On countable- to-one B-measurable mappings

This paper considers countable-to-one B-measurable mappings of complete separable zero-dimensional uncountable spaces. It is proved that if a set ofthe first category of the space is excluded there exists a dense set of points of local homeomorphism on the remaining set.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автори:	Safonova, O. V., Сафонова, О. В.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2017
Онлайн доступ:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/116
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Завантажити файл:

Репозитарії

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872552633221251072
author	Safonova, O. V. Сафонова, О. В.
author_facet	Safonova, O. V. Сафонова, О. В.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "О. В. Сафонова", "institution": "Київський національний університет імені Тараса Шевченка" } ]
author_sort	Safonova, O. V.
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-02-13T13:58:16Z
description	This paper considers countable-to-one B-measurable mappings of complete separable zero-dimensional uncountable spaces. It is proved that if a set ofthe first category of the space is excluded there exists a dense set of points of local homeomorphism on the remaining set.
first_indexed	2026-08-04T01:02:32Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 230–237 УДК 517.51 О.В. Сафонова (Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Київ) olechkadiadin@gmail.com Про злiченнократнi B-вимiрнi вiдображення Присвячено 70-рiччю професора Юрiя Борисовича Зелiнського This paper considers countable-to-one B-measurable mappings of complete separable zero-dimensional uncountable spaces. It is proved that if a set of the first category of the space is excluded there exists a dense set of points of local homeomorphism on the remaining set. У роботi розглядаються злiченнократнi B-вимiрнi вiдображення пов- них сепарабельних нульвимiрних незлiченних просторiв. Показано, що якщо виключити деяку множину першої категорiї з простору, то iснує щiльна множина точок локального гомеоморфiзму на множинi, що за- лишається. Дослiдженню злiченнократних вiдображень присвячена низка ро- бiт. Результати, отриманi у роботах [1–3], заклали вiдправний пункт для подальших дослiджень з цiєї тематики. Серед цих результатiв привертають увагу теорема Ю.Ю. Трохим- чука щодо iснування щiльної множини точок локального гомеомор- фiзму при злiченнократному неперервному вiдображеннi многовидiв однакової вимiрностi i загальна теорема М.М. Лузiна про iснування неявних функцiй. Розглядаючи проблему про унiформiзацiю множин, яка тiсно пов’язана з проблемою неявних функцiй, М.М. Лузiн до- вiв, що при злiченнократному неперервному вiдображеннi f довiльний повний сепарабельний простiр X являє собою суму ряду борельових c© О.В. Сафонова, 2017 Про злiченнократнi B-вимiрнi вiдображення 231 множин X = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bj ∪ . . . , таких, що звуження вiдображе- ння f \|B j на кожну з них є гомеоморфiзмом (взагалi кажучи з класу (0, β)) [4, с. 509]. Виявляється, якщо знехтувати деякою множиною першої категорiї, то при злiченнократному довiльному B-вимiрному вiдображеннi пов- ного сепарабельного нульвимiрного незлiченного простору iснує щiль- на множина точок локального гомеоморфiзму. Метою цiєї роботи i є доведення зазначеного твердження. Це твердження є доповненням до згаданих результатiв. Iнформацiю про термiни та поняття, що вико- ристовуються, можна знайти у роботах [3–5]. Теорема 1. Нехай A ⊂ Rn є нульвимiрною нiде не компактною Gδ- множиною, а f : A −→ Rm — злiченнократне B-вимiрне вiдображен- ня. Тодi iснують множина першої категорiї D ⊂ A та послiдовнiсть Gδ-множин A1, A2, . . . , Aj , . . . , така, що A \ D = ⋃ j Aj i звуження вiдображення f \| Aj на кожну множину Aj є гомеоморфiзмом. Доведення Tеореми 1 ґрунтується на двох лемах. Лема 1. Якщо виконуються умови теореми 1, то iснують мно- жина першої категорiї D ⊂ A та послiдовнiсть Gδ-множин A1, A2, . . . , Aj , . . . , така, що A \ D = ⋃ j Aj i звуження вiдображе- ння f \| Aj на кожну множину Aj є взаємно однозначним, причому образи f(Aj) нульвимiрнi i топологiчно мiстяться у класичному бе- рiвському просторi. Доведення. Вiдомо [4, с. 393], що графiк Γ(f) для B-вимiрного вiд- ображення f є борельовою множиною у просторi Rn+m = Rn × Rm. Образ f(A) ⊂ Rm для Gδ-множини A ⊂ Rn — ортогональна проекцiя графiка вiдображення Γ(f) на Rm, при цьому кожнiй точцi множини f(A) вiдповiдає щонайбiльше злiченна множина точок борельової мно- жини Γ(f). Згiдно з теоремою Лузiна [2, с. 178], звiдси випливає, що множина f(A) є борельовою у просторi Rm. Оскiльки множина f(A) має вимiрнiсть dimf(A) = k ≤ m, то за теоремою Катетова [5, с. 376] можна записати цю множину у вигля- дi суми множин Q̃i вимiрностi dimQ̃i = 0, i = 0, 1, . . . , k. Як вiдо- мо [4, с. 294], iснують множини Q∗i ⊃ Q̃i типу Gδ у просторi Rm i вимiрностi dimQ∗i = 0, i = 0, 1, . . . , k. Тодi кожний перетин множин Q′i = Q∗i ∩ f(A), i = 0, 1, . . . , k, є нульвимiрною борельовою множи- ною, причому f(A) = ⋃k i=0Q ′ i. Покладаючи Q0 = Q′0, Q1 = Q′1 \ Q′0, 232 О.В. Сафонова Q2 = Q′2 \ (Q′0 ∪ Q′1), . . . , Qk = Q′k \ (Q′0 ∪ Q′1 ∪ · · · ∪ Q′k−1), маємо f(A) = ⋃k i=0Qi, де Qi — нульвимiрнi борельовi множини, якi попарно не перетинаються. Кожна множина Qi, i = 0, 1, . . . , k, топологiчно мiститься у нуль- вимiрному класичному берiвському просторi N — множинi всiх iр- рацiональних точок, розмiщених на одиничному вiдрiзку [0, 1] ⊂ R [1, с. 147]. Що стосується множини A, то вона, будучи нульвимiрною нiде не компактною i абсолютною Gδ-множиною, гомеоморфна про- стору Бера N [1, с. 155]. Нехай Nx i Ny — лiнiйнi берiвськi простори, якi належать вiдповiд- но осi OX i осi OY деякої прямокутної декартової системи координат, вибраної у двовимiрному евклiдовому просторi R2 = Rx × Ry. Вибе- ремо гомеоморфiзми h, hi такi, що Nx = h(A) i Hi = hi(Qi) ⊂ Ny, i = 0, 1, . . . , k. Беручи до уваги попереднє, маємо f−1(Qi) ⊂ A, Ei = h(f−1(Qi)) ⊂ Nx, та Ei ∩ Ep = ∅ при i 6= p. Покладемо g = h−1 i розглянемо B-вимiрнi вiдображення fi : Ei −→ Hi, якi заданi формулами: y = hi (f(g(x))) ∈ Hi, x ∈ Ei, i = 0, 1, . . . , k. Внаслiдок того, що кожне вiдображення fi злiченно- кратне, будь-яка точка y ∈ Hi є ортогональною проекцiєю на вiсь OY щонайбiльше злiченної множини точок графiка Γ(fi) вiдображення fi, i = 0, 1, . . . , k. Звiдси, за теоремою Лузiна [2, с. 244], випливає, що ко- жна борельова множина Γ(fi) може бути записаною у виглядi суми злiченної множини однозначних вiдносно осi OY i попарно без спiль- них точок борельових множин: B1 i , B 2 i , . . . , i = 0, 1, . . . , k, Γ(fi) = ∪sBsi , s = 1, 2, . . . . Позначимо через Esi множину, яка є ортогональною проекцiєю на вiсь OX множини Bsi , i = 0, 1, . . . , k, s = 1, 2, . . . . Тодi Nx = ∪ki=0Ei, Ei = ∪sEsi , i = 0, 1, . . . , k, причому Esi ∩ Eti = ∅ при s 6= t. Таким чином, Nx = ∪ki=0 ∪s Esi , де Esi — борельовi множини попарно без спiльних точок. Оскiльки Gδ-множина Nx всюди другої категорiї на вiдрiзку [0, 1], то на будь-якому iнтервалi (α, β) ⊂ [0, 1] серед борельових множин злiченної послiдовностi {E1 0 , E 1 1 , . . . , E 1 k, E 2 0 , E 2 1 , . . . , E 2 k, . . . } знайдеться принаймнi одна множина Esi не першої категорiї i, отже, за властивi- стю Бера, другої категорiї на деякому iнтервалi (a, b) ⊂ (α, β). То- му, iснують всюди щiльна послiдовнiсть iнтервалiв (aj , bj) ⊂ [0, 1], j = 1, 2, . . . , i послiдовнiсть множин Ẽj ⊆ (aj , bj) ∩ Nx, кожна з яких Про злiченнократнi B-вимiрнi вiдображення 233 другої категорiї на вiдповiдному (aj , bj) та належить лише однiй з множин Esi . Множини Ẽj , очевидно, можна вважати Gδ-множинами у просторi Rx . При цьому на вiдрiзку [0, 1] множина D0 = [0, 1]\ \ ⋃ j(aj , bj) замкнена i нiде не щiльна, а множиниDj = Nx∩(aj , bj)\Ẽj , j = 1, 2, . . . , першої категорiї. Враховуючи зазначене, отримаємо мно- жину D̃ = (D0 ∩Nx) ∪ ( ⋃ j Dj) першої категорiї у просторi Бера Nx. Отже справедливо, що Nx = D̃ ∪ ( ⋃ j Ẽj) i на кожнiй множинi Ẽj , j = 1, 2, . . . , одне i тiльки одне iз вiдображень fi, i = 0, 1, . . . , k, є вза- ємно однозначним. На пiдставi того, що вiдображення h є гомеомор- фiзмом, маємо множину D = h−1(D̃) = g(D̃) ⊂ A першої категорiї в A та диз’юнктну злiченну сiм’ю Gδ-множин Aj = h−1(Ẽj) = g(Ẽj) ⊂ A у просторi Rn , причому D ∩ Aj = ∅, j = 1, 2, . . . . Звiдси, згiдно з озна- ченням вiдображень fi, i = 0, 1, . . . , k, випливає, що A = D ∪ ( ⋃ j Aj) i звуження f \|Aj вiдображення f на кожну множину Aj є взаємно одно- значним. З попереднього також випливає, що образи f(Aj) нульвимiр- нi i топологiчно мiстяться у берiвському просторi N . Лема доведена. Лема 2. Якщо A ⊂ Rn — нульвимiрна нiде не компактна Gδ–множина i f : A −→ Rm — взаємно однозначне B-вимiрне вiд- ображення, то iснують множина першої категорiї D ⊂ A та послi- довнiсть Gδ-множин {A1, A2, . . . , Aj , . . . }, таких, що A \D = ⋃ j Aj i звуження вiдображення f \|Aj на кожну множину Aj є гомеоморфi- змом. Доведення. Будь-яке B-вимiрне вiдображення в сепарабельний про- стiр неперервне з точнiстю до множини першої категорiї [4, с. 409]. Тому надалi вважатимемо, що вiдображення f є неперервним на нуль- вимiрнiй нiде не компактнiй Gδ-множинi A \ D∗, де D∗ — належним чином вибрана у просторi Rn є Fσ-множиною першої категорiї на A . Скориставшись Лемою 1, попередньо вилучимо iз множини A \D∗ деяку множину першої категорiї D′ та розiб’ємо множи- ну A \ (D∗ ∪D′) на злiченну множину попарно без спiльних точок Gδ-множин Aj , j = 1, 2, ... таким чином, щоб образ f(Aj) кожної iз цих множин топологiчно мiстився у берiвському просторi N . Отже, маємо A \ (D∗ ∪D′) = ⋃ j Aj та на кожнiй множинi Aj , j = 1, 2, . . . , вiдображення f є взаємно однозначним i неперервним. Оскiльки злiченна сума множин першої категорiї є множиною та- кож першої категорiї, то для доведення леми 2 досить розглянути довiльну множину Aj , i = 0, 1, . . . , k, замiсть множини A \ (D∗ ∪D′) 234 О.В. Сафонова та показати, що твердження цiєї леми є справедливим. Тодi вiзьмемо одну будь-яку iз множин Aj i позначимо її через A′. Множина A′ — нульвимiрна нiде не компактна абсолютна Gδ-множина i тому вона є гомеоморфною простору Бера N . Нехай h1 i h2 — гомеоморфiзми такi, що h1(Nx) = A′ i h2(f(A′)) = H ⊂ Ny, де Nx, Ny — лiнiйнi берiвськi простори, якi на- лежать вiдповiдно осям OX i OY деякої прямокутної декартової си- стеми координат у двовимiрному евклiдовому просторi R2. Розгля- немо неперервне вiдображення g : Nx → H, що задано формулою g(x) = h2(f(h1(x))), x ∈ Nx ⊂ [0, 1], g(x) ∈ Ny. У просторi R2 = Rx × Ry вiзьмемо замикання Γ(g) графiка Γ(g) вiдображення g . Тодi вiдрiзок [0, 1] ⊂ Rx — ортогональна проекцiя множини Γ(g). Графiк Γ(g) є Gδ-множиною всюди другої категорiї на компактi Γ(g) . Оскiльки множина Γ(g) нiде не щiльна у просторi R2, то замкнена множина Γ(g) не мiстить внутрiшнiх точок вiдносно R2. На пiдставi того, що множини Γ(g) i Nx гомеоморфнi, будь-яка то- чка множини Nx є проекцiєю лише однiєї точки компакта Γ(g) . На вiдмiну вiд цього, кожна рацiональна точка x ∈ [0, 1] \Nx є проекцiєю, взагалi кажучи, деякої (замкненої) пiдмножини точок Bx ⊂ Γ(g). При цьому зрозумiло, що Bx ∩ Γ(g) = ∅ , тобто Bx ⊂ Γ(g) \ Γ(g). Усi борельовi множини Bx, x ∈ [0, 1] \ Nx занумеруємо i запишемо у виглядi послiдовностi B1, B2, . . . , Br, . . . , причому Br ∩ Bt = ∅, r 6= t. Тодi, враховуючи попереднє, компакт Γ(g) можна зобразити як об’єднання злiченної множини попарно без спiльних то- чок борельових множин, кожна з яких є однозначною вiдносно осi OY : Γ(g) = Γ(g) ∪ ( ⋃ r Br), r = 1, 2, . . . . Вiзьмемо ортогональну проекцiю Rx × Ry → Ry простору R2 = Rx×Ry на вiсь Ry. Розглянемо звуження π : Γ(g) −→ Ry вiдобра- ження Rx×Ry −→ Ry на множину Γ(g). З попереднього випливає, що неперервне вiдображення π є злiченнократним i його звуження π \|Br на кожну множину Br-гомеоморфiзмом. При цьому образ множини Γ(g) є компактом Φ = π(Γ(g)) ⊆ [0, 1] ⊂ Ry i множина H ⊂ Φ всюди щiльна на Φ. Нехай маємо довiльний вiдрiзок ∆ ⊆ [0, 1] ⊂ Rx i Γ — замикання графiка Γ ⊂ Γ(g) звуження вiдображення g на множинуNx∩∆. Надалi пiд порцiєю будь-якої пiдмножини компакта Γ розумiємо (непорожнiй) її перетин з деяким вiдкритим прямокутником Π ⊂ [0, 1]× [0, 1] ⊂ R2, сторони якого паралельнi осям координат, а його проекцiя на вiсь OX Про злiченнократнi B-вимiрнi вiдображення 235 належить вiдрiзку ∆. Для замкненої множини F ∗ ⊂ Γ, яка щiльна на деякiй порцiї Γ′ ⊂ Γ компакта Γ, маємо Γ′ ⊂ F ∗. Множина Γ(g) всюди другої категорiї на порцiї Γ′. Внаслiдок того, що множини Γ(g) i Nx гомеоморфнi, iснує iнтервал δ ⊂ ∆ такий, що множина Nx ∩ δ гомеоморфна деякiй пiд- множинi Γ∗ ⊂ Γ′ ⊂ F ∗. Якщо на множинi F ∗ вiдображення π є го- меоморфним, то звуження вiдображення g на множину Nx ∩ δ — го- меоморфiзм. Оскiльки ∆ ⊂ [0, 1] — довiльний вiдрiзок, то знайдеться щiльна на [0, 1] послiдовнiсть попарно без спiльних точок iнтервалiв δ1, δ2, . . . , δi, . . . , на кожнiй пiдмножинi Nx ∩ δi з яких вiдображення g є гомеоморфiзмом. При цьому замкнена множина [0, 1] \ ∪iδi нiде не щiльна i, отже, множина S = ([0, 1]\∪iδi)∩Nx першої категорiї на Nx. На пiдставi того, що h1 — гомеоморфiзм, множина D′ = h1(S) першої категорiї на A′. Тодi множина A′ \D′ розiб’ється на злiченну множину попарно без спiльних точок Gδ-множин A′i = h1(Nx ∩ δi), i = 1, 2, . . . , на кожнiй з яких вiдображення f є гомеоморфiзмом. Отже, лема буде доведена, якщо покажемо, що серед замкнених пiдмножин компакта Γ, на кожнiй з яких вiдображення π є гомеомор- фiзмом, iснує принаймнi одна множина, яка всюди щiльна на деякiй порцiї множини Γ. Припустимо супротивне. Тодi будь-яка замкнена множина F ⊂ Γ є нiде не щiльною на компактi Γ, як тiльки звуження π \|F вiдображення π на цю множину є гомеоморфiзмом. Позначимо через Ep множину точок прямої Ry, кожнiй з яких при вiдображеннi π−1 вiдповiдає щонайбiльше p точок компакта Γ(g). Оче- видно, що E0 ⊂ E1 ⊂ E2 ⊂ · · · ⊂ Ep ⊂ . . . , причому Φ = ⋃ pEp, i = 0, 1, . . . , k. Якщо ep = π−1(Ep)∩Γ, то справджуються спiввiдноше- ння Γ = ∪pep i e1 ⊂ e2 ⊂ · · · ⊂ ep ⊂ · · · . Згiдно з вiдомою теоремою Бера [4, с. 425], знайдеться порцiя Γ1 ⊂ Γ Gδ-множини Γ, на якiй одна з множин ep всюди щiльна. Не- хай k — максимальна кратнiсть точок множини e = Γ1 ∩ ep вiдносно вiдображення π. Тодi k ≤ p. Вiзьмемо замикання Γ1 ⊂ Γ(g) множини Γ1 та його проекцiю Φ∗1 ⊂ Φ на вiсь OY . Оскiльки π — неперервне злiченнократне вiд- ображення, то на компактi Γ1 iснує послiдовнiсть замкнених множин F 1 1 , F 1 2 , . . . , F 1 m, . . . , така, що Φ∗1 = ⋃ m π(F 1 m) i звуження вiдображе- ння π \|F 1 m є гомеоморфiзмом для m = 1, 2, . . . [6, с. 76]. Множина Φ∗1 — досконалий компакт i образи π(F 1 m),m = 1, 2, . . . , –– замкне- 236 О.В. Сафонова нi множини. Тому, знову ж за теоремою Бера, знайдеться вiдрiзок [a1, b1] ⊆ [0, 1] ⊂ Ry такий, що на множинi Φ1 = Φ∗1 ∩ [a1, b1] одна з множин π(F 1 m) всюди щiльна, отже, маємо Φ1 ⊂ π(F 1 m). Позначимо F1 = F 1 m ∩ π−1(Φ1), тодi Φ1 = π(F1). Оскiльки Gδ-множина Γ1 другої категорiї на своєму замиканнi Γ1, то її проекцiя на вiсь OY всюди щiльна на компактi Φ1. Звiдси випли- ває, що перетин π−1(Φ1)∩Γ1 мiстить цiлу порцiю Γ′1 ⊂ Γ1 множини Γ1, причому замикання цiєї порцiї Γ′1 збiгається з компактом π−1(Φ1)∩Γ1. Множина F1 нiде не щiльна на компактi Γ′1. Тому знайдеться порцiя Γ2 ⊂ Γ′1 множини Γ1 така, що Γ2 ∩ F1 = ∅. При цьому проекцiя мно- жини Γ2 на вiсь OY є компактом Φ∗2 ⊂ Φ1. Розглянемо злiченнократне вiдображення π на компактi Γ2. То- дi так само, як i ранiше, знайдемо послiдовнiсть замкнених мно- жин F 2 1 , F 2 2 , . . . , F 2 n , . . . , причому звуження вiдображення π \|F 2 n на кожну з них є гомеоморфiзмом i Φ∗2 = ⋃ n π(F 2 n). Оскiльки множи- ни π(F 2 n), n = 1, 2, . . . , замкненi на компактi Φ∗2, то iснує вiдрiзок [a2, b2] ⊂ [a1, b1] ⊂ Ry такий, що на множинi Φ2 = Φ∗2 ∩ [a2, b2] одна з множин π(F 2 n) всюди щiльна i тому Φ2 ⊂ π(F 2 n). Якщо позначити F2 = F 2 n ∩ π−1(Φ2), то маємо Φ2 = π(F2). Продовжуючи цей процес, побудуємо на компактi Γ послiдовнiсть замкнених множин F1, F2, . . . , Fs, . . . та на вiдрiзку [0, 1] ⊂ Ry — послi- довнiсть вкладених компактiв Φ1 ⊃ Φ2 ⊃ · · · ⊃ Φs ⊃ . . . , де Fs∩Fq = ∅ при s 6= q i Φs = π(Fs), s = 12, . . . . Кожнiй парi множин Fs,Φs вiдпо- вiдає порцiя Γs+1 ⊂ Γ1 ⊂ Γ множини Γ1, яка має ту властивiсть, що кожна її точка є точкою кратностi щонайменше s+1 вiдносно вiдобра- ження π. Якщо виконати лише k+1 крокiв цього процесу, то дiстанемо порцiю Γk+1 множини Γ1, всi точки якої мають кратнiсть щонайменше k + 1, всупереч тому, що Γk+1 ∩ e 6= ∅. Цим лема доведена. Застосовуючи тепер послiдовно леми 1 i 2, дiстанемо доведення те- ореми 1. Iз теореми 1 випливає така теорема. Теорема 2. Нехай D ⊂ Rn — область i f : D −→ Rn1 — злiченнокра- тне B-вимiрне вiдображення. Тодi iснує всюди щiльна в D вiдкрита множина G = ⋃ j Gj ⊂ D така, що звуження вiдображення f \|Qj на множину Qj ⊂ Gj другої категорiї в кожнiй компонентi Gj є гомеоморфiзмом. У повному метризованому просторi будь-яке B-вимiрне вiдображе- Про злiченнократнi B-вимiрнi вiдображення 237 ння неперервне на Gδ-множинi другої категорiї. При цьому, як вiдомо, Gδ-множина є топологiчно повним простором. До того ж, кожний пов- ний сепарабельний нульвимiрний незлiченний простiр являє собою об’- єднання деякої злiченної множини i множини, що гомеоморфна берiв- ському простору N [4, с. 455]. Якщо тепер вилучити належним чином пiдiбрану множину першої категорiї з такого нульвимiрного простору, то замiсть B-вимiрного вiдображення можна розглядати неперервне вiдображення, задане у просторi N . Образ f(N ) при злiченнократному неперервному вiдображеннi f є борельовою множиною [4, с. 508]. Як метричний простiр, множина f(N ) гомеоморфна деякiй множинi гiльбертового простору i тому мо- жна вважати, що вона злiченновимiрна. Тодi множину f(N ) можна записати як скiнченну або злiченну суму нульвимiрних множин. По- вторюючи далi в точностi доведення Tеореми 1, приходимо до такої теореми. Теорема 3. При злiченнократному B-вимiрному вiдображеннi f пов- ного сепарабельного нульвимiрного незлiченного простору X iснує множина першої категорiї D ⊂ X така, що множина точок локаль- ного гомеоморфiзму звуження вiдображення f \|X\D на доповнення X \D всюди щiльна у X \D. Лiтература [1] Александров П.С. Теория функций действительного переменного и тео- рия топологических пространств. — М.: Наука, 1978. — 416 с. [2] Лузин Н.Н., Лекции об аналитических множествах и их приложениях. — М.: Гостехиздат, 1953. — 360 с. [3] Трохимчук Ю.Ю. Дифференцирование, внутренние отображения и кри- терии аналитичности // Працi Iн-ту математики НАН України. — К.: Iн-т математики НАН України, 2008. — 70. — 539 с. [4] Куратовский К. Топология. В 2-х т. — М.: Мир, 1966. — Т. 1 — 596 с. [5] Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. [6] Куратовский К. Топология. В 2-х т. — М.: Мир, 1969. — Т. 2 — 624 с.
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-116
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-08-04T01:02:32Z
publishDate	2017
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/fa/fb6c862e183d3b1c0e96898bdbd899fa.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-1162018-02-13T13:58:16Z On countable- to-one B-measurable mappings Про зліченнократні В-вимірні відображення Safonova, O. V. Сафонова, О. В. This paper considers countable-to-one B-measurable mappings of complete separable zero-dimensional uncountable spaces. It is proved that if a set ofthe first category of the space is excluded there exists a dense set of points of local homeomorphism on the remaining set. У роботі розглядаються зліченнократні В-вимірні відображення повних сепарабельних нульвимірних незліченних просторів. Показано, що якщо виключити деяку множину першої категорії з простору, то існує щільна множина точоклокального гомеоморфізму на множині, що залишається. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/116 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 230–237 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 230–237 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 230–237 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/116/105 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України
spellingShingle	Safonova, O. V. Сафонова, О. В. On countable- to-one B-measurable mappings
title	On countable- to-one B-measurable mappings
title_alt	Про зліченнократні В-вимірні відображення
title_full	On countable- to-one B-measurable mappings
title_fullStr	On countable- to-one B-measurable mappings
title_full_unstemmed	On countable- to-one B-measurable mappings
title_short	On countable- to-one B-measurable mappings
title_sort	on countable- to-one b-measurable mappings
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/116
work_keys_str_mv	AT safonovaov oncountabletoonebmeasurablemappings AT safonovaov oncountabletoonebmeasurablemappings AT safonovaov prozlíčennokratnívvimírnívídobražennâ AT safonovaov prozlíčennokratnívvimírnívídobražennâ

On countable- to-one B-measurable mappings

Репозитарії

Схожі ресурси