Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования

Предложено использовать дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) и аналитическое вейвлет-преобразование (АВП) для изучения структуры сигналов с особенностями. С помощью аналитических и численных методов выполнен вейвлет-анализ простых вещественных моделей таких сигналов во временной области. ДВП испо...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2007
Main Authors:	Лазоренко, О.В., Лазоренко, С.В., Черногор, Л.Ф.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Радіоастрономічний інститут НАН України 2007
Subjects:	Статистическая радиофизика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8374
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования / О.В. Лазоренко, С.В. Лазоренко, Л.Ф. Черногор // Радиофизика и радиоастрономия. — 2007. — Т. 12, № 3. — С. 278-294. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-8374
record_format	dspace
spelling	Лазоренко, О.В. Лазоренко, С.В. Черногор, Л.Ф. 2010-05-25T09:35:27Z 2010-05-25T09:35:27Z 2007 Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования / О.В. Лазоренко, С.В. Лазоренко, Л.Ф. Черногор // Радиофизика и радиоастрономия. — 2007. — Т. 12, № 3. — С. 278-294. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1027-9636 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8374 621.372(075.8) Предложено использовать дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) и аналитическое вейвлет-преобразование (АВП) для изучения структуры сигналов с особенностями. С помощью аналитических и численных методов выполнен вейвлет-анализ простых вещественных моделей таких сигналов во временной области. ДВП использовано для анализа модельных сигналов с особенностями. Для каждого сигнала с помощью критерия минимизации энтропии разложения произведен выбор оптимального вейвлета при ДВП. Проведено восстановление модельного сигнала по дискретному вейвлет-спектру с использованием разного числа уровней разложения. Показано, что фазовая характеристика комплексного вейвлет-спектра, получаемая при АВП, предпочтительна при обнаружении слабовыраженных особенностей сигнала. Рекомендовано совместное применение непрерывного вейвлет-преобразования, ДВП и АВП, которые хорошо дополняют друг друга. Пропонується використовувати дискретне вейвлет-перетворення (ДВП) та аналітичне вейвлет-перетворення (АВП) для вивчення структури сигналів з особливостями. За допомогою аналітичних та числових методів виконано вейвлет-аналіз простих реальних моделей таких сигналів у часовій області. ДВП використано для аналізу модельних сигналів з особливостями. Для кожного сигналу з допомогою критерію мінімізації ентропії розкладання обрано оптимальний вейвлет для ДВП. Відтворено модельний сигнал за дискретним вейвлет-спектром з використанням різної кількості рівнів розкладання. Показано, що фазовій характеристиці комплексного вейвлет-спектру, яку отримано з АВП, слід віддавати перевагу у виявленні слабковиражених особливостей сигналу. Рекомендується одночасне застосування безперервного вейвлет-перетворення, ДВП та АВП, що добре доповнюють одне одного. The discrete wavelet transform (DWT) and the analytical wavelet transform (AWT) are proposed to use for investigating the structure of the signals with peculiarities. Wavelet analysis of the simple real models of such signals in the time domain was carried out analytically and numerically. The DWT was used for analysis of the model signals with peculiarities. Using the criterion of the expansion entropy minimization, the optimal wavelet basis for DWT was selected for each model signal. The model signal was recovered from discrete wavelet spectrum using different number of the level of expansion. The phase characteristic of the wavelet spectrum obtained during AWT was shown to be preferable for detection of weekly pronounced signal peculiarities. The continuous wavelet transform, DWT and AWT, being mutually complementary, are recommended to use simultaneously. ru Радіоастрономічний інститут НАН України Статистическая радиофизика Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования Вейвлет-аналіз модельних сигналів з особливостями. 2. Аналітичне та дискретне вейвлет-перетворення Wavelet Analysis of the Model Signals with Peculiarities. 2. Analytical and Discrete Wavelet Transforms Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования
spellingShingle	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования Лазоренко, О.В. Лазоренко, С.В. Черногор, Л.Ф. Статистическая радиофизика
title_short	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования
title_full	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования
title_fullStr	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования
title_full_unstemmed	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования
title_sort	вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования
author	Лазоренко, О.В. Лазоренко, С.В. Черногор, Л.Ф.
author_facet	Лазоренко, О.В. Лазоренко, С.В. Черногор, Л.Ф.
topic	Статистическая радиофизика
topic_facet	Статистическая радиофизика
publishDate	2007
language	Russian
publisher	Радіоастрономічний інститут НАН України
format	Article
title_alt	Вейвлет-аналіз модельних сигналів з особливостями. 2. Аналітичне та дискретне вейвлет-перетворення Wavelet Analysis of the Model Signals with Peculiarities. 2. Analytical and Discrete Wavelet Transforms
description	Предложено использовать дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) и аналитическое вейвлет-преобразование (АВП) для изучения структуры сигналов с особенностями. С помощью аналитических и численных методов выполнен вейвлет-анализ простых вещественных моделей таких сигналов во временной области. ДВП использовано для анализа модельных сигналов с особенностями. Для каждого сигнала с помощью критерия минимизации энтропии разложения произведен выбор оптимального вейвлета при ДВП. Проведено восстановление модельного сигнала по дискретному вейвлет-спектру с использованием разного числа уровней разложения. Показано, что фазовая характеристика комплексного вейвлет-спектра, получаемая при АВП, предпочтительна при обнаружении слабовыраженных особенностей сигнала. Рекомендовано совместное применение непрерывного вейвлет-преобразования, ДВП и АВП, которые хорошо дополняют друг друга. Пропонується використовувати дискретне вейвлет-перетворення (ДВП) та аналітичне вейвлет-перетворення (АВП) для вивчення структури сигналів з особливостями. За допомогою аналітичних та числових методів виконано вейвлет-аналіз простих реальних моделей таких сигналів у часовій області. ДВП використано для аналізу модельних сигналів з особливостями. Для кожного сигналу з допомогою критерію мінімізації ентропії розкладання обрано оптимальний вейвлет для ДВП. Відтворено модельний сигнал за дискретним вейвлет-спектром з використанням різної кількості рівнів розкладання. Показано, що фазовій характеристиці комплексного вейвлет-спектру, яку отримано з АВП, слід віддавати перевагу у виявленні слабковиражених особливостей сигналу. Рекомендується одночасне застосування безперервного вейвлет-перетворення, ДВП та АВП, що добре доповнюють одне одного. The discrete wavelet transform (DWT) and the analytical wavelet transform (AWT) are proposed to use for investigating the structure of the signals with peculiarities. Wavelet analysis of the simple real models of such signals in the time domain was carried out analytically and numerically. The DWT was used for analysis of the model signals with peculiarities. Using the criterion of the expansion entropy minimization, the optimal wavelet basis for DWT was selected for each model signal. The model signal was recovered from discrete wavelet spectrum using different number of the level of expansion. The phase characteristic of the wavelet spectrum obtained during AWT was shown to be preferable for detection of weekly pronounced signal peculiarities. The continuous wavelet transform, DWT and AWT, being mutually complementary, are recommended to use simultaneously.
issn	1027-9636
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/8374
citation_txt	Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования / О.В. Лазоренко, С.В. Лазоренко, Л.Ф. Черногор // Радиофизика и радиоастрономия. — 2007. — Т. 12, № 3. — С. 278-294. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT lazorenkoov veivletanalizmodelʹnyhsignalovsosobennostâmi2analitičeskoeidiskretnoeveivletpreobrazovaniâ AT lazorenkosv veivletanalizmodelʹnyhsignalovsosobennostâmi2analitičeskoeidiskretnoeveivletpreobrazovaniâ AT černogorlf veivletanalizmodelʹnyhsignalovsosobennostâmi2analitičeskoeidiskretnoeveivletpreobrazovaniâ AT lazorenkoov veivletanalízmodelʹnihsignalívzosoblivostâmi2analítičnetadiskretneveivletperetvorennâ AT lazorenkosv veivletanalízmodelʹnihsignalívzosoblivostâmi2analítičnetadiskretneveivletperetvorennâ AT černogorlf veivletanalízmodelʹnihsignalívzosoblivostâmi2analítičnetadiskretneveivletperetvorennâ AT lazorenkoov waveletanalysisofthemodelsignalswithpeculiarities2analyticalanddiscretewavelettransforms AT lazorenkosv waveletanalysisofthemodelsignalswithpeculiarities2analyticalanddiscretewavelettransforms AT černogorlf waveletanalysisofthemodelsignalswithpeculiarities2analyticalanddiscretewavelettransforms
first_indexed	2025-11-25T23:07:23Z
last_indexed	2025-11-25T23:07:23Z
_version_	1850578074116030464
fulltext	Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3, с. 278-294 © О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор, 2007 УДК 621.372(075.8) Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко1, Л. Ф. Черногор2 Харьковский национальный университет радиоэлектроники, пр. Ленина, 14, 61077, г. Харьков, Украина E-mail: Oleg-Lazorenko@yandex.ru 1Международный Славянский университет, ул. Отакара Яроша, 9А, г. Харьков, 61086, Украина E-mail: sergey_v@amik.ru 2Харьковский национальный университет имени В. Н. Каразина, пл. Свободы, 4, г. Харьков, 61077, Украина E-mail: Leonid.F.Chernogor@univer.kharkov.ua Статья поступила в редакцию 11 апреля 2007 г. Предлагается использовать дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) и аналитичес- кое вейвлет-преобразование (АВП) для изучения структуры сигналов с особенностями. С помощью аналитических и численных методов выполнен вейвлет-анализ простых веще- ственных моделей таких сигналов во временной области. ДВП использовано для анализа модельных сигналов с особенностями. Для каждого сигнала с помощью критерия мини- мизации энтропии разложения произведен выбор оптимального вейвлета при ДВП. Про- ведено восстановление модельного сигнала по дискретному вейвлет-спектру с использо- ванием разного числа уровней разложения. Показано, что фазовая характеристика ком- плексного вейвлет-спектра, получаемая при АВП, предпочтительна при обнаружении слабовыраженных особенностей сигнала. Рекомендуется совместное применение непре- рывного вейвлет-преобразования, ДВП и АВП, которые хорошо дополняют друг друга. Введение Настоящая статья является продолже- нием первой части работы [1], в которой обсуждались особенности применения непрерывного вейвлет-преобразования (НВП) для анализа сигналов с особеннос- тями. Аналитическое вейвлет-преобразо- вание (АВП) расширяет возможности НВП, поскольку вейвлет-спектр оказыва- ется комплекснозначной функцией, а сле- довательно, наряду с анализом амплитуд- ной возможно изучение соответствующей фазовой характеристики вейвлет-спектра. Дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) может оказаться полезным, например, при решении задачи обнаружения сигнала с особенностью на фоне аддитивной слабо- коррелированной помехи. Целью работы является изложение ре- зультатов применения АВП и ДВП для анализа модельных сигналов с особен- ностями, а также рекомендаций по прак- тическому анализу реальных временных рядов, содержащих сигналы такого рода, и описание выявленных основных возни- кающих закономерностей. Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования 279Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3 В качестве вещественных моделей сиг- налов с особенностями во временной об- ласти будем использовать модели, приве- денные в [1]. 1. АВП модельных сигналов 1.1. Основные понятия и определения АВП сигнала ( ),f t как известно (см., например, [2-10]), задается соотношением: 1 2 ( , ) ( ) d , t b Wf a b a f t t a ∞ − −∞ − = ψ   ∫ (1) где ( )tψ – функция, комплексно сопряжен- ная аналитическому вейвлету ( );tψ a – па- раметр масштабирования; b – параметр сдвига. Основное отличие АВП от НВП состоит в том, что вейвлет ( )tψ является комплек- снозначной функцией, а следовательно, комплекснозначной функцией является и вейвлет-спектр ( , ).Wf a b Это позволяет дополнить традиционный для НВП ана- лиз модуля амплитуды вейвлет-спектра ( , )Wf a b изучением фазовой характерис- тики arg ( , ).Wf a b Существуют различия и в областях при- менения НВП и АВП. Первое преобразо- вание часто применяется для выделения резких изменений сигнала, а второе – для измерения изменения во времени его мгно- венных частот (см., например, [2]). 1.2. Результаты аналитических расчетов Для получения аналитических резуль- татов используем комплексный вейвлет Морле: ( )2 0( ) exp( )exp 2 .t ik t tψ = − Комплексные вейвлет-спектры модель- ных сигналов имеют следующий вид. 1) Бесконечно короткий импульс: 2 0 0 01 2 2 ( ) ( , ) exp exp . 2 A t b t b Wf a b ik aa a − −  = − −       2) Импульс конечной ширины: 2 0( , ) exp 22 2 A k Wf a b a π  = − × ε   0 0 0 0 . 2 2 2 2 t b k t b k i i a a + ε − − ε −     × Φ + −Φ +          3) Наложение импульсной помехи на гармонический сигнал: 2 0 0 0 2 ( ) ( , ) exp exp 2 A t b t b Wf a b ik a aa − −  = − − +       2 2 2 0 02 exp 2 B a k a π ω + + − ×   ( ) ( ) ( ) ( )[ ]0 0 0 0 0 0sin ch cos sh .b k a i b k a× ω ω + ω ω 4) Резкий скачок амплитуды: 2 0 0 0( , ) exp 1 . 2 22 2 k t b k Wf a b A i a a π −   = − −Φ +       5) Резкий скачок фазы гармонического сигнала: 2 0 0 0 ( ) ( , ) exp 22 2 iA a k Wf a b i b a π ω −  = − ω − ×     0 0 01 (1 ) 22 i i t b a k e e i a ∆ϕ ∆ϕ − ω −   × + + − Φ − −      2 0 0 0 ( ) exp 2 a k i b ω + − − ω − ×   }0 0 01 (1 ) . 22 i i t b a k e e i a − ∆ϕ − ∆ϕ − ω +   × + + − Φ +      О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 280 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3 6) Резкий скачок частоты гармоничес- кого сигнала. Выражение для комплексного вейвлет- спектра модели 6 из [1] не приводим из-за его крайней громоздкости. 7) Скачок производной: 2 01 2( , ) exp 2 k Wf a b Aa  = − ×   2 0 01 exp 2 2 t b ik a   − × − + −       2 1 01 exp 2 2 t b ik a  − − − + −     1 0 1 01 2 2 2 2 t b ik t b ik a a π + −   − + Φ + −        8) Производная δ-функции: 0 03 2( , ) A t b Wf a b ik aa − = − ×   2 0 0 0 2 ( ) exp exp . 2 t b t b ik a a − −  × − −       9) Наложение производной δ-функции на гармонический сигнал: 0 03 2( , ) A t b Wf a b ik aa − = − ×   2 0 0 0 2 ( ) exp exp 2 t b t b ik a a − −  × − − +       2 2 2 0 02 exp 2 B a k a π ω + + − ×   ( ) ( ) ( ) ( )[ ]0 0 0 0 0 0sin ch cos sh .b k a i b k a× ω ω + ω ω К сожалению, вследствие сложности ин- теграла (1) даже для такого простого вей- влета, как комплексный вейвлет Морле, для моделей 10 – 12 из [1] не удалось получить выражения для вейвлет-спектра в анали- тическом виде. Поэтому, как и в случае НВП, дальнейшие исследования будем про- водить численными методами. 1.3. Результаты численных расчетов На рис. 1 - 14 приведены результаты при- менения аналитического вейвлет-преоб- разования для анализа модельных сигна- лов с особенностями. В качестве базис- ного вейвлета использовался комплекс- ный вейвлет Гаусса cgau1. На каждом рисунке показан анализируемый сигнал ( )f t во временной области, под ним пос- ледовательно – амплитудная ( , )Wf a b и фазовая arg ( , )Wf a b характеристики ком- плексного вейвлет-спектра. Поверхности ( , )Wf a b и arg ( , )Wf a b графически на плос- кости изображаются в градациях серого цвета, причем максимальному значению функции соответствует черный цвет, а ми- нимальному – белый. Рассмотрим особенности такого фор- мата представления данных на примере рис. 5, где показаны результаты примене- ния АВП к модели (5), описывающей рез- кий скачок фазы гармонического сигнала при 4.∆ϕ = π На рис. 5, а, где изображен анализируемый сигнал ( ),f t хорошо заме- тен скачок фазы, произошедший в момент времени 0.t = На амплитудной характе- ристике вейвлет-спектра (рис. 5, б) гар- моническому сигналу соответствует пе- риодическая структура из одинаковых темных пятен, расположенная вдоль всей оси переменной времени t и локализован- ная в диапазоне ~ 0 2T ÷ вдоль оси перио- дов T. Особенность выглядит как искаже- ние этой периодической структуры при 0,t = когда заостренный нижний край соответствующего темного пятна упирает- ся в ось абсцисс, а над верхним его краем появляется небольшая более светлая об- ласть. Положение нижнего края этого тем- 0 0 0 0 1 01 . 2 2 2 t b ik t b ik t t a a a + − −    − + Φ + −          Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования 281Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3 ного пятна достаточно точно указывает по- ложение особенности на временной оси. Как выглядит амплитудная характеристи- ка гармонического сигнала без особеннос- тей, можно увидеть на рис. 14, б. На фазовой характеристике вейвлет- спектра гармоническому сигналу соответ- ствует периодическая структура из рав- ноотстоящих друг от друга вертикальных полос одинаковой длины (рис. 14, в). Уменьшение длины полос на краях струк- туры и искривление их концов к центру картинки объясняется влиянием краевых эффектов. Наличие в сигнале особенно- сти типа “резкий скачок фазы” приво- дит к появлению нескольких эффектов (рис. 5, в). Во-первых, указанная периоди- ческая структура разбивается на две час- ти, разделенные хорошо выраженной кри- вой линией . Эта линия начинается на искаженной периодической структуре при малых T и пересекает по вертикали практически всю картинку. Чем больше скачок фазы ,∆ϕ тем более ярко выраже- на эта линия. Во-вторых, концы линий каждой из получившихся частей перио- дической структуры загибаются к центру соответствующей части, а длина линий несколько уменьшается от середины каж- дой части к ее краям. В-третьих, концы линий, между которыми на оси времени расположена сама особенность, направ- лены навстречу друг другу. Важно отметить, что фазовая харак- теристика arg ( , )Wf a b оказывается чув- ствительной к появлению особенности Рис. 1. АВП бесконечно короткого импульса: а) – сигнал во временной области, б) – ампли- тудная характеристика Wf ( a,b ) вейвлет- спектра АВП, в) – фазовая характеристика argWf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП Рис. 2. АВП импульса конечной ширины: а) – сиг- нал во временной области, б) – амплитудная характеристика Wf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП, в) – фазовая характеристика argWf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 282 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3 в анализируемом сигнале даже тогда, ког- да в амплитудной характеристике ( , )Wf a b эта особенность практически незаметна. Это демонстрируется на рис. 13, 14. При доста- точно малом скачке фазы гармонического сигнала ( 64)∆ϕ = π в модели (5) ампли- тудная характеристика ( , )Wf a b (рис. 13, б) неотличима от своего аналога для сигна- ла без этой особенности (рис. 14, б). Не видно различий между этими сигналами во временной области (рис. 13, а и рис. 14, а). В то же время фазовые характеристики arg ( , )Wf a b на рис. 13, в и рис. 14, в суще- ственно отличаются. По-прежнему, как и на рис. 5, в, просматриваются две части периодической структуры, концы линий которой загнуты в сторону центра каж- дой из частей. Видна также пара линий с направленными навстречу друг другу кон- цами, между которыми и располагается осо- бенность. Вертикальная линия ( ~ 2 11)T ÷ на рис. 13, в просматривается хуже, к тому же часть ее накладывается на похожую линию ( ~ 7 9),T ÷ связанную с наличием краевых эффектов (рис. 14, в). Тем не менее эта линия позволяет достаточно точно оп- ределить положение особенности на оси времени. Таким образом, при анализе сигналов с особенностями с помощью НВП целе- сообразно также обращаться к фазовой характеристике arg ( , )Wf a b исследуемого сигнала, полученной с помощью АВП, по- Рис. 3. АВП наложения импульсной помехи на гар- монический сигнал: а) – сигнал во временной об- ласти, б) – амплитудная характеристика Wf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП, в) – фазовая ха- рактеристика argWf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП Рис. 4. АВП скачка амплитуды: а) – сигнал во временной области, б) – амплитудная харак- теристика Wf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП, в) – фазовая характеристика argWf ( a,b ) вейв- лет-спектра АВП Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования 283Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3 скольку это позволяет более уверенно об- наруживать наличие у сигнала локальных особенностей. 2. ДВП модельных сигналов 2.1. Выбор оптимального вейвлетного базиса Особый интерес представляет иссле- дование возможности и целесообразнос- ти применения ДВП (см., например, [2-10]) для анализа сигналов с особенностями. Это определяется, в первую очередь, тем, что ДВП, в отличие от АВП, позволяет про- изводить не только разложение анализи- руемого сигнала ( )f t по базису ортого- нальных или биортогональных вейвлетов, но и восстановление этого сигнала по вейв- лет-спектру. Более того, имеется возмож- ность восстанавливать сигнал только по определенной части вейвлет-спектра, а следовательно, и более успешно решать задачу обнаружения сигнала на фоне по- мехи (см., например, [11]). Необходимо также отметить, что возможность восста- новления сигнала ( )f t не является исклю- чительной прерогативой ДВП. Так, в слу- чае выполнения для базисного вейвлета условия допустимости, следующего из те- оремы Кальдерона–Гроссмана–Морле (см., например, [2]), существует обратное НВП. Однако вследствие принципиальной избыточности вейвлет-спектра НВП для Рис. 5. АВП резкого скачка фазы гармонического сигнала при 4 :∆ϕ = π а) – сигнал во временной области, б) – амплитудная характеристика Wf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП, в) – фазовая ха- рактеристика argWf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП Рис. 6. АВП резкого скачка частоты гармоничес- кого сигнала: а) – сигнал во временной области, б) – амплитудная характеристика Wf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП, в) – фазовая характери- стика argWf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 284 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3 восстановления сигнала требуется прове- сти значительно больший объем вычисле- ний, чем при ДВП. В используемой нами в настоящей ра- боте системе компьютерной математики MATLAB ДВП вычисляется с помощью пирамидального алгоритма Малла. При этом вейвлеты задаются с помощью соот- ветствующего набора частотных фильтров. Коэффициенты данных фильтров однознач- но определены для каждого вейвлета на каж- дом из уровней разложения и реконструкции. Автором большинства используемых в на- стоящей работе вейвлетов является И. До- беши (см., например, [2]). Важно отметить, что почти все они не имеют аналитического представления и являются результатами ите- рационного процесса, лежащего в основе пирамидального алгоритма Малла. Более подробную информацию о ДВП можно най- ти, например, в [2, 6, 8, 10], а о его особенно- стях в MATLAB, – например, в [9]. Оценку оптимальности выбора вейвлет- ного базиса при использовании ДВП бу- дем производить с помощью критерия ми- нимизации энтропии M (см., например, [9]) вида 2 2 , , , exp ln ,j k j k j k M d d   = −    ∑ где ,j kd – детализирующие коэффициенты разложения сигнала, задаваемые соотно- шением: Рис. 7. АВП излома: а) – сигнал во времен- ной области, б) – амплитудная характери- стика Wf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП, в) – фазовая характеристика argWf ( a,b ) вейв- лет-спектра АВП Рис. 8. АВП производной δ-функции: а) – сиг- нал во временной области, б) – амплитудная ха- рактеристика Wf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП, в) – фазовая характеристика argWf ( a,b ) вейв- лет-спектра АВП Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования 285Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3 2 , , ,( ) ( )d , ( ) 2 (2 ),j j j k j k j kd f t t t t t k ∞ −∞ = ψ ψ = ψ −∫ , ,j k ∈Z Z – множество целых чисел. Минималь- ное значение энтропии M составляет 1. Результаты расчетов M для модельных сигналов с особенностями 1 12( ... )f f при- ведены в табл. 1, 2. Базис, основанный на вейвлете Хаара (haar), оказался оптимальным для боль- шинства апериодических моделей, име- ющих либо разрывы типа “скачок”, либо точки с вертикально расположенной касательной (импульс конечной ширины 2 ,f функция Хэвисайда 4 ,f производная δ-функции 8,f вертикальный перегиб 10f и шпиль 11).f Скорее всего, это объясня- ется тем, что сам вейвлет haar во многом схож с такими сигналами, поскольку име- ет три разрыва непрерывности типа “ска- чок”. Особо следует отметить, что произ- водная δ-функции в этом базисе опреде- ляется всего лишь одним коэффициентом ( 1.00).M = Вейвлет Добеши второго порядка db2 показал лучший результат при разложе- нии моделей, имеющих разрыв типа “бес- конечный скачок” на фоне гармоничес- кой функции или константы (δ-функция Дирака 1,f наложение δ-функции Дира- ка 3f и ее первой производной 9f на гармонический сигнал). По-видимому, это связано с тем, что вейвлет db2, с одной стороны, имеет ярко выраженную Рис. 9. АВП суммы производной δ-функции и гар- монического сигнала: а) – сигнал во временной об- ласти, б) – амплитудная характеристика Wf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП, в) – фазовая ха- рактеристика argWf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП Рис. 10. АВП вертикального перегиба: а) – сиг- нал во временной области, б) – амплитудная ха- рактеристика Wf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП, в) – фазовая характеристика argWf ( a,b ) вейв- лет-спектра АВП О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 286 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3 фрактальную структуру, а с другой сто- роны, является двухлепестковым. Пос- леднее свойство дает возможность дос- таточно удачно раскладывать гармони- ческие сигналы. Для непрерывной модели 7 ,f имеющей два излома, наилучшие результаты пока- зали вейвлеты db3, sym3 и db4. Для моделей 5f и 6,f описывающих скач- ки фазы и амплитуды гармонического сиг- нала, наилучшими оказываются соответ- ственно вейвлеты sym4 и sym8. Для наложе- ния гармонического сигнала на шпиль (модель 12) наиболее удачным оказывается вейвлет coif1. Также необходимо отметить, что для ряда моделей 2 3 5 6 9 11 12( , , , , , , )f f f f f f f очень хорошие результаты показывает биортогональный вейвлет bior3.1. Его хо- рошо использовать в случае, если необ- ходимо проводить только разложение ана- лизируемого сигнала по базису вейвлетов. Если же нужно также осуществлять восста- новление сигнала по его вейвлет-спектру, то bior3.1 использовать нежелательно. Это связано с тем, что при восстановлении ис- пользуется не сам вейвлет bior3.1, а об- ратный ему биортогональный вейвлет rbio3.1, показатели которого на один-два порядка хуже. 2.2. Восстановление сигнала по вейвлет- спектру Известно (см., например, [9]), что сиг- нал ( )f t может быть восстановлен на n-ом уровне разложения по своему дискретному вейвлет-спектру с помощью соотношения: Рис. 11. АВП шпиля: а) – сигнал во времен- ной области, б) – амплитудная характери- стика Wf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП, в) – фазовая характеристика argWf ( a,b ) вейв- лет-спектра АВП Рис. 12. АВП наложения шпиля на гармоничес- кий сигнал: а) – сигнал во временной области, б) – амплитудная характеристика Wf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП, в) – фазовая характери- стика argWf ( a,b ) вейвлет-спектра АВП �� ! � �� "��##�"��$�"�%& , , ,( ) ( ) ( ), n n n j k j k j k k k j j k f t a t d t ∞ ∞ ∞ =−∞ = =−∞ = ϕ + ψ∑ ∑ ∑ �� 2 , ( ) 2 (2 ),j j j k t t kϕ = ϕ − � ( )tϕ � '� �� !( �) �"� ,j ka � '�� (+ ��,!� ! ) � ��" , ,( ) ( )d .j k j ka f t t t ∞ −∞ = ϕ∫ -�� .�� (�� /� �0"� �� (� ��� �� 1 6( )... ( ),f t f t �� !��" !�# ��!�$��%��!�� $��& ��'��(�� )�� �� $�� +� 1( )f t 2( )f t 3( )f t 4( )f t 5( )f t 6( )f t 1223 4�## ��5� 5$�5& ��## 54�54 �4�4& 67� &�5& 8�9$ $$��5 ��& 44��# 4��95 67& &��8 8�#5 $��9 ��#$ 4��#� 4�� 674 4�5� $�� $&�#& ��#� 4#�&� 4��&� 679 ��$ $��95 $5�$� ��49 &��#9 &4�� 675 ��84 $4��& $8�5# ��54 &9�#� &��#5 67� 8��8 $4�9$ ��&8 ��5 &��85 &9�#5 67� $#�#� $8��8 �4�84 &�#4 &$�$# &$�89 678 8��5 �&�#5 �5�89 &�45 �8�4� &$�9� 67$# 8�99 �&�4� &#�4$ &��$ &#�&9 &��4� :;<� &�5& 8�9$ $$�54 ��& 44��# 4��95 :;<& &��8 8�#5 $��9 ��#$ 4��#� 4�� :;<4 9�$8 8�5& $�� 4��4 �#�5# �8�#� :;<9 4�95 $$�� $4�&4 9��# �4�#& �5�&& :;<5 ��&� $$�&& $5�&8 5�� 4� �$��4 :;<� 4�� $&�#$ $��48 5�� &$�48 �8�48 :;<� 9�� $��& �#�&� ��5� &5�#9 �$�#4 =>?@$ 4�� &4 $��& ��58 ��$ 45�## =>?@� 4�85 $#�#8 $5�44 4��& ��$# &&��9 =>?@& 9��$ $��$� ��8# 5�� &4��8 &&�45 =>?@4 5��$ $4�4� �8�48 ��8� &��$� &4�#5 =>?@9 5�� $9�4� &5�55 $#�8� &��$& &��5 6<A; ��85 �#�#$ �&��$ 9#�� $�9�8 �9�5# 7?>3&�$ ��4 9�8� &�4$ 4�� 8 ��95 7?>3&�& $��#$ 8�#� $$�9# 5�&� $&�$8 &��#� 7?>3&�9 ��4 $4�&� $��84 ��5# �&�&� &&�� 37?>&�$ 9��# $$�5# $$&�$ 4�&5 $&5�# $&5�9 37?>&�& &�88 $$�� $��#$ 4��$ 4&�&9 4��$ 37?>&�9 4�$� $&��9 $��94 5�99 &5��$ ��5 �� B�� C��D�� "�E��D�� "�D��F��-�� ! � �� "��##�"��$�"�%& �(� �� +�� B��C ���� "� �� (� � �� (��+ ��-��"�� +�� ,� � ��+ �"� �� ) � � � �� G�� ! ��H� �� I�� ) �� "��'�� ) ��J�� K� �"� �� "� L8MN"��,!� ! ) � �� ,� ��! �� 7 12( )... ( ),f t f t �� !��" !�# ��!�$��%��!�� $��& ��'��(�� )�� �� $�� +� 7( )f t 8( )f t 9( )f t 10( )f t 11( )f t 12( )f t 1223 ��5# $�## &5�&8 $�4& &�4� 9&�$9 67� ��$� $�95 $$�&$ 4�� 9�$8 $$��4 67& $�45 ��88 $&�� 5�#$ 9�4� $��94 674 $�4� 4��4 $&��5 ��#� 5��& $&�45 679 $�� 4�#� $5�4� 8�9$ 5��$ $5��& 675 $�8� 4�#8 $8�8� $#�54 ��$8 �#�44 67� ��$$ ��#8 ��9# $��8 ��&9 ��#9 67� �� 49 �4�8� $9�59 $#�#� �4�&� 678 ��5# ��48 ��#� $��$ �� # 67$# ��8� ��55 &#�9& $8�#9 5�5� &$�&8 :;<� ��$� $�98 $$�&$ 4�� 9�$8 $$��4 :;<& $�45 ��88 $&�� 5�#$ 9�4� $��94 :;<4 4�4& ��#� $��5 ��8$ 9�&8 $$�8� :;<9 9�45 $�9$ $4�4& 8�5$ 5�99 $&�88 :;<5 5�&# $�89 $5�49 $$��& 5�� $9��9 :;<� 5��# &�44 $��# $&�#& 5��9 $8��& :;<� ��5 ��49 �#�94 $9�55 5��$ $8�8# =>?@$ ��&$ �� $&�#8 9�� 4�$# $$�$& =>?@� 4�4& ��4� $5�59 $$�8� 5��8 $5��& =>?@& 5�44 ��5& �&�#8 $��#$ ��95 ��8# =>?@4 ��49 ��9 �8��# �4�#& 8�&4 �8�5# =>?@9 $#�45 ��# &5��& &#�#9 $#�#� &5��8 6<A; 9#�&8 &�$� �&4�& $#$�� 4�� 8�4 7?>3&�$ �� 4 4�$� 4�&9 ��8� ��85 7?>3&�& 4�#9 4�#5 $$�9& ��8 &��$ $#��5 7?>3&�9 5�$9 9��9 $8�&� $#��& 5�4$ $��&� 37?>&�$ 4�� &�#� $$�� 9�#& $#��# 84�$# 37?>&�& 4��# &�5� $��#9 ��&5 ��4 �#��$ 37?>&�9 5�44 &�85 $��5� $$�8& �� $��9� �� B�� 8 �� ! � �� "��##�"��$�"�%& � �(+ �� ,j ka � �� (+ �� ,j kd ��,!! ) � �� ) � � �� O� �� ! �� (� � �� I�� (� �� (� �� /�� ! �� "��(�� ,� �� (�� P�� ) �� (�� ) �) �� (�� �� E��/� ��(�� ! �� Q�� (�� /� �� R �� ! �� / �� / �� (� /�� ) �(� �� ! �� (�� ) �) �� Q�� (�� /� ��P�� "� �/�� ! ��"�� (+ ��) �� /� �� (�� " �� ) �� ! �� (�� B�� (� �� ( )f t �� ,��I�,�� (� � �� (�� /� �� maxL � max( ,L ∈� � �'� �/�� (�� N��/� �� C �� S� � � max 2log .L N≤ I�� "� �� /�� -�� (�� /� �� E��(�� "��(�� .�� $�� $�)$��%�� & )��$�� 0 :∆ϕ = ��/�0�� & �� !� �/� 0� �� 1 �� $& �� $�� Wf ( a,b )� � ��&��$��.��! �/�0�%�� $�� $�� argWf ( a,b )� ��& ��&��$��.�� .�� $�� $�)$��%�� & )��$�� 64 :∆ϕ = π � �/� 0� � �� !� �/� 0� �� 1 �� & ��$�� $��Wf ( a,b )� ��&��$��.��! �/�0�%�� $�� $�� argWf ( a,b )� ��& ��&��$��.�� О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 290 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3 ням с меньшими номерами соответствуют более высокочастотные компоненты. Мерой качества восстановленного сиг- нала считаем функционал [ , ],LC f f пред- ложенный в работе [11]. Он определяется соотношением [ ] 2 2, ( 1) ,LC С f f A B≡ = + − где [ ] ( ) ( )22 2 2 ( ) ( ) d ( ) ( ) , , ( ) ( )d L L L f t f t t f t f t A A f f f t f t t ∞ −∞ ∞ −∞ − − ≡ = = ∫ ∫ [ ] 2 2 ( ) ( )d ( ) ( ) , . ( ) ( )d L L L f t f t t f t f t B B f f f t f t t ∞ −∞ ∞ −∞ ≡ = = ∫ ∫ Здесь f – исходный сигнал, Lf – восстанов- ленный сигнал с отбрасыванием L первых уровней разложения в дискретном вейвлет- спектре сигнала f. Минимальное значение функционала 0C = соответствует полнос- тью восстановленному сигналу. Для примера рассмотрим восстановле- ние сигналов 3f и 12,f разложенных с по- мощью оптимальных вейвлетов db2 и coif1 соответственно. Результаты этого процес- са приведены на рис. 15, 16. На них гра- фики сгруппированы парами по прин- ципу: сигнал и под ним соответствующий дискретный вейвлет-спектр. Анализируе- мый сигнал ( )f t находится в верхнем ле- вом углу каждого рисунка. Остальные пары представляют собой восстановлен- ные с отбрасыванием L первых уровней разложения сигналы ( ).Lf t Пунктирной линией для сравнения показан исходный сигнал ( ).f t На каждом графике ( )Lf t по- казано также соответствующее значение функционала [ , ].LC f f Из анализа восстановления сигналов 3f и 12 ,f разложенных с помощью оптималь- ных вейвлетов db2 и coif1 соответственно, установлено, что для восстановления импульсной помехи, наложенной на гармо- нический сигнал, требуются практически все существующие в данном случае уровни разложения max( 10),L L= = причем уровни со средними номерами ( ~ 5 7)L ÷ отвечают за восстановление гармонического сигна- ла, а с наименьшими номерами ( ~1 3)L ÷ – самой импульсной помехи. Аналогичная ситуация наблюдается и при анализе нало- жения шпиля на гармонический сигнал, хотя здесь количество необходимых для почти полного восстановления сигнала ( ~ 0.01)C уровней разложения оказывает- ся меньшим ( 6L = из возможных max 10).L = 3. Обсуждение результатов АВП при анализе сигналов с особен- ностями интересно, в первую очередь, возможностью использования фазовой ха- рактеристики arg ( , ).Wf a b Важно, что для слабо выраженной особенности (напри- мер, при малом скачке фазы гармоничес- кого сигнала ( 64),∆ϕ = π который пока- зан на рис. 13, а), когда на плоскости мо- дуля вейвлет-коэффициентов (рис. 13, б) ее наличие невооруженным глазом опре- делить уже невозможно, на фазовой ха- рактеристике (рис. 13, в) по-прежнему хо- рошо видно точное положение особенно- сти на оси времени, о чем сказано выше. Именно по этой причине при обнаружении особенности с помощью НВП полезно так- же использовать фазовую характеристику, полученную с помощью АВП. При восстановлении сигнала с особен- ностью с помощью ДВП следует учитывать, что информация о самой особенности содержится в наиболее короткопериодных (с малыми a) компонентах вейвлет-спектра, чему соответствуют уровни разложения с наименьшими номерами. В то же время на практике особенности накладываются на квазигармонические сигналы, вейвлет- спектр которых расположен относительно Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования 291Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3 Рис. 15. Восстановление модельного сигнала 3f , разложенного с помощью ДВП с использованием вейвлета db2: а) – модельный сигнал во временной области, б) – дискретный вейвлет-спектр сигна- ла. Восстановленный сигнал во временной области при отбрасывании L первых уровней разложения max( L 10) := в) – L 9,= д) – L 8,= ж) – L 7,= и) – L 6,= л) – L 5,= н) – L 4,= п) – L ,= 3 с) – L 2.= На рисунках указана соответствующая каждому восстановленному сигналу величина функционала LC C[ f , f ],= пунктирной линией показан исходный модельный сигнал. Дискретный вейвлет-спектр восстановленного сигнала при отбрасывании L первых уровней разложения: г) – L 9,= е) – L 8,= з) – L 7,= к) – L 6,= м) – L 5,= о) – L 4,= р) – L ,= 3 т) – L 2= О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 292 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3 Рис. 16. Восстановление модельного сигнала 12f , разложенного с помощью ДВП с использованием вейвлета coif1: а) – модельный сигнал во временной области, б) – дискретный вейвлет-спектр сигна- ла. Восстановленный сигнал во временной области при отбрасывании L первых уровней разложения max( L 10) := в) – L 9,= д) – L 8,= ж) – L 7,= и) – L 6,= л) – L 5,= н) – L 4,= п) – L ,= 3 с) – L 2.= На рисунках указана соответствующая каждому восстановленному сигналу величина функционала LC C[ f , f ],= пунктирной линией показан исходный модельный сигнал. Дискретный вей- влет-спектр восстановленного сигнала при отбрасывании L первых уровней разложения: г) – L 9,= е) – L 8,= з) – L 7,= к) – L 6,= м) – L 5,= о) – L 4,= р) – L ,= 3 т) – L 2= Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования 293Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3 спектра особенности при меньших значе- ниях a. Поэтому для адекватного восста- новления большинства таких сигналов даже в оптимальном вейвлетном базисе прихо- дится учитывать почти все уровни разло- жения (см. рис. 15, 16). Последнее неизбеж- но приводит к усложнению процедуры об- наружения сигнала с особенностью на фоне помехи, поскольку вейвлет-спектр самой по- мехи находится в той же самой области, что и спектр особенности. Наиболее “помехоу- стойчивой” особенностью в этом случае ока- зывается производная δ-функции (модель 8,f энтропия 1.00),M = поскольку в базисе оптимального для нее вейвлета haar ее спектр ограничивается лишь одним уров- нем разложения (см. табл. 2). Объяснить этот факт можно тем, что данная модель является предельным слу- чаем сверхширокополосного сигнала, для которого, как известно, базис вейвлетов яв- ляется собственным базисом [11]. Доста- точно локализованные вейвлет-спектры в оптимальном вейвлетном базисе имеют вертикальный перегиб 10( ,f 1.43),M = из- лом 7( ,f 1.46),M = скачок амплитуды 4( ,f 2.00),M = шпиль 11( ,f 3.47)M = и беско- нечно узкий импульс 1( ,f 3.65).M = Эта ин- формация полезна для практиков, посколь- ку первые три модели могут рассматри- ваться в качестве аппроксимаций ударных волн, а две последние – солитонов. Полученные в работе результаты на- правлены, в первую очередь, на создание специалистам условий для более полной и корректной интерпретации результатов применения АВП и ДВП к анализу ре- альных сигналов различной природы, где в разных сочетаниях могут встречаться рассмотренные выше особенности. Таким образом, использование разных типов вейвлет-преобразований для ана- лиза сигналов с особенностями является целесообразным и перспективным. При этом рекомендуется совместное использо- вание НВП, АВП и ДВП, поскольку они хорошо дополняют друг друга. НВП и АВП целесообразно применять для обнаруже- ния особенности и ее классификации, а ДВП – для обнаружения сигнала с осо- бенностью на фоне помехи и очистки от нее. Выводы 1. Для ряда простых вещественных мо- делей во временной области проведен вей- влет-анализ сигналов с особенностями с использованием АВП и ДВП. 2. Аналитическим и численным путем вычислены комплексные вейвлет-спектры модельных сигналов. Показано, что фазо- вая характеристика, полученная из комп- лексного вейвлет-спектра, предпочтитель- на при обнаружении локальных особенно- стей сигнала даже в случае относительной малости параметра, характеризующего особенность. 3. При анализе сигналов с особенностя- ми рекомендуется совместное применение НВП, ДВП и АВП, которые хорошо до- полняют друг друга. 4. Продемонстрирована эффективность ДВП при анализе сигналов с особенностя- ми. На основе критерия минимизации энт- ропии рекомендованы оптимальные вейвле- ты для каждой конкретной модели сигнала. 5. Проведено восстановление модель- ных сигналов по их дискретному вейвлет- спектру с учетом заданного количества уровней разложения в базисе оптималь- ного вейвлета. Литература 1. Лазоренко О. В., Лазоренко С. В., Черно- гор Л. Ф. Вейвлет-анализ модельных сигна- лов с особенностями. 1. Непрерывное вейв- лет-преобразование // Радиофизика и радио- астрономия. – 2007. – Т. 12, №2. – С. 182-204. 2. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. / Пер. с англ. – М.: Мир, 2005. – 671 с. 3. Короновский А. А., Храмов А. Е. Непрерыв- ный вейвлет-анализ и его приложения. – М.: Физматлит, 2003. – 176 с. 4. Астафьева Н. М. Вейвлет анализ: основы тео- рии и примеры применения // Успехи физичес- ких наук. – 1996. – Т. 166, №11. – С. 1115-1180. 5. The transforms and applications handbook / Editor-in-chief, Alexander Poularikas. – USA: CRC Press, 1996. – 1335 p. О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Черногор 294 Радиофизика и радиоастрономия, 2007, т. 12, №3 6. Holschneider M. Wavelets: An Analysis Tool. – Oxford: Calderon Press, 1995. – 423 p. 7. Воробьев В. И., Грибунин В. Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. – Санкт- Петербург: ВУС, 1999. – 204 с. 8. Дремин И. М., Иванов О. В., Нечитайло В. А. Вейвлеты и их использование // Успехи физи- ческих наук. – 2001. – Т. 171, №5. – С. 465-501. 9. Дьяконов В. П. Вейвлеты. От теории – к практике. – М.: СОЛОН-Р, 2002. – 448 с. 10. Чуи К. Введение в вейвлеты. / Пер. с англ. Я. М. Жилейкина. – М.: Мир, 2001. – 412 с. 11. Лазоренко О. В., Лазоренко С. В., Черно- гор Л. Ф. Применение вейвлет-анализа к за- даче обнаружения кратковременных знако- переменных и сверхширокополосных процес- сов // Электромагнитные волны и электрон- ные системы. – 2004. – Т. 9, №9-10. – С. 31-62. Вейвлет-аналіз модельних сигналів з особливостями. 2. Аналітичне та дискретне вейвлет-перетворення О. В. Лазоренко, С. В. Лазоренко, Л. Ф. Чорногор Пропонується використовувати дискрет- не вейвлет-перетворення (ДВП) та аналі- тичне вейвлет-перетворення (АВП) для вивчення структури сигналів з особливос- тями. За допомогою аналітичних та чис- лових методів виконано вейвлет-аналіз про- стих реальних моделей таких сигналів у часовій області. ДВП використано для аналізу модельних сигналів з особливостя- ми. Для кожного сигналу з допомогою кри- терію мінімізації ентропії розкладання обрано оптимальний вейвлет для ДВП. Відтворено модельний сигнал за дискрет- ним вейвлет-спектром з використанням різної кількості рівнів розкладання. Пока- зано, що фазовій характеристиці комплекс- ного вейвлет-спектру, яку отримано з АВП, слід віддавати перевагу у виявленні слабко- виражених особливостей сигналу. Рекомен- дується одночасне застосування безперер- вного вейвлет-перетворення, ДВП та АВП, що добре доповнюють одне одного. Wavelet Analysis of the Model Signals with Peculiarities. 2. Analytical and Discrete Wavelet Transforms O. V. Lazorenko, S. V. Lazorenko, and L. F. Chernogor The discrete wavelet transform (DWT) and the analytical wavelet transform (AWT) are proposed to use for investigating the struc- ture of the signals with peculiarities. Wavelet analysis of the simple real models of such signals in the time domain was carried out analytically and numerically. The DWT was used for analysis of the model signals with peculiarities. Using the criterion of the ex- pansion entropy minimization, the optimal wavelet basis for DWT was selected for each model signal. The model signal was recov- ered from discrete wavelet spectrum using different number of the level of expansion. The phase characteristic of the wavelet spec- trum obtained during AWT was shown to be preferable for detection of weekly pronounced signal peculiarities. The continuous wavelet transform, DWT and AWT, being mutually complementary, are recommended to use si- multaneously.

Вейвлет-анализ модельных сигналов с особенностями. 2. Аналитическое и дискретное вейвлет-преобразования

Institution

Similar Items