Пространственное движение КА относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента

Рассматриваются малые пространственные колебания спутника под воздействием аэродинамического и гравитационного моментов. В модели аэродинамического момента учитываются переменность плотности атмосферы при орбитальном движении, вращение атмосферы и зависимость коэффициента аэродинамического момента о...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2010
Main Authors:	Маслова, А.И., Пироженко, А.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2010
Series:	Техническая механика
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88108
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Пространственное движение КА относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Техническая механика. — 2010. — № 3. — С. 51-62. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-88108
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-881082025-02-09T22:25:02Z Пространственное движение КА относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента Маслова, А.И. Пироженко, А.В. Рассматриваются малые пространственные колебания спутника под воздействием аэродинамического и гравитационного моментов. В модели аэродинамического момента учитываются переменность плотности атмосферы при орбитальном движении, вращение атмосферы и зависимость коэффициента аэродинамического момента от угла атаки. Показано, что колебания в плоскости орбиты не зависят от поперечных колебаний спутника. Определены условия возникновения резонансов в поперечных колебаниях и построены аналитические решения уравнений малых поперечных колебаний в нерезонансных случаях. Розглядаються малі просторові коливання супутника під впливом аеродинамічного й гравітаційного моментів. В моделі аеродинамічного моменту враховуються змінність густини атмосфери при орбітальному русі, обертання атмосфери та залежність коефіцієнта аеродинамічного моменту від кута атаки. Показано, що коливання в площині орбіти не залежать від поперечних коливань супутника. Визначено умови виникнення резонансів в поперечних коливаннях і побудовані аналітичні розв’язки рівнянь малих поперечних коливань у нерезонансних випадках. Small three-dimensional oscillations of a satellite under the action of the aerodynamic and gravitational moments are considered. Variations in an atmospheric density with an orbital motion, rotation of the atmosphere and the dependence of the moment coefficient on the angle of attack are considered in the aerodynamic moment model. It is shown that oscillations in an orbital plane do not depend on lateral oscillations of a satellite. Conditions of resonances in lateral oscillations are determined and analytical solutions of the equations of small lateral oscillations in non-resonance cases are constructed. 2010 Article Пространственное движение КА относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Техническая механика. — 2010. — № 3. — С. 51-62. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1561-9184 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88108 629.78 ru Техническая механика application/pdf Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассматриваются малые пространственные колебания спутника под воздействием аэродинамического и гравитационного моментов. В модели аэродинамического момента учитываются переменность плотности атмосферы при орбитальном движении, вращение атмосферы и зависимость коэффициента аэродинамического момента от угла атаки. Показано, что колебания в плоскости орбиты не зависят от поперечных колебаний спутника. Определены условия возникновения резонансов в поперечных колебаниях и построены аналитические решения уравнений малых поперечных колебаний в нерезонансных случаях.
format	Article
author	Маслова, А.И. Пироженко, А.В.
spellingShingle	Маслова, А.И. Пироженко, А.В. Пространственное движение КА относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента Техническая механика
author_facet	Маслова, А.И. Пироженко, А.В.
author_sort	Маслова, А.И.
title	Пространственное движение КА относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента
title_short	Пространственное движение КА относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента
title_full	Пространственное движение КА относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента
title_fullStr	Пространственное движение КА относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента
title_full_unstemmed	Пространственное движение КА относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента
title_sort	пространственное движение ка относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate	2010
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/88108
citation_txt	Пространственное движение КА относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента / А.И. Маслова, А.В. Пироженко // Техническая механика. — 2010. — № 3. — С. 51-62. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series	Техническая механика
work_keys_str_mv	AT maslovaai prostranstvennoedviženiekaotnositelʹnocentramasssučetomperemennostiaérodinamičeskogomomenta AT piroženkoav prostranstvennoedviženiekaotnositelʹnocentramasssučetomperemennostiaérodinamičeskogomomenta
first_indexed	2025-12-01T10:37:25Z
last_indexed	2025-12-01T10:37:25Z
_version_	1850301950239703040
fulltext	УДК 629.78 А.И. МАСЛОВА, А.В. ПИРОЖЕНКО ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ КА ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА МАСС С УЧЕТОМ ПЕРЕМЕННОСТИ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО МОМЕНТА Рассматриваются малые пространственные колебания спутника под воздействием аэродинамическо- го и гравитационного моментов. В модели аэродинамического момента учитываются переменность плот- ности атмосферы при орбитальном движении, вращение атмосферы и зависимость коэффициента аэроди- намического момента от угла атаки. Показано, что колебания в плоскости орбиты не зависят от попереч- ных колебаний спутника. Определены условия возникновения резонансов в поперечных колебаниях и построены аналитические решения уравнений малых поперечных колебаний в нерезонансных случаях. Розглядаються малі просторові коливання супутника під впливом аеродинамічного й гравітаційного моментів. В моделі аеродинамічного моменту враховуються змінність густини атмосфери при орбітально- му русі, обертання атмосфери та залежність коефіцієнта аеродинамічного моменту від кута атаки. Показа- но, що коливання в площині орбіти не залежать від поперечних коливань супутника. Визначено умови виникнення резонансів в поперечних коливаннях і побудовані аналітичні розв’язки рівнянь малих попере- чних коливань у нерезонансних випадках. Small three-dimensional oscillations of a satellite under the action of the aerodynamic and gravitational moments are considered. Variations in an atmospheric density with an orbital motion, rotation of the atmosphere and the dependence of the moment coefficient on the angle of attack are considered in the aerodynamic moment model. It is shown that oscillations in an orbital plane do not depend on lateral oscillations of a satellite. Conditions of resonances in lateral oscillations are determined and analytical solutions of the equations of small lateral oscillations in non- resonance cases are constructed. В постановке задачи, аналогичной [1, 2], рассматривается движение от- носительно центра масс класса космических аппаратов (КА) с гравитацион- ной системой стабилизации (ГСС). ГСС представляет собой прикрепленную к КА штангу с гравитационным грузом на конце. Исследуется движение КА в режиме гравитационной стабилизации, т.е. в таком режиме, при котором про- дольная ось КА движется в окрестности местной вертикали и амплитуды ко- лебаний невелики. Предполагается, что центр масс КА движется по круговой орбите на высотах 550 – 750 км. Повышение точности стабилизации углового движения является важной задачей создания платформ КА. Ее решение предполагает тщательный анализ условий функционирования КА и выбор обоснованных конструктивных реше- ний, необходимых для обеспечения требуемой точности. Поэтому при разра- ботке ГСС важным является анализ влияния одного из основных возмущающих воздействий в рассматриваемом диапазоне высот – аэродинамического воздей- ствия. Исследованию пространственного движения спутника под действием гра- витационного и аэродинамического моментов посвящено множество работ (см., например, [3 – 7]). Было показано, что вращение атмосферы приводит к возникновению так называемых поперечных колебаний (колебаний, перпен- дикулярных плоскости орбиты). В работах [3 – 5] указывалась необходимость учета в угловом движении КА непостоянства плотности атмосферы при ор- битальном движении и изменений ориентации КА относительно набегающего потока, которые приводят к дополнительной переменности аэродинамическо- го момента. Однако к настоящему времени качественный анализ влияния пе- ременности аэродинамического воздействия, обусловленной названными причинами, не был выполнен. В работах [8, 9] авторами была разработана модель аэродинамического момента, позволяющая выполнить анализ влияния переменности аэродина- мического момента на динамику КА с ГСС. Показано, что плотность атмо- сферы на одном витке орбитального движения может меняться на порядок  51 А.И. Маслова, А.В. Пироженко, 2010 Техн. механика. – 2010. – № 3. [9]. В [1, 2] были исследованы закономерности движения КА в плоскости ор- биты. Показано, что в силу близости частот орбитального движения и коле- баний спутника относительно центра масс (низкой динамической жесткости) вынужденные колебания КА из-за переменности плотности атмосферы могут быть весьма существенны и в разы превосходить отклонения КА при стацио- нарной плотности. При определенных параметрах ГСС, когда удвоенная час- тота собственных колебаний КА в гравитационном поле близка к утроенной частоте орбитального движения, в движении КА имеет место параметриче- ский резонанс и система теряет устойчивость. Целью данной статьи является исследование основных закономерностей влияния переменности аэродинамического момента на пространственное движение КА с ГСС с учетом, в том числе, вращения атмосферы. Математическая модель движения. Рассмотрим движение осесиммет- ричного КА относительно центра масс, движущегося по круговой кеплеровой орбите. Гравитационный момент, действующий на КА, запишем в виде [10]  RR g eJeM   2 03 , (1) где – угловая скорость орбитального движения; 0 J – тензор инерции КА; RReR   , R  – радиус-вектор центра масс КА относительно центра Земли, RR   . Следуя [8], при движении КА с ГСС в режиме гравитационной стабили- зации аэродинамический момент будем описывать зависимостью   ma a bqaM   cos10 , (2) где – постоянный коэффициент, характеризующий среднее аэродинами- ческое воздействие на КА; 0a a – постоянный коэффициент, характеризующий переменность аэродинамического момента в зависимости от ориентации КА к набегающему потоку;  – угол между осью симметрии КА и вектором скоро- сти КА относительно потока; – скоростной напор, – плотность атмосферы, 22 /Vq   VV   , V  – скорость КА относительно потока; mb  – орт, сона- правленный Vek   , где k  – орт оси симметрии КА, направленный от Земли, VVeV   . Выражение (2) можно записать в виде    2 0 1 1 ke ek qkeaM V V Va a       . (3) Плотность атмосферы  при движении КА по орбите будем описывать следующим образом [9]                ~cos 11 0 3 1 00 bftnbb n nn  , (4) 52 где – средняя на орбите плотность атмосферы; 0b nb , – коэффициенты, характеризующие распределение плотности при движении КА по орбите; – время; ~ характеризует переменность плотности атмосферы на орбите. nf t Введем правые системы координат с началом в центре масс КА (точка ). O Орбитальная система координат (ОСК) , ось направлена по трансверсали к орбите, ось – по Oxyz Ox Oz R  . Связанная система координат (ССК) , оси совпадают с главными центральными осями инер- ции КА. ccc zyOx Переход от ОСК к ССК осуществ- ляется тремя последовательными пово- ротами на углы , и (тангажа, рысканья и крена) соответственно (см. рис.1).    Рис. 1 Матрица перехода от ОСК к ССК имеет вид coT     coscossincossin sinsinsincoscoscoscossincossincossin cossinsinsincoscossincoscossinsinsin coT . Для рассматриваемых высот будем считать, что атмосфера полностью увлекается вращением Земли, тогда проекции V  на оси ОСК имеют вид , iRRV gx cos 0 uiRV gy cossin , ,0zV где – угловая скорость вращения атмосферы; – наклонение орбиты; – аргумент широты. g i u Поскольку для рассматриваемых высот угловая скорость орбитального движения значительно превосходит угловую скорость вращения Земли (  0g 0,07), то в дальнейшем будем пренебрегать квадратом отношения 0g по сравнению с единицей. Тогда для V  можно записать ueVeeV cos ~  21   , iRV g cos 0 0 21    , (5) где   ViRRV g cos ~  0 – постоянная величина, близкая к единице;   ig sin0 – малая величина; , 1e  2e  – орты осей и соответст- венно. Ox Oy Из выражений (2) – (5) следует, что аэродинамический момент имеет не- которую постоянную составляющую, которая, как известно [6], приводит к отклонению продольной оси КА от местной вертикали. Вследствие этого, ис- следование малых колебаний КА приходится проводить не относительно гра- витационно устойчивого положения, а относительно «косого» положения КА, 53 определяемого равенством гравитационного и квазистационарного аэродина- мического моментов. В классических работах [4, 6, 7], посвященных исследованию простран- ственного движения КА под действием гравитационного и аэродинамическо- го моментов, рассматривались колебания для случая, когда в равновесном положении ССК совпадает с ОСК. Поэтому ранее разработанные методики исследования малых колебаний КА в рассматриваемом случае требуют сво- его развития. Дело в том, что использование уравнений Эйлера для исследо- вания колебаний относительно «косого» положения приводит к крайне гро- моздким выражениям. Это связано с зависимостью проекций моментов на оси ССК от вращения КА относительно оси симметрии (угла рысканья). Вме- сте с тем, из выражений (1), (3) видно, что рассматриваемые моменты не влияют на вращение КА относительно оси симметрии и вращение КА отно- сительно этой оси не изменяет моментов. Поэтому удобно ввести следующую полусвязанную систему координат (ПСК) O : ось O совпадает с осью симметрии КА и направлена по cOz k  , ось O лежит в плоскости орбиты и совпадает с осью xO  (см. рис. 1), ось O дополняет систему до правой пря- моугольной и совпадает с осью yO  . Введенная таким образом ПСК не связанна неизменно с твердым телом и не вращается относительно оси . Угловые скорости ССК и ПСК относи- тельно ОСК связаны соотношением cOz konCn     , (6) где CO  – вектор угловой скорости вращения ССК относительно ОСК; – вектор угловой скорости вращения ПСК относительно ОСК. on  Матрица перехода от ОСК к ПСК получается из матрицы при coT  0. Уравнения движения. Для исследования пространственного движения КА построим уравнения движения в ПСК – в системе координат, нежестко связанной с КА. Согласно теореме об изменении кинетического момента [11] MLLL oh   , (7) где L  – вектор кинетического момента; oh  – угловая скорость ПСК отно- сительно ИСК; M  – вектор момента внешних сил; точка и штрих означают абсолютную и относительную производную по времени соответственно. При любом положении осесимметричного КА оси ПСК будут главными центральными, следовательно, вектор кинетического момента L  можно за- писать в виде   kCeeAL    , где A – момент инерции КА относительно осей O , ; – момент инер- ции КА относительно оси O C O ;  ,  ,  – проекции вектора абсолютной угловой скорости вращения КА   на оси ПСК; e  , e  , k  – орты ПСК. Выше было отмечено, что моменты (1), (3) не влияют на вращение КА относительно оси симметрии, т.е. const . Рассматривая случай, когда те- 54 ло не закручено относительно оси симметрии в начальный момент времени, примем, что 0, тогда  const    eeAL  . Вектор абсолютной угловой скорости вращения тела найдем как сумму вектора угловой скорости вращения ОСК относительно ИСК и вектора Oh  CO  угловой скорости вращения ССК относительно ОСК. Учитывая (4), можно записать k    onOh    или koh      , где 20eOh   ; keeon         sincos o ; nhonh    . Тогда проекции абсолютной угловой скорости на оси ПСК имеют вид     ,    cos0 ,    sin0 .    Учитывая, что 0, т.е.   sin0    , можно записать    ke  eoh      sin cos 00 L  . Подставляя выражения для  и oh  в (7), получим уравнения движе- ния КА в проекциях на ПСК (8)       sin2 cossin 0 2 0 П M M      cossincos sincoscos   Aq Aq 2     ,cos1 ,cos1 20 10 qba qba ma ma   u      A A   2oM M M g o g o V cossin   ,cos , 2 1 П A   где , – проекции внешних моментов на оси ПСК. 1oM Проекции гравитационного момента (1) на оси ПСК имеют вид (9) . ,   2 02 2 01 3 3 Проекции аэродинамического момента (2) имеют вид (10) 2 1 M M a П a П   где cossin ~ cos  ; , – проекции  1mb 2mb mb  на соответст- вующие оси ПСК;   sin coscossinsin  ~ u ; sin cos  ~ VV bm2 . bm1 Подставляя (9), (10) в (8), получим уравнения движения осесимметрично- го КА относительно центра масс на кеплеровой круговой орбите (11)                 cossin cossin cossin sincossin 0 22             .cossin cos3sin ,cossin cos3cos 2 2 0 1 2 0 qbu AС qbu AС m m      ~ 1 2cos ~ 1 0 0 0 Va A Va AA a a   55 Добавляя к (11) уравнение, описывающее изменение угла  (    sin0 ), получим систему, определяющую ориентацию КА. Квазистатическое решение. Движение спутника в режиме гравитацион- ной стабилизации будем рассматривать как колебания относительно некото- рого косого положения продольной оси КА, смещенного относительно мест- ной вертикали, т.е.  t ~ 0 ,  t ~ 0 , где , определяют косое положение оси симметрии КА относительно местной вертикали; 0 0  t~ ,  t~ описывают колебания относительно , 0 0 . Косое положение КА определяется равенством гравитационного и квази- стационарного аэродинамического моментов. Пренебрегая периодическими составляющими в (11), получим                              . 2cossin ~ 1 cos ~ cossin ~ 1 cossincos30 , 2cossin ~ 1 sinsin ~ cossin ~ 1 2sincos 2 3 2sin 2 1 2 0 0 2 0 22 0 000 000 2 0 2 0 0 2 0 22 00 000 00 22 00 2 0 Vb V VVa AС Vb V VVa AСA a a (12) Из первого уравнения (12) видно, что одним из его решений является 0. Поскольку для режима гравитационной стабилизации предпочтитель- но, чтобы продольная ось КА была как можно ближе к местной вертикали, то задача о нахождении каких-либо других положений равновесия 0 0 0 в дан- ном случае не представляет интереса. Поскольку 0 0 и (с точностью до ), вто- рое уравнение (12) для определения 0 22 0 221  cos ~ sin ~ VV 0 2  принимает вид  000 1  sin ~ sincos Vs a , (13) где I H s 6   – безразмерный коэффициент; A a0 – величина, характери- зующая отношение между аэродинамическими и инерционными свойствами КА; 2 0 2 0  VbH – усредненный скоростной напор на орбите, ACI 1 . Величины , , s  H , I и a были рассмотрены в [1], где дана их характери- стика. Там же рассмотрена их зависимость от конструкции КА и высоты ор- биты, определен диапазон изменения этих параметров для рассматриваемого типа КА с ГСС: s 0,37;  0,01 м/кг; 0,4 кг/м H 110 кг/м; I [0,5, 1); 0,5. a Уравнение (13) отличается лишь наличием множителя V ~ от выражения для определения 0 , полученного при исследовании движения КА в плоско- 56 сти круговых орбит [1]. Поскольку V ~ 1, то наличие этого коэффициента не изменит ранее сделанных качественных выводов относительно 0 . В [1] про- веден анализ уравнения, аналогичного (13), и показано, что угол отклонения продольной оси КА от местной вертикали может составлять более 30º. Это объясняется широтой рассматриваемого диапазона изменения параметров, в первую очередь диапазона изменения плотности атмосферы (параметра H ). В дальнейшем, аналогично [1], будем предполагать, что параметры КА и плотности атмосферы таковы, что 0 не превышает единиц градусов ( 0 6º при s 0,1). Это предположение означает, что для достижения гра- витационной стабилизации движения КА его конструкция должна соответст- вовать ожидаемой средней плотности атмосферы. Уравнения малых колебаний. Предположим, что колебания вне плос- кости орбиты имеют порядок (движение вне плоскости орбиты вызвано вращением атмосферы), тогда ~ и этими членами можно пренебречь. Линеаризуя уравнения (11) возле положения равновесия   ~ 2 0 ,  0 0 и перехо- дя к безразмерному времени , для уравнений малых колебаний КА получим порядок ошибок t0                , ~~~~ , ~~ 1cos ~~~ 2 21 2 dk ccuk (14) где ; ;   0 22 31 cosIk 0tg  d 0 1    cos ~ V d c ; 0 012 cos ~ tgc  Vc ;  0023  cos2  ~ cos VsI ak ; 0cos3  ~ VaIs ;  013 sin ~ VIsd . a Система (14) представляет собой систему уравнений с переменными ко- эффициентами и переменной правой частью (уравнения типа Хилла). Из (14) видно, что колебания в плоскости орбиты не зависят от поперечных колеба- ний КА. Уравнение для ~ аналогично уравнению малых колебаний КА, по- лученному при исследовании движения КА в плоскости круговых орбит [1]. Отличия заключаются лишь в наличии множителя V ~ (близкого к единице) при коэффициенте . В [1] показано, что при удаленности системы от резо- нансов колебания в плоскости орбиты с большой точностью описываются следующей зависимостью a   ,coscoscossinsin sin ~ cos~~                3 1 0 0 n nnn nfkfk k n A k k k     nf (15) где , – начальные условия; 0~ 0~  22 nkbdA nn   – амплитуда вынуж- денных колебаний с частотой n . Подставляя решение (15) в первое уравнение (14), получаем уравнение, описывающее поперечные колебания КА. 57 Численное интегрирование систем (11), (14) показало, что для малых ко- лебаний , при отсутствии резонансов решения этих систем хорошо сов- падают. Колебания вне плоскости орбиты, действительно малы и могут со- ставлять всего лишь десятые доли градуса. ~  ~ На рисунке 2 представлено сравнение численных решений систем (11) и (14) (кривые 1 и 2 соответственно). Расчеты проводились для КА с парамет- рами, близкими к параметрам КА «Сич–1М», движущегося по полярной ор- бите на высоте 600 км при высокой солнечной активности (для представ- лено решение (15) – кривая 3). Как видно из рисунков, при отсутствии резо- нансов отличия между решениями (11) и (14) пренебрежимо малы.  Рис. 2 Частоты и резонансы. В [1] показано, что приведенная частота колеба- ний КА в плоскости орбиты изменяется в диапазоне 1,17 1,76 и что в системе возможен параметрический резонанс, когда . Такой резонанс обусловлен переменностью плотности атмосферы и переменностью аэроди- намического момента при изменении ориентации КА. Рассмотрим возмож- ность возникновения резонансов в поперечных колебаниях, обусловленных переменностью аэродинамического момента.  k 32 k Оценки диапазона возможных изменений частоты свободных колебаний показали, что для 0,5k  I 1, a 0,5 и s 0,1 выполняется условие 2,455 4,017, тогда 1,567  2k  k 2,004. С учетом того, что ~ содержит гармоники с частотами { , k n}, где n 1, 2, 3, правая часть уравнения для будет содержать гармоники с часто- тами { ,  ~  k mk  , n}, где m 1, 2, 3, 4; n 1, …,7. Так как 1,17 1,76 и 1,567k  k 2,004, то теоретически возможны два линейных резонанса, когда   kk и k 2. Однако, отбрасывая малые величины, легко 58 видеть, что для одних и тех же КА и орбиты и не могут принимать оди- наковых значений, так как , а , где k  k   0 22 3 cosIk   0 22 31 cosIk  0cos0 23  ~ sin sI a k V , – малые величины. Более того, для рассматриваемого случая частоты собственных колебаний в плоскости орби- ты и перпендикулярных плоскости орбиты не образуют резонансных соот- ношений низкого порядка [10]. Таким образом, в колебаниях КА возможен линейный резонанс только при 2. Этот резонанс обусловлен совместным влиянием вращения атмо- сферы и переменности плотности атмосферы при движении КА по орбите. Условие резонанса имеет вид 310 2 cosI  и может выполняться толь- ко при I 1, что соответствует случаю, когда соотношение моментов инер- ции КА близко к соотношению моментов инерции гантели ( AC 1). Отме- тим, что возможность возникновения такого резонанса была обнаружена при исследовании динамики космических тросовых систем [12], для которых все- гда выполняется условие I 1. Было показано, что совместное влияние вра- щения атмосферы и переменности плотности атмосферы при движении КА по орбите может приводить к возникновению колебаний с большой амплиту- дой [12, 13]. Амплитуда колебаний в плоскости орбиты может значительно превосхо- дить амплитуду поперечных колебаний. Поэтому для исследований эффектов подкачки энергии в поперечные колебания корректно будет рассмотреть уравнение поперечных колебаний, в котором более полно учтена их связь с колебаниями в плоскости орбиты       ~~ 1   cos ~~~~ 2 ~~ 43 cc2k u 21 cc , (16) где 003 tgtg 2 1        dc , 0 0 4 tg  c 2cos d   . Частично линеаризованное уравнение (16) содержит малые величины  ~~ ,  ~~ – «перевязку» между колебаниями в плоскости орбиты и попереч- ными колебаниями КА, и позволяет оценить влияние колебаний в плоскости орбиты на возможность возникновения резонансов. Уравнение (16) позволяет более широко, по сравнению с первым уравнением (14), исследовать возмож- ность возникновения параметрических резонансов, так как содержит допол- нительные частоты изменения параметра при . Спектр частот изменения параметра для первого уравнения (14) имеет вид  ~  {n}, где n 1, 2, 3, в то время как спектр изменения параметра уравнения (16) –  { ; k mk  ; n}, где 1, 2, 3; m n 1, …,6. Как известно, при соотношениях частот k 0,5; 1; 1,5;… в уравне- ниях типа (16) будут наблюдаться параметрические резонансы [14, 15]. Рас- сматривая усеченный спектр частот  {n}, n 1, 2, 3, получим, что воз- можен только один параметрический резонанс при k 2 ( 1k ). Это рассмотренный выше случай линейного резонанса. При рассмотрении более полного спектра частот  { ; k mk  ; n}, где 1, 2, 3; m n 1, …, 6, обнаруживается целое множество соотношений 59 частот, при которых возможен параметрический резонанс. На рисунке 3 для 0 и 0 при  k  k 0 0º, показаны возможные значения соотношения час- тот k  при изменении отношения моментов инерции КА I . На рисунке представлены только такие соотношения, при которых k 1,5, так как при более высоких значениях соотношений частот (возможен случай k 7) эффекты параметрических резонансов практически не наблюдаются. Рис. 3 Из рисунка видно, что возможны параметрические резонансы, связанные с колебаниями КА в плоскости орбиты (когда резонансные соотношения час- тот содержат ). Наиболее сильное влияние на движение могут оказывать параметрический резонанс k  4k 0,5 и резонанс   2kk 0,5. Резонанс  4k 0,5 возможен при k 2, т.е. при близости системы к линейному резо- нансу. Параметрический резонанс   2kk 0,5 может наблюдаться прак- тически при любом соотношении моментов инерции I . Как видно из рисун- ка, даже при принятых упрощениях, кривая для  2 kk очень близка к 0,5 на всем диапазоне изменения I . Отметим, что возможные параметрические резонансы обусловлены со- вместным влиянием на движение КА переменности коэффициента аэродина- мического момента и изменений плотности атмосферы на орбите. Аналити- ческие [16] и численные исследования показали, что для широкого класса КА области этих резонансов очень узки, а эффекты подкачки энергии крайне не- значительны. Вообще говоря, возможность существования резонансных ре- жимов движения и их эффектов необходимо исследовать для каждого кон- кретного случая. Поперечные колебания КА в нерезонансных случаях. Следуя методи- ке, изложенной в [1], уравнение поперечных колебаний в первом приближе- нии по малым параметрам можно записать в виде     2211 1 2 2 2   ~  coscos CC c k ~ , где    202 2 21 44 fubbC ~ cos  ;      31031 2 3 2 12 2 ffubbbbC ~ cos  ;        220 220 1 ~ coscos2 ~ sinsin2 tg fbu fbu    ;        33011 33011 2 ~ coscos ~ sinsin tg fbufb fbufb    ; 0uff ii  ~ , i 2, 3; – значение аргумента широты в начальный момент времени 0u  0. 60 Решение данного уравнения имеет вид   ,cossinsincoscos sincos ~ 2 1 0 0                   n nnnn nk k nkB k k k (17) где ,  – начальные условия; 0 0    22 1 2 nk Cc B n n     – амплитуда вынужденных колебаний с частотой n . Численное сравнение решения системы (11) с решением (16) показывает хорошую точность аналитического решения. На рисунке 4 представлено изме- нение угла (кривая 1 – расчет по (11), кривая 2 – решение (16)) для КА с па- раметрами, близкими к КА «Сич–1М», который движется по полярной орбите на высоте 550 км в условиях высокой солнечной активности.  Рис. 4 Из решения (17) видно, что в нерезонансных случаях амплитуда попе- речных колебаний значительно меньше амплитуды колебаний в плоскости орбиты. Для рассматриваемого случая изменений параметров системы приве- денная динамическая жесткость системы для орбитальной частоты находится приблизительно в диапазоне от 1,5 до 3,1, т.е. амплитуда вынужденных попе- речных колебаний КА с орбитальной частотой всегда будет меньше амплиту- ды возмущающего приведенного аэродинамического момента с данной час- тотой. Амплитуда колебаний с удвоенной частотой может меняться на поряд- ки, так как при 2 динамическая жесткость системы равна нулю и наблю- даются линейный и параметрический резонансы. k Выводы. Рассмотрено влияние переменности аэродинамического момен- та на пространственное движение осесимметричного КА относительно цен- тра масс. Предложена методика построения уравнений движения в форме, удобной для проведения их последующей линеаризации. Построены уравнения малых колебаний КА относительно косого поло- жения продольной оси КА, определяемого равенством гравитационного и квазистационарного аэродинамического моментов. Показано, что малые ко- лебания в плоскости орбиты не зависят от поперечных колебаний и описы- ваются уравнением, с высокой точностью совпадающим с уравнением малых колебаний, полученным ранее при исследовании движения КА в плоскости орбиты [1]. Показано, что поперечные колебания КА, так же как и колебания 61 в плоскости орбиты, описываются уравнением типа Хилла с периодической правой частью. Проведен анализ возможности возникновения резонансов в движении КА с ГСС и показано, что в поперечных колебаниях КА возможны линейный и параметрический резонансы при k 2, обусловленные совместным влияни- ем вращения атмосферы и переменности плотности атмосферы при движении КА по орбите. Такой резонанс возможен при I 1, что соответствует случаю, когда соотношение моментов инерции КА близко к соотношению моментов инерции гантели. Показано, что в поперечных колебаниях КА возможно воз- никновение параметрических резонансов, связанных с колебаниями КА в плоскости орбиты. Построено приближенное аналитическое решение уравнения малых по- перечных колебаний в нерезонансном случае. Показано, что в нерезонансных случаях амплитуда поперечных колебаний КА значительно меньше амплиту- ды колебаний в плоскости орбиты. 1. Маслова А. И. Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно- стабилизированного КА в плоскости круговой орбиты / А. И. Маслова, А. В. Пироженко // Техническая механика. – 2009. – № 3. – С. 87 – 97. 2. Маслова А. И. Влияние переменности аэродинамического момента на динамику гравитационно- стабилизированного КА в плоскости слабоэллиптической орбиты / А. И. Маслова // Техническая меха- ника. – 2009. – № 4. – С. 68 – 76. 3. Ковтуненко В. М. Аэродинамика орбитальных космических аппаратов / В. М. Ковтуненко, В. Ф. Камеко, Э. П. Яскевич. – Киев : Наукова думка, 1977. – 156 с. 4. Сарычев В. А. Влияние сопротивления атмосферы на одноосную гравитационную ориентацию искусст- венного спутника / В. А. Сарычев, В. В. Сазонов // Космические исследования. – 1982. – Т. 20, № 5. – С. 659 – 673. 5. Сазонов В. В. Об одном механизме потери устойчивости режима гравитационной ориентации спутника / В. В. Сазонов // Космические исследования. – 1989. – Т. 27, № 6. – С. 836 – 848. 6. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс / В. В. Белецкий. – М. : Наука, 1965. – 416 с. 7. Сарычев В. А. Влияние сопротивления атмосферы на систему гравитационной стабилизации искусствен- ных спутников Земли / В. А. Сарычев // Космические исследования. – 1964. – Т. 2, № 1. – С. 23 – 32. 8. Маслова А. И. Аппроксимация момента аэродинамических сил, действующих на космический аппарат с гравитационной системой стабилизации / А. И. Маслова, А. В. Пироженко // Техническая механика. – 2008. – 1. – С. 9 – 20. 9. Маслова А. И. Изменения плотности атмосферы при движении космических аппаратов на низких около- земных орбитах / А. И. Маслова, А. В. Пироженко // Космічна наука і технологія. – 2009. – Т. 15, № 1. – С. 13 – 18. 10. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле / В. В. Белецкий. – М. : Издательство Московського университета, 1975. – 308 с. 11. Кильчевский Н. А. Курс теоретической механики. В 2 т. Т. 1. Кинематика, статика, динамика. – М. : Наука, 1972. – 456 с. 12. Белецкий В. В. Динамика космических тросовых систем / В. В. Белецкий, Е. М. Левин. – М. : Наука, 1990. – 329 с. 13. Kokubun K. Resonated libration of tethered subsatelite by atmospheric density variation / K. Kokubun // Journal of guidance, control and dynamics. – 1999. – Vol. 22, № 6. – P. 910 – 911. 14. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний / Я. Г. Пановко. – М. : Наука, 1991. – 256 с. 15. Якубович В. А. Параметрический резонанс в линейных системах / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. – М. : Наука, 1987. – 328 с. 16. Маслова А. И. Параметрический резонанс в колебаниях КА при воздействии переменного аэродинами- ческого момента / А. И. Маслова, А. В. Пироженко // Механика твердого тела. – 2010 (в печати). Институт технической механики Получено 21.04.10, НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 11.05.10 Днепропетровск 62

Пространственное движение КА относительно центра масс с учетом переменности аэродинамического момента

Institution

Similar Items