Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде
Побудовано математичну модель сполучених систем масового обслуговування за допомогою кібернетичного підходу. Конфліктні вхідні потоки першої системи та один із вхідних потоків другої системи формуються в синхронному марковському випадковому середовищі з кінцевою кількістю станів. Інший вхідний потік...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86295 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде / А.В. Зорин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 100-109. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859492107379539968 |
|---|---|
| author | Зорин, А.В. |
| author_facet | Зорин, А.В. |
| citation_txt | Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде / А.В. Зорин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 100-109. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Побудовано математичну модель сполучених систем масового обслуговування за допомогою кібернетичного підходу. Конфліктні вхідні потоки першої системи та один із вхідних потоків другої системи формуються в синхронному марковському випадковому середовищі з кінцевою кількістю станів. Інший вхідний потік у другу систему утворений повторними вимогами, що поступають з першої системи. Переміщення вимоги з першої у другу систему вимагає випадкового часу. Обслуговування здійснюється в класі циклічних алгоритмів з фіксованим ритмом.
With the use of cybernetic approach, a mathematical model is constructed for communicating queuing systems. Conflicting input flows of the first queuing system and one of the input flows of the second queuing system are formed in a synchronous Markov random environment with a finite number of states. The other input flow of the second queuing system consists of retrial customers arriving from the first queuing system. The transition of a customer from the first queuing system to the second queuing system takes a random amount of time. Service is performed by a cyclic algorithm with fixed durations.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 12-01-90409.
|
| first_indexed | 2025-11-24T20:01:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
À.Â. ÇÎÐÈÍ
ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÅËÜ ÑÎÎÁÙÀÞÙÈÕÑß ÑÈÑÒÅÌ
ÌÀÑÑÎÂÎÃÎ ÎÁÑËÓÆÈÂÀÍÈß Ñ ÏÎÂÒÎÐÍÛÌÈ ÂÛÇÎÂÀÌÈ
È ÖÈÊËÈ×ÅÑÊÈÌ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅÌ Â ÑËÓ×ÀÉÍÎÉ ÑÐÅÄÅ1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: óïðàâëÿþùàÿ êèáåðíåòè÷åñêàÿ ñèñòåìà, êîíôëèêòíûå ïî-
òîêè, ñëó÷àéíàÿ ñðåäà, ïîâòîðíûå âûçîâû, öèêëè÷åñêèé àëãîðèòì, ìàòåìàòè-
÷åñêàÿ ìîäåëü.
Ñóùåñòâóþùèå êëàññè÷åñêèå ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ è àíàëèçà ìàòåìàòè÷åñêèõ ìî-
äåëåé ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ îõâàòûâàþò øèðîêèé ñïåêòð ðåàëüíûõ
ñèñòåì [1–3]. Äëÿ ïðèìåíåíèÿ òàêèõ ìåòîäîâ òðåáóåòñÿ íåçàâèñèìîå îïèñàíèå è
çàäàíèå âåðîÿòíîñòíûõ ñâîéñòâ ðàçíûõ ÷àñòåé ñèñòåìû: âõîäíûõ ïîòîêîâ, äëè-
òåëüíîñòåé îáñëóæèâàíèÿ ïðîèçâîëüíîãî òðåáîâàíèÿ è ò.ä. Â òî æå âðåìÿ ñî-
âðåìåííûå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ äåòåðìèíèðîâàííûìè è ñòîõàñòè÷åñêèìè îáúåê-
òàìè äîëæíû ó÷èòûâàòü èçìåí÷èâîñòü êàê â ñòðóêòóðå, òàê è â õàðàêòåðèñòèêàõ
îáúåêòà óïðàâëåíèÿ. Ïðèìåðîì ñëîæíîé óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ñèñòå-
ìà óïðàâëåíèÿ êîíôëèêòíûìè òðàíñïîðòíûìè ïîòîêàìè íà ïåðåêðåñòêàõ òðàíñ-
ïîðòíûõ ìàãèñòðàëåé. Èçâåñòíî, ÷òî ñòðóêòóðà òðàíñïîðòíûõ ïîòîêîâ ñóùåñò-
âåííî çàâèñèò îò ïîãîäíûõ óñëîâèé. Ïðè õîðîøåé ïîãîäå àâòîìîáèëè ñâîáîäíî
ìàíåâðèðóþò è äâèæóòñÿ íåçàâèñèìî îäèí îò äðóãîãî, à ïðè ïëîõîé îáðàçóþò-
ñÿ òðàíñïîðòíûå «ïà÷êè», ïðè÷åì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ìàøèíàìè íà òðàññå ÿâëÿ-
þòñÿ çàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ñ òðóäíî îïðåäåëèìûì çàêîíîì ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ.  ïðîöåññå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ òðàíñïîðòíûõ ñåòåé
âîçíèêàåò ïðîáëåìà ýôôåêòèâíîãî çàäàíèÿ âûõîäíîãî ïîòîêà ñ êàæäîãî óçëà
ñåòè. Ïîñêîëüêó âûõîäíîé ïîòîê îïðåäåëÿåòñÿ ðåàëèçóåìûì àëãîðèòìîì óïðàâ-
ëåíèÿ è ðàçðåøåíèÿ êîíôëèêòíîñòè, äëÿ áîëüøèíñòâà ñëîæíûõ ñèñòåì íàéòè
çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîìåæóòêîâ ìåæäó òðåáîâàíèÿìè ïðàêòè÷åñêè íå óäàåò-
ñÿ. Â ñâÿçè ñ ýòèì â [4–9] ïðåäëàãàåòñÿ íîâûé ïîäõîä, ðàññìàòðèâàþùèé ñèñòå-
ìó ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ êàê êèáåðíåòè÷åñêóþ óïðàâëÿþùóþ ñèñòåìó [10].
Òàêîé ïîäõîä ïðèìåíÿåòñÿ â íàñòîÿùåé ðàáîòå äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìî-
äåëè òàíäåìà èç äâóõ ïåðåêðåñòêîâ ñ ó÷åòîì íåíóëåâîãî ñëó÷àéíîãî âðåìåíè äâè-
æåíèÿ òðàíñïîðòíûõ ñðåäñòâ ìåæäó ïåðåêðåñòêàìè.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È
Ðàññìàòðèâàþòñÿ äâå ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ. Â ïåðâóþ ïîñòóïàþò êîíôëèêòíûå
âõîäíûå ïîòîêè òðåáîâàíèé �1, �2 , âî âòîðóþ — êîíôëèêòíûå âõîäíûå ïî-
òîêè �3 , �4 . Íà ñîäåðæàòåëüíîì óðîâíå êîíôëèêòíîñòü ïîòîêîâ îçíà÷àåò,
÷òî çàïðåùåíî îäíîâðåìåííîå îáñëóæèâàíèå òðåáîâàíèé ðàçíûõ ïîòîêîâ, èõ
íåëüçÿ ñóììèðîâàòü è ñâåñòè èññëåäîâàíèå ê çàäà÷å ñ ìåíüøèì ÷èñëîì ïîòî-
êîâ. Âõîäíûå ïîòîêè �1, �2 , �4 ôîðìèðóþòñÿ âî âíåøíåé ñëó÷àéíîé ñðåäå
ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì d ñîñòîÿíèé e e e d( ) ( ) ( ), , ,1 2 � . Ñìåíà ñîñòîÿíèÿ ñëó÷àéíîé
ñðåäû ìîæåò ïðîèçîéòè òîëüêî â ìîìåíòû ñìåíû ñîñòîÿíèÿ ëþáîãî èç îáñëó-
æèâàþùèõ óñòðîéñòâ. Âåðîÿòíîñòü ñìåíû ñîñòîÿíèÿ e k( ) íà e l( ) ðàâíà ak l, .
100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
1
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, ãðàíò
¹ 12-01-90409.
� À.Â. Çîðèí, 2013
Ïðè ñîñòîÿíèè ñðåäû e k( ) , k d�1, ,� , òðåáîâàíèÿ ïî ïîòîêó � j , j �1 2 4, , , ïî-
ñòóïàþò ãðóïïàìè, òàê ÷òî ïîòîê ãðóïï ïðîñòåéøèé ñ ïàðàìåòðîì � j
k( ) , à ðàç-
ìåð ãðóïïû ðàâåí b ñ âåðîÿòíîñòüþ �( ; , )b j k . Âõîäíîé ïîòîê �3 îáðàçóåòñÿ
èç ïîâòîðíûõ òðåáîâàíèé ïîòîêîâ �1, �2 . À èìåííî, òðåáîâàíèÿ ïîòîêà �1
ïîñëå îáñëóæèâàíèÿ íàïðàâëÿþòñÿ íà îáñëóæèâàíèå âî âòîðóþ ñèñòåìó; ñîâî-
êóïíîñòü ýòèõ òðåáîâàíèé ñîñòàâëÿåò âõîäíîé ïîòîê �5 òðåáîâàíèé, îáñëóæè-
âàíèå êîòîðûõ áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ â ïåðåìåùåíèè èç ïåðâîé âî âòîðóþ ñèñòå-
ìó îáñëóæèâàíèÿ. Êàæäîå òðåáîâàíèå ïîòîêà �2 ïîñëå îáñëóæèâàíèÿ è íåçà-
âèñèìî îò äðóãèõ òðåáîâàíèé ëèáî ìãíîâåííî ñ âåðîÿòíîñòüþ � íà÷èíàåò
ïåðåìåùåíèå âî âòîðóþ ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ è äîáàâëÿåòñÿ ê ïîòîêó �5 ,
ëèáî ñ âåðîÿòíîñòüþ 1�� ïîêèäàåò ñîîáùàþùèåñÿ ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ è
äîáàâëÿåòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùåìó âûõîäíîìó ïîòîêó. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íå-
îáõîäèìî âðåìÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû çàÿâêà èç ïåðâîé ñèñòåìû äîñòèãëà âòîðîé
ñèñòåìû. Ïåðåìåùåíèå çàÿâêè èç ïåðâîé âî âòîðóþ ñèñòåìó îñóùåñòâëÿåòñÿ
ñî ñëó÷àéíîé ñêîðîñòüþ, ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé íåèçâåñòíî. Áîëåå òîãî, ñêî-
ðîñòè ïåðåìåùåíèÿ ðàçíûõ çàÿâîê ðàçëè÷íû è èìåþò ðàçíîå ðàñïðåäåëåíèå.
 ñèëó ýòîãî ïðåäïîëàãàåì, ÷òî çà àêò îáñëóæèâàíèÿ èëè ïåðåíàëàäêè êàæäàÿ
ïåðåìåùàþùàÿñÿ çàÿâêà ëèáî äîñòèãàåò âòîðîé ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ ñ èç-
âåñòíîé âåðîÿòíîñòüþ, ëèáî íå äîñòèãàåò åå. Âûõîäíîé ïîòîê çàÿâîê, îáñëó-
æèâàíèå êîòîðûõ çàêëþ÷àëîñü â ïåðåìåùåíèè èç ïåðâîé ñèñòåìû âî âòîðóþ,
è ÿâëÿåòñÿ âõîäíûì ïîòîêîì �3 âòîðîé ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, èç äâóõ
êîíôëèêòíûõ ïîòîêîâ, ïîñòóïàþùèõ âî âòîðóþ ñèñòåìó îáñëóæèâàíèÿ, îäèí
îáðàçóåòñÿ èç ïîòîêà ïîâòîðíûõ âûçîâîâ èç ïåðâîé ñèñòåìû. Òðåáîâàíèÿ ïî-
òîêà � j , j � �1 2 5, , , , ïîñòóïàþò â î÷åðåäü O j íåîãðàíè÷åííîãî îáúåìà.
Îáñëóæèâàíèå êîíôëèêòíûõ ïîòîêîâ â êàæäîé ñèñòåìå îñóùåñòâëÿåòñÿ â êëàñ-
ñå öèêëè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ c ôèêñèðîâàííûì ðèòìîì ïåðåêëþ÷åíèÿ. Äëÿ ðàçðåøå-
íèÿ êîíôëèêòíîñòè ïîòîêîâ ïîñëå êàæäîãî àêòà îáñëóæèâàíèÿ òðåáóåòñÿ àêò ïå-
ðåíàëàäêè. Çà ïåðèîä ïåðåíàëàäêè îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé íå ïðîèñõîäèò. Îáñëó-
æèâàþùåå óñòðîéñòâî â ïåðâîé ñèñòåìå èìååò ÷åòûðå ñîñòîÿíèÿ: � ( , )1 1 , � ( , )2 1 ,
� ( , )3 1 , � ( , )4 1 , äëèòåëüíîñòü Ts,1 ïðåáûâàíèÿ ïðèáîðà â ñîñòîÿíèè � ( , )s 1 íå ñëó÷àéíà.
 ñîñòîÿíèè � ( , )1 1 îáñëóæèâàþòñÿ òîëüêî òðåáîâàíèÿ ïîòîêà �1, â ñîñòîÿíèè � ( , )3 1 —
òðåáîâàíèÿ ïîòîêà �2 , à â ñîñòîÿíèÿõ � ( , )2 1 è � ( , )4 1 îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåíàëàäêà è
òðåáîâàíèÿ íå îáñëóæèâàþòñÿ. Ñìåíà ñîñòîÿíèé îñóùåñòâëÿåòñÿ â ïîðÿäêå
� �� � � � � �� � � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 Îáñëóæèâàþùåå óñòðîéñòâî
âòîðîé ñèñòåìû èìååò òàêæå ÷åòûðå ñîñòîÿíèÿ: � ( , )1 2 , � ( , )2 2 , � ( , )3 2 , � ( , )4 2 , äëè-
òåëüíîñòü Ts,2 ïðåáûâàíèÿ ïðèáîðà â ñîñòîÿíèè � ( , )s 2 òàêæå íå ñëó÷àéíà.  ñîñòîÿ-
íèè � ( , )1 2 îáñëóæèâàþòñÿ òîëüêî òðåáîâàíèÿ ïîòîêà �3 , â ñîñòîÿíèè � ( , )3 2 — òðå-
áîâàíèÿ ïîòîêà �4 , à â ñîñòîÿíèÿõ � ( , )2 2 è � ( , )4 2 îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåíàëàäêà è
òðåáîâàíèÿ íå îáñëóæèâàþòñÿ. Ñìåíà ñîñòîÿíèé îñóùåñòâëÿåòñÿ â ïîðÿäêå
� � � � � �� � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , )1 2 2 2 3 2 4 2 � ( , )1 2 �� Âåëè÷èíû T T1 1 4 2, ,, ,� ,
ïðåäïîëàãàþòñÿ ñîèçìåðèìûìè. Â äàëüíåéøåì óäîáíî äâà îáñëóæèâàþùèõ óñòðîé-
ñòâà ðàññìàòðèâàòü êàê îäíî íîâîå îáñëóæèâàþùåå óñòðîéñòâî.
Ïóñòü ñìåíà ñîñòîÿíèÿ íîâîãî îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà ïðîèñõîäèò
â ìîìåíòû, êîãäà ìåíÿåòñÿ ñîñòîÿíèå õîòÿ áû îäíîãî èç èñõîäíûõ ïðèáîðîâ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 101
Ïðè ýòîì êîíå÷íîå ÷èñëî n öèêëè÷åñêè ñìåíÿåìûõ ñîñòîÿíèé � � �( ) ( ) ( ), , ,1 2
�
n
è ôèêñèðîâàííûå âðåìåíà Tr , r n� �1 2, , , , ïðåáûâàíèÿ â ñîîòâåòñòâóþùèõ ñî-
ñòîÿíèÿõ � ( )r îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïî íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèÿì � ( ', )r 1 , � ( '', )r 2
â ìîìåíò âðåìåíè 0 è äëèòåëüíîñòÿì T T1 1 4 2, ,, ,� . Íàïðèìåð, ïóñòü
T T1 1 3 1 10, ,� � , T1 2 8, � , T3 2 12, � , T2 1, � T T T4 1 2 2 4 2 2, , ,� � � è â ìîìåíò âðåìåíè
0 âêëþ÷àþòñÿ ñîñòîÿíèÿ � ( , )1 1 , � ( , )1 2 . Òîãäà ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî n � 5, T1 8� ,
T T2 3 2� � , T4 10� , T5 2� . Íàïîìíèì, ÷òî íàðÿäó ñ òðàäèöèîííûìè ôóíêöèÿìè
ïî îáñëóæèâàíèþ êîíôëèêòíûõ ïîòîêîâ �1, �2 , �3 , �4 íîâîå îáñëóæèâàþùåå
óñòðîéñòâî òàêæå ñîâåðøàåò îáñëóæèâàíèå òðåáîâàíèé ïîòîêà �5 . Èòàê, ñîñòîÿ-
íèå � ( )r ìîæåò ïðèíàäëåæàòü îäíîìó èç äåâÿòè êëàññîâ � � �I II IX, , ,� . Ïðè
� �( )r I îáñëóæèâàþòñÿ òîëüêî òðåáîâàíèÿ èç î÷åðåäè O5 ; ïðè � �( )r II — èç
î÷åðåäåé O1 è O5 ; ïðè � �( )r III — èç î÷åðåäåé O2 è O5 ; ïðè � �( )r IV — èç
î÷åðåäåé O3 è O5 ; ïðè � �( )r V — èç î÷åðåäåé O4 è O5 ; ïðè � �( )r VI — èç
î÷åðåäåé O1, O3 è O5 ; ïðè � �( )r VII — èç î÷åðåäåé O2 , O3 è O5 ; ïðè
� �( )r VIII — èç î÷åðåäåé O1, O4 è O5 ; íàêîíåö, ïðè � �( )r IX îáñëóæèâàþòñÿ
òîëüêî òðåáîâàíèÿ èç î÷åðåäåé O2 , O4 è O5 . Ïðè ñîñòîÿíèè � ( )r îáñëóæèâàþùå-
ãî óñòðîéñòâà çà âðåìÿ Tr êàæäîå òðåáîâàíèå â î÷åðåäè O5 ñ âåðîÿòíîñòüþ pr çà-
âåðøàåò îáñëóæèâàíèå, ïîêèäàåò î÷åðåäü O5 è ïîñòóïàåò â ïîòîê �3 , à ñ âåðîÿò-
íîñòüþ 1� pr îñòàåòñÿ â î÷åðåäè äî ñëåäóþùåãî òàêòà. Òàê, â ðàññìîòðåííîì
âûøå ïðèìåðå � �I { }� ( )5 , � �II { }� ( )2 , � �V { }� ( )3 , � �VI { }� ( )1 ,
� �IX { }� ( )4 , � � � �III IV VII VIII� � � �
.
 ïåðâîé è âòîðîé ñèñòåìå îäíî òðåáîâàíèå îáñëóæèâàåòñÿ ñëó÷àéíîå âðåìÿ,
äëèòåëüíîñòè îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé çàâèñèìû è èìåþò ðàçíûå íåèçâåñòíûå çà-
êîíû ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîýòîìó äëÿ çàäàíèÿ ïðîöåññà îáñëóæèâàíèÿ òðåáîâàíèé íå-
âîçìîæíî îïðåäåëèòü çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äëèòåëüíîñòè îáñëóæèâàíèÿ ïðîèç-
âîëüíîãî òðåáîâàíèÿ, êàê ýòî ïðåäïîëàãàåòñÿ â êëàññè÷åñêîé òåîðèè ìàññîâîãî îá-
ñëóæèâàíèÿ [1]. Íà ïðàêòèêå èñïîëüçóåòñÿ ñïåöèàëüíàÿ èíòåãðàëüíàÿ
õàðàêòåðèñòèêà ïðîöåññà îáñëóæèâàíèÿ, íàáëþäàåìàÿ ïî âûõîäíûì ïîòîêàì ñèñ-
òåìû [4, 5]. Ïîòîêè íàñûùåíèÿ � j
íàñ, j � �1 2 5, , , , îïðåäåëÿþòñÿ êàê âèðòóàëüíûå
âûõîäíûå ïîòîêè ñèñòåìû ïðè íàèâûñøåé çàãðóæåííîñòè î÷åðåäåé è íàèáîëü-
øåì èñïîëüçîâàíèè ðåñóðñîâ îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà. Ââåäåì ïðè j �1ìíî-
æåñòâî j � � � �� � �II VI VIII , ïðè j � 2 — ìíîæåñòâî j � �� �III
� �� �VII IX, ïðè j � 3 — ìíîæåñòâî j � � � �� � �IV VI VII , à ïðè j � 4 — ìíî-
æåñòâî j � �� �V � �� �VIII IX. Ïóñòü ïîòîê íàñûùåíèÿ � j
íàñ ñîäåðæèò íåñëó-
÷àéíîå ÷èñëî � r j, � 1 òðåáîâàíèé ïðè � �( )r j è 0 òðåáîâàíèé ïðè � �( )r j
,
j �1 2 3 4, , , .
Âîçìîæíîé ôèçè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèåé ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ
òàíäåì èç äâóõ ïåðåêðåñòêîâ (ðèñ. 1), íà êîòîðûé ïîñòóïàþò òðàíñïîðòíûå ïîòî-
êè � �1 7� . Ïðè ýòîì ïîòîêè �6 , �7 ìàëîèíòåíñèâíû. Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü,
÷òî òðàíñïîðòíûé ïîòîê �6 ïðîïóñêàåòñÿ îäíîâðåìåííî ñ ïîòîêîì �3 âòîðîãî
ïåðåêðåñòêà è ñ ïîòîêîì �1 ïåðâîãî, à òðàíñïîðòíûé ïîòîê �7 ïðîïóñêàåòñÿ îä-
íîâðåìåííî ñ ïîòîêîì �4 âòîðîãî ïåðåêðåñòêà. Ïîòîê �5 — ñóììàðíûé ïîòîê
îáñëóæåííûõ òðåáîâàíèé ïîòîêà �1 è îáñëóæåííûõ òðåáîâàíèé ïîòîêà �2 , ïðî-
ðåæåííûõ ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ.
102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
Öåëü íàñòîÿùåé ðàáîòû ñîñòîèò â ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äëÿ
ýâîëþöèè îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêè òàíäåìà èç ñèñòåì îáñëóæèâàíèÿ — ñëó÷àé-
íûõ äëèí î÷åðåäåé ïî ïîòîêàì � �1 5� . Ýòî ïîçâîëèò â äàëüíåéøåì èçó÷èòü
ïðåäåëüíîå ïîâåäåíèå ÷èñëà òðåáîâàíèé â òàíäåìå è ðåøàòü ðàçëè÷íûå îïòèìè-
çàöèîííûå çàäà÷è.
ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÄËß ÒÀÍÄÅÌÀ ÈÇ Î×ÅÐÅÄÅÉ
Ñ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅÌ ÊÈÁÅÐÍÅÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÎÄÕÎÄÀ
Êèáåðíåòè÷åñêèé ïîäõîä ïîçâîëÿåò ðåøàòü âîïðîñû ýôôåêòèâíîãî ñïîñîáà çà-
äàíèÿ è èçó÷åíèÿ ñëó÷àéíûõ ýâîëþöèîííûõ ñèñòåì ñ óïðàâëåíèåì â óñëîâèÿõ
íåîïðåäåëåííîñòè ñ ó÷åòîì èõ êîíêðåòíîé ïðèðîäû è öåëåé ôóíêöèîíèðîâà-
íèÿ. Â ýòîì ïîäõîäå èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå èäåè: 1) ïðèíöèï äèñêðåòíîñòè
ôóíêöèîíèðîâàíèÿ óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ, êîòîðûé «íàâÿçûâà-
åò» ïðîáëåìó âûáîðà äèñêðåòíîé âðåìåííîé øêàëû ìîìåíòîâ íàáëþäåíèÿ çà
ñèñòåìîé; 2) ïðèíöèï íåëîêàëüíîñòè ïðè îïèñàíèè áëîêîâ óïðàâëÿþùåé ñèñ-
òåìû (ôóíêöèîíàëüíî-ñòàòèñòè÷åñêîå îïèñàíèå ñîñòîÿíèÿ áëîêîâ â âûáðàííûå
ìîìåíòû âðåìåíè, äîñòàòî÷íîå äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, íî íå
îáÿçàòåëüíî îïèñûâàþùåå ïîäðîáíî ñîñòîÿíèå áëîêà íà âñåì ïðîìåæóòêå
ìåæäó íàáëþäåíèÿìè); 3) ïðèíöèï ñîâìåñòíîãî ðàññìîòðåíèÿ ñâÿçåé ìåæäó
áëîêàìè óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ ïðè åå ôóíêöèîíèðîâàíèè âî
âðåìåíè â öåëÿõ ýôôåêòèâíîãî ïîñòðîåíèÿ è èçó÷åíèÿ ìîäåëè.
Äëÿ ëþáîé óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû îáñëóæèâàíèÿ íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü
ñõåìó, èíôîðìàöèþ, êîîðäèíàòû è ôóíêöèþ. Ñõåìà óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû
âêëþ÷àåò ñëåäóþùèå áëîêè: âíåøíþþ ñðåäó, âõîäíûå è âûõîäíûå ïîëþñû,
âíåøíþþ è âíóòðåííþþ ïàìÿòü, óñòðîéñòâî ïî ïåðåðàáîòêå èíôîðìàöèè âíåøíåé
ïàìÿòè, óñòðîéñòâî ïî ïåðåðàáîòêå èíôîðìàöèè âíóòðåííåé ïàìÿòè. Èíôîðìàöèÿ
êàæäîãî áëîêà ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé áëîêà. Ñ êàæäûì
áëîêîì ñâÿçûâàåòñÿ îäíà êîîðäèíàòà, êîòîðàÿ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè
ïðèíèìàåò ÷èñëîâîå çíà÷åíèå ñîñòîÿíèÿ áëîêà. Ñîâîêóïíîñòü êîîðäèíàò âñåõ
áëîêîâ — êîîðäèíàòû äàííîé óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû. Ôóíêöèÿ ñèñòåìû óêàçûâàåò
òî äåéñòâèå, êîòîðîå ìîæåò ñîâåðøèòü óïðàâëÿþùàÿ ñèñòåìà â äàííûé ìîìåíò
âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå ê ñëåäóþùåìó äèñêðåòíîìó ìîìåíòó âðåìåíè.
 êà÷åñòâå óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû ðàññìàòðèâàåòñÿ òàíäåì èç ñèñòåì îáñëó-
æèâàíèÿ. Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåíà îáùàÿ ñõåìà êîíôëèêòíûõ ñîîáùàþùèõñÿ ñèñòåì
ñ ïîâòîðíûìè âûçîâàìè. Ñõåìà óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû ñîäåðæèò ñëåäóþùèå
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 103
Ðèñ. 1. Òàíäåì èç ïåðåêðåñòêîâ
�1
�2
�5 �3
�6
�7
�4
áëîêè: âíåøíþþ ñðåäó; âõîäíûå ïîëþñû � �1 5� ïåðâîãî òèïà è âõîäíûå ïîëþ-
ñû � �
1 5
íàñ íàñ� âòîðîãî òèïà; âíåøíþþ ïàìÿòü O O1 5� ; óñòðîéñòâà � �1 5� ïî
ïåðåðàáîòêå èíôîðìàöèè âíåøíåé ïàìÿòè; âíóòðåííþþ ïàìÿòü (îáñëóæèâàþùåå
óñòðîéñòâî); óñòðîéñòâî ïî ïåðåðàáîòêå èíôîðìàöèè âî âíóòðåííåé ïàìÿòè
(ãðàô ñìåíû ñîñòîÿíèé îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà); âûõîäíûå ïîëþñû
� �
1 5
âûõ âûõ� .
Âñå ðàññìàòðèâàåìûå â ðàáîòå ñëó÷àéíûå îáúåêòû îïðåäåëÿþòñÿ èëè çàäà-
þòñÿ êîíñòðóêòèâíî íà íåêîòîðîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå ( , , )� F P . Çäåñü
� — ïðîñòðàíñòâî îïèñàíèé � ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, F — �-àëãåáðà ñîáûòèé
A � �, P( )� — âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà F.  êà÷åñòâå äèñêðåòíîé âðåìåííîé øêà-
ëû íàáëþäåíèÿ çà ñèñòåìîé âûáåðåì ìîìåíòû �0 0� , � �1 2, , � ñìåíû ñîñòîÿíèÿ
îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà. Èíôîðìàöèÿ âíåøíåé ñðåäû ñîñòàâëÿåò ìíîæåñ-
òâî E e e e d� { }( ) ( ) ( ), , ,1 2
� ñîñòîÿíèé ñðåäû. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà i E çàäàåò
êîîðäèíàòó, îïèñûâàþùóþ ñîñòîÿíèå ñëó÷àéíîé ñðåäû íà ïðîìåæóòêå ( , ]� �i i�1 .
Èíôîðìàöèÿ î ñîñòîÿíèè áëîêà O j êîäèðóåòñÿ öåëûì íåîòðèöàòåëüíûì ÷èñëîì,
è êîîðäèíàòà
j i, çàäàåò ÷èñëî òðåáîâàíèé â î÷åðåäè O j â ìîìåíò � i . Èíôîðìà-
öèÿ îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì � � �� { ( ) ( ), ,1 2
�
� , ( )� n } âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà. Îáîçíà÷èì � �i
êîîðäèíàòó, îïèñûâàþùóþ ñîñòîÿíèå îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà â ìîìåíò � i .
Êîîðäèíàòà � j i, çàäàåò ÷èñëî òðåáîâàíèé ïîòîêà � j , ïîñòóïèâøèõ çà ïðîìåæó-
òîê âðåìåíè ( , ]� �i i�1 , � j i, — ÷èñëî òðåáîâàíèé ïîòîêà íàñûùåíèÿ � j
íàñ çà
ïðîìåæóòîê ( , ]� �i i�1 , � j i, — ÷èñëî òðåáîâàíèé âûõîäíîãî ïîòîêà � j
âûõ çà ïðîìå-
æóòîê ( , ]� �i i�1 . Ïóñòü �' ,5 i îáîçíà÷àåò ÷èñëî ïîâòîðíûõ òðåáîâàíèé èç î÷åðåäè O2 ,
ïîñòóïèâøèõ ïîñëå îáñëóæèâàíèÿ â ïîòîê �5 . Ïóñòü r r� � �1 1äëÿ r n� , n� �1 1.
Íåëîêàëüíîå îïèñàíèå âõîäíûõ ïîëþñîâ �1, �2 , �4 èìååò âèä ìàðêèðî-
âàííîãî òî÷å÷íîãî ïðîöåññà { }( , , , , ); , ,, , ,� � � �
i i i i i i1 2 4 0 1� � ñ ìåòêîé
i i i� ( , )� òðåáîâàíèé, ïîñòóïèâøèõ çà ïðîìåæóòîê ( , ]� �i i�1 , è ñîñòîèò â çà-
104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
Ðèñ. 2. Ñõåìà óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû
Âíåøíÿÿ
ñðåäà
Îáñëóæèâàþùåå
óñòðîéñòâî
äàíèè ñâîéñòâ óñëîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé äèñêðåòíîé êîìïîíåíòû {( , ,, ,� �1 2i i
�
4 0 1, , ); , ,i i i � � }. Îïðåäåëèì âåëè÷èíû �( ; , , )x j k t , t � 0, j �1 2 4, , , k d� �1 2, , , ,
ðàçëîæåíèÿìè
z x j k t t z b j kx
x
j
k b
b
� � �( ; , , ) exp ( ; , )( )
�
�
�
�
� �� �
�
�
�
�
�
�0 1
1�
�
�
�
�
�
!
"
�
#�
.
Çäåñü �( ; , , )x j k t — âåðîÿòíîñòü ïîñòóïëåíèÿ ðîâíî x � 0, 1, … òðåáîâàíèé ïî-
òîêà � j ïðè ñîñòîÿíèè ñðåäû e k( ) çà âðåìÿ t. Òîãäà ïðè b � �0 1, , èìååì
P( : | :,{ } {� � �j i ib� �� � ( ) ( ), ) ( ; , , )r
i
k
re b j k T �� � �} 1 .
Ïîòîêè íàñûùåíèÿ �
1
íàñ, �
2
íàñ, �
3
íàñ, �
4
íàñ îïèñûâàþòñÿ íåëîêàëüíî ìàð-
êèðîâàííûì òî÷å÷íûì ïðîöåññîì { }( , , , , , ); , ,, , , ,� � � � �
i i i i i i i1 2 3 4 0 1� � .
Ñâîéñòâà óñëîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé âûäåëåííîé äèñêðåòíîé êîìïîíåíòû
{ }( , , , , ); , ,, , , ,� � � �
1 2 3 4 0 1i i i i i i � � ïðè � �( )r j�
1 çàäàþòñÿ ðàâåíñòâîì
P( : | : ),
( ){ } { }� � �j i i
r� � �0 1� � ,
à ïðè � �( )r j� 1 — ðàâåíñòâîì
P( : ,{� � j i � � r j i
r
� � �1 1,
( )| : )} { }� � � .
Íåëîêàëüíîå îïèñàíèå âõîäíîãî ïîëþñà �5 çàäàäèì â âèäå ìàðêèðîâàí-
íîãî òî÷å÷íîãî ïðîöåññà { }( , , ); , ,,� �
i i i i$ $ �5 0 1 � ñ ìåòêîé $ �
i
� ( , , ), , ,
� �2 2 2i i i . Ïóñòü ïðè 0 1� %u è 0 % %k x ïîëîæåíî �( ; , )k x u �
� � �C u ux
k k x k( )1 . Òîãäà ïðè 0 % % �b y x umin ,{ }
P( : | : , , ) ( ; min ,, , , ,{ } { } {� � �
� � �$ � � � � �5 2 2 2i i i ib x u y b y x u� }, )� .
Âûõîäíîé ïîëþñ �
5
âûõ çàäàåòñÿ íåëîêàëüíî ìàðêèðîâàííûì òî÷å÷íûì
ïðîöåññîì { }( , , ); , ,,� �
i i i i5 0 1$$ � � ñ ìåòêîé $$ �
i i i( , ),� 5 è óñëîâíûìè âåðîÿò-
íîñòÿìè
P( : | : , ) ( ; , ),
( )
,{ } { }� � �
�5 5 1i i
r
i rb x b x p� � � � �� � ïðè 0 % %b x.
Äëÿ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë i, x1, x2 , x3 , x4 , x5 , b1, b2 , b3 , b4 , y1, y2 ,
y3 , y4 , y5 , r n� �1 2, , , , k d� �1 2, , , , ââåäåì ñîáûòèÿ C k ei i
k( ) : ( )� �{ }� ,
A r k x x x x x ei i
r
i
k( , , , , , , ) : ,( ) ( )
1 2 3 4 5 � � � &{ }� � �
& � � � � �{ }�
: , , , ,, , , , ,1 1 2 2 3 3 4 4 5 5i i i i ix x x x x ,
B b b b b y y y y y b bi i i( , , , , , , , , ) : ,, ,1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 1 2 2� � �{ }� � � &
& � � � � � �{� � � � � � �: , , , ' , ,, , , , , ,4 4 1 1 2 2 5 3 3 3 4i i i i i ib y y b y � �4 5 5, ,i y� }.
Ïî ïîñòàíîâêå çàäà÷è äëÿ óñëîâíûõ âåðîÿòíîñòåé èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
P C k B b b b b y y y y yi i i� � &
�
�
�
� 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 5( ) ( , , , , , , , , A r k x x x x x
i
� � � � � � � �
�
( , , , , , , ), , , , ,1 2 3 4 5
0�
�
�
�
�
��
= b e bi i
r
i
k
i
i iP P( : | : , ) ( :,
( ) ( )
,{ } { } { }� � � � �1 1 2 2� � � �� � | : , )
( ) ( )
{ }� � �i
r
i
ki ie� � '
' � � � 'P( : | : , ),
( ) ( )
{ } { }� � � 4 4i i
r
i
k
b ei i� �
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 105
' � � � 'P( : | : , ),
( )
, ,{ } { }� � �
5 5 5 5i i
r
i iy x� �
' � � � �P P( : | : ) ( : | :,
( )
,
(
{ } { } { } {� � � � � �1 1 2 2i i
r
i iy yi� � � � ri )
)} '
' � � � �P P( : | : ) ( : | :,
( )
,
(
{ } { } { } {� � � � � �3 3 4 4i i
r
i iy yi� � � � ri )
)} '
' $ � � � � 'P( : | : , , ), , , , ,{ } { }� � �
� �5 3 2 2 2 2 2 2i i i i ib x b y
' � ��
�P( : | : )
( ) ( )
{ } { }� � i
k
i
k
e ei i
1
1 .
Êðîìå ñâîéñòâ óñëîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé, ñîâìåñòíîå ðàññìîòðåíèå ïîáëî÷-
íîãî ñòðîåíèÿ èçó÷àåìîé óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû è åå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ âî âðå-
ìåíè ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ôóíêöèîíàëüíûå ñâÿçè ìåæäó áëîêàìè. Îïðåäåëèì
îòîáðàæåíèå u( ) :� �� � ðàâåíñòâîì u r r( )( ) ( )� �� �1 , òîãäà
� �
�j i j i j i j i, , , ,min ,� �{ },
� �j i j i j i j i, , , ,max ,� � � �1 0{ }, j �1 2 3 4, , , ;
� �i iu� �1 ( ), � �3 5, ,i i� , � � �5 1 5, , ,i i i� � $ ,
� � �5 1 5 1 5 5, , , , ,i i i i i� � � � $ � .
Ôóíêöèÿ èçó÷àåìîé óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû çàêëþ÷àåòñÿ â îáñëóæèâàíèè
òðåáîâàíèé â òàíäåìå ñèñòåì ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ â êëàññå öèêëè÷åñêèõ àë-
ãîðèòìîâ ñ ôèêñèðîâàííûì ðèòìîì.
ÀÍÀËÈÇ ÌÎÄÅËÈ
Äëÿ àíàëèçà ïîñòðîåííîé ìîäåëè âûáèðàåòñÿ õàðàêòåðèñòèêà íåêîòîðûõ áëî-
êîâ ñèñòåìû.  êà÷åñòâå îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû âûáèðàþòñÿ ñîñòî-
ÿíèÿ îáñëóæèâàþùåãî óñòðîéñòâà (âíóòðåííÿÿ ïàìÿòü), âíåøíåé ñðåäû è î÷å-
ðåäåé (âíåøíÿÿ ïàìÿòü) ïî ïîòîêàì.
Òåîðåìà 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{ }( , , , , , , ); , ,, , , , ,�i i i i i i i i
1 2 3 4 5 0 1� � (1)
ïðè çàäàííîì ðàñïðåäåëåíèè âåêòîðà ( , , , , , , ), , , , ,�0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0
ÿâëÿ-
åòñÿ îäíîðîäíîé ìàðêîâñêîé öåïüþ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü P A r k x x x x x
i
� � � � � � � �
�
( , , , , , , ), , , , ,1 2 3 4 5
0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� . Âîñïîëü-
çîâàâøèñü ôîðìóëîé ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, íàõîäèì
P A r l w w w w w A r k x x xi i� �1 1 2 3 4 5 1 2 31( , , , , , , ) ( , , , ,, , ,� � � � � � � �
�
, , ), ,x x
i
4 5
0�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� P B b b b b y y y y y A r k x xi ( , , , , , , , , ) ( , , ,, ,1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2� � � � �, , , ), , ,x x x
i
3 4 5
0
� � �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
'� �
' � � &
�
�
�
P A r l w w A r k x xi i
i
1 1 5 1 5
0
1( , , , , ) ( , , , , ), ,� � � � � � �
��
�
�
&
�
�
�
�
�B b b b b y yi ( , , , , , , )1 2 3 4 1 5� P( : | : )
( ) ( )
{ } { }� � i
k
i
k
e ei i
� � � '�� 1
1
106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
' � � � 'P( : | : , ),
( ) ( )
{ } { }� � � 1 1i i
r
i
k
b ei i� �
' � � � 'P( : | : , ),
( ) ( )
{ } { }� � � 2 2i i
r
i
k
b ei i� �
' � � � 'P( : | : , ),
( ) ( )
{ } { }� � � 4 4i i
r
i
k
b ei i� �
' � � � �P P( : | : ) ( : | :,
( )
,
(
{ } { } { } {� � � � � �1 1 2 2i i
r
i iy yi� � � � ri )
)} '
' � � � �P P( : | : ) ( : | :,
( )
,
(
{ } { } { } {� � � � � �3 3 4 4i i
r
i iy yi� � � � ri )
)} '
' � � � � 'P( : ' | : , , ), , , , ,{ } { }� � �
� �5 3 2 2 2 2 2 2i i i i ib x b y
' � � � 'P( : | : , ),
( )
, ,{ } { }� � �
5 5 5 5i i
r
i iy x� �
' � � � �P( : max , ,,{ { }� w x b y wi1 1 1 1 20
� � � � � � 'max , , max , ), ,{ } { }0 02 2 2 3 3 3 3x b y w x b yi i
' � � � � � �P( : max , , min ,, , ,{ { } { }� w x b y w x x b yi i i4 4 4 4 5 5 1 1 10 � �b y3 5 }).
Çäåñü ñóììèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå b1, b2 , b3 ,
b4 , y1, y2 , y3 , y4 , y5 . Âû÷èñëåíèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè
P( ( , , , , , , )| ( , , , ,, ,A r l w w w w w A r k x x xi i i i i i i� �1 1 2 3 4 5 1 21 3 4 5, , ,, , ))i i ix x
ïðèâîäèò ê òîé æå ïðàâîé ÷àñòè. Ñ ó÷åòîì âèäà óñëîâíûõ ðàñïðåäåëåíèé
î÷åâèäíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ìàðêîâñêîé öåïüþ.
Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
Îáîçíà÷èì Q r k x x x x xi ( , ; , , , , )1 2 3 4 5 âåðîÿòíîñòü P( ( , , , ,A r k x xi 1 2 x x x3 4 5, , )).
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1 ôàêòè÷åñêè óñòàíîâëåíî ðàâåíñòâî
Q r l w w w w wi� � �1 1 2 3 4 51( , ; , , , , )
� '�
�
�� a Q r k x x x x x b k Tk l i r
k
d
, ( , ; , , , , ) ( ; , , )1 2 3 4 5 1 1
1
1�
' �� �� � � �( ; , , ) ( ; , , ) ( ; min , , )b k T b k T b y x br r2 1 4 1 3 2 2 22 4 { } �( ; , ),y x pr5 5 1� (2)
ãäå âíóòðåííåå ñóììèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ðå-
øåíèÿ x1, x2 , x3 , x4 , x5 , b1, b2 , b3 , b4 , y5 ñèñòåìû
w x b y1 1 1 10� � �max ,{ }, w x b y2 2 2 20� � �max ,{ }, w x b y3 3 3 30� � �max ,{ },
w x b yi4 4 4 40� � �max , ,{ }, w x x b y b yi i5 5 1 1 1 3 5� � � � �, ,min ,{ } ,
0 3 2 2 2% % �b y x bmin ,{ },
à y j ïðèíèìàåò çíà÷åíèå 0, åñëè â ñîñòîÿíèè � ( )r�1 òðåáîâàíèÿ èç î÷åðåäè
O j íå îáñëóæèâàþòñÿ, è çíà÷åíèå � r j�1, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, j �1 2 3 4, , , .
 ÷àñòíîñòè, ïðè � �( )r� 1 I èìååì
Q r l w w w w wi� � �1 1 2 3 4 51( , ; , , , , )
� '
���
��� Q r k x x x x x ai k l
x
w
x
w
x
w
x
( , ; , , , , ) ,1 2 3 4 5
000 4
4
3
3
2
2
1
1
01 ��
��
w
k
d
' � � �� � �� � �( ; , , ) ( ; , , ) ( ; , ,w x k T w x k T w x k Tr r r1 1 1 2 2 1 4 41 2 4 1 )'
' � � � ��( ; , )w x w w x pr3 3 5 3 3 1 ,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 107
à ïðè � �( )r� 1 IX èìååì
Q r l w w w ai k l
x bx
w r
�
� ��
� � '
�
�1 1 3 5
00
1 0 0
4 4
1 4
3
3
( , ; , , , , ) ,
,�
����
� ���
�
x bx
w
k
d r
2 2
1 2
1
1
001
� ,
' � '� � �� � �( ; , , ) ( ; , , ) ( ; , , )w x k T b k T b k Tr r r1 1 1 2 1 4 11 2 4
' � � �
�
� � �
�
b
w w x x b
b x b w x w w
3
3 5 3 2 2
0
3 2 2 3 3 5
min ,
( ; , ) ( ;
{ }
� � � 3 3 3 1� � '�x b pr, )
' � � �Q r k x x x x w w x bi ( , ; , , , , )1 2 3 4 3 5 3 3 ,
Q r l w w w w ai k l
x bx
w r
�
� ��
� � '
�
�1 1 2 3 5
00
1 0
4 4
1 4
3
( , ; , , , , ) ,
,�3
2
1 2 2
1
1
001
����
�
�
��
�
x
w
x
w
k
d r� ,
' � � �� � �� � �( ; , , ) ( ; , , ) ( ; ,,w x k T w x k T b kr r r1 1 1 1 2 2 2 1 41 2 4� , )Tr� '1
' � � � �� �
�
� � �( ; , ) ( ; , ),
min
b w x w w x b pr r
b
w
3 1 2 3 3 5 3 3 3 1
03
3
�
{ � � �
� '
w x r5 3 1 2, ,� }
' � � �Q r k x x x x w w x bi ( , ; , , , , )1 2 3 4 3 5 3 3 , w2 1� ,
Q r l w w w w ai k l
x
w
x
w r
�
�
�
�
� � '
�
�1 1 3 4 5
00
1 0
4
1 4 4
3
( , ; , , , , ) ,
,�3
2 2
1 2
1
1
001
����
� ���
�
x bx
w
k
d r� ,
' � � �� � �� � �( ; , , ) ( ; , , ) ( ; ,,w x k T b k T w x kr r r1 1 1 2 1 1 4 4 41 2 4� , )Tr� '1
' � � � � � �
�
�
� � �( ; , ) ( ; , )
min
b x b w x w w x b pr
b
w
3 2 2 3 3 5 3 3 3 1
03
3{ w x x b5 3 2 2� �
� '
, }
' � � �Q r k x x x x w w x bi ( , ; , , , , )1 2 3 4 3 5 3 3 , w4 1� ,
Q r l w w w w w ai k l
x
w
x
r
�
�
�
�
� � '
�
�1 1 2 3 4 5
00
1
4
1 4 4
3
( , ; , , , , ) ,
,�w
x
w
x
w
k
d r 3
2
1 2 2
1
1
001
����
�
�
��
�� ,
' � � � '� � �� �( ; , , ) ( ; , , ),w x k T w x k Tr r r1 1 1 1 2 2 2 11 2�
' � � '� ��( ; , , ),� r rw x k T1 4 4 4 14
' � � � �� �
�
� � �( ; , ) ( ; , ),
min
b w x w w x b pr r
b
w
3 1 2 3 3 5 3 3 3 1
03
3
�
{ � � �
� '
w x r5 3 1 2, ,� }
' � � �Q r k x x x x w w x bi ( , ; , , , , )1 2 3 4 3 5 3 3 , w w2 4 1, � .
Îáîçíà÷èì w w w w w w� ( , , , , )1 2 3 4 5 ïðîèçâîëüíûé ýëåìåíò ïÿòèìåðíîé öå-
ëî÷èñëåííîé íåîòðèöàòåëüíîé ðåøåòêè X � ' '{ } { }0 1 0 1, , , ,� � � è ââåäåì ñëå-
äóþùèå ìíîæåñòâà ñîñòîÿíèé öåïè (1):
$ � � �S e w e E w X w wr k r k
r1
1
1 5 10{( , , ) : , , , ,( ) ( ) ( ) ( )
,� � � � },
S e w e E w Xk k
1
1�
{ }( , , ) : , ,( ) ( )� � � ,
S e w e E w X wr k r k
2
1
1 0� �{ }( , , ): , , ,( ) ( ) ( ) ( )� � � ,
S e w e E w X w wr k r k
r3
1
1 5 10� � �{ }( , , ) : , , , ,( ) ( ) ( ) ( )
,� � � � .
108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6
Âèä ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé (2) ïîçâîëÿåò ïðîâåñòè êëàññèôèêàöèþ ñî-
ñòîÿíèé öåïè Ìàðêîâà (1) ïî àëãåáðàè÷åñêèì è àñèìïòîòè÷åñêèì ñâîéñòâàì ïå-
ðåõîäíûõ âåðîÿòíîñòåé.  äàëüíåéøåì ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñîñòîÿíèÿ ñëó÷àéíîé
ñðåäû îáðàçóåò åäèíñòâåííûé àïåðèîäè÷åñêèé íåðàçëîæèìûé êëàññ.
Òåîðåìà 2. Ìíîæåñòâî �' 'E X ñîñòîÿíèé ìàðêîâñêîé öåïè (1) åñòü îáúå-
äèíåíèå íåçàìêíóòîãî ìíîæåñòâà $S1 íåñóùåñòâåííûõ ñîñòîÿíèé è çàìêíóòîãî
ìíîæåñòâà S S S1 2 3� � ñóùåñòâåííûõ ïåðèîäè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ñ ïåðèîäîì n.
Îáîçíà÷èì � � �j
k
j
k
b
b b j k( ) ( ) ( ; , )�
�
�
�
1
ñðåäíåå ÷èñëî òðåáîâàíèé ïîòîêà � j
ïðè ñîñòîÿíèè ñðåäû e k( ) â åäèíèöó âðåìåíè, Ak — ñòàöèîíàðíóþ âåðîÿòíîñòü
ñîñòîÿíèÿ ñðåäû e k( ) , k d� �1 2, , , , T T T Tn� � � �1 2 � — äëèòåëüíîñòü ïîëíîãî
öèêëà ðàáîòû ïðèáîðà è ïîëîæèì � �j r j
r
j
�
� ,
�
. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå
óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 3. Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìàðêîâñêîé
öåïè (1) íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå äëÿ j �1 2 4, , íåðàâåíñòâ T Ak j
k
k
d
j�( )
�
� � %
1
0� .
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 ïðîâîäèòñÿ èòåðàòèâíî-ìàæîðàíòíûì ìåòîäîì
[4–9].
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ã í å ä å í ê î Á . Â . , Ê î â à ë å í ê î È . Í . Ââåäåíèå â òåîðèþ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. —
4-å èçä., èñïð. — Ì.: ËÊÈ, 2007. — 400 ñ.
2. Á î ð î â ê î â À . À . Àñèìïòîòè÷åñêèå ìåòîäû â òåîðèè ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. — Ì.:
Íàóêà, 1980. — 384 ñ.
3. Á î ÷ à ð î â Ï . Ï . , Ï å ÷ è í ê è í À . Â . Òåîðèÿ ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ. — Ì.: ÐÓÄÍ,
1995. — 529 ñ.
4. Ô å ä î ò ê è í Ì . À . Ïðîöåññû îáñëóæèâàíèÿ è óïðàâëÿþùèå ñèñòåìû // Ìàòåìàòè÷åñêèå
âîïðîñû êèáåðíåòèêè. — Ì.: Íàóêà, 1996. — Ñ. 51–70.
5. Ô å ä î ò ê è í Ì . À . Íåëîêàëüíûé ñïîñîá çàäàíèÿ óïðàâëÿåìûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ // Òàì
æå. — Ì.: Íàóêà, 1998. — Ñ. 333–344.
6. Ç î ð è í À .  . , Ô å ä î ò ê è í Ì . À . Îïòèìèçàöèÿ óïðàâëåíèÿ äâàæäû ñòîõàñòè÷åñêèìè
íåîðäèíàðíûìè ïîòîêàìè â ñèñòåìàõ ñ ðàçäåëåíèåì âðåìåíè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà.
— 2005. — ¹ 7. — Ñ. 102–111.
7. Ï ð î é ä à ê î â à Å . Â . , Ô å ä î ò ê è í Ì . À . Óïðàâëåíèå âûõîäíûìè ïîòîêàìè â ñèñòåìå
ñ öèêëè÷åñêèì îáñëóæèâàíèåì è ïåðåíàëàäêàìè // Òàì æå. — 2008. — Âûï. 6. — Ñ. 96–106.
8. Ô å ä î ò ê è í Ì . À . , Ô å ä î ò ê è í À . Ì . Àíàëèç è îïòèìèçàöèÿ âûõîäíûõ ïðîöåññîâ ïðè
öèêëè÷åñêîì óïðàâëåíèè êîíôëèêòíûìè òðàíñïîðòíûìè ïîòîêàìè Ãíåäåíêî–Êîâàëåíêî //
Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 2009. — Âûï. 12. — Ñ. 92–108.
9. Z o r i n A . V . Stability of a tandem of queueing systems with Bernoulli noninstantaneous transfer
of customers // Theory of Probab. and Math. Statistat. — 2012. — P. 173–188.
10. Ë ÿ ï ó í î â À . À . , ß á ë î í ñ ê è é Ñ .  . Òåîðåòè÷åñêèå ïðîáëåìû êèáåðíåòèêè // Ïðîáëåìû
êèáåðíåòèêè. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963. — Ñ. 5–22.
Ïîñòóïèëà 15.11.2012
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2013, ¹ 6 109
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-86295 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0023-1274 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T20:01:53Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зорин, А.В. 2015-09-12T17:56:05Z 2015-09-12T17:56:05Z 2013 Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде / А.В. Зорин // Кибернетика и системный анализ. — 2013. — Т. 49, № 6. — С. 100-109. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0023-1274 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86295 519.21 Побудовано математичну модель сполучених систем масового обслуговування за допомогою кібернетичного підходу. Конфліктні вхідні потоки першої системи та один із вхідних потоків другої системи формуються в синхронному марковському випадковому середовищі з кінцевою кількістю станів. Інший вхідний потік у другу систему утворений повторними вимогами, що поступають з першої системи. Переміщення вимоги з першої у другу систему вимагає випадкового часу. Обслуговування здійснюється в класі циклічних алгоритмів з фіксованим ритмом. With the use of cybernetic approach, a mathematical model is constructed for communicating queuing systems. Conflicting input flows of the first queuing system and one of the input flows of the second queuing system are formed in a synchronous Markov random environment with a finite number of states. The other input flow of the second queuing system consists of retrial customers arriving from the first queuing system. The transition of a customer from the first queuing system to the second queuing system takes a random amount of time. Service is performed by a cyclic algorithm with fixed durations. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 12-01-90409. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде Стохастична модель сполучених систем масового обслуговування з повторними вимогами і циклічним керуванням у випадковому середовищі Stochastic model for communicating queuing systems with retrial customers and cyclic control in random environment Article published earlier |
| spellingShingle | Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде Зорин, А.В. Системный анализ |
| title | Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде |
| title_alt | Стохастична модель сполучених систем масового обслуговування з повторними вимогами і циклічним керуванням у випадковому середовищі Stochastic model for communicating queuing systems with retrial customers and cyclic control in random environment |
| title_full | Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде |
| title_fullStr | Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде |
| title_full_unstemmed | Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде |
| title_short | Стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде |
| title_sort | стохастическая модель сообщающихся систем массового обслуживания с повторными вызовами и циклическим управлением в случайной среде |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/86295 |
| work_keys_str_mv | AT zorinav stohastičeskaâmodelʹsoobŝaûŝihsâsistemmassovogoobsluživaniâspovtornymivyzovamiicikličeskimupravleniemvslučainoisrede AT zorinav stohastičnamodelʹspolučenihsistemmasovogoobslugovuvannâzpovtornimivimogamiíciklíčnimkeruvannâmuvipadkovomuseredoviŝí AT zorinav stochasticmodelforcommunicatingqueuingsystemswithretrialcustomersandcycliccontrolinrandomenvironment |