Estimates of maximum of product of inner radii of non-overlapping domains
We consider some problem on non-overlapping domains in the complex plane and we give solution of this problem for n=6,7,8 under some restrictions on a power y.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/111 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552527728214016 |
|---|---|
| author | Zabolotnii, Ya. V. Заболотний, Я. В. |
| author_facet | Zabolotnii, Ya. V. Заболотний, Я. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Я. В. Заболотний",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Zabolotnii, Ya. V. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | We consider some problem on non-overlapping domains in the complex plane and we give solution of this problem for n=6,7,8 under some restrictions on a power y. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:00:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 156–162
УДК 517.54
Я.В. Заболотний
(Iнститут математики НАН України, Київ)
yaroslavzabolotnii@mail.ru
Оцiнки максимума добутку
внутрiшнiх радiусiв взаємно
неперетинних областей на C
Присвячено 70-рiччю професора Юрiя Борисовича Зелiнського
У данiй роботi розглядається вiдома проблема В.М. Дубинiна про не-
перетиннi областi на комплекснiй площинi i знайдено її розв’язок для
n ∈ {6,7,8} за певних обмежень на показник степеня γ.
We consider some problem on non-overlapping domains in the complex
plane and we give solution of this problem for n ∈ {6,7,8} under some
restrictions on a power γ.
У геометричнiй теорiї функцiй комплексної змiнної важливе мiсце
посiдають задачi про екстремальне розбиття комплексної площини.
Задачi даного типу в основному зводяться до визначення максимуму
добутку внутрiшнiх радiусiв на системах попарно неперетинних обла-
стей, для яких виконуються певнi умови.
З даного напрямку вiдзначимо, наприклад, роботи [1–4]. Було отри-
мано багато вагомих результатiв, але в той же час значна кiлькiсть
задач не розв’язана i досi. Однiй з таких задач (сформульована у ро-
ботi [1]) i присвячена ця робота.
Нехай N, C — множини натуральних i комплексних чисел вiдповiд-
но, n ∈ N, Bj — область в C, r(Bj ,aj) — внутрiшнiй радiус областi Bj
у точцi aj (див., наприклад, [1–4]), j ∈ {0, 1, . . . , n}.
c© Я.В. Заболотний, 2017
Оцiнки максимума добутку . . . 157
Задача 1. Знайти максимум виразу
In(γ) = rγ(B0,a0)
n∏
k=1
r(Bk,ak), (1)
де B0, B1, B2, . . . , Bn, n ≥ 2, є попарно неперетиними областями в C,
a0 = 0, |ak| = 1, k = 1,n, γ ≤ n, а також описати екстремальнi
конфiгурацiї областей.
В роботi [2] було розв’язано дану задачу для γ = 1 i всiх n ≥ 2. В
роботi [5] було знайдено частковий розв’зок задачi Дубинiна при умовi,
що n ≥ 5 i αk
√
γ ≤ 2, де числа αk означуються таким чином:
α1 :=
1
π
(arg a2−arg a1), α2 :=
1
π
(arg a3−arg a2), . . . , αn :=
1
π
(2π−arg an).
В роботi [3] задачу 1 було розв’язано для всiх γ > 1, але починаючи з
деякого, заздалегiдь невiдомого номера n. У роботi [6] було знайдено
частковий розв’зок задачi 1 для n ≥ 5 i 1 < γ ≤ n0.38, а в [7] — для
n ≥ 8 i 1 < γ ≤ n0.42.
Для опису екстремальних конфiгурацiй областей ми будемо викори-
стовувати квадратичний диференцiал (див., наприклад, [3, с. 63-70]).
В данiй роботi отримано наступний результат:
Теорема 1. Нехай n = 6,7,8, γ6 = 2.49, γ7 = 2.67, γ8 = 2.84. Тодi для
довiльного 1 < γ ≤ γn виконується нерiвнiсть
rγ(B0,a0)
n∏
k=1
r(Bk,ak) ≤ rγ(D0,d0)
n∏
k=1
r(Dk,dk),
де B0, B1, B2, . . . , Bn, n ≥ 2, є попарно неперетиними областями в C,
a0 = 0, |ak| = 1, a1 = 1, k = 1,n, r(Bj ,aj) є внутрiшнiм радiусом
областi Bj у точцi aj (aj ∈ Bj), j = 0,n; dk, Dk — вiдповiдно полюси
i круговi областi квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = − (n2 − γ)wn + γ
w2(wn − 1)2
dw2. (2)
Доведення. Зауважимо, що випадок αk
√
γ ≤ 2 був розглянутий в
роботi [5]. Тому нам залишається довести правильнiсть теореми для
αk
√
γ > 2. Всi подальшi мiркування стосуються саме даного випадку.
158 Я.В. Заболотний
Метод доведення спирається на застосування методу роздiляючого
перетворення областей, який детально розроблений в роботi [2].
Згiдно з умовою задачi, a0 = 0, |ak| = 1, k = 1,n. Припустимо, для
конкретностi, що
0 = arg a1 < arg a2 < · · · < arg an < 2π.
Нехай
Pk := {w : arg ak < argw < arg ak+1}, k = 1,n, arg an+1 = 2π,
P0 := Pn, Pn+1 := P1, α1 + α2 + · · ·+ αn = 2.
При кожному k = 1,n позначимо через zk(w) ту вiтку многозна-
чної аналiтичної функцiї z = −i(e−i arg akw)
1
αk , z0 := zn, zn+1 := z1,
яка конформно i однолисно вiдображає областi Pk, k = 1,n, на праву
пiвплощину Rez > 0
Тодi для областей Bk, k = 1,n, таких, як i в Задачi 1, позначи-
мо через D(1)
k об’єднання зв’язної компоненти множини zk(Bk ∩ Pk),
що мiстить точку zk(ak) з її вiдображенням вiдносно уявної осi, а че-
рез D(2)
k−1 — об’єднання зв’язної компоненти множини zk−1(Bk ∩Pk−1),
що мiстить точку zk−1(ak) з її вiдображенням вiдносно уявної осi,
D
(2)
0 := D
(2)
2 . Сiм’ю двох симетричних вiдносно уявної осi областей
{D(1)
k ;D
(2)
k−1}, будемо називати результатом роздiляючого перетворен-
ня областi Bk. Для утворених областей, згiдно з Теоремою 3 роботи [2],
а також враховуючи результат [3, Теорема 5.1.1], правильнi наступнi
нерiвностi:
n∏
k=1
r(Bk,ak) ≤
n∏
k=1
αk(r(D
(i)
k+1,i)r(D
(2)
k ,− i)) 1
2 ≤ 2n
n∏
k=1
αk. (3)
Аналогiчно проводиться роздiляюче перетворення областi B0, i
отримуємо нерiвнiсть
r(B0,0) ≤
n∏
k=1
(r(D
(k)
0 ; 0)
α2
k
2 .
Вираз (1) запишемо в наступному виглядi:
In(γ) = rγ(B0,a0)
n∏
k=1
r(Bk,ak) =
Оцiнки максимума добутку . . . 159
=
(
n∏
k=1
(r(B0,a0)r(Bk,ak)r(Bk+1,ak+1)
) γ
n
(
n∏
k=1
r(Bk,ak)
)1− 2γ
n
,
де Bn+1 := B1, an+1 := a1 i, вiдповiдно, r(Bn+1,an+1) = r(B1,a1).
Використовуючи теорему Голузiна [8, с. 165.], отримаємо наступнi
оцiнки:
r(B0,a0) · r(Bk,ak) · r(Bk+1,ak+1) ≤
≤ 64
81
√
3
· |ak − a0| · |ak+1 − a0| · |ak+1 − ak| =
64
81
√
3
· |ak+1 − ak|.
Звiдси будемо мати:(
n∏
k=1
(r(B0,a0) · r(Bk,ak)r(Bk+1,ak+1)
) γ
n
≤
≤
(
64
81
√
3
)γ ( n∏
k=1
|ak+1 − ak|
) γ
n
. (4)
Використовуючи (3), отримаємо:(
n∏
k=1
r(Bk,ak)
)1− 2γ
n
6
[
2n
n∏
k=1
αk
]1− 2γ
n
6
[
2nα0
(
2− α0
n− 1
)n−1]1− 2γ
n
<
<
[
2n+1
(n− 1)n−1
√
γ
·
(
2− 2
√
γ
)n−1]1− 2γ
n
. (5)
Враховуючи (4) i (5), а також те, що αk > 2√
γ , отримаємо наступну
нерiвнiсть:
In(γ) <
(
64
81
√
3
)γ ( n∏
k=1
|ak+1 − ak|
) γ
n
×
×
[
2n+1
(n− 1)n−1
√
γ
(
2− 2
√
γ
)n−1]1− 2γ
n
≤
≤
(
64
81
√
3
)γ (
2 sin
(
π
n− 1
(
1− 1
√
γ
))) (n−1)γ
n
(
2 sinπ
(
1− 1
√
γ
)) γ
n
×
160 Я.В. Заболотний
×
[
2n+1
(n− 1)n−1
√
γ
(
2− 2
√
γ
)n−1]1− 2γ
n
=: Jn(γ).
Нехай I0n(γ) — значення функцiонала In(γ) для областей Dk i точок
dk, згаданих в умовi теореми. Тодi, згiдно з [3, Теорема 5.2.3], викону-
ється рiвнiсть:
I0n(γ) = rγ (D0,0)
n∏
k=1
r (Dk,dk) =
(
4
n
)n (
4γ
n2
) γ
n(
1− γ
n2
)n+ γ
n
(
1−
√
γ
n
1 +
√
γ
n
)2
√
γ
,
(6)
деDk — згаданi вище круговi областi квадратичного диференцiала (2).
Тодi
In(γ)
I0n(γ)
<
Jn(γ)
I0n(γ)
.
Перейдемо до розгляду конкретних значень n.
Розглянемо випадок n = 6. Для γ = 2.49, враховуючи (6), отрима-
ємо, що J6(2.49
I06 (2.49)
< 0.988 < 1, аб значить, для даних значень n i γ для
довiльної конфiгурацiї областей Bk i точок ak, якi задовольняють усi
умови теореми 1, виконується нерiвнiсть I6(2.49) < I06 (2.49), тобто для
γ = 2.49 теорема доведена.
Нехай тепер 1 < γ < 2.49. Зауважимо, що функцiя J6(γ) монотон-
но зростає на даному промiжку, а отже J6(γ) < J6(2.49). У той же
час, функцiя I06 (γ) монотонно спадає, а отже I06 (γ) > I06 (2.49). Пiд-
сумовуючи вище сказане, для довiльного γ такого, що 1 < γ < 2.49
виконуються наступнi нерiвностi:
I6(γ)
I06 (γ)
<
J6(γ)
I06 (γ)
<
J6(2.49)
I06 (2.49)
< 1.
Отже, для n = 6 i 1 < γ < 2.49 для довiльної конфiгурацiї областей
Bk i точок ak, якi задовольняють всi умови теореми 1, виконується
нерiвнiсть I6(γ) < I06 (γ), тобто для n = 6 теорема доведена.
Нехай тепер n = 7. Для γ = 2.67 отримаємо, що J7(2.67)/I07 (2.67) <
< 0.995 < 1, отже, для даних значень n i γ для довiльної конфiгурацiї
областей Bk i точок ak, якi задовiльняють усi умови Теореми 1, ви-
конується нерiвнiсть I7(2.67) < I07 (2.67), тобто для γ = 2.67 теорема
доведена.
Оцiнки максимума добутку . . . 161
Maл. 1: Структура траєкторiй квадр. диференц. (2) при n = 6
Випадок n = 7 i 1 < γ < 2.67 розглядається аналогiчно до випадку
n = 6.
Для n = 8 i γ = 2.84 отримаємо, що J8(2.84)/I
0
8 (2.84) <
< 0.991 < 1, i аналогiчними мiркуваннями, щодо попереднiх випад-
кiв, показуємо, що твердження теореми правильне як для γ = 2.84,
так i для 1 < γ < 2.84.
Теорему доведено.
Автор висловлює подяку професору О.К. Бахтiну за постановку зада-
чi, а також за цiннi поради та зауваження щодо написання цiєї роботи.
Лiтература
[1] Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории фун-
кций комплексного переменного // Успехи мат. наук. — 1994. — 49,
№ 1(295). — С. 3 – 76.
[2] Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об эк-
стремальном разбиении // Зап. науч. сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та
АН СССР. — 1988. — 168. — С. 48 – 66.
[3] Бахтин А.К., Бахтина Г.П., Зелинский Ю.Б. Тополого-
алгебраические структуры и геометрические методы в комплексном
анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. — К.: Iн-т матема-
тики НАН України, 2008. — 308 с.
162 Я.В. Заболотний
[4] Кузьмина Г.В. Методы геометрической теории функций // Алгебра и
анализ. — 1997. — 9, № 5. — С. 1 – 50.
[5] Ковалев Л.В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными по-
люсами на окружности // Дальнев. матем. сб. — 1996. — 2. — С. 96 – 98.
[6] Бахтин А.К., Денега И.В. Об одной проблеме В.Н. Дубинина // Зб.
праць Iн-ту математики НАН України /Комплексний аналiз, теорiя по-
тенцiалу i застосування/. — К.: Iн-т математики НАН України, 2013. —
10, №4-5. — C. 401 – 411.
[7] Бахтин А.К., Вьюн В.Е., Таргонский А.Л. Неравенства для внутрен-
них радиусов взаимно непересекающихся областей // Зб. праць Iн-ту
математики НАН України /Аналiз та застосування/. — К.: Iн-т мате-
матики НАН України, 2015. — 12, №3. — C. 38 – 46.
[8] Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного перемен-
ного. — М.: Наука, 1966. — 628 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-111 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:00:51Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/03/4c4adf7f35c957c5940ddfa949075a03.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1112018-02-13T13:58:16Z Estimates of maximum of product of inner radii of non-overlapping domains Оцінки максимума добутку внутрішніх радіусів взаємно неперетинних областей на С Zabolotnii, Ya. V. Заболотний, Я. В. We consider some problem on non-overlapping domains in the complex plane and we give solution of this problem for n=6,7,8 under some restrictions on a power y. В даній роботі розглядається відома проблема В.М. Дубініна про неперетинні області на комплексній площині і знайдено її розв;язок для n=6,7,8 за певних обмежень на показник степеня у. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/111 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 156–162 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 156–162 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 156–162 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/111/100 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Zabolotnii, Ya. V. Заболотний, Я. В. Estimates of maximum of product of inner radii of non-overlapping domains |
| title | Estimates of maximum of product of inner radii of non-overlapping domains |
| title_alt | Оцінки максимума добутку внутрішніх радіусів взаємно неперетинних областей на С |
| title_full | Estimates of maximum of product of inner radii of non-overlapping domains |
| title_fullStr | Estimates of maximum of product of inner radii of non-overlapping domains |
| title_full_unstemmed | Estimates of maximum of product of inner radii of non-overlapping domains |
| title_short | Estimates of maximum of product of inner radii of non-overlapping domains |
| title_sort | estimates of maximum of product of inner radii of non-overlapping domains |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/111 |
| work_keys_str_mv | AT zabolotniiyav estimatesofmaximumofproductofinnerradiiofnonoverlappingdomains AT zabolotnijâv estimatesofmaximumofproductofinnerradiiofnonoverlappingdomains AT zabolotniiyav ocínkimaksimumadobutkuvnutríšníhradíusívvzaêmnoneperetinnihoblastejnas AT zabolotnijâv ocínkimaksimumadobutkuvnutríšníhradíusívvzaêmnoneperetinnihoblastejnas |