Наближення розривних функцій двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області

Предложен метод построения разрывных интерлинационных полиномиальных сплайнов, приближающих разрывные функции двух переменных с разрывами первого рода на линиях триангуляции двумерной области. Построенные сплайны, как частный случай, включают в себя разрывные и непрерывные сплайны. Сформулированы и...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2011
Main Authors:	Литвин, О.М., Першина, Ю.І.
Format:	Article
Language:	Ukrainian Russian
Published:	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України 2011
Series:	Управляющие системы и машины
Subjects:	Новые методы в информатике
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82962
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Наближення розривних функцій двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області / О.М. Литвин, Ю.І. Першина // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 5. — С. 34-46. — Бібліогр.: 6 назв. — укр., рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-82962
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-829622025-02-09T14:16:26Z Наближення розривних функцій двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області An Approach of Explosive Functions of Two Variables with Ruptures of the First Sort on Lines of the Triangulation of a Two-Dimensional Area Приближение разрывных функций двух переменных с разрывами первого рода на линиях триангуляции двумерной области Литвин, О.М. Першина, Ю.І. Новые методы в информатике Предложен метод построения разрывных интерлинационных полиномиальных сплайнов, приближающих разрывные функции двух переменных с разрывами первого рода на линиях триангуляции двумерной области. Построенные сплайны, как частный случай, включают в себя разрывные и непрерывные сплайны. Сформулированы и доказаны теоремы о погрешности и ее оценку. A method of the construction of explosive interlineations polynomial splines which approach the explosive function of two variables with ruptures of the first sort on the lines of a triangulation of a two-dimensional area is suggested. The constructed splines, as a special case, include the explosive and continuous splines. The theorems of an error and its estimation are formulated and proved. Запропоновано метод побудови розривних інтерлінаційних поліноміальних сплайнів, які наближують розривні функції двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області. Побудовані сплайни, як окремий випадок, включають в себе розривні та неперервні сплайни. Сформульовано та доведено теореми про похибку наближення та її оцінку. 2011 Article Наближення розривних функцій двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області / О.М. Литвин, Ю.І. Першина // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 5. — С. 34-46. — Бібліогр.: 6 назв. — укр., рос. 0130-5395 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82962 519.6 uk ru Управляющие системы и машины application/pdf Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian Russian
topic	Новые методы в информатике Новые методы в информатике
spellingShingle	Новые методы в информатике Новые методы в информатике Литвин, О.М. Першина, Ю.І. Наближення розривних функцій двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області Управляющие системы и машины
description	Предложен метод построения разрывных интерлинационных полиномиальных сплайнов, приближающих разрывные функции двух переменных с разрывами первого рода на линиях триангуляции двумерной области. Построенные сплайны, как частный случай, включают в себя разрывные и непрерывные сплайны. Сформулированы и доказаны теоремы о погрешности и ее оценку.
format	Article
author	Литвин, О.М. Першина, Ю.І.
author_facet	Литвин, О.М. Першина, Ю.І.
author_sort	Литвин, О.М.
title	Наближення розривних функцій двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області
title_short	Наближення розривних функцій двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області
title_full	Наближення розривних функцій двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області
title_fullStr	Наближення розривних функцій двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області
title_full_unstemmed	Наближення розривних функцій двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області
title_sort	наближення розривних функцій двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області
publisher	Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН та МОН України
publishDate	2011
topic_facet	Новые методы в информатике
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/82962
citation_txt	Наближення розривних функцій двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області / О.М. Литвин, Ю.І. Першина // Управляющие системы и машины. — 2011. — № 5. — С. 34-46. — Бібліогр.: 6 назв. — укр., рос.
series	Управляющие системы и машины
work_keys_str_mv	AT litvinom nabližennârozrivnihfunkcíjdvohzmínnihzrozrivamiperšogorodunalíníâhtríangulâcíídvovimírnoíoblastí AT peršinaûí nabližennârozrivnihfunkcíjdvohzmínnihzrozrivamiperšogorodunalíníâhtríangulâcíídvovimírnoíoblastí AT litvinom anapproachofexplosivefunctionsoftwovariableswithrupturesofthefirstsortonlinesofthetriangulationofatwodimensionalarea AT peršinaûí anapproachofexplosivefunctionsoftwovariableswithrupturesofthefirstsortonlinesofthetriangulationofatwodimensionalarea AT litvinom približenierazryvnyhfunkcijdvuhperemennyhsrazryvamipervogorodanaliniâhtriangulâciidvumernojoblasti AT peršinaûí približenierazryvnyhfunkcijdvuhperemennyhsrazryvamipervogorodanaliniâhtriangulâciidvumernojoblasti
first_indexed	2025-11-26T18:39:30Z
last_indexed	2025-11-26T18:39:30Z
_version_	1849879297103233024
fulltext	34 УСиМ, 2011, № 5 УДК 519.6 О.М. Литвин, Ю.І. Першина Наближення розривних функцій двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області Предложен метод построения разрывных интерлинационных полиномиальных сплайнов, приближающих разрывные функции двух переменных с разрывами первого рода на линиях триангуляции двумерной области. Построенные сплайны, как частный случай, включают в себя разрывные и непрерывные сплайны. Сформулированы и доказаны теоремы о погрешности и ее оценку. A method of the construction of explosive interlineations polynomial splines which approach the explosive function of two variables with ruptures of the first sort on the lines of a triangulation of a two-dimensional area is suggested. The constructed splines, as a special case, include the explosive and continuous splines. The theorems of an error and its estimation are formulated and proved. Запропоновано метод побудови розривних інтерлінаційних поліноміальних сплайнів, які наближують розривні функції двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області. Побудовані сплайни, як окремий випадок, включають в себе розривні та неперервні сплайни. Сформульовано та доведено теореми про похибку наближення та її оцінку. Вступ. Класична теорія наближення диферен- ційовних функцій багатьох змінних викорис- товує оцінки похибок, які базуються на при- пущенні, що наближувана функція має обме- жені похідні досить високого порядку. Напри- клад, в роботі [1] оцінка наближення поліно- мами Лагранжа степеня n потребує неперерв- ності похідної порядку n + 1, в роботах [2–4] похибка наближення сплайнами потребує не- перервності r-ї (1 1r n   ) похідної, де n – степінь сплайна. Для наближення неперервних функцій замість похідних використовуються мо- дулі неперервності. В той же час практика показує, що необхідно вміти з достатньою точністю наближувати роз- ривні функції, зокрема, такі, що мають в облас- ті задання розриви першого роду в окремих точ- ках або на окремих лініях тощо. Наприклад, до- слідження внутрішньої структури тіла людини методами комп’ютерної томографії в заданій площині має враховувати, що різні частини ті- ла мають свою форму і свою щільність, тобто щільність внутрішньої структури всього тіла описується розривною функцією від трьох змін- них, яка має розриви першого роду на поверх- нях між різними частинами тіла (серце, шлу- нок, печінка тощо). В деяких випадках дослід- нику відома форма цих поверхонь (як правило, наближено). Тому актуальною є задача наближення тако- го роду функцій за допомогою конструкцій, які на вказаних лініях, поверхнях зберігають влас- тивості наближуваної функції, тобто мають роз- риви першого роду (взагалі кажучи, з невідо- мими значеннями розривів). В роботі [5] розглядається метод побудови інтерлінаційних поліноміальних сплайнів, яки- ми можна наблизити як неперервно-диферен- ційовні функції, так і розривні функції двох змін- них з розривами першого роду на лініях ректан- гуляції в областях, що є об'єднанням прямокут- ників. В даній статті описано побудову сплайн- інтерлінантів для наближення розривних функ- цій двох змінних, що мають розриви першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області. Постановка задачі Нехай задано розривну функцію двох змін- них f (x, y) в області D. Вважатимемо, що об- ласть D розбивається прямими x0 = 0 < x1 < < x2 <  <xm = 1, y0 = 0 < y1 < y2 <  <yn = 1 на прямокутні елементи, а кожний прямокутник розбивається діагоналлю на два прямокутні трикутники. Трикутники не вкладаються один в один, а їх сторони не перетинаються. Функ- ція f (x, y) має розриви першого роду на грани- цях між цими прямокутними трикутниками (не обов’язково між всіма). Метою роботи є побу- дова та дослідження операторів розривної кус- ково-поліноміальної інтерлінації таких, які в кожному трикутнику є операторами поліномі- альної інтерлінації функції f (x, y). Метод побудови наближувального розрив- ного сплайна-інтерлінанта Розглянемо трикутний елемент , 1, ,ij i n  1,j m (рис. 1), утворений прямими УСиМ, 2011, № 5 35 ω1 ( , ) 0, ω2 ( , ) 0, ω3 ( , ) 0i j ijx y x y x y   , де 1 1 1 ω1 : , ω2 : , ω3 : , 1, , 1, . i i j j ji ij i i j j x x y y y yx x i n j m x x y y               ω2 ( )j jy y y  1 1 1 ω3 ( , ) : ji ij i i j j y yx x x y x x y y         ω1 ( )i ix x x  xix 1ix  1jy  jy 23 1( , )i jA x y 13 1( , )i jA x y  12( , )i jA x y y Рис. 1. Зображення трикутного елементу Tij Вважаємо заданими:  Сліди функції ( , )f x y на прямій ix x (справа та зліва прямої відповідно): 0 0 φ ( ) lim ( , ) ( 0, ), φ ( ) lim ( , ) ( 0, ); i i i i x x i i x x p y f x y f x y m y f x y f x y           0 0 φ φ ( ) lim ( , ) ( 0, 0), i j ij i j x x y y i j pp p y f x y f x y           0 0 φ φ ( ) lim ( , ) ( 0, 0). i j ij i j x x y y i j mp m y f x y f x y            Сліди функції ( , )f x y на прямій jy y (над та під прямою відповідно): 0 0 ψ ( ) lim ( , ) ( , 0), ψ ( ) lim ( , ) ( , 0), j j j j y y j j y y p x f x y f x y m x f x y f x y           0 0 ψ ψ ( ) lim ( , ) ( 0, 0), i j ij j i x x y y i j pp p x f x y f x y           0 0 ψ ψ ( ) lim ( , ) ( 0, 0). i j ij j i x x y y i j pm m x f x y f x y            Сліди функції ( , )f x y на прямій 1 1 1 ( )( )j j i j i i y y x x y y x x         (під та над пря- мою відповідно): 1 1 1 1 1 1 ( )( ) η ( ) , 0 , ( )( ) η ( ) , 0 ; j j i ij j i i j j i ij j i i y y x x m x f x y x x y y x x p x f x y x x                             1 1 η η ( ) 0, 0 , η η ( ) 0, 0 ij ij i i j ij ij i i j pm m x f x y pp p x f x y           або 1 1 1 1 1 1 ( )( ) η ( ) 0, , ( )( ) η ( ) 0, ; j i i ij i j j j i i ij i j j y y x x m y f x y y y y y x x p y f x y y y                             1 1 η η ( ) 0, 0 , η η ( ) 0, 0 . ij ij j i j ij ij j i j pm m y f x y mp p y f x y           Теорема 1. Якщо сліди функції ( , )f x y за- довольняють умови       1 1 1 ψ ( ) φ ( ), η ( ) φ , η ψ , j i i j ij i i j ij i j i p x p y m x p y m x p x       то оператор   12 ω3 ( , ) ( , ) ψ ( ) φ ( ) φ ( ) ω3 ( ) ij j i i j ij x y Of x y p x p y p y A     13 1 1 1 ω2 ( ) η ( ) ω2 ( ) ( )( ) φ +φ ( ) ( ) j ij j i j j i j i i i y m x A x x y y p y p y x x                  1 1 23 1 ( )( )ω1 ( ) η ω1 ( ) ( ) j i ii ij i i j j y y x xx m x A y y               36 УСиМ, 2011, № 5 1 1 1 ( )( ) ψ ψ ( ) ( ) j i i j i j j j y y x x p x p x y y               інтерлінує ( , )f x y на : ( , ) ( , ) i i i Of x y f x y   Доведення   12 ω3 ( , ) ( , ) ω3 ( ) ψ ( ) φ ( ) φ ( ) i i i ij x x ij x x j i i j x x x y Of x y A p x p y p y          13 1 1 1 ω2 ( ) η ( ) φ ω2 ( ) ( )( ) φ ( ) ( ) j i i j ij i j x x i j j i x xi i y m x p y A x x y y p y x x                     1 1 23 1 1 1 1 ( )( )ω1 ( ) η ω1 ( ) ( ) ( )( ) ψ ψ ( ) ( ) i i j i ii ij i i j jx x j i i j i j x xj j y y x xx m x A y y y y x x p x p x y y                                    1 1 1 1 ψ ( ) φ ( ) φ ( ) η ( ) φ φ ( ) j j i i i j j i j ij i i j i j j y y p x p y p y y y y y m x p y p y y y                      1 1 1 φ ( ) φ ( ) φ ( ). j j i i j i j j i y y y y p y p y y y y y p y                 Отже, доведено, що ( , ) ix x O f x y   φ ( )ip y . Аналогічно   12 ω3 ( , ) ( , ) ω3 ( ) ψ ( ) φ ( ) φ ( ) j j j ij y y ij y y j i i j y y x y Of x y A p x p y p y          13 1 1 1 ω2 ( ) η ( ) φ ω2 ( ) ( )( ) φ ( ) ( ) j j j ij i j j y y i j j i y yi i y m x p y A x x y y p y x x                      1 1 23 1 1 1 1 ( )( )ω1 ( ) η ω1 ( ) ( ) ( )( ) ψ ψ ( ) ( ) j y y j j i ii ij i i j jy y j i i j i j j j y y x xx m x A y y y y x x p x p x y y                                     1 1 1 1 1 ψ ( ) φ ( ) φ ( ) η ψ ( ) ψ ( ) i j i j i j i i i ij i j i j i i x x p x p y p y x x x x m x p x p x x x                    1 1 1 ψ ( ) ψ ( ) ψ ( ).i i j j j i i i i x x x x p x p x p x x x x x             Отже, доведено, що ( , ) Jy y Of x y   ψ ( )jp x . 1 1 1 ( )( )( , ) i j j j i i x x y y y y x x Of x y            1 1 1 1 1 1 ( )( )12 ( )( ) ω3 ( , ) ω3 ( ) ψ ( ) φ ( ) φ ( ) i j j j i i i j j j i i ij x x y yij y y x x x x y yj i i j y y x x x y A p x p y p y                       1 1 1 ( )( )13 ω2 ( ) ω2 ( ) i j j j i i j x x y yj y y x x y A           1 1 1 ( )( ) η ( ) φ ( ) i j j ij i j i i x x y y m x p y x x                 1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( )( ) 23 φ ( ) ω1 ( ) ω1 ( ) i j j j i i i j j j i i x x y yi y y x x i x x y y i y y x x p y x A                     УСиМ, 2011, № 5 37 1 1 1 ( )( ) η ( ) j i i ij i j j y y x x m x y y                1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ψ ( ) ψ ( ) i j j j i i j i i j i j j x x y yj y y x x y y x x p x y y p x                       1 11 1 1 1 1 1 ( )( ) η ( ) φ ( ) ( )( ) φ ( ) i j ji ij i j i i i i i j j i j i i x x y yx x m x p y x x x x x x y y p y x x                                      1 1 1 1 η ψ ψ ( ) η η . i ij j j i i i i ij ij i i i i x x m x p x p x x x x x x x m x m x x x x x                      Тобто ( , ) ( , ) , 1,3 k k Of x y f x y k     , де k – сторони трикутника. Теорему 1 доведено. Теорема 2. Якщо ( , )f x y є неперервною ра- зом із своїми частинними похідними до друго- го порядку включно всередині трикутного елемента ij , то для залишку ( )Rf I O f  справедлива рівність: (1,1) 12 13 ω3 ( , ) ω2 ( ) ( , ) ( , ) ω3 ( ) ω2 ( ) i j yx ij j ij jx y x y y Rf x y f u v dudv A A     1 1 1 1 1 1 (1,1) ( )( ) 23 (1,1) ( )( ) ( ) ω1 ( ) ( , ) ω1 ( ) ( , ) , ( , ) . i j ji j i i j i i j i j j yx i x x y y ix y x x yx ij y y x x y x y y x f u v dudv A f u v dudv x y                        (1) Доведення. Обчислимо кожний з трьох ін- тегралів. В результаті отримаємо  (1,1) (1,0) (1,0)( , ) ( , ) ( , ) i j i yx x j x y x f u v dudv f u y f u y du     ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) φ ( ) ψ ( ) φ ( ); i j i j i j i j f x y f x y f x y f x y f x y p y p x p y          1 1 1 (1,0)(1,1) ( )( ) ( , ) ( , ) i j ji i j i i yx x x x y yx x y x x f u v dudv f u y             1 1(1,0) 1 ( )( ) , i j j j i i x x y y f u y du x x            1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( , ) , ( )( ) ( , ) , i j j j i i i j j i i j i i x x y y f x y f x y x x x x y y f x y f x y x x                         1 1 1 ( , ) η ( ) φ ( ) ( )( ) φ ; ij i i j j i j i i f x y m x p y x x y y p y x x                   1 1 1 1 1 1 (1,1) ( )( ) ( ) (1,0) (1,0) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( )( ) , , ( ) ( )( ) ( , ) , ( ) j i i j i j j j i i i j j yx y y x x y x y y x j y y x x x y y j i i i j j j i i j i j j j f u v dudv f u y f u y y y x x f x y f x y y y y y x x f x y f x y y y                                             1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( , ) η ( ) ( )( ) ψ ( ) ψ . ( ) j i i ij i j j j i i j j i j j y y x x f x y m x y y y y x x p x p x y y                              Після підстановки результатів інтегрування у вираз для похибки отримаємо тотожність ( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y Of x y f x y Of x y   . Теорему 2 доведено. У випадку, коли область триангульована, залишок інтерлінації в кожному з трикутників не дорівнює добуткові залишків одновимірної інтерполяції на відміну від випадку розбиття області на прямокутні елементи. Тому для оці- нки залишку корисною буде лема. 38 УСиМ, 2011, № 5 Лема [6, c. 202]. Нехай ξ, ,nx R ,n i R  1, , mes( 0)i ji M    , ( ,ξ), ξ , 1, ( ,ξ) 0, ξ \ i i i i K x i M K x         , 1 1 1 1 , , 1, ( ), ( ,ξ) ξ ( ). i p p p i q p q g L p p K x d L                       Якщо 1 1 1 1 ( ,ξ) ξ λ( ), 1, , (ξ) ξ (ξ) ξ , i i p p i pM pp p i K x d x i M g d g d                                    , то отримаємо нерівність 1 ( ) ( )(ξ) ( ,ξ) ξ λ( ) p q q q L Lg K x d dx g x               . Оцінимо похибку, загальний вигляд якої був отриманий в теоремі 2. Теорема 3. Нехай 1,1( , ) ( )ijf x y L  , ( , )x y   Tij. Тоді справедлива така оцінка похибки:   (1,1) ( ) 1 1 1 ( , ) ( , ) , ( , ) , ij i L ji j ij i i j j Rf x y f x y x x y yx x y y x y x x y y                          (2) де ( ) lim ( ) sup ( , )ij p ij p L L vrai f x y      – іс- тотна верхня грань функції ( , )f x y на ij , тобто найменше з чисел 0K  , для яких нерівність ( , )f x y K виконується на множині міри нуль. Доведення. Запишемо похибку (1) в насту- пному вигляді: (1,1)( , ) ( , ) ( , , , ) ij Rf x y f u v K x y u v dudv    , де ( , ; , )K x y u v  1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 3 3 1 1 : ( , ; , ), ( , ) { ( , ), ( , )}, : ( , ; , ), ( , ) ( )( ) ( , ); – : ( , ; , ), ( , ) ( ji i i j j i j j j j i j j i j i i i i i i y yx x K x y u v u v x x y y u x x v y y y y K x y u v u v y y x x y y u x x y v y x x x x K x y u v u v x x y y x                                             1 1 )( ) , ( , ) . ( ) j i i j j j x x u x v y y y y                                 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ; , ) ; i j yx ji i i j jx y ji i j i i j j y yx x K x y u v dudv x x y y y yx x dudv x x y y x x y y                              2 1 1 1 2 ( )( ) 1 ( , ; , ) i j j j i i i x x y y y x xx j j jx y K x y u v dudv y y dudv y y                     1 1 1 1 ( )( ) j i j j i j j j i i y y x x y y x x y y y y x x                      1 1 1 ( ) ; ji j i i i j j y yx x y y x x x x y y               3 3( . ; , )K x y u v dudv   УСиМ, 2011, № 5 39 1 1 1 ( )( ) ( ) 1 j i i i j j j y y x x x y y y i i ix y x x dudv x x                 1 1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) . j i ii i i i j j j i j ji i i j j y y x xx x x x x x y y y y x x y y y yx x x x y y                                  Отже, застосувавши лему, одержимо (1,1) ( ) 1 1 1 ( , ) ( , ) ( )( ) , ( , ) ( , 1). ijL ji i j i i j j ij Rf x y f x y y yx x x x y y x x y y x y p p                      Теорему 3 доведено. Теорема 4. Якщо виконуються умови тео- рем 2 та 3, то функція ( , )f x y  1 1 1 ( )( ) ji i j i i j j y yx x x x y y x x y y              пере- творює нерівність (2) у рівність. Доведення. Знайдемо (1,1) ( , )f x y . (1,0) 1 1 1 1 ( , ) ( ) ( )( ) ; ( ) ji j i i j j i j i i y yx x f x y y y x x y y x x y y x x                   (1,1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) 2 ( ) 2 ( ) j ji i i j j j j ji i i i i j j i i y y y yx x f x y x x y y y y y yx x x x x x x y y x x                             1 1 1 2 2 j i j j i i y y x x y y x x         . Згідно з означенням простору ( )ijL  , маємо (1,1) 1 1 1 ( ) ( )( ) 1, ij ji i j i i j j L y yx x x x y y x x y y                    ( , ) 0 ij f x y   . Після підстановки одержаного результату у формулу (2) отримаємо рівність в цій формулі. Теорему 4 доведено. Приклад 1. Нехай { , 0, 1 0}x y x y     – область визначення f (x, y). Функція неперервно- диференційовна всередині заданого трикутни- ка  . Тоді, за теоремою 1, оператор поліномі- альної інтерлінації матиме вигляд      ( , ) (1 ) ψ ( ) φ ( ) φ (0) η ( ) φ 1 φ ( ) Of x y x y p x p y p y m x p x p y                η 1 ψ 1 ψ ( ) .x m y p y p x     Для залишку R0 f (x, y) = (I – L0) f, за теоре- мою 2, справедлива рівність (1,1) 0 0 0 (1,1) (1,1) 0 1 1 0 ( , ) (1 ) ( , ) ( , ) ( , ) . yx y yx x x y R f x y x y f u v dudv y f u v dudv x f u v dudv               А оцінка похибки, за теоремою 3, має вигляд 0 1,1 ( , ) (1 ) , ( , ) , ( , ) ( ). R f x y xy x y x y f x y L         Величина (1 )xy x y  завжди додатна, тому можемо оцінити цю величину зверху, знайшо- вши найбільше значення функції f (x, y). 2 2 0 (1 ) 0 2 0 . (1 ) 0 2 00 f y x y xy y xy yx f x x y xy x xy x y                        Розв’язавши цю систему, отримаємо чотири стаціонарні точки:   1 1 0,0 , , , (0,1), (1,0) 3 3       . Після підстановки точок у функцію f (x, y) = (1 )xy x y   , знаходимо найбільше значення цієї функції, яке дорівнює 1 27 , в точці 1 1 , 3 3       . 40 УСиМ, 2011, № 5 Тому 0 1 ( , ) (1 ) 27 R f x y xy x y    . Приклад 2. Нехай функція ( , )f x y визначе- на в області 1 2 3 4      , представ- леній на рис. 2. у 12 3 4 1 x 1 -1 -1 Рис. 2. Область визначення наближуваної функції f(x, y) 1 2 3 4 { , 0, 1 0}, { 0, 0, 1 0}, { , 0, 1 0}, { 0, 0, 1 0}. x y x y x y x y x y x y x y x y                           Нехай функція ( , )f x y має розриви першого роду на лініях триангуляції, та має на цих ліні- ях наступні сліди: φ ( ) ( 0, ) , φ ( ) ( 0, ) ,p y f y y m y f y y       ψ ( ) ( , 0) 2 , ψ ( ) ( , 0) ,p x f x x m x f x x      1 2 η ( ) ( ,1 0) 1 , η ( ) ( ,1 0) 1 , m x f x x x m x f x x x            3 4 η ( ) ( , 1 0) 1 2 , η ( ) ( , 1 0) 1 2 . m x f x x x m x f x x x              Ці сліди задовольняють умови теореми 1 в кожному з чотирьох трикутників. Розривний сплайн-інтерлінант будуватиме- мо у вигляді: 1 1 2 2 3 3 4 4 ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) O f x y x y O f x y x y S x y O f x y x y O f x y x y        , (3) де      1 1 ( , ) (1 ) ψ ( ) φ ( ) φ (0) η ( ) φ 1 φ ( ) O f x y x y p x p y p y m x p x p y                1η 1 ψ 1 ψ ( ) ,x m y p y p x          2 2 ( , ) (1 ) ψ ( ) φ ( ) φ (0) η ( ) φ 1 φ ( ) O f x y x y p x m y m y m x m x m y                2η 1 ψ 1 ψ ( ) ,x m y p y p x            3 3 ( , ) (1 ) ψ ( ) φ ( ) φ (0) η ( ) φ 1 φ ( ) O f x y x y m x m y m y m x m x m y                 3η 1 ψ 1 ψ ( ) ,x m y m y m x            4 4 ( , ) (1 ) ψ ( ) φ ( ) φ (0) η ( ) φ 1 φ ( ) O f x y x y m x p y p y m x p x p y                 4η 1 ψ 1 ψ ( ) .x m y m y m x     Підставимо у визначений розривний сплайн значення слідів функції ( , )f x y на відповідних лініях. В результаті отримаємо: 1 2 3 (1 )(2 ) (1 1 ) (1 1 2 2 2 ), ( , ) (1 )(2 ) ( 1 1 ) ( 1 1 2 2 ), ( , ) ( , ) (1 )( ) (1 2 1 ) (1 2 2 1 ), ( , ) (1 )( ) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 x y x y y x x y х y y x x y x y x y y x x y x y x y x y S x y x y x y y x x y x y y x x y x y x y y x x x y                                                               41 ), ( , )y x x y                 1 2 3 4 2 , ( , ) 2 , ( , ) , ( , ) , ( , ) x y x y x y x y x y x y x y x y            . Як бачимо з формули (3), функція ( , )S x y на границі між елементами 1 і 4 матиме на- ступні сліди:     1 1 ( 0, ) (1 ) ψ (0) φ ( ) φ (0) η (0) φ 1 φ ( ) , ( , ) , S y y p p y p y m p p y x y               2 2 ( 0, ) (1 ) ψ (0) φ ( ) φ (0) η (0) φ 1 φ ( ) , ( , ) . S y y p m y m y m m m y x y           Тобто, якщо φ (0) φ (0)p m , φ (1) φ (1)p m , то функція f (x, y) буде розривною на лінії 0x  . Висновки. Отже, в статті запропоновано ме- тод побудови розривних поліноміальних сплайн- інтерлінантів, які як частинний випадок вклю- УСиМ, 2011, № 5 41 чають в себе розривні сплайни для випадку, ко- ли область визначення досліджуваної функції триангульована. Сформульовано і доведено тео- реми про інтерлінаційні властивості таких роз- ривних конструкцій. Визначено загальний ви- гляд похибки наближення побудованими сплайн- інтерлінантами та її оцінка в кожному елементі розбиття. 1. Гаврилюк І.П., Макаров В.Л. Методи обчислень: Підручник: У 2 ч. – К.: Вища шк., 1995. – 215 с. 2. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. – М.: Наука, 1984. – 352 с. 3. Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычисли- тельной математике. – М.: Наука, 1976. – 194 с. 4. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Ме- тоды сплайн-функций. – М.: Наука, 1976. – 248 с. 5. Литвин О.М., Першина Ю.І. Наближення розрив- них функцій двох змінних розривними сплайнами (прямокутні елементи) // Праці V міжнар. шк.-сем. «Теорія прийняття рішень», 27 вер. – 1 жовт. 2010 р., Ужгород, 2010 – С. 141–142. 6. Литвин О.М. Методи обчислень. Додат. розд. – К.: Наук. думка, 2005. – 333 с. Поступила .30.11.2010 Тел. для справок: (057) 771-0545, (050) 222-6979 (Харьков) E-mail: academ@kharkov.ua, yulia_pershina@mail.ru © О.Н. Литвин, Ю.И. Першина, 2011  Приближение разрывных функций двух переменных с разрывами первого рода на линиях триангуляции двумерной области О.Н. Литвин, Ю.И. Першина Введение. Классическая теория приближения диффе- ренцированных функций многих переменных использу- ет оценки погрешностей, которые базируются на пред- положении, что приближаемая функция имеет ограни- ченные производные достаточно высокого порядка. На- пример, в работе [1] оценка приближения полиномами Лагранжа степени n требует непрерывность производ- ной порядка n + 1, в работах [2–4] погрешность прибли- жения сплайнами требует непрерывность r-й (1 r   n + 1) производной, где n – степень сплайна. Для при- ближения непрерывных функций вместо производных используются модули непрерывности. В то же время практика показывает, что необходимо уметь с достаточной точностью приближать разрывные функции, в частности, разрывные функции, имеющие в области задания разрывы первого рода в отдельных точ- ках или на отдельных линиях. Например, при исследо- вании внутренней структуры тела человека методами компьютерной томографии в заданной плоскости необ- ходимо учитывать, что разные части тела имеют свою форму и свою плотность, т.е. плотность внутренней структуры всего тела описывается разрывной функцией от трех переменных, имеющей разрывы первого рода на поверхностях между разными частями тела (сердце, же- лудок, печень и др.). В некоторых случаях исследовате- лю известна форма этих поверхностей (как правило, приближенно). Поэтому актуальна задача приближения такого рода функций с помощью конструкций, которые на указан- ных линиях или поверхностях сохраняют свойства при- ближаемой функции, т.е. имеют разрывы первого рода (вообще говоря, с неизвестными значениями разрывов). В работе [5] рассматривается метод построения ин- терлинационных полиномиальных сплайнов, которыми можно приблизить как непрерывно-дифференцируемые функции, так и разрывные функции двух переменных с разрывами первого рода на линиях ректангуляции в об- ластях, которые являются объединением прямоугольни- ков. В данной статье описано построение сплайн-интер- линантов для приближения разрывных функций двух переменных, имеющих разрывы первого рода на линиях триангуляции двумерной области. Постановка задачи Пусть задана разрывная функция двух переменных f(x, y) в области D. Будем считать, что область D разби- вается прямыми x0 = 0 < x1 < x2 < … < xm = 1, y0 = 0 < y1 < < y2 < … < yn = 1 на прямоугольные элементы, а каждый прямоугольник разбивается диагональю на два прямо- угольных треугольника. Треугольники не вкладываются один в другой, а их стороны не пересекаются. Функция f(x, y) имеет разрывы первого рода на границах между этими прямоугольными треугольниками (не обязательно между всеми). Цель работы – построение и исследование операторов разрывной кусочно-полиномиальной интер- линации таких, которые в каждом треугольнике есть опе- раторами полиномиальной интерлинации функции f(x, y). Метод построения приближаемого разрывного сплайн-интерлинанта Рассмотрим треугольный элемент , 1, , 1,i n j mij   (рис. 1), образованный прямыми ω1 ( , ) 0, ω2 ( , ) 0, ω3 ( , ) 0x y x y x yi j ij   , где 1 1 1 ω1 : , ω2 : , ω3 : , 1, , 1, . i i j j ji ij i i j j x x y y y yx x i n j m x x y y               42 УСиМ, 2011, № 5 ω2 ( )j jy y y  1 1 1 ω3 ( , ) : ji ij i i j j y yx x x y x x y y         ω1 ( )i ix x x  ix 1ix  1jy  jy 23 1( , )i jA x y 13 1( , )i jA x y  12 ( , )i jA x y x Рис. 1. Изображение треугольного элемента ij Считаем заданными:  Следы функции f(x, y) на прямой x = xi (справа и слева прямой соответственно): 0 0 φ ( ) lim ( , ) ( 0, ), φ ( ) lim ( , ) ( 0, ); i i i ix x i ix x p y f x y f x y m y f x y f x y           0 0 φ φ ( ) lim ( , ) ( 0, 0), i j ij i j i j x x y y pp p y f x y f x y          0 0 φ φ ( ) lim ( , ) ( 0, 0) i j ij i j i jx x y y mp m y f x y f x y          .  Следы функции f(x, y) на прямой y = yj (над и под прямой соответственно): 0 0 ψ ( ) lim ( , ) ( , 0), ψ ( ) lim ( , ) ( , 0), j j j jy y j jy y p x f x y f x y m x f x y f x y           0 0 ψ ψ ( ) lim ( , ) ( 0, 0), i j ij j i i j x x y y pp p x f x y f x y          0 0 ψ ψ ( ) lim ( , ) ( 0, 0) i j ij j i i jx x y y pm m x f x y f x y          .  Следы функции f(x, y) на прямой 1 1 1 ( )( )j j i j i i y y x x y y x x         (под и над прямой соот- ветственно): 1 1 1 1 1 1 ( )( ) η ( ) , 0 , ( )( ) η ( ) , 0 ; j j i ij j i i j j i ij j i i y y x x m x f x y x x y y x x p x f x y x x                             1 1 η η ( ) 0, 0 , η ( ) 0, 0 ij ij i i j ij ij i i j pm m x f x y pp p x f x y           или 1 1 1 ( )( ) η ( ) 0, ,j i i ij i j j y y x x m y f x y y y             1 1 1 ( )( ) η ( ) 0, ;j i i ij i j j y y x x p y f x y y y                 1 1 η η ( ) 0, 0 , η η ( ) 0, 0 . ij ij j i j ij ij j i j pm m y f x y mp p y f x y           Теорема 1. Если следы функции f(x, y) удовлетворя- ют условиям      1 1 1ψ ( ) φ ( ), η ( ) φ , η ψ ,j i i j ij i i j ij i j ip x p y m x p y m x p x     то оператор   12 13 ω3 ( , ) ω2 ( ) ( , ) ψ ( ) φ ( ) φ ( ) ω3 ( ) ω2 ( ) ij j j i i j ij j x y y Of x y p x p y p y A A      1 1 1 ( )( ) η ( ) φ φ ( ) ( ) i j j ij i j i i i x x y y m x p y p y x x                  1 1 23 1 1 1 1 ( )( )ω1 ( ) η ω1 ( ) ( ) ( )( ) ψ ψ ( ) ( ) j i ii ij i i j j j i i j i j j j y y x xx m x A y y y y x x p x p x y y                             интерлинирует f(x, y) на : ( , ) ( , ) i i i Of x y f x y     . Доказательство   12 ω3 ( , ) ( , ) ω3 ( ) ψ ( ) φ ( ) φ ( ) i i i ij x x ij x x j i i j x x x y Of x y A p x p y p y          13 1 1 1 ω2 ( ) ω2 ( ) ( )( ) η ( ) φ φ ( ) ( ) i i j j x x i j j ij i j i i i x x y A x x y y m x p y p y x x                      1 1 23 1 ( )( )ω1 ( ) η ω1 ( ) ( ) i j i ii ij i i j jx x y y x xx m x A y y                1 1 1 ( )( ) ψ ψ ( ) ( ) i j i i j i j j j x x y y x x p x p x y y                      1 1 1 1 ψ ( ) φ ( ) φ ( ) η ( ) φ φ ( ) j j i i i j j i j ij i i j i j j y y p x p y p y y y y y m x p y p y y y                      1 1 1 φ ( ) φ ( ) φ ( )j j i i i j i j j y y y y p y p y p y y y y y               . Итак, доказано, что ( , ) ix x O f x y   φ ( )ip y . Аналогично 12 ω3 ( , ) ( , ) ω3 ( )j j ij y y ij y y x y Of x y A    УСиМ, 2011, № 5 43  ψ ( ) φ ( ) φ ( ) j j i i j y y p x p y p y      13 1 1 1 ω2 ( ) η ( ) ω2 ( ) ( )( ) φ φ ( ) ( ) j j j ij j y y i j j i j i i i y y y m x A x x y y p y p y x x                     1 1 23 1 1 1 1 ( )( )ω1 ( ) η ω1 ( ) ( ) ( )( ) ψ ψ ( ) ( ) j j j i ii ij i i j jy y j i i j i j j j y y y y x xx m x A y y y y x x p x p x y y                                     1 1 1 1 1 ψ ( ) φ ( ) φ ( ) η ψ ( ) ψ ( ) i j i j i j i i i ij i j i j i i x x p x p y p y x x x x m x p x p x x x                    1 1 1 ψ ( ) ψ ( ) ψ ( )i i j j j i i i i x x x x p x p x p x x x x x             . Итак, доказано, что ( , ) Jy y Of x y   ψ ( )jp x . 1 1 1 ( )( )( , ) i j j j i i x x y y y y x x Of x y          1 1 1 1 1 1 ( )( )12 ( )( ) ω3 ( , ) ω3 ( ) ψ ( ) φ ( ) φ ( ) i j j j i i i j j j i i ij x x y yij y y x x j i i j x x y y y y x x x y A p x p y p y                           1 1 1 ( )( )13 1 1 1 ω2 ( ) ω2 ( ) ( )( ) η ( ) φ ( ) i j j j i i j x x y yj y y x x i j j ij i j i i y A x x y y m x p y x x                           ( )( ) 1 11 1 1 1 ( )( ) 23 1 1 1 ω1 ( ) φ ( ) ω1 ( ) ( )( ) η ( ) x x y y i j ji j j y y j jx xi i i i i i x x y y i y y x x j i i ij i j j x p y A y y x x m x y y                                 1 1 1 1 ( )( )1 1 ( )( ) ψ ψ ( ) ( ) i j j j i i j i i x x y yj i j y y j j x x y y x x p x p x y y                     = 1 11 1 1 ( )( ) η ( ) φ ( ) i j ji ij i j i i i i x x y yx x m x p y x x x x                 1 1 1 ( )( ) φ ( ) i j j i j i i x x y y p y x x                     1 1 1 1 η ψ ψ ( ) =η η , i ij j j i i i i ij ij i i i i x x m x p x p x x x x x x x m x m x x x x x                      т.е. ( , ) ( , ) , 1,3 k k Of x y f x y k     , где k – стороны треугольника. Теорема 1 доказана. Теорема 2. Если f(x, y) непрерывна вместе со своими частными производными до второго порядка включи- тельно внутри треугольного элемента ij , то для остат- ка R f = (I – O) f справедливо равенство 1 1 1 1 1 1 (1,1) 12 (1,1) ( )( )13 (1,1) ( )( )23 ( ) ω3 ( , ) ( , ) ( , ) ω3 ( ) ω2 ( ) ( , ) ω2 ( ) ω1 ( ) ( , ) , ( , ) . ω1 ( ) i j i j ji j i i j i i j i j j yx ij ij x y yx j x x y yj x y x x yx i ij y y x xi y x y y x y Rf x y f u v dudv A y f u v dudv A x f u v dudv x y A                           (1) Доказательство. Вычислим каждый из трех инте- гралов. В результате получим  (1,1) (1,0) (1,0)( , ) ( , ) ( , ) i j i yx x j x y x f u v dudv f u y f u y du     ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) φ ( ) ψ ( ) φ ( ); i j i j i j i j f x y f x y f x y f x y f x y p y p x p y          1 1 1 (1,1) ( )( ) 1 1(1,0) (1,0) 1 ( , ) ( )( ) ( , ) , i j ji j i i i yx x x y yx y x x x i j j j i ix f u v dudv x x y y f u y f u y du x x                            1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( , ) , ( )( ) ( , ) , i j j j i i i j j i i j i i x x y y f x y f x y x x x x y y f x y f x y x x                           1 1 1 ( , ) η ( ) φ ( ) ( )( ) + φ ; ij i i j j i j i i f x y m x p y x x y y p y x x                 1 1 1 1 1 1 (1,1) ( )( ) ( ) (1,0) (1,0) ( )( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) j i i j i j j j i i i j j yx y y x x y x y y x j y y x x x y y f u v dudv f u y f u y                      44 УСиМ, 2011, № 5   1 1 1 ( )( ) , , ( ) j i i i j j y y x x f x y f x y y y              1 1 1 ( )( ) ( , ) , ( ) j i i j i j j j y y x x f x y f x y y y              1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( , ) η ( ) ( )( ) ψ ( ) ψ . ( ) j i i ij i j j j i i j j i j j y y x x f x y m x y y y y x x p x p x y y                          После подстановки результатов интегрирования в вы- ражение для погрешности получим тождество ( , )f x y ( , ) ( , ) ( , )Of x y f x y Of x y   . Теорема 2 доказана. В случае, когда область треангулирована, остаток инетр- линации в каждом из треугольников не равняется произ- ведению остатков одномерной интерполяции в отличие от случая разбиения области на прямоугольные элементы. Поэтому для оценки погрешности целесообразна лемма. Лемма [6, c. 202]. Пусть ξ, , ,n n ix R R   1, ,i M mes( 0).i j   ( ,ξ), ξ , 1, ( ,ξ) 0, ξ \ i i i i K x i M K x        , 1 1 1 , , 1, ( ),pp q g L p p         1 ( ,ξ) ξ ( ). i p p i qK x d L               Если 1 1 1 1 ( ,ξ) ξ λ( ), 1, , (ξ) ξ (ξ) ξ , i i p p i pM p p p i K x d x i M g d g d                                   то получим неравенство 1 ( ) ( ) (ξ) ( ,ξ) ξ λ( ) p q q q L L g K x d dx g x                . Оценим погрешность, общий вид которой получен в теореме 2. Теорема 3. Пусть 1,1( , ) ( )ijf x y L  , ( , ) ijx y  . То- гда справедлива такая оценка погрешности:  (1,1) ( ) ( , ) ( , ) ij i jL Rf x y f x y x x y y            1 1 1 , ( , ) ,ji ij i i j j y yx x x y x x y y              (2) где ( ) lim ( ) sup ( , )ij p ijp L L vrai f x y      – существен- ная верхняя грань функции ( , )f x y на ij , т.е. наи- меньшее из чисел 0K  , для которых неравенство ( , )f x y K выполняется на множестве меры ноль. Доказательство. Запишем погрешность (1) в сле- дующем виде: (1,1)( , ) ( , ) ( , , , ) ij Rf x y f u v K x y u v dudv    , где ( , ; , )K x y u v  1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 3 3 1 1 : ( , ; , ), ( , ) { ( , ), ( , )}, : ( , ; , ), ( , ) ( )( ) ( , ); : ( , ; , ), ( , ) ( ji i i j j i j j j j i j j i j i i i i i i y yx x K x y u v u v x x y y u x x v y y y y K x y u v u v y y x x y y u x x y v y x x x x K x y u v u v x x y x                                                 1 1 )( ) , ( , ) ( ) j i i j j j y x x u x v y y y y                             .    1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ; , ) ; i j yx ji i i j jx y ji i j i i j j y yx x K x y u v dudv dudv x x y y y yx x x x y y x x y y                             2 1 1 1 2 ( )( ) 1 ( , ; , ) i j j j i i i x x y y y x xx j j jx y K x y u v dudv y y dudv y y                     1 1 1 1 ( )( )j i j j i j j j i i y y x x y y x x y y y y x x                     1 1 1 ( ) ;ji j i i i j j y yx x y y x x x x y y               3 1 1 1 3 ( )( ) ( ) 1 ( , ; , ) j i i i j j j y y x x x y y y i i ix y K x y u v dudv x x dudv x x                   УСиМ, 2011, № 5 45 1 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) j i ii i j i i j j y y x xx x x x y y x x y y                    1 1 1 ( ) ;ji i j i i j j y yx x x x y y x x y y               Таким образом, применив лемму, получим (1,1) ( ) 1 1 1 ( , ) ( , ) ( )( ) , ( , ) ( , 1). ij i jL ji ij i i j j Rf x y f x y x x y y y yx x x y p p x x y y                       Теорема 3 доказана. Теорема 4. Если выполняются условия теорем 2 и 3, то функция 1 1 1 ( , ) ( )( ) ji i j i i j j y yx x f x y x x y y x x y y              преобразует неравенство (2) в равенство. Доказательство. Найдем (1,1) ( , )f x y . (1,0) 1 1 1 1 ( , ) ( ) ( )( ) ; ( ) ji j i i j j i j i i y yx x f x y y y x x y y x x y y x x                   (1,1) 1 1 1 1 ( , ) j ji i i j j j j y y y yx x f x y x x y y y y              1 1 1 1 2 ( ) 2 ( ) ji i i i i j j i i y yx x x x x x x y y x x                1 1 1 2 2j i j j i i y y x x y y x x         . Согласно определению пространства ( )ijL  , имеем (1,1) 1 1 1 ( ) ( )( ) 1 ij ji i j i i j j L y yx x x x y y x x y y                     , ( , ) 0 ij f x y   . После подстановки полученного результата в фор- мулу (2) получим равенство в этой формуле. Теорема 4 доказана. Пример 1. Пусть { , 0, 1 0}x y x y      – область определения f (x, y). Функция непрерывно дифференциру- ема внутри заданного треугольника T. Тогда, по теореме 1, оператор полиномиальной интерлинации будет иметь вид            ( , ) (1 ) ψ ( ) φ ( ) φ (0) η ( ) –φ 1 φ ( ) η 1 ψ 1 ψ ( ) . Of x y x y p x p y p y m x p x p y x m y p y p x               Для остатка 0 0( , ) ( )R f x y I L f  , по теореме 2, справедливо равенство (1,1) 0 0 0 ( , ) (1 ) ( , ) yx R f x y x y f u v dudv     (1,1) (1,1) 0 1 1 0 ( , ) ( , ) . y yx x x y y f u v dudv x f u v dudv        А оценка погрешности, по теореме 3, имеет вид 1,1 0 ( , ) (1 ) , ( , ) , ( , ) ( )R f x y xy x y x y f x y L        . Величина (1 )xy x y  всегда положительна, поэтому можно оценить ее сверху с помощью нахождения наи- большего значения функции ( , )f x y . 2 2 0 (1 ) 0 2 0 (1 ) 0 2 00 f y x y xy y xy yx f x x y xy x xy x y                       . Решив эту систему, получим четыре стационарные точ- ки:   1 1 0,0 , , , (0,1), (1,0) 3 3       . После подстановки этих то- чек в функцию ( , ) (1 )f x y xy x y   , найдем наиболь- шее значение этой функции, равное 1 27 , в точке 1 1 , 3 3       . Поэтому 0 1 ( , ) (1 ) 27 R f x y xy x y    . Пример 2. Пусть функция ( , )f x y определена в об- ласти 1 2 3 4      , представленной на рис. 2. у 1 2 3 4 1 1 –1 –1 Рис 2. Область определения приближаемой функции f (x, y) 1 2 3 4 { , 0, 1 0}, { 0, 0, 1 0}, { , 0, 1 0}, { 0, 0, 1 0}. x y x y x y x y x y x y x y x y                           Пусть функция f (x, y) имеет разрывы первого рода на линиях треангуляции, и на этих линиях имеет следую- щие следы: φ ( ) ( 0, ) , φ ( ) ( 0, ) ,p y f y y m y f y y       ψ ( ) ( , 0) 2 , ψ ( ) ( , 0) ,p x f x x m x f x x      1 2 η ( ) ( ,1 0) 1 , η ( ) ( ,1 0) 1 , m x f x x x m x f x x x            3 4 η ( ) ( , 1 0) 1 2 , η ( ) ( , 1 0) 1 2 . m x f x x x m x f x x x              46 УСиМ, 2011, № 5 Эти следы удовлетворяют условиям теоремы 1 в ка- ждом из четырех треугольников. Разрывный сплайн-интерлинант построим в виде 1 1 2 2 3 3 4 4 ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) O f x y x y O f x y x y S x y O f x y x y O f x y x y        , (3) где            1 1 1 ( , ) (1 ) ψ ( ) φ ( ) φ (0) η ( ) φ 1 φ ( ) η 1 ψ 1 ψ ( ) , O f x y x y p x p y p y m x p x p y x m y p y p x                            2 2 2 ( , ) (1 ) ψ ( ) φ ( ) φ (0) η ( ) φ 1 φ ( ) η 1 ψ 1 ψ ( ) , O f x y x y p x m y m y m x m x m y x m y p y p x                        3 3 ( , ) (1 ) ψ ( ) φ ( ) φ (0) η ( ) φ 1 φ ( ) O f x y x y m x m y m y m x m x m y                 3η 1 ψ 1 ψ ( ) ,x m y m y m x            4 4 ( , ) (1 ) ψ ( ) φ ( ) φ (0) η ( ) φ 1 φ ( ) O f x y x y m x p y p y m x p x p y                 4η 1 ψ 1 ψ ( ) .x m y m y m x     Подставим в определенный разрывный сплайн зна- чения следов функции ( , )f x y на соответствующих ли- ниях. В результате получим: 1 2 3 (1 )(2 ) (1 1 ) (1 1 2 2 2 ), ( , ) (1 )(2 ) ( 1 1 ) ( 1 1 2 2 ), ( , ) ( , ) (1 )( ) (1 2 1 ) (1 2 2 1 ), ( , ) (1 )( ) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 x y x y y x x y х y y x x y x y x y y x x y x y x y x y S x y x y x y y x x y x y y x x y x y x y y x x x                                                                41 ), ( , )y y x x y               1 2 3 4 2 , ( , ) 2 , ( , ) , ( , ) , ( , ) x y x y x y x y x y x y x y x y            . Как видим из формулы (3), функция ( , )S x y на границе между элементами 1 и 4 будет иметь следующие следы:     1 1 ( 0, ) (1 ) ψ (0) φ ( ) φ (0) η (0) φ 1 φ ( ) , ( , ) , S y y p p y p y m p p y x y               2 2 ( 0, ) (1 ) ψ (0) φ ( ) φ (0) η (0) φ 1 φ ( ) , ( , ) , S y y p m y m y m m m y x y           . т.е., если φ (0) φ (0)p m , φ (1) φ (1)p m , то функция f (x, y) будет разрывной на линии 0x  . Заключение. Итак, в статье предложен метод построе- ния разрывных полиномиальных сплайн-интерлинантов, как частный случай включающих в себя разрывные сплай- ны для случая, когда область исследуемой функции тре- ангулирована. Сформулированы и доказаны теоремы об интерлинационных свойствах таких разрывных конст- рукций. Определен общий вид погрешности приближе- ния построенными сплайн-интерлинантами и ее оценка в каждом элементе разбиения.  Внимание ! Оформление подписки для желающих опубликовать статьи в нашем журнале обязательно. В розничную продажу журнал не поступает. Подписной индекс 71008 << /ASCII85EncodePages false /AllowTransparency false /AutoPositionEPSFiles true /AutoRotatePages /None /Binding /Left /CalGrayProfile (Dot Gain 20%) /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2) /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1) /CannotEmbedFontPolicy /Error /CompatibilityLevel 1.4 /CompressObjects /Tags /CompressPages true /ConvertImagesToIndexed true /PassThroughJPEGImages true /CreateJobTicket false /DefaultRenderingIntent /Default /DetectBlends true /DetectCurves 0.0000 /ColorConversionStrategy /CMYK /DoThumbnails false /EmbedAllFonts true /EmbedOpenType false /ParseICCProfilesInComments true /EmbedJobOptions true /DSCReportingLevel 0 /EmitDSCWarnings false /EndPage -1 /ImageMemory 1048576 /LockDistillerParams false /MaxSubsetPct 100 /Optimize true /OPM 1 /ParseDSCComments true /ParseDSCCommentsForDocInfo true /PreserveCopyPage true /PreserveDICMYKValues true /PreserveEPSInfo true /PreserveFlatness true /PreserveHalftoneInfo false /PreserveOPIComments true /PreserveOverprintSettings true /StartPage 1 /SubsetFonts true /TransferFunctionInfo /Apply /UCRandBGInfo /Preserve /UsePrologue false /ColorSettingsFile () /AlwaysEmbed [ true ] /NeverEmbed [ true ] /AntiAliasColorImages false /CropColorImages true /ColorImageMinResolution 300 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleColorImages true /ColorImageDownsampleType /Bicubic /ColorImageResolution 300 /ColorImageDepth -1 /ColorImageMinDownsampleDepth 1 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeColorImages true /ColorImageFilter /DCTEncode /AutoFilterColorImages true /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG /ColorACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /ColorImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000ColorACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000ColorImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasGrayImages false /CropGrayImages true /GrayImageMinResolution 300 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleGrayImages true /GrayImageDownsampleType /Bicubic /GrayImageResolution 300 /GrayImageDepth -1 /GrayImageMinDownsampleDepth 2 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeGrayImages true /GrayImageFilter /DCTEncode /AutoFilterGrayImages true /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG /GrayACSImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /GrayImageDict << /QFactor 0.15 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1] >> /JPEG2000GrayACSImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /JPEG2000GrayImageDict << /TileWidth 256 /TileHeight 256 /Quality 30 >> /AntiAliasMonoImages false /CropMonoImages true /MonoImageMinResolution 1200 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK /DownsampleMonoImages true /MonoImageDownsampleType /Bicubic /MonoImageResolution 1200 /MonoImageDepth -1 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000 /EncodeMonoImages true /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode /MonoImageDict << /K -1 >> /AllowPSXObjects false /CheckCompliance [ /None ] /PDFX1aCheck false /PDFX3Check false /PDFXCompliantPDFOnly false /PDFXNoTrimBoxError true /PDFXTrimBoxToMediaBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXSetBleedBoxToMediaBox true /PDFXBleedBoxToTrimBoxOffset [ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 ] /PDFXOutputIntentProfile () /PDFXOutputConditionIdentifier () /PDFXOutputCondition () /PDFXRegistryName () /PDFXTrapped /False /CreateJDFFile false /Description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> /CHS <FEFF4f7f75288fd94e9b8bbe5b9a521b5efa7684002000410064006f006200650020005000440046002065876863900275284e8e9ad88d2891cf76845370524d53705237300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c676562535f00521b5efa768400200050004400460020658768633002> /CHT <FEFF4f7f752890194e9b8a2d7f6e5efa7acb7684002000410064006f006200650020005000440046002065874ef69069752865bc9ad854c18cea76845370524d5370523786557406300260a853ef4ee54f7f75280020004100630072006f0062006100740020548c002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee553ca66f49ad87248672c4f86958b555f5df25efa7acb76840020005000440046002065874ef63002> /CZE <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> /DAN <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> /DEU <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> /ESP <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> /ETI <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> /FRA <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> /GRE <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a stvaranje Adobe PDF dokumenata najpogodnijih za visokokvalitetni ispis prije tiskanja koristite ove postavke. Stvoreni PDF dokumenti mogu se otvoriti Acrobat i Adobe Reader 5.0 i kasnijim verzijama.) /HUN <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> /ITA <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> /JPN <FEFF9ad854c18cea306a30d730ea30d730ec30b951fa529b7528002000410064006f0062006500200050004400460020658766f8306e4f5c6210306b4f7f75283057307e305930023053306e8a2d5b9a30674f5c62103055308c305f0020005000440046002030d530a130a430eb306f3001004100630072006f0062006100740020304a30883073002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e003000204ee5964d3067958b304f30533068304c3067304d307e305930023053306e8a2d5b9a306b306f30d530a930f330c8306e57cb30818fbc307f304c5fc59808306730593002> /KOR <FEFFc7740020c124c815c7440020c0acc6a9d558c5ec0020ace0d488c9c80020c2dcd5d80020c778c1c4c5d00020ac00c7a50020c801d569d55c002000410064006f0062006500200050004400460020bb38c11cb97c0020c791c131d569b2c8b2e4002e0020c774b807ac8c0020c791c131b41c00200050004400460020bb38c11cb2940020004100630072006f0062006100740020bc0f002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020c774c0c1c5d0c11c0020c5f40020c2180020c788c2b5b2c8b2e4002e> /LTH <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> /LVI <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> /NLD (Gebruik deze instellingen om Adobe PDF-documenten te maken die zijn geoptimaliseerd voor prepress-afdrukken van hoge kwaliteit. De gemaakte PDF-documenten kunnen worden geopend met Acrobat en Adobe Reader 5.0 en hoger.) /NOR <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> /POL <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> /PTB <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> /RUM <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> /RUS <FEFF04180441043f043e043b044c04370443043904420435002004340430043d043d044b04350020043d0430044104420440043e0439043a043800200434043b044f00200441043e043704340430043d0438044f00200434043e043a0443043c0435043d0442043e0432002000410064006f006200650020005000440046002c0020043c0430043a04410438043c0430043b044c043d043e0020043f043e04340445043e0434044f04490438044500200434043b044f00200432044b0441043e043a043e043a0430044704350441044204320435043d043d043e0433043e00200434043e043f0435044704300442043d043e0433043e00200432044b0432043e04340430002e002000200421043e043704340430043d043d044b04350020005000440046002d0434043e043a0443043c0435043d0442044b0020043c043e0436043d043e0020043e0442043a0440044b043204300442044c002004410020043f043e043c043e0449044c044e0020004100630072006f00620061007400200438002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020043800200431043e043b043504350020043f043e04370434043d043804450020043204350440044104380439002e> /SKY <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> /SLV <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> /SUO <FEFF004b00e40079007400e40020006e00e40069007400e4002000610073006500740075006b007300690061002c0020006b0075006e0020006c0075006f00740020006c00e400680069006e006e00e4002000760061006100740069007600610061006e0020007000610069006e006100740075006b00730065006e002000760061006c006d0069007300740065006c00750074007900f6006800f6006e00200073006f00700069007600690061002000410064006f0062006500200050004400460020002d0064006f006b0075006d0065006e007400740065006a0061002e0020004c0075006f0064007500740020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740069007400200076006f0069006400610061006e0020006100760061007400610020004100630072006f0062006100740069006c006c00610020006a0061002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030003a006c006c00610020006a006100200075007500640065006d006d0069006c006c0061002e> /SVE <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> /TUR <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> /UKR <FEFF04120438043a043e0440043804410442043e043204430439044204350020044604560020043f043004400430043c043504420440043800200434043b044f0020044104420432043e04400435043d043d044f00200434043e043a0443043c0435043d044204560432002000410064006f006200650020005000440046002c0020044f043a04560020043d04300439043a04400430044904350020043f045604340445043e0434044f0442044c00200434043b044f0020043204380441043e043a043e044f043a04560441043d043e0433043e0020043f0435044004350434043404400443043a043e0432043e0433043e0020043404400443043a0443002e00200020042104420432043e04400435043d045600200434043e043a0443043c0435043d0442043800200050004400460020043c043e0436043d04300020043204560434043a0440043804420438002004430020004100630072006f006200610074002004420430002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e0030002004300431043e0020043f04560437043d04560448043e04570020043204350440044104560457002e> /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents best suited for high-quality prepress printing. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.) >> /Namespace [ (Adobe) (Common) (1.0) ] /OtherNamespaces [ << /AsReaderSpreads false /CropImagesToFrames true /ErrorControl /WarnAndContinue /FlattenerIgnoreSpreadOverrides false /IncludeGuidesGrids false /IncludeNonPrinting false /IncludeSlug false /Namespace [ (Adobe) (InDesign) (4.0) ] /OmitPlacedBitmaps false /OmitPlacedEPS false /OmitPlacedPDF false /SimulateOverprint /Legacy >> << /AddBleedMarks false /AddColorBars false /AddCropMarks false /AddPageInfo false /AddRegMarks false /ConvertColors /ConvertToCMYK /DestinationProfileName () /DestinationProfileSelector /DocumentCMYK /Downsample16BitImages true /FlattenerPreset << /PresetSelector /MediumResolution >> /FormElements false /GenerateStructure false /IncludeBookmarks false /IncludeHyperlinks false /IncludeInteractive false /IncludeLayers false /IncludeProfiles false /MultimediaHandling /UseObjectSettings /Namespace [ (Adobe) (CreativeSuite) (2.0) ] /PDFXOutputIntentProfileSelector /DocumentCMYK /PreserveEditing true /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged /UntaggedRGBHandling /UseDocumentProfile /UseDocumentBleed false >> ] >> setdistillerparams << /HWResolution [2400 2400] /PageSize [612.000 792.000] >> setpagedevice

Наближення розривних функцій двох змінних з розривами першого роду на лініях тріангуляції двовимірної області

Institution

Similar Items