Обобщенный анализ матричных представлений ассоциативных гиперкомплексных числовых систем, используемых в задачах энергетики
С наиболее общих позиций рассмотрены вопросы представления комплексных чисел, кватернионов, квадриплексных (бикомплексных) чисел и бикватернионов комплексными матрицами второго порядка. Для построения матричных базисов рассматриваемых представлений из множества указанных матриц выделено подмножество...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87112 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Обобщенный анализ матричных представлений ассоциативных гиперкомплексных числовых систем, используемых в задачах энергетики / С.И. Клипков // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2014. — Т. 16, № 2. — С. 28-41. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859818478844772352 |
|---|---|
| author | Клипков, С.И. |
| author_facet | Клипков, С.И. |
| citation_txt | Обобщенный анализ матричных представлений ассоциативных гиперкомплексных числовых систем, используемых в задачах энергетики / С.И. Клипков // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2014. — Т. 16, № 2. — С. 28-41. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| description | С наиболее общих позиций рассмотрены вопросы представления комплексных чисел, кватернионов, квадриплексных (бикомплексных) чисел и бикватернионов комплексными матрицами второго порядка. Для построения матричных базисов рассматриваемых представлений из множества указанных матриц выделено подмножество элементов, квадрат которых равен отрицательной матричной единице. Показано, что внутренняя структура вырожденных мнимых матричных единиц позволяет естественным образом конструировать числовые системы, не прибегая к аксиоматическому определению алгебраической операции умножения. Сформулирован ряд утверждений, позволяющих упростить решение затронутых вопросов.
With the most common positions, it is considered the issues of representation of complex numbers, quaternions, kvadroplex (bicomplex) numbers and biquaternions complex matrices of second order. To build a matrix bases of the considered representations from the set of these matrices allocated a subset of the elements, the square of which is equal to the negative of the matrix unit. It is shown that the internal structure of the degenerate imaginary matrix units allows a natural way to construct the numerical system, without resorting to the axiomatic definition of the algebraic operation of multiplication. It is formulated a series of assertions to ease the solution of the issues being raised in the article questions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:23:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
28
004.942; 512.552
. .
- « »
. . , 27, 01032 ,
,
-
, , ( )
. -
,
. -
,
, -
. , -
.
: , , -
, , , .
-
, ,
,
2 1i , (1)
i — [1–5].
(1)
, « » « -
» .
-
, , ,
, -
.
© . .
,
ISSN 1560-9189 , , 2014, . 16, 2 29
,
,
.
2 2
I ,
2 1 0
0 1
x p
q y
. (2)
(2) -
(1).
. (1)
i , -
[1], « ».
(2), « » ,
.
, -
, ,
.
(2) -
[3]:
2 = 1x pq , (2, )
( ) 0p x y , (2, )
( ) 0q x y , (2, )
2 = 1y pq , (2, )
-
2 2 , .
0p 0q , (2, ), (2, )
0x y . x y , (2, ), (2, ) -
1x pq , 1y pq , -
, :
1
1
pq p
q pq
. (3)
. .
30
0p , 0q 0p ,
0q .
0p , 0q x y -
: x y r . p , q (2, ), (2, )
2 2 0r rx , r : 0r
2r x . 0r
y x , (3), 2r x — -
y x , (3) , -
(2):
0
0
i
i
. (4)
, 2 2 , -
, .
, , , -
, - ,
.
.
, i1 ,
1 0
0 1
1 —
.
, . -
. , -
: det 1, tr 2i , 1,2 i . ,
i , -
, . , ,
. -
[6], ,
, , -
.
: det 1, tr 0 , 1,2 i .
1.
a b
c a
A
tr 0A , .
. det det
det det
a b
c a
A AA
A A
, ,
,
ISSN 1560-9189 , , 2014, . 16, 2 31
1
1
uv u
v uv
A ,
det
bu
A
,
det
cv
A
. 1 -
.
,
det
A
A
-
[4].
(3) ,
. -
p , q -
, :
1pq . (5)
.
2.
, .
. ,
: — 1
1
1
pq p
q pq
I —
2
1
1
xy x
y xy
I , 1 2 2 1( )I I I I -
, , -
- 1 2I I 2 1I I :
qx py , (6, )
2 1 2 1 = 0p xy x pq , (6, )
2 1 2 1 0q xy y pq , (6, )
qx py . (6, )
(6, ) (6, ) : -
0p 0x , y q , 0q 0y , x p .
, , (6, ) (6, ) -
, , -
(6, ) (6, ) (6, ). -
, p ,
q x , y . x
(6, ) pyx
q
(6, ),
y q , x p . -
. .
32
p , q -
(6) x p , y q . 2 .
, , -
(2), ,
, .
,
[7], -
.
-
.
.
, 1 ,
0
0
a bi
a bi a b
a bi
1 , a , b —
, a — , -
.
. (3),
a bi :
1
1
a b pq bp
a bi a b
bq a b pq
1 . (7)
p , q (7) .
, L 1 2 -
, [3]:
( ) ( ) ( )L a L b L a b , (8)
( ) ( ) ( )L a L b L a b , (9)
1,a b , 2( ), ( )L a L b .
, (7)
.
, -
1q
p
,
( R, 0)p p .
p
,
ISSN 1560-9189 , , 2014, . 16, 2 33
( )
0
1 0
i p
p
p
, (10)
p
: 1
a bp
a bi
b a
p
. p R , -
.
-
.
(10),
1p . , -
, ,
0 1
1 0
i ,
a b
a bi
b a
.
-
, -
[8, 9].
,
(1), -
:
ij k . (11)
, (1), (11)
i , j , k . ,
, -
(11)
1 1 1
1 1 1
pq p xy x uv u
q pq y xy v uv
, (12)
x , y .
(12) -
:
. .
34
1 1 = ( 1 1 )pq xy xq pq xy py , (13, )
1 ( 1 1 )( 1 1 ) =
= 1 1 .
x pq p xy q xy y pq
pq xy py
(13, )
, (13, ), (13, ) :
2 2 2 22(2 ) 4 4 0q x pq yx p y pq , (14, )
2 2 2 2 2 2[ 2(2 ) 4 4][ (1 ) 1] 0q x pq yx p y pq pq yx pq p y . (14, )
, (14, )
,
(14, ). (14)
, , -
(14, ), ( y ) -
. , (13, ) -
(14, )
. , -
(12) (13, ).
, ,
, p , q ,
, (12),
. -
,
2 2 [4].
(14, ) .
3. -
, (12).
.
, p , q y -
. (14, )
:
2 2 2 2 2 2(4 2 ) 4 ( 4 4) = 16(1 )( )y ypq q p y pq pq y q .
,
,
p , q -
(5), . . , 1pq .
(5) , -
. x
,
ISSN 1560-9189 , , 2014, . 16, 2 35
1pq , 2
yx
q
1pq . -
(5) x ,
y ,
2
2 1yxy
q
. 3 .
,
-
. . (10) -
( )i p 1q
p
(14, ) -
2 2 4 22 0x p yx p y , -
2x p y . 1y i
p
,
x ip , :
( )
0
1 0
i p
p
p
, ( )
0
1 0
j p
ip
i
p
,
0
0
k i
i
. (15)
, ( )i p , ( )j p , k
a 1 ,
p
( ) ( )1
( )
1 1 ˆˆ( )
i p j p ka ib jc kd a b c d
a id p b ic A pB
b ic a id B A
p p
, (16)
(8), (9).
(15) 1p , -
0 1
1 0
i ,
0
0
j i
i
,
0
0
k i
i
, , -
:
= =
ˆˆ
i j k A Ba id b ic
a ib jc kd a b c d
b ic a id B A
1 .
. .
36
( )
-
[9–11].
[2],
-
. ,
, .
1 , , , , -
p q , -
:
a ib jc ijd a b c d1
1 ( 1 ) ( )
( ) 1 ( 1 )
a b pq i c d pq p b id
q b id a b pq i c d pq
. (17)
(17) -
:
2 2 2 2det 2( )a b c d i ac bdM .
-
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 8P a b c d a b a c a d b c b d c d abcd
[12].
, -
(17). , -
( )i p , ( )j p , k (15) -
.
1. ( )
0
1 0
i p
p
p
,
0
0
i
i
, ( )
0
1 0
i p
ip
i
p
. -
:
( ) ( )
1 1
1 1
( )
1 1( )
i p i pa ib jc ijd a b c d
a ic p b id A pB
b id a ic B A
p p
1
. (18)
,
ISSN 1560-9189 , , 2014, . 16, 2 37
1p [6].
2. ( )
0
1 0
j p
ip
i
p
,
0
0
i
i
, ( )
0
1 0
j p
p
p
.
-
:
( ) ( )
2 2
2 2
( )
1 1( )
j p j pa ib jc ijd a b c d
a ic p d ib A pB
d ib a ic B A
p p
1
. (19)
3.
0
0
k i
i
,
0
0
i
i
,
1 0
0 1
k .
:
( )
3
3
( ) 0 0
0 ( ) 0
k p ka ib jc ijd a b c d
a d i b c A
a d i b c B
1
. (20)
,
(18) (19), -
(20) .
, (20), -
,
. , -
(20), ,
1 2a ib jc ijd C C .
,
[13].
3A , 3A , 3B , 3B 3A ,
3B (20)
3A a d , 3A b c , 3B a d , 3B b c , (21)
3 3
2
A Ba , 3 3
2
A Bb , 3 3
2
A Bc , 3 3
2
A Bd , (22)
. .
38
- -
.
(21) -
, (22)
. ,
,
( 0c , 0)d [14]. -
,
-
.
( -
) ,
.
-
, (12), . -
,
( )i p , ( )j p , k (15), -
:
1 1 1 1a ib jc kd i e ii f ji g ki h
( ) ( ) ( ) ( )i p j p k i p j p ka b c d e f g h1 .
(4) (15) : ( )
0
1 0
i p
ip
i
p
, ( )
0
1 0
j p
p
p
,
( ) 1 0
0 1
k p .
1 1 1 1a ib jc kd i e ii f ji g ki h
1 1
1 1
( ) [( ) ( )]
1 1[( ) ( )] ( )
a h i d e p b g i c f A pC
b g i c f a h i d e D B
p p
. (23)
(23), -
.
-
-
,
ISSN 1560-9189 , , 2014, . 16, 2 39
, - -
-
:
1A a h , 1A d e , 1B a h , 1B d e ,
1C b g , 1C c f , 1D b g , 1D c f . (24)
1 1
2
A Ba , 1 1
2
C Db , 1 1
2
C Dc , 1 1
2
A Bd ,
1 1
2
A Be , 1 1
2
C Df , 1 1
2
C Dg , 1 1
2
A Bh . (25)
(23) :
4 4 4 4 4 4 4 4
1 1
ˆ= det( )det( ) =P a b c d e f g hM M
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b a c a d a e a f a g a h b c b d b e b f
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b g b h c d c e c f c g c h d e d f d g d h
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2e f e g e h f g f h g h
8 8 8 8 8 8abef aceg adeh bcfd bdfh cdgh . (26)
-
.
.
= =p q i , 1y -
(14, ), 1x , -
_ 0
0
i K i
i
, _ 0 1
1 0
j K , _ 0
0
k K i
i
,
.
_ 0 1
1 0
i K , _ 0
0
j K i
i
, _ 1 0
0 1
k K
. -
:
1 1 1 1a ib jc kd i e ii f ji g ki h
1 12 2
1 12 2
( ) ( )
[ ( )] ( )
a h i d e c f i b g B iDA C
c f i b g a h i d e iC AD B
. (27)
. .
40
(27)
-
2A , 2B , 2C , 2D .
-
(26), -
. , -
, -
, -
. , -
- -
. , -
-
(27) [5].
1. I ,
, -
-
, -
.
2. -
-
.
1. . . / . . , . . . — .: ,
1984. — 144 .
2. . . . .
/ . . , . . , . . . — .: , 2010. — 388 .
3. . .
/ . . , . . -
. — .: , 2012. — 183 .
4. . . : , / . . // -
. — 2004. — 1. — . 111–127.
5. . . / . . // . – 2001.
(http://karataev.nm.ru/emf/index.html).
6. . . -
/ . . , . . // -
. — 1987. — 1. — . 54–56.
7. . . / . . . . 1. — .:
, 1972. — 240 .
http://karataev.nm.ru/emf/index.html).
,
ISSN 1560-9189 , , 2014, . 16, 2 41
8. . .
/ . . , . . , . . // -
. — 1984. — 5. — . 61–64.
9. . .
/ . . // , -
. . — 2012. — . 14, 4. — . 11–23.
10. . .
/ . . // . -
. — 1984. — 399. — . 3–9.
11. Chiba Fumihiko. - -
/ Chiba Fumihiko, Tanaka Eiichi, Nishiya Ken-ichi, Hasegawa
Jun // . B = Trans. Inst. Elec. Eng. Jap. B. — 1991. — 111, 3. — . 252–258.
12. . .
/ . . // . . . — 2011. — 63, 1. — . 130–
139.
13. . .
/ . . // , . . — 2003. — . 5, 1.
— . 69–73.
14. . . -
/ . . // . — 2008. —
9. — . 41–48.
19.05.2014
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-87112 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1560-9189 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:23:27Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Клипков, С.И. 2015-10-11T14:00:59Z 2015-10-11T14:00:59Z 2014 Обобщенный анализ матричных представлений ассоциативных гиперкомплексных числовых систем, используемых в задачах энергетики / С.И. Клипков // Реєстрація, зберігання і обробка даних. — 2014. — Т. 16, № 2. — С. 28-41. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1560-9189 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87112 004.942; 512.552 С наиболее общих позиций рассмотрены вопросы представления комплексных чисел, кватернионов, квадриплексных (бикомплексных) чисел и бикватернионов комплексными матрицами второго порядка. Для построения матричных базисов рассматриваемых представлений из множества указанных матриц выделено подмножество элементов, квадрат которых равен отрицательной матричной единице. Показано, что внутренняя структура вырожденных мнимых матричных единиц позволяет естественным образом конструировать числовые системы, не прибегая к аксиоматическому определению алгебраической операции умножения. Сформулирован ряд утверждений, позволяющих упростить решение затронутых вопросов. With the most common positions, it is considered the issues of representation of complex numbers, quaternions, kvadroplex (bicomplex) numbers and biquaternions complex matrices of second order. To build a matrix bases of the considered representations from the set of these matrices allocated a subset of the elements, the square of which is equal to the negative of the matrix unit. It is shown that the internal structure of the degenerate imaginary matrix units allows a natural way to construct the numerical system, without resorting to the axiomatic definition of the algebraic operation of multiplication. It is formulated a series of assertions to ease the solution of the issues being raised in the article questions. ru Інститут проблем реєстрації інформації НАН України Реєстрація, зберігання і обробка даних Математичні методи обробки даних Обобщенный анализ матричных представлений ассоциативных гиперкомплексных числовых систем, используемых в задачах энергетики Generalized analysis of matrix representations for associative hyper-complex number systems used in power engineering Article published earlier |
| spellingShingle | Обобщенный анализ матричных представлений ассоциативных гиперкомплексных числовых систем, используемых в задачах энергетики Клипков, С.И. Математичні методи обробки даних |
| title | Обобщенный анализ матричных представлений ассоциативных гиперкомплексных числовых систем, используемых в задачах энергетики |
| title_alt | Generalized analysis of matrix representations for associative hyper-complex number systems used in power engineering |
| title_full | Обобщенный анализ матричных представлений ассоциативных гиперкомплексных числовых систем, используемых в задачах энергетики |
| title_fullStr | Обобщенный анализ матричных представлений ассоциативных гиперкомплексных числовых систем, используемых в задачах энергетики |
| title_full_unstemmed | Обобщенный анализ матричных представлений ассоциативных гиперкомплексных числовых систем, используемых в задачах энергетики |
| title_short | Обобщенный анализ матричных представлений ассоциативных гиперкомплексных числовых систем, используемых в задачах энергетики |
| title_sort | обобщенный анализ матричных представлений ассоциативных гиперкомплексных числовых систем, используемых в задачах энергетики |
| topic | Математичні методи обробки даних |
| topic_facet | Математичні методи обробки даних |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/87112 |
| work_keys_str_mv | AT klipkovsi obobŝennyianalizmatričnyhpredstavleniiassociativnyhgiperkompleksnyhčislovyhsistemispolʹzuemyhvzadačahénergetiki AT klipkovsi generalizedanalysisofmatrixrepresentationsforassociativehypercomplexnumbersystemsusedinpowerengineering |