К теории устойчивости на временной шкале класса линейных систем при структурных возмущениях
An analysis of Lyapunov stability of linear systems of dynamical equations with periodic coefficients and structural perturbations on the time scale is carried out. Basing on the matrix-value concept of the Lyapunov direct method, the sufficient conditions of asymptotic stability for equations under...
Saved in:
| Date: | 2011 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України
2011
|
| Series: | Прикладная механика |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88006 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | К теории устойчивости на временной шкале класса линейных систем при структурных возмущениях / С.В. Бабенко // Прикладная механика. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 107-118. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88006 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-880062025-02-09T22:43:42Z К теории устойчивости на временной шкале класса линейных систем при структурных возмущениях Бабенко, С.В. An analysis of Lyapunov stability of linear systems of dynamical equations with periodic coefficients and structural perturbations on the time scale is carried out. Basing on the matrix-value concept of the Lyapunov direct method, the sufficient conditions of asymptotic stability for equations under consideration are obtained for all the values of the structural matrix from the structural set. As an example of application of theoretical results, the system of two dynamical equations on the time scale is considered. 2011 Article К теории устойчивости на временной шкале класса линейных систем при структурных возмущениях / С.В. Бабенко // Прикладная механика. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 107-118. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0032-8243 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88006 ru Прикладная механика application/pdf Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
An analysis of Lyapunov stability of linear systems of dynamical equations with periodic coefficients and structural perturbations on the time scale is carried out. Basing on the matrix-value concept of the Lyapunov direct method, the sufficient conditions of asymptotic stability for equations under consideration are obtained for all the values of the structural matrix from the structural set. As an example of application of theoretical results, the system of two dynamical equations on the time scale is considered. |
| format |
Article |
| author |
Бабенко, С.В. |
| spellingShingle |
Бабенко, С.В. К теории устойчивости на временной шкале класса линейных систем при структурных возмущениях Прикладная механика |
| author_facet |
Бабенко, С.В. |
| author_sort |
Бабенко, С.В. |
| title |
К теории устойчивости на временной шкале класса линейных систем при структурных возмущениях |
| title_short |
К теории устойчивости на временной шкале класса линейных систем при структурных возмущениях |
| title_full |
К теории устойчивости на временной шкале класса линейных систем при структурных возмущениях |
| title_fullStr |
К теории устойчивости на временной шкале класса линейных систем при структурных возмущениях |
| title_full_unstemmed |
К теории устойчивости на временной шкале класса линейных систем при структурных возмущениях |
| title_sort |
к теории устойчивости на временной шкале класса линейных систем при структурных возмущениях |
| publisher |
Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України |
| publishDate |
2011 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88006 |
| citation_txt |
К теории устойчивости на временной шкале класса линейных систем при структурных возмущениях / С.В. Бабенко // Прикладная механика. — 2011. — Т. 47, № 1. — С. 107-118. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Прикладная механика |
| work_keys_str_mv |
AT babenkosv kteoriiustoičivostinavremennoiškaleklassalineinyhsistempristrukturnyhvozmuŝeniâh |
| first_indexed |
2025-12-01T13:06:50Z |
| last_indexed |
2025-12-01T13:06:50Z |
| _version_ |
1850311349325791232 |
| fulltext |
2011 П РИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА Том 47, № 1
ISSN0032–8243. Прикл. механика, 2011, 47, № 1 107
С . В . Б а б е н к о
К ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ НА ВРЕМЕННОЙ ШКАЛЕ КЛАССА
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПРИ СТРУКТУРНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
Институт механики им. С.П. Тимошенко НАНУ,
ул. Нестерова 3, 03057, Киев, Украина; e-mail: center@inmech.kiev.ua
Abstract. An analysis of Lyapunov stability of linear systems of dynamical equations
with periodic coefficients and structural perturbations on the time scale is carried out. Bas-
ing on the matrix-value concept of the Lyapunov direct method, the sufficient conditions of
asymptotic stability for equations under consideration are obtained for all the values of the
structural matrix from the structural set. As an example of application of theoretical results,
the system of two dynamical equations on the time scale is considered.
Key words: asymptotic stability; structural perturbations; time scale; dynamic equa-
tions; Lyapunov direct method.
Введение.
Динамические уравнения на временных шкалах наиболее адекватно моделируют
непрерывно-дискретные во времени процессы, унифицируя подход к исследованию
непрерывных систем и дискретных во времени систем. Определенный интерес
представляет задача об устойчивости крупномасштабных механических систем со
структурными возмущениями на временной шкале.
Теория устойчивости непрерывных крупномасштабных механических систем со
структурными возмущениями изложена в монографиях [1, 2]. В работе [3] положено
начало исчислению на временных шкалах. В работах [4 – 6] разработан прямой метод
Ляпунова исследования устойчивости решений динамических уравнений на
временных шкалах.
Целью данной статьи является получение достаточных условий асимптотической
устойчивости линейных динамических уравнений с периодическими коэффициентами
и структурными возмущениями на временной шкале.
1. Постановка задачи.
Рассмотрим линейную систему динамических уравнений n -го порядка
= ( ) ,x A t x∆ (1)
заданную на ω -периодической ( > 0ω ) временной шкале T , т.е. функция зернистости
которой ( ) = ( )t t tµ σ − удовлетворяет равенству ( ) = ( )t tµ ω µ+ при всех t T∈ , и
1 2( ) = { ( ), ( ), ... , ( )}NA t A t A t A t∈ ℑ , где функции ( , )k n n
rdA C T ×∈ ℜ � (принадлежат мно-
жеству rd -непрерывных регрессивных на T функций [9]) ( = 1, 2, ... ,k N ) предпо-
лагаем периодическими с периодом = p qτ ω , где p и q – некоторые натуральные
числа.
Примем также, что система (1) допускает декомпозицию на две подсистемы
размерностей 1n и 2n ( 1 2 =n n n+ ) следующим образом:
108
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
= ( ) ,
= ( ) ,
x A x A t x
x A t x A x
∆
∆
+
+
(2)
где 1 2( = ( , ) )
n T T Ti
ix x x x∈� , iiA – i in n× -постоянные матрицы, а
1 2
12 1 12 12 12( ) = { ( ), ( ), ... , ( )};NA t A t A t A t∈ ℑ
1 2
21 2 21 21 21( ) = { ( ), ( ), ... , ( )}.NA t A t A t A t∈ ℑ
При этом число N в определении семейств вариации показателя ( )k t на
множестве 1 = {1, 2, ... , }N N , 1( )k t N∈ , t T∀ ∈ , описывает структурные изменения
систем (1) и (2).
Следуя работе [2], для более точного описания структурных изменений системы
(1) введем следующие обозначения.
Структурный параметр : {0, 1}ijs T → – ( , )i j -й элемент структурной матрицы
: in Nn
i
iS T
×
→ R i -й подсистемы 1 2= ( , , ... , )i i n i n iN n
i i i
S s I s I s I , = 1, 2i , который является
таким, что из соотношения = 1ijs следует, что = 0iks при всех k j≠ . Функции 1h и
2h , определяемые равенствами
1 2
1 12 12 12( ) = (( ) ( ), ( ) ( ), ... , ( ) ( )) ;T T N T Th t A t A t A t
1 2
2 21 21 21( ) = (( ) ( ), ( ) ( ), ... , ( ) ( )) ,T T N T Th t A t A t A t
входят в правую часть системы динамических уравнений
1 11 1 1 1 2
2 2 2 1 22 2
= ( ) ( ) ;
= ( ) ( ) .
x A x S t h t x
x S t h t x A x
∆
∆
+
+
(3)
Матрица ( )S t , которая определяется выражением
1 12
21 2
= , ,
jn n
i
ij
S O
S O
O S
×
∈
R
называется структурной матрицей системы (1), а множество S всех возможных
матриц ( )S t – структурным множеством системы (1). Если принять
11 12
0 1 2
21 22
= ; ; = ( , ) ,
jn n T T Ti
ij
A O
A O h h h
O A
×
∈
R
то исходную систему можно описать так:
0= ( ) ( ) ; ( ) .x A x S t h t x S t t T∆ + ∈ ∀ ∈S� (4)
Для системы (4) установим условия устойчивости решения = 0x при каждом
S ∈S .
2. Методика исследования.
Для решения поставленной задачи воспользуемся прямым методом Ляпунова для
динамических уравнений, следуя которому построим для системы (4) матричнознач-
ную функцию Ляпунова 2
, =1( , ) = [ ( , )]ij i jU t x v t x , компоненты которой определяются
следующим образом:
109
( , ) = ,T
ij i ij jv t x x P x
где квадратные матрицы iiP порядка in являются постоянными, матрица 12P размер-
ности 1 2n n× – ∆ -дифференцируемая функция от t , а 21 12= TP P . На основании
матричнозначной функции ( , )U t x построим скалярную функцию Ляпунова в виде
2( , , ) = ( , ) ,Tv t x U t xθ θ θ θ +∈� (5)
или покомпонентно имеем
2 2
1 11 1 2 12 21 2 22
2 2
1 1 11 1 1 2 1 12 2 2 2 22 2
( , , ) = ( , ) ( ( , ) ( , )) ( , ) =
= 2 .T T T
v t x v t x v t x v t x v t x
x P x x P x x P x
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
+ + +
+ +
Функция (5) дает возможность получить достаточные условия устойчивости
решения = 0x системы (4) (такой результат содержится в теореме 1 данной статьи).
Следующие леммы являются вспомогательными для получения этих условий.
Рассмотрим линейное однородное матричное динамическое уравнение
1 2 1 2 1 2
1 2
( ( ) ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0,T T T
n nI t A X t I t A A X t X t A t A X t Aµ µ µ∆+ + + + + +
где 21:
n n
X T
×
→ � , 1 1
1
n n
A
×∈� , 2 2
2
n n
A
×∈� , а
1
nI и
2
nI – единичные матрицы порядка
1n и 2n , соответственно.
Лемма 1. Если матрицы 1A и 2A в уравнении (7) являются регрессивными, то его
решение ( )X t с начальным условием 0 0( ) =X t X представляется в виде
0 0( ) = ( , ) ,X t t t XΦ
где оператор 0( , )t tΦ определен при всех 0 ,t t T∈ в пространстве 1 2n n× -матриц и
действующий по правилу
0 0 0
1 2
1 1( , ) = ( ( , )) ( , ),T
A At t X e t t Xe t t− −Φ
где 0( , )A
i
e t t ( = 1, 2i ) обозначает экспоненциальную функцию [9] системы линейных
динамических уравнений in -го порядка: = ix A x∆ .
Обозначим ( )
1 ( )
u
u
t u
κ
µ
= −
+
и, следуя работе [9], через α β⊕ обозначим
регрессивную сумму функций ( )tα и ( )tβ , равную ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t tα β µ α β+ + . Следу-
ющая лемма характеризует спектр оператора 0( , )t tΦ .
Лемма 2.
( )0 0 1 2( ( , )) = { ( , ) | ( ), ( )}
j k
j kt t e t t A A
κ α β
σ α σ β σ
⊕
Φ ∈ ∈ при всех 0t t≥ из
шкалы.
Следующая лемма дает условия существования периодического решения ( )X t
уравнения
1 2 1 2 1 2
1 2
( ( ) ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ),T T T
n nI t A X t I t A A X t X t A t A X t A F tµ µ µ∆+ + + + + + (6)
где ( , )n n
rdF C T ×∈ ℜ � – τ -периодическая функция; 1A , 2A – регрессивные матрицы
размерностей 1n и 2n , соответственно. Обозначим = =q pχ τ ω .
110
Лемма 3. Если при некотором 0t T∈ выполняется неравенство ( ) 0 0( , ) 1
j k
e t tκ α β χ⊕ + ≠
при любых 1( )j Aα σ∈ , 2( )k Aβ σ∈ , то уравнение (6) имеет единственное χ -периоди-
ческое решение, которое начинается с 0t и определяется по формуле
0
1
0 0 0 0
0 0
( ) = ( , )( ( , )) ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) .
t t
t t
X t t t E t t t s F s s t s F s s
χ
χ χ σ σ−
+
Φ − Φ + Φ + ∆ + Φ ∆∫ ∫
Перед тем, как сформулировать и доказать основную теорему, введем некоторые
обозначения
2
1 1 11 11 11 11 11 11 11 1 2 11 12 2 2
2
2 2 2 22 2 2
( , ( )) = ( ( ) ) 2 ( ( ) ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( );
T T T
T T
B t S t A P P A t A P A I t A P t S t h t
t h t S t P S t h t
σθ µ θ θ µ
θ µ
+ + + + +
+
2
2 1 1 1 11 1 1 1 2 1 1 12 22
2
2 22 22 22 22 22 22 22
( , ( )) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )( ( ) )
( ( ) );
T T T T
T T
B t S t t h t S t P S t h t h t S t P t I t A
A P P A t A P A
σθ µ θ θ µ
θ µ
+ + +
+ + +
2
1 11 11 11 1 1 1 2 11 12 22
2
11 12 12 22 11 12 22 2 2 2 22 22 22
( , ( )) = ( ( ) )( ) ( ) ( ) 2 (( ( ) ) ( )( ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )( )( ( ) );
T T T
T T T T T
C t S t I t A P P S t h t I t A P t I t A
A P t P t A t A P t A h t S t P P I t A
θ µ θ θ µ µ
µ θ µ
∆+ + + + + +
+ + + + + +
1 2
11 11 11 1 1 2 2 22 22 22
2 1
( , ( )) = ( ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ( ) );
2 2
T T T T T
F t S t I t A P P S t h t h t S t P P I t A
θ θ
µ µ
θ θ
− + + − + +
1 2 2 2 12 1 1( , ( )) = 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( );T T TD t S t t h t S t P S t h tσθ θ µ
1 1 0
2 2 0
1
( , ( )) ( , ) ( , ( )) ( , ( ))
2
( , ( )) .
1
( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , )
2
B t S t B t S C t S t D t S t
K t S t
C t S t D t S t B t S t B t S
− +
=
+ −
Пусть также в выражении для 0( , )t tΦ : 1 11=A A и 2 22=A A .
Теорема 1. Если существует значение 0S структурной матрицы ( )S t из струк-
турного множества S системы (1), положительно определенные матрицы 1 1
11
n n
P
×∈� ,
2 2
22
n n
P
×∈� и действительные числа 1 2, , , > 0θ θ δ ε такие, что при всех 0t T∈ , 0t t≥ и
S ∈S выполняются неравенства:
1)
( ) 0 0( , ) 1
j k
e t t
κ α β
χ
⊕
+ ≠ при всех 11( )j Aα σ∈ , 22( )k Aβ σ∈ ;
2)
2
12 11 222 ( ) ( ) ( );m mP t P Pδ λ λ+ ≤ 3) 1 1 0: ( ( , )) < 0;M M B t Sλ λ=
4) 2 2 0: ( ( , )) < 0M M B t Sλ λ= ; 5) 1 2( ( , ( ))) < max{ , } ,M M MK t S tλ λ λ ε− − −
где 12 ( )P t обозначает χ -периодическую функцию
0
0
0
1
12 0 0 0 0 0 0( ) = ( , )( ( , )) ( , ( )) ( , ) ( , ( )) ( , )
t t
t
t
P t t t E t t t F S t F S
χ
χ χ σ τ τ τ σ τ τ τ
+
−Φ − Φ + Φ + ∆ + Φ ∆∫ ∫
111
(существование которой обеспечивается условием 1) теоремы 1 согласно лемме 3), то
решение = 0x системы (4) асимптотически устойчиво при каждом S ∈S .
Доказательство. Покажем, что функция ( , , )v t x θ , в которой матрицы 11P , 22P и
12 ( )P t выбраны в соответствии с условиями теоремы, удовлетворяет всем условиям
теоремы 4.2 [7], обеспечивающим асимптотическую устойчивость решения = 0x
исследуемой системы.
Условие 2) теоремы 1 гарантирует положительную определенность функции
( , , )v t x θ при произвольным образом выбранных 1 2,θ θ +∈� . Действительно, справед-
лива оценка
22 2 2
1 1 11 1 1 2 1 12 2 2 2 22 2 1 1 11
22
1 2 1 2 12 2 2 22
( , , ) = 2 ( ) ( )
2 ( ) ( ).
T T T
m
m
v t x x P x x P t x x P x x P
x x P t x P
θ θ θ θ θ θ λ
θ θ θ λ
+ + ≥ −
− +
В силу условия 2) теоремы 1: 11 22
12
( ) ( )
( )
2
m mP P
P t
λ λ δ−
− ≥ − , поэтому
2 22 2
1 1 11 1 2 1 2 11 22 2 2 22( , , ) ( ) 2( ( ) ( ) ) ( ).m m m mv t x x P x x P P x Pθ θ λ θ θ λ λ δ θ λ≥ − − +
Главные миноры матрицы
2 11 22
1 11 1 2
211 22
1 2 2 22
( ) ( )
( )
2
( ) ( )
( )
2
m m
m
m m
m
P P
P
M
P P
P
λ λ δ
θ λ θ θ
λ λ δ
θ θ θ λ
−
−
=
−
−
квадратичной формы в правой части являются положительными вследствие положи-
тельной определенности матрицы 11P . Поэтому M – положительно-определенная
матрица по критерию Сильвестра [3]. Таким образом, ( , , )v t x θ допускает оценку
снизу положи-тельно-определенной функцией, зависящей только от x и θ , т.е.
является положи-тельно-определенной функцией.
Вычислим ∆ -производную функции ( , , )v t x θ в силу системы (4). Воспользовав-
шись формулой, согласно которой для любых ∆ -дифференцируемых функций f и g
имеет место равенство ( ) =fg f g f gσ∆ ∆ ∆+ , на основании введенных перед формули-
ровкой теоремы обозначений, получим следующее выражение:
(4) 1 1 1 2 2 2 1 2( , , ) | = ( , ( )) ( , ( )) ( ( , ( )) ( , ( ))) ,T T Tv t x x B t S t x x B t S t x x C t S t D t S t xθ∆ + + +
которое перепишем так:
(4) 1 1 0 1 2 2 0 2 1 0 2 1 1 1 0 1
2 2 2 0 2 1 0 2
( , , ) | = ( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ( )) ( , ))
( ( , ( )) ( , )) ( ( , ( )) ( , ( )) ( , )) .
T T T T
T T
v t x x B t S x x B t S x x C t S x x B t S t B t S x
x B t S t B t S x x C t S t D t S t C t S x
θ∆ + + + − +
+ − + + −
Исходя из выражений для функций ( , ( ))C t S t и ( , ( ))F t S t и используя лемму 3,
видим, что функция 12 ( )P t является χ -периодическим решением динамического
уравнения 0( , ) = 0C t S , вследствие чего ∆ -производная функции ( , , )v t x θ в силу
системы (4) примет вид
(4) 1 1 0 1 2 2 0 2 1 1 1 0 1
2 2 2 0 2 1 2
( , , ) | = ( , ) ( , ) ( ( , ( )) ( , ))
( ( , ( )) ( , )) ( ( , ( )) ( , ( ))) .
T T T
T T
v t x x B t S x x B t S x x B t S t B t S x
x B t S t B t S x x C t S t D t S t x
θ∆ + + − +
+ − + +
112
Учитывая условия 3) – 5) теоремы 1, оценим сверху выражение в правой части
полученного выражения. Тогда имеем
(4) 1 1 0 1 2 2 0 2 1 1 1 0 1
2
2 2 2 0 2 1 2 1 1
2 2 2
2 2 1 1 0 1 2 2 0 2
( , , ) | ( , ) ( , ) | ( ( , ( )) ( , )) |
| ( ( , ( )) ( , )) | | ( ( , ( )) ( , ( ))) |
( , ( )) ( , ) ( , ( )) ( , )
T T T
T T
M
M
v t x x B t S x x B t S x x B t S t B t S x
x B t S t B t S x x C t S t D t S t x x
x B t S t B t S x B t S t B t S x
θ
λ
λ
∆ ≤ + + − +
+ − + + ≤ +
+ + − + − +
2 2 2
1 2 1 1 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 2 2
( , ( )) ( , ( )) ( ( , ( )))
(max{ , } )( )
( max{ , }) ( max{ , }) .
M M M
M M M M
M M M M M M
C t S t D t S t x x x x K t S t x
x x x x
x x x x
λ λ λ
λ λ λ λ ε
λ λ λ λ λ λ ε ε
+ + ≤ + + <
< + + − − − + =
= + − − + + + − − − ≤ −
Таким образом, функция ( , , )v t x θ удовлетворяет всем условиям теоремы 4.2 [7]
относительно асимптотической устойчивости для каждого S ∈S . Поэтому решение
= 0x системы (4) асимптотически устойчиво при всех S ∈S . Теорема доказана.
Положив в условии теоремы 1 T = � и T = � , легко получить достаточные условия
устойчивости линейных систем дифференциальных и, соответственно, систем разностных
уравнений с периодическими коэффициентами при всех S ∈S . В первом случае функция
зернистости ( ) = 0tµ при всех t ∈� , экспоненциальная функция 0( )
0( , ) =
A t t
Ae t t e
−
, а
оператор 0( , )t tΦ действует по правилу 11 0 22 0( ) ( )
0( , ) =
T
A t t A t t
t t X e Xe
− − − −Φ и поэтому зависит
только от разности 0t t− , т.е. 0( , )t tΦ = 1 0= ( )t tΦ − . Во втором случае ( ) = 1tµ при
всех t ∈� , 0
0( , ) = ( )
t t
Ae t t I A
−+ и 0 0
0 11 22 2 0( , ) = ( ) ( ) = ( )
t t t tTt t X I A X I A t t X
− −Φ + + Φ − ,
причем запись ( )rI A+ при отрица-тельном показателе, являющемся целым, означает
r -ую степень матрицы 1( )I A −+ , обратной к I A+ . Таким образом, имеют место
такие следствия.
Следствие 1. Если существует значение 0S структурной матрицы ( )S t из струк-
турного множества S системы дифференциальных уравнений
= ( ) ,
dx
A t x
dt
а также положительно определенные матрицы 1 1
11
n n
P
×∈� , 2 2
22
n n
P
×∈� и действи-
тельные числа 1 2, , , > 0θ θ δ ε такие, что при всех 0t ∈� , 0t t≥ и S ∈S выполняются
неравенства:
1)
2
j k
liπ
α β
χ
+ ≠ при всех l ∈� , 11( )j Aα σ∈ , 22( )k Aβ σ∈ ;
2)
2
12 11 222 ( ) ( ) ( );m mP t P Pδ λ λ+ ≤ 3) 1 1 0: ( ( , )) < 0M M B t Sλ λ= ;
4) 2 2 0: ( ( , )) < 0;M M B t Sλ λ= 5) 1 2( ( , ( ))) < max{ , } ,M M MK t S tλ λ λ ε− − −
где введем обозначения
1 11 22
12 1 0 1 0 0
0
( ) ( )
( ) = ( )( ( )) ( , )
T
A A
P t t t E e F t S e d
χ
χ τ χ τ
χ τ τ
− −− − −
Φ − − Φ + +∫
11 22
0
0
( ) ( )
( , ) ;
T
A A
t
t
t t
e F S e d
τ τ
τ τ
− −− −
+∫
113
2
1 1 11 11 11 11 1 2 12 2 2( , ( )) = ( ) 2 ( ) ( ) ( );TB t S t A P P A P t S t h tθ θ θ+ +
2
2 1 2 1 1 12 2 22 22 22 22( , ( )) = 2 ( ) ( ) ( ) ( );T T TB t S t h t S t P t A P P Aθ θ θ+ +
2 2
1 11 11 1 10 1 2 2 2 20 22 22( , ( )) = ( )( ( ) ) ( ) ( )( ( ) ) ( );T T T TC t S t P P S t S h t h t S t S P Pθ θ+ − + − +
1 2
11 11 1 1 2 2 22 22
2 1
( , ( )) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( );
2 2
T T T T
F t S t P P S t h t h t S t P P
θ θ
θ θ
− + − +
1 2 12 2 20 2
1 2 1 1 10 12
1
2 ( )( ( ) ) ( ) ( , ( ))
2
( , ( )) .
1
( , ( )) 2 ( )( ( ) ) ( )
2
T T
P t S t S h t C t S t
K t S t
C t S t h t S t S P t
θ θ
θ θ
−
=
−
Тогда решение = 0x системы
0= ( ) ( ) , ( ) ,
dx
A x S t h t x S t t
dt
+ ∈ ∀ ∈�S
асимптотически устойчиво при всех S ∈S .
Следствие 2. Если существует значение 0S структурной матрицы ( )S t из струк-
турного множества S системы разностных уравнений
( ) = ( ) ,x t A t x∆
а также положительно определенные матрицы 1 1
11
n n
P
×∈� , 2 2
22
n n
P
×∈� и действитель-
ные числа 1 2, , , > 0θ θ δ ε такие, что при всех 0t ∈� , 0t t≥ и S ∈S выполняются
неравенства:
1)
1
1
1
j k
j k j k
χ
α β
α β α β
+
≠ + + +
, при всех 11( )j Aα σ∈ , 22( )k Aβ σ∈ ;
2)
2
12 11 222 ( ) ( ) ( );m mP t P Pδ λ λ+ ≤ 3) 1 1 0: ( ( , )) < 0;M M B t Sλ λ=
4) 2 2 0: ( ( , )) < 0;M M B t Sλ λ= 5) 1 2( ( , ( ))) < max{ , } ,M M MK t S tλ λ λ ε− − −
где принято
1
1
12 2 0 2 11 0 0 22
=0
( ) = ( )( ( )) ( ) ( , )( )TP t t t E I A F t S I A
χ
τ χ τ χ
τ
χ τ
−
− − −Φ − − Φ + + + +∑
11 0 22
=
0
1
( ) ( , )( ) ;T t t
t
t
I A F S I Aτ τ
τ
τ− −
−
+ + +∑
2
1 1 11 11 11 11 11 11 11 1 2 11 12 2 2( , ( )) = ( ) 2 ( ) ( 1) ( ) ( )T T TB t S t A P P A A P A I A P t S t h tθ θ θ+ + + + + +
2
2 2 2 22 2 2( ) ( ) ( ) ( );T Th t S t P S t h tθ+
2
2 1 1 1 11 1 1 1 2 1 1 12 22( , ( )) = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( 1)( )T T T TB t S t h t S t P S t h t h t S t P t I Aθ θ θ+ + + +
114
2
2 22 22 22 22 22 22 22( );T TA P P A A P Aθ+ + +
2 2
1 11 11 11 1 10 1 2 2 2 20 22 22 22( , ( )) = ( )( )( ( ) ) ( ) ( )( ( ) ) ( )( );T T T T TC t S t I A P P S t S h t h t S t S P P I Aθ θ+ + − + − + +
1 2
11 11 11 1 1 2 2 22 22 22
2 1
( , ( )) = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( );
2 2
T T T T T
F t S t I A P P S t h t h t S t P P I A
θ θ
θ θ
− + + − + +
1 2 2 2 12 1 1( , ( )) = 2 ( ) ( ) ( 1) ( ) ( );T T TD t S t h t S t P t S t h tθ θ +
1 1 0
2 2 0
1
( , ( )) ( , ) ( , ( )) ( , ( ))
2
( , ( )) .
1
( , ( )) ( , ( )) ( , ( )) ( , )
2
B t S t B t S C t S t D t S t
K t S t
C t S t D t S t B t S t B t S
− +
=
+ −
Тогда решение = 0x системы
0( ) = ( ) ( ) ; ( ) ;x t A x S t h t x S t t T∆ + ∈ ∀ ∈S�
асимптотически устойчиво при всех S ∈S .
3. Пример.
Рассмотрим систему динамических уравнений
1
2
= ( , ) ;
= ( , ) ,T
x x A t y
y A t x y
ρ α ω
β ω ρ
∆
∆
+
+
(7)
где 2,x y ∈� , = [ , ]
k
t T k kγ γ
∈
∈ +
�
∪ , (0,1)γ ∈ , 1 2,ρ ρ ∈� , [0, 2 )ω π∈ ,
cos sin
( , ) .
sin cos
t t
A t
t t
ω ω
ω
ω ω
=
−
В силу 1 -периодичности шкалы Tγ и = 2τ π ω -периодичности функции ( , )A tω
полагаем, что существуют ,p q ∈� ( ( , ) = 1p q ) такие, что = 2 = p qτ π ω , т.е.
= =q pχ τ .
Пример (7) в частном случае, когда шкала совпадает з множеством целых чисел,
рассмотрен в работе [12].
Параметры α и β , отвечающие за структурные возмущения, принимают значе-
ния из множеств 1 2{ , }α α и 1 2{ , }β β , соответственно. Так как матрицы 1 ( , )A tα ω и
2 ( , )A tα ω отличаются только скалярным множителем, то вместо произведений
1 1( ) ( )S t h t будем писать 1 1( ) ( , )S t h A tω , где 1 11 12( ) = ( , )S t s s , 1 1 2= ( , )Th α α . Аналогично,
вместо 2 2( ) ( )S t h t будем писать 2 2( ) ( , )TS t h A tω , где 2 21 22( ) = ( , )S t s s , 1 1 2= ( , )Th β β .
Структурный параметр : {0, 1}ijs T → – ( , )i j -й элемент структурной матрицы ( )S t
системы (7), который является таким, что из соотношения = 1ijs следует, что = 0iks
при всех k j≠ и = 1kjs при всех k .
При помощи теоремы 1 вычислим условия асимптотической устойчивости реше-
ния = 0x , = 0y системы (7) при всех S ∈S . Для этого определим выражения для
функций 12 ( )P t , 1( , ( ))B t S t , 2 ( , ( ))B t S t , ( , ( ))C t S t , ( , ( ))F t S t , ( , ( ))D t S t , полагая, что
115
1 2= = 1θ θ , 11 =P I , 22 =P I и 0
1 0
=
0 1
S
. Поскольку 11 1=A Iρ и 22 2=A Iρ , то
0 0
11 1
( , ) = ( , )Ae t t e t t Iρ , 0 0
22 2
( , ) = ( , )Ae t t e t t Iρ и тогда ( )1 2
0 0( , ) = ( , )t t e t t I
κ ρ ρ⊕
Φ . Пусть
0 = 0t и t k γ≠ + , тогда
( )
( )1 2
1 2
[ ]{ }
( , 0) = ,tt
e t e
ρ ρ
κ ρ ρ
λ
− +
⊕
где принято
( )1 2
1 2
= .
(1 (1 ) )(1 (1 ) )
e
ρ ρ γ
λ
γ ρ γ ρ
− +
+ − + −
(8)
Полученное выражение для ( )1 2
( , 0)e t
κ ρ ρ⊕
верно и в случае =t k γ+ , в чем легко
убедиться непосредственно. Далее имеем
1 1 1 2 2 2( , ( )) = ( ( ) (1 ( ) ) ( ) (1 ( ) )) ( , ).F t S t S t h t S t h t A tµ ρ µ ρ ω− + − + (9)
Используя (8) и (9), находим
1 2
0
2 10
( ) ( )
( , ( )) ( , ) : ( ),
( ) ( )
t t t
t F S t
t t
ϕ ϕ
σ τ τ τ
ϕ ϕ
Φ ∆ = = Ω
−
∫
где 1( )tϕ определяется по формуле
( )1 2 [ ]1 1
1 1 1
2 2
1 2
{ }
( ) = (cos( ) ( ( , [ ], ) ( ))),
( )
tt
t t e g t f
ρ ρα β
ϕ ω ϕ λ ϕ λ λ
ω ρ ρ
− ++
− − + +
+ +
(10)
в которой
( )
( )
1 2
1 2
2
1 2
2 2
1
( ) = ( ( cos( ) cos(( 1) ))
2 cos 1
( cos cos( )) ( ) ( cos cos( 1) ));
f e
e
ρ ρ
ρ ρ
γλ λ ωγ ϕ λ γ ω ϕ
λ λ ω
γλ ϕ λ ω ϕ δ γ λ ωγ λ γ ω
+
+
− − − − −
− +
− − + + − −
( )
( )
( ) ( )
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1
( , [ ], ) = ( cos( [ ] ) cos( ([ ] 1 ) )
2 cos 1
( ) cos ([ ] 1 ) (cos( ([ ] 1) )
cos( ([ ] ) ) ( ) cos ([ ] )));
g t t e t
e t t
e t e t
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
γλ ϕ ω ϕ λ ω γ ϕ
λ λ ω
γδ γ λ ω γ λ ω ϕ
γ γλ ω γ ϕ δ γ λ ω γ
+
+
+ +
− − + − + − +
− +
+ − + + + − −
− + − − +
1 1 1 2
1 1
(1 )( (1 (1 ) ) (1 (1 ) )
( ) = ;
γ α γ ρ β γ ρ
δ γ
α β
− + − + + −
+
ϕ обозначает вспомогательный угол, для которого
1 2
2 2
1 2
cos = ;
( )
ρ ρ
ϕ
ω ρ ρ
+
+ +
sinϕ =
2 2
1 2( )
ω
ω ρ ρ
=
+ +
.
Аналогично 2 ( )tϕ находится по формуле
( )1 2 [ ]1 1
2 2 2
2 2
1 2
{ }
( ) = (sin( ) ( ( , [ ], ) ( ))) ,
( )
tt
t t e g t f
ρ ρα β
ϕ ω ϕ λ ϕ λ λ
ω ρ ρ
− ++
− − + +
+ +
(11)
116
в которой
( )
( )
1 2
1 2
2
2 2
2 2
1
( ) = ( ( sin( ) sin(( 1) ))
2 cos 1
( sin sin( )) ( ) ( sin sin( 1) ));
f e
e
ρ ρ
ρ ρ
γλ λ ωγ ϕ λ γ ω ϕ
λ λ ω
γλ ϕ λ ω ϕ δ γ λ ωγ λ γ ω
+
+
− − − − −
− +
− − + + − −
( )
( ) ( )
( )
1 2
1 2 1 2
1 2
2 2
1
( , [ ], ) = ( sin( [ ] ) sin( ([ ] 1 ) )
2 cos 1
( ) sin ([ ] 1 ) (sin( ([ ] 1) ) sin( ([ ] ) )
( ) sin ([ ] ))).
g t t e t
e t t e t
e t
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ
γλ ϕ ω ϕ λ ω γ ϕ
λ λ ω
γ γδ γ λ ω γ λ ω ϕ λ ω γ ϕ
γδ γ λ ω γ
+
+ +
+
− − + − + − +
− +
+ − + + + − − + − −
− +
Из (8), (10) и (11) имеем
( )
( )
( )1 2
1 2
1 2
(1) (2)[ ]
12 12
12 (2) (1)
12 12
{ }( , 0) ( ) ( )
( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) : ,
1 ( , 0) 1 ( ) ( )
t
p
te t p t p te
P t p t p t
e p p t p t
ρ ρ
κ ρ ρ
κ ρ ρ
λ
λ
− +
⊕
⊕
Ω + Ω Ω + Ω =
− − −
где
1 2
1 2
( )(1) 1 1
12 1
2 2
1 2
( )(2) 1 1
12 2
2 2
1 2
{ }
( ) = (cos( ) ( ,[ ], ));
( )
{ }
( ) = (sin( ) ( ,[ ], )).
( )
t
p t t e g t
t
p t t e g t
ρ ρ
ρ ρ
α β
ω ϕ λ ϕ
ω ρ ρ
α β
ω ϕ λ ϕ
ω ρ ρ
− +
− +
+
− − +
+ +
+
− − +
+ +
(12)
При помощи формул (12) вычислим элементы матриц 1( , ( ))B t S t , 2 ( , ( ))B t S t ,
( , ( ))C t S t , ( , ( ))D t S t . Введем обозначения:
1 2( )1 1
1 1
2 2
1 2
( ) { }
= (cos ( , { }, ));
( )
t
r e g t
ρ ρα β
ϕ λ ϕ
ω ρ ρ
− ++
− + −
+ +
1 2( )1 1
2 2
2 2
1 2
( ) { }
= ( sin ( , { }, )),
( )
t
r e g t
ρ ρα β
ϕ λ ϕ
ω ρ ρ
− ++
− − + −
+ +
через которые указанные элементы определятся следующим образом:
(1) (1) 2 2 1 1 1
11 22 1 1 1
2 2
2 ( )(1 ( ) ) 2
= = 2 ( ) ( ) 2 ( ) ;
(1 ( ) ) 1 ( )
t t r
b b t t t
t t
α βµ µ ρ β
ρ µ ρ µ β µ β β
µ ρ µ ρ
+
+ + − − +
+ +
(1) (1)
12 21 2= = ;b b r−
(2) (2) 2 2 1 2 1
11 22 2 2 1
1 1
2 ( )(1 ( ) ) 2
= = 2 ( ) ( ) 2 ( ) ;
(1 ( ) ) 1 ( )
t t r
b b t t t
t t
αβ µ µ ρ α
ρ µ ρ µ α µ α α
µ ρ µ ρ
+
+ + − − +
+ +
(2) (2)
12 21 2= = ;b b r−
11 22 1 1 1 2= = 2(( )(1 ( ) ) ( )(1 ( ) ))cos ;c c t t tα α µ ρ β β µ ρ ω− + + − +
12 21 1 1 1 2= = 2(( )(1 ( ) ) ( )(1 ( ) ))sin ;c c t t tα α µ ρ β β µ ρ ω− − + + − +
117
1 2
1 1
11 22
2 2
1 2 1 2
( ) 1 1
1
2 1
2 ( ) ( )
= = (cos(3 )
(1 ( ) )(1 ( ) ) ( )
( ) ( ){ }
( , [ ] 2 , )) cos3 ;
1 ( ) 1 ( )
t
d d t
t t
t tt
e g t t t
t t
ρ ρ
µ αβ α β
ω ϕ
µ ρ µ ρ ω ρ ρ
α µ β µ
λ ϕ ω
µ ρ µ ρ
− +
+
− − +
+ + + +
− −
+ + + +
+ +
1 2
1 1
12 21
2 2
1 2 1 2
( ) 1 1
2
2 1
2 ( ) ( )
= = (sin(3 )
(1 ( ) )(1 ( ) ) ( )
( ) ( ){ }
, [ ] 2 , )) sin 3 .
1 ( ) 1 ( )
t
d d t
t t
t tt
e g t t t
t t
ρ ρ
µ αβ α β
ω ϕ
µ ρ µ ρ ω ρ ρ
α µ β µ
λ ϕ ω
µ ρ µ ρ
− +
+
− − − +
+ + + +
− −
+ + + +
+ +
Далее определяем max ( ( , ))K t Sλ
2 2 2
max 1 2 1 2 11 11 12 12
1
( ( , )) = ( ( ) 2(( ) ( ) )),
2
K t S k k k k d c d cλ + + − + + + +
где
1 1 1
1 1 1
2 2
2 2 ( )(1 ( ) )
= 2 ( ) ( )( ) ;
1 ( ) 1 ( )
r t t
k t
t t
α µ µ ρ
β β µ β β
µ ρ µ ρ
+
− + − −
+ +
1 1 2
2 1 1
1 1
2 2 ( )(1 ( ) )
= 2 ( ) ( )( ) .
1 ( ) 1 ( )
r t t
k t
t t
β µ µ ρ
α α µ α α
µ ρ µ ρ
+
− + − −
+ +
Таким образом, условиями асимптотической устойчивости решения = 0x , = 0y
системы (7) при всех S ∈S , является, согласно теореме 1, выполнение при всех 0t ≥ ,
1 2{ , }α α α∈ и 1 2{ , }β β β∈ системы следующих неравенств:
1 2( )
1 2
1;
(1 (1 ) )(1 (1 ) )
e
ρ ρ γ
γ ρ γ ρ
− +
≠
+ − + −
( )1 2 1 2
2
( ) 2( ) 2 21 1
1 1 22 2
1 2
4( ) { } { }
1 2 ( , { }, 0) ( ( , [ ], ) ( , [ ], )) 1 ;
( )
t t
e g t e g t g t
ρ ρ ρ ρα β
λ λ ϕ λ ϕ δ
ω ρ ρ
− + − ++
+ + + ≤ −
+ +
(1) 2 2 1 1 1
11 1 1 1
2 2
2 ( )(1 ( ) ) 2
= 2 ( ) ( ) 2 ( ) < 0;
(1 ( ) ) 1 ( )
t t r
b t t t
t t
α βµ µ ρ β
ρ µ ρ µ β µ β β
µ ρ µ ρ
+
+ + − − +
+ +
(2) 2 2 1 2 1
11 2 2 1
1 1
2 ( )(1 ( ) ) 2
= 2 ( ) ( ) 2 ( ) < 0;
(1 ( ) ) 1 ( )
t t r
b t t t
t t
αβ µ µ ρ α
ρ µ ρ µ α µ α α
µ ρ µ ρ
+
+ + − − +
+ +
2 2 2 (1) (2)
1 2 1 2 11 11 12 12 11 11
1
( ( ) 2(( ) ( ) )) < max{ , } ,
2
k k k k d c d c b b ε+ + − + + + + − − −
где δ и ε – наперед заданные положительные числа, а ( ) = 0tµ или 1 γ− .
118
Заключение.
Исследована система линейных динамических уравнений с периодическими
коэффициентами и структурными возмущениями. Показано, как матричнозначная
концепция обобщенного прямого метода Ляпунова может быть использована для
получения условий устойчивости крупномасштабных систем линейных динамических
уравнений при всех значениях структурной матрицы из структурного множества.
Р Е З ЮМ Е . Проведено анализ стійкості за Ляпуновим лінійних систем динамічних рівнянь з
періодичними коефіцієнтами і структурними збуреннями на часовій шкалі. На основі матричнознач-
ної концепції прямого методу Ляпунова отримано достатні умови аисмптотичної стійкості динаміч-
них рівнянь з періодичними коефіцієнтами та структурними збуреннями при всіх значеннях струк-
турної матриці зі структурної множини. Як приклад застосування отриманих теоретичних резуль-
татів розглянуто систему двох лінійних динамічних рівнянь на часовій шкалі.
1. Бабенко С.В., Слынько В.И. Об устойчивости решений динамических уравнений на основе
функций разрывного типа // Доп. НАН України. – 2009. – N 9. – С. 7 – 12.
2. Груйич Л.Т., Мартынюк А.А., Риббенс-Павелла М. Устойчивость крупномасштабных систем при
структурных возмущениях. – К.: Наук. думка, 1984. – 308 с.
3. Ланкастер П. Теория матриц. – М.: Наука, 1978. – 280 с.
4. Мартынюк А.А., Слынько В.И. О построении матрично-значной функции Ляпунова для линейной
периодической системы на временной шкале // Докл. РАН. – 2007. – 417, N 1. – С. 18 – 22.
5. Мартынюк-Черниенко Ю.А. Об устойчивости динамических систем на временной шкале // Докл.
РАН. – 2007. – 413, № 1. – С. 1 – 5.
6. Babenko S.V. The Conditions of Stability of the One Class of Dynamic Equations, Describing Discrete-
Uninterrupted Dynamics of Mechanical Systems (Young Scientists Conference on the Occasion of the
90
th
Anniversary of the National Academy of Sciences of Ukraine and the S.P. Timoshenko Institute of
Mechanics. Abstracts of Papers) // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 3 – P. 314.
7. Bohner M., Martynyuk A.A. Elements of Lyapunov Stability Theory for Dynamic Equations on Time
Scale // Int. Appl. Mech. – 2007. – 43, N 9 – P. 949 – 970.
8. Bohner M., Peterson A. Dynamic Equations on Time Scales. An Introduction with Applications. – Boston:
Birkhaser, 2001. – 358 p.
9. Hilger S. Analysis on measure chains: a unified approach to continuous and discrete calculus // Res. in
Mathematics. – 1990. – 18. – P. 18 – 56.
10. Luk’yanova T.A. Stability and Boundedness Conditions for the Motions of Discrete-time Mechanical
Systems // Int. Appl. Mech. – 2009. – 45, N 8 – P. 917 – 921.
11. Martynyuk A.A., Khoroshun A.S. On Parametric Asymptotic Stability of Large-Scale Systems // Int.
Appl. Mech. – 2008. – 44, N 5 – P. 565 – 574.
12. Martynyuk A.A., Slyn’ko V.I. Stability results for large-scale difference systems via matrix-valued
Liapunov functions // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. – 2007. – 7, N 2 – P. 217 – 224.
13. Siljak D.D. Large-scale dynamic systems: stability and structure. – New York: Elseiver North-Holland,
Inc., 1978. – 416 p.
Поступила 18.09.2009 Утверждена в печать 21.10.2010
|