Имитационное моделирование случайных процессов в СМ-ДЭС
Предлагаются технология и программное обеспечение имитационного моделирования широкого класса случайных процессов. Представлены примеры решения двух известных задач теории вероятностей и теории надежности, связанных с анализом случайных процессов, методом имитационного моделирования в пакете СМ-ДЭС....
Saved in:
| Date: | 2010 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2010
|
| Series: | Математичні машини і системи |
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83300 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Имитационное моделирование случайных процессов в СМ-ДЭС / И.В. Максимей, Д.Н. Шевченко // Мат. машини і системи. — 2010. — № 3. — С. 141-152. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83300 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-833002025-02-09T13:09:28Z Имитационное моделирование случайных процессов в СМ-ДЭС Iмітаційне моделювання випадкових процесів у СМ-ДЕС Simulation modeling of random processes in the package SM-DES Максимей, И.В. Шевченко, Д.Н. Моделювання і управління великими системами Предлагаются технология и программное обеспечение имитационного моделирования широкого класса случайных процессов. Представлены примеры решения двух известных задач теории вероятностей и теории надежности, связанных с анализом случайных процессов, методом имитационного моделирования в пакете СМ-ДЭС. Показана возможность решения широкого спектра других прикладных задач. Пропонуються технологія і програмне забезпечення імітаційного моделювання широкого класу випадкових процесів. Наведені приклади вирішення двох відомих задач теорії ймовірностей і теорії надійності, пов'язаних з аналізом випадкових процесів, методом імітаційного моделювання в пакеті СМ-ДЕС. Показано можливість вирішення широкого спектру інших прикладних задач. Technology and software are offered for simulation modeling of the broad class of the random processes. There are two well-known problems of probability theory and reliability theory associated with analysis of random processes. The article contains examples of solving these problems by simulation in the package SM-DES. Possibility of solving a wide range of other applications is also presented. 2010 Article Имитационное моделирование случайных процессов в СМ-ДЭС / И.В. Максимей, Д.Н. Шевченко // Мат. машини і системи. — 2010. — № 3. — С. 141-152. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83300 519.85:519.21:004 ru Математичні машини і системи application/pdf Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами |
| spellingShingle |
Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами Максимей, И.В. Шевченко, Д.Н. Имитационное моделирование случайных процессов в СМ-ДЭС Математичні машини і системи |
| description |
Предлагаются технология и программное обеспечение имитационного моделирования широкого класса случайных процессов. Представлены примеры решения двух известных задач теории вероятностей и теории надежности, связанных с анализом случайных процессов, методом имитационного моделирования в пакете СМ-ДЭС. Показана возможность решения широкого спектра других прикладных задач. |
| format |
Article |
| author |
Максимей, И.В. Шевченко, Д.Н. |
| author_facet |
Максимей, И.В. Шевченко, Д.Н. |
| author_sort |
Максимей, И.В. |
| title |
Имитационное моделирование случайных процессов в СМ-ДЭС |
| title_short |
Имитационное моделирование случайных процессов в СМ-ДЭС |
| title_full |
Имитационное моделирование случайных процессов в СМ-ДЭС |
| title_fullStr |
Имитационное моделирование случайных процессов в СМ-ДЭС |
| title_full_unstemmed |
Имитационное моделирование случайных процессов в СМ-ДЭС |
| title_sort |
имитационное моделирование случайных процессов в см-дэс |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Моделювання і управління великими системами |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83300 |
| citation_txt |
Имитационное моделирование случайных процессов в СМ-ДЭС / И.В. Максимей, Д.Н. Шевченко // Мат. машини і системи. — 2010. — № 3. — С. 141-152. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Математичні машини і системи |
| work_keys_str_mv |
AT maksimejiv imitacionnoemodelirovanieslučajnyhprocessovvsmdés AT ševčenkodn imitacionnoemodelirovanieslučajnyhprocessovvsmdés AT maksimejiv imítacíjnemodelûvannâvipadkovihprocesívusmdes AT ševčenkodn imítacíjnemodelûvannâvipadkovihprocesívusmdes AT maksimejiv simulationmodelingofrandomprocessesinthepackagesmdes AT ševčenkodn simulationmodelingofrandomprocessesinthepackagesmdes |
| first_indexed |
2025-11-26T02:02:40Z |
| last_indexed |
2025-11-26T02:02:40Z |
| _version_ |
1849816590917304320 |
| fulltext |
© Максимей И.В., Шевченко Д.Н., 2010 141
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3
УДК 519.85:519.21:004
И.В. МАКСИМЕЙ, Д.Н. ШЕВЧЕНКО
ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В СМ-ДЭС
Abstract. Technology and software are offered for simulation modeling of the broad class of the random processes.
There are two well-known problems of probability theory and reliability theory associated with analysis of random
processes. The article contains examples of solving these problems by simulation in the package SM-DES. Possibility
of solving a wide range of other applications is also presented.
Key words: simulation modeling, statistical modeling, random processes, information technologies, parametric failure.
Анотацiя. Пропонуються технологія і програмне забезпечення імітаційного моделювання широкого класу
випадкових процесів. Наведені приклади вирішення двох відомих задач теорії ймовірностей і теорії на-
дійності, пов'язаних з аналізом випадкових процесів, методом імітаційного моделювання в пакеті СМ-ДЕС.
Показано можливість вирішення широкого спектру інших прикладних задач.
Ключовi слова: імітаційне моделювання, статистичне моделювання, випадкові процеси, інформаційні тех-
нології, параметрична відмова.
Аннотация. Предлагаются технология и программное обеспечение имитационного моделирования широ-
кого класса случайных процессов. Представлены примеры решения двух известных задач теории вероят-
ностей и теории надежности, связанных с анализом случайных процессов, методом имитационного моде-
лирования в пакете СМ-ДЭС. Показана возможность решения широкого спектра других прикладных задач.
Ключевые слова: имитационное моделирование, статистическое моделирование, случайные процессы,
информационные технологии, параметрический отказ.
1. Введение
Поведение множества технических и организационных систем может быть описано случайными
процессами (СП). Исследование подобных систем зачастую сводится к подробному анализу соот-
ветствующих СП, например, процесса параметрического (износового) отказа силовой механиче-
ской системы.
В настоящее время известно большое количество аналитических моделей СП, каждая из
которых рассматривает, однако, узкий класс соответствующих систем. Эффективным способом
анализа произвольных систем и соответствующих им СП является имитационное моделирование.
Проблемы последующего статистического анализа СП, требующего получения большого количест-
ва реализаций, успешно решаются с использованием современной компьютерной техники. Наи-
большее преимущество имитационное моделирование имеет в случае анализа систем, функцио-
нирование которых описывается многомерными СП с зависимыми компонентами, когда аналитиче-
ские методы громоздки и трудоемки.
Основными проблемами имитационного моделирования являются:
– реализация алгоритмов, позволяющих адекватно генерировать СП;
– реализации алгоритмов постановки и проведения имитационных экспериментов, а также
сбора и анализа статистики по множеству полученных реализаций (траекторий) СП;
– автоматизация имитационного моделирования для решения практических задач.
В настоящее время существует программное обеспечение, предназначенное для имитаци-
онного моделирования СП. Иногда создатели новых классов СП сами реализуют программное
обеспечение для генерации СП [1, 2]. Однако вышеуказанное обеспечение, как правило, не явля-
ется общедоступным и не предназначено для универсального практического использования.
В данной связи актуально рассмотрение известных классов СП, допускающих «алгоритми-
ческое» описание и применимых для имитационного моделирования задач теории игр, параметри-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 142
ческих отказов технических систем и решения других практических задач, а также разработка
средств автоматизации имитационного моделирования. Особый интерес представляют СП с не-
прерывным временем и фазовым пространством, применимые для моделирования параметриче-
ских отказов механических систем, задач гидравлики и др.
Для имитационного моделирования СП при анализе технических систем предлагается ори-
гинальный программный комплекс СМ-ДЭС, реализующий агрегатный способ формализации [3].
Каждый агрегат имитационной модели предназначен для генерирования того или иного класса СП,
их функционального преобразования и сбора статистики о реализациях СП.
2. Описание алгоритмов моделирования некоторых классов СП
Пусть α , β – одномерные случайные величины с произвольными законами распределения, тогда
СП, определяемый выражением
( ) tt βαξ += , ∞<≤ t0 , (1)
называется веерным случайным процессом.
Для моделирования веерного СП в СМ-ДЭС реализован специальный класс агрегатов, гра-
фическое изображение которых представлено на рис. 1 а, задание параметров (1) осуществляется
в панели на рис. 2 а. Примеры нескольких реализаций веерного СП с параметрами 0=α и
( )5,0;5,0~ Nβ представлены на рис. 3 а.
а) б)
Рис. 1. Графическое изображение имитационной модели веерного СП в пакете СМ-ДЭС:
обычного (а); с внешним управлением параметром β (б)
а) б)
Рис. 2. Задание параметров веерного СП в пакете СМ-ДЭС:
обычного (а); с внешним управлением параметром β (б)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 143
а) б)
Рис. 3. Семейство реализаций веерного СП в СМ-ДЭС: обычного (а); модифицированного (б)
При моделировании веерного СП значения случайных величин α и β разыгрываются один
раз при 0=t . Однако возможна модификация, когда значение β разыгрывается всякий раз, когда
значение процесса ( )tξ изменяется на фиксированную величину ξΔ (на один квант):
( ) ( ) ( )112211 ... −−++−++=Δ+= iii tttttit βββαξαξ , (2)
где iβ – i -я реализация случайной величины β , it – модельное время разыгрывания iβ , предше-
ствующее моменту времени ( )ttt i ≤ , определяемое рекуррентным уравнением
.1
i
ii tt
β
ξΔ
+= − (3)
Примеры нескольких реализаций модифицированного веерного СП с параметрами 0=α и
( )5,0;5,0~ Nβ представлены на рис. 3 б.
В качестве законов распределения величин α и β целесообразно использовать равно-
мерное, нормальное, логнормальное и распределение Вейбулла, которые охватывают широкий
класс типовых распределений, а также таблично заданное распределение. Для моделирования
веерного СП, значение параметра β которого зависит от состояния других объектов (агрегатов), в
СМ-ДЭС реализован агрегат «Управляемый веерный процесс». Его графическое изображение
представлено на рис. 1 б, а задание параметров осуществляется в панели на рис. 2 б.
Случайный процесс ( )tξ с дискретным временем называется процессом с независимыми
приращениями, если для любого натурального i и любых моментов времени nttt <<< ...10 слу-
чайные величины ( )0tξ , ( ) ( ) ( ) ( )101 ,..., −−− ii tttt ξξξξ , являющиеся приращениями процесса ( )tξ ,
независимы в совокупности [4]. В пакете СМ-ДЭС реализован специальный класс агрегатов, моде-
лирующих СП с независимыми, одинаково распределенными, приращениями ( ) ( )1−−=Δ ii tt ξξξ и
одинаково распределенными интервалами времени 1−−=Δ ii ttt между сменами состояний СП.
Начальное состояние ( )0tξ процесса также может подчиняться некоторому заданному распреде-
лению (рис. 4).
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 144
а) б) в)
Рис. 4. Графическое изображение (а) и окна параметров СП с независимыми приращениями
в пакете СМ-ДЭС: пуассоновского (б); обобщенного пуассоновского (в)
Данный агрегат моделирует достаточно широкий класс известных СП. Например, при на-
чальном состоянии ( ) 00 =ξ , интервалах времени tΔ между сменами состояний, подчиняющихся
экспоненциальному распределению с параметром λ , и приращениях 1=Δξ , данный СП является
пуассоновским процессом (рис. 5 а). Если при этом приращения подчиняются распределению Коши
с параметром 1−−=Δ ii ttt , то имеем дело с процессом Коши [4, с. 287]; а если произвольному рас-
пределению, то – с обобщенным пуассоновским процессом (рис. 4 в и рис. 5 б) [4, с. 312].
а) б)
Рис. 5. Семейства реализаций СП в СМ-ДЭС: пуассоновского (а); обобщенного пуассоновского (б)
В особый класс СП с независимыми приращениями выделяют процесс случайного блужда-
ния – СП с дискретным временем и дискретным фазовым пространством, который при изменении
времени на один шаг tΔ с вероятностью +p увеличивает свое состояние на один квант xΔ , с ве-
роятностью −p – уменьшает свое состояние на один квант xΔ и с вероятностью −+ −− pp1 со-
храняет прежнее состояние [3].
В общем случае, интервалы времени tΔ между возможными сменами состояний процесса
случайного блуждания могут быть случайными величинами. Например, если интервалы времени
tΔ между возможными сменами состояний подчиняются экспоненциальному распределению с па-
раметром ( )μλ + , а вероятности переходов определяются выражениями
( )μλλ +=+ /p , +− −= pp 1 , (5)
то имеем дело с процессом «гибели и размножения», где λ – интенсивность рождения очередной
особи, а μ – интенсивность смерти (рис. 6).
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 145
а) б) в)
Рис. 6. Графическое изображение (а), окно параметров (б) и семейство реализаций в СМ-ДЭС (в)
процесса случайного блуждания, соответствующего процессу «гибели и размножения»
Выполняя предельный переход в процессе случайного блуждания при 0→Δt с одновре-
менным выполнением условий
( )totbx Δ+Δ=Δ , ( )tot
b
ap Δ+Δ+=+
22
1
и ( )tot
b
ap Δ+Δ−=−
22
1
, (6)
получают диффузионный СП с коэффициентом переноса Ra∈ и коэффициентом диффузии
0>b [3]. При 0=a и 0=b имеем дело с винеровским СП (рис. 7).
а) б)
Рис. 7. Окно параметров (а) и пример реализации (б) винеровского СП в пакете СМ-ДЭС
Смешанным процессом авторегрессии и скользящего среднего (AutoRegressive Moving Av-
erage, ARMA) называется СП ( )tξ с дискретным временем ...,2,1,0 ±±=t и непрерывным фазо-
вым пространством, значения которого удовлетворяют разностному уравнению [3, 5, 6].
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tqtbtbptatat qp η+−η++−η+−ξ++−ξ=ξ ...1...1 11 , (7)
где ( )tη – дискретный белый шум – последовательность, состоящая из независимых в совокупно-
сти и одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием, p –
порядок авторегрессии, paa ,...,1 – коэффициенты авторегрессии, q – порядок скользящего сред-
него, qbb ,...,1 – коэффициенты скользящего среднего.
Если в ARMA 0=p и Nq∈ , то имеем дело с процессом скользящего среднего (MA) по-
рядка q :
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 146
( ) ( ) ( ) ( ) μ+η+−η++−η=ξ tqtbtbt q...11 , (8)
где μ – математическое ожидание процесса MA [3], а если в ARMA 0=q и Np∈ , то имеем дело
с процессом авторегрессии (AR) порядка p :
( ) ( ) ( ) ( )tptatat p ηξξξ +−++−= ...11 . (9)
Адекватное описание наблюдаемых на практике
явлений, моделируемых стационарными СП, зачастую дос-
тигается моделями ARMA, порядок которых не превышает
2 [6]. Однако в пакете СМ-ДЭС реализована возможность
моделирования процессов ARMA порядка 5 и выше
(рис. 8).
Выбирая специальным образом значения парамет-
ров ARMA p , { }ia , q , { }jb в (7), можно моделировать
стационарный гауссовский СП – процесс ( )tξ с дискрет-
ным временем и непрерывным фазовым пространством,
определяемый автокорреляционной функцией ( )tttR Δ+, ,
все сечения которого подчиняются нормальному закону
распределения [3]. При этом в (7) ( )tη – гауссовский белый шум – последовательность, состоящая
из независимых, в совокупности нормально распределенных случайных величин с нулевым мате-
матическим ожиданием и дисперсией 2σ .
При моделировании нестационарных гауссовских СП обычно используют соотношение
( ) ( ) ( )tftt += ξζ , (10)
где ( )tξ – гауссовский стационарный СП с нулевым математическим ожиданием и постоянной ко-
нечной дисперсией, ( )tf – неслучайная функция времени, называемая трендом, например [3]:
( ) ∑
=
α+α=
m
i
i
ittf
1
01 , ( ) ( )∑
=
γ+βα+α=
m
i
iii ttf
1
02 cos , ( ) ( )∑
=
++=
m
i
iii ttf
1
03 exp γβαα . (11)
Имитационная модель нестационарного гауссовского СП с трендом ( )tf2 (11) в пакете СМ-
ДЭС представлена на рис. 9. На рис. 10 представлен пример реализации данного СП.
При моделировании трендов c функцией ( )tf его значения воспроизводятся с заданной
точностью xΔ . При этом время 2t очередного изменения значения функции ( )tf определяется в
данный момент модельного времени 1t решением уравнения (12):
Рис. 8. Окно параметров процесса
ARMA в пакете СМ-ДЭС
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 147
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( )
( )⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=′Δ+
<′Δ−
>′Δ+
= −
−
,0,
,0..,
,0..,
1
111
1
111
1
2
tfфункцияеслиtt
tfетtточкевубываетtfеслиxtff
tfетtточкеввозрастаетtfеслиxtff
t (12)
где tΔ – задаваемая пользователем величина интервала времени, бесконечно малая относитель-
но значения xΔ . Если аналитическое решение уравнения (12) затруднено, то можно воспользо-
ваться численным решением, полученным линеаризацией функции тренда ( )tf в точке 1t .
а) б) в)
Рис. 9. Моделирование нестационарного гауссовского СП:
модель в пакете СМ-ДЭС (а), параметры агрегата, моделирующего тренд (б),
параметры агрегата необходимого функционального преобразования (в)
Рис. 10. Реализации в пакете СМ-ДЭС стационарного гауссовского СП,
тренда и нестационарного гауссовского СП
В современной литературе [2, 3, 5, 7] приводятся алгоритмы моделирования других СП, на-
пример, ARCH, BL, Gamma, GARCH, FAR, EXPAR, SVM, TAR, TES. Однако особый интерес для
имитационного моделирования технических систем представляет стационарный процесс авторег-
рессии с произвольным распределением состояний (AutoRegressive To Anything, ARTA) [1, 2]. Про-
цесс ARTA точно соответствует заданной структуре автокорреляции (аналогично процессу AR), а
также стационарному распределению состояний (отличающемуся, при необходимости, от нор-
мального распределения):
( ) ( )( )( )tFt ξζ Φ+= − 5,01 , (13)
где ( )•−1F – функция, обратная функции заданного стационарного распределения состояний про-
цесса ARTA, ( )•Ф – функция Лапласа, ( )tξ – стационарный гауссовский СП с единичной диспер-
сией и заданной автокорреляционной функцией ( )tttR Δ+, .
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 148
Стационарный гауссовский СП ( )tξ моделируется выражением (9), где порядок p и коэф-
фициенты авторегрессии paaa ,...,, 21 определяют авторегрессионную структуру процесса ARTA, а
дисперсия используемого в (9) гауссовского белого шума ( )tη определяется уравнениями Юла-
Уокера [5]. Для определения функции Лапласа используются две аппроксимации непрерывными
дробями отношения Миллса [7, с. 256]. В соответствии с методом обратной функции, преобразова-
ние ( )•−1F величины ( )( )( )tξΦ+5,0 , подчиняющейся равномерному распределению на интервале
(0, 1), завершается получением величины с заданной функцией распределения ( )•F .
Моделирование нормального стационарного закона распределения состояний процесса
ARTA выполняется непосредственным линейным преобразованием ( )tξ стационарного гауссов-
ского СП с единичной дисперсией и заданной автокорреляционной функцией
( ) [ ] [ ] ( )tMt ξζσζζ ⋅+= , (14)
где [ ]ξM – математическое ожидание стационарного процесса ARTA, [ ]ξσ – его стандартное от-
клонение. Подход и результаты моделирования ARTA в пакете СМ-ДЭС представлены на рис. 11.
Агрегат AS1 на рис. 11 а предназначен для сбора статистики о реализациях моделируемого про-
цесса. На рис. 12–13 представлены результаты статистического анализа автокорреляционной
структуры и распределения состояний моделируемого процесса ARTA в пакете Statgraphics.
а) б) в)
Рис. 11. Моделирование процесса ARTA: модель в пакете СМ-ДЭС (а),
параметры агрегата, моделирующего процесс ARTA (б), пример реализации (в)
а)
Estimated Autocorrelations for Col_1
0 5 10 15 20 25lag
-1
-0,6
-0,2
0,2
0,6
1
Au
to
co
rre
la
tio
ns
б)
Estimated Partial Autocorrelations for Col_1
0 5 10 15 20 25lag
-1
-0,6
-0,2
0,2
0,6
1
Pa
rti
al
A
ut
oc
or
re
la
tio
ns
Рис. 12. Анализ автокорреляционной структуры процесса ARTA в пакете Statgraphics
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 149
Summary Statistics for Col_1
Count 38895
Average 4,97563
Standard deviation 4,94743
Coeff. of variation 99,4333%
Minimum 0,000343408
Maximum 51,771
Range 51,7707
Stnd. skewness 156,758
Stnd. kurtosis 220,468
Chi-Squared Test
Exponential Normal
Chi-Squared 100,256 28516,8
D.f. 98 97
P-Value 0,417807 0,0
Histogram for Col_1
0 10 20 30 40 50Col_1
0
4
8
12
16
20
24 (X 1000,0)
fre
qu
en
cy
Distribution
Exponential
Normal
Kolmogorov-Smirnov Test
Exponential Normal
DPLUS 0,00134903 0,133291
DMINUS 0,00349396 0,157296
DN 0,00349396 0,157296
P-Value 0,729343 0,0
Рис. 13. Статистический анализ распределения состояний процесса ARTA в пакете Statgraphics
3. Примеры использования пакета СМ-ДЭС для имитационного моделирования систем
3.1. Задача о разорении игрока
Укажем решение задачи о разорении игрока, приведенной, например, в [4, с. 333], методом стати-
стического моделирования в пакете СМ-ДЭС. Визуальное изображение имитационной модели СП
«разорения игрока» в СМ-ДЭС представлено на рис. 14 а. Элемент AW1 непосредственно модели-
рует процесс случайного блуждания. Его вероятностные характеристики заданы в окне на рис. 14 б.
Здесь вероятность проигрыша одной денежной единицы при ставке на «черное» в европейской ру-
летке – 19/37, выигрыша – 18/37. Начальный капитал игрока составляет 50 д.е.
а) б)
Рис. 14. Имитационная модель СП «разорения игрока» в пакете СМ-ДЭС
а) б)
Рис. 15. Примеры реализаций СП «разорения игрока» (а) и статистическое распределение времени
до разорения в пакете СМ-ДЭС (б)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 150
На рис. 15 а представлены примеры реализаций процесса «разорения игрока» в СМ-ДЭС, а
на рис. 15 б – результаты статистического анализа «времени разорения» по 4642 реализациям
данного процесса. При этом среднее время до разорения составило 1930 ставок, оценка стандарт-
ного отклонения – 1600 ставок, наименьшее время до разорения среди наблюдаемых значений –
172 ставки, а наибольшее – 14582 ставки.
3.2. Имитационное моделирование параметрического отказа вала
Рассмотрим работу вала (рис. 16) при постоянной износной нагрузке ( ) NN FtF = с целью опреде-
ления вероятности безотказной работы в течение наработки t по критерию превышения допусти-
мого значения износа maxRΔ . Примером подобной системы может служить силовая система рельс-
колесо-колодка железнодорожного подвижного состава.
Примем следующие допущения:
– сила (износовая) постоянна: ( ) NN FtF = ;
– площадь взаимодействия тел не изменяется, а
взаимодействие осуществляется только на линии касания
(данное допущение выполняется, например, когда контр-
тело не подвержено износу);
– угловая скорость вращения вала постоянна
( ) ω=ω t .
В данных условиях величина износа вала
( )tRΔ прямо пропорциональна наработке t :
( ) ( ) ( ) tVtRRtR ⋅=−=Δ 0 , (15)
где V – «скорость износа», определяемая материа-
лом вала (в том числе, коэффициентом трения), уг-
ловой скоростью вала ω и силой NF , ( )tR – радиус
вала в момент наработки t .
В силу анизотропии материала вала скорость
его износа V является случайной величиной с функцией плотности распределения ( )vfv . Тогда
величина износа вала ( )tRΔ в течение наработки t представляет собой веерный СП (рис. 17).
Для некоторых типовых распределений скорости износа 0V известно [8] аналитическое ре-
шение поставленной задачи: функция плотности распределения ( )tfξ наработки вала до отказа,
функция отказа ( )tFξ , средняя наработка до отказа и другие показатели. Так, при условии нор-
мального распределения скорости износа V наработка вала до отказа подчиняется альфа-
распределению с параметрами [ ] [ ]VVM σα /= и [ ]VR σβ /maxΔ= [8].
Вал
FN(t)
ω(t)
Контртело
Рис. 16. Структурная схема
взаимодействия вала и контртела
v
fξ(t )
t t*
Fξ(t*)
fV(v)
ΔRmax
( )tRΔ
fV(v)
0
ξ
( ) ( )tftR ξΔ ,
Рис. 17. Веерный процесс износа вала
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 151
Для произвольных распределений скорости износа V можно получить решение с помощью
имитационного моделирования, которое заключается в многократной реализации СП деградации
элементов механической системы во времени до неработоспособного состояния, сборе и анализе
статистики о времени наработки объекта до отказа.
Концептуальная модель износа вала в пакете СМ-ДЭС [9] представлена на рис. 18 а. Здесь
агрегат AV2 имитирует веерный СП (1) с заданными вероятностными характеристиками; агрегат
AV1 имитирует максимально допустимое значение износа maxRΔ ; агрегат AC1 вырабатывает сиг-
нал «высокого» уровня, если уровень сигнала на выходе агрегата AV1 превышает уровень сигнала
на выходе AV2, что соответствует работоспособному состоянию вала и вырабатывает сигнал «низ-
кого» уровня в противном случае; AX1, AY1 – вспомогательные агрегаты, необходимые для управ-
ления моделированием.
а) б) в)
Рис. 18. Модель веерного процесса износа вала в СМ-ДЭС (а); пример нескольких реализаций
данного процесса (б); гистограмма частостей наработки вала до отказа в СМ-ДЭС (в)
Если, например, параметр V -веерного процесса (15) подчиняется логнормальному рас-
пределению с математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным 5⋅10–10 мкм/мкс,
некоторое множество реализаций процесса износа вала в пакете СМ-ДЭС представлено на
рис. 18 б. При этом фиксировалось время наработки вала до отказа. Гистограмма частостей полу-
ченных значений представлена на рис. 18 в.
Для критерия обеспечения точности средней наработки вала до отказа в 4 % относительно
точечного значения были получены следующие оценки показателей надежности (табл. 1).
Таблица 1. Результаты имитационного моделирования безотказности вала
Заданная точность оценки средней наработки вала до отказа относительно точечного значения 4 %
Объем выборки реализаций имитационной модели вала до отказа 8867
Точечная оценка средней наработки вала до отказа, ч 550,028
Точечная оценка стандартного отклонения наработки вала до отказа, ч 531,841
Точечная оценка вероятности безотказной работы вала в течение 200 ч 0,783065
4. Заключение
Имитационное моделирование является одним из наиболее универсальных методов анализа
сложных систем. В некоторых задачах процесс функционирования исследуемой системы выража-
ется через типовые СП, модели которых широко известны в теории вероятностей. В этой связи,
для создания адекватных моделей в программных пакетах автоматизации имитационного модели-
рования должны быть реализованы алгоритмы большого количества классов типовых СП.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2010, № 3 152
В работе представлен справочный материал по многим классам СП, допускающим алго-
ритмическое описание, которые применимы для имитационного моделирования технических сис-
тем, технологических и экономических процессов. Показана реализация данных СП в программном
комплексе автоматизации имитационного моделирования СМ-ДЭС.
Приведены примеры решения самых разнообразных задач: теории игр и параметрической
надежности методом имитационного моделирования в пакете СМ-ДЭС. Показана возможность и
технология решения широкого класса других теоретических и практических задач, сводящихся к
моделированию СП.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Cario M.C. Autoregressive to anything: Time-series input processes for simulation / Marne C. Cario, Barry L. Nel-
son // Operations Research Letters. – 1996. – Vol. 19. – P. 51 – 58.
2. Кельтон В. Имитационное моделирование. Классика CS / В. Кельтон, А. Лоу. – [3-е изд.]. – СПб.: Питер; Ки-
ев: Издательская группа BHV, 2004. – 847 с.
3. Харин Ю.С. Математические и компьютерные основы статистического анализа данных и моделирования:
учеб. пособие / Харин Ю.С., Малюгин В.И., Абрамович М.С. – Мн.: БГУ, 2008. – 455 с.
4. Маталыцкий М.А. Вероятность и случайные процессы: теория, примеры, задачи: учеб. пособие / Маталыц-
кий М.А. – Гродно: ГрГУ, 2006. – 588 с.
5. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В. Прохорова. – [репр. изд.]. – М.:
Большая Российская энциклопедия, 2003. – 912 с.
6. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В.С. Королюк, Н.И. Портенко,
А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. – М.: Наука, 1985. – 640 с.
7. Надежность и эффективность в технике: Справочник: в 10 т. – Т. 2: Математические методы в теории на-
дежности и эффективности / Под ред. Б.В. Гнеденко. – М.: Машиностроение, 1987. – 280 с.
8. ГОСТ 27.005-97. Надежность в технике. Модели отказов. Основные положения. – Мн.: Госстандарт, 2005. –
15 с.
9. Shevchenko D.N. Program Technological Complex of a Research of Safety of Electronic Systems /
D.N. Shevchenko // Computer Data Analysis and Modeling: Robustness and Computer Intensive Methods: Proc. 6-h
International Conference. – Minsk: BSU, 2001. – Vol. 2. – P. 208 – 213.
Стаття надійшла до редакції 17.11.2009
|