Математическое моделирование контактного взаимодействия элементов штамповой оснастки
Существует проблема разработки эффективных постановок для задач о множественном контакте системы нескольких призматических тел, например, такие задачи возникают при анализе напряженно-деформированного состояния (НДС) элементов штамповой оснастки. При этом для моделирования контактного взаимодействия...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України
2014
|
| Назва видання: | Проблемы машиностроения |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81018 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Математическое моделирование контактного взаимодействия элементов штамповой оснастки / Н.А. Дёмина // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 52-56. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-81018 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-810182025-02-09T16:48:22Z Математическое моделирование контактного взаимодействия элементов штамповой оснастки Дёмина, Н.А. Прикладная математика Существует проблема разработки эффективных постановок для задач о множественном контакте системы нескольких призматических тел, например, такие задачи возникают при анализе напряженно-деформированного состояния (НДС) элементов штамповой оснастки. При этом для моделирования контактного взаимодействия применяются различные упрощенные постановки, предусматривающие, в частности, раздельное моделирование НДС контактирующих тел. Это может приводить к значительным погрешностям в результатах анализа. В связи с этим возникает актуальная задача разработки математических моделей контактного взаимодействия системы призматических тел, адаптированных для эффективной численной реализации, свободной от различных упрощающих предположений. Описана математическая постановка задачи про контактное взаимодействие системы призматических тел. С помощью теории вариационных неравенств задача сводится к проблеме минимизации выпуклого функционала на выпуклом множестве функций. Описана математична постановка задачі про контактну взаємодію системи призматичних тіл. За допомогою теорії варіаційних нерівностей задача зводиться до проблеми мінімізації випуклого функціонала на випуклій множині функцій. 2014 Article Математическое моделирование контактного взаимодействия элементов штамповой оснастки / Н.А. Дёмина // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 52-56. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0131-2928 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81018 539.3 ru Проблемы машиностроения application/pdf Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Прикладная математика Прикладная математика |
| spellingShingle |
Прикладная математика Прикладная математика Дёмина, Н.А. Математическое моделирование контактного взаимодействия элементов штамповой оснастки Проблемы машиностроения |
| description |
Существует проблема разработки эффективных постановок для задач о множественном контакте системы нескольких призматических тел, например, такие задачи возникают при анализе напряженно-деформированного состояния (НДС) элементов штамповой оснастки. При этом для моделирования контактного взаимодействия применяются различные упрощенные постановки, предусматривающие, в частности, раздельное моделирование НДС контактирующих тел. Это может приводить к значительным погрешностям в результатах анализа. В связи с этим возникает актуальная задача разработки математических моделей контактного взаимодействия системы призматических тел, адаптированных для эффективной численной реализации, свободной от различных упрощающих предположений. Описана математическая постановка задачи про контактное взаимодействие системы призматических тел. С помощью теории вариационных неравенств задача сводится к проблеме минимизации выпуклого функционала на выпуклом множестве функций. |
| format |
Article |
| author |
Дёмина, Н.А. |
| author_facet |
Дёмина, Н.А. |
| author_sort |
Дёмина, Н.А. |
| title |
Математическое моделирование контактного взаимодействия элементов штамповой оснастки |
| title_short |
Математическое моделирование контактного взаимодействия элементов штамповой оснастки |
| title_full |
Математическое моделирование контактного взаимодействия элементов штамповой оснастки |
| title_fullStr |
Математическое моделирование контактного взаимодействия элементов штамповой оснастки |
| title_full_unstemmed |
Математическое моделирование контактного взаимодействия элементов штамповой оснастки |
| title_sort |
математическое моделирование контактного взаимодействия элементов штамповой оснастки |
| publisher |
Інстиут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Прикладная математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/81018 |
| citation_txt |
Математическое моделирование контактного взаимодействия элементов штамповой оснастки / Н.А. Дёмина // Проблемы машиностроения. — 2014. — Т. 17, № 3. — С. 52-56. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Проблемы машиностроения |
| work_keys_str_mv |
AT dëminana matematičeskoemodelirovaniekontaktnogovzaimodejstviâélementovštampovojosnastki |
| first_indexed |
2025-11-28T03:17:27Z |
| last_indexed |
2025-11-28T03:17:27Z |
| _version_ |
1850002484457635840 |
| fulltext |
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 3 52
мились показать возможности метода R-функций, поэтому фасад несколько перегружен декоратив-
ными элементами. Компьютерная реализация выполнена с помощью [6].
Выводы
В данной работе теория R-функций впервые применяется к математическому и компьютер-
ному моделированию строительных конструкций. Аналитическая идентификация проектируемых
объектов дает возможность использовать буквенные геометрические параметры, что, в свою очередь,
позволяет оперативно изменять конструктивные элементы проектируемого объекта. При реализации
построенных моделей на 3D-принтере заполнение строительным материалом происходит при w ≥ 0
(ffin ≥ 0). Заметим, что может возникнуть техническая проблема из-за неодносвязности рассматривае-
мых объектов. Решить ее весьма просто: оконные и дверные проемы можно выполнять из другого
материала, вставив в программу соответствующие дополнения, что легко осуществить с помощью
R-функций; либо проводить построение в три этапа: при z ≤ h1, h1 ≤ z ≤ H, z > H.
Литература
1. http://www.bbc.co.uk/ukrainian/ukraine_in_russian/2013/04/130416_ru_s_3d_building_amsterdam.shtml
2. Рвачев, В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения / В.Л. Рвачев. – Киев: Наук.думка, 1982. – 552 с.
3. Rvachev, V. L. R-functions in boundary value problems in mechanics / V. L. Rvachev, T. I. Sheiko // Appl. Mech. Reviews. –
1995. – Vol. 48, №. 4. – P. 151–188.
4. Максименко–Шейко, К. В. R-функции в математическом моделировании геометрических объектов и физических
полей / К. В. Максименко-Шейко. – Харьков: ИПМаш НАН Украины, 2009. – 306 с.
5. R-функции в компьютерном моделировании дизайна автомобиля / Д. А. Лисин, К. В. Максименко-Шейко,
А. В. Толок, Т. И. Шейко // Прикл. информатика. – 2011. – № 6 (36). – С. 78–85.
6. Лісін, Д. О. Комп’ютерна програма «Система візуалізації та побудови сітки на поверхні геометричних об’єктів, які
описані за допомогою математичних засобів теорії R-функцій «RFPreview» // Свідоцтво про реєстрацію авторського
права на твір. – 2012. – № 45951.
Поступила в редакию 28.08.14
Н. А. Дёмина, канд. техн. наук
Таврический государственный
агротехнологический университет,
г. Мелитополь,
e-mail:deminanatasha@yandex.ru
Ключові слова: математична модель, систе-
ма призматичних тіл, контактна взаємодія,
метод варіаційних нерівностей.
УДК 539.3
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТАКТНОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕМЕНТОВ
ШТАМПОВОЙ ОСНАСТКИ
Описана математична постановка задачі про контактну
взаємодію системи призматичних тіл. За допомогою теорії
варіаційних нерівностей задача зводиться до проблеми мінімі-
зації випуклого функціонала на випуклій множині функцій.
Анализ контактного взаимодействия является актуальной задачей математики и механики.
Для этого привлекаются различные методы: граничных интегральных уравнений, штрафных функ-
ций, метод конечных элементов и т. п. [1–7]. Они имеют определенные преимущества и недостатки,
проявляющиеся для различного типа задач.
В частности, возникает проблема разработки эффективных постановок для задач о множест-
венном контакте системы нескольких призматических тел. Например, такие задачи возникают при
анализе напряженно-деформированного состояния (НДС) элементов штамповой оснастки [8]. При
этом для моделирования контактного взаимодействия применяются различные упрощенные поста-
новки, предусматривающие, в частности, раздельное моделирование НДС контактирующих тел. Это
может приводить к значительным погрешностям в результатах анализа. В связи с этим возникает ак-
туальная задача разработки математических моделей контактного взаимодействия системы призмати-
© Н. А. Дёмина, 2014
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 3 53
ческих тел, адаптированных для эффективной численной реа-
лизации, свободной от различных упрощающих предположе-
ний.
Рассмотрим систему призматических тел, контакти-
рующих по плоским поверхностям. На рис. 1 приведена схема
такого взаимодействия, отнесенная к локальным “кромочным”
координатам для фрагмента из двух тел.
Тогда, кроме системы уравнений теории упругости [7],
дополненной кинематическими граничными условиями на
частях поверхности Su, добавляются следующие условия на
части поверхности возможного контакта (см. рис. 1):
cu+u δ≤νν′ ш
, (1)
Здесь ν′u ,
шνu – перемещения точек режущего элемента и за-
готовки по нормалям к поверхностям; δc – начальный зазор в сопряжении.
При решении нелинейной задачи получаем не постулируемый заранее закон распределения
контактных нагрузок qc, а искомый закон их распределения в качестве еще одного неизвестного по-
лученной задачи. При этом в качестве параметра нагружения можно взять или величину усилия при-
жатия
∫
)(
шт
cS
c P=dsq , (2)
или величину хода некоторого нагружаемого тела из некоторой нулевой точки Δ, и тогда
Δ=|u n
uS . (3)
Соотношение (2) задает силовое нагружение, а (3) – кинематическое.
Несмотря на кажущуюся простоту соотношения (1), получаемая в результате задача по срав-
нению с классической задачей линейной теории упругости становится более сложной, существенно
нелинейной, причем в качестве дополнительных неизвестных выступают конфигурации контактных
зон и распределения контактных нагрузок [8]. Для решения таких задач используется, в частности,
метод вариационных неравенств [9], сводящий ее к проблеме минимизации функционала полной
внутренней энергии Э исследуемой системы тел на множестве, задаваемом ограничениями (1)
Э(u) → min. (4)
Рассмотрим, следуя [6, 9–12], постановку задачи об исследовании напряженно-
деформированного состояния сопряженных призматических тел с учетом условий контакта. Не на-
рушая общности, можно рассмотреть два соприкасающихся тела Ω и Ω‘. Пусть Sc, Sc’ – предельно
возможные зоны контакта. Уравнения, описывающие поверхности Sc и Sc’, примем в форме
Ψ(r) = 0, Ψ‘(r’) = 0 (5)
и выберем функции Ψ, Ψ‘ таким образом, чтобы было
Ψ(r) > 0 при r ∈ Ω и Ψ‘(r) < 0 при r ∈ Ω (6)
(для функции Ψ‘ – аналогично).
В результате деформации поверхности Sc и Sc’ изменяются; в первом приближении искажение
формы границы тела (6) определяется нормальными (вдоль ν) перемещениями лежащих на границе
частиц. Рассмотрим для определенности тело Ω; пусть r0 – радиус-векторы частиц Sc до деформации;
r – после деформации, имеем
r = r0 + u(r0). (7)
Из уравнения (5) и представления (7) вытекает, что
Ψ (r – u(r0)) = 0. (8)
Рис. 1. Схема взаимодействия элемен-
тов системы призматических тел:
Ωш – область пространства, занимаемая
телом 1; Sc – зона возможного контакт-
ного взаимодействия; ν‘, νш – нормали
к поверхностям тел 1 и 2 соответственно
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 3 54
Предположим, что Ψ – дифференцируемая функция с ограниченными вторыми производны-
ми; разлагая (8) в ряд Тейлора и ограничиваясь линейными по u слагаемыми, перейдем от уравнения
(8) к уравнению
| | 0)()()(
)(
)(
000
0
=rurr,rνu
r
r
νN−≡⋅−
Ψ∇
Ψ . (9)
Полученная зависимость (9) означает, что в первом приближении форма деформированной
границы определяется нормальными перемещениями лежащих на ней частиц.
Условие непроникновения на Sc, Sc’ строятся в первом приближении по величине перемеще-
ний и зазора между телами Ω и Ω‘.
Пусть r0’ – радиус-векторы точек Sc’ до деформации; в результате деформации, определяемой
полем перемещений u’, эти точки займут положение
)()( 00 ru+rrνu+r=r νbνN ′′≡′′′′ . (10)
Опустим из точки r* перпендикуляр на поверхность Sc, радиус-вектор точки пересечения это-
го перпендикуляра с Sc обозначим r00. С учетом (10) имеет место неравенство
uνN(r0) ≤ δ* = (r* – r00)⋅v(r00). (11)
Очевидно, что ),( 00000 νburr=r ′′ ; линеаризуем эту зависимость по нормальным перемещениям и по
величине (r0’ – r0), называемую зазором, где r0 – радиус-вектор точки пересечения перпендикуляра, прове-
денного из точки r0’ к поверхности Sc’, с поверхностью Sc. Заметим, что в неравенстве (11) r00 с принятой
точностью можно заменить на r0
[uνb(r0’) + r0’ – r0]⋅ν(r0) – uνN(r0) ≥ 0, ∀r0 ∈ Sc, r0’ = r0’(r0). (12)
Это соотношение (12) отражает условие непроникновения тел Ω и Ω‘ друг в друга. Зависи-
мость r0’(r0) определяется из формулы r0’ = r0 + t0∇Ψ(r0), где t0 – корень уравнения
Ψ‘(r0 + t0∇Ψ(r0)) = 0. (13)
После линеаризации (13)
r0’(r0) = r0 – ϕ‘(r0, r0)⋅ν(r0)/(ν(r0)⋅ν‘(r0)). (14)
Формально условие (14) можно записать в виде
δ≤′νNνN u+u , (15)
где δ – зазор в сопряжении элементов штамповой оснастки.
Из принципа возможных перемещений для каждого из тел Ω можно написать вариационное
уравнение
.,1,0,)()(),(
)()(
α
ασ
α
M=,u=dSvuuuLuua
dSvuudSuPduFρdu
cS
jiij
cS
jiij
S
ijij
Kαδ∀δ⋅σ−δ−δ
δ⋅σ−δ−Ωδ⋅−Ωδεσ
ααααααααα
ααααα
Ω
αα
Ω
α
∫
∫∫∫∫
αα
(16)
В уравнении (16) δuα ≡ uα – vα – возможное перемещение из истинного состояния; как истин-
ное поле перемещений uα, так и кинематически допустимое поле vα должны удовлетворять условию
непроникновения (15).
Для удобства дальнейших формулировок формализуем проводимые построения следующим
образом. Введем пространства:
Vα = {v | v = v(r), r ∈ Ωα; v | Su
ε = 0, v ∈ H1(Ωα)}, α = 1, …, M; (17)
и их прямое произведение
V = V1⊗…⊗VM. (18)
Определим далее на (17), (18) формы
∑∑
α
α
α
α )()(,),(),( νL=νLνua=νua (19)
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 3 55
(через u, v обозначен произвольный элемент V).
В пространстве V введем подмножество функций K по формуле
};{ δ≤∈ βα
νNνN ν+νVν|ν=K . (20)
Индексы α и β определяют номера тел, соприкасающихся по кускам своих границ. Суммируя
все равенства (16), найдем (здесь и ниже суммирование ведется по всем номерам тел в (19))
∑ ∫
α α
ααα δ⋅σδδ
cS
jiij dSvuu+uL=uua )()(),( . (21)
Решение задачи в дифференциальной постановке, как следует из [9–12], удовлетворяет вариа-
ционному неравенству, вытекающему из вариационного уравнения (21):
a(u, δu) ≥ L(δu) ∀δu, v ∈ K, u ∈ K. (22)
Справедливо утверждение [12]: решение вариационного неравенства (22), если оно существу-
ет и обладает вторыми производными (хотя бы обобщенными), удовлетворяет всем уравнениям и ус-
ловиям задачи в дифференциальной постановке, а решение вариационного неравенства (22) эквива-
лентно проблеме минимизации функционала
J(v) = 1/2a(v, v) – L(v)
на подмножестве K (20) пространства V (см. (4)).
Выводы
Естественно, что по сравнению с общей постановкой [12], решаемая задача об определении
напряженно-деформированного состояния элементов системы призматических тел с учетом их кон-
тактного взаимодействия обладает целым рядом специфических особенностей, основные из которых
состоят в следующем:
1. Сопрягаемые элементы взаимодействуют по поверхностям с согласованной геометрией [6],
что существенно усиливает строгость принятых в [12] предположений о геометрии контактирующих
поверхностей;
2. Принятые в [12] модели предполагают малые перемещения точек поверхностей взаимодей-
ствующих тел, что ограничивает область применяемости данной модели;
3. Несмотря на то, что взаимодействующие поверхности контактирующих тел – плоские, об-
ласть контакта и распределение контактного давления по-прежнему являются в данной задаче иско-
мыми (как и в общем случае).
В результате приходим к возможности вариационной постановки нелинейной контактной за-
дачи теории упругости для элементов системы призматических тел, в ходе решения которой опреде-
ляются и контактные зоны, и давления.
Предложенная в работе методика будет в дальнейшем использована для исследования напря-
женно-деформированного состояния элементов штамповой оснастки с учетом контактного взаимо-
действия.
Литература
1. Галин, Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / Л. А. Галин. – М.: Наука, 1980. – 303 с.
2. Крауч, С. Методы граничных элементов в механике твердого тела / С. Крауч, А. Старфилд. – М.: Мир, 1987.
– 328 c.
3. Аргатов, И. И. Основы теории упругого дискретного контакта / И. И. Аргатов, Н. Н. Дмитриев – СПб: Поли-
техника, 2003. – 233 с.
4. Зенкевич, О. К. Метод конечных элементов в технике / О. К. Зенкевич. – М.: Мир, 1975. – 541 с.
5. Hughes, T. J. R. The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. – Courier Dover
Publications, 2012. – 672 c.
6. Джонсон, К. Механика контактного взаимодействия / К. Джонсон. – М.: Мир, 1989. – 509 с.
7. Васидзу, К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности / К. Васидзу. – М.: Мир, 1987. – 542 с.
8. Дьоміна, Н. А. Удосконалення методів розрахунку елементів штампового оснащення на основі аналізу їх
напружено-деформованого стану: Автореф. дис. канд. техн. наук: / Н. А. Дьоміна – Харків, 2011. – 20 с.
9. Кравчук, А. С. К задаче Герца для линейно- и нелинейно-упругих тел конечных размеров / А. С. Кравчук //
Прикл. математика и механика. – 1977. –Т. 41, вып. 2. – С. 329–337.
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
ISSN 0131–2928. Пробл. машиностроения, 2014, Т. 17, № 3 56
10. Кравчук, А. С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел как задачи нелинейного
программирования / А. С. Кравчук // Прикл. математика и механика. – 1978. –Т. 42, вып. 3. – С. 466–474.
11. Дюво, Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж. Л. Лионс. – М.: Наука, 1980. – 384 с.
12. Колтунов, М. А. Прикладная механика деформируемого твердого тела / М. А. Колтунов, А. С. Кравчук,
В. П. Майборода. – М.: Высш. шк., 1983. – 349 с.
Поступила в редакию 22.07.14
А. М. Чугай
канд. техн. наук
Институт проблем
машиностроения
им. А. Н. Подгорного
НАН Украины,
г. Харьков, е-mail:
chugay@ipmach.kharkov.ua
Ключові слова: Φ-функція,
локальна оптимізація, цилінд-
ри, сфероциліндри
УДК 519.859
ОДИН ИЗ ПОДХОДОВ К ПОИСКУ ХОРОШИХ
ЛОКАЛЬНЫХ МИНИМУМОВ В ЗАДАЧЕ
РАЗМЕЩЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Запропоновано один із підходів, що дозволяє підвищити ефективність пошу-
ку локальних мінімумів в задачах розміщення циліндрів. Запропонований під-
хід дозволяє вирішити проблему потрапляння в «погані» несуворі локальні
мінімуми за рахунок заміни циліндрів на початковому етапі розв’язання за-
дачі сфероціліндрами. Крім того, властивості математичної моделі, що
ґрунтуються на вигляді Φ-функцій, дозволили запропонувати спосіб значного
скорочення часових і обчислювальних витрат при пошуку локальних мініму-
мів.
Введение
На сегодняшний день стремительно растет интерес к эффективному решению задач размеще-
ния трехмерных объектов, что объясняется разнообразием практических приложений и чрезвычайной
сложностью математических моделей и методов их решения. Различные вопросы задач размещения
трехмерных объектов рассматриваются во многих работах для различных научно-исследовательских
и прикладных областей. В частности, задачи, связанные с поиском оптимального размещения цилин-
дрических объектов, возникают, например, при планировании плотного размещения грузов различно-
го характера на складах и хранилищах, в различных транспортных средствах.
Анализ литературных данных и постановка проблем
Работы, связанные с поиском оптимального размещения цилиндров, в основном рассматри-
вают различные эвристические подходы [1, 2], в которых трехмерные задачи из-за сложности реше-
ния сводятся к двухмерным.
В работе [3] для решения задачи размещения цилиндров вместо эвристических алгоритмов
предложен подход, основанный на формулировке задачи в виде задачи нелинейного программирова-
ния. Однако авторы все равно сводят задачу к двухмерному случаю и размещают одинаковые круги.
Благодаря использованию аппарата Ф-функций в работе [4] задача упаковки различных ци-
линдров была сформулирована и решена как задача математического программирования.
Однако вследствие того, что в работе применяется градиентный метод (метод возможных на-
правлений), локальная оптимизация в задаче размещения цилиндров приводит в нестрогие локальные
минимумы. Например, на рис. 1 показан нестрогий локальный минимум (в данном примере миними-
зируется высота области размещения), который может быть улучшен за счет смещения вниз самого
верхнего цилиндра.
Получение плохих локальных минимумов в задаче размещения цилиндров связано с тем, что
при применении метода возможных направлений в таких точках траектории градиентов ограничений
«взаимопогашаются» и не позволяют вычислить вектор «спуска».
Целью данной статьи является разработка нового эффективного подхода к поиску локальных
минимумов в задаче размещения цилиндров.
© А. М. Чугай, 2014
|