Інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових сигнально-кодових конструкцій
У статті розроблена інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових послідовностей та кодів Рида-Соломона. Використання розробленої інформаційної технології на практиці дозволить підвищити завадостійкість та зменшити складність реалізації засобів радіозв...
Збережено в:
| Дата: | 2013 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2013
|
| Назва видання: | Математичні машини і системи |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83801 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових сигнально-кодових конструкцій / С.В. Зайцев, А.В. Яриловець, В.Д. Назарук // Мат. машини і системи. — 2013. — № 1. — С. 83-93. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-83801 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-838012025-02-09T09:52:19Z Інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових сигнально-кодових конструкцій Информационная технология построения системы OFDM-FHSS на основе оптимальных частотно-временных сигнально-кодовых конструкций Information technology of OFDM-FHSS system construction based on optimal time-frequency signal-code structures Зайцев, С.В. Яриловець, А.В. Назарук, В.Д. Інформаційні і телекомунікаційні технології У статті розроблена інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових послідовностей та кодів Рида-Соломона. Використання розробленої інформаційної технології на практиці дозволить підвищити завадостійкість та зменшити складність реалізації засобів радіозв'язку, які використовують технологію OFDM-FHSS. В статье разработана информационная технология построения системы OFDM-FHSS на основе оптимальных частотно-временных последовательностей и кодов Рида-Соломона. Использование разработанной информационной технологии на практике позволит повысить помехоустойчивость и уменьшить сложность реализации средств радиосвязи, использующих технологию OFDM-FHSS. Information technology of OFDM-FHSS system construction based on optimal time-frequency sequences and Reed-Solomon codes was designed in the paper. The usage of developed information technology in practice will improve noise immunity and reduce the complexity of radio communications used OFDM-FHSS technology. 2013 Article Інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових сигнально-кодових конструкцій / С.В. Зайцев, А.В. Яриловець, В.Д. Назарук // Мат. машини і системи. — 2013. — № 1. — С. 83-93. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83801 621.391 uk Математичні машини і системи application/pdf Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Інформаційні і телекомунікаційні технології Інформаційні і телекомунікаційні технології |
| spellingShingle |
Інформаційні і телекомунікаційні технології Інформаційні і телекомунікаційні технології Зайцев, С.В. Яриловець, А.В. Назарук, В.Д. Інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових сигнально-кодових конструкцій Математичні машини і системи |
| description |
У статті розроблена інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових послідовностей та кодів Рида-Соломона. Використання розробленої інформаційної технології на практиці дозволить підвищити завадостійкість та зменшити складність реалізації засобів радіозв'язку, які використовують технологію OFDM-FHSS. |
| format |
Article |
| author |
Зайцев, С.В. Яриловець, А.В. Назарук, В.Д. |
| author_facet |
Зайцев, С.В. Яриловець, А.В. Назарук, В.Д. |
| author_sort |
Зайцев, С.В. |
| title |
Інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових сигнально-кодових конструкцій |
| title_short |
Інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових сигнально-кодових конструкцій |
| title_full |
Інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових сигнально-кодових конструкцій |
| title_fullStr |
Інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових сигнально-кодових конструкцій |
| title_full_unstemmed |
Інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових сигнально-кодових конструкцій |
| title_sort |
інформаційна технологія побудови системи ofdm-fhss на основі оптимальних частотно-часових сигнально-кодових конструкцій |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Інформаційні і телекомунікаційні технології |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/83801 |
| citation_txt |
Інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових сигнально-кодових конструкцій / С.В. Зайцев, А.В. Яриловець, В.Д. Назарук // Мат. машини і системи. — 2013. — № 1. — С. 83-93. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| series |
Математичні машини і системи |
| work_keys_str_mv |
AT zajcevsv ínformacíjnatehnologíâpobudovisistemiofdmfhssnaosnovíoptimalʹnihčastotnočasovihsignalʹnokodovihkonstrukcíj AT ârilovecʹav ínformacíjnatehnologíâpobudovisistemiofdmfhssnaosnovíoptimalʹnihčastotnočasovihsignalʹnokodovihkonstrukcíj AT nazarukvd ínformacíjnatehnologíâpobudovisistemiofdmfhssnaosnovíoptimalʹnihčastotnočasovihsignalʹnokodovihkonstrukcíj AT zajcevsv informacionnaâtehnologiâpostroeniâsistemyofdmfhssnaosnoveoptimalʹnyhčastotnovremennyhsignalʹnokodovyhkonstrukcij AT ârilovecʹav informacionnaâtehnologiâpostroeniâsistemyofdmfhssnaosnoveoptimalʹnyhčastotnovremennyhsignalʹnokodovyhkonstrukcij AT nazarukvd informacionnaâtehnologiâpostroeniâsistemyofdmfhssnaosnoveoptimalʹnyhčastotnovremennyhsignalʹnokodovyhkonstrukcij AT zajcevsv informationtechnologyofofdmfhsssystemconstructionbasedonoptimaltimefrequencysignalcodestructures AT ârilovecʹav informationtechnologyofofdmfhsssystemconstructionbasedonoptimaltimefrequencysignalcodestructures AT nazarukvd informationtechnologyofofdmfhsssystemconstructionbasedonoptimaltimefrequencysignalcodestructures |
| first_indexed |
2025-11-25T14:10:38Z |
| last_indexed |
2025-11-25T14:10:38Z |
| _version_ |
1849771781330567168 |
| fulltext |
© Зайцев С.В., Яриловець А.В., Назарук В.Д., 2013 83
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1
УДК 621.391
С.В. ЗАЙЦЕВ, А.В. ЯРИЛОВЕЦЬ, В.Д. НАЗАРУК
ІНФОРМАЦІЙНА ТЕХНОЛОГІЯ ПОБУДОВИ СИСТЕМИ OFDM-FHSS НА
ОСНОВІ ОПТИМАЛЬНИХ ЧАСТОТНО-ЧАСОВИХ СИГНАЛЬНО-КОДОВИХ
КОНСТРУКЦІЙ
Анотація. У статті розроблена інформаційна технологія побудови системи OFDM-FHSS на ос-
нові оптимальних частотно-часових послідовностей та кодів Рида-Соломона. Використання роз-
робленої інформаційної технології на практиці дозволить підвищити завадостійкість та змен-
шити складність реалізації засобів радіозв’язку, які використовують технологію OFDM-FHSS.
Ключові слова: технологія OFDM-FHSS, коди Рида-Соломона.
Аннотация. В статье разработана информационная технология построения системы OFDM-
FHSS на основе оптимальных частотно-временных последовательностей и кодов Рида-Соломона.
Использование разработанной информационной технологии на практике позволит повысить по-
мехоустойчивость и уменьшить сложность реализации средств радиосвязи, использующих тех-
нологию OFDM-FHSS.
Ключевые слова: технология OFDM-FHSS, коды Рида-Соломона.
Abstract. Information technology of OFDM-FHSS system construction based on optimal time-frequency
sequences and Reed-Solomon codes was designed in the paper. The usage of developed information tech-
nology in practice will improve noise immunity and reduce the complexity of radio communications used
OFDM-FHSS technology.
Keywords: OFDM-FHSS technology, Reed-Solomon codes.
1. Вступ
На сьогоднішній день фізичний рівень мобільних систем радіозв’язку ґрунтується на вико-
ристанні технології ортогонально-частотного мультиплексування OFDM (Orthogonal
frequency-division multiplexing), технології швидкої стрибкоподібної зміни частоти FHSS
(Frequency Hopping Spread Spectrum), технології CDMA (Code Division Multiple Access) та
використанні завадостійкого кодування [1–3].
Для забезпечення процесу передавання повідомлень кожна пара приймач і переда-
вач сигналу OFDM-FHSS повинні використовувати однакові закони зміни частот [1]. За-
стосування законів зміни частоти за псевдовипадковим законом значно ускладнює визна-
чення цього закону, до того ж підвищується розвідзахищеність і ускладнюється можли-
вість перехоплення інформації [4, 5]. Це є наслідком того, що для здійснення відновлення
переданого повідомлення на фізичному рівні необхідно виконати демодуляцію перехопле-
ного радіосигналу. А це досить складна задача, якщо псевдовипадкові частотно-часові ко-
ди невідомі. Закон формування частотно-часових послідовностей (ЧЧП), що визначає пос-
лідовність слідування несучих частот сигналу OFDM-FHSS, повинен бути псевдовипадко-
вим. Однак алгоритм формування цих послідовностей має бути досить простим для того,
щоб забезпечити нормальне функціонування цифрових формувачів сигналу OFDM-FHSS.
При цьому, виходячи з потреб захисту інформації, необхідно забезпечити можливість до-
сить швидкої зміни номера цієї псевдовипадкової послідовності і в процесі передавання
інформації.
2. Постановка задачі
Якщо взяти 1N M= + – просте число, де M – кількість частот у сигналі OFDM-FHSS, то
можливо побудувати 1N − оптимальних ЧЧП. При цьому під оптимальними розуміємо
ортогональні ЧЧП, у яких при довільних часових зсувах співпадає не більше одного час-
84 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1
тотно-часового елемента. Для підвищення завадозахищеності системи OFDM-FHSS з оп-
тимальними ЧЧП необхідно використовувати завадостійке кодування. Як завадостійкі ко-
ди можна використати коди Рида-Соломона.
Таким чином, виникає завдання розробки інформаційної технології побудови сис-
теми OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових послідовностей та кодів Рида-
Соломона.
Метою роботи є розробка інформаційної технології побудови системи OFDM-FHSS
на основі оптимальних частотно-часових сигнально-кодових конструкцій.
3. Виклад основного матеріалу
Система OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових сигнально-кодових конс-
трукцій складається з передавальної та приймальної частин. Передавальна та приймальна
частини мають у своєму складі такі елементи: кодер (декодер) Рида-Соломона, модулятор
(демодулятор) OFDM-FHSS на основі оптимальних ЧЧП.
На рис. 1, 2 показана спрощена структурна схема архітектури передачі та прийому
фізичного рівня радіозасобів з технологією OFDM-FHSS та коригувальними кодами Рида-
Соломона.
Основна ідея методу OFDM полягає в тому, що смуга пропускання каналу розбива-
ється на групу вузьких смуг (субканалів), кожна зі своєю піднесучою. На всіх піднесучих
сигнал передається одночасно, що дозволяє забезпечити велику швидкість передачі інфо-
рмації при невеликій швидкості передачі в кожному окремому субканалі [1]. Сигнал
OFDM складається із N ортогональних піднесучих, модульованих N паралельними пото-
ками даних.
Формування підканалів з ортогональними піднесучими відбувається за допомогою
процедури зворотного дискретного перетворення Фур’є (ДПФ) [1]. На практиці процедури
зворотного ДПФ (на передаючій стороні) та прямого ДПФ (на прийомній) реалізуються за
Рис. 1. Структурна схема архітектури передачі фізичного рівня радіозасобів з технологією
OFDM-FHSS та коригувальними кодами Рида-Соломона
Передавач
OFDM-FHSS-
модулятор
Кодер
Рида-Соломона
Формувач оптималь-
них ЧЧП
Приймач
Рис. 2. Структурна схема архітектури прийому фізичного рівня радіозасобів з технологією
OFDM-FHSS та коригувальними кодами Рида-Соломона
OFDM-FHSS-
демодулятор
Декодер
Рида-Соломона
Формувач оптималь-
них ЧЧП
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 85
допомогою алгоритму швидкого перетворення Фур’є (ШПФ) та виконуються процесором
ШПФ [1, 2].
Структурна схема модулятора сигналу OFDM, каналу з адитивним білим гаусівсь-
ким шумом та демодулятора сигналу OFDM показана на рис. 3.
Таким чином, функції OFDM-модулятора зводяться до формування складового не-
перервного сигналу, який містить N піднесучих, більша частина з яких модульовані інфо-
рмаційними символами на інтервалі
sT [1]:
( )∑
−
=
∆π=
1
0
2)(
N
k
ftkjekXts , (1)
де N – кількість піднесучих, ( )kX – комплексний модулюючий символ (ФМ-М або КАМ-
М), який передається на k -й піднесучій ftkje ∆π2 , sTf /1=∆ – частота слідування символів,
sT – тривалість символу.
Реалізація функцій OFDM-модулятора на базі цифрового процесора ШПФ передба-
чає перехід від безперервного часу до дискретного ( )t nT= , при цьому вираз (1), з ураху-
ванням періоду дискретизації NTT S /= , прийме вигляд [1]
( )∑
−
=
π
=
1
0
2
)(
N
k
N
n
kj
s ekXT
N
n
s , 1,0 −= Nn . (2)
Можна представити
s
n
s T
N
як залежність від ( ),n s n і тоді (2) представимо як
( ) ( )kXWns 1−= , ),1,0, −= Nnk (3)
де W – це матриця розміру N N× дискретного перетворення Фур’є з елементами
[ ] 2
,
, , 0,( 1)j kn N
k n
W e k n N− π= = − ,
Рис. 3. Структурна схема моделі модулятора сигналу OFDM, каналу з АБГШ та
демодулятора сигналу OFDM
( )0X
( )1X
( )1−NX
…
tfje 12π
( )tfj Ne 12 −π
+
( )ts
tfje 02π
( )tn
tfje 02π−
tfje 12π−
…
( )tfj Ne 12 −π−
( )tr
∫
sT
0
...
∫
sT
0
...
∫
sT
0
...
( )0X ′
( )1−′ NX
( )1X ′
86 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1
2 4 2 ( 1)
2 ( 2) 4 ( 2) 2 ( 1)( 2)
2 ( 1) 4 ( 1) 2 ( 1)( 1)
1 1 1 1
1
1
1
j N j N j N N
j N N j N N j N N N
j N N j N N j N N N
e e e
W
e e e
e e e
− π − π − π −
− π − − π − − π − −
− π − − π − − π − −
=
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋯
⋯
.
На приймальній стороні відбуваються такі перетворення:
( ) ( ) ( ) 2
0
1 sT
j n ft
s
X n s t n t e dt
T
− π ∆′ = + ∫ , 1,0 −= Nn .
Оптимальний алгоритм знаходження елементів матриці номерів частот визначаєть-
ся таким виразом:
[ ] ( ) ( ) )1(,0, ,1mod, −=+×=Ψ NnkMnknk ,
де k – номер строки, n – номер стовпця. При визначенні (2) було враховано, що
mod( ) ( )A B A A B⋅ = − ÷ , де „ ÷ ” – операція ділення без залишку (націло). Не важко переко-
натися, що, завдяки формулі (7), значно спрощується знаходження оптимальних алфавітів
для формування сигналу OFDM.
Наприклад, при 12=N матриця номерів частот буде мати такий вигляд:
[ ]
01234567891011
13579110246810
25811147100369
37112610159048
49161138051027
51141039281706
60718293104115
72105083116194
84095110621173
96301074111852
10864201197531
11109865543210
, =Ψ nk .
У результаті сигнал OFDM з оптимальним алгоритмом знаходження елементів мат-
риць номерів частот можна представити так:
( ) [ ] ( ),
2
k n
j n N
s n e X k
− π Ψ= , , 0, 1)k n N= − . (4)
Коди Рида-Соломона (Reed-Solomon code, R-S code) [6] – це недвійкові циклічні ко-
ди, символи яких являють собою m бітові послідовності, де m – позитивне ціле число, бі-
льше 1. Коди Рида-Соломона ( ),n k визначені на m-бітових символах при всіх n та k , для
яких
220 +<<< mnk , (5)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 87
де k – число інформаційних бітів, які підлягають кодуванню, n – число кодових символів
у блоці, який кодується.
Так як код Рида-Соломона є циклічним, кодування в систематичній формі аналогіч-
но процедурі двійкового кодування. Ми можемо здійснити зсув полінома повідомлення
( )m X у крайні праві k -розряди регістра кодового слова та зробити наступний додаток
полінома ( )p X у крайні ліві n k− розряди. Тому ми множимо ( )m X на n kX − , пророби-
вши алгебраїчну операцію таким чином, що ( )m X виявляється зсуненим вправо на n k−
позицій. Далі ми ділимо ( )n kX m X− на поліноміальний генератор ( )g X , що можна запи-
сати таким способом:
).()()()( XpXgXqXmX kn +=− (6)
Тут ( )q X і ( )p X – це частка та залишок від поліноміального ділення. Як і у випа-
дку двійкового кодування, залишок буде парним. Рівняння (6) можна переписати таким
чином:
)()( XmXXp kn−= по модулю )(Xg . (7)
Результуючий поліном кодового слова ( )U X можна переписати таким чином:
).()()( XmXXpXU kn−+= (8)
Продемонструємо кроки, які маються на увазі, рівняннями (7) і (8), закодувавши
повідомлення із трьох символів:
���
51 3
010110111
αα α
за допомогою коду Рида-Соломона (7, 3), генератор якого визначається рівнянням
42013)( XXXXg +α+α+α= . Спочатку ми множимо (зсув вверх) поліном повідомлення
2531 XX α+α+α на 4XX kn =− , що дає 655341 XXX α+α+α .
Далі ми ділимо такий зсунутий вверх поліном повідомлення на поліноміальний ге-
нератор з рівняння 655341 XXX α+α+α , 42013 XXX +α+α+α .
Операції додавання (вирахування) і множення (ділення) при поліноміальному ді-
ленні недвійкових коефіцієнтів виконуються відповідно до табл. 1 та 2.
Таблиця 1. Таблиця додавання для GF(8) для 31)( XXXf ++=
α0 α1 α2 α3 α4 α5 α6
α0 0 α
3 α
6 α
1 α
5 α
4 α
2
α1 α
3 0 α
4 α
0 α
2 α
6 α
5
α2 α
6 α
4 0 α
5 α
1 α
3 α
0
α3 α
1 α
0 α
5 0 α
6 α
2 α
4
α4 α
5 α
2 α
1 α
6 0 α
0 α
3
α5 α
4 α
6 α
3 α
2 α
0 0 α
1
α6 α
2 α
5 α
0 α
4 α
3 α
1 0
Таблиця 2. Таблиця множення для GF(8) для 31)( XXXf ++=
α0 α1 α2 α3 α4 α5 α6
α0 α
0 α
1 α
2 α
3 α
4 α
5 α
6
α1 α
1 α
2 α
3 α
4 α
5 α
6 α
0
88 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1
Продовж. табл. 2
α2 α
2 α
3 α
4 α
5 α
6 α
0 α
1
α3 α
3 α
4 α
5 α
6 α
0 α
1 α
2
α4 α
4 α
5 α
6 α
0 α
1 α
2 α
3
α5 α
5 α
6 α
0 α
1 α
2 α
3 α
4
α6 α
6 α
0 α
1 α
2 α
3 α
4 α
5
У результаті поліноміальне ділення дасть такий поліноміальний залишок (поліном
парності):
.)( 362420 XXXXp α+α+α+α= (9)
Потім з рівняння (8) поліном кодового слова можна записати таким способом:
=α+α+α+α+α+α+α= 655341362420)( XXXXXXXU
.)111()110()010()101()011()001()100( 65432 XXXXXX ++++++= (10)
Тестове повідомлення кодується в систематичній формі за допомогою коду Рида-
Соломона (7, 3), що у результаті дасть поліном кодового слова, який описується рівнянням
(10). Допустимо, що в ході передачі це кодове слово піддалося перекручуванню: 2 символи
були прийняті з помилкою. При використанні 7-символьного кодового слова модель поми-
лки можна представити в поліноміальній формі таким способом:
∑
=
=
6
0
.)(
n
n
nXeXe (11)
Нехай двохcимвольна помилка буде такою, що
=++α+α+++= 6545322 00000)( XXXXXXXe
.)000()000()111()001()000()000()000( 65432 XXXXXX ++++++= (12)
Інакше кажучи, контрольний символ зіпсований 1-бітовою помилкою (представле-
ною як 2α , а символ повідомлення – 3-бітовою помилкою (представленою як 5α ). У цьому
випадку прийнятий поліном зіпсованого кодового слова ( )r X представляється у вигляді
суми полінома переданого кодового слова та полінома моделі помилки, як показано ниж-
че:
)()()( XeXUXr += . (13)
Дотримуючись рівняння (13), підсумуємо ( )U X з рівняння (10) і ( )e X з рівняння
(12). Отже, маємо
=++++++= 65432 )111()110()101()100()011()001()100()( XXXXXXXr
.655346302420 XXXXXX α+α+α+α+α+α+α= (14)
У даному прикладі виправлення 2-символьної помилки є чотири невідомих – два
ставляться до розташування помилки, а два стосуються помилкових значень. При двійко-
вому декодуванні декодеру потрібно знати лише розташування помилки. Якщо відомо, де
перебуває помилка, біт потрібно поміняти з 1 на 0 або навпаки. Але тут недвійкові симво-
ли вимагають, щоб ми не тільки довідалися розташування помилки, але й визначили пра-
вильне значення символу, розташованого на цій позиції. Оскільки в даному прикладі у нас
є чотири невідомих, нам потрібно чотири рівняння, щоб знайти їх.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 89
Синдром – це результат перевірки парності, виконуваної над r , щоб визначити, чи
належить r набору кодових слів. Якщо r є членом набору, то синдром S має значення,
рівне 0. Будь-яке ненульове значення S означає наявність помилок. Так само, як і у двій-
ковому випадку, синдром S складається з n k− символів, { }iS , kni −= ,1 . Таким чином,
для нашого коду (7, 3) є по чотирі символи в кожному векторі синдрому; їх значення мож-
на розрахувати із прийнятого полінома ( )r X . Помітимо, як полегшуються обчислення за-
вдяки самій структурі коду, обумовленої рівнянням
)()()( XgXmXU = . (15)
З цієї структури можна бачити, що кожен правильний поліном кодового слова
( )U X є кратним поліноміальному генератору ( )g X . Отже, корні g(X) також повинні бу-
ти коренями ( )U X . Оскільки )()()( XeXUXr += , то ( )r X , що обчислюється з кожним
коренем ( )g X , повинен давати нуль, тільки якщо ( )r X буде правильним кодовим сло-
вом. Будь-які помилки приведуть у підсумку до ненульового результату в одному (або бі-
льше) випадку. Обчислення символів синдрому можна записати таким способом:
)()( i
ii r
X
XrS α=
α=
= , .,1 kni −= (16)
Тут, як було показано в рівнянні (12), ( )r X містить 2-символьні помилки. Якщо
( )r X виявиться правильним кодовим словом, то це приведе до того, що всі символи син-
дрому S будуть дорівнювати нулю. У даному прикладі чотири символи синдрому знахо-
дяться таким способом:
=α+α+α+α+α+α+α=α= 118103630
1 )(rS
34823630 α=α+α+α+α+α+α+α= , (17)
=α+α+α+α+α+α+α=α= 17131468402
2 )(rS
53606140 α=α+α+α+α+α+α+α= , (18)
=α+α+α+α+α+α+α=α= 231818910503
3 )(rS
62442350 α=α+α+α+α+α+α+α= , (19)
=α+α+α+α+α+α+α=α= 2923221212604
4 )(rS
01215560 =α+α+α+α+α+α+α= . (20)
Результат підтверджує, що прийняте кодове слово містить помилку (введену нами),
оскільки 0S≠ .
Припустимо, що у кодовому слові є v помилок, розташованих на позиціях
vjjj XXX ,...,, 21 . Тоді поліном помилок, обумовлений рівняннями (11) і (12), можна запи-
сати таким способом:
....)( 2
2
1
1
v
v
j
j
j
j
j
j XeXeXeXe +++= (21)
Індекси 1, 2, ..., v позначають 1-у, 2-у, ..., v y− помилки, а індекс j – розташуван-
ня помилки. Для корекції перекрученого кодового слова потрібно визначити кожне зна-
90 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1
чення помилки
lj
e і її розташування ljX , де vl ,1= . Позначимо номер локатора помилки
як lj
l α=β . Далі обчислюємо 2n k t− = символи синдрому, підставляючи α у прийнятий
поліном при ti 2,,2,1 …= .
vjjj v
eeerS β++β+β=α= ...)( 211 21
,
22
2
2
1
2
2 ...)(
21 vjjj v
eeerS β++β+β=α= , (22)
⋮
t
vj
t
j
t
j
t
t v
eeerS 22
2
2
1
2
2 ...)(
21
β++β+β=α= .
У нас є 2t невідомих (t значень помилок і t розташувань) і система 2t рівнянь.
Але цю систему 2t рівнянь не можна вирішити звичайним шляхом, оскільки рівняння в
ній нелінійні (деякі невідомі входять у рівняння в ступені). Методика, що дозволяє вирі-
шити цю систему рівнянь, називається алгоритмом декодування Рида-Соломона.
Якщо обчислено ненульовий вектор синдрому (один або більше його символів не
дорівнюють нулю), це означає, що була прийнята помилка. Далі потрібно довідатися роз-
ташування помилки (або помилок). Полином локатора помилок можна визначити таким
способом:
=β+β+β+=σ )1)...(1)(1()( 21 XXXX v
....1 2
21
v
vXXX σ++σ+σ+= (23)
Коренями ( )Xσ будуть vβββ 1,...,1,1 21 . Величини, зворотні кореням ( )Xσ , бу-
дуть представляти номери розташувань моделей помилки ( )e X . Тоді, скориставшись ав-
торегресійною технікою моделювання, ми складемо із синдромів матрицю, в якій перші t
синдромів будуть використовуватися для передбачення наступного синдрому:
1 2 3 1 1
2 3 4 1 21
1 1 2 3 2 2 2 12
1 2 2 2 2 1 21
t t tt
t t tt
t t t t t t
t t t t t t
S S S S S S
S S S S S S
S S S S S S
S S S S S S
− +
+ +−
− + − − −
+ + − −
−σ
−σ
=
−σ
−σ
⋯
⋯
⋮ ⋮⋮
⋯
⋯
. (24)
Ми скористалися авторегресійною моделлю рівняння (24), взявши матрицю найбі-
льшої розмірності з ненульовим визначником. Для коду (7, 3) з корекцією двохсимвольних
помилок матриця буде мати розмірність 2x2 і модель запишеться таким способом:
1 2 2 3
2 3 1 4
S S S
S S S
σ
= σ
, (25)
3 5 6
2
5 6
1 0
σ α α α
= σα α
. (26)
Щоб знайти коефіцієнти σ1 й σ2 полінома локатора помилок ( )Xσ , спочатку необ-
хідно обчислити зворотну матрицю для рівняння (26). Зворотна матриця для матриці [ ]A
визначається таким способом:
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 91
]det[
][
][
A
Acofactor
AInv = . (27)
Отже,
5321095563
65
53
det α=α+α=α+α=αα−αα=
αα
αα
, (28)
αα
αα
=
αα
αα
35
56
65
53
cofactor , (29)
=
αα
αα
α=
α
αα
αα
=
αα
αα −
35
56
5
5
35
56
65
53
Inv
αα
αα
=
αα
αα
=
αα
αα
α=
50
01
57
78
35
56
2 . (30)
Якщо зворотна матриця обчислена правильно, то добуток вихідної й зворотної мат-
риці повинен дати одиничну матрицю:
=
α+αα+α
α+αα+α
=
αα
αα
αα
αα
10
01
11566
10354
50
01
65
53
. (31)
За допомогою рівняння (26) почнемо пошук положень помилок з обчислення коефі-
цієнтів полінома локатора помилок ( )Xσ , як показано далі:
α
α
α
α
=
α
α
αα
αα
=
σ
σ
6
0
6
76
65
53
1
2
. (32)
З рівнянь (32) і (33)
.)( 20602
21
0 XXXXX α+α+α=σ+σ+α=σ (33)
Корені ( )Xσ є оберненими числами до положень помилок. Після того, як ці корені
знайдені, ми знаємо розташування помилок. Взагалі, корені ( )Xσ можуть бути одним або
декількома елементами поля. Визначимо ці корені шляхом повної перевірки полінома
( )Xσ з усіма елементами поля, як буде показано нижче. Будь-який елемент X , який дає
( ) 0Xσ = , є коренем, що дозволяє нам визначити розташування помилки.
0)(
0)(
0)(
0)(
0)(
0)(
0)(
0012126
2011105
01084
0963
60842
20721
60600
≠α=α+α+α=ασ
≠α=α+α+α=ασ
⇒=α+α+α=ασ
⇒=α+α+α=ασ
≠α=α+α+α=ασ
≠α=α+α+α=ασ
≠α=α+α+α=ασ
Помилка
Помилка .
92 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1
Як видно з рівняння (23), розташування помилок є зворотною величиною до коренів
полінома. А, значить, 0)( 3 =ασ означає, що один корінь отримується при 31 α=βl . Звідси
431 α=α=βl . Аналогічно 0)( 4 =ασ означає, що інший корінь з'являється при
34
` 11 α=α=β l , де (у даному прикладі) l та 'l позначають 1-у і 2-у помилки. Оскільки ми
маємо справу з 2-символьними помилками, поліном помилок можна записати таким чи-
ном:
2
2
1
1
)( j
j
j
j XeXeXe += . (34)
Тут були знайдені дві помилки на позиціях 3α і 4α . Помітимо, що індексація номе-
рів розташування помилок є сугубо довільною. Отже, у цьому прикладі ми позначили ве-
личини lj
l α=β як 3
1
1 α=α=β j і 4
2
2 α=α=β j .
Ми позначили помилки
lj
e , де індекс j позначає розташування помилки, а індекс l
– l -у помилку. Оскільки кожне значення помилки пов'язане з конкретним місцем розташу-
вання, систему позначень можна спростити, позначивши
lj
e просто як le . Тепер, приготу-
вавшись до знаходження значень помилок 1e і 2e , пов'язаних з позиціями 3
1 α=β та
4
2 α=β , можна використати кожне із чотирьох синдромних рівнянь. Виразимо з рівняння
(11) 1S й 2S .
1 1 1 2 2
2 2
2 1 1 2 2
( ) ,
( ) .
S r e e
S r e e
= α = β + β
= α = β + β
(35)
Ці рівняння можна переписати в матричній формі таким способом:
,
2
1
2
1
2
2
2
1
21
=
ββ
ββ
S
S
e
e
(36)
3 4 3
1
6 8 5
2
.
e
e
α α α
= α α α
(37)
Щоб знайти значення помилок 1e і 2e , потрібно визначити зворотну матрицю для
рівняння (37).
=
α−α
αα
αα
=
αα−αα
αα
αα
=
αα
αα
34
36
41
4613
36
41
16
43
Inv
αα
αα
=
αα
αα
=
αα
αα
α=
αα
αα
α= −
40
52
47
52
36
41
1
36
41
6 . (38)
Тепер рівняння (37) ми можемо знайти з значення помилок.
α
α
=
α+α
α+α
=
α+α
α+α
=
α
α
αα
αα
=
5
2
23
35
93
105
5
3
40
52
2
1
e
e
. (39)
З рівнянь (34) і (38) ми знаходимо поліном помилок.
45322
2
1
1
)( XXXeXeXe j
j
j
j α+α=+= . (40)
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2013, № 1 93
Показаний алгоритм відновлює прийнятий поліном, видаючи в підсумку передба-
чуване передане кодове слово і, в остаточному підсумку, декодоване повідомлення.
)()()()()()( XeXeXUXeXrXU ++=+= ,
65432 )111()110()101()100()011()001()100()( XXXXXXXr ++++++= ,
65432 )000()000()111()001()000()000()000()( XXXXXXXe ++++++= ,
=++++++= 65432 )111()110()010()101()011()001()100()( XXXXXXXU
.655346302420 XXXXXX α+α+α+α+α+α+α= (41)
Оскільки символи повідомлення містяться у крайніх правих 3k = символах, деко-
дованим буде таке повідомлення:
���
531
111110010
ααα
.
Це повідомлення в точності відповідає тому, що було обране для цього прикладу.
5. Висновки
Використовуючи отримані аналітичні залежності, у статті розроблена інформаційна техно-
логія побудови системи OFDM-FHSS на основі оптимальних частотно-часових послідов-
ностей та кодів Рида-Соломона.
Отримані результати можна використати на практиці для підвищення завадостійко-
сті та зменшення складності реалізації засобів радіозв’язку, які використовують техноло-
гію OFDM-FHSS.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Khan F. LTE for 4G Mobile Broadband. Air Interface Technologies and Performance / Khan F. – Cam-
bridge: Cambridge University Press, 2009. – 509 p.
2. MIMO-OFDM Wireless Communications with Mathlab / Y. Cho, J. Kim, W. Yang [et al.]. – Singa-
pore: John Wiley & Sons, 2010. – 457 p.
3. Ergen M. Mobile Broadband. Including Wimax and LTE / Ergen М. – Berkeley: Springer
Science+Business Media, 2009. – 515 p.
4. Тузов Г.И. Статистическая теория приёма сложных сигналов / Тузов Г.И. – М.: Советское радио,
1977. – 400 с.
5. Варакин Л.Е. Системы связи с шумоподобными сигналами / Варакин Л.Е. – М.: Радио и связь,
1985. – 384 с.
6. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение / Скляр Б. – [2-е
изд.]. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2003. – 1104 с.
Стаття надійшла до редакції 10.08.2012
|