Estimates of approximation characteristics of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of the mixed modulo of continuity
We obtain exact order estimates of approximation of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables in the space $L_q$ by using linear operators subjected to some conditions for some means of parametres $p$ and $q$
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/103 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552504078630912 |
|---|---|
| author | Konograi, A. F. Fedunyk-Yaremchuk, O. V. Конограй, А. Ф. Федуник-Яремчук, О. В. |
| author_facet | Konograi, A. F. Fedunyk-Yaremchuk, O. V. Конограй, А. Ф. Федуник-Яремчук, О. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. Ф. Конограй",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "О. В. Федуник-Яремчук",
"institution": "Східноєвропейський національний університет імені Лесі Українки"
}
] |
| author_sort | Konograi, A. F. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | We obtain exact order estimates of approximation of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables in the space $L_q$ by using linear operators subjected to some conditions for some means of parametres $p$ and $q$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 148�160
ÓÄÊ 517.51
À.Ô. Êîíîãðàé (Ií�ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, Êè¨â)
Î.Â. Ôåäóíèê-ßðåì÷óê (Ñõiäíî¹âðîïåéñüêèé íàöiîíàëüíèé óíiâåð-
ñèòåò iìåíi Ëåñi Óêðà¨íêè, Ëóöüê)
ÎÖIÍÊÈ ÀÏÐÎÊÑÈÌÀÒÈÂÍÈÕ ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈÊ
ÊËÀÑIÂ BΩ
p,θ ÏÅÐIÎÄÈ×ÍÈÕ ÔÓÍÊÖIÉ ÁÀÃÀÒÜÎÕ
ÇÌIÍÍÈÕ IÇ ÇÀÄÀÍÎÞ ÌÀÆÎÐÀÍÒÎÞ ÌIØÀÍÈÕ
ÌÎÄÓËIÂ ÍÅÏÅÐÅÐÂÍÎÑÒI
We obtain exact order estimates of approximation of classes BΩ
p,θ of periodic
functions of several variables in the space Lq by using linear operators subjected
to some conditions for some means of parametres p and q.
Oäåðæàíî òî÷íi çà ïîðÿäêîì îöiíêè íàáëèæåííÿ êëàñiâ BΩ
p,θ ïåðiîäè÷íèõ
ôóíêöié áàãàòüîõ çìiííèõ ó ïðîñòîði Lq çà äîïîìîãîþ ëiíiéíèõ îïåðà-
òîðiâ, ÿêi ïiäïîðÿäêîâàíi ïåâíèì óìîâàì, äëÿ äåÿêèõ çíà÷åíü ïàðàìåòðiâ
p òà q.
Íåõàé Lp(πd), 1 ≤ p < ∞, � ïðîñòið 2π-ïåðiîäè÷íèõ ïî êîæ-
íié çìiííié i ñóìîâíèõ ó ñòåïåíi p íà êóái πd =
d∏
j=1
[0; 2π] ôóíêöié
f(x) = f(x1, ..., xd), â ÿêîìó íîðìà âèçíà÷à¹òüñÿ íàñòóïíèì ÷èíîì
||f ||Lp(πd) = ||f ||p =
(
(2π)−d
∫
πd
|f(x)|pdx
) 1
p
,
L∞(πd) � ïðîñòið 2π-ïåðiîäè÷íèõ ïî êîæíié çìiííié ñóòò¹âî îáìå-
æåíèõ ôóíêöié f(x) = f(x1, ..., xd) ç íîðìîþ
‖f‖L∞(πd) = ||f ||∞ = ess sup
x∈πd
|f(x)|.
Âñþäè äàëi áóäåìî ââàæàòè, ùî äëÿ ôóíêöié f ∈ Lp(πd) âèêî-
íó¹òüñÿ äîäàòêîâà óìîâà∫ 2π
0
f(x)dxj = 0 , j = 1, d.
c© À.Ô. Êîíîãðàé, Î.Â. Ôåäóíèê-ßðåì÷óê, 2013
Îöiíêè àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê êëàñiâ BΩ
p,θ . . . 149
Äëÿ f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, i t = (t1, ..., td), tj ≥ 0, j = 1, d,
ðîçãëÿíåìî ìiøàíèé ìîäóëü íåïåðåðâíîñòi ïîðÿäêó l
Ωl(f, t)p = sup
|hj |≤tj
j=1,d
||∆l
hf(·)||p,
äå l ∈ N, ∆l
hf(x) = ∆l
h1
. . .∆l
hd
f(x) = ∆l
hd
(. . . (∆l
h1
f(x))) � ìiøàíà
ðiçíèöÿ ïîðÿäêó l ç êðîêîì hj çà çìiííîþ xj i
∆l
hj
f(x) =
l∑
n=0
(−1)l−nCn
l f(x1, . . . , xj−1, xj + nhj , xj+1, . . . , xd).
Íåõàé Ω(t) = Ω(t1, . . . , td) � çàäàíà ôóíêöiÿ òèïó ìiøàíîãî ìî-
äóëÿ íåïåðåðâíîñòi ïîðÿäêó l, ÿêà çàäîâîëüíÿ¹ òàêi óìîâè:
1) Ω(t) > 0, tj > 0, j = 1, d; Ω(t) = 0,
d∏
j=1
tj = 0;
2) Ω(t) íå ñïàä๠ïî êîæíié çìiííié;
3) Ω(m1t1, . . . ,mdtd) ≤
(
d∏
j=1
mj
)l
Ω(t), mj ∈ N, j = 1, d;
4) Ω(t) íåïåðåðâíà ïðè tj ≥ 0, j = 1, d .
Áóäåìî ââàæàòè, ùî Ω(t) çàäîâîëüíÿ¹ òàêîæ óìîâè (S) i (Sl), ÿêi
íàçèâàþòü óìîâàìè Áàði�Ñò¹÷êiíà [1]. Öå îçíà÷๠íàñòóïíå.
Ôóíêöiÿ îäíi¹¨ çìiííî¨ ϕ(τ) ≥ 0 çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (S), ÿêùî
ϕ(τ)/τα ìàéæå çðîñò๠ïðè äåÿêîìó α > 0, òîáòî iñíó¹ òàêà íåçà-
ëåæíà âiä τ1 i τ2 ñòàëà C1 > 0, ùî
ϕ(τ1)
τα
1
≤ C1
ϕ(τ2)
τα
2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Ôóíêöiÿ ϕ(τ) ≥ 0 çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (Sl), ÿêùî ϕ(τ)/τγ ìàéæå
ñïàä๠ïðè äåÿêîìó 0 < γ < l, òîáòî iñíó¹ òàêà íåçàëåæíà âiä τ1 i τ2
ñòàëà C2 > 0, ùî
ϕ(τ1)
τγ
1
≥ C2
ϕ(τ2)
τγ
2
, 0 < τ1 ≤ τ2 ≤ 1.
Áóäåìî ãîâîðèòè, ùî Ω(t) çàäîâîëüíÿ¹ óìîâè (S) i (Sl), ÿêùî Ω(t)
çàäîâîëüíÿ¹ öi óìîâè ïî êîæíié çìiííié tj ïðè ôiêñîâàíèõ ti, i 6= j .
150 À.Ô. Êîíîãðàé, Î.Â. Ôåäóíèê-ßðåì÷óê
Îòæå, íåõàé 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞, à Ω(t) � çàäàíà ôóíêöiÿ òèïó
ìiøàíîãî ìîäóëÿ íåïåðåðâíîñòi ïîðÿäêó l, ÿêà çàäîâîëüíÿ¹ óìîâè
1 � 4. Òîäi, çãiäíî ç îçíà÷åííÿì [2]
BΩ
p,θ =
{
f ∈ Lp(πd) : ||f ||BΩ
p,θ
≤ 1
}
,
äå
||f ||BΩ
p,θ
=
{∫
πd
(
Ωl(f, t)p
Ω(t)
)θ d∏
j=1
dtj
tj
} 1
θ
, 1 ≤ θ < ∞,
||f ||BΩ
p,∞
= sup
t>0
Ωl(f, t)p
Ω(t)
,
(çàïèñ t > 0 äëÿ t = (t1, ..., td) ðiâíîñèëüíèé tj > 0, j = 1, d).
Çàçíà÷èìî, ùî ïðè θ = ∞ êëàñè BΩ
p,θ ñïiâïàäàþòü ç êëàñàìè HΩ
p ,
ÿêi áóëè ðîçãëÿíóòi Ì.Ì. Ïóñòîâîéòîâèì â [3].
Äëÿ ïîäàëüøèõ ìiðêóâàíü íàì áóäå çðó÷íî êîðèñòóâàòèñÿ åêâiâà-
ëåíòíèì (ç òî÷íiñòþ äî àáñîëþòíèõ ñòàëèõ) îçíà÷åííÿì êëàñiâ BΩ
p,θ.
Íåõàé Vn(t) ïîçíà÷๠ÿäðî Âàëëå Ïóññåíà ïîðÿäêó 2n− 1, òîáòî
Vn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
cos kt + 2
2n−1∑
k=n+1
(
1− k − n
n
)
cos kt.
Êîæíîìó âåêòîðó s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, ïîñòàâèìî ó
âiäïîâiäíiñòü ïîëiíîì
As(x) =
d∏
j=1
(
V2sj (xj)− V2sj−1(xj)
)
i äëÿ f ∈ Lp(πd), 1 ≤ p ≤ ∞, ÷åðåç As(f, x) ïîçíà÷èìî çãîðòêó
As(f, x) = f ∗As.
Îòæå, ÿêùî 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ θ ≤ ∞ i Ω(t) � çàäàíà ôóíê-
öiÿ òèïó ìiøàíîãî ìîäóëÿ íåïåðåðâíîñòi ïîðÿäêó l, ÿêà çàäîâîëüíÿ¹
óìîâè 1 � 4, (S) i (Sl), òî ç òî÷íiñòþ äî àáñîëþòíèõ ñòàëèõ êëàñè
BΩ
p,θ ìîæíà îçíà÷èòè íàñòóïíèì ÷èíîì
Îöiíêè àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê êëàñiâ BΩ
p,θ . . . 151
BΩ
p,θ =
{
f ∈Lp(πd) :‖f‖BΩ
p,θ
=
(∑
s
Ω−θ(2−s)‖As(f, ·)‖θ
p
) 1
θ
≤ 1
}
, (1)
äå 1 ≤ θ < ∞ òà
BΩ
p,∞ =
{
f ∈ Lp(πd) : ‖f‖BΩ
p,∞
= sup
s
‖As(f, ·)‖p
Ω(2−s)
≤ 1
}
, (2)
òóò i íàäàëi Ω(2−s) = Ω(2−s1 , ..., 2−sd), sj ∈ N, j = 1, d.
Çàçíà÷èìî, ùî ðiâíîñòi (1) i (2) áóëè îòðèìàíi â ðîáîòàõ [4] i [3]
âiäïîâiäíî.
Âiäìiòèìî, ùî ïðè Ω(t) =
d∏
j=1
t
rj
j , 0 < rj < l, êëàñè BΩ
p,θ ¹ àíàëî-
ãàìè âiäîìèõ êëàñiâ Á¹ñîâà Br
p,θ (äèâ., íàïðèêëàä, [5]).
Íèæ÷å ìè áóäåìî ðîçãëÿäàòè êëàñè BΩ
p,θ, ÿêi âèçíà÷àþòüñÿ ôóíê-
öi¹þ Ω(t) äåÿêîãî ñïåöiàëüíîãî âèãëÿäó:
Ω(t) = Ω(t1, ..., td) =
d∏
j=1
trj(
log 1
tj
)bj
+
, ÿêùî tj > 0, j = 1, d;
0, ÿêùî
d∏
j=1
tj = 0.
(3)
Òóò i íàäàëi ðîçãëÿäàþòüñÿ ëîãàðèôìè çà îñíîâîþ 2, êðiì òîãî(
log
1
tj
)
+
= max
{
1, log
1
tj
}
.
Òàêîæ áóäåìî ââàæàòè, ùî bj < r, j = 1, d, i 0 < r < l, à çíà÷èòü
äëÿ ôóíêöi¨ Ω(t) âèãëÿäó (3) âèêîíóþòüñÿ âëàñòèâîñòi 1 � 4, à òàêîæ
óìîâè (S) i (Sl).
À çàðàç íàâåäåìî îçíà÷åííÿ âåëè÷èíè, ÿêà áóäå íàìè äîñëiäæó-
âàòèñü (äèâ. [6]).
Äëÿ ôóíêöiîíàëüíîãî êëàñó F ⊂ Lq(πd) îçíà÷èìî
dB
M (F,Lq) = inf
G∈LM (B)q
sup
f∈F∩D(G)
‖f(·)−Gf(·)‖q . (4)
152 À.Ô. Êîíîãðàé, Î.Â. Ôåäóíèê-ßðåì÷óê
×åðåç LM (B)q òóò ïîçíà÷åíî ìíîæèíó ëiíiéíèõ îïåðàòîðiâ, ÿêi çà-
äîâîëüíÿþòü óìîâè:
à) îáëàñòü âèçíà÷åííÿ D(G) öèõ îïåðàòîðiâ ìiñòèòü âñi òðèãî-
íîìåòðè÷íi ïîëiíîìè, à ¨õ îáëàñòü çíà÷åíü ìiñòèòüñÿ â ïiäïðîñòîði
ðîçìiðíîñòi M ïðîñòîðó Lq(πd);
á) iñíó¹ ÷èñëî B ≥ 1 òàêå, ùî äëÿ âñiõ âåêòîðiâ k = (k1, . . . , kd),
kj ∈ Z, âèêîíó¹òüñÿ íåðiâíiñòü
∥∥Gei(k,·)
∥∥
2
≤ B.
Çàçíà÷èìî, ùî äî LM (1)2 íàëåæàòü îïåðàòîðè îðòîãîíàëüíî-
ãî ïðîåêòóâàííÿ íà ïðîñòîðè ðîçìiðíîñòi M , à òàêîæ îïåðàòîðè,
ÿêi çàäàþòüñÿ íà îðòîíîðìîâàíié ñèñòåìi ôóíêöié çà äîïîìîãîþ
ìóëüòèïëiêàòîðà, ÿêèé âèçíà÷à¹òüñÿ ïîñëiäîâíiñòþ {λm} òàêîþ, ùî
|λm| ≤ 1 äëÿ âñiõ m.
Íà ñüîãîäíi âiäîìî áàãàòî ðîáiò, â ÿêèõ äîñëiäæóâàëèñÿ âåëè÷èíè
dB
M (F,Lq) äëÿ òèõ ÷è iíøèõ êëàñiâ ôóíêöié. Òóò çãàäà¹ìî ðîáîòè
[7� 11], â ÿêèõ âèâ÷àëèñü âåëè÷èíè (4) äëÿ êëàñiâ ôóíêöié áàãàòüîõ
çìiííèõ W r
p,α, Hr
p , Br
p,θ òà HΩ
p , i â ÿêèõ ìîæíà îçíàéîìèòèñü ç áiëüø
äåòàëüíîþ áiáëiîãðàôi¹þ.
 äàíié ðîáîòi âñòàíîâëþþòüñÿ òî÷íi çà ïîðÿäêîì îöiíêè âåëè÷èí
dB
M (BΩ
p,θ, Lq) ïðè (p, q) = (1, 1), (∞,∞). Îäåðæàíi îöiíêè äîïîâíþþòü
ðåçóëüòàòè îòðèìàíi â ðîáîòi [12].
Íàâåäåìî êiëüêà âiäîìèõ òâåðäæåíü, ÿêi áóäåìî âèêîðèñòîâóâàòè
ó ïîäàëüøèõ ìiðêóâàííÿõ.
Êîæíîìó âåêòîðó s = (s1, . . . , sd), sj ∈ N, j = 1, d, ïîñòàâèìî ó
âiäïîâiäíiñòü ìíîæèíó
ρ(s) =
{
k = (k1, . . . , kd) : 2sj−1 ≤ |kj | < 2sj , kj ∈ Z\{0}, j = 1, d
}
.
Äëÿ íàòóðàëüíîãî N ïîêëàäåìî
χ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d, Ω(2−s) ≥ 1
N
}
,
Q(N) =
⋃
s∈χ(N)
ρ(s).
Âðàõîâóþ÷è (3) ìíîæèíó χ(N) ìîæíà îçíà÷èòè òàê:
χ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d,
d∏
j=1
2rsj s
bj
j ≤ N
}
.
Îöiíêè àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê êëàñiâ BΩ
p,θ . . . 153
Äàëi, íåõàé
χ⊥(N) = Nd \ χ(N),
Θ(N) =
{
s = (s1, ..., sd) : sj ∈ N, j = 1, d,
1
2lN
≤ Ω(2−s) <
1
N
}
.
 ïðèéíÿòèõ ïîçíà÷åííÿõ ìàþòü ìiñöå íàñòóïíi òâåðäæåííÿ, ÿêi
âñòàíîâëåíi Ì. Ì. Ïóñòîâîéòîâèì.
Ëåìà 1[11]. Êiëüêiñòü åëåìåíòiâ ìíîæèíè Q(N) ðiâíà çà ïî-
ðÿäêîì:
|Q(N)| � N
1
r
(
log N
)− b1
r −...− bd
r +d−1
.
Òóò i äàëi äëÿ äîäàòíèõ ôóíêöié µ1(N) òà µ2(N) çàïèñ µ1 � µ2
îçíà÷à¹, ùî iñíó¹ ñòàëà C > 0 òàêà, ùî ∀N ∈ N µ1(N) ≤ Cµ2(N).
Ñïiââiäíîøåííÿ µ1 � µ2 ðiâíîñèëüíå òîìó, ùî âèêîíóþòüñÿ ïîðÿä-
êîâi íåðiâíîñòi µ1 � µ2 òà µ1 � µ2. Çàóâàæèìî òàêîæ, ùî âñi ñòàëi
Ci, i = 1, 2, . . . , ÿêi áóäóòü çóñòði÷àòèñÿ â ðîáîòi, ìîæóòü çàëåæàòè
òiëüêè âiä ïàðàìåòðiâ, ùî âõîäÿòü â îçíà÷åííÿ êëàñó, ìåòðèêè, â ÿêié
âèìiðþ¹òüñÿ ïîõèáêà íàáëèæåííÿ, òà ðîçìiðíîñòi d ïðîñòîðó Rd.
Ëåìà 2 [13]. Äëÿ êiëüêîñòi åëåìåíòiâ ìíîæèíè Θ(N) ì๠ìiñöå
ñïiââiäíîøåííÿ
|Θ(N)| � (log N)d−1.
Ëåìà 3 [13]. Äëÿ ôóíêöi¨ Ω(t), ÿêà âèçíà÷åíà ðiâíiñòþ (3), ïðè
r > 0, 0 < p < ∞ ì๠ìiñöå ñïiââiäíîøåííÿ∑
s∈χ⊥(N)
(
Ω(2−s)
)p � ∑
s∈Θ(N)
(
Ω(2−s)
)p
.
Ïåðø íiæ ïåðåéòè äî âèêëàäó îòðèìàíèõ ðåçóëüòàòiâ ïîêëàäåìî
M = |Q(N)|. Òîäi âíàñëiäîê ëåìè 1, îòðèìà¹ìî
M � N
1
r
(
log N
)− b1
r −...− bd
r +d−1
,
log M � log N, N � Mr
(
log M
)b1+...+bd−(d−1)r
.
Ì๠ìiñöå.
Òåîðåìà 1. Íåõàé 1 ≤ θ < ∞, à Ω(t) çàäàíà ôîðìóëîþ (3). Òîäi
ïðè 0 < r < l ì๠ìiñöå ïîðÿäêîâà ðiâíiñòü
dB
M (BΩ
1,θ, L1) � M−r
(
log M
)−b1−...−bd+(d−1)
(
r+1− 1
θ
)
. (5)
154 À.Ô. Êîíîãðàé, Î.Â. Ôåäóíèê-ßðåì÷óê
Äîâåäåííÿ. Âñòàíîâèìî â (5) îöiíêó çâåðõó. Ç öi¹þ ìåòîþ ðîçã-
ëÿíåìî íàáëèæåííÿ ôóíêöi¨ f ∈ BΩ
1,θ ïîëiíîìîì âèäó
VQ(N)(x) =
∑
s∈χ(N)
As(f, x).
Îïåðàòîð G, ÿêèé ñòàâèòü ó âiäïîâiäíiñòü ôóíêöi¨ f ïîëiíîì
VQ(N)(x), íàëåæèòü äî LM (1)q, 1 ≤ q ≤ ∞. Âðàõóâàâøè, ùî
f(x) =
∑
s
As(f, x) [14, c. 304], i ñêîðèñòàâøèñü íåðiâíiñòþ Ìiíêîâñü-
êîãî, ìàòèìåìî
||f(·)− VQ(N)(·)||1 =
∥∥∥∥ ∑
s∈χ⊥(N)
As(f, ·)
∥∥∥∥
1
≤
∑
s∈χ⊥(N)
||As(f, ·)||1 =
=
∑
s∈χ⊥(N)
Ω−1(2−s)||As(f, ·)||1Ω(2−s) = I1.
Ùîá îöiíèòè I1, ðîçãëÿíåìî äâà âèïàäêè.
Íåõàé ñïî÷àòêó 1 < θ < ∞. Çàñòîñîâóþ÷è äî I1 íåðiâíiñòü Ãåëü-
äåðà ç ïîêàçíèêîì θ, à òàêîæ âèêîðèñòîâóþ÷è ïîñëiäîâíî ëåìè 3 i 2
îäåðæèìî
I1 ≤
( ∑
s∈χ⊥(N)
Ω−θ(2−s)||As(f, ·)||θ1
) 1
θ
( ∑
s∈χ⊥(N)
(
Ω(2−s)
) θ
θ−1
)1− 1
θ
�
� ||f ||BΩ
1,θ
( ∑
s∈χ⊥(N)
(
Ω(2−s)
) θ
θ−1
)1− 1
θ
�
�
( ∑
s∈Θ(N)
(
Ω(2−s)
) θ
θ−1
)1− 1
θ
� N−1
( ∑
s∈Θ(N)
1
)1− 1
θ
=
= N−1|Θ(N)|1− 1
θ � N−1
(
log N
)(d−1)
(
1− 1
θ
)
�
Îöiíêè àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê êëàñiâ BΩ
p,θ . . . 155
� M−r
(
log M
)−b1−...−bd+(d−1)r( log M
)(d−1)
(
1− 1
θ
)
=
= M−r
(
log M
)−b1−...−bd+(d−1)
(
r+1− 1
θ
)
.
Íåõàé òåïåð θ = 1, ìàòèìåìî
I1 ≤ N−1
∑
s∈χ⊥(N)
Ω−1(2−s)||As(f, ·)||1 �
� N−1 ||f ||BΩ
1,1
� M−r
(
log M
)−b1−...−bd+(d−1)r
.
Òàêèì ÷èíîì, îöiíêà çâåðõó â (5) âñòàíîâëåíà.
Ïåðåéäåìî äî âñòàíîâëåíííÿ âiäïîâiäíî¨ îöiíêè çíèçó âåëè÷èíè
dB
M (BΩ
1,θ, L1). Ïðè öüîìó ðîçãëÿíåìî ôóíêöiþ, ÿêà àíàëîãi÷íà ôóíê-
öi¨ ç ïðèêëàäó 7 ðîáîòè [7].
Íåõàé N äîñòàòíüî âåëèêå. Çà äîïîìîãîþ àíàëîãi÷íèõ ìiðêóâàíü,
ùî i â [15], ìîæíà ïîêàçàòè, ùî iñíó¹ ìíîæèíà Θ′(N) ⊂ Θ(N) òàêà,
ùî äëÿ s = (s1, ..., sd) ∈ Θ′(N) áóäóòü âèêîíóâàòèñü ñïiââiäíîøåííÿ
sj � log N, j = 1, d i |Θ′(N)| �
(
log N
)d−1
.
Ïîêëàäåìî
v = [|Θ′(N)| 1d ],
äå [a] � öiëà ÷àñòèíà ÷èñëà a.
Äàëi, ðîçiá'¹ìî êóá πd íà vd êóáiâ ç äîâæèíîþ ðåáðà 2π
v . Âñòàíîâè-
ìî âçà¹ìíîîäíîçíà÷íó âiäïîâiäíiñòü ìiæ ìíîæèíîþ Θ(N) ⊂ Θ′(N),
|Θ(N)| = vd i óòâîðåíîþ ìíîæèíîþ êóáiâ. Ïðè öüîìó ÷åðåç xs ∈ πd
ïîçíà÷èìî öåíòð êóáà, ùî âiäïîâiä๠âåêòîðó s ∈ Θ(N), i ïîêëàäåìî
u = 2
[
1
d log |Θ′(N)|
]
�
(
log N
) d−1
d .
Îçíà÷èìî ÷åðåç Kn(t) ÿäðî Ôåé¹ðà ïîðÿäêó n, òîáòî
Kn(t) = 1 + 2
n∑
k=1
(
1− k
n + 1
)
cos kt.
156 À.Ô. Êîíîãðàé, Î.Â. Ôåäóíèê-ßðåì÷óê
×åðåç ks ïîçíà÷èìî âåêòîð ks = (ks1
1 , ..., ksd
d ), äå
k
sj
j =
{
2sj−1 + 2sj−2, sj ≥ 2;
1, sj = 1, j = 1, d.
Íåõàé G ∈ LM (B)1. Òîäi iñíóþòü ÷èñëî N i ìíîæèíà
Θ̃(N) ⊂ Θ(N) òàêi, ùî
|Θ̃(N)| ≥ 1
2
|Θ(N)|,
i â êîæíîìó ρ(s), s ∈ Θ̃(N), çíàéäóòüñÿ êóáè ç öåíòðàìè â ks i äîâ-
æèíàìè ðåáåð 2u òàêi, ùî äëÿ ôóíêöi¨
g1(x) =
∑
s∈Θ̃(N)
ei(ks,x)
d∏
j=1
Ku(xj − xs
j)
i äåÿêîãî âåêòîðà y∗ ì๠ìiñöå îöiíêà
‖g1(x + y∗)−Gg1(x + y∗)‖1 �
(
log M
)d−1
. (6)
Äîâåäåííÿ îöiíêè (6) ïðîâîäèòüñÿ çà äîïîìîãîþ òèõ æå ìiðêó-
âàíü, ÿêi âèêîðèñòîâóâàëèñü ïðè äîâåäåííi âiäïîâiäíî¨ îöiíêè â ïðè-
êëàäi 7 ðîáîòè [7].
Òåïåð ïîâåðòà¹ìîñü áåçïîñåðåäíüî äî îöiíêè çíèçó âåëè÷èíè
dB
M (BΩ
1,θ, L1). Ðîçãëÿíåìî ôóíêöiþ
g2(x) = C3N
−1
(
log N
)− d−1
θ g1(x), C3 > 0,
i îöiíèìî ||g2||BΩ
1,θ
.
Âðàõîâóþ÷è, ùî âíàñëiäîê âèáîðó ïàðàìåòðà u
‖As(g1, ·)‖1 �
∥∥∥∥ d∏
j=1
Ku(xj)
∥∥∥∥
1
≤ C4, ∀s ∈ Θ̃(N), C4 > 0,
áóäåìî ìàòè
||g2||BΩ
1,θ
=
( ∑
s∈Θ̃(N)
Ω−θ(2−s)||As(g2, ·)||θ1
) 1
θ
�
Îöiíêè àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê êëàñiâ BΩ
p,θ . . . 157
� N−1
(
log N
)− d−1
θ
( ∑
s∈Θ̃(N)
Ω−θ(2−s)||As(g1, ·)||θ1
) 1
θ
�
� N−1
(
log N
)− d−1
θ
( ∑
s∈Θ̃(N)
Ω−θ(2−s)
) 1
θ
�
�
(
log N
)− d−1
θ |Θ̃(N)| 1θ � 1. (7)
Òàêèì ÷èíîì, iç (7) ðîáèìî âèñíîâîê, ùî ôóíêöiÿ
g2 ∈ BΩ
1,θ, 1 ≤ θ < ∞, ç âiäïîâiäíîþ ñòàëîþ C3 > 0.
Äàëi, âíàñëiäîê (6), iñíó¹ âåêòîð y∗ òàêèé, ùî
‖g2(x + y∗)−Gg2(x + y∗)‖1 �
� N−1
(
log N
)− d−1
θ ‖g1(x + y∗)−Gg1(x + y∗)‖1 �
� N−1
(
log N
)(d−1)
(
1− 1
θ
)
� M−r
(
log M
)−b1−...−bd+(d−1)
(
r+1− 1
θ
)
.
Îöiíêó çíèçó âñòàíîâëåíî. Òåîðåìó 1 äîâåäåíî.
Òåîðåìà 2. Íåõàé 1 ≤ θ < ∞, à Ω(t) çàäàíà ôîðìóëîþ (3). Òîäi
ïðè 0 < r < l ì๠ìiñöå ïîðÿäêîâà ðiâíiñòü
dB
M (BΩ
∞,θ, L∞) � M−r
(
log M
)−b1−...−bd+(d−1)
(
r+1− 1
θ
)
. (8)
Äîâåäåííÿ. Îöiíêà çâåðõó â (8) âñòàíîâëþ¹òüñÿ àíàëîãi÷íî, ÿê
i îöiíêà çâåðõó â òåîðåìi 1.
Ïåðåéäåìî äî âñòàíîâëåííÿ îöiíêè çíèçó. Ïðè öüîìó âèêîðèñòà¹-
ìî ìiðêóâàííÿ àíàëîãi÷íi äî òèõ, ÿêi âèêîðèñòîâóâàëèñÿ ó ïðèêëàäi
2 ðîáîòè [7].
Ðîçãëÿíåìî ôóíêöiþ
g3(x) =
∑
s∈Θ′(N)
Ks(x),
äå ìíîæèíà Θ′(N) îçíà÷åíà âèùå, à
Ks(x) = ei(ks,x)
d∏
j=1
K2sj−2(xj),
158 À.Ô. Êîíîãðàé, Î.Â. Ôåäóíèê-ßðåì÷óê
Kn(t) � ÿäðî Ôåé¹ðà.
Ïðèïóñòèìî, ùî îïåðàòîð G íàëåæèòü LM (B)∞. Â ðîáîòi [12]
âñòàíîâëåíî, ùî iñíó¹ âåêòîð y∗ = (y∗1 , ..., y∗d) òàêèé, ùî
‖g3(x− y∗)−Gg3(x− y∗)‖∞ � M. (9)
Ðîçãëÿíåìî ôóíêöiþ
g4(x) = C5N
−1
(
N
1
r
(
log N
)− b1
r −...− bd
r
)−1(
log N
)− d−1
θ g3(x), C5 > 0.
Ïîêàæåìî, ùî ôóíêöiÿ g4 ïðè âiäïîâiäíîìó âèáîði ñòàëî¨ C5 íà-
ëåæèòü äî êëàñó BΩ
∞,θ, 1 ≤ θ < ∞.
Äiéñíî, ñêîðèñòàâøèñü ñïiââiäíîøåííÿì
||As(g3, ·)||∞ � ‖Ks(·)‖∞ � 2‖s‖1 ,
äå ‖s‖1 = s1 + ... + sd, sj ∈ N, áóäåìî ìàòè
||g4||BΩ
∞,θ
=
( ∑
s∈Θ′(N)
Ω−θ(2−s)||As(g4, ·)||θ∞
) 1
θ
�
� N−1
(
N
1
r
(
log N
)− b1
r −...− bd
r
)−1(
log N
)− d−1
θ ×
×
( ∑
s∈Θ′(N)
Ω−θ(2−s)||As(g3, ·)||θ∞
) 1
θ
�
�
(
N
1
r
(
log N
)− b1
r −...− bd
r
)−1(
log N
)− d−1
θ
( ∑
s∈Θ′(N)
2‖s‖1θ
) 1
θ
= I2.
Äàëi, âðàõîâóþ÷è, ùî äëÿ s ∈ Θ′(N) ⊂ Θ(N) âèêîíóþòüñÿ
ñïiââiäíîøåííÿ
2‖s‖1 � N
1
r
d∏
j=1
s
−
bj
r
j i sj � log N, j = 1, d,
Îöiíêè àïðîêñèìàòèâíèõ õàðàêòåðèñòèê êëàñiâ BΩ
p,θ . . . 159
áóäåìî ìàòè
I2 �
(
N
1
r
(
log N
)− b1
r −...− bd
r
)−1(
log N
)− d−1
θ ×
×N
1
r
(
log N
)− b1
r −...− bd
r |Θ′(N)| 1θ �
�
(
log N
)− d−1
θ
(
log N
) d−1
θ = 1.
Òåïåð, ñêîðèñòàâøèñü ñïiââiäíîøåííÿì (9), îòðèìà¹ìî
‖g4(x− y∗)−Gg4(x− y∗)‖∞ �
� N−1
(
N
1
r
(
log N
)− b1
r −...− bd
r +d−1
)−1(
log N
)(d−1)
(
1− 1
θ
)
×
×‖g3(x− y∗)−Gg3(x− y∗)‖∞ �
� M−r
(
log M
)−b1−...−bd+(d−1)r
M−1
(
log M
)(d−1)
(
1− 1
θ
)
M =
= M−r
(
log M
)−b1−...−bd+(d−1)
(
r+1− 1
θ
)
.
Îöiíêó çíèçó âñòàíîâëåíî. Òåîðåìó 2 äîâåäåíî.
Çàóâàæåííÿ 1. Ó âèïàäêó Ω(t) =
d∏
j=1
trj , ðåçóëüòàòè òåîðåì 1
i 2 (äëÿ êëàñiâ Br
p,θ, 1 ≤ θ < ∞) îòðèìàíi À. Ñ. Ðîìàíþêîì â [9, 10].
Çàóâàæåííÿ 2. Òî÷íi çà ïîðÿäêîì îöiíêè âåëè÷èí dB
M (HΩ
p , Lq)
ïðè çíà÷åííÿõ ïàðàìåòðiâ p i q, ÿêi çàäîâîëüíÿþòü óìîâàì òåîðåì
1 i 2, îòðèìàíi Ì. Ì. Ïóñòîâîéòîâèì â [11].
1. Áàðè Í.Ê., Ñòå÷êèí Ñ.Á. Íàèëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿ è äèôôåðåíöèàëüíûå
ñâîéñòâà äâóõ ñîïðÿæåííûõ ôóíêöèé // Òð. Ìîñê. ìàò. î-âà. � 1956. � 5.
� C. 483 � 522.
2. Sun Yongsheng, Wang Heping. Representation and Approximation of
Multivariate Periodic Functions with Bounded Mixed Moduli of Smoothness
// Òð. Ìàò. èí-òà èì. Â.À.Ñòåêëîâà. � 1997. � 219. � Ñ. 356 � 377.
3. Ïóñòîâîéòîâ Í.Í. Ïðåäñòàâëåíèå è ïðèáëèæåíèå ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíê-
öèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ ñ çàäàííûì ñìåøàííûì ìîäóëåì íåïðåðûâíîñòè
// Anal. Math. � 1994. � 20. � C. 35 � 48.
160 À.Ô. Êîíîãðàé, Î.Â. Ôåäóíèê-ßðåì÷óê
4. Ñòàñþê Ñ.À., Ôåäóíèê Î.Â. Àïðîêñèìàòèâíi õàðàêòåðèñòèêè êëàñiâ BΩ
p,θ
ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié áàãàòüîõ çìiííèõ // Óêð. ìàò. æóðí. � 2006. � 58,
� 5. � C. 692 � 704.
5. Ëèçîðêèí Ï.È., Íèêîëüñêèé Ñ.Ì. Ïðîñòðàíñòâà ôóíêöèé ñìåøàííîé
ãëàäêîñòè ñ äåêîìïîçèöèîííîé òî÷êè çðåíèÿ // Òð. Ìàò. èí-òà èì.
Â.À. Ñòåêëîâà. � 1989. � 187. � C. 143 � 161.
6. Òåìëÿêîâ Â.Í. Ïîïåðå÷íèêè íåêîòîðûõ êëàññîâ ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïå-
ðåìåííûõ // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1982. � 267, � 2. � C. 314 � 317.
7. Òåìëÿêîâ Â.Í. Îöåíêè àñèìïòîòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê êëàññîâ ôóíêöèé
ñ îãðàíè÷åííîé ñìåøàííîé ïðîèçâîäíîé // Òð. Ìàò. èí-òà ÀÍ ÑÑÑÐ. �
1989. � 189. � C. 138 � 168.
8. Òåìëÿêîâ Â.Í. Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé ñ îãðàíè÷åííîé ñìåøàííîé ïðîèç-
âîäíîé // Òð. Ìàò. èí-òà ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1986. � 178. � C. 1 � 112.
9. Ðîìàíþê À.Ñ. Íàèëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿ è ïîïåðå÷íèêè êëàññîâ ïåðèîäè-
÷åñêèõ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ // Ìàò. ñá. � 2008. � 199, � 2. �
C. 93 � 114.
10. Ðîìàíþê À.Ñ. Ïîïåðå÷íèêè è íàèëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿ êëàññîâ Áåñîâà
Br
p,θ ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ // Anal. Math. � 2011.
� 37. � C. 181 � 213.
11. Ïóñòîâîéòîâ Í.Í. Îðòîïîïåðå÷íèêè êëàññîâ ìíîãîìåðíûõ ïåðèîäè÷å-
ñêèõ ôóíêöèé, ìàæîðàíòà ñìåøàííûõ ìîäóëåé íåïðåðûâíîñòè êîòîðûõ
ñîäåðæèò êàê ñòåïåííûå, òàê è ëîãàðèôìè÷åñêèå ìíîæèòåëè // Anal.
Math. � 2008. � 34. � C. 187 � 224.
12. Êîíîãðàé À.Ô. Îöåíêè àïïðîêñèìàòèâíûõ õàðàêòåðèñòèê êëàññîâ BΩ
p,θ
ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ ñ çàäàííîé ìàæîðàíòîé ñìåøàííûõ ìîäó-
ëåé íåïðåðûâíîñòè // Ìàò. çàìåòêè. � 2013. �  ïå÷àòè.
13. Ïóñòîâîéòîâ Í.Í. Ïðèáëèæåíèå ìíîãîìåðíûõ ôóíêöèé ñ çàäàííîé ìà-
æîðàíòîé ñìåøàííûõ ìîäóëåé íåïðåðûâíîñòè // Ìàò. çàìåòêè. � 1999. �
65, � 1. � C. 107 � 117.
14. Íèêîëüñêèé Ñ.Ì. Ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ è òåîðåìû
âëîæåíèÿ. � Ì.: Íàóêà, 1977. � 456 c.
15. Ïóñòîâîéòîâ Í.Í. Î ïðèáëèæåíèè è õàðàêòåðèçàöèè ïåðèîäè÷åñêèõ
ôóíêöèé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ, èìåþùèõ ìàæîðàíòó ñìåøàííûõ ìîäóëåé
íåïðåðûâíîñòè ñïåöèàëüíîãî âèäà // Anal. Math. � 2003. � 29. � C. 201
� 218.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-103 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:29Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/5c/d185d74e1b360ffb39b20f4abebca05c.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1032018-01-29T14:44:27Z Estimates of approximation characteristics of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of the mixed modulo of continuity Оцінки апроксимативних характеристик класів $B^{\Omega}_{p,\theta}$ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності Konograi, A. F. Fedunyk-Yaremchuk, O. V. Конограй, А. Ф. Федуник-Яремчук, О. В. We obtain exact order estimates of approximation of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several&nbsp;variables in the space $L_q$ by using linear operators subjected to some&nbsp;conditions for some means of parametres $p$ and $q$ Oдержано точні за порядком оцінки наближення класів $B^{\Omega}_{p,\theta}$ періодичних функцій багатьох змінних у просторі $ L_q$ за допомогою лінійних операторів, які&nbsp;підпорядковані певним умовам, для деяких значень параметрів $p$ та $q$ Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/103 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 148-160 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 148-160 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 148-160 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/103/92 Авторське право (c) 2013 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Konograi, A. F. Fedunyk-Yaremchuk, O. V. Конограй, А. Ф. Федуник-Яремчук, О. В. Estimates of approximation characteristics of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of the mixed modulo of continuity |
| title | Estimates of approximation characteristics of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of the mixed modulo of continuity |
| title_alt | Оцінки апроксимативних характеристик класів $B^{\Omega}_{p,\theta}$ періодичних функцій багатьох змінних із заданою мажорантою мішаних модулів неперервності |
| title_full | Estimates of approximation characteristics of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of the mixed modulo of continuity |
| title_fullStr | Estimates of approximation characteristics of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of the mixed modulo of continuity |
| title_full_unstemmed | Estimates of approximation characteristics of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of the mixed modulo of continuity |
| title_short | Estimates of approximation characteristics of classes $B^{\Omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of the mixed modulo of continuity |
| title_sort | estimates of approximation characteristics of classes $b^{\omega}_{p,\theta}$ of periodic functions of several variables with given majorant of the mixed modulo of continuity |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/103 |
| work_keys_str_mv | AT konograiaf estimatesofapproximationcharacteristicsofclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofseveralvariableswithgivenmajorantofthemixedmoduloofcontinuity AT fedunykyaremchukov estimatesofapproximationcharacteristicsofclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofseveralvariableswithgivenmajorantofthemixedmoduloofcontinuity AT konograjaf estimatesofapproximationcharacteristicsofclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofseveralvariableswithgivenmajorantofthemixedmoduloofcontinuity AT fedunikâremčukov estimatesofapproximationcharacteristicsofclassesbomegapthetaofperiodicfunctionsofseveralvariableswithgivenmajorantofthemixedmoduloofcontinuity AT konograiaf ocínkiaproksimativnihharakteristikklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervností AT fedunykyaremchukov ocínkiaproksimativnihharakteristikklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervností AT konograjaf ocínkiaproksimativnihharakteristikklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervností AT fedunikâremčukov ocínkiaproksimativnihharakteristikklasívbomegapthetaperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnihízzadanoûmažorantoûmíšanihmodulívneperervností |