Связанные процессы деформирования и долговременной повреждаемости волокнистых материалов при температурных воздействиях
A theory of long-term damageability is built for the fibrous composite materials with allowance for of the temperature effect. The process of damage of the composite’s matrix is modeling by the arising the stochastically located micropores in the matrix. The criterion of fracture of the unit microvo...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Прикладная механика |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88001 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Связанные процессы деформирования и долговременной повреждаемости волокнистых материалов при температурных воздействиях / Л.П. Хорошун, Е.Н. Шикула // Прикладная механика. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 62-72. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88001 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-880012025-02-09T22:56:52Z Связанные процессы деформирования и долговременной повреждаемости волокнистых материалов при температурных воздействиях Хорошун, Л.П. Шикула, Е.Н. A theory of long-term damageability is built for the fibrous composite materials with allowance for of the temperature effect. The process of damage of the composite’s matrix is modeling by the arising the stochastically located micropores in the matrix. The criterion of fracture of the unit microvolume is characterized by its long-term damageability, which is stipulated for dependence of the brittle fracture time on degree of closeness of equivalent stress to its limit value. For the arbitrary time, the equation of matrix damage balance (porosity) is formulated with allowance for a temperature component. An algorithm is constructed for evaluation of dependences of the matrix microdamage on time and the macrostresses on time. The corresponding curves are built. An effect of temperature on deformation and microdamage of material is studied. 2011 Article Связанные процессы деформирования и долговременной повреждаемости волокнистых материалов при температурных воздействиях / Л.П. Хорошун, Е.Н. Шикула // Прикладная механика. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 62-72. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88001 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
A theory of long-term damageability is built for the fibrous composite materials with allowance for of the temperature effect. The process of damage of the composite’s matrix is modeling by the arising the stochastically located micropores in the matrix. The criterion of fracture of the unit microvolume is characterized by its long-term damageability, which is stipulated for dependence of the brittle fracture time on degree of closeness of equivalent stress to its limit value. For the arbitrary time, the equation of matrix damage balance (porosity) is formulated with allowance for a temperature component. An algorithm is constructed for evaluation of dependences of the matrix microdamage on time and the macrostresses on time. The corresponding curves are built. An effect of temperature on deformation and microdamage of material is studied. |
| format |
Article |
| author |
Хорошун, Л.П. Шикула, Е.Н. |
| spellingShingle |
Хорошун, Л.П. Шикула, Е.Н. Связанные процессы деформирования и долговременной повреждаемости волокнистых материалов при температурных воздействиях Прикладная механика |
| author_facet |
Хорошун, Л.П. Шикула, Е.Н. |
| author_sort |
Хорошун, Л.П. |
| title |
Связанные процессы деформирования и долговременной повреждаемости волокнистых материалов при температурных воздействиях |
| title_short |
Связанные процессы деформирования и долговременной повреждаемости волокнистых материалов при температурных воздействиях |
| title_full |
Связанные процессы деформирования и долговременной повреждаемости волокнистых материалов при температурных воздействиях |
| title_fullStr |
Связанные процессы деформирования и долговременной повреждаемости волокнистых материалов при температурных воздействиях |
| title_full_unstemmed |
Связанные процессы деформирования и долговременной повреждаемости волокнистых материалов при температурных воздействиях |
| title_sort |
связанные процессы деформирования и долговременной повреждаемости волокнистых материалов при температурных воздействиях |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88001 |
| citation_txt |
Связанные процессы деформирования и долговременной повреждаемости волокнистых материалов при температурных воздействиях / Л.П. Хорошун, Е.Н. Шикула // Прикладная механика. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 62-72. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT horošunlp svâzannyeprocessydeformirovaniâidolgovremennoipovreždaemostivoloknistyhmaterialovpritemperaturnyhvozdeistviâh AT šikulaen svâzannyeprocessydeformirovaniâidolgovremennoipovreždaemostivoloknistyhmaterialovpritemperaturnyhvozdeistviâh |
| first_indexed |
2025-12-01T14:39:05Z |
| last_indexed |
2025-12-01T14:39:05Z |
| _version_ |
1850317159583973376 |
| fulltext |
2011 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 47, № 1
62 ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2011, 47, № 1
Л .П . Х о р ош у н , Е .Н . Шик у л а
СВЯЗАННЫЕ ПРОЦЕССЫ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И ДОЛГОВРЕМЕННОЙ
ПОВРЕЖДАЕМОСТИ ВОЛОКНИСТЫХ МАТЕРИАЛОВ
ПРИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Институт механики им. С.П.Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова, 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: stochac@inmech.kiev.ua
Abstract. A theory of long-term damageability is built for the fibrous composite materi-
als with allowance for of the temperature effect. The process of damage of the composite’s
matrix is modeling by the arising the stochastically located micropores in the matrix. The
criterion of fracture of the unit microvolume is characterized by its long-term damageability,
which is stipulated for dependence of the brittle fracture time on degree of closeness of
equivalent stress to its limit value. For the arbitrary time, the equation of matrix damage
balance (porosity) is formulated with allowance for a temperature component. An algorithm
is constructed for evaluation of dependences of the matrix microdamage on time and the
macrostresses on time. The corresponding curves are built. An effect of temperature on de-
formation and microdamage of material is studied.
Key words: fibrous composite material, stochastic structure, temperature effect, long-
term damageability, porosity, effective characteristics, balance equation of porosity.
Введение.
В условиях достаточно высоких нагрузок материалы и элементы конструкций раз-
рушаются. Разрушению, как правило, предшествует образование и развитие во време-
ни рассеянных микроповреждений.
Микроповреждения представляют собой хаотически расположенные разрушен-
ные микрообъемы материала, которые полностью или частично потеряли несущую
способность, что приводит к уменьшению эффективной или несущей части материала,
оказывающей сопротивление нагрузкам. Микроповреждения могут возникать в про-
цессе деформирования вследствие того, что микронапряжения достигают локальных
границ прочности.
Как видим из экспериментов и наблюдений, повреждаемость может быть как крат-
ковременной (мгновенной), соответствующей уровню напряжений или деформаций в
момент их задания, так и длительной, проявляющейся в росте повреждений во времени
после приложения нагрузки. В [8, 9, 11] предложена структурная теория кратковремен-
ной микроповреждаемости однородных и композитных материалов, в основу которой
положены уравнения механики микронеоднородных тел стохастической структуры и
моделирование рассеянных микроповреждений системой квазисферических микропор
[5]. Длительную повреждаемость обычно рассматривают как результат процесса накоп-
ления во времени рассеянных микроповреждений в виде микропор и микротрещин. На
микроскопическом уровне прочность материала является неоднородной, т.е. предел
мгновенной прочности и кривые длительной прочности микрообъема материала явля-
ются случайными функциями координат, описываемыми определенными плотностями
или функциями распределения. При действии на макрообразец постоянного растяги-
вающего напряжения часть микрообъемов, предел прочности которых ниже приложен-
ного напряжения, разрушится, т.е. на их месте образуются микротрещины или микро-
63
полости. На тех микроучастках, где напряжения меньше пределов прочности, но близки
к ним, разрушение происходит через некоторый промежуток времени, который зависит
от степени близости напряжения к пределу микропрочности.
В [10, 12, 13] на основе моделей и методов механики стохастически неоднород-
ных сред построена теория длительной повреждаемости однородных и волокнистых
композитных материалов.
В настоящей статье исследуется влияние температурных воздействий на дефор-
мирование и длительную повреждаемость волокнистых композитных материалов с
микроразрушениями в матрице. В основу структурной теории длительной повреждае-
мости композитных материалов положены уравнения механики микронеоднородных
сред стохастической структуры. Процесс повреждаемости матрицы волокнистого ком-
позита моделируется разрушением рассеянных микрообъемов матрицы материала и
образованием на их месте стохастически расположенных микропор. Критерий разру-
шения единичного микрообъема характеризуется его длительной прочностью, описы-
ваемой дробно-степенной или экспоненциально-степенной функцией долговечности,
определяемой зависимостью времени хрупкого разрушения от степени близости экви-
валентного напряжения к его предельному значению, характеризующему кратковре-
менную прочность по критерию Шлейхера ─ Надаи.
Предел кратковременной прочности принимается случайной функцией координат,
одноточечное распределение которой описывается степенной функцией распределения
на некотором отрезке или распределением Вейбулла. Эффективные деформативные свой-
ства и напряженно-деформированное состояние волокнистого композита с системой
стохастически расположенных микроповреждений в матрице определяются на основе
стохастических уравнений термоупругости пористых сред. Исходя из свойств функций
распределения и условия эргодичности случайного поля кратковременной микропроч-
ности, а также зависимости времени хрупкого разрушения микрообъема от его напря-
женного состояния и кратковременной микропрочности, сформулировано для заданных
макродеформаций и произвольного момента времени уравнение баланса поврежденнос-
ти (пористости) матрицы композита, учитывающее температурную составляющую.
Зависимости макронапряжения ─ макродеформации для волокнистого материала с по-
ристой матрицей и уравнения баланса пористости матрицы описывают совместные
процессы деформирования и длительной повреждаемости композита с учетом их взаи-
модействия, что приводит к снижению макронапряжений при заданных макродеформа-
циях, происходящих во времени. На основе метода итераций построены алгоритмы
вычисления зависимостей микроповреждаемости матрицы волокнистого материала от
времени, макронапряжений от времени, а также получены соответствующие кривые в
случае дробно-степенной функции долговечности. Исследовано влияние температур-
ных воздействий на кривые макродеформирования и повреждаемости материала.
§1. Рассмотрим однонаправленный волокнистый материал с изотропной матрицей и
рассеянными микроповреждениями в ней, которые моделируем пористостью 2p , причем
поры будем считать пустыми. Пусть волокна являются трансверсально-изотропными,
направленными по нормали к плоскости изотропии 1 2x x . Обозначим модули упругости,
коэффициенты температурных напряжений и деформаций волокон, соответственно,
1 1 1 1 1
11 12 13 33 44, , , ,λ λ λ λ λ , 1 1
1 3,β β , 1 1
1 3,α α ; модули объемного сжатия и сдвига, коэффи-
циенты температурных напряжений и деформаций неразрушенной части матрицы – соот-
ветственно, 2 2 2 2, , ,K µ β α , а объемные содержания волокон и пористой матрицы, со-
ответственно, 1c и 2c . Пусть заданы макродеформации jkε< > и температура θ компо-
зита, тогда макронапряжения jkσ< > композита связаны с ними соотношениями
*
11 12 12 13 33 1( ) ( ) ;jk jk rr jkσ λ λ ε λ ε λ ε β θ δ∗ ∗ ∗ ∗< >= − < > + < > + < > −
*
33 13 33 33 3 ;rrσ λ ε λ ε β θ∗ ∗< >= < > + < > − 3 44 32j jσ λ ε∗< >= < > ( , , 1, 2),j k r = (1.1)
64
где эффективные модули упругости композита 11 12 13 33 44, , , ,λ λ λ λ λ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ , коэффициенты
температурных напряжений * *
1 3,β β и деформаций * *
1 3,α α определяются [2, 6, 7] форму-
лами
1 1 2
1 2 2 211 121 1
11 12 1 11 12 2 2 2 1 1
1 2 22 11 12
( 2 2 )
( ) 2 ( ) ;
2 ( ) ( ) 2
p p
p p
p p
c c
c c
c c m
λ λ λ µ
λ λ λ λ λ µ
λ µ λ λ
∗ ∗
+ − −
+ = + + + −
+ + + +
1 1 2
1 2 11 12 21 1
11 12 1 11 12 2 2 1 1
1 22 11 12
( 2 )
( ) 2 ;
2 ( ) 2
p
p
p
c c
c c
c c n
λ λ µ
λ λ λ λ µ
µ λ λ
∗ ∗
− −
− = − + −
+ − +
1 1 1
1 2 2 211 12 2 13*
13 1 13 2 2 1 1
1 2 22 11 12
( 2 2 )( )
2 ( ) ( ) 2
p pp
p
p p
c c
c c
c c m
λ λ λ µ λ λ
λ λ λ
λ µ λ λ
∗
+ − − −
= + −
+ + + +
;
1 2
1 2 13 2
33 1 33 2 2 2 1 1
1 22 2 11 12
2 ( )
( 2 ) ;
2 ( ) ( ) 2
p
p p
p p
c c
c c
c c m
λ λ
λ λ λ µ
λ µ λ λ
∗ ∗
−
= + + −
+ + + +
1 2
1 2 44 21
44 1 44 2 2 1
1 22 44
( )
;
p
p
p
c c
c c
c c s
λ µ
λ λ µ
µ λ
∗
−
= + −
+ +
1 1 1
1 2 11 12 2 2 1 2* 1
1 1 1 2 2 1 1
1 2 2 2 11 12
( 2 2 )( )
;
2 ( ) ( ) 2
p p p
p
p p
c c
c c
c c m
λ λ λ µ β β
β β β
λ µ λ λ
+ − − −
= + −
+ + + +
1 1
1 2 13 2 1 2* 1
3 1 3 2 2 1 1
1 2 2 2 11 12
2 ( )( )
;
2 ( ) ( ) 2
p p
p
p p
c c
c c
c c m
λ λ β β
β β β
λ µ λ λ
− −
= + −
+ + + +
* * * * * * * * *
* *33 1 13 3 11 12 3 13 1
1 3* * * * 2 * * * * 2
11 12 33 13 11 12 33 13
( ) 2
; .
( ) 2( ) ( ) 2( )
λ β λ β λ λ β λ β
α α
λ λ λ λ λ λ λ λ
− + −
= =
+ − + −
(1.2)
В (1.2) принято:
1 1 1 1 1
1 11 12 2 1 11 12 2 1 44 22 2 2 22 ( ) 2 ; 2 ( ) 2 ( ); 2 ,p p p pm c c n c c s c cλ λ µ λ λ λ µ λ µ= − + = + + + = + (1.3)
если жесткость матрицы больше жесткости волокон, и
1 1
1 2 1 2
1 1 1 1
11 12 11 122 2 2
2 ; 2 ;
2 2( )p p p
c c c c
m n
λ λ λ λµ λ µ
− −
= + = +
− + +
1
1 2
1
44 2
,
2 p
c c
s
λ µ
−
= +
(1.4)
если жесткость волокон больше жесткости матрицы.
Эффективные модули и температурные коэффициенты пористой матрицы
2 ,pK 2 ,pµ 2 ,pβ 2 pα согласно [2, 6, 7] определяются формулами
65
2 2
2 2 2 2 2 2 2
;2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 (1 ) (9 8 ) (1 ) 2; ;
34 (3 4 ) 9 8 (3 4 )
p p p p p
K p K p
K K
K p K K p
µ µ µ
µ λ µ
µ µ µ µ
− + −
= = = −
+ − + − −
22 2 2 2
2 2
2 2 2 2 22
24 (1 )
; .
4 (3 4 ) 33
p
p p
p
p
K p KK
ββ µ β
β α
µ µ+
−
= = =
−
(1.5)
Примем критерий кратковременного разрушения в микрообъеме неповрежденной
части материала в форме Шлейхера – Надаи [3]
1
21 21 21 21 21 2;2 2 ( ) ,rr pq pqI a k Iσ σσ σ σ′ ′
< > < >+ < > = = < > < > (1.6)
где
21 21
,pq rrσ σ′< > < > – девиатор средних по неповрежденной части материала матри-
цы напряжений; 2k – предельное значение инварианта 21 21
2 rrI aσ σ< > + < > для матрицы,
являющееся случайной функцией координат, причем средние по неповрежденной
части материала матрицы напряжения
21
pqσ< > определяются формулой [8]
21 2
2
1
.
1
jk jk
p
σ σ< >= < >
−
(1.7)
Если инвариант 21 21
2 rrI aσ σ< > + < > для некоторого микрообъема матрицы не дос-
тигает соответствующего предельного значения 2k , то согласно критерию длитель-
ной прочности разрушение произойдет по истечении некоторого промежутка времени
2
kτ , длительность которого зависит от степени близости 21 21
2 rrI aσ σ< > + < > к предель-
ному значению 2k . В общем случае эту зависимость можно представить в виде неко-
торой функции
2 21 21
,2 2 2( ),k rrI a kστ ϕ σ< >= + < > (1.8)
причем 2 2 2( , ) 0k kϕ = , 2 2(0, )kφ = ∞ согласно (1.6).
Одноточечную функцию распределения 2 2( )F k предела прочности 2k микрообъ-
ема неповрежденной части материала матрицы можно аппроксимировать степенным
законом на некотором отрезке
2
2 02
2 02
2 2 02 2 12
12 02
2 12
0, ;
( ) , ;
1,
k k
k k
F k k k k
k k
k k
β
<
−
= ≤ ≤
−
>
(1.9)
или распределением Вейбулла
[ ]2
2 02
2 2
2 2 02 2 02
0, ;
( )
1 exp ( ) , .
k k
F k
m k k k k
β
<
=
− − − ≥
(1.10)
Здесь 02k – минимальная величина предельного значения 2k , с которого начинается
разрушение в некоторых микрообъемах матрицы; 12 2 2, ,k m β – постоянные, выби-
раемые из условия аппроксимации разброса прочности в матрице.
Считаем, что случайное поле предела микропрочности матрицы 2k является ста-
тистически однородным, что характерно для реальных материалов, а размеры еди-
66
ничных микроразрушений и расстояний между ними пренебрежимо малы по сравне-
нию с размерами включений и расстояний между ними. Тогда имеет место свойство
эргодичности, согласно которому функция распределения 2 2( )F k определяет относи-
тельное содержание неразрушенной части материала матрицы, в котором предел мик-
ропрочности меньше значения 2k . Поэтому при ненулевых напряжениях
21
jkσ< >
функция 21 21
2 2( )rrF I aσ σ< > + < > определяет согласно (1.6), (1.9), (1.10) относительное
содержание мгновенно разрушенных микрообъемов материала матрицы. Так как раз-
рушенные микрообъемы моделируются порами, то, принимая начальную пористость
матрицы равной 02p , можем записать уравнение баланса разрушенных микрообъемов
или пористости матрицы при кратковременной повреждаемости
21 21
2 02 02 2 2(1 ) ( ),rrp p p F I aσ σ< >= + − + < > (1.11)
где согласно (1.7)
21 2
;
2
1
1
I I
p
σ σ< > < >=
−
1
2 2 2 2( ) ;jk jkI σ σ σ′ ′
< > = < > < > (1.12)
средние напряжения в матрице
2
jkσ< > связаны со средними в ней деформациями
2
jkε< > и температурой θ зависимостями
2 2 2
2 2 22 ,jk p rr ij p ij p ijσ λ ε δ µ ε β θδ< >= < > + < > − (1.13)
а средние в матрице деформации
2
jkε< > связаны с макродеформациями jkε< > и
температурой θ зависимостями [2, 6, 7]
2
2
0 1 2 33 1
1
( ) ;jk jk rr jkA A A Bε ε ε ε θ δ< >= < > − < > + < > −
∆
2
33 3 4 33 2
2
1
( );rrA A Bε ε ε θ< >= − < > + < > −
∆
* 1
2 44 44
3 31
2 2 44( )
j j
pc
λ λ
ε ε
µ λ
−
< >= < >
−
( ), , 1, 2j k r = , (1.14)
где
2
1 1 1 1 1 1 2
2 11 12 2 11 12 2 2 33 2 2 13 2( 2 ) [( 2 2 )( 2 ) 2( ) ];p p p p p pc λ λ µ λ λ λ µ λ λ µ λ λ∆ = − − × + − − − − − −
* * 1 1
11 12 11 12
0 1 1
2 2 11 12
;
(2 )p
A
c
λ λ λ λ
µ λ λ
− − +
=
− +
* 1 * 1 * 1
1 11 11 1 12 12 2 13 13 3 ( ) ( ) ( ) ;A b b bλ λ λ λ λ λ= − − − − −
* 1 * 1
2 13 13 1 2 33 33 3 ( )( ) ( ) ;A b b bλ λ λ λ= − − − −
* 1 * * 1 1
3 13 13 4 11 12 11 12 3 ( ) ( ) ;A b bλ λ λ λ λ λ= − − + − −
* 1 * 1
4 33 33 4 13 13 3 ( ) 2( ) ;A b bλ λ λ λ= − − −
* 1 * 1
1 1 1 1 2 2 1 2 3 1 3 2 2 3( )( ) ( ) ;p pB c c b b c c bβ β β β β β= − − − − − −
67
* 1 * 1
2 3 1 3 2 2 4 1 1 1 2 2 3( ) 2( ) ;p pB c c b c c bβ β β β β β= − − − − −
1 2 1 1
1 13 2 12 2 33 2 2( ) ( )( 2 );p p p pb λ λ λ λ λ λ µ= − − − − −
1 2 1 1
2 13 2 11 2 2 33 2 2( ) ( 2 )( 2 );p p p p pb λ λ λ λ µ λ λ µ= − − − − − −
1 1 1
3 13 2 11 12 2( )( 2 );p pb λ λ λ λ µ= − − −
1 1 1 1
4 11 12 2 2 11 12 2( 2 2 )( 2 ).p p pb λ λ λ µ λ λ µ= + − − − − (1.15)
Если напряжения в матрице
21
jkσ< > действуют в течение некоторого времени t ,
то согласно критерию длительной прочности (1.8) за это время в матрице разрушатся
микрообъемы с такими значениями предела микропрочности 2k , для которых имеет
место неравенство
2 21 21
2 2 2( , ),k rrt I a kστ ϕ σ< >≥ = + < > (1.16)
где инвариант 21 21
2 rrI aσ σ< > + < > определяется выражениями (1.13) – (1.15).
Время 2
kτ хрупкого разрушения матрицы для реальных материалов при невысо-
ких температурах имеет конечное значение, начиная только с некоторого значения
2 0Iσ > . В этом случае функцию долговечности 21 21
,2 2 2( )rrI a kσϕ σ< > + < > матрицы для
микрообъема с мгновенным пределом прочности 2k можно представить, например,
дробно-степенной зависимостью
1221 21
21 21 2 2
,2 2 2 02 21 21
2 2 2
( )
n
rr
rr
rr
k I a
I a k
I a k
σ
σ
σ
σ
ϕ σ τ
σ γ
−< >
< >
< >
− < >
+ < > = + < > −
21 21
2 2 2 2 2( , 1),rrk I a kσγ σ γ< >≤ + < >≤ < (1.17)
где некоторое характерное время 20τ , показатель 12n и коэффициент 2γ определяют-
ся из аппроксимации экспериментальных кривых долговечности матрицы.
Подставляя (1.17) в (1.16), приходим к неравенству
12
12
1
21 21 2
2 2 21
02
2 2
1
( ) .
1
n
rr
n
t t
k I a t
t
σ σ
τ
γ
< >
+
≤ + < > =
+
(1.18)
Принимая во внимание определение функции распределения предела микропроч-
ности 2 2( )F k , приходим к выводу, что функция 21 21
2 2 2 2[( ) ( )]rrF I a tσ σ ψ< > + < > , где
12
12
1
2
2 2 1
2 2
1
( ) ,
1
n
n
t
t
t
ψ
γ
+
=
+
(1.19)
определяет в момент времени 2t относительное содержание разрушенных микрообъ-
емов неразрушенной до нагружения части материала матрицы. Тогда уравнение ба-
ланса разрушенных микрообъемов или пористости для матрицы при длительной по-
вреждаемости можно представить в виде
68
21 21
2 02 02 2 2 2 2(1 ) [( ) ( )]rrp p p F I a tσ σ ψ< >= + − + < > (1.20)
или с учетом (1.7) в виде
2 2
2
2 02 02 2 2 2
2
(1 ) ( ) ,
1
rrI a
p p p F t
p
σ σ
ψ
< >
+ < >
= + −
−
(1.21)
где пористость матрицы 2p является функцией безразмерного времени 2t , а инвари-
ант 2 2
2 rrI aσ σ< > + < > определяется выражениями (1.13) ─ (1.15).
Если время 2
kτ хрупкого разрушения матрицы имеет конечное значение для про-
извольных 21 21
2 rrI aσ σ< > + < > , что может наблюдаться при высоких температурах, то
функцию долговечности можно представить экспоненциально-степенной зависимо-
стью
22
12
21 21 2
2 2 2 02 12 21 21
2
( , ) exp 1 1 ,
( )
n
n
rr
rr
k
I a k m
I a
σ
σ
ϕ σ τ
σ< >
< >
+ < > = − −
+ < >
(1.22)
имеющей достаточное число постоянных 02τ , 12 12 22, ,m n n для аппроксимации экс-
периментальных кривых. Подставляя (1.17) в (1.16), приходим к неравенству
12
22
1
1
21 21
2 2 2 2
12 02
1
( ) 1 ln 1 .
n
n
rr
t
k I a t t
m
σ σ
τ
< >
≤ + < > + + =
(1.23)
Принимая во внимание определение функции распределения предела микропроч-
ности 2 2( )F k , приходим к выводу, что функция 21 21
2 2 2 2[( ) ( )]rrF I a tσ σ ψ< > + < > , где
12
22
1
1
2 2 2
12
1
( ) 1 ln 1 ,
n
n
t t
m
ψ
= + +
(1.24)
определяет в момент времени 2t относительное содержание разрушенных микрообъ-
емов неразрушенной до нагружения части материала матрицы.
Тогда с учетом (1.1) уравнение баланса разрушенных микрообъемов или пористости
для матрицы при длительной повреждаемости (1.6) можно представить в виде (1.21).
Уравнения баланса пористости (1.21) с учетом (1.2) ─ (1.5), (1.9), (1.10), (1.12) –
(1.15) в начальный момент 2 0t = определяют кратковременную (мгновенную) по-
врежденность материала матрицы.
С ростом времени уравнения (1.21), (1.2) ─ (1.5), (1.9), (1.10), (1.12) – (1.15) (1.19)
(или (1.24)) определяют длительную его поврежденность, которая состоит из кратко-
временной и дополнительной поврежденности, развивающейся во времени.
§2. Обобщим описанную в §1 модель повреждаемости однонаправленного волок-
нистого композитного материала с микроповреждениями в матрице. Предположим,
что микроповреждения, которые образуются в ней при нагружении, представляют
собой поры, заполненные частицами разрушенного материала, оказывающими опре-
деленное сопротивление деформированию. Пусть частицы разрушенного материала
не оказывают сопротивления на сдвиг и на всестороннее растяжение, а на всесторон-
нее сжатие сопротивляются как неповрежденный материал. Тогда модуль сдвига раз-
рушенного материала, заполняющего поры, можно принять равным нулю, а модуль
объемного сжатия равным нулю при 22 0rrσ< >≥ и равным соответствующему модулю
69
неповрежденной матрицы 2K при 22 0rrσ< >< , где 22
rrσ< > ─ напряжения в запол-
ненных разрушенными частицами порах матрицы. Тогда согласно §1 при 22 0rrσ< >≥ ,
т.е. если средние объемные напряжения в заполняющих поры частицах в матрице яв-
ляются растягивающими, эффективные модули и температурные коэффициенты по-
ристой наполненной частицами разрушенного материала матрицы 2 ,pK 2 ,pµ
2 ,pβ 2 pα определяются формулами (1.5). При 22 0rrσ< >< , т.е. если соответствующие
напряжения являются сжимающими, они определяются формулами [7]
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 22
2 2 2 2 2 2 2
[9 8 (1 )] (1 )
; ; ; .
9 8 (3 4 ) 4
p p p p
K p p
K K
K K p p
µ µ
µ β β α α
µ µ µ
+ − −
= = = =
+ − + −
(2.1)
Принимая критерий прочности в микрообъеме неповрежденной части материала
матрицы в форме Шлейхера – Надаи (1.6), приходим к уравнению баланса пористости
(1.20), где 21I σ< > определяется формулами (1.12) – (1.15), функция ( )tψ – формулой
(1.19) или (1.24), а для 21
rrσ< > имеем
2 2
21
2
2 2
1
, 0;
1
, 0,
rr rr
rr
rr rr
p
σ σ
σ
σ σ
< > < >≥ −< >=
< > < ><
(2.2)
где 2
rrσ< > – средние напряжения в i -компоненте, определяемые формулами (1.13) –
(1.15).
Поскольку заданы макродеформации ><
jk
ε и температура θ , то с учетом соотно-
шений, связывающих средние напряжения в матрице
2
jkσ< > , макродеформации
><
jk
ε и температуру θ (1.13) ─ (1.15), можно определить выполнение условия
2 0rrσ< >≥ или 2 0.rrσ< ><
Учитывая соотношения (1.12), уравнение баланса пористости матрицы (1.20) при
выполнении условия 2 0rrσ< >≥ приведем к виду (1.21), где эффективные модули и
температурные коэффициенты пористой, наполненной частицами разрушенного мате-
риала, матрицы 2 2 2 2, , ,p p p pK µ β α определяются формулами (1.5). При выполнении
условия 2 0rrσ< >< уравнение баланса пористости матрицы (1.20) приведем к виду
2
2
2 02 02 2 2
2
(1 ) ,
1
rr
I
p p p F a
p
σ σ< >
= + − + < > −
(2.3)
где средние в матрице напряжения
2
jkσ< > связаны с макродеформациями jkε< > и
температурой θ зависимостями (1.13) – (1.15), а эффективные модули и температур-
ные коэффициенты пористой, наполненной частицами разрушенного материала, мат-
рицы 2 2 2 2, , ,p p p pK µ β α определяются формулами (2.1).
§3. На основе соотношений (1.21), (1.2) – (1.5), (1.9), (1.10), (1.12) – (1.15), (1.19)
(или (1.24)) и условия 2 0rrσ< >≥ (или (2.3)), (1.2) – (1.4), (2.1), (1.9), (1.10), (2.2),
(1.12) – (1.15), (1.19) (или (1.24)) и условия 2 0rrσ< >< можно построить итерацион-
ный алгоритм для определения объемного содержания микроповреждений в компо-
нентах и напряженно-деформированного состояния волокнистого материала. С этой
целью воспользуемся методом секущих [1].
70
Записав уравнение баланса пористости матрицы (1.20) в виде
21 21
2 2 2 02 02 2 2 2 2( ) { (1 ) [( ) ( )]} 0,rrp p p p F I a tσϕ σ ψ− − < >= − + < > = (3.1)
легко проверить, что корень 2p находится в интервале 02[ , 1]p , так как имеют ме-
сто неравенства
2 02 2( ) 0; (1) 0.pϕ ϕ< > (3.2)
Поэтому нулевое приближение корня
(0)
2p определяется формулой
(0) (0) (0) (0)
(0) 2 22 2 2 2
2 (0) (0)
2 22 2
( ) ( )
,
( ) ( )
a b b a
p
b a
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
=
−
(3.3)
где
(0) (0)
022 2, 1.a p b= =
Последующие приближения метода секущих определяются итерационным процессом
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2 2 2( )
2 ( ) ( )
2 22 2
;
m m m m
m
m m
a b b a
p
b a
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
=
−
(3.4)
( ) ( 1) ( ) ( 1)
2 2 2 2;
m m m m
a a b p
− −= = при ( ) ( )( 1) ( 1)
2 22 2 0;
m m
a pϕ ϕ− − ≤
( ) ( 1) ( ) ( 1)
2 2 2 2;
m m m m
a p b b
− −= = при ( ) ( )( 1) ( 1)
2 22 2 0
m m
a pϕ ϕ− − ≥
( )1, 2, ...m = ,
который продолжается до выполнения условия
( )
2 2( ) ,
m
pϕ ε< (3.5)
где ε – точность вычисления корня.
На основе проведенных вычислений получены диаграммы макродеформирования
зернистых композитных материалов при микроповреждениях в матрице для распре-
деления Вейбулла (1.9) и для дробно-степенной функции долговечности ( )tψ , опре-
деляемой формулой (1.19). В качестве матрицы и волокон приняты, соответственно,
эпоксидная матрица с характеристиками неповрежденной части [2, 4]
2E = 3 ГПа; 2ν = 0,35; 2α = 45 6 110 ( C)− −⋅ ° , (3.6)
где 2E , 2ν , 2α ─ соответственно, модули Юнга, коэффициенты Пуассона и коэффи-
циенты температурных деформаций неповрежденной части матрицы, а также высо-
комодульные углеродные волокна с характеристиками [4]
1
1 8E = ГПа; 1
3 226E = ГПа; 1
12 0,2;ν = 1
13 0,3;ν = 1
12 60G = ГПа;
1
1α = 18 6 110 ( C)− −⋅ ° ; 1
3α = 6 110 ( C)− −− ° , (3.7)
где 1
1E и 1
3E , 1
12ν и 1
13ν , 1
12G и 1
13G , 1
1α и 1
3α – соответственно, поперечный и продоль-
ный модули Юнга, коэффициенты Пуассона, модули сдвига и коэффициенты темпера-
турной деформации волокон, которые связаны с модулями термоупругости 1 1
11 12, ,λ λ
1 1 1 1 1
13 33 44 1 3, , , ,λ λ λ β β формулами
( )
1
1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11
11 12 1 3 3 1 13 11 12 121
12
2 2 ; 2 ;
2
E
E E E E G
G
λ λ ν λ λ
−
+ = − − − =
71
( ) ( )
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 13 1
13 13 11 12 33 11 12 44 131 1
1 12
; 2 ; ;
2
E E
G
E G
λ ν λ λ λ λ λ λ
= + = + − =
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 11 12 1 13 3 3 13 1 33 3( ) ; 2 ,β λ λ α λ α β λ α λ α= + + = + (3.8)
а также при
2
02 02 2 2 20; 0,01; 1000;p k m
βµ µ= = =
2 2;β = 2 0,011pσ = ГПа 2 20
3( )
2p kσ = ;
2 0,02;a = 2 0,05;γ = 12 1;n = 20 Cθ = ± � . (3.9)
В случае заданных макропараметров
11 22 330,002; 0ε σ σ< >= < >=< >= (3.10)
согласно (1.1) макронапряжение 11σ< > в композите связано с макродеформацией
11ε< > и температура θ соотношением
* *
* * * * 2 * * * *11 12
11 11 12 33 13 11 33 1 13 3* * * 2
11 33 13
{[( ) 2( ) ] ( ) }.
( )
λ λ
σ λ λ λ λ ε λ β λ β θ
λ λ λ
−
< >= + − < > − −
−
(3.11)
При этом в уравнении баланса пористости, которое записывается в виде соотно-
шений (1.21), (1.2) – (1.5), (1.9), (1.10), (1.12) – (1.15), (1.19) (или (1.24)) при
2 0rrσ< >≥ (или (2.3)), (1.2) – (1.4), (2.1), (1.9), (1.10), (2.2), (1.12) – (1.15), (1.19) (или
(1.24)) при 2 0rrσ< >< , принимаем
* 2 * * * * * *
13 12 33 11 13 3 33 1
22 * * * 2
11 33 13
[( ) ] ( )
;
( )
λ λ λ ε λ β λ β θ
ε
λ λ λ
− < > − −
< >=
−
* * * * * * *
12 11 13 11 13 1 11 3
33 * * * 2
11 33 13
[( ) ] ( )
,
( )
λ λ λ ε λ β λ β θ
ε
λ λ λ
− < > − −
< >=
−
(3.12)
что эквивалентно условию (3.10).
На рис. 1 показаны кривые зависимостей пористости матрицы 2p от времени 2t
при различных значениях температуры θ и объемного содержания волокон 1.c На
графиках сплошной линией показаны кривые при объемном содержании волокон
1 0c = , штриховой линией – при 1 0,25c = , точечной линией – при 1 0,5c = , штрих-
пунктирной линией ─ при 1 0,75c = . Такие же обозначения приняты и на рис. 2. Гра-
0,75
0,50
0,25
105
0
p
2
t
2
θ = −20
ο
θ = 20
ο
Рис. 1
105
0,010
0,005
0
<σ
11
>/µ
2
t
2
θ = −20
ο
θ = 20
ο
Рис. 2
72
фики показывают, что с уменьшением температуры и увеличением объемного содер-
жания волокон микроповрежденность 2p увеличивается.
На рис. 2 показаны кривые зависимостей макронапряжения 11 2σ µ< > от време-
ни 2t при различных значениях температуры θ и объемного содержания волокон 1.c
Графики показывают, что эти кривые являются нисходящими для всех значений темпе-
ратуры и объемного содержания волокон. Однако следует отметить, что уменьшение
макронапряжений со временем не является монотонной функцией температуры и объ-
емного содержания волокон.
Р Е З ЮМ Е . Побудовано теорію довготривалої пошкоджуваності для волокнистих композит-
них матеріалів з урахуванням температурного впливу. Процес пошкоджуваності матриці композита
моделюється утворенням в ній стохастично розташованих мікропор. Критерій руйнування одиничного
мікрооб'єму характеризується його довготривалою міцністю, обумовленою залежністю часу крихкого
руйнування від ступеня близькості еквівалентного напруження до його граничного значення, що харак-
теризує короткочасну міцність за критерієм Шлейхера – Надаї, яке приймається випадковою функцією
координат. Для довільного моменту часу сформульовано рівняння балансу пошкодженості (пористості)
матриці з урахуванням температурної складової. Побудовано алгоритми обчислення залежностей мік-
ропошкоджуваності матриці від часу, макронапружень від часу, а також отримано відповідні криві та
досліджено вплив температури на деформування та мікропошкоджуваність матеріалу.
1. Березикович Я.С. Приближенные вычисления. – М.; Л.: ГИТТЛ, 1949. – 462 с.
2. Гузь А.Н., Хорошун Л.П., Ванин Г.А. и др. Механика материалов. – К.: Наук. думка, 1982. – 368 с. –
(Механика композитных материалов и элементов конструкций: В 3-х т.; Т.1).
3. Качанов Л.М. Основы механики разрушения. – М.: Наука, 1974. – 312 с.
4. Крегерс А.Ф. Математическое моделирование термического расширения пространственно армиро-
ванных композитов // Механика композитных материалов. – 1988. – № 3. – С. 433 – 441.
5. Тамуж В.П., Куксенко В.С. Микромеханика разрушения полимерных материалов. – Рига: Зинатне,
1978. – 294 с.
6. Хорошун Л.П. Методы теории случайных функций в задачах о макроскопических свойствах микро-
неоднородных сред // Прикл. механика. – 1978. – 14, № 2. – С. 3 – 17.
7. Хорошун Л.П., Маслов Б.П., Шикула Е.Н., Назаренко Л.В. Статистическая механика и эффективные
свойства материалов. – К.: Наук. думка, 1993. – 390 с. – (Механика композитов: В 12-ти т.; Т.3).
8. Khoroshun L.P. Principles of the Micromechanics of Material Damage. 1. Short-Term Damage // Int.
Appl. Mech. – 1998. – 34, N 10. – P. 1035 – 1041.
9. Khoroshun L.P. Micromechanics of Short-Term Thermal Microdamageability // Int. Appl. Mech. – 2001.
– 37, N 9. – P. 1158 –1165.
10. Khoroshun L.P. Principles of the Micromechanics of Material Damage. 2. Long-Term Damage // Int.
Appl. Mech. – 2007. – 43, N 2. – P. 127 – 135.
11. Khoroshun L.P., Shikula E.N. Mesomechanics of Deformation and Short-Term Damage of Linear Elastic
Homogeneous and Composite Materials // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 6. – P. 591 – 620.
12. Khoroshun L.P., Shikula E.N. Deformation and Long-Term Damage of Fibrous Materials with the Stress-
Rupture Microstrength of the Matrix Described by a Fractional-Power Function // Int. Appl. Mech. –
2009. – 45, N 11. – P. 1196 – 1205.
13. Khoroshun L.P., Shikula E.N. Coupled Processes of Deformation and Long-Term Damage of Fibrous
Materials with the Microdurability of the Matrix Described by an Exponential Power Function // Int.
Appl. Mech. – 2010. – 46, N 1. – P. 37 – 45.
Поступила 15.06.09 Утверждена в печать 07.12.2010
|