Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований
Раскрыта суть алгоритма по перечислению гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований. Показаны примеры в числовых системах второго и третьего порядка. Розкрито зміст алгоритму по перечисленню гіперкомплексних числових систем методом лінійних перетворень. Показано приклади в число...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
|---|---|
| Дата: | 2008 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7567 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований / Я.В. Одарич // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 48-52. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859749080934121472 |
|---|---|
| author | Одарич, Я.В. |
| author_facet | Одарич, Я.В. |
| citation_txt | Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований / Я.В. Одарич // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 48-52. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| description | Раскрыта суть алгоритма по перечислению гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований. Показаны примеры в числовых системах второго и третьего порядка.
Розкрито зміст алгоритму по перечисленню гіперкомплексних числових систем методом лінійних перетворень. Показано приклади в числових системах другого та третього порядку.
The main points of algorithm for hypercomplex numerical systems enumeration by method of linear transformations are revealed. Several results in numerical systems of second and third degree are shown.
|
| first_indexed | 2025-12-01T23:35:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
48
УДК 004.942
Я. В. Одарич
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
Процедура перечисления гиперкомплексных
числовых систем методом линейных преобразований
Раскрыта суть алгоритма по перечислению гиперкомплексных число-
вых систем методом линейных преобразований. Показаны примеры в
числовых системах второго и третьего порядка.
Ключевые слова: гиперкомплексная числовая система, линейное пре-
образование, неканоническая числовая система.
Развитие современной науки и техники диктует все новые требования к пред-
ставлению и обработке данных. Поэтому в настоящее время наблюдается тенден-
ция к использованию числовых систем, которые позволяют работать с более вы-
сокими размерностями для представления данных [1].
Известно множество задач, для решения которых используются сложные ги-
перкомплексные числовые системы (ГЧС) [2]. Их применение усложняет вычис-
ления, поэтому для минимизации арифметических операций используют изо-
морфные переходы в более простые системы, например, диагональную. Тем не
менее, традиционно рассматриваемых канонических гиперкомплексных числовых
систем, изоморфных диагональным, не так уж и много. Поэтому возникает необ-
ходимость поиска неканонических числовых систем, которые можно использо-
вать для представления информации.
Прежде всего, определим понятия канонической и неканонической числовых
систем. Каноническая гиперкомплексная числовая система — это система, в ячей-
ках таблицы умножения которой существует не более одного структурного эле-
мента [3]. Примерами канонических ГЧС могут быть комплексные или квадрип-
лексные числа [4]. Неканоническая гиперкомплексная числовая система — это
система, которая, в свою очередь, имеет более одного структурного элемента хотя
бы в одной ячейке таблицы умножения. Такой ГЧС являются, например, трип-
лексные числа.
Таким образом, получаем задачу по перечислению гиперкомплексных число-
вых систем — канонических и неканонических, изоморфных диагональной. При
этом необходимо, чтобы для полученых систем выполнялось правило единицы.
© Я. В. Одарич
Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2008, Т. 10, № 2 49
1R 0 … 0
0
2R … 0
… … … …
0 0 …
nR
1E 2E …
nE
2E nEkEbEa *...** 22222122 …
nnnn EkEbEa *...** 22212
… … … …
nE nnnn EkEbEa *...** 22212 …
nnnnnnn EkEbEa *...** 21
Для этого используем перечисление гиперкомплексных числовых систем ме-
тодом линейных преобразований. Суть алгоритма состоит в переборе коэффици-
ентов при переменных в системе уравнений, с помощью которой осуществляется
переход из искомой системы в диагональную, и затем получения правил умноже-
ния для полученной изоморфной системы.
Система уравнений для изоморфного перехода выглядит следующим обра-
зом:
nEKEBEAR *...** 121111 ,
nEKEBEAR *...** 222122 ,
...
nnnnn EKEBEAR *...** 21 ,
где
iii KBA ,, — вещественные коэффициенты.
Коэффициенты iii KBA ,, при переменных перебираются в заранее заданном
диапазоне с заданным шагом. Для увеличения количества полученных результа-
тов можно расширять диапазон и уменьшать шаг. Для данного исследования ис-
пользовался диапазон –2…2 и шаг 0,5.
Находим систему уравнений для обратного преобразования ( iE ):
),...,(*...** 11121111 nn RRFRkRbRaE ,
),...,(*...** 12222122 nn RRFRkRbRaE ,
…
),...,(*...** 121 nnnnnnn RRFRkRbRaE ,
где iii kba ,...,, — вещественные коэффициенты.
Далее производим умножения уравнений последней полученной системы, и
таким образом находим, чему равны умножения вида ji EE * . Поскольку данный
алгоритм учитывает только коммутативные системы, то ijji EEEE ** :
Я. В. Одарич
50
,*...**),...,(*
...),...,(*),...,(*),...,(*
11211111111
1111111111111
nnn
nnn
EkEbEaRRFk
RRFbRRFaRRfEE
,*...**),...,(*
...),...,(*),...,(*),...,(*
222221221222
1222122211221
nn
nnn
EkEbEaRRFk
RRFbRRFaRRfEE
...
.*...**),...,(*
...),...,(*),...,(*),...,(*
211
111
nnnnnnnnnnn
nnnnnnnnnnnnn
EkEbEaRRFk
RRFbRRFaRRfEE
Таким образом, получаем таблицу умножения для интересующей нас гипер-
комплексной числовой системы. Производим дополнительные проверки.
Во-первых, проверяем, соответствуют ли единичные элементы диагональной
и исследуемой системы друг другу — jn ERRRE *...* 211 .
Далее, отсеиваем системы, у которых не выполняется правило единичного
элемента. То есть, проверяем равенство: nn EEE *1 .
Также, для удобства модулярных вычислений, добавляем дополнительную
проверку на целый коэффициент при элементах в таблице умножения.
Рассмотрим работу алгоритма на примере. Дана диагональная числовая сис-
тема:
1R 0
0
2R
Перебираем системы уравнений 2-го порядка:
,** 21111 EbEaR
.** 22122 EbEaR
Пусть 5,01 a ; 5,02 a ; 5,01 b ; 5,02 b .
Формируем одну из систем уравнений:
211 *5,0*5,0 EER ,
212 *5,0*5,0 EER .
Решение системы будет соответственно:
211 RRE ,
212 RRE .
Поскольку поиск включает проверку на единичные элементы, то проверяем
равенство 211 RRE . В данном примере равенство выполняется.
Затем находим умножения jiE , :
Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2008, Т. 10, № 2 51
12111 * ERREE ,
22121 * ERREE ,
12122 * ERREE .
Получаем систему с таблицей умножения:
1E 2E
2E 1E
Таблица удовлетворяет требованиям соблюдения правила единицы.
Рассмотрим более сложный пример. Возьмем диагональную систему порядка 3
и найдем неканоническую гиперкомплексную числовую систему, изоморфную ей:
1R 0 0
0 2R 0
0 0
3R
Перебираем коэффициенты для системы линейных уравнений. Рассмотрим
одну из полученных систем:
3211 *5,0*5,0 EEER ,
312 EER ,
3213 *5,0*5,0 EEER .
Решение выглядит следующим образом:
3211 RRRE ,
3212 *2*3 RRRE ,
313 RRE .
Найдем умножения для ji EE * и подставляем в уравнения решения преды-
дущей системы:
132132132111 ))((* ERRRRRRRRREE ,
132132132121 *2*3)*2*3)((* ERRRRRRRRREE ,
,*4*4)()*2*3(*4)(*4
*4*9)*2*3)(*2*3(*
32131321321
32132132122
EEERRRRRRRR
RRRRRRRRREE
,*2*2)(*2)*2*3()(*2
*3))(*2*3(*
32131321321
313132132
EEERRRRRRRR
RRRRRRREE
331313133 ))((* ERRRRRREE .
Я. В. Одарич
52
Таким образом, получаем таблицу умножения для неканонической гиперком-
плексной числовой системы порядка 3, изоморфной диагональной:
1E
2E 3E
2E
32
1
*4
*4
EE
E
3
21
*2
*2
E
EE
3E
3
21
*2
*2
E
EE
3E
Одной из областей применения полученных неканонических гиперкомплекс-
ных числовых систем является синтез цифровых фильтров, а именно вычисление
передаточной функции [5]. Данные представляются в неканонической гиперком-
плексной числовой системе, но вычисления все производятся в диагональной. Это
позволяет сократить количество операций и улучшить представимость данных.
Алгоритм был реализован и выполнен при помощи математического пакета
символьных вычислений MAPLE.
1. Синьков М.В., Каліновський Я.О., Постнікова Т.Г., Синькова Т.В. Перспективні напрямки
досліджень і розвитку теорії гіперкомплексного представлення інформації // Наукові вісті На-
ціонального Технічного Університету України «Київський Політехнічний Інститут». — 2002. —
№ 5 (25). — С. 49–53.
2. Бояринова Ю.Е., Одарич Я.В. Восстановление информации в задаче разделения секрета
для гиперкомплексных числовых систем 2-го порядка с помощью алгоритма Евклида // Реєстрація,
зберігання і обробка даних. — 2004. — Т. 7, № 1. — С. 103–114.
3. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 144 с.
4. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В., Трубников П.В., Бояринова Ю.Е. Новые
применения гиперкомплексных квадриплексных чисел. Часть 2 // Реєстрація, зберігання і оброб.
даних. — 2003. — Т. 5, № 3. — С. 4–7.
5. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бояринова Ю.Е., Синькова Т.В., Федоренко А.В. Разра-
ботка структур эффективных цифровых фильтров с помощью гиперкомплексного представления
информации // Управління розвитком. — 2006. — № 6. — С. 83–84.
Поступила в редакцию 02.04.2008
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7567 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1560-9189 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T23:35:17Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Одарич, Я.В. 2010-04-02T12:27:14Z 2010-04-02T12:27:14Z 2008 Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований / Я.В. Одарич // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2008. — Т. 10, № 2. — С. 48-52. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7567 004.492 Раскрыта суть алгоритма по перечислению гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований. Показаны примеры в числовых системах второго и третьего порядка. Розкрито зміст алгоритму по перечисленню гіперкомплексних числових систем методом лінійних перетворень. Показано приклади в числових системах другого та третього порядку. The main points of algorithm for hypercomplex numerical systems enumeration by method of linear transformations are revealed. Several results in numerical systems of second and third degree are shown. ru Інститут проблем реєстрації інформації НАН України Реєстрація, зберігання і обробка даних Математичні методи обробки даних Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований Процедура перечислення гіперкомплексних числових систем методом лінійних перетворень Procedure for Hypercomplex Numerical Systems Enumeration by Method of Linear Transformations Article published earlier |
| spellingShingle | Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований Одарич, Я.В. Математичні методи обробки даних |
| title | Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований |
| title_alt | Процедура перечислення гіперкомплексних числових систем методом лінійних перетворень Procedure for Hypercomplex Numerical Systems Enumeration by Method of Linear Transformations |
| title_full | Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований |
| title_fullStr | Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований |
| title_full_unstemmed | Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований |
| title_short | Процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований |
| title_sort | процедура перечисления гиперкомплексных числовых систем методом линейных преобразований |
| topic | Математичні методи обробки даних |
| topic_facet | Математичні методи обробки даних |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7567 |
| work_keys_str_mv | AT odaričâv proceduraperečisleniâgiperkompleksnyhčislovyhsistemmetodomlineinyhpreobrazovanii AT odaričâv proceduraperečislennâgíperkompleksnihčislovihsistemmetodomlíníinihperetvorenʹ AT odaričâv procedureforhypercomplexnumericalsystemsenumerationbymethodoflineartransformations |