Попереднє опрацювання супутникових гравітаційних градієнтів місії GOCE

Cпутник GOCE был запущен в 2009 г. на низкой (260 км) орбите, на его борту расположен электростатический гравитационный градиентометр для измерения ускорения свободного падения. В работе приведен алгоритм использования кватернионов для трансформации гравитационных градиентов от системыGRF (реф...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автор:	Лук’янченко, Ю.О.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України 2012
Назва видання:	Геодинаміка
Теми:	Геодезія
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60639
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Попереднє опрацювання супутникових гравітаційних градієнтів місії GOCE / Ю.О. Лук’янченко // Геодинаміка. — 2012. — № 1(12). — С. 63-66. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-60639
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-606392025-06-03T16:24:25Z Попереднє опрацювання супутникових гравітаційних градієнтів місії GOCE Предварительная обработка спутниковых гравитационных градиентов миссии GOCE Preprocessing of satellite gravity gradient of GOCE mission Лук’янченко, Ю.О. Геодезія Cпутник GOCE был запущен в 2009 г. на низкой (260 км) орбите, на его борту расположен электростатический гравитационный градиентометр для измерения ускорения свободного падения. В работе приведен алгоритм использования кватернионов для трансформации гравитационных градиентов от системыGRF (референсная система градиентометра) к LNOF (локальная система, ориентированная на север). Выполнена математическая проверка промежуточных вычислений и показаны способы, улучшающие использование данных. Супутник GOCE запущено у 2009 р. на низькій (260 км) орбіті, на його борту встановлено електростатичний гравітаційний градієнтометр для вимірювання градієнтів прискорення вільного падіння. В роботі наведено алгоритм використання кватерніонів при трансформуванні градієнтів прискорення вільного падіння від системи GRF (референцна система градієнтометра) до LNOF (локальна система, орієнтована на північ). Виконано математичну перевірку проміжних обчислень та показано способи, що покращують використання даних. GOCE satellite was launched in 2009on a low (260 km) orbit and it contains the electrostatic gravity gradiometer which is destining for measuring of gravity gradients. In the paper the algorithm of using of quaternions during the transformation of gravity gradients from the system GRF (Gradiometer Reference Frame) to LNOF (Local North Oriented Frame)is shown. Mathematical verification of intermediate calculations is realized and methods of improvement of data using are shown. 2012 Article Попереднє опрацювання супутникових гравітаційних градієнтів місії GOCE / Ю.О. Лук’янченко // Геодинаміка. — 2012. — № 1(12). — С. 63-66. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1992-142X https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60639 521.21/22 uk Геодинаміка application/pdf Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Геодезія Геодезія
spellingShingle	Геодезія Геодезія Лук’янченко, Ю.О. Попереднє опрацювання супутникових гравітаційних градієнтів місії GOCE Геодинаміка
description	Cпутник GOCE был запущен в 2009 г. на низкой (260 км) орбите, на его борту расположен электростатический гравитационный градиентометр для измерения ускорения свободного падения. В работе приведен алгоритм использования кватернионов для трансформации гравитационных градиентов от системыGRF (референсная система градиентометра) к LNOF (локальная система, ориентированная на север). Выполнена математическая проверка промежуточных вычислений и показаны способы, улучшающие использование данных.
format	Article
author	Лук’янченко, Ю.О.
author_facet	Лук’янченко, Ю.О.
author_sort	Лук’янченко, Ю.О.
title	Попереднє опрацювання супутникових гравітаційних градієнтів місії GOCE
title_short	Попереднє опрацювання супутникових гравітаційних градієнтів місії GOCE
title_full	Попереднє опрацювання супутникових гравітаційних градієнтів місії GOCE
title_fullStr	Попереднє опрацювання супутникових гравітаційних градієнтів місії GOCE
title_full_unstemmed	Попереднє опрацювання супутникових гравітаційних градієнтів місії GOCE
title_sort	попереднє опрацювання супутникових гравітаційних градієнтів місії goce
publisher	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Геодезія
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/60639
citation_txt	Попереднє опрацювання супутникових гравітаційних градієнтів місії GOCE / Ю.О. Лук’янченко // Геодинаміка. — 2012. — № 1(12). — С. 63-66. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series	Геодинаміка
work_keys_str_mv	AT lukânčenkoûo poperednêopracûvannâsuputnikovihgravítacíinihgradíêntívmísíígoce AT lukânčenkoûo predvaritelʹnaâobrabotkasputnikovyhgravitacionnyhgradientovmissiigoce AT lukânčenkoûo preprocessingofsatellitegravitygradientofgocemission
first_indexed	2025-11-30T21:38:56Z
last_indexed	2025-11-30T21:38:56Z
_version_	1850252975428075520
fulltext	Геодезія © Ю.О. Лук’янченко 63 УДК 521.21/22 Ю.О. Лук’янченко ПОПЕРЕДНЄ ОПРАЦЮВАННЯ СУПУТНИКОВИХ ГРАВІТАЦІЙНИХ ГРАДІЄНТІВ МІСІЇ GOCE Супутник GOCE запущено у 2009 р. на низькій (260 км) орбіті, на його борту встановлено електростатичний гравітаційний градієнтометр для вимірювання градієнтів прискорення вільного падіння. В роботі наведено алгоритм використання кватерніонів при трансформуванні градієнтів прискорення вільного падіння від системи GRF (референцна система градієнтометра) до LNOF (локальна система, орієнтована на північ). Виконано математичну перевірку проміжних обчислень та показано способи, що покращують використання даних. Ключові слова: кватерніони; місія GOCE; правило перетворення коваріації; гравітаційні градієнти; системи координат. Вступ Супутник GOCE запущено у 2009 р. на низькій (260 км) орбіті, на його борту встановлено електростатичний градієнтометр для вимірювання градієнтів прискорення вільного падіння. Після запуску супутника GOCE стали доступними ви- міряні ним градієнти прискорення вільного падін- ня, що стало поштовхом до нових досліджень у цій галузі. Європейська космічна агенція надала дослідникам доступ до великого набору різ- номанітних даних. Постала проблема вибору та правильного порядку використання потрібних да- них для опрацювання гравітаційних градієнтів з подальшим їх використанням. Постановка завдання У роботі використано дані EGG_NOM_2 (гравітаційні градієнти у системі GRF, їх точність, поправки, кватерніони переходу від GRF до IRF), EGG_TRF_2 (гравітаційні градієнти у системі LNOF, їх точність та географічні координати φ, λ, r), SST_PSO_2 (дані кінематичної орбіти та ква- терніони переходу від EFRF до IRF) [Gruber et al., 2010]. Це, своєю чергою, дає змогу отримати вертикальні градієнти zzV , за допомогою яких можна обчислити гармонійні коефіцієнти гравіта- ційного поля Землі. Оскільки дані EGG_NOM_2 рекомендують використовувати для побудови глобальних моделей гравітаційного поля, то виникає задача трансформування градієнтів із системи градієнтометра GRF, яка є близькою до орбітальної системи LNOF (орієнтація осей NEU), для якої і записується рівняння вертикальних градієнтів [Марченко та ін., 2011]. Зв’язок кватерніонів та матриці повороту Кватерніоном називається гіперкомплексне чи- сло, яке геометрично реалізується у чотиривимір- ному просторі. Систему кватерніонів створив у 1843 р. Вільям Роуен Гамільтон. Вона була першою системою, яка узагальнює комплексні числа. Потім кватерніони забули і до 60-х років XX століття майже не використовували. Почи- наючи з середини 60-х років, кватерніони набу- вають все більшої популярності в аналітичній фо- тограмметрії та інших прикладних науках. На су- часному етапі кватерніонне обчислення є основ- ною частиною математичного апарату сучасної космічної фотограмметрії та космічної геодезії. Кватерніони дозволяють досить ефективно розв’язувати задачі, пов’язані з композиціями обертань простору. Вони мають ряд переваг, порівняно з описом обертання за допомогою ейлерових кутів, оскільки дають можливість отримати безпосередньо координати вектора у новій системі координат при повороті простору на кут θ навколо деякої інваріантної осі 0C . Кватерніони утворюють чотиривимірну алгебру над полем дійсних чисел з базисом (1, xe , ye , ze ). Насправді xe , ye , ze можуть мати загальнішу суть, ніж орти в ортонормованому базисі. Для роботи з кватерніонами необхідно знати правила їх перемноження (див. таблицю). Правила перемноження елементів кватерніона 1×1=1 1× xe = xe 1× ye = ye 1× ze = ze xe ×1=1 xe × xe =-1 xe × ye = ze xe × ze =- ye ye ×1=1 ye × xe =- ze ye × ye =-1 ye × ze = xe ze ×1=1 ze × xe = ye ze × ye =- xe ze × ze =-1 З цього випливає, що: 2 xe = 2 ye = 2 ze = xe ye ze =-1, де порядок множників у добутку xe ye ze строго фіксований. Також наслідком цих базових співвідношень є: xe ye =- ye xe = ze ; ye ze =- ze ye = xe ; ze xe =- xe ze = .ye Будь-який кватерніон можна подати так: Q =A+ 1c xe + 2c ye + 3c ze . (1) При цьому розрізняють скалярну частину A та векторну: 0C = 1c xe + 2c ye + 3c ,ze отже: Q =A+ .0C Геодинаміка 1(12)/2012 64 Якщо А=0, то кватерніон є вектором, що свід- чить про тісний зв’язок кватерніонного та век- торного обчислення (історично векторне обчис- лення виникло із кватерніонного). Для кожного кватерніона існує спряжений ква- терніон 1Q =A- 1c xe - 2c ye - 3c ze =A- ,0C (2) при цьому Q 1Q = 1Q Q = 2 2 2 2 1 2 3 .c c c  A (3) Величина Q 1Q є дійсним числом і називається нормою кватерніона та позначається ( )N Q . Норма кватерніона ( )N Q задовольняє співвідношення 1 2 1 2( ) ( ) ( )N Q Q N Q N Q . (4) Будь-яке обертання тривимірного простору на- вколо початку координат можна задати за допо- могою кватерніона q з нормою, яка дорівнює оди- ниці. Поворот, відповідний кватерніону q, пере- творює вектор l m n  0 x y zr e e e на вектор L M N  0 x y zR e e e . q q L M N   0 0 1 x y zR r e e e . (5) Розглянемо алгоритм, який описує кватерніон- ний поворот простору в ортонормованому базисі. Нехай напрям на точку простору перед пово- ротом задано одиничним вектором l m n  0 x y zr e e e , відомо кут  повороту простору та напрямні коси- нуси 1 2 3, ,c c c осі повороту 1 2c c  0 x yc e e 3c ze . Потрібно визначити напрямні косинуси одиничного вектора L M 0 x yR e e N ze , на який перетворився вектор 0r в результаті повороту осі 0c на кут  . Розглянутому повороту відповідає нормований кватерніон q :  1 2 3 1 ,q A c c c a b c d N        x y z x y ze e e e e e де cos ; 2 A N   2 2 2 2 1 1 2 3 ,N A c c c    звідки 1 ; sin 2 N   2 A ctg  . Спряжений нормований кватерніон 1q мати- ме вигляд  1 1 2 3 1 .q A c c c N     x y ze e e Тоді вектор 0R можна визначити за формулою: 1q q0 0R r , (6) де при перемноженні компонент треба дотриму- ватись правил перемноження ортів (див. табл.) [Урмаєв, 1989]. Перепишемо елементи кватерніона через такі позначення 1 2 3 4, , ,q q q q , що, своєю чергою, відпо- відає 1 2 3, , ,A c c c , тоді матрицю повороту R можна записати через елементи кватерніона. 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 4 2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 4 2 2 2 2 1 3 2 4 2 3 1 4 1 2 3 4 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) q q q q qq q q qq q q qq q q q q q q q q qq qq q q q q qq q q q q                          R (7) Інтерполяція кватерніонів та координат супутника Місія GOCE дає можливість отримати велику кількість різноманітних даних, і часто ці дані приведені на різні епохи. Тоді виникає необхідність у їх інтерполяції. Під час розв’язання поставленої задачі виникла потреба в інтерполяції двох типів даних, а саме: прямокутних координат супутника та кватерніонів переходу від однієї системи до іншої. Для інтерполяції координат використано інтерпо- ляційний поліном Лагранжа третього степеня, тобто взяли два попередніх та два наступних вузли інтерполяції відносно точки, на яку виконується інтерполяція. Для інтерполяції кватерніонів викорис- тано методику, яку рекомендує Європейська кос- мічна агенція [Gruber et al., 2010]. Нехай нам потрібно знайти кватерніон на певну епоху, маючи два сусідніх кватерніони (один заданий на попередню епоху, інший заданий на наступну), назвемо їх відповідно aq та bq , резуль- туючий кватерніон назвемо abq . Отже, отримаємо такий вираз ab a bq q q , і тоді елементи нового ква- терніона будуть обчислюватись за формулами (8): 4 4 4 1 1 2 2 3 3 1 4 1 1 4 3 2 2 3 2 4 2 2 4 1 3 3 1 3 4 3 3 4 2 1 1 2 ab a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a b q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q                     (8) Нехай кожен кватерніон заданий на певну епо- ху, введемо відповідні позначення: , ,a bt t t , після чого визначимо такі величини: 42arccos( );ab abq  (9) ;a at ab b a t t t t      (10) Тоді можна обчислити елементи кватерніона atq 4 1 1 2 2 3 3 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 at at at at ab ab at at ab ab at at ab ab q q q q q q q                          . (11) Геодезія 65 Після цього потрібний нам кватерніон можна знайти з рівняння (12) t a atq q q , (12) де елементи tq визначають за виразами (13). 4 4 4 1 1 2 2 3 3 1 4 1 1 4 3 2 2 3 2 4 2 2 4 1 3 3 1 3 4 3 3 4 2 1 1 2 . t a at a at a at a at t a at a at a at a at t a at a at a at a at t a at a at a at a at q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q                     (13) Системи координат У роботі розглянемо такі системи координат: GRF, LNOF, EFRF, IRF [Gruber et al., 2010]. Останні дві системи є добре відомими, це земна та інерціальна системи відповідно. Система LNOF – це система, центр якої розташований у центрі мас супутника, вісь ОX напрямлена на північ, вісь OZ збігається з радіус-вектором до супутника і вісь OY доповнює систему до правої. Система GRF є сис- темою самого градієнтометра, її центр міститься у центрі мас градієнтометра, вісь ОX напрямлена в напрямку руху супутника, вісь OZ близька до на- прямку радіус-вектора до супутника, але за рахунок зовнішніх сил має невелике відхилення від нього, вісь OY доповняє систему до правої (рис. 1). Можна сказати, що система GRF є реальною системою, напрямки якої визначаються положенням градієнто- метра, а система LNOF є модельною. Орієнтація супутника визначається за допомо- гою системи GNSS та спеціальних камер, що стежать за зірками (star-trackers). Система LNOF для геодезичних координат (б) і розходження між напрямками осей систем GRF та LNOF (а) Перехід від системи LNOF до EFRF реалі- зується через матрицю повороту R (14), sin cos sin cos cos sin sin cos cos sin cos 0 sin                        R . (14) Перетворення тензора градієнтів між різними системами координат Для трансформування координат від однієї сис- теми до іншої використовується матриця повороту простору R , наприклад, трансформування коор- динат від геоцентричної до топоцентричної системи виконується відповідно до рівняння g tX RX , (15) де gX і tX є векторами прямокутних координат у геоцентричній та топоцентричній системах від- повідно. Для того, щоб трансформувати градієнти між цими системами, потрібно використати правило перетворення коваріації (16) [Марченко та ін., 2011]  T g tV RV R , (16) де gV і tV є тензорами градієнтів у геоцентричній та топоцентричній системах відповідно. Отже, остаточно трансформування гравітацій- них градієнтів із системи GRF до системи LNOF можна виконати так:       T T T LNOF L E E I G I GRF G I E I L EV R [R (R V R )R ]R , (17) де R з відповідними індексами означає транс- формування між певними системами, букви в ін- дексах показують, між якими системами коорди- нат відбувається трансформування (LNOF, GRF, IRF, EFRF). За цим самим правилом можна виконувати оцінку точності визначень. Результати математичних обчислень Після проведення обчислення виявлено, що при обчисленні матриці повороту від EFRF до IRF через кватерніони у файлах PSO її визначник дорівнює одиниці з точністю 10-5. Після проведення аналогіч- ної операції з кватерніонами у файлах NOM визнач- ник не дорівнював одиниці, але після декількох експериментів було встановлено, що визначник мат- риці набуває значення 1 з точністю 10-3, якщо змі- нити порядок вихідних кватерніонів. Після транс- формування градієнтів у файлах NOM з GRF до LNOF і порівняння їх з градієнтами у файлах TRF виявилось, що вони не відповідають один одному. Проведені експерименти показали, що якщо вико- ристовувати кватерніони з файлів NOM для транс- формування градієнтів з файлів TRF, то отримуємо результат, подібний до того, який одержано після трансформування градієнтів з файлів TRF до системи EFRF через матрицю повороту (14) і потім трансформування їх до системи IRF через кватер- ніони з файлів PSO. Висновки Оскільки дані EGG_NOM_2 рекомендують для побудови глобальних моделей гравітаційного поля Землі, в роботі наведено алгоритм транс- формування градієнтів із системи GRF до LNOF, що необхідно для подальшого визначення гармо- нічних коефіцієнтів гравітаційного поля Землі. Та- кож автор робить припущення про інший порядок використання кватерніонів у файлах EGG_NOM_2 та про те, що у цих файлах задаються кватерніони переходу від LNOF до IRF, а не від GRF до IRF. а б Геодинаміка 1(12)/2012 66 Література Урмаєв М.С. Космическая фотограмметрия: учеб- ник для вузов. – М.: Недра, 1989. – 279 с. Марченко О.М., Ярема Н.П., Лопушанський О.М., Лук’янченко Ю.О. Добові розв’язки гармоніч- них коефіцієнтів 2-го порядку за даними гра- дієнтометра місії GOCE // Геодинаміка. – 2011. – 1 (10). – С. 22–26. Eicker A. Gravity Field Refinement by Radial Basis Functions from In-situ Satellite Data // Institut fur Geodasie und Geoinformation der Universitat Bonn, 2008. Bock H., Jäggi A., Meyer U., Visser P., Van den Ij- ssel J., Van Helleputte T., Heinze M., Hugentobler U. GPS-derived orbits for the GOCE satellite // J. Geod. – 2011. – 85. – Р. 807–818. Bouman J., Fiorot S., Fuchs M., Gruber T., Schra- ma E., Tscherning C., Veicherts M., Visser P. GOCE gravitational gradients along the orbit // J. Geod. – 2011. – 85. – Р. 791–805. Muller J. GOCE gradients in various reference frames and their accuracies // Advances in Geosciences. – 2003. – 1. – Р. 33–38. Pail R., Plank G. Assessment of three numerical solution strategies for gravity field recovery from GOCE satellite gravity gradiometry implemented on a parallel platform // Journal of Geodesy. – 2002. – 76. – Р. 462–474. Gruber Th., Rummel R., Abrikosov O., Van Hees R. GOCE High Level Processing Facility GOCE Level 2 Product Data Handbook // The European GOCE Gravity Consortium EGG-C. – 2010. – 77 p. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА СПУТНИКОВЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ГРАДИЕНТОВ МИССИИ GOCE Ю.А. Лукьянченко Cпутник GOCE был запущен в 2009 г. на низкой (260 км) орбите, на его борту расположен электростатический гравитационный градиентометр для измерения ускорения свободного падения. В работе приведен алгоритм использования кватернионов для трансформации гравитационных градиентов от системы GRF (референсная система градиентометра) к LNOF (локальная система, ориентированная на север). Выполнена математическая проверка промежуточных вычислений и показаны способы, улучшающие использование данных. Ключевые слова: кватернионы; миссия GOCE; правило преобразования ковариации; грави- тационные градиенты; системы координат. PREPROCESSING OF SATELLITE GRAVITY GRADIENT OF GOCE MISSION Y.O. Lukyanchenko GOCE satellite was launched in 2009 on a low (260 km) orbit and it contains the electrostatic gravity gradiometer which is destining for measuring of gravity gradients. In the paper the algorithm of using of quaternions during the transformation of gravity gradients from the system GRF (Gradiometer Reference Frame) to LNOF (Local North Oriented Frame) is shown. Mathematical verification of intermediate calculations is realized and methods of improvement of data using are shown. Key words: quaternions; GOCE mission; rule of transformation of covariance; gravity gradients; coordinates systems. Національний університет “Львівська політехніка”, м. Львів Надійшла 10.05.2012

Попереднє опрацювання супутникових гравітаційних градієнтів місії GOCE

Репозитарії

Схожі ресурси