To the theory of elliptic boundary-value problems in Hörmander spaces.

We prove a theorem on the Fredholm property of elliptic boundary-value problems in H\"ormander inner-product spaces which can contain nonregular distributions.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2015
Hauptverfasser:	Anop, A. V., Murach, A. A., Аноп, A. В., Мурач, О. О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2015
Online Zugang:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/121
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Завантажити файл:

Institution

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872552637963960320
author	Anop, A. V. Murach, A. A. Аноп, A. В. Мурач, О. О.
author_facet	Anop, A. V. Murach, A. A. Аноп, A. В. Мурач, О. О.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "A. В. Аноп", "institution": "Інститут математики НАН України" }, { "author": "О. О. Мурач", "institution": "Інститут математики НАН України" } ]
author_sort	Anop, A. V.
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-01-23T01:37:46Z
description	We prove a theorem on the Fredholm property of elliptic boundary-value problems in H\"ormander inner-product spaces which can contain nonregular distributions.
first_indexed	2026-08-04T01:02:36Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т. 12, № 2, 39–64 УДК 517.956.223 А. В. Аноп, О. О. Мурач (Iнститут математики НАН України, Київ) До теорiї елiптичних крайових задач у просторах Хермандера ahlv@ukr.net, murach@imath.kiev.ua We prove a theorem on the Fredholm property of elliptic boundary- value problems in Hörmander inner-product spaces which can contain nonregular distributions. Доведено теорему про нетеровiсть елiптичних крайових задач у гiльбертових просторах Хермандера, якi можуть мiстити нерегу- лярнi розподiли. 1. Вступ Недавно у роботах В. А. Михайлеця i О. О. Мурача [1–6] була по- будована теорiя розв’язностi загальних елiптичних крайових за- дач у гiльбертових просторах Л. Хермандера [7, п. 2.2], для яких показником регулярностi служить довiльна додатна радiальна функцiя, правильно змiнна на нескiнченностi за Й. Караматою. Цi простори утворюють уточнену соболєвську шкалу i отримую- ться методом iнтерполяцiєю з функцiональним параметром пар гiльбертових просторiв Соболєва. Цей метод вiдiграє ключову роль у зазначенiй теорiї, оскiльки при iнтерполяцiї просторiв c© А. В. Аноп, О. О. Мурач, 2015 40 А. В. Аноп, О. О. Мурач успадковується не лише обмеженiсть, а й нетеровiсть лiнiйних операторiв, що дiють у цих просторах. Було доведено теореми про нетеровiсть елiптичних крайових задач на уточненiй собо- лєвськiй шкалi, встановлено апрiорнi оцiнки їх розв’язкiв, дове- дено теореми про глобальну i локальну регулярнiсть розв’язкiв у просторах Хермандера. Можна сказати, що класична теорiя за- гальних елiптичних крайових задач була перенесена (практично повнiстю) на уточнену соболєвську шкалу. Цi результати пiдсу- мовано у монографiї [8] i оглядах [9, 10]. З огляду на це постало питання про дослiдження характеру розв’язностi елiптичних крайових задач у класi усiх гiльберто- вих просторiв, iнтерполяцiйних щодо пар гiльбертових просторiв Соболєва. Цей клас — розширена соболєвська шкала — допускає конструктивний опис у термiнах просторiв Хермандера i є за- мкненим вiдносно вказаного методу iнтерполяцiї [11]. Авторами цiєї статтi [12–16] було доведено теореми про нетеровiсть елiпти- чних крайових задач на розширенiй соболєвськiй шкалi за умови, що вiдповiднi простори Хермандера складаються з регулярних розподiлiв. Втiм, з точки зору ряду застосувань, важливо мати теореми про розв’язнiсть задач у просторах, якi можуть мiстити i нерегулярнi розподiли (див. [17–20]). Мета цiєї роботи — встановити одну теорему про нетеровiсть регулярних елiптичних крайових задач у просторах Хермандера, що утворюють повну розширену соболєвську шкалу i складаю- ться iз, взагалi кажучи, нерегулярних розподiлiв, якi є розв’яз- ком елiптичного диференцiального рiвняння з регулярною пра- вою частиною. Теореми такого типу було уперше доведено Ж.- Л. Лiонсом i Е. Мадженесом [18, 21, 22, 23] для соболєвської шка- ли. Для уточненої шкали подiбнi теореми встановлено В. А. Ми- хайлецем i О. О. Мурачем у [8, 24]. Вiдмiтимо, що у випадку розширеної соболєвської шкали виникають суттєвi труднощi, по- в’язанi з тим, що простори Хермандера, приналежнi цiй шкалi, взагалi кажучи, не мають числового показника регулярностi. Робота складається з шести пунктiв. Перший пункт — вступ. До теорiї елiптичних крайових задач у просторах Хермандера 41 У п. 2 розглянуто регулярну елiптичну крайову задачу та вiдпо- вiднi їй формулу Грiна i формально спряжену задачу. Пункт 3 присвячений просторам Хермандера, якi утворюють розширену соболєвську шкалу. У п. 4 сформульовано основний результат ро- боти — теорему 1 про нетеровiсть оператора, який вiдповiдає роз- глянутiй задачi у пiдходящих парах просторiв Хермандера, якi можуть мiстити нерегулярнi розподiли. Пункт 5 мiстить потрi- бнi нам результати з теорiї iнтерполяцiї просторiв. Там наведе- но означення методу iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових просторi i сформульовано важливi властивостi цього методу. У п. 6 доведено основний результат статтi. 2. Постановка задачi Нехай Ω — довiльна обмежена область у евклiдовому просторi Rn, де n ≥ 2. Припустимо, що її межа Γ := ∂Ω є нескiнченно гладким замкненим многовидом (тобто компактним i без краю) вимiрностi n − 1. При цьому вважаємо, що C∞-структура на Γ породжена простором Rn. В областi Ω розглядаємо крайову задачу Au(x) ≡ ∑ \|µ\|≤2q aµ(x)Dµu(x) = f(x), x ∈ Ω, (1) Bju(x) ≡ ∑ \|µ\|≤mj bj,µ(x)Dµu(x) = gj(x), x ∈ Γ, j = 1, . . . , q. (2) Тут A є лiнiйний диференцiальний вираз довiльного парного по- рядку 2q ≥ 2, заданий на Ω := Ω ∪ Γ, а усi Bj є крайовi лiнiйнi диференцiальнi вирази довiльних порядкiв mj ≤ 2q − 1, заданi на Γ. Всi коефiцiєнти диференцiальних виразiв A i Bj є нескiн- ченно гладкими комплекснозначними функцiями: aµ ∈ C∞(Ω) i bj,µ ∈ C∞(Γ). Взагалi, у роботi всi функцiї i розподiли вважаємо комплекснозначними. Покладемо B := (B1, . . . , Bq). 42 А. В. Аноп, О. О. Мурач У формулах (1), (2) використано стандартнi позначення: µ := (µ1, . . . , µn) — мультиiндекс з цiлими невiд’ємними компонента- ми, \|µ\| := µ1 + . . . + µn, Dµ := Dµ1 1 . . . Dµn n , Dk := i∂/∂xk при k = 1, . . . , n, де i — уявна одиниця, а x = (x1, . . . , xn) є довiльна точка простору Rn. Ми припускаємо, що крайова задача (1), (2) є регулярною елi- птичною в областi Ω, тобто вираз A правильно елiптичний на Ω, а набiр B крайових виразiв нормальний i задовольняє умову на- криття (або доповнювальностi) щодо A на Γ (див., наприклад [18, розд. 2, п. 1.4] або [25, розд. 3, § 6, п. 2]). Нагадаємо, що згiдно з умовою нормальностi набору B, порядки mj крайових диференцiальних виразiв Bj усi рiзнi. Ми дослiджуємо властивостi оператора u 7→ (Au,Bu) у пiдхо- дящих парах функцiональних просторiв. Для опису областi зна- чень цього оператора нам знадобиться така формула Грiна: (Au, v)Ω + q∑ j=1 (Bju,C + j v)Γ = (u,A+v)Ω + q∑ j=1 (Cju,B + j v)Γ для будь-яких функцiй u, v ∈ C∞(Ω). Тут A+v(x) := ∑ \|µ\|≤2q Dµ(aµ(x) v(x)) є лiнiйний диференцiальний вираз, формально спряжений до A, а {B+ j }, {Cj}, {C + j } — деякi нормальнi набори крайових лiнiйних диференцiальних виразiв з коефiцiєнтами класу C∞(Γ). Порядки цих виразiв задовольняють умову ordBj + ordC+ j = ordCj + ordB+ j = 2q − 1. У формулi Грiна i далi через (·, ·)Ω i (·, ·)Γ позначенi скалярнi до- бутки у просторах L2(Ω) i L2(Γ) функцiй, квадратично iнтегров- них на Ω i Γ вiдповiдно, а також продовження за неперервнiстю цих скалярних добуткiв. До теорiї елiптичних крайових задач у просторах Хермандера 43 Крайова задача A+v(x) = ω(x), x ∈ Ω, (3) B+ j v(x) = hj(x), x ∈ Γ, j = 1, . . . , q, (4) є формально спряженою до задачi (1), (2) вiдносно формули Грi- на. Вiдмiтимо, що крайова задача є регулярною елiптичною тодi i тiльки тодi, коли формально спряжена до неї задача є регуляр- ною елiптичною [18, розд. 2, п. 2.5]. Пов’яжемо iз крайовими задачами (1), (2) i (3), (4) лiнiйнi простори N := { u ∈ C∞(Ω) : Au = 0 в Ω, Bu = 0 на Γ } , N+ := { v ∈ C∞(Ω) : A+v = 0 в Ω, B+v = 0 на Γ } ; тут B+ := (B+ 1 , . . . , B + q ). Оскiльки цi задачi є регулярними елi- птичними, простори N i N+ скiнченновимiрнi [18, розд. 2, п. 5.2]. Вiдмiтимо, що N+ не залежить вiд вибору спряженого набо- ру B+ крайових виразiв, якi задовольняють формулу Грiна [18, розд. 2, п. 2.5]. 3. Простори Хермандера i розширена собо- лєвська шкала Ця шкала складається з гiльбертових iзотропних просторiв Хер- мандера Hα, для яких показником регулярностi розподiлiв слу- жить довiльний функцiональний параметр α ∈ RO. Наведемо означення класу RO i просторiв Hα. За означенням, клас RO складається з усiх вимiрних за Бо- релем функцiй α : [1,∞) → (0,∞), для кожної з яких iснують числа b > 1 i c ≥ 1 такi, що c−1 ≤ α(λt) α(t) ≤ c для довiльних t ≥ 1, λ ∈ [1, b] 44 А. В. Аноп, О. О. Мурач (сталi b i c можуть залежати вiд α). Такi функцiї називають RO (або OR)-змiнними на нескiнченностi. Клас RO введений В. Г. Авакумовичем [26] у 1936 р. i достатньо вивчений (див. монографiї [27, додаток 1] i [28, пп. 2.0 – 2.2]). Цей клас припускає такий опис [27, с. 87]: α ∈ RO ⇔ α(t) = exp ( β(t) + t∫ 1 γ(τ) τ dτ ) для t ≥ 1, де функцiї β, γ : [1,∞)→ R вимiрнi за Борелем i обмеженi. Нам знадобиться така властивiсть класу RO [27, с. 88]. Для кожної функцiї α ∈ RO iснують числа s0, s1 ∈ R, s0 ≤ s1, i c0, c1 > 0 такi, що c0λ s0 ≤ α(λt) α(t) ≤ c1λ s1 для усiх t ≥ 1, λ ≥ 1. (5) Покладемо σ0(α) := sup{s0 ∈ R : виконується лiва нерiвнiсть в (5)}, σ1(α) := inf{s1 ∈ R : виконується права нерiвнiсть в (5)}; тут −∞ < σ0(α) ≤ σ1(α) < ∞. Числа σ0(α) i σ1(α) є вiдповiдно нижнiм i верхнiм iндексами Матушевської функцiї α ∈ RO [29] (див. також [28, п. 2.1.2]). Наведемо деякi приклади RO-змiнних функцiй. Приклад 1. Нехай неперервна функцiя α : [1,∞)→ (0,∞) така, що α(t) := ts(ln t)r1(ln ln t)r2 . . . (ln . . . ln︸︷︷︸ k разiв t)rk при t� 1. Тут довiльно вибранi параметри k ∈ N i s, r1, . . . , rk ∈ R. Тодi α ∈ RO i σ0(α) = σ1(α) = s. До теорiї елiптичних крайових задач у просторах Хермандера 45 Приклад 2. Нехай θ ∈ R, δ > 0 i r ∈ (0, 1). Розглянемо функцiю α(t) := { tθ+δ sin(ln ln t)r при t > e, tθ при 1 ≤ t ≤ e. Вона належить до класу RO, причому σ0(α) = θ−δ i σ1(α) = θ+δ. Нехай α ∈ RO. Розглянемо спочатку простiр Hα на Rn, де n ∈ N. За означенням, комплексний лiнiйний простiр Hα(Rn) складається з усiх розподiлiв w ∈ S ′(Rn) таких, що їх перетворе- ння Фур’є ŵ локально iнтегровне за Лебегом на Rn i задовольняє умову ∫ Rn α2(〈ξ〉) \|ŵ(ξ)\|2 dξ <∞. Тут S ′(Rn) — лiнiйний топологiчний простiр Л. Шварца повiль- но зростаючих розподiлiв, заданих в Rn, а 〈ξ〉 := (1 + \|ξ\|2)1/2 є згладжений модуль вектора ξ ∈ Rn. Нам зручно трактувати розподiли як антилiнiйнi функцiонали на вiдповiдному просто- рi основних функцiй. У просторi Hα(Rn) означено скалярний добуток за формулою (w1, w2)Hα(Rn) := ∫ Rn α2(〈ξ〉) ŵ1(ξ) ŵ2(ξ) dξ, де w1, w2 ∈ Hα(Rn). Вiн задає на Hα(Rn) структуру гiльберто- вого простору i норму ‖w‖Hα(Rn) := (w,w) 1/2 Hα(Rn). Цей простiр сепарабельний i неперервно вкладається у S ′(Rn). У просторi Hα(Rn) щiльна множина C∞0 (Rn) нескiнченно дифе- ренцiйовних на Rn функцiй з компактним носiєм. Простiр Hα(Rn) є гiльбертiв iзотропний випадок просторiв Bp,k, введених i дослiджених Л. Хермандером в [7, п. 2.2] (див та- кож його монографiю [30, п. 10.1]). А саме, Hα(Rn) = Bp,k, якщо 46 А. В. Аноп, О. О. Мурач p = 2 i k(ξ) = α(〈ξ〉) при ξ ∈ Rn. Зауважимо, що у гiльбертовому випадку p = 2 простори Хермандера збiгаються з просторами, введеними i дослiдженими Л. Р. Волевичем i Б. П. Панеяхом [31, § 2]. Якщо функцiя α степенева: α(t) ≡ ts, то Hα(Rn) =: H(s)(Rn) є (гiльбертiв) простiр Соболєва порядку s ∈ R. Узагалi, якщо дiйснi числа s0 i s1 задовольняють умови s0 < σ0(α) i σ1(α) < s1, то H(s1)(Rn) ↪→ Hα(Rn) ↪→ H(s0)(Rn), причому обидва вкладення неперервнi та щiльнi. Згiдно iз [11], клас функцiональних просторiв{ Hα(Rn) : α ∈ RO } (6) називаємо розширеною соболєвською шкалою на Rn. Вiн видiле- ний i дослiджений В. А. Михайлецем i О. О. Мурачем в [32] (див. також їх монографiю [8, п. 2.4.2] i статтю [33]). Нам потрiбнi її аналоги для евклiдової областi Ω i замкненого компактного многовиду Γ. Цi аналоги будуються стандартним чином на основi класу (6) (див. [33, с. 139] i [8, с. 139]). Наведемо вiдповiднi означення; тепер n ≥ 2. За означенням, комплексний лiнiйний простiр Hα(Ω) складає- ться зi звужень на область Ω всiх розподiлiв w ∈ Hα(Rn). Норма у ньому означена за формулою ‖v‖Hα(Ω) := inf { ‖w‖Hα(Rn) : w ∈ Hα(Rn), w = v в Ω } , де v ∈ Hα(Ω). Простiр Hα(Ω) гiльбертiв i сепарабельний вiдно- сно цiєї норми, оскiльки вiн є факторпростiр простору Hα(Rn) за пiдпростором{ w ∈ Hα(Rn) : suppw ⊆ Rn \ Ω } . Простiр Hα(Ω) неперервно вкладається у лiнiйний топологiчний простiр S ′(Ω) звужень на область Ω усiх розподiлiв w ∈ S ′(Rn). Множина C∞(Ω) щiльна в Hα(Ω). До теорiї елiптичних крайових задач у просторах Хермандера 47 Простiр Hα(Γ) складається з усiх розподiлiв на Γ, якi в ло- кальних координатах належать до Hα(Rn−1). Дамо детальне означення. Нехай довiльним чином вибрано скiнченний атлас iз C∞-структури на многовидi Γ, утворений локальними кар- тами πj : Rn−1 ↔ Γj , де j = 1, . . . ,κ. Тут вiдкритi множини Γ1, . . . ,Γκ складають покриття многовиду Γ. Нехай також фун- кцiї χj ∈ C∞(Γ), де j = 1, . . . ,κ, утворюють розбиття одиницi на Γ, яке задовольняє умову suppχj ⊂ Γj . Тодi, за означенням, комплексний лiнiйний простiр Hα(Γ) складається з усiх розпо- дiлiв h ∈ D′(Γ) таких, що (χjh) ◦ πj ∈ Hα(Rn−1) для кожного j ∈ {1, . . . ,κ}. Тут i далi D′(Γ) — лiнiйний топологiчний про- стiр усiх розподiлiв на Γ, а (χjh) ◦ πj є представлення розподiлу h в локальнiй картi πj . У просторi Hα(Γ) означений скалярний добуток за формулою (h1, h2)Hα(Γ) := κ∑ j=1 ((χjh1) ◦ πj , (χj h2) ◦ πj)Hα(Rn−1), де h1, h2 ∈ Hα(Γ). Цей простiр гiльбертiв i сепарабельний та з точнiстю до еквiвалентностi норм не залежить вiд зазначеного вибору атласу i розбиття одиницi [8, с. 139]. Простiр Hα(Γ) непе- рервно вкладається у D′(Γ). Множина C∞(Γ) щiльна в Hα(Γ). Означенi функцiональнi простори утворюють розширенi со- болєвськi шкали {Hα(Ω) : α ∈ RO} i {Hα(Γ) : α ∈ RO} (7) на Ω i Γ вiдповiдно. Вони мiстять шкали гiльбертових просторiв Соболєва: якщо α(t) ≡ ts для деякого s ∈ R, то Hα(Ω) =: H(s)(Ω) i Hα(Γ) =: H(s)(Γ) є простори Соболєва порядку s. Вiдмiтимо потрiбнi у подальшому властивостi шкал (7), по- в’язанi з вкладеннями просторiв. Нехай α1, α2 ∈ RO. Вiдношення функцiй α1/α2 обмежене в околi нескiнченностi тодi i тiльки тодi, коли Hα2(Ω) ↪→ Hα1(Ω). Це вкладення неперервне i щiльне. Воно компактне тодi i тiльки 48 А. В. Аноп, О. О. Мурач тодi, коли α1(t)/α2(t) → 0 при t → ∞. Ця властивiсть зберiгає силу, якщо в нiй замiнити Ω на Γ. Вона є прямим наслiдком теорем 2.2.2 i 2.2.3 з монографiї Л. Хермандера [7]. Окремим i важливим її випадком є така властивiсть (s0 < σ0(α), σ1(α) < s1) ⇒ ⇒ H(s1)(G) ↪→ Hα(G) ↪→ H(s0)(G), (8) де α ∈ RO i G ∈ {Ω,Γ}. Цi вкладення компактнi та щiльнi. 4. Основний результат Попередньо домовимося про таке. Ми будемо використовувати простори Хермандера Hα(G) iз G ∈ {Ω,Γ}, для яких показни- ком регулярностi служить функцiональний параметр вигляду α(t) ≡ ϕ(t)ts, де ϕ ∈ RO i s ∈ R. Для того, щоб не писати аргу- мент t у верхньому iндексi, який служить показником регулярно- стi, будемо використовувати функцiональний параметр %(t) := t аргументу t ≥ 1. Отже, Hα(G) = Hϕ%s(G). Звiсно, якщо ϕ ∈ RO i s ∈ R, то ϕ%s ∈ RO та σ0(ϕ%s) = σ0(ϕ) + s i σ1(ϕ%s) = σ1(ϕ) + s. У статтi [12, Теорема 1] нами доведено такий результат про характер розв’язностi регулярної елiптичної крайової задачi (1), (2) у пiдходящих парах просторiв Хермандера. Твердження 1. Нехай функцiональний параметр ϕ ∈ RO та- кий, що σ0(ϕ) > −1/2. Тодi вiдображення u 7→ (Au,Bu), де u ∈ C∞(Ω), продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеженого оператора (A,B) : Hϕ%2q (Ω)→ Hϕ(Ω)⊕ q⊕ j=1 Hϕ%2q−mj−1/2 (Γ) =: (9) =: Hϕ(Ω,Γ). До теорiї елiптичних крайових задач у просторах Хермандера 49 Цей оператор нетерiв. Його ядро збiгається з N , а область зна- чень складається з усiх векторiв (f, g1, . . . , gq) ∈ Hϕ(Ω,Γ) та- ких, що (f, v)Ω + q∑ j=1 (gj , C + j v)Γ = 0 для кожного v ∈ N+. (10) Iндекс оператора (9) дорiвнює dimN − dimN+ i не залежить вiд ϕ. Нагадаємо, що лiнiйний обмежений оператор T : E1 → E2, де E1 i E2 — банаховi простори, називають нетеровим, якщо його ядро kerT i коядро E2/T (E1) скiнченновимiрнi. Область значень T (E1) нетерового оператора T замкнена в E2 (див., наприклад, [34, Лемма 19.1.1]). Його iндекс означається за формулою indT := dim kerT − dim(E2/T (E1)). Взагалi, твердження 1 не є iстинним у випадку σ0(ϕ) ≤ −1/2. Зокрема, вiдображення u 7→ Bju, де u ∈ C∞(Ω), не можна про- довжити до неперервного оператора Bj : H(s+2q)(Ω) → D′(Γ), якщо s + 2q ≤ mj + 1/2 (див. [18, Теорема 9.5]). Тому для того, щоб отримати версiю твердження 1 у цьому випадку, треба бра- ти вужчий за Hϕ%2q (Ω) простiр як область визначення оператора (A,B). Ми використаємо простiр усiх розподiлiв u ∈ Hϕ%2q (Ω) та- ких, що образ Au належить до деякого просторуHη(Ω) iз η ∈ RO i σ0(η) ≥ 0. Дамо вiдповiднi означення. Нехай функцiональнi параметри ϕ, η ∈ RO такi, що функцiя ϕ/η обмежена в околi нескiнченностi. Покладемо Dϕ%2q A,η (Ω) := { u ∈ Hϕ%2q (Ω) : Au ∈ Hη(Ω) } . (11) Тут i далi образ Au розумiємо у сенсi теорiї розподiлiв на Ω. Означимо у лiнiйному просторi (11) скалярний добуток графiка за формулою (u1, u2) Dϕ% 2q A,η (Ω) := (u1, u2) Hϕ%2q (Ω) + (Au1, Au2)Hη(Ω), (12) 50 А. В. Аноп, О. О. Мурач де u1, u2 ∈ Dϕ%2q A,η (Ω). Вiн породжує норму ‖u‖ Dϕ% 2q A,η (Ω) := ( ‖u‖2 Hϕ%2q (Ω) + ‖Au‖2Hη(Ω) )1/2 . Вiдмiтимо деякi властивостi простору (11). Звiсно, виконує- ться неперервне вкладення Dϕ%2q A,η (Ω) ↪→ Hϕ%2q (Ω). Простiр Dϕ%2q A,η (Ω) повний (тобто гiльбертiв) вiдносно введено- го у ньому скалярного добутку (12). Справдi, якщо (uk) є фунда- ментальна послiдовнiсть у цьому просторi, то з огляду на повно- ту просторiв Hϕ%2q (Ω) i Hη(Ω) iснують такi границi: u := limuk в Hϕ%2q (Ω) ↪→ S ′(Ω) i f := limAuk в Hη(Ω) ↪→ S ′(Ω) (вкладення неперервнi). Оскiльки диференцiальний оператор A неперервний на просторi S ′(Ω), з першої границi випливає, що Au = limAuk в S ′(Ω). Звiдси з огляду на другу границю дiстаємо рiвнiсть Au = f ∈ Hη(Ω). Отже, u ∈ Dϕ%2q A,η (Ω) i limuk = u у просторi Dϕ%2q A,η (Ω), тобто цей простiр повний. Вiдмiтимо, що навiть, коли усi коефiцiєнти диференцiально- го виразу A є сталими, простiр Dϕ%2q A,η (Ω) суттєво залежить вiд кожного з них. Це випливає з результату Л. Хермандера [35, Те- орема 3.1], якщо розглянути випадок ϕ ≡ η ≡ 1. Сформулюємо тепер основний результат статтi. Нехай до- вiльно вибрано функцiональний параметр ϕ ∈ RO такий, що σ0(ϕ) ≤ −1/2, i числа s0, s1 ∈ R, якi задовольняють умови s0 < σ0(ϕ), s1 > σ1(ϕ) i s1 ≥ 0. Покладемо η(t) := t−s0s1/(s1−s0)ϕ(ts1/(s1−s0)) при t ≥ 1. (13) Безпосередньо перевiряється, що η ∈ RO i σj(η) = − s0 s1 s1 − s0 + s1 s1 − s0 σj(ϕ) (14) До теорiї елiптичних крайових задач у просторах Хермандера 51 для кожного j ∈ {0, 1}. Зокрема, σ0(η) ≥ 0. Введемо гiльбертiв простiр Hη,ϕ(Ω,Γ) := Hη(Ω)⊕ q⊕ j=1 Hϕ%2q−mj−1/2 (Γ). Теорема 1. У зроблених припущеннях множина C∞(Ω) щiль- на у просторi Dϕ%2q A,η (Ω), а вiдображення u → (Au,Bu), де u ∈ C∞(Ω), продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеженого оператора (A,B) : Dϕ%2q A,η (Ω)→ Hη,ϕ(Ω,Γ). (15) Цей оператор нетерiв. Його ядро збiгається з N , а область значень складається з усiх векторiв (f, g1, . . . , gq) ∈ Hη,ϕ(Ω,Γ), якi задовольняють умову (10). Iндекс оператора (15) дорiвнює dimN − dimN+ i не залежить вiд ϕ i η. Якщо σ1(ϕ) < 0, то можна узяти s1 = 0. Тодi η(t) ≡ 1 за формулою (13) i, отже, Hη(Ω) = L2(Ω). Тому у соболєвському випадку, коли ϕ(t) ≡ ts, де s < 0 i s+ 2q /∈ {−1/2,−3/2,−5/2, . . .}, (16) теорема 1 збiгається з теоремами Ж.-Л. Лiонса i Е. Мадженеса [21, 22] (див. їх виклад у монографiї [8, п. 4.4.1]). У бiльш загаль- ному випадку, коли функцiя ϕ є правильно змiнною за Й. Кара- матою на нескiнченностi порядку s < −1/2 за умови (16) теоре- ма 1 мiститься у результатi В. А. Михайлеця i О. О. Мурача [8, теорема 4.32]. Зауважимо, що iндекси Матушевської цiєї функцiї дорiвнюють s. 5. Iнтерполяцiя з функцiональним параме- тром Розширену соболєвську шкалу можна отримати методом iнтер- поляцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових просто- 52 А. В. Аноп, О. О. Мурач рiв Соболєва. Ця фундаментальна властивiсть зiграє ключову роль у доведеннi теореми 1. У цьому зв’язку нагадаємо означен- ня iнтерполяцiї з функцiональним параметром у випадку загаль- них гiльбертових просторiв та деякi її властивостi. Цей метод iн- терполяцiї був запропонований К. Фояшем i Ж.-Л. Лiонсом [36, с. 278]. Для наших цiлей достатньо обмежитися сепарабельними просторами. Будемо слiдувати викладу iнтерполяцiї, наведеному в монографiї [8, п. 1.1]. Нехай задано упорядковану паруX := [X0, X1] сепарабельних комплексних гiльбертових просторiв X0 i X1 таку, що виконує- ться неперервне i щiльне вкладення X1 ↪→ X0. Пару X нази- ваємо припустимою. Iснує самоспряжений додатно визначений оператор J у гiльбертовому просторi X0 з областю визначення X1 такий, що J є iзометричним iзоморфiзмом J : X1 ↔ X0. Опе- ратор J визначається єдиним чином за парою X i називається породжуючим оператором для X. Позначимо через B множину всiх вимiрних за Борелем фун- кцiй ψ : (0,∞) → (0,∞), якi обмеженi на кожному вiдрiз- ку [a, b] i вiдокремленi вiд нуля на кожному промiнi [r,∞), де 0 < a < b <∞ i r > 0. Нехай ψ ∈ B. Згiдно зi спектральною теоремою, у гiльбертово- му просторi X0 означений (взагалi кажучи, необмежений) опера- тор ψ(J) як борелiвська функцiя вiд самоспряженого оператора J . Позначимо через [X0, X1]ψ або, коротше, через Xψ область визначення оператора ψ(J), надiлену скалярним добутком (w1, w2)Xψ := (ψ(J)w1, ψ(J)w2)X0 i вiдповiдною нормою ‖w‖Xψ = (w,w) 1/2 Xψ . Простiр Xψ гiльбер- тiв i сепарабельний. Виконується неперервне i щiльне вкладення Xψ ↪→ X0. Функцiю ψ ∈ B називаємо iнтерполяцiйним параметром, якщо для довiльних припустимих пар X = [X0, X1] i Y = [Y0, Y1] гiль- бертових просторiв та для будь-якого лiнiйного вiдображення T , заданого на X0, виконується таке. Якщо при кожному j ∈ {0, 1} До теорiї елiптичних крайових задач у просторах Хермандера 53 звуження вiдображення T на простiр Xj є обмеженим операто- ром T : Xj → Yj , то i звуження вiдображення T на простiр Xψ є обмеженим оператором T : Xψ → Yψ. Тодi будемо казати, що простiр Xψ отриманий iнтерполяцiєю з функцiональним параме- тром ψ пари X. Функцiя ψ ∈ B є iнтерполяцiйним параметром тодi i тiль- ки тодi, коли вона псевдоугнута в околi нескiнченностi, тобто ψ(t) � ψ1(t) при t� 1 для деякої додатної угнутої функцiї ψ1(t). (Тут ψ � ψ1 значить обмеженiсть обох вiдношень ψ/ψ1 i ψ1/ψ на вказанiй множинi). Це випливає з теореми Ж. Пiтре [37, 38] про опис усiх iнтерполяцiйних функцiй додатного порядку (ця теорема викладена у монографiї [39, с. 153]). Сформулюємо згадану вище iнтерполяцiйну властивiсть роз- ширеної соболєвської шкали. Твердження 2. Нехай задано функцiю α ∈ RO i дiйснi числа l0, l1 такi, що l0 < σ0(α) i l1 > σ1(α). Покладемо ψ(t) = { t−l0/(l1−l0) α ( t1/(l1−l0) ) при t ≥ 1, α(1) при 0 < t < 1. (17) Тодi функцiя ψ ∈ B є iнтерполяцiйним параметром i виконує- ться така рiвнiсть просторiв разом з еквiвалентнiстю норм у них: [ H(l0)(G), H(l1)(G) ] ψ = Hα(G), де G ∈ {Rn,Ω,Γ}. Якщо G = Rn, то буде навiть рiвнiсть норм у цих просторах. Цей результат доведено в монографiї [8, теореми 2.19 i 2.22] для G ∈ {Rn,Γ} i в статтi [33, теорема 5.1] для G = Ω. Вiдмiтимо також ще двi важливi iнтерполяцiйнi властиво- стi розширеної соболєвської шкали {Hα(G) : α ∈ RO}, де G ∈ {Rn,Ω,Γ}. Вона замкнена вiдносно розглянутого мето- ду iнтерполяцiї з функцiональним параметром i збiгається (з 54 А. В. Аноп, О. О. Мурач точнiстю до еквiвалентностi норм) з класом усiх гiльберто- вих просторiв, iнтерполяцiйних для пар соболєвських просторiв [H(s0)(G), H(s1)(G)], де s0, s1 ∈ R i s0 < s1 (див. [8, п. 2.4.2] та [33].) Останнiй факт випливає з фундаментальної теореми В. I. Овчинникова [40, с. 511] про опис усiх iнтерполяцiйних гiльбертових просторiв для заданої пари гiльбертових просто- рiв. Нагадаємо, що властивiсть (гiльбертового) простору H бути iнтерполяцiйним для припустимої пари X = [X0, X1] означає на- ступне: а) виконуються неперервнi вкладення X1 ↪→ H ↪→ X0, б) будь-який лiнiйний оператор T : X0 → X0, обмежений на ко- жному з просторiв X0 и X1, є також обмеженим i на просторi H. Наприкiнцi цього пункту наведемо три загальнi властивостi iнтерполяцiї просторiв, якi будуть використанi в доведеннi основ- ного результату статтi. Сформулюємо їх стосовно розглянутого методу iнтерполяцiї. Перша з них говорить про те, що при iнтерполяцiї успадкову- ється нетеровiсть обмежених операторiв (за певних умов). Твердження 3. Нехай X = [X0, X1] i Y = [Y0, Y1] є припу- стимi пари гiльбертових просторiв. Нехай, окрiм того, на X0 задане лiнiйне вiдображення T таке, що його звуження на про- стори Xj, де j = 0, 1, є обмеженими i нетеровими операторами T : Xj → Yj, якi мають спiльне ядро i однаковий iндекс. Тодi для довiльного iнтерполяцiйного параметра ψ ∈ B обмежений опе- ратор T : Xψ → Yψ нетерiв з тим же ядром i iндексом, а його область значень дорiвнює Yψ ∩ T (X0). Друга властивiсть зводить iнтерполяцiю ортогональних сум гiльбертових просторiв до iнтерполяцiї їх доданкiв. Твердження 4. Нехай задане скiнченне число припустимих пар [X (k) 0 , X (k) 1 ] гiльбертових просторiв, де k = 1, . . . , p. Тодi для довiльного ψ ∈ B правильна рiвнiсть просторiв[ p⊕ k=1 X (k) 0 , p⊕ k=1 X (k) 1 ] ψ = p⊕ k=1 [ X (k) 0 , X (k) 1 ] ψ До теорiї елiптичних крайових задач у просторах Хермандера 55 разом iз рiвнiстю норм у них. Доведення цих двох властивостей наведено, наприклад, в [8, п. 1.1.7, 1.1.5]. Третя властивiсть (досить громiздка за формулюванням) дає опис простору, який є результатом iнтерполяцiї деяких пiдпро- сторiв, пов’язаних з лiнiйним обмеженим оператором. Попере- дньо приймемо таке позначення. Нехай H, Φ i Ψ є гiльбертовi простори, причому виконується неперервне вкладення Φ ↪→ Ψ. Нехай також задано лiнiйний обмежений оператор T : H → Ψ. Покладемо (H)T,Φ := {u ∈ H : Tu ∈ Φ}. У лiнiйному просторi (H)T,Φ введений скалярний добуток графi- ка (u1, u2)(H)T,Φ := (u1, u2)H + (Tu1, Tu2)Φ. Цей простiр гiльбертiв i не залежить вiд Ψ. Твердження 5. Нехай задано шiсть гiльбертових просторiв X0, Y0, Z0, X1, Y1, Z1 i три лiнiйних вiдображення T,R, S, якi за- довольняють такi умови: (i) пари X = [X0, X1] i Y = [Y0, Y1] припустимi; (ii) Z0 i Z1 є пiдпросторами деякого лiнiйного простору E; (iii) виконуються неперервнi вкладення Yj ↪→ Zj для кожного j ∈ {0, 1}; (iv) вiдображення T означене на X0 i задає обмеженi опера- тори T : Xj → Zj для кожного j ∈ {0, 1}; (v) вiдображення R означене на E i задає обмеженi операто- ри R : Zj → Xj для кожного j ∈ {0, 1}; (vi) вiдображення S означене на E i задає обмеженi опера- тори S : Zj → Yj для кожного j ∈ {0, 1}; (vii) виконується рiвнiсть TRω = ω + Sω для довiльного ω ∈ E. 56 А. В. Аноп, О. О. Мурач Тодi пара просторiв [(X0)T,Y0 , (X1)T,Y1 ] припустима i для до- вiльного iнтерполяцiйного параметра ψ ∈ B правильна така рiвнiсть просторiв разом з еквiвалентнiстю норм у них: [(X0)T,Y0 , (X1)T,Y1 ]ψ = (Xψ)T,Yψ . Аналог твердження 5 уперше з’явився у монографiї Ж.-Л. Лi- онса i Е. Мадженеса [18, теорема 14.3], де вiн був доведений для голоморфної (комплексної) iнтерполяцiї. Наведене твердження 5 встановлено в монографiї [8, п. 3.3.2], причому запропоноване там доведення не використовує конструкцiю методу iнтерполяцiї, на вiдмiну вiд [18]. 6. Доведення основного результату Доведемо основний результат статтi — теорему 1. Нехай вико- нуються припущення, зробленi перед її формулюванням. Ми ви- ведемо цю теорему методом iнтерполяцiї з функцiональним па- раметром, застосованим до гiльбертових просторiв Соболєва, у яких є обмеженим i нетеровим оператор (A,B). При цьому ми скористаємося класичною теоремою про нетеровiсть цього опе- ратора у пiдходящих парах гiльбертових просторiв Соболєва до- датного порядку (див., наприклад, [25, розд. 3, § 6, п. 4]) та однi- єю теоремою Ж.-Л. Лiонса i Е. Мадженеса [21, 22], яка охоплює випадок просторiв Соболєва вiд’ємного порядку. Згiдно з класичною теоремою (вона мiститься у твердженнi 1) вiдображення u 7→ (Au,Bu), де u ∈ C∞(Ω), продовжується за неперервнiстю до обмеженого i нетерового оператора (A,B) : H(s1+2q)(Ω)→ → H(s1)(Ω)⊕ q⊕ j=1 H(s1+2q−mj−1/2)(Γ) =: H(s1)(Ω,Γ). (18) Його ядро збiгається зN , а область значень складається з усiх ве- кторiв (f, g1, . . . , gq) ∈ H(s1)(Ω,Γ), якi задовольняють умову (10). До теорiї елiптичних крайових задач у просторах Хермандера 57 Iндекс оператора (18) дорiвнює dimN −dimN+. Тут, нагадаємо, s1 ≥ 0. Згiдно з теоремою Ж.-Л. Лiонса i Е. Мадженеса [21, 22] (див. також [8, теорема 4.27]), вiдображення u 7→ (Au,Bu), де u ∈ C∞(Ω), продовжується за неперервнiстю до обмеженого i нетерового оператора (A,B) : D (s0+2q) A (Ω)→ → L2(Ω)⊕ q⊕ j=1 H(s0+2q−mj−1/2)(Γ) =: H(0,s0)(Ω,Γ). (19) Тут, нагадаємо, s0 ≤ −1/2, а D (s0+2q) A (Ω) позначає простiр Dα%2q A,β (Ω) у випадку, коли α(t) ≡ ts0 i β(t) ≡ 1. Множина C∞(Ω) щiльна в просторi D(s0+2q) A (Ω). У теоремi Лiонса–Мадженеса вимагається також, щоб параметр s0 задовольняв умову (16). Тому ми припускаємо, що виконується (16) (потiм позбудемо- ся цього припущення). За цiєю теоремою, ядро оператора (19) збiгається з N , а область значень складається з усiх векторiв (f, g1, . . . , gq) ∈ H(0,s0)(Ω,Γ), якi задовольняють умову (10). Iн- декс оператора (19) дорiвнює dimN − dimN+. Означимо iнтерполяцiйний параметр ψ за формулою (17), де покладаємо α := η, l0 := s0 та l1 := s1, i застосуємо iнтерполяцiю з параметром ψ до просторiв, у яких дiють обмеженi i нетеровi оператори (18) i (19). На пiдставi тверджень 3 i 4 отримаємо обмежений i нетерiв оператор (A,B) : [ D (s0+2q) A (Ω), H(s1+2q)(Ω) ] ψ → → [ L2(Ω), H(s1)(Ω) ] ψ ⊕ ⊕ q⊕ j=1 [ H(s0+2q−mj−1/2)(Γ), H(s1+2q−mj−1/2)(Γ) ] ψ . (20) Вiн є звуженням оператора (19). Покажемо, що (20) є оператор (15) iз формулювання теореми 1. 58 А. В. Аноп, О. О. Мурач Для цього опишемо iнтерполяцiйнi простори, у яких дiє опе- ратор (20). На пiдставi твердження 2 запишемо:[ L2(Ω), H(s1)(Ω) ] ψ = [ H(0)(Ω), H(s1)(Ω) ] ψ = Hη(Ω). (21) Зробимо пояснення щодо застосування цього твердження. Якщо s1 > 0, то 0 < σ0(η) i σ1(η) < s1 з огляду на (14). Окрiм того, функцiя ψ задовольняє рiвнiсть (17), якщо у нiй α = η, l0 = 0 i l1 = s1. Тому друга рiвнiсть у формулi (21) є наслiдком твердже- ння 2. Якщо ж s1 = 0, то ця рiвнiсть тривiальна, оскiльки тодi η(t) ≡ 1. Також на пiдставi твердження 2 маємо:[ H(s0+2q−mj−1/2)(Γ), H(s1+2q−mj−1/2)(Γ) ] ψ = = Hϕ%2q−mj−1/2 (Γ). (22) Тепер ми взяли в цьому твердженнi α := ϕ%2q−mj−1/2, l0 := s0+2q−mj−1/2, l1 := s1+2q−mj−1/2. Для таких α, l0 i l1 функцiя ψ задовольняє рiвнiсть (17). Залишається довести рiвнiсть[ D (s0+2q) A (Ω), H(s1+2q)(Ω) ] ψ = Dϕ%2q A,η (Ω). (23) Для цього скористаємося твердженням 5, у якому покладемо X0 := H(s0+2q)(Ω), X1 := H(s1+2q)(Ω), Y0 := L2(Ω) = H(0)(Ω), Y1 := H(s1)(Ω), E := Z0 := H(s0)(Ω), Z1 := H(s1)(Ω), T := A. Очевидно, що умови (i)–(iv) твердження (5) виконуються. Нам також треба ввести деякi лiнiйнi оператори R i S, якi задовольняють умови (v)–(vii). Для цього ми скористаємося тим До теорiї елiптичних крайових задач у просторах Хермандера 59 фактом, що вiдображення u 7→ ApAp+u + u, де p ∈ N, задає iзоморфiзм ApAp+ + I : H (σ) D (Ω)↔ H(σ−4qp)(Ω) для усiх σ ≥ 2qp (24) (див., наприклад, [8, Лемма 3.1]). Тут, звiсно, Ap є p-ий степiнь оператора A, тодi Ap+ є формально спряжений оператор до ди- ференцiального оператора Ap, та I є тотожний оператор. Окрiм того, H (σ) D (Ω) := { u ∈ H(σ)(Ω) : ∂j−1 ν u = 0 на Γ для кожного j ∈ {1, . . . , 2qp} } є пiдпростором у Hσ(Ω). Тут ∂ν — оператор диференцiювання уздовж внутрiшньої нормалi до межi Γ. Вiдображення, обернене до (24), задає обмежений лiнiйний оператор (ApAp++I)−1 : Hσ(Ω)→ Hσ+4qp(Ω) для усiх σ ≥ −2qp. (25) Виберемо p ∈ N таке, що s0 ≥ −2qp, i покладемо R := Ap−1Ap+(ApAp+ + I)−1, S = −(ApAp+ + I)−1. На пiдставi (25), отримаємо обмеженi оператори R : Z0 = H(s0)(Ω)→ H(s0+2q)(Ω) = X0, R : Z1 = H(s1)(Ω)→ H(s1+2q)(Ω) = X1, S : Z0 = H(s0)(Ω)→ H(s0+4qp)(Ω) ↪→ L2(Ω) = Y0, S : Z1 = H(s1)(Ω)→ H(s1+4qp)(Ω) ↪→ H(s1)(Ω) = Y1; тут усi вкладення неперервнi. Окрiм того, AR = AAp−1Ap+(ApAp+ + I)−1 = = (ApAp+ + I − I)(ApAp+ + I)−1 = I + S 60 А. В. Аноп, О. О. Мурач на E = H(s0)(Ω). Таким чином, решта умов (v)–(vii) тверджен- ня 5 задовольняються. Вiдмiтимо, що на пiдставi твердження 2 Xψ = [ H(s0+2q)(Ω), H(s1+2q)(Ω) ] ψ = Hϕ%2q (Ω). Окрiм того, згiдно з формулою (21) Yψ = [ L2(Ω), H(s1)(Ω) ] ψ = Hη(Ω). Зауважимо також, що (X1)T,Y1 = H(s1+2q)(Ω), оскiльки є обмеженим оператор A : H(s1+2q)(Ω) → H(s1)(Ω). Усi цi рiвностi просторiв виконуються з точностi до еквiвалентностi норм. Тому на пiдставi твердження 5 маємо:[ D (s0+2q) A (Ω), H(s1+2q)(Ω) ] ψ = = [(X0)T,Y0 , (X1)T,Y1 ]ψ = (Xψ)T,Yψ = Dϕ%2q A,η (Ω). (26) Згiдно з властивiстю iнтерполяцiї з функцiональним параметром [8, теорема 1.1], виконується неперервне i щiльне вкладення H(s1+2q)(Ω) ↪→ Dϕ%2q A,η (Ω). Звiдси випливає, що множина C∞(Ω) щiльна у просторi Dϕ%2q A,η (Ω). Тепер на пiдставi рiвностей просторiв (21), (22) i (26), якi ви- конуються з еквiвалентнiстю норм, робимо висновок про те, що обмежений i нетерiв оператор (20) є оператором (15) з теореми 1. З огляду на твердження 3 ядро та iндекс цього оператора збiга- ються вiдповiдно iз спiльним ядром N та однаковим iндексом dimN − dimN+ операторiв (18) i (19). Окрiм того, на пiдставi цього ж твердження i теореми Лiонса–Мадженеса маємо: (A,B) ( Dϕ%2q A,η (Ω) ) = Hη,ϕ(Ω,Γ) ∩ (A,B) ( D (s0+2q) A (Ω) ) = = { (f, g) ∈ Hη,ϕ(Ω,Γ) : виконується (10) } . До теорiї елiптичних крайових задач у просторах Хермандера 61 Тут скористалися вкладенням Hη,ϕ(Ω,Γ) ↪→ H(0,s0)(Ω,Γ). Таким чином, обгрунтовано усi властивостi оператора (15), за- значенi у теоремi 1. Нагадаємо, що ми зробили додаткове припущення про те, що число s0 задовольняє умову (16), яка фiгурує у теоремi Лiонса– Мадженеса. Остання зберiгає силу i у випадку, коли s+ 2q ∈ {−1/2,−3/2,−5/2, . . .}, як стверджує щойно доведена теорема 1, у якiй беремо ϕ(t) ≡ ts, s0 = s − 1/2 i s1 = 0. Тому, повторивши у цьому випадку, наше доведення, встановимо теорему 1 у ситуацiї, коли s0 не задоволь- няє умову (16). Теорема 1 доведена. Лiтература [1] Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптические операторы в уточненной шкале функциональных пространств // Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 5 – С. 689–696. [2] Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II // Укр. мат. журн. — 2006. — 58, № 3. — С. 352—370. [3] Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. III // Укр. мат. журн. — 2007. — 59, № 5. — С. 679–701. [4] Михайлец В. А., Мурач А. А. Регулярная эллиптическая грани- чная задача для однородного уравнения в двусторонней уточнен- ной шкале пространств // Укр. мат. журн. — 2006. — 58, № 11. — С. 1536—1555. [5] Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптический оператор с одноро- дными регулярными граничными условиями в двусторонней уто- чненной шкале пространств // Укр. мат. вiсник. — 2006. — 3, № 4. — С. 547—580. 62 А. В. Аноп, О. О. Мурач [6] Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптическая краевая зада- ча в двусторонней уточненной шкале пространств // Укр. мат. журн. — 2008. — 60, № 4. — С. 497—520. [7] Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с ча- стными производными. – Москва: Мир, 1965. – 380 с. [8] Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хермандера, интер- поляция и эллиптические задачи. – Kиев: Ин-т математики НАН Украины, 2010. – 372 с. (Доступно как arXiv:1106.3214.) [9] Mikhailets V. A., Murach A. A. Elliptic problems and Hörmander spaces // Oper. Theory Adv. Appl. – 2009. – 191. – P. 447–470. [10] Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpo- lation, and elliptic problems // Banach J. Math. Anal. — 2012. — 6, No. 2. — P. 211–281. [11] Михайлец В. А., Мурач А. А. Расширенная соболевская шкала и эллиптические операторы // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 3. – С. 368–380. [12] Аноп А. В., Мурач А. А. Регулярные эллиптические краевые зада- чи в расширенной соболевской шкале // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 7. – С. 867–883. [13] Anop A. V., Murach A. A. Parameter-elliptic problems and interpolation with a function parameter // Methods Funct. Anal. Topology. – 2014. – 20, № 2. – P. 103–116. [14] Аноп А. В. Загальна елiптична крайова задача в розширенiй со- болєвськiй шкалi // Доповiдi НАН України. – 2014. – № 4. – С. 7–14. [15] Аноп А. В. Елiптичнi крайовi задачi в многозв’язнiй областi в роз- ширенiй соболєвськiй шкалi // Диференцiальнi рiвняння та сумi- жнi питання аналiзу / Зб. праць Iн-ту математики НАН Украї- ни. – 2013. – Т. 10, № 2. – С. 37–59. [16] Аноп А. В. Елiптичнi крайовi задачi для систем диференцiаль- них рiвнянь у просторах узагальненої гладкостi // Диференцi- альнi рiвняння та сумiжнi питання / Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. – Т. 11, № 2. – С. 7–34. До теорiї елiптичних крайових задач у просторах Хермандера 63 [17] Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям само- сопряженных операторов. – Киев: Наукова думка, 1965. – 800 с. [18] Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – Москва: Мир, 1971. – 372 с. [19] Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publishers, 1996. — xii+415 p. [20] Agranovich M. S. Elliptic boundary problems // Encycl. Math. Sci. Vol. 79. Partial differential equations, IX. — Berlin: Springer, 1997. — P. 1–144. [21] Lions J.-L., Magenes E. Problémes aux limites non homogénes, V // Ann. Sci. Norm. Sup. Pisa. – 1962. – 16. – P. 1–44. [22] Lions J.-L., Magenes E. Problémes aux limites non homogénes, VI // J. d’Analyse Math. – 1963. – 11. – P. 165–188. [23] Мадженес Э. Интерполяционные пространства и уравнения в ча- стных производных // Успехи мат. наук. – 1966. – 21, № 2. – С. 169–218. [24] Михайлец В. А., Мурач А. А. Индивидуальные теоремы о разре- шимости эллиптических за-дач и пространства Хермандера // До- повiдi НАН України. – 2011. – № 4. – С. 30–36. [25] Функциональный анализ / Под общ. ред. С. Г. Крейна. – Москва: Наука, 1972. – 544 с. [26] Avakumović V. G. O jednom O-inverznom stavu // Rad Jugosloven- ske Akad. Znatn. Umjetnosti. – 1936. – 254. – P. 167–186. [27] Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – Москва: Наука, 1985. – 144 с. [28] Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular Variation. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. – 512 p. [29] Matuszewska W. On a generalization of regularly increasing functi- ons // Studia Math. – 1964. – 24. – P. 271–279. 64 А. В. Аноп, О. О. Мурач [30] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В 4-х т. Т. 2. Дифференциальные опе- раторы с постоянными коэффициентами. – Москва: Мир, 1986. – 456 с. [31] Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи мат. наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3–74. [32] Михайлец В. А., Мурач А. А. Интерполяционные пространства Хермандера и эллиптические операторы // Зб. праць Iн-ту мате- матики НАН України. – 2008. – 5, № 1. – С. 205–226. [33] Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces // Results Math. – 2015. – 67, No 1. – P. 135–152. [34] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В 4-х т. Т. 3. Псевдодифференциальные операторы. – Москва: Мир, 1987. – 696 с. [35] Хермандер Л. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. – Москва: Изд. иностр. лит., 1959. – 132 с. [36] Foiaş C., Lions J.-L. Sur certains théorèmes d’interpolation // Acta Scient. Math. Szeged. – 1961. – 22, No 3–4. – P. 269–282. [37] Peetre J. On interpolation functions // Acta Sci. Math. (Szeged). – 1966. – 27. – P. 167–171. [38] Peetre J. On interpolation functions. II // Acta Sci. Math. (Szeged). – 1968. – 29, No. 1–2. – P. 91–92. [39] Берг Й, Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введе- ние. – Москва: Мир, 1980. – 264 с. [40] Ovchinnikov V. I. The methods of orbits in interpolation theory // Math. Rep. Ser. 1. – 1984. – No. 2. – P. 349–515.
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-121
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-08-04T01:02:36Z
publishDate	2015
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/4e/b664fa16a4eea72bd2ffbd1f067c1e4e.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-1212018-01-23T01:37:46Z To the theory of elliptic boundary-value problems in Hörmander spaces. До теорії еліптичних крайових задач у просторах Хермандера Anop, A. V. Murach, A. A. Аноп, A. В. Мурач, О. О. We prove a theorem on the Fredholm property of elliptic boundary-value problems in H\"ormander inner-product spaces which can contain nonregular distributions. Доведено теорему про нетеровість еліптичних крайових задач у гільбертових просторах Хермандера, які можуть містити нерегулярні розподіли. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/121 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 39-64 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 39-64 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 39-64 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/121/166 Авторське право (c) 2015 A. В. Аноп, О. О. Мурач
spellingShingle	Anop, A. V. Murach, A. A. Аноп, A. В. Мурач, О. О. To the theory of elliptic boundary-value problems in Hörmander spaces.
title	To the theory of elliptic boundary-value problems in Hörmander spaces.
title_alt	До теорії еліптичних крайових задач у просторах Хермандера
title_full	To the theory of elliptic boundary-value problems in Hörmander spaces.
title_fullStr	To the theory of elliptic boundary-value problems in Hörmander spaces.
title_full_unstemmed	To the theory of elliptic boundary-value problems in Hörmander spaces.
title_short	To the theory of elliptic boundary-value problems in Hörmander spaces.
title_sort	to the theory of elliptic boundary-value problems in hörmander spaces.
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/121
work_keys_str_mv	AT anopav tothetheoryofellipticboundaryvalueproblemsinhormanderspaces AT murachaa tothetheoryofellipticboundaryvalueproblemsinhormanderspaces AT anopav tothetheoryofellipticboundaryvalueproblemsinhormanderspaces AT muračoo tothetheoryofellipticboundaryvalueproblemsinhormanderspaces AT anopav doteorííelíptičnihkrajovihzadačuprostorahhermandera AT murachaa doteorííelíptičnihkrajovihzadačuprostorahhermandera AT anopav doteorííelíptičnihkrajovihzadačuprostorahhermandera AT muračoo doteorííelíptičnihkrajovihzadačuprostorahhermandera

To the theory of elliptic boundary-value problems in Hörmander spaces.

Institution

Ähnliche Einträge