Вихідною інформацією для досліджень були моделі гравітаційного поля перелічених планет до 20-го порядку і степеня, а також параметри тр...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Церклевич, А.Л., Заяць, О.С., Фис, М.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України 2012
Schriftenreihe:	Геодинаміка
Schlagworte:	Геодезія
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60636
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Гравітаційні моделі тривимірного розподілу густини планет земної групи / А.Л. Церклевич, О.С. Заяць, М.М. Фис // Геодинаміка. — 2012. — № 1(12). — С. 42-53. — Бібліогр.: 27 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60636
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-606362025-06-03T16:24:24Z Гравітаційні моделі тривимірного розподілу густини планет земної групи Гравитационные модели трехмерного распределения плотности планет земной группы Earth group planets gravitational models of 3-d density distributions Церклевич, А.Л. Заяць, О.С. Фис, М.М. Геодезія Розглянуто інтерпретацію планетарних аномалій гравітаційного поля Землі, Венери, Марса і Місяця у взаємозв’язку з внутрішньою неоднорідною будовою цих планет. Вихідною інформацією для досліджень були моделі гравітаційного поля перелічених планет до 20-го порядку і степеня, а також параметри тришарової моделі(кора, мантія, ядро) кожної з цих планет та відповідні планетарні параметри. Рассмотрено интерпретацию планетарных аномалий гравитационного поля Земли, Венеры, Марса и Луны во взаимосвязи с внутренним неоднородным строением этих планет. Исходной информацией для исследований были модели гравитационного поля указанных планет до 20-го порядка и степени, а также параметры трехслойной модели(кора, мантия, ядро) каждой из этих планет и соответствующие планетарные параметры. In the paper the interpretation of planetary anomalies inthe gravitational field ofthe Earth, Venus, Mars and Moon in their relationship with the internal inhomogeneous structure of those planets is considered. The model of the gravitational field of named planets up to 20th order and degree and the three-layer models (crust, mantle and core) of the planets and itsplanetary parameters was taken as the initial information for modelling. 2012 Article Гравітаційні моделі тривимірного розподілу густини планет земної групи / А.Л. Церклевич, О.С. Заяць, М.М. Фис // Геодинаміка. — 2012. — № 1(12). — С. 42-53. — Бібліогр.: 27 назв. — укр. 1992-142X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60636 523.4 uk Геодинаміка application/pdf Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Геодезія Геодезія
spellingShingle	Геодезія Геодезія Церклевич, А.Л. Заяць, О.С. Фис, М.М. Гравітаційні моделі тривимірного розподілу густини планет земної групи Геодинаміка
description	Розглянуто інтерпретацію планетарних аномалій гравітаційного поля Землі, Венери, Марса і Місяця у взаємозв’язку з внутрішньою неоднорідною будовою цих планет. Вихідною інформацією для досліджень були моделі гравітаційного поля перелічених планет до 20-го порядку і степеня, а також параметри тришарової моделі(кора, мантія, ядро) кожної з цих планет та відповідні планетарні параметри.
format	Article
author	Церклевич, А.Л. Заяць, О.С. Фис, М.М.
author_facet	Церклевич, А.Л. Заяць, О.С. Фис, М.М.
author_sort	Церклевич, А.Л.
title	Гравітаційні моделі тривимірного розподілу густини планет земної групи
title_short	Гравітаційні моделі тривимірного розподілу густини планет земної групи
title_full	Гравітаційні моделі тривимірного розподілу густини планет земної групи
title_fullStr	Гравітаційні моделі тривимірного розподілу густини планет земної групи
title_full_unstemmed	Гравітаційні моделі тривимірного розподілу густини планет земної групи
title_sort	гравітаційні моделі тривимірного розподілу густини планет земної групи
publisher	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Геодезія
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60636
citation_txt	Гравітаційні моделі тривимірного розподілу густини планет земної групи / А.Л. Церклевич, О.С. Заяць, М.М. Фис // Геодинаміка. — 2012. — № 1(12). — С. 42-53. — Бібліогр.: 27 назв. — укр.
series	Геодинаміка
work_keys_str_mv	AT cerklevičal gravítacíjnímodelítrivimírnogorozpodílugustiniplanetzemnoígrupi AT zaâcʹos gravítacíjnímodelítrivimírnogorozpodílugustiniplanetzemnoígrupi AT fismm gravítacíjnímodelítrivimírnogorozpodílugustiniplanetzemnoígrupi AT cerklevičal gravitacionnyemodelitrehmernogoraspredeleniâplotnostiplanetzemnojgruppy AT zaâcʹos gravitacionnyemodelitrehmernogoraspredeleniâplotnostiplanetzemnojgruppy AT fismm gravitacionnyemodelitrehmernogoraspredeleniâplotnostiplanetzemnojgruppy AT cerklevičal earthgroupplanetsgravitationalmodelsof3ddensitydistributions AT zaâcʹos earthgroupplanetsgravitationalmodelsof3ddensitydistributions AT fismm earthgroupplanetsgravitationalmodelsof3ddensitydistributions
first_indexed	2025-11-24T03:33:46Z
last_indexed	2025-11-24T03:33:46Z
_version_	1849641115839365120
fulltext	Геодинаміка 1(12)/2012 © А.Л. Церклевич, О.С. Заяць, М.М. Фис 42 УДК 523.4 А.Л. Церклевич, О.С. Заяць, М.М. Фис ГРАВІТАЦІЙНІ МОДЕЛІ ТРИВИМІРНОГО РОЗПОДІЛУ ГУСТИНИ ПЛАНЕТ ЗЕМНОЇ ГРУПИ Розглянуто інтерпретацію планетарних аномалій гравітаційного поля Землі, Венери, Марса і Місяця у взаємозв’язку з внутрішньою неоднорідною будовою цих планет. Вихідною інформацією для досліджень були моделі гравітаційного поля перелічених планет до 20-го порядку і степеня, а також параметри тришарової моделі (кора, мантія, ядро) кожної з цих планет та відповідні планетарні параметри. Ключові слова: гравітаційна модель розподілу густини; степеневі моменти густини; гармонічні коефіцієнти розкладу гравітаційного поля; аномалії сили тяжіння; обернена гравіметрична задача. Вступ Проблеми вивчення внутрішньої будови пла- нет належать до фундаментальних у пізнанні утво- рення та еволюції тіл Сонячної системи. До їх роз- в’язання підходять комплексно, комбінуючи дані, отримані як експериментальними, так і теоретич- ними методами в різних областях знань: астро- номії, космогонії, космохімії, планетодезії, плане- тології, планетарній фізиці. Методи вивчення вну- трішньої будови планет земної групи в основному залишаються такими самими, як і для Землі, однак мають певні особливості. В дослідженні будови Землі важливу роль, як прямий метод визначення загальної внутрішньої структури планети, відіграє сейсмологія. Для Марса і Венери сейсмічні дані взагалі відсутні і тому, щоб отримати уявлення про їх внутрішню будову, використовують хімічні моделі, які приймають за базові для подальших досліджень. Однак параметри гравітаційного поля, визначені для всіх планет земної групи, надають неоціненну інформацію, за допомогою якої можна в певному наближенні робити висновки про їх неоднорідну будову. Найважливішою фізичною характеристикою неоднорідності надр планети є густина, яка генерує гравітаційне поле і суттєво впливає на інші геофізичні поля. Гравітаційні моделі розподілу густини планет в ідеалі повинні пояснювати всі особливості гравітаційного поля, представленого повним набором коефіцієнтів nmC і nmS зовнішнього потенціалу планети. Тому всілякі спроби активізувати дослідження в цьому напрямі заслуговують на увагу. З іншого боку, щодо таких планет, як Венера, Марс, Місяць, в останньому двадцятиріччі отримано нові резуль- тати вивчення їх гравітаційних полів, тому ця інформація потребує осмислення і порівняльного аналізу даних щодо внутрішньої будови планет. Метою роботи є дослідження проблеми вив- чення неоднорідного розподілу густини надр пла- нет земної групи на основі даних про параметри їх гравітаційного поля з позицій порівняльного аналізу їх неоднорідної будови. Постановка проблеми Як відомо, метод сейсмічної томографії є най- адекватнішим інформативним джерелом даних про неоднорідну будову Землі. Для інших планет земної групи такої інформації ще немає. Обробка супутникових орбітальних даних дозволила закартографувати аномалії сили тяжіння, які пов’язані з неоднорідною будовою планет. Пара- метри гравітаційного поля відображають інте- гральний ефект всіх мас, що утворюють планету. А отже, дані про гравітаційний потенціал є ключовими для побудови моделі розподілу густини планети, бо кожна така модель повинна бути гравітаційною, тобто її гравітаційний ефект має відповідати спостережуваному гравітацій- ному полю. У цьому сенсі, мабуть, логічно говорити про започаткування напряму гравіта- ційної томографії планет, який охоплював би розроблення математичних методів і обчислю- вальних алгоритмів дослідження їх неоднорідної внутрішньої будови з використанням параметрів гравітаційного поля. І хоча гравіметрична обер- нена задача належить до некоректних задач (вперше на це звернув увагу акад. М.М. Лав- рентьєв [Лаврентьев, 1962]), але сейсмічна інвер- сія для визначення глобальної моделі Землі, такої як PREM (попередня референцна земна модель) з сейсмічної томографії, також належить до обер- нених геофізичних задач [Мориц, 1994]. Спіль- ним в цих задачах є визначення характеристик неоднорідної внутрішньої структури планети. Відомо, що розподіл густини внутрішніх мас разом з топологією фігури планети формує її зов- нішнє гравітаційне поле. Для чіткішого розуміння постановки задачі введемо поняття моделі розпо- ділу густини, яка узгоджена з параметрами зов- нішнього гравітаційного поля, і назвемо її гра- вітаційною моделлю розподілу густини. За фор- мулюванням К. Картвелішвілі [Картвелишвили, 1982], під моделлю розподілу густини області G розумітимемо розподіл густини ( ),P де точка P належить області G ( )P G . Гравітаційна модель області G , яка відповідає заданому вектору- функції ( )U P , де P є точкою деякої області R , це така модель розподілу густини, гравітаційний ефект якої збігається із заданою функцією ( )U P : ( ) ( )U P A P , A – оператор, який відображає множину ( )F F  на множину ( )E U E . Звідси принциповим є твердження – будь-яка адекватна середовищу модель розподілу густини повинна бути гравітаційною. Геодезія 43 Оскільки об’єкт дослідження – внутрішня структура планети – є надзвичайно складним, апроксимаційний підхід до побудови моделей, які відповідали б нинішнім уявленням і узгоджува- лися б з даними вимірювань, вважається єдино можливим та цілком обґрунтованим, оскільки смислове значення будь-якої апроксимації – це описання складних об’єктів простішими моделями з допустимою точністю. Параметризація моделі У межах апроксимаційного підходу розгля- немо метод [Мещеряков, 1969], який допускає отримання коректного розв’язку оберненої задачі гравіметрії, якщо задані степеневі моменти густини    ,p q r pqrI x y z d p q r n        , (1) повна сукупність яких дає змогу отримати однознач- ний розподіл мас планети. Величини pqsI , кількість яких для кожного n дорівнює   1 2 / 2n n  , лі- нійно зв’язані з 2 1n  гармонічними коефіцієнтами гравітаційного поля планети співвідношеннями: 0 N pqrnk pqr nk pqrp q r C I S           , або cos1 (cos ) sin nk n k nn nk C k r P S kMa              . (2) Формули (2) дозволяють отримати квадратич- не наближення моментів n-го порядку. Проблему степеневих моментів для шуканої густини можна вирішити аналітично або числово. При цьому розподіл густини надр планети може вважатися таким, що належить до класу 2L , тобто інте- грованих з квадратом функцій. Тоді тривимірну модель розподілу густини  , ,x y z надр планети можна подати у вигляді [Мещеряков, Фыс, 1981]:       0 0 , , , , , N pqs pqs p q s x y z b W x y z           (3) де  0  – радіальна модель густини; pqsb – коефіцієнти;  , ,pqsW x y z – система ортогональ- них поліномів у еліпсоїді  , для яких справедлива формула Родріга   2 2 2 2 2 2 1, , 2 ! ! ! 1 pqs N p q s N NW x y z p q s x y z x y z a b c                 , (4) де , ,a b c – півосі еліпсоїда  . Наведені формули дозволяють розрахувати сферично несиметричні моделі розподілу густини надр, якщо задати фундаментальні параметри пла- нети та гармонічні коефіцієнти розкладу гравіта- ційного поля за кульовими функціями. Розрахунок тривимірного розподілу густини  , ,x y z надр планети можна виконати за такою схемою обчислень [Мещеряков, Церклевич, 1987, Заяць, 2005]. Спочатку на основі вихідної інфор- мації будується модель другого порядку:       2 2 0 0 , , , ,pqsk pqs p q s x y z b W x y z         (5) Коефіцієнти pqsb до другого порядку виразимо через гармонічні коефіцієнти 20 22,C C і динамічне стиснення df :   1 000 0 0 31c c b d               , (6) 100 010 001 110 101 011 0,b b b b b b      (7)     20 22 1 4 200 0 0 1 2 0 0 5 2 3 2 7 5 2 3 d c c c C C f b d d                                          , (8)     20 22 1 4 020 0 0 1 2 0 0 5 2 3 2 7 5 2 3 d c c c C C f b d d                                          , (9)     20 1 4 002 0 0 1 2 0 0 15 1 3 2 7 5 2 3 d c c c C f b d d                                         , (10) де c – середня густина планети. Для узгодження тривимірного розподілу гус- тини з гармонічними коефіцієнтами третього по- рядку скористаємось методом найменших квадра- тів для їх спільного врівноваження зі степеневими моментами густини pqsI 3 3 3 ( )pqsk pqs pqs k pqsp q s C I I S              , (11) де ∆ pqsI – поправки в степеневі моменти густини pqsI , які визначаються за моделлю розподілу густини другого порядку зі співвідношення: Геодинаміка 1(12)/2012 44  2 , , p q s pqsI x y z x y z d     . (12) Отримавши поправки ∆ pqsI , значення коефіці- єнтів pqsb обчислимо за формулою:  2 3 !! 3 ! p q s pqs e e e pqs I n a a a b n a b c                      . (13) За аналогічним алгоритмом виконують роз- рахунки для моделей тривимірного розподілу гус- тини вищих порядків. Використана інформація Розглянемо описаний метод на прикладі визна- чення тривимірного розподілу густини  , ,x y z для моделей надр Землі, Венери, Марса та Місяця, які структурно складаються з кори, мантії і ядра. В таблиці наведено вихідні параметри для моде- лювання тривимірного розподілу густини надр цих планет. Для побудови моделей тривимірного розподілу густини також будемо використовувати коефіцієнти ,nk nkC S розкладу гравітаційного поля Землі [Pavlis et al., 2008], Венери [Konopliv et al., 1999], Марса [Lemoine et al., 2001] та Місяця [Konopliv et al., 2001] до 20-го порядку і степеня (обмежене використання коефіцієнтів зумовлене глобальним характером моделювання тривимірного розподілу густини надр планет та алгоритмом розв’язування задачі). Зауважимо, що джерелом оновленої інформації про планети земної групи є результати побудови достатньо репрезентативних моделей їх гравіта- ційних полів. Це стало можливим завдяки зібраній інформації радіотраекторних спостережень за КА на орбітах навколо планет і проведеними на КА альтиметричними вимірюваннями. Наприклад, істотно покращені результати дослідження граві- таційного поля Місяця отримано завдяки місії КА “Clementine” (1994), гравітаційне поле Венери та Марса з високою роздільною здатністю визначено за результатами опрацювання даних з КА “Magellan” та “Mars Global Surveyor”, які пе- ребували на орбіті в 1990 та 1997 рр. відповідно. Дані про гравітаційне поле Землі також було оновлено завдяки нещодавнім місіям спеціальних супутників за проектами CHAMP, GRACE та GOCE. Вихідні параметри для моделювання тривимірного розподілу густини надр планет Параметри планет Земля Венера Марс Місяць Планетоцентрична гравітаційна стала f, км3/с2 398600,44 324858,59 42828,37 4902,80 Стиснення α 1:298,257 0 1: 196,88 0 Полярний (середній) момент інерції 2/ MRC , ( 2/ MRI ) (0,3299) (0,331-0,341) 0,365 0,393 Середня густина δ , г/см3 5,5143 5,2419 3,9340 3,3464 Середній радіус планети R, км 6371,0 6050,9 3389,9 1737,6 Ядро радіусом RЯ, км 3486 3250 1662 340 Мантія товщиною H, км 2840 2740 1678 1338 Кора товщиною h км та середньою густиною δ г/см3 45/2,7 60/2,9 50 / 3.0 60 / 2.9 Результати досліджень та їх інтерпретація Інтерпретація результатів вивчення гравітацій- ного поля планет земної групи у взаємозв’язку з їх внутрішньою будовою становить значний інтерес для вивчення їх неоднорідної будови, оскільки прояви неоднорідного розподілу мас для цих пла- нет найбільшою мірою можуть відображатись на довгохвильових аномаліях сили тяжіння. Однак проблеми, пов’язані з інтерпретацією гравітацій- них полів планет, досить складні та неоднозначні, і тільки використовуючи метод аналогій для зіставлення цих полів та враховуючи інші дані планетарного характеру, можна встановити розпо- діл мас, відповідальних за планетарні аномалії гравітаційного поля. Ключовою проблемою в інтерпретації планетарних аномалій гравітаційних полів є розділення збурювальних впливів кори і мантії. У будь-якій дискусії верхня оболонка з певних причин розглядається як головний збурю- вальний фактор, що впливає на гравітаційне поле планети. Підтвердженням цьому можуть бути такі аргументи [Церклевич та ін., 2010]: – аномальні маси, які найближче розміщені до поверхні планети, найбільше впливають на її зов- нішнє гравітаційне поле; – неоднорідні маси у верхній оболонці планети корелюють з її рельєфом і тектонічною будовою; – неоднорідні маси, розміщені в зовнішній сферичній оболонці планети, також здійснюва- тимуть додатковий вплив на планетарні аномалії гравітаційного поля, якщо ця оболонка підтри- мується впродовж тривалого геологічного часу в неоднорідному стані. Оцінка наявності неоднорідних мас, які роз- міщені в глибинній частині мантії, і їхньої граві- таційної складової в аномальному гравітаційному полі планети неоднозначна через швидке ослаб- лення з відстанню впливу збурювальних мас на аномалії сили тяжіння та можливий гравітаційний вплив від компенсаційних мас (вони можуть заля- Геодезія 45 гати на будь-якій глибині). Однак часто вислов- люється припущення, що менші за порядком гар- моніки в розкладі гравітаційного поля за кульо- вими функціями зумовлені насамперед неод- норідностями глибинної частини мантії планети, тоді як більші за порядком гармоніки відображають будову верхньої частини мантії [Phillips, Saundrs, 1975]. Хоча це припущення до певної міри обґрунтовано, але воно також потребує пере- конливішої аргументації. Як приклад розглянемо модель неоднорідної структури планети, в якій ви- падковим способом розміщені аномалії густини, лінійне простягання яких менше, ніж довжина хвилі L для гармонік порядку 2 /n R L , у розкладі зовнішнього гравітаційного поля в ряд за кульовими функціями. Отже, для такої моделі неоднорідні маси в нижній оболонці планети можуть робити істотний внесок тільки в гармоніки нижчого порядку, тоді як такі неоднорідності у верхній оболонці дають внесок у всі члени ряду. У межах цієї простої статистичної моделі вдається встановити лише приблизні значення латеральних аномалій густини, які, ймовірно, можуть перебу- вати в глибинних частинах мантії. Тому актуаль- ним питанням залишається розроблення теорій інтерпретації гравітаційного поля планет, які могли б підтвердити чи заперечити наявність латераль- ної неоднорідної структури в глибинних шарах. Вочевидь, основою інтерпретації повинна бути модель тривимірного розподілу густини планети, неодмінною умовою побудови якої є її від- повідність визначеним параметрам гравітаційного поля та адекватність сучасним планетологічним і космогонічним уявленням. Нижче описано побудовані за наведеною ме- тодикою моделі тривимірного розподілу густини для Землі, Венери, Марса та Місяця і дано інтер- претацію отриманих результатів. Земля За описаним вище алгоритмом виконано роз- рахунки з визначення тривимірного розподілу густини земних надр з використанням гармоніч- них коефіцієнтів відповідно до n 4;20 порядків моделі геопотенціалу [Gaposchkin, 1973, Pavlis et al., 2008]. За неоднорідні аномальні маси в тілі Землі прийнято різницю тривимірного і одно- вимірного (радіального) розподілу густини 2( , , ) ( )n n         . (14) На рис. 1–3 показано обчислені глобальні роз- поділи аномалій густини на вибраних глибинах вздовж радіуса Землі, які зумовлені гармонічними коефіцієнтами до 3-го і 20-го порядків. Перш ніж перейти до інтерпретації отриманих аномалій, від- значимо таке. По-перше, отримані результати триви- мірного розподілу густини внаслідок використання гармонічних коефіцієнтів до 3-го порядку показують значно згладжені в горизонтальному простяганні аномалії густини в літосфері та верхній мантії планети. По-друге, залишається не з’ясованим, що відображають ці неоднорідності: регіонально усе- реднений гравітаційний ефект дрібномасштабних неоднорідних мас чи довгохвильові аномалії густи- ни, зумовлені єдиним джерелом гравітації. По-третє, в основу побудови тривимірних моделей густини покладено припущення про те, що гармонічні коефі- цієнти зумовлені розподілом мас уздовж усього радіуса Землі. І хоча таке припущення не є достатньо обґрунтованим щодо достовірної прив’язки розподі- лу густини неоднорідних мас з глибиною, однак використаний метод, як буде показано далі, дозволяє зробити висновок про нижню межу розміщення неоднорідних мас, які можуть впливати на довгохви- льові аномалії сили тяжіння. Отже, наведені заува- ження вказують на значну складність інтерпретації визначених планетарних неоднорідностей густини з використанням гравіметричного методу. Проаналізувавши літературні джерела, можна відзначити, що планетарні аномалії сили тяжіння багато авторів трактують по-різному. Так, до можливих причин, які впливають на аномальне гравітаційне поле Землі, можна віднести густинні неоднорідності, спричинені геодинамічними і термо- пружними напруженнями, температурними неод- норідностями мантії, існування первинних не- однорідностей, теплову і гравітаційну конвекцію в мантії, фазові переходи в мантії тощо. Крім того, для інтерпретації аномалій сили тяжіння залуча- ються також дані про кореляцію з тепловим по- током, великомасштабними тектонічними структу- рами, глобальними аномаліями магнітного поля. З перерахованих вище причин випливає, що поки немає єдиної універсальної гіпотези, яка достатньо правдоподібно пояснювала б походження планетар- них аномалій сили тяжіння. Тому в питанні їх інтер- претації доцільний комплексний підхід з викорис- танням якнайбільшої кількості різних даних. Останнім часом на основі розробленого методу сейсмічної томографії репрезентативну інформацію щодо розподілу неоднорідних мас у мантії Землі надають вимірювання відхилень часу проходження поздовжніх і поперечних сейсмічних хвиль від усереднених значень для стандартної моделі Землі [Dziewonski et.al.,1977]. У результаті опрацювання цих даних вперше отримано сферичні коефіцієнти розкладу аномалій швидкостей Vp до 3-го порядку включно для п’яти оболонок (0–670 км, 670–1100 км, 1100–1500 км, 1500–2200 км, 2200–2886 км), які представляють кору і мантію планети. На рис. 4, запозиченому з роботи А. Дзієвонського [Dziewonski et al., 1977], наведено розподіли аномалій швидкостей Vp у шарі 0–670 км. Вибір для подальшої інтерпретації аномалій швид- костей Vp саме в цьому шарі зумовлений двома обставинами: по-перше, центри мас джерел велико- масштабних аномалій сили тяжіння за розрахун- ками Ю.А. Тараканова [Тараканов, Черевко, 1978] залягають на глибині близько 1000 км і, по-друге, саме до цієї глибини ще простежується значуща кореляція аномалій швидкостей Vp (рис. 4) з аномаліями густини (рис. 1). Геодинаміка 1(12)/2012 46 Рис. 1. Розподіл аномальної густини надр Землі (модель), зумовлений гармонічними коефіцієнтами до 3-го порядку на глибині 100 км (ізолінії проведені через 4 10-4 г/см3) Рис. 2. Розподіл аномальної густини надр Землі (модель), зумовлений гармонічними коефіцієнтами до 20-го порядку на глибині 100 км (ізолінії проведені через 5 10-4 г/см3) Рис. 3. Розподіл аномальної густини надр Землі (модель), зумовлений гармонічними коефіцієнтами до 20-го порядку на глибині 1000 км (ізолінії проведені через 5 10-4 г/см3) Геодезія 47 Розглянемо тепер докладніше кореляцію між аномаліями густини й аномаліями швидкостей Vp, що добре простежується з порівняння рис. 1 та 4 і яка, ймовірно, зумовлена єдиною причиною – ве- ликомасштабною гравітаційною і тепловою кон- векцією у верхній мантії. Справді, отримані оцінки варіацій густини неоднорідностей у мантії (0,002 г/см3) відповідають критичній величині різниці густини – 0,001 г/см3 [Ранкорн, 1975], яка достатня для виникнення конвективних потоків з швидкос- тями, що узгоджуються з даними з глобальної тектоніки плит [Теркот, Шуберт, 1985]. Такі різниці густини можуть спричинятись різницею температур в 1 0С [Ранкорн, 1975], що накопичуються за період у 106 років. Час релаксації напруження повинен бути такого самого порядку або меншим. Невеликі відхи- лення температур від таких, що відповідають релаксованому стану, приводять до альтернативного припущення про існування в мантії температурних напружень [Жарков, 1963]. Наявність аномалій густини в мантії можна також пояснити і неодно- рідним хімічним складом речовини [Dziewonski et al., 1977]. Проте два останні припущення суперечать концепції глобальної тектоніки плит, яка, як один з прийнятних рушійних механізмів, визнає конвек- тивне переміщення мантійної речовини. Тому викликає інтерес та обставина, що епіцентри мас зі зниженою густиною, оконтурені ізолініями на рис. 1, та аномалії зі зниженими швидкостями сейсмічних хвиль Vp (рис. 4) добре узгоджуються з положенням висхідних конвективних потоків, показаних на рис. 5 [Зоненшайн, Савостин, 1979]. Рис. 4. Аномалії швидкості Vp в шарі 0–670 км за даними А. Дзієвонського та ін. [Dziewonski et al., 1977] Рис. 5. Карта моделювання ліній течій в астеносфері та їх співвідношення з переміщеннями літосферних плит на поверхні Землі [Зоненшайн, Савостин, 1979]: 1 – лінії течій; 2 – границя нарощування і сповзання літосферних плит; 3 – границя поглинання літосферних плит; 4 – напрямок переміщення літосферних плит, см/рік: а – відносно системи острівних дуг на заході Тихого океану, б – відносно системи гарячих точок; 5 – центри висхідних конвекційних течій; 6 – області низхідних течій; 7 – головні гарячі точки Геодинаміка 1(12)/2012 48 Рис. 6. Карта варіацій швидкості поперечних сейсмічних хвиль ss VV / (шкала в %) для моделі PREM на глибині 100 км [Su, Woodward, 1994] Вплив гармонік вищих порядків ( n =20) зу- мовлений “короткохвильовими” аномаліями гус- тини (див. рис. 2, 3), які локалізовані в літосфері й у верхніх шарах мантії (понад 1000 км). Побу- дована модель тривимірного розподілу густини з врахуванням гармонік до 20-го порядку виявляє цікаву закономірність перерозподілу неоднорід- них мас в екваторіальній області на глибинах 100 і 1000 км, що може підтверджувати компенсацій- ний механізм геоізостазії [Тяпкін, 1998; Церк- левич, 2009]. Порівняння розподілу аномальної густини надр Землі (рис. 2) з рис. 6, на якому показано варіації швидкості поперечних сейсмічних хвиль ( /s sV V , в %) для моделі PREM на глибині 100 км за результатами їх розкладу за сферичними гармоніками до 12-го порядку, не показують тіс- ної кореляції. Якщо на рис. 6 чітко простежується, що під континентами верхня мантія холодна і вона характеризується підвищеними швидкостями по- ширення сейсмічних хвиль, то з рис. 2 такої закономірності в розподілі густини не виявля- ється, оскільки гармонічні коефіцієнти 2-го порядку 22С і 22S розкладу геопотенціалу суттєво впливають на розподіл густини в екваторіальній зоні (рис. 7). Можна припустити, що гармонічні коефіцієнти 2-го порядку відображають тривісність фігури Землі й відхилення від гідростатично рівноважного стану, а ці відхилення підтримуються за рахунок дії статичних напружень у нижній мантії планети. Отже, є всі підстави вважати, що аномалії сили тяжіння планетарного масштабу пов’язані з інте- гральним впливом неоднорідностей густини в тілі Землі, які розташовані по всій товщині текто- носфери до глибин 1000 км. Природа планетарних неоднорідних мас добре узгоджується з велико- масштабним конвективним перетіканням речови- ни у верхній мантії. Венера Венера – це планета земного типу, яка найбіль- ше нагадує Землю. Вона має приблизно такі самі діаметр, масу і середню густину. Для побудови моделей внутрішньої будови Венери традиційно використовують рівняння гідростатичної рівно- ваги, стан речовини за сильного стискання та за умови збереження маси. Однак певний інтерес становить побудова ще таких моделей Венери, які задовольняли б дані про її гравітаційне поле. Для побудови тришарових моделей, що складаються з кори, мантії і ядра, необхідно задати значення глибин розділу структурних шарів і стрибки в розподілі густини вздовж радіуса. Для розрахунку моделей Венери використано дані, наведені в таблиці. Гармонічні коефіцієнти до 20-го порядку взято з моделі гравітаційного поля Венери [Konopliv et al., 1999]. Геодезія 49 Рис. 7. Розподіл аномальної густини надр Землі (модель), зумовлений гармонічними коефіцієнтами 2-го порядку на глибині 100 км (ізолінії проведені через 4 10-4 г/см3) Рис. 8. Розподіл аномальної густини надр Венери (модель), зумовлений гармонічними коефіцієнтами до 20-го порядку на глибині 100 км (ізолінії проведені через 5 10-4 г/см3) Рис. 9. Розподіл аномальної густини надр Венери (модель), зумовлений гармонічними коефіцієнтами до 20-го порядку на глибині 1000 км (ізолінії проведені через 5 10-4 г/см3) Геодинаміка 1(12)/2012 50 Момент інерції для Венери неможливо роз- раховувати за гідростатичною теорією внаслідок того, що параметр 2 3 /g R fM в сотні (~450) разів менший від зональної гармоніки 2J , що по- в’язано з повільним обертанням планети навколо своєї осі. У зв’язку з цим значення моменту інерції підбиралося так, щоб густина кори для розрахо- ваної моделі приблизно дорівнювала 2,9 г/см3, а це значення вважається найімовірнішим. Оскільки описана вище методика дозволяє знахо- дити тривимірний розподіл густини, то це дає мож- ливість оцінити неоднорідності густини всередині планети. На рис. 8 і 9 у вигляді картосхем представ- лено розподіл аномалій густини  Венери на гли- бинах 100 і 1000 км. На рис. 8 виділяються п’ять екст- ремумів з додатними аномаліями густини і чотири екстремуми з від’ємними. Якісно така сама картина розподілу аномалій густини зберігається і на глибині 1000 км (рис. 9), хоча загальний рисунок тривимір- ного розподілу густини дещо інший. Можна припус- тити, що в приповерхневому шарі Венери (глибиною до ~100 км) горизонтальні неоднорідності проявляють себе в планетарних особливостях її топографії, підтверджуючи існування ізостатичної рівноваги в класичному розумінні. На противагу цьому, розподіл аномальної густини надр Венери на глибині 1000 км підтверджує компенсацію поверхневих аномалій роз- поділу густини, які простежуються на рис. 8. Марс З опублікуванням перших моделей гравітацій- ного поля і топографії Марса встановлено наявність кореляційного зв’язку між аномаліями сили тяжіння і топографічними висотами як в плані їх розміщення, так і за значущістю коефіцієнтів кореляції (див. [Мещеряков, Церклевич, 1987] і наведену там бібліографію). Виявлена закономірність наводить на думку, що найочевидніший внесок у гравітаційне поле планети робить її топографія, а латеральні неоднорідності густини надр планети мають друго- рядне значення. Однак така інтерпретація граві- таційного поля приводить до припущення, що для Марса характерна менш повна регіональна ізоста- тична компенсація, ніж для Землі. Навіть більше, на окремих значних територіях передбачаються істотні відхилення марсіанської кори від стану ізостатичної рівноваги. А таке припущення вимагає збереження впродовж геологічно довгих періодів часу великих надгідростатичних напружень в корі планети, що можливо тільки за рахунок існування потужної і міцної літосфери або збільшення в’язкості верхньої мантії. Тому заслуговує на увагу робоча гіпотеза про великомасштабні глибинні латеральні неоднорід- ності надр Марса, які простежуються до ядра і динамічно зв’язані з геологічними структурами планети на її поверхні. Зауважимо також, що для Землі сейсміка фіксує надзвичайно важливий для тектоніки і геодинаміки феномен: наявність тихо- океанської неоднорідності аж до ядра планети [Пущаровский, 1997]. Отже, можна припустити, що в ході акреції планет гомогенізації не відбулося. Тому правомірно говорити про первинну тектонічну і геодинамічну неоднорідність Марса, яка відобра- зилась у сучасному вигляді планети. Якісно підтвердити це припущення може три- вимірна модель розподілу густини Марса. На рис. 10 і 11 показано карти розподілу горизон- тальних неоднорідностей густини надр Марса для глибин 100 і 1700 км. Привертає увагу насамперед найбільша додатна аномалія розподілу густини в надрах планети, яка приурочена до вулканічних структур Olympus Mons (18N; 133W) і Tharsis Montes (12N-16S; 101-125W). Характерним є те, що ця аномальна неоднорідність простежується до значних глибин, які межують з ядром планети. Можна допустити, що на неотекто- нічному етапі еволюції планети легкий матеріал мантії, що утворився на границі ядро – мантія внаслідок диференціації речовини, почав спливати вгору у верхню мантію. У результаті в мантії виникла хімічна конвекція, рушійною силою якої є істотна різниця густини речовини, зумовлена її різним складом. Хімічна конвекція в процесі еволюції планети підсилилась тепловою конвекцію. За рахунок цього відбулось перетікання гарячих тепломасопотоків від границі ядро – мантія до літосфери невеликих плюмів, які принесли з собою флюїд, що забезпечив сильне розм’якшення мантій- ної літосфери. Залежно від об’єму флюїду в плюмі, відбувалася часткова або повна ерозія мантійної літосфери, що зумовило великі варіації величини піднять на відстанях у декілька тисяч кілометрів, деформуючи на значну висоту поверхню планети. Такі варіації добре видно на топографічній карті Марса, де величина новітнього підняття сягає 8– 10 км. Для майже одночасного підняття на великій території матеріал плюмів, який піднявся в окремих місцях з глибин, повинен був розтікатися на тисячі кілометрів уздовж підошви літосфери. Ландшафт цієї території визначила вулканічна діяльність з най- більшими у Сонячній системі щитоподібними вулка- нами, які досягають висот 20–27 км. Потоки рідкої лави розтікалися по поверхні, застигали, по них текли новітні потоки. Ці “річки”, що скам’яніли, зосереджені навколо щитоподібних вулканів. Великомасштабні додатні аномалії густини, які охоплюють структури Isidis Planitia (5-25S;260- 280W), Syrtis Major Planitia (0-20S;280-300W) та Utopia Planitia (35-55S;210-280W) у східній частині півкулі, чітко виділяються на невеликих глибинах 50–100 км у літосфері. Від’ємні аномалії густини на невеликих глибинах зосереджені на заході в Amazonis Planitia (5-35N;150-170W) та зі східної сто- рони відносно Tharsis Montes (12N-16S;101-125W), охоплюючи Valles Mariners (0-17N;32-95W), Lunae Planum (0-20N;58-75W) та Hellas Planitia (30-55N;275- 310W). Тобто більшість додатних і від’ємних ано- малій густини в літосфері корелюють з тектонічними структурами топографічної поверхні Марса. На знач- ній глибині картина розподілу додатних та від’ємних аномалій густини відрізняється від такого на невели- ких глибинах, за винятком Olympus Mons та Tharsis Montes, що підтверджує їх глибинне утворення. Геодезія 51 Рис. 10. Розподіл аномальної густини надр Марса (модель), зумовлений гармонічними коефіцієнтами до 20-го порядку на глибині 100 км (ізолінії проведені через 5·10-3 г/см3) Рис. 11. Розподіл аномальної густини надр Марса (модель), зумовлений гармонічними коефіцієнтами до 20-го порядку на глибині 1700 км (ізолінії проведені через 5·10-3 г/см3) Рис. 12. Мозаїчна картина горизонтальних неоднорідностей густини Місяця (модель, глибина 100 км, шкала кольорів з інтервалом 5·10-3 г/см3, позначено морфологічні структури (маскони)) -150 -100 -50 0 50 100 150 -50 0 50 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Рис. 13. Розподіл аномальної густини надр Місяця (модель), зумовлений гармонічними коефіцієнтами до 20-го порядку на глибині 1400 км (ізолінії проведені через 5·10-3 г /см3) Місяць Для Місяця аномальне гравітаційне поле можна інтерпретувати збурювальним впливом латеральних неоднорідностей густини мантії або великомасштаб- ними варіаціями товщини кори. На рис. 12 і 13 показано карти розподілу горизонтальних неодно- рідностей густини надр Місяця для глибин 100 і 1400 км, які вказують на те, що аномалії густини є більш поверхневими, порівняно з Марсом, а глибинні неоднорідності, мабуть, впливають лише на гармоніки 2-го порядку і характеризують надгід- ростатичну еліптичність фігури. Для Місяця найбільші аномалії густини зосе- реджені в приповерхневих горизонтах, корелюють з масконами і, ймовірно, підтримуються за раху- нок напруженого стану літосфери. Домінуючі до- датні аномалії густини на глибині 100 км (рис. 12) корелюють з місячними басейнами (масконами). Ключовим питанням, яке пов’язане з інтер- претацією масконів, є відділення збурюючих складових у гравітаційних аномаліях від топо- графії, басейнового заповнення і впливу мантії під цим басейном. У багатьох теоретичних роботах (див. [Сагітов, 1979; Phillips, Lambeck, 1980; Wie- czorek, 2006] і наведену там бібліографію) ви- словлюється думка, що у формуванні масконів головну роль відіграють два фактори – мантійні неоднорідності, які переважно інтерпретуються як підняття границі кора – мантія, і підтримка поверхневих базальтових потоків у місячних мо- рях за рахунок напруженого стану літосфери. Більшість авторів [Сагітов, 1979; Phillips, Lam- beck, 1980; Watts, 2001] вважають, що для Місяця маскони ізостатично не врівноважені, тому їх існування зумовлено або значною твердістю зов- нішньої оболонки Місяця, яка здатна досить довго витримувати напруження, або великою в’язкістю мантійного матеріалу, а це призводить до того, що час, який пройшов з моменту утворення масконів, недостатній для їх ізостатичного врівноваження. Залишається нез’ясованим, на яких глибинах неоднорідні маси розміщені, оскільки глибина залягання аномальних мас може суттєво вплинути на оцінку їх величини. Так, для Землі (див. [Мещеря- ков, Церклевич, 1987]) за багатьма оцінками вважа- ється, що глибини центрів мас значних аномалій сили ваги розміщені в межах 800–1000 км. Для Місяця нижня межа центрів мас планетарних ано- малій розміщена на глибині приблизно 500 км, а для Марса на глибині 750–1000 км. Отже, якщо прий- няти за нижню границю сферичних оболонок наве- дені глибини центрів мас, то можна очікувати дещо більші варіації горизонтальних неоднорідностей гус- тини у верхніх оболонках Марса та Місяця. Висновки Аналіз тривимірних моделей розподілу густини планет земної групи, побудованих на основі пара- метрів гравітаційного поля та інших даних, при- водить до таких висновків: 1. Параметри зовнішнього гравітаційного поля планети дають інформацію про її внутрішню Геодинаміка 1(12)/2012 52 будову: кожна гармоніка потенціалу відображає інтегровану умову, яку задовольняє розподіл гус- тини надр планети. Побудовані моделі триви- мірного розподілу густини надр планет основані на припущенні, що джерела аномальних мас, які впливають на стоксові коефіцієнти, розміщені по всій глибині – від поверхні планети до її центра. Останнє припущення випливає з самої методики побудови тривимірних моделей густини і при- водить до істотно згладжених значень аномалій густини у верхніх оболонках планети. 2. Довгохвильові аномалії сили ваги Землі по- в’язані з неоднорідностями розподілу густини в шаровій оболонці тектоносфери до глибин ~1000 км. Природа планетарних неоднорідних мас добре узгоджується з великомасштабним конвективним перетіканням речовини у верхній мантії. Гармонічні коефіцієнти 2-го порядку розкладу геопотенціалу відображають відхилення розподілу густини (і фі- гури Землі) від гідростатично рівноважного стану. 3. Горизонтальні неоднорідності Венери мають приблизно такі самі значення, як і для Землі. У при- поверхневому шарі Венери (завглибшки до 1000 км) горизонтальні неоднорідності проявляють себе в планетарних особливостях її топографії, якщо фізич- ну природу аномалій густини пов’язувати з механіз- мом встановлення ізостатичної рівноваги. 4. Дослідження розподілу неоднорідностей гус- тини в мантії Марса дають підстави вважати, що саме глибинні неоднорідності створюють в основно- му таке “грубе” гравітаційне поле планети. Глибин- ний розподіл аномальних мас надр відображає негідростатичний стан планети, що, ймовірно, виник в її ранній історії. Тому можна припустити, що в ході акреції планети гомогенізація не відбулась і на ранній еволюційній стадії було закладено первинну тектонічну і геодинамічну неоднорідність Марса, яка позначилась на сучасному вигляді планети. 5. Розподіл горизонтальних неоднорідностей густини надр Місяця для глибин 100 і 1400 км вказує на те, що найбільші аномалії густини є поверхневішими порівняно з Марсом і корелюють з масконами, а глибинні неоднорідності вплива- ють тільки на гармоніки 2-го порядку і характери- зують надгідростатичну еліптичність його фігури. Література Жарков В.Н. К задаче о термоупругих напря- жениях в теле Земли // Изв. АН СССР. Сер. Геофиз. – 1963. – 7. – С. 989-999. Заяць О.С. Про використання даних космічних апаратів при вивченні гравітаційного поля і внутрішньої будови Місяця // Новітні досяг- нення геодезії, геоінформатики та землевпо- рядкування. Європейський досвід. – Чернігів. – 2005. – Вип. 3. – С. 195-199. Зоненшайн П.П., Савостин Л.А. Введение в геодинамику. – М.: Недра, 1979. – 311 с. Картвелишвили К.М. Планетарная плотностная модель и нормальное гравитационное поле Земли. – М.: Наука, 1982. – 95 с. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. – Новоси- бирск: Наука, 1962. – 96 с. Мещеряков Г.А. О корректности одной обратной задачи теории потенциала // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. – 1969. – № 8. – С. 54–59. Мещеряков Г.А., Церклевич А.Л. Гравитационное поле, фигура и внутреннее строение Марса. – К.: Наук. думка, 1987. – 240 с. Мещеряков Г.А., Фыс М.М. О биортогональных системах внутри эллипсоида // Теоретические и практические проблемы вычислительной математики. – М.: Наука, 1981. – С. 120. Мориц Г. Фигура Земли: Теоретическая геодезия и внутреннее строение Земли. – К.: Наук. думка, 1994. – 240 с. Пущаровский Ю.М. Сейсмография, тектоника и глубинная геодинамика // Вестник отделения наук о Земле РАН. Электронный научно- информационный журнал. – 1997. – № 2. [Электронный ресурс] http://www.scgis.ru/ russian/cp1251/dgggms/2-97/main.html. Ранкорн С. Динамические процессы в нижней мантии // Верхняя мантия. – М.: Мир, 1975. – С. 286–298. Сагитов М.У. Лунная гравиметрия. – М.: Наука, 1979. – 432 с. Тараканов Ю.А., Черевко Т.И. Интерпретация крупнейших гравитационных аномалий Земли // Изв. АН СССР. Физика Земли. – 1978. – № 4. – С. 25–42. Теркот Д., Шуберт Дж. Геодинамика: Геологи- ческое приложение физики сплошных сред. – М.: Мир, 1985. – 376 с. Тяпкін К.Ф. Фізика Землі. – К.: Вища школа, 1998. – 291 с. Вивчення неоднорідностей внутрішньої будови Марса та Місяця за даними їхніх гравітаційних полів / А.Л. Церклевич, О.С. Заяць, П.М. Зазуляк та ін. // Кинематика и физика небесних тел. – 2010. – 26, № 2. – С. 59-73. Церклевич А.Л. Ізостазія та ізостатичні моделі інтерпретації гравітаційного поля планет зем- ної групи (сучасний стан проблеми) // Геоди- наміка. – 2009. – № 1 (8). – С. 5–23. Dziewonski A.M., Hager B.H., O’Connell R.J. Large- scale heterogeneties in the lower manthle // J. Geophys. Res. – 1977. – 82, № 2. – P. 239–255. Gaposchkin E.M. Smithsonian Standard Earth (III) // SAO Special Report. – 1973. – № 535. – 365 p. Konopliv A.S., Asmar S.W., Yuan D.N. Recent gravity models as a result of the Lunar Prospector mission // Icarus. – 2001. – 150. – P. 1–18. Konopliv A.S., Banerdt W.B., Sjogren W.L. Venus gravity: 180th degree and order model // Icarus. – 1999. – 139. – P. 3–18. Lemoine F.G. Smith D.D., Rowlands D.E. et.al. An improved solution of the gravity field of Mars (GMM-2B) from Mars Global Surveyor // Геодезія 53 J. Geophys. Res. – 2001. – 106, № E10. – P. 23359–23376. Pavlis N.K. Holmes S.A., Kenyon S.C. et al. An Earth Gravitational Model to Degree 2160: EGM2008 // EGU General Assembly. Geophysical Research Abstracts. – 2008. – Vol. 10. – P. 2. (EGU2008– A–01891). Phillips R.J. Saundrs R.S. The isostatic state of martian topography // J. Geophys. Res. – 1975. – 80, № 20. – P. 2893–2897. Su W.-J., Woodward R.L., Dziewonski A.M. Degree- 12 Model of Shear Velocity Heterogeneity in the Mantle // J. Geophys. Res. – 1994.– 99 (4). – P. 4945–4980. Watts A.B. Isostasy and Flexure of the Lithosphere. – Cambridge University Press. – 2001. – 458 p. Wieczorek M.A., Jolliff B.L., Amir Khan. The Con- stitution and Structure of the Lunar Interior // Reviews in Mineralogy & Geochemistry. – 2006. – 60. – P. 221–364. ГРАВИТАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ТРЕХМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ПЛАНЕТ ЗЕМНОЙ ГРУППЫ А.Л. Церклевич, А.С. Заяц, М.М. Фыс Рассмотрено интерпретацию планетарных аномалий гравитационного поля Земли, Венеры, Марса и Луны во взаимосвязи с внутренним неоднородным строением этих планет. Исходной информацией для исследований были модели гравитационного поля указанных планет до 20-го порядка и степени, а также параметры трехслойной модели (кора, мантия, ядро) каждой из этих планет и соответствующие планетарные параметры. Ключевые слова: гравитационная модель распределения плотности; степенные моменты плотности; гармонические коэффициенты разложения гравитационного поля; аномалии силы тяжести; обратная гравиметрическая задача. EARTH GROUP PLANETS GRAVITATIONAL MODELS OF 3-D DENSITY DISTRIBUTIONS A.L. Tserklevych, O.S. Zayats, M.M. Fys In the paper the interpretation of planetary anomalies in the gravitational field of the Earth, Venus, Mars and Moon in their relationship with the internal inhomogeneous structure of those planets is considered. The model of the gravitational field of named planets up to 20th order and degree and the three-layer models (crust, mantle and core) of the planets and its planetary parameters was taken as the initial information for modelling. Key words: gravitational model of density distribution; density moments; spherical harmonics coefficients of gravity field; gravity anomalies; inverse gravimetric task. Національний університет “Львівська політехніка”, м. Львів Надійшла 22.05.2012

Гравітаційні моделі тривимірного розподілу густини планет земної групи

Institution

Ähnliche Einträge