Топология плоских слоений коразмерности один
Описана топологическая структура замкнутых ориентируемых многообразий, допускающих плоские трансверсально ориентируемые слоения коразмерности один.
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Доповіді НАН України |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85886 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Топология плоских слоений коразмерности один / Д.В. Болотов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 16–21. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-85886 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-858862025-02-23T18:53:52Z Топология плоских слоений коразмерности один Топологiя плоских шарувань ковимiрностi один Topology of flat codimension one foliations Болотов, Д.В. Математика Описана топологическая структура замкнутых ориентируемых многообразий, допускающих плоские трансверсально ориентируемые слоения коразмерности один. Описано топологiчну структуру замкнених орiєнтовних многовидiв, що допускають плоскi трансверсально орiєнтовнi шарування ковимiрностi один. We describe the topological structure of closed oriented manifolds admitting flat transversally oriented codimension one foliations. Автор выражает благодарность проф. А.А. Борисенко за внимание к работе. 2013 Article Топология плоских слоений коразмерности один / Д.В. Болотов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 16–21. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85886 515.168.3 ru Доповіді НАН України application/pdf Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Болотов, Д.В. Топология плоских слоений коразмерности один Доповіді НАН України |
| description |
Описана топологическая структура замкнутых ориентируемых многообразий, допускающих плоские трансверсально ориентируемые слоения коразмерности один. |
| format |
Article |
| author |
Болотов, Д.В. |
| author_facet |
Болотов, Д.В. |
| author_sort |
Болотов, Д.В. |
| title |
Топология плоских слоений коразмерности один |
| title_short |
Топология плоских слоений коразмерности один |
| title_full |
Топология плоских слоений коразмерности один |
| title_fullStr |
Топология плоских слоений коразмерности один |
| title_full_unstemmed |
Топология плоских слоений коразмерности один |
| title_sort |
топология плоских слоений коразмерности один |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2013 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/85886 |
| citation_txt |
Топология плоских слоений коразмерности один / Д.В. Болотов // Доповiдi Нацiональної академiї наук України. — 2013. — № 9. — С. 16–21. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Доповіді НАН України |
| work_keys_str_mv |
AT bolotovdv topologiâploskihsloenijkorazmernostiodin AT bolotovdv topologiâploskihšaruvanʹkovimirnostiodin AT bolotovdv topologyofflatcodimensiononefoliations |
| first_indexed |
2025-11-24T14:22:09Z |
| last_indexed |
2025-11-24T14:22:09Z |
| _version_ |
1849681908326203392 |
| fulltext |
УДК 515.168.3
Д.В. Болотов
Топология плоских слоений коразмерности один
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.А. Борисенко)
Описана топологическая структура замкнутых ориентируемых многообразий, допус-
кающих плоские трансверсально ориентируемые слоения коразмерности один.
Будем называть слоение F на римановом многообразии M плоским, если все слои F в ин-
дуцируемой метрике имеют нулевую секционную кривизну. Если секционная кривизна
(кривизна Риччи) слоев неотрицательна, то F есть слоение неотрицательной кривизны
(неотрицательной кривизны Риччи). Многообразие и слоение предполагаются минимум
C2-гладкими. В [1] автором были классифицированы все замкнутые трехмерные ориенти-
руемые многообразия, допускающие трансверсально ориентируемые слоения неотрицатель-
ной кривизны. Мы покажем, что трансверсально ориентируемое слоение неотрицательной
кривизны на ориентируемом трехмерном многообразии плоское тогда и только тогда, когда
многообразие является торическим расслоением или полурасслоением (теорема 4). Затем
мы частично обобщим этот результат на многомерный случай (теорема 5).
Используя результаты [2] о структуре слоения в окрестности компактного слоя с абе-
левой голономией, автор доказал [3], что трансверсально ориентируемое слоение коразмер-
ности один неотрицательной кривизны Риччи на замкнутом ориентируемом многообразии
является слоением почти без голономии. Это означает, что нетривиальной голономией мо-
гут обладать только компактные слои. Вместе с глубокими результатами С.П. Новикова [4]
и X. Иманиши [5] это позволило доказать следующую теорему, для формулировки которой
напомним некоторые определения.
Насыщенным множеством слоеного многообразия M называется подмножество M , яв-
ляющееся объединением слоев.
Подмножество B ⊂ M многообразия M со слоением F коразмерности один назовем
блоком, если B — насыщенное множество, являющееся многообразием с краем.
Блок B называется собственным, если все внутренние слои B некомпактны, диффео-
морфны типичному слою L, и каждый слой L ⊂ B является вложенным подмногообразием
в B.
Блок B называется плотным, если все внутренние слои B диффеоморфны типичному
слою L и всюду плотны в B.
Назовем блок B исключительным, если он гомеоморфен K × I, где K является ком-
пактным слоем слоения, и слой K × 0 является предельным для множества компактных
слоев в B.
Теорема 1 [3]. Пусть F — трансверсально ориентируемое слоение коразмерности один
неотрицательной кривизны Риччи на замкнутом ориентируемом римановом многообра-
зии M . Тогда F является слоением почти без голономии и выполнена одна из следующих
возможностей:
© Д.В. Болотов, 2013
16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
1. Все слои всюду плотны и M является расслоением над S1.
2. F содержит компактный слой и M можно разбить конечным числом компактных
слоев на блоки одного из следующих типов:
А) исключительный блок;
B) плотный блок;
С) собственный блок.
Для B или C имеем:
ĩntB ≃ L̃× R, (1)
где L — типичный внутренний слой блока B. При этом фундаментальная группа B опи-
сывается групповым расширением
1→ π1(L)→ π1(B)
φ
→ Zk → 0. (2)
Более того, k > 1 и k = 1 тогда и только тогда, когда блок собственный.
3. Если F — слоение неотрицательной секционной кривизны, то граница каждого блока
имеет максимум две компоненты связности.
Говорят, что многообразие имеет кокомпактную группу изометрий, если оно содержит
компактное подмножество, образ которого под действием группы изометрий заметает все
многообразие. Нам понадобится следующий результат.
Теорема 2 [6]. Пусть (M,F) — слоеное полное риманово многообразие. Предположим,
что существует изометрическое накрытие p : L̂ → L слоя L
i
→֒ M , имеющее коком-
пактную группу изометрий. Если L′ ⊂ L, то существует последовательность изометрий
gi : L̂ → L̂ такая, что последовательность отображений i ◦ p ◦ gi : L̂ → M сходится
равномерно на компактных множествах к отображению f : L̂ → M , чей образ является
слоем L′, а индуцированное отображение на образ p′ : L̂ → L′ является изометрическим
накрытием.
Плоские слоения на трехмерных многообразиях. В [1] автору удалось классифи-
цировать все ориентируемые замкнутые многообразия, допускающие трансверсально ори-
ентируемые слоения неотрицательной кривизны. Для формулировки результата приведем
некоторые определения.
Скрученным I-расслоением над бутылкой Клейна называется единственное, с точностью
до послойного гомеоморфизма, ориентируемое многообразие с краем, гомеоморфное тоталь-
ному пространству расслоения над бутылкой Клейна со слоем отрезок.
Торическое полурасслоение — это многообразие, полученное склейкой по общей границе
двух скрученных I-расслоений над бутылкой Клейна.
Призматическое пространство — это сферическая форма, двулистно накрываемая лин-
зовым пространством, допускающая ровно две различные структуры расслоения Зейферта.
Теорема 3 [1]. Пусть M3 — гладкое замкнутое ориентируемое риманово многообразие
размерности 3, а F — трансверсально ориентируемое слоение неотрицательной кривизны
коразмерности 1 на этом многообразии. Тогда M3 гомеоморфно многообразию одного из
следующих типов:
1) торическое расслоение над окружностью;
2) торическое полурасслоение;
3) S2 × S1;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 17
4) RP 3#RP 3;
5) линзовое пространство Lp/q;
6) призматическое пространство.
Каждое из перечисленных многообразий для некоторой метрики допускает слоение
неотрицательной кривизны.
Отметим, что пространство, стоящее под нечетным номером, двулистно накрывает про-
странство, стоящее под следующим четным номером.
Этот результат можно уточнить следующим утверждением.
Теорема 4. Трансверсально ориентируемое слоение F коразмерности один неотрица-
тельной кривизны на замкнутом ориентируемом трехмерном многообразии M плоское
тогда и только тогда, когда M есть торическое расслоение или полурасслоение.
Доказательство. Пусть F — плоское слоение на M . Тогда M асферично (см. [7, 8]).
В теореме 3 асферическим многообразиям отвечают только случаи 1 и 2, поэтому M есть
торическое расслоение или полурасслоение.
Теперь предположим, что слоение неотрицательной кривизны обладает слоем L, кото-
рый не является плоским. Если L компактен, то из ориентируемости слоения1 следует, что
он гомеоморфен S2. Тогда, по теореме стабильности Риба, M есть S2-расслоение над S1,
следовательно, M не асферично. Если L некомпактен, то он гомеоморфен R2 и
∫
R2
Kds <∞
(см. [9]). Это означает, что на бесконечности кривизна K стремится к нулю, так как K яв-
ляется ограничением непрерывной функции, заданной на компактном многообразии, и по-
этому является равномерно непрерывной на L. Покажем, что L не может принадлежать
плотному блоку. В этом случае к любой точке x ∈ L сходится последовательность то-
чек xk ∈ L (в M), принадлежащая некоторому трансверсальному отрезку, проходящему
через x. Поэтому последовательность {xk} является замкнутым изолированным подмно-
жеством в L, так как все точки принадлежат разным локальным слоям расслоенной коор-
динатной окрестности Ux. Отсюда следует, что xk → ∞, а K(xk) → 0. По непрерывности
получаем, что K(x) = 0. А так как точка x взята произвольно, K ≡ 0. Следовательно,
L — собственный слой, принадлежащий собственному блоку B (см. [1]). В этом случае, по
теореме 1, B является расслоением над S1 со слоем L. Так как L гомеоморфен R2, блок B
гомотопически эквивалентен окружности. Из [4] следует, что B есть рибовская компонен-
та. В [1] доказывается, что если F имеет рибовскую компоненту, то M получено склейкой
либо двух полноториев, либо полнотория и скрученного I-расслоения над бутылкой Клей-
на. В любом случае мы получим одно из многообразий 3–6, не являющееся асферическим.
Осталось заметить, что торические расслоения и полурасслоения допускают плоские слое-
ния [1]. Теорема доказана.
Плоские слоения на многообразиях большей размерности. Следующей теоремой
мы обобщим некоторые свойства плоских слоений на случай большей размерности.
Теорема 5. Пусть F — плоское трансверсально ориентируемое слоение коразмерности
один на замкнутом ориентируемом многообразии. Тогда выполнена одна из следующих
возможностей.
1. F не содержит компактные слои. Тогда F является слоением без голономии со всюду
плотными слоями, изометричными риманову произведению S × Ek, а само многообразие
гомеоморфно расслоению над S1.
1
F ориентируемо, так как M ориентируемо, а F трансверсально ориентируемо.
18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
2. F содержит компактные слои. Если dimM > 5, то все компактные слои гомео-
морфны между собой, а само многообразие или его двулистное накрытие гомеоморфно
расслоению над окружностью со слоем, гомеоморфным компактному слою слоения.
Доказательство. Докажем п. 1 теоремы. Из теоремы 1 следует, что F есть слоение без
голономии со всюду плотными слоями. В [4] доказывается, что все слои диффеоморфны
типичному слою L и M̃ ∼= L̃×R. В этом случае имеется действие ρ : π1(M)→ Diff(R) фунда-
ментальной группы π1(M) на R, причем ядро этого действия совпадает с фундаментальной
группой типичного слоя. В [6] доказывается, что почти все слои слоения неотрицатель-
ной кривизны со всюду плотными слоями являются римановым произведением души S
(компактного вполне геодезического и вполне выпуклого подмногообразия) на евклидов
фактор Ek. Пусть L
i
→֒ M такой слой. Заметим, что подгруппа параллельных перено-
сов в Iso(L) кокомпактна в Iso(L). Так как L всюду плотен, то, по теореме 2, существует
последовательность параллельных переносов fi : L→ L такая, что последовательность ото-
бражений i ◦ fi : L → M сходится равномерно на компактных множествах к отображению
f : L → M , чей образ является наперед заданным слоем L′, а f : L → L′ является изомет-
рическим накрытием.
Всякий замкнутый путь φ : S1 → L свободно гомотопен любому замкнутому пути fk ◦φ.
Последовательность путей {fk ◦φ} сходится к замкнутому пути f ◦φ, свободно гомотопному
fk ◦ φ в M для больших k, так как для больших k отображение fk близко к f . Поэтому
существует гомотопия Ft, соединяющая замкнутые пути φ и f ◦ φ. Вспомним, что любое
накрытие, в частности f , индуцирует мономорфизм f∗ : π1(L, y0)→ π1(L
′, f(y0)) фундамен-
тальных групп. Покажем, что на самом деле f∗ — изоморфизм. Рассмотрим коммутативную
диаграмму, индуцируемую включениями iL : L→M , iL
′
: L′ →M и накрытием f : L→ L′:
π1(M,f(y0))
iL
′
∗←−−−− π1(L
′, f(y0))
ψαiL∗
x
π1(L, y0)
�
�
�
��*
f∗
где α : I → M обозначает путь Ft(y0), а ψα : π1(M,y0) → π1(M,f(y0)) — изоморфизм
фундаментальных групп, соответствующий пути α, который соединяет отмеченные точ-
ки y0 и f(y0). Но iL
′
∗
(π1(L
′, f(y0)) = ψαi
L
∗
(π1(L, y0)) ∼= Ker ρ. Поэтому f∗ — изоморфизм,
а f : L → L′ — изометрический диффеоморфизм.
Докажем п. 2. Отметим, что для слоений коразмерности один неположительной кривиз-
ны, в частности для плоских слоений, гомоморфизм i∗ : π1(L) → π1(M), индуцированный
включением, инъективен для любого слоя L. Более того, оказывается, что M̃ гомеоморф-
но R
n, а слои поднятого слоения F̃ гомеоморфны R
n−1 [7].
Из (1) следует, что всякий блок B имеет гомотопический тип K(π, 1)-пространства.
Пусть K ∈ ∂B. Тогда имеем cdπ1(K) = n − 1 и cdπ1(B) > cdπ1(K), так как i∗ : π1(K) →
→ π1(B) — мономорфизм, индуцированный вложением i : K → B (здесь cdG обозначает
когомологическую размерность группы G). Отсюда cdπ1(B) = n − 1, так как B является
многообразием с краем, поэтому стягивается на n − 1-остов.
Напомним, что PD-группой G называется группа с двойственностью Пуанкаре. На гео-
метрическом языке это означает, что K(G, 1) пространство гомотопически эквивалентно
конечному CW — комплексу, чьи гомологии и когомологии удовлетворяют изоморфизму
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 19
двойственности Пуанкаре. В частности G есть PD-группа, если G есть фундаментальная
группа замкнутого многообразия.
Из работы [10] следует, что π1(B) является PD-группой, так как является расширением
PD-группы посредством PD-группы (см. (2)) (заметим, что слой гомотопически эквива-
лентен своей душе [11]). Теорема Штребеля [12] гласит, что подгруппа Γ′ бесконечного
индекса PD-группы Γ имеет cd Γ′ < cd Γ. Отсюда следует, что образ i∗(π1(K)) является
коконечной подгруппой в π1(B). На самом деле индекс i∗(π1(K)) в π1(B) не превосходит
двух, так как если он больше двух, то можно показать, что существует конечнолистное
накрытие B с плоским поднятым слоением, являющееся блоком с более чем двумя ком-
понентами связности границы, что противоречит п. 3 теоремы 1. Если i∗ — изоморфизм
фундаментальных групп, то i : K → B — гомотопическая эквивалентность. Поэтому число
связных компонент ∂B равно двум, иначе мы имели бы i∗(Hn−1(K)) = 0 в Hn−1(B) при том,
что гомотопическая эквивалентность должна индуцировать изоморфизм групп гомологий,
а из ориентируемости слоения следует, что Hn−1(K) 6= 0. Если число связных компонент ∂B
равно двум, то i∗ : π1(K)→ π1(B) — эпиморфизм, так как в противном случае, как и выше,
блок B имел бы конечнолистное накрытие с большим, чем два числом компонент связности
границы. Но i∗ : π1(K) → π1(B) — мономорфизм, как отмечалось в начале доказательства
п. 2 теоремы, поэтому вложение i : K → B является гомотопической эквивалентностью. Мы
заключаем, что индекс i∗(π1(K)) в π1(B) равен двум тогда и только тогда, когда ∂B имеет
одну компоненту связности. В этом случае B имеет двулистное накрытие с двумя компо-
нентами связности границы, вложение каждой из которых в блок является гомотопической
эквивалентностью.
Ф.Т. Фаррел и В.К. Хсианг доказали, что группа Уайтхеда Wh(π1(K)) = 0 для любо-
го замкнутого плоского риманова многообразия K [13]. Поэтому если B — блок с двумя
компонентами связности границы, то по теореме об s-кобордизме B ∼= K × I (см. [14], если
dimK > 5, и [15], если dimK = 4). Отсюда при условии, что все блоки имеют две компо-
ненты связности границы, M гомеоморфно расслоению над S1 со слоем K. В случае, если
имеется блок с одной компонентой связности границы, M можно представить в виде объе-
динения двух блоков A и B, пересекающихся по компактному слою K. Из вышедоказанного
следует, что π1(M) = π1(A) ∗ π1(K)π1(B). В этом случае существует двулистное накрытие
M → M , соответствующее подгруппе π′ ∈ π1(M) индекса два, такое, что A и B подни-
маются в M в блоки A и B, имеющие две общие компоненты связности границы, каждая
из которых гомеоморфна K. Поэтому все блоки в двулистном накрытии M гомеоморфны
K × I и M является расслоением над S1, что и требовалось доказать.
Автор выражает благодарность проф. А.А. Борисенко за внимание к работе.
1. Болотов Д.В. Слоения неотрицательной кривизны на замкнутых трехмерных многообразиях // Мат.
сб. – 2009. – 200. – С. 3–16.
2. Nishimori T. Compact leaves with abelian holonomy // Tohoku Math. J. – 1975. – 27. – P. 259–272.
3. Болотов Д.В. О структуре слоений коразмерности один неотрицательной кривизны // Тр. конф.
“Актуальные проблемы современной математики, механики и информатики”, ХНУ им. В. Н. Карази-
на. – Харьков: Апостроф, 2011. – С. 324–331.
4. Новиков C.П. Топология слоений // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1965. – 14. – С. 249–278.
5. Imanishi H. Structure of codimension one foliations which are almost without holonomy // J. Math. Kyoto
Univ. – 1976. – 313, No 1. – P. 93–99.
6. Adams S., Stuck G. Splitting of non-negatively curved leaves in minimal sets of foliations // Duke Math. J. –
1993. – 71. – P. 71–92.
20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, №9
7. Stuck G. Un analogoue feuillete du theoreme de Cartan–Hadamard // C. r. Acad. Sci. Paris. – 1991. –
313. – P. 519–522.
8. Болотов Д.В. Об универсально равномерно стягиваемых слоениях коразмерности // Доп. НАН
України. – 2010. – № 9. – С. 7–9.
9. Kon-Fossen S. Kürzeste Wege und Totalkrümmung auf Flächen // Compos. Math. – 1935. – 2. – P. 69–133.
10. Bieri R. Gruppen mit Poincaré-Dualität // Comment. Math. Helv. – 1972. – 47. – P. 373–396.
11. Cheeger G., Gromoll D. On structure of complete manifolds of nonnegative curvature // Ann. Math. –
1972. – 96. – P. 413–443.
12. Strebel R. A remark on subgroups of finite index in Poincaré duality groups // Comment. Math. Helv. –
1977. – 52. – P. 317–324.
13. Farrell F.T., Hsiang W.C. The topological-Euclidean space form problem // Invent. Math. – 1978. – 45. –
P. 181–192.
14. Милнор Дж. Теорема об h-кобордизме. – Москва: Мир, 1969. – 114 с.
15. Freedman M., Teichner P. Teichner 4-manifold topology // Invent. Math. – 1995. – 122, No 3. – P. 509–529.
Поступило в редакцию 04.02.2013Физико-технический институт низких температур
НАН Украины им. Б.И. Веркина, Харьков
Д.В. Болотов
Топологiя плоских шарувань ковимiрностi один
Описано топологiчну структуру замкнених орiєнтовних многовидiв, що допускають плоскi
трансверсально орiєнтовнi шарування ковимiрностi один.
D.V. Bolotov
Topology of flat codimension one foliations
We describe the topological structure of closed oriented manifolds admitting flat transversally orien-
ted codimension one foliations.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, №9 21
|