Examples of inner mappings of cylinder with neutrally non-wandering points that are not neutrally recurrent.
We construct examples of inner mappings of cylinder with neutrally non-wandering points that are not neutrally recurrent.
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/132 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552649243492352 |
|---|---|
| author | Vlasenko, I. Yu. Rybalkina, T. V. Власенко, И. Ю. Рыбалкина, Т. В. |
| author_facet | Vlasenko, I. Yu. Rybalkina, T. V. Власенко, И. Ю. Рыбалкина, Т. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
},
{
"author": "",
"institution": "Институт математики НАН Украины"
}
] |
| author_sort | Vlasenko, I. Yu. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T11:58:55Z |
| description | We construct examples of inner mappings of cylinder with neutrally non-wandering points that are not neutrally recurrent. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:47Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць
Iн-ту математики НАН України
2015, т.12, №6, 68-88
И. Ю. Власенко, Т. В. Рыбалкина
Институт математики НАН Украины, Киев.
vlasenko@imath.kiev.ua, rybalkina_t@ukr.net
Примеры внутренних отображений
цилиндра с нейтрально неблуждаю-
щими точками, не являющимися
нейтрально рекуррентными
We construct examples of inner mappings of cylinder with neutrally non-
wandering points that are not neutrally recurrent.
Побудовано приклади внутрiшнiх вiдображень цилiндра, якi мають
нейтрально неблукаючi точки, що не є нейтрально рекурентними.
1. Введение
В работах [1,2] были введены новые топологические инвари-
анты внутренних отображений, в качестве модели для которых
были взяты инвариантные множества динамических систем,
образованные гомеоморфизмами. В частности, были введены
множества нейтрально рекуррентных и нейтрально неблуж-
дающих точек. Как известно, их аналоги— множества рекур-
рентных и неблуждающих точек различны (см. [3], глава 1.1).
Однако оставался открытым вопрос, различны ли множества
нейтрально рекуррентных и нейтрально неблуждающих точек.
Построенный в [4] пример дал на этот вопрос положительный
ответ. Однако построенное отображение является внутренним
отображением некоторого абстрактного топологического про-
странства, не вложимого ни в какое конечномерное многообра-
зие. В данной работе также построены примеры отображений,
у которых нейтрально неблуждающее множество отлично от
© И. Ю. Власенко, Т. В. Рыбалкина, 2015
Примеры внутренних отображений цилиндра ... 69
нейтрально рекуррентного множества, а также дополнительно
нейтрально неблуждающее множество отлично от нейтрально
предельного множества, и нейтрально предельное множество
отлично от нейтрально рекуррентного множества. Кроме то-
го, в отличие от примера в [4], построенного на некотором аб-
страктном топологическом пространстве, данные примеры яв-
ляются накрытиями двумерного цилиндра.
2. Предварительные сведения
Внутренним отображением будем называть открытое (об-
раз открытого множества открыт) изолированное (прообраз
каждой точки состоит из изолированных точек) отображе-
ние. Пусть f : X → X — внутренний эндоморфизм цилиндра
X = R× S1.
Следующие определения были введены в [1, 2].
Определение 2.1. Нейтральным сечением точки x назовем
множество
O⊥
f (x) =
�
n≥0
f−n(fn(x)). (2.1)
Определение 2.2. Точка x называется нейтрально рекур-
рентной (или ⊥-рекуррентной), если x граничная точка
для множества O⊥
f (x) \ {x}.
Определение 2.3. Точка x называется блуждающей точ-
кой f , если найдется такая ее окрестность U , что fm(U) ∩
U = ∅ для всех m ∈ Z. При этом U называется окрестно-
стью блуждания для x. Иначе точка называется неблуж-
дающей.
Определение ниже применимо только для локально связных
пространств, но в данном случае его достаточно. Общая форма
этого определения есть в [2].
70 И. Ю. Власенко, Т. В. Рыбалкина
Определение 2.4. Точка x называется нейтрально блуж-
дающей (или ⊥-блуждающей) точкой f , если найдется от-
крытая окрестность U точки x такая, что U является ком-
понентой связности множества ∪n≥0f
−n(fn(U)). При этом
U называется окрестностью ⊥-блуждания для x. Иначе
точка называется ⊥-неблуждающей.
Здесь и везде знак ⊥- будет синонимом и сокращением сло-
ва “нейтрально”. Тогда в определениях выше ⊥-блуждающее
означает нейтрально блуждающее, ⊥-рекуррентное означает
нейтрально рекуррентное и т. д.
Определение 2.5. Множество U назовем нейтрально ин-
вариантным относительно f , если для всех x ∈ U , O⊥
f (x) ⊂
U .
Определение 2.6. Множество f−n(fn(U))\f−(n−1)(fn−1(U))
назовем n-й нейтральной итерацией множества U .
Определение 2.7. Нейтральным предельным множе-
ством точки x назовем
⊥(x) =
�
n∈N
O⊥
f (x) \ f−n(fn(x))
Определение 2.8. Множество точек y таких, что найдет-
ся x, такое, что y ∈ ⊥(x), назовем множеством ней-
тральных предельных точек отображения f и обозначим
через Lim⊥(f).
3. Итерированная группа монодромии
Определение 3.1. Открытое множество U правильно на-
крыто отображением f , если f−1(U) можно представить в
виде дизъюнктного объединения открытых множеств Vi ⊂
X, каждое из которых гомеоморфно отображается на U при
помощи f .
Определение 3.2. Непрерывное отображение f : X → X на-
зывается накрывающим, если любая точка x ∈ X имеет
Примеры внутренних отображений цилиндра ... 71
открытую окрестность, правильно накрытую отображени-
ем f . В этом случае мы говорим, что f — накрытие.
Определение 3.3. Гомеоморфизм h : X → X называется
скольжением или же автоморфизмом накрытия f : X →
X, если f ◦ h = f .
Предположим, что X — многообразие с абелевой фундамен-
тальной группой π1(X), для которого существует накрываю-
щее отображение f : X → X. Тогда для каждого n ≥ 1 отобра-
жения fn также являются накрытиями. Отметим, что f инду-
цирует гомоморфизм фундаментальной группы π1(X) в себя.
Поскольку π1(X) — абелева, то образ π1(X) является нормаль-
ной подгруппой в π1(X). Такие накрытия называют регулярны-
ми. В этом случае фактор-группа Gf = π1(X)/f(π1(X)) дей-
ствует на X, так, что отображение f можно рассматривать как
фактор-отображение f : X → X/Gf
∼= X.
Аналогично, так как π1(X) абелева, то накрытие fn : X → X
также будет регулярным, а значит fn : X → X/Gfn ∼= X, где
Gfn = π1(X)/fn(π1(X))— группа автоморфизмов накрытия fn
(см., например, [5]).
Другими словами, мы имеем убывающую последователь-
ность нормальных подгрупп
π1X ⊃ f(π1X) ⊃ · · · ⊃ fn(π1X) ⊃ fn+1(π1X) ⊃ · · · ,
и соответствующую возрастающую последовательность фак-
тор-групп:
Gf ⊂ Gf2 ⊂ · · · ⊂ Gfn ⊂ · · · .
Прямой предел этих групп по вложению обозначим через Gf∞
и назовем группой итерированной монодромии накрытия f .
Эта группа действует на X гомеоморфизмами.
Для произвольной точки x ∈ X рассмотрим точку fn(x).
Элементы группы Gfn — гомеоморфизмы X → X, которые
отображают точку x в различные прообразы точки fn(x) под
действием f−n. Поэтому значение многозначного отображения
72 И. Ю. Власенко, Т. В. Рыбалкина
f−n ◦ fn в точке x совпадает с объединением значений всех
элементов группы Gfn в точке x, т. е.
f−n(fn(x)) =
�
h∈Gfn
h(x).
Отсюда вытекает, что группа Gf∞ итерированной монодромии
накрытия f оставляет инвариантными нейтральные сечения
точек.
4. Семейство накрытий цилиндра
Будем строить примеры с помощью специального семейства
внутренних отображений двумерного цилиндра R × S1, с ко-
ординатами r ∈ R и ϕ ∈ [0, 1). Эти внутренние отображения
имеют вид f(r,ϕ) = (r+1+d(r,ϕ), 2ϕ), где функция d(r,ϕ) по-
добрана так, что при любом фиксированном значении ϕ отоб-
ражение r+ d(r,ϕ) является гомеоморфизмом отрезка [0, 1] на
себя, а отображение f(r,ϕ) топологически сопряжено само с
собой с помощью гомеоморфизма сдвига r �→ r + 1. Как след-
ствие, тогда d(r+1,ϕ) = d(r,ϕ). Легко проверить, что коорди-
натные прямые ϕ = const этого цилиндра образуют для всех
отображений такого вида инвариантное слоение. В частности,
прямая ϕ = 0 отображается ими в себя.
В таком виде эти отображения являются накрытиями ци-
линдра степени 2. Группа автоморфизмов такого накрытия яв-
ляется циклической степени 2. Соответственно, группа авто-
морфизмов k-й степени такого накрытия является циклической
степени 2k, а описанная выше группа итерированной монодро-
мии— группой двоично-рациональных вычетов по модулю 1.
Для гомеоморфизма группы итерированной монодромии на-
крытий цилиндра можно ввести обозначения вида hϕ, где h0
— тождественное отображение, а hψ — автоморфизм некоторой
степени накрытия, который переводит прямую ϕ = 0 в прямую
ϕ = ψ. Из коммутативности следует, что hϕ1 ◦ hϕ2 = hϕ1+ϕ2 .
Примеры внутренних отображений цилиндра ... 73
5. Построение примеров
Построим примеры накрытий цилиндра, у которых есть ⊥-
неблуждающие точки, не являющиеся ⊥-рекуррентными.
Пример 5.1. Пример отображения, имеющего ⊥-неблужда-
ющие ⊥-предельные, но не ⊥-рекуррентные точки.
Построение. Пусть внутреннее отображение цилиндра
f(r,ϕ) = (R(r,ϕ),Φ(ϕ)) задано с помощью пары функций
R(r,ϕ) = r + 1 + d(r,ϕ) и Φ(ϕ) = 2ϕ, где
d(r,ϕ) =
1
4
min
�
{r}, 1− {r}
�
min
�
{ϕ}, 1− {ϕ}
�
,
причем функция d(r,ϕ) подобрана так, чтобы отображение
r+ d(r,ϕ) при любом фиксированном значении ϕ являлось го-
меоморфизмом отрезка [0, 1] на себя.
Благодаря специальному виду функции d(r,ϕ), отображение
f−1, обратное к отображению f , можно выписать явно. Имен-
но, пусть f ((r�,ϕ�)) = (r,ϕ). Тогда
�
r� + 1 + 1
4 min
�
{r�}, 1− {r�}
�
min
�
{ϕ}, 1− {ϕ}
�
= r
2ϕ� mod 1 = ϕ.
Заметим, что обозначение точки прообраза через (r�,ϕ�)
неоднозначно. Отображение f является накрытием степени 2,
поэтому у точки (r,ϕ) ровно 2 прообраза. Обозначим их (r�0,ϕ�
0)
и (r�1,ϕ
�
1).
Отображение f имеет треугольный вид1, и ϕ� можно разре-
шить через ϕ независимо от r и r�. Для ϕ� имеется 2 значения:
ϕ�
0 =
ϕ
2 и ϕ�
1 = (ϕ2 + 1
2) mod 1. Обозначим
C0 =
1
4
min
�
{ϕ�
0}, 1− {ϕ�
0}
�
, C1 =
1
4
min
�
{ϕ�
1}, 1− {ϕ�
1}
�
.
1Отображение f от n переменных x1,. . . , xn имеет треугольный вид, если
его координатная функция fn зависит только от переменной xn; коорди-
натная функция fn−1 зависит только от xn−1 и xn; координатная функция
fn−2 зависит только от xn−2,. . . , xn и т. д.
74 И. Ю. Власенко, Т. В. Рыбалкина
Тогда для r�0 и r�1 выполнены соотношения
r�0 + 1 + C0min
�
{r�0}, 1− {r�0}
�
= r,
r�1 + 1 + C1min
�
{r�1}, 1− {r�1}
�
= r.
Запишем r�i, i ∈ {0, 1}, как сумму целой �r�i� и дробной {r�i}
частей:
�r�i�+ {r�i}+ 1 + Cimin
�
{r�i}, 1− {r�i}
�
= �r�+ {r}.
Функция d(r,ϕ) подобрана так, чтобы отображение r+d(r,ϕ)
при любом значении ϕ являлось гомеоморфизмом отрезка [0, 1]
на себя, поэтому всегда �r�i�+ 1 = �r�. Отсюда следует, что
{r�i}+ Cimin
�
{r�i}, 1− {r�i}
�
= {r}.
Тогда {r�i} разрешается через {r} следующим образом:
{r�i} =
{r}
1+Ci
{r�i} ≤ 1− {r�i}
{r}−Ci
1−Ci
{r�i} ≥ 1− {r�i}.
Поскольку условия {r�i} ≤ 1− {r�i} и {r�i} ≥ 1− {r�i} выражены
в терминах искомой величины {r�i}, их удобнее переписать в
терминах сравнения {r} с некоторым пороговым значением.
Если {r�i} ≤ 1− {r�i}, то {r�i} ≤ 1
2 , следовательно, {r} ≤ 1
2 +
1
2Ci.
И наоборот, если {r�i} ≥ 1 − {r�i}, то {r�i} ≥ 1
2 , следовательно,
{r} ≥ 1
2 +
1
2Ci. Тогда, зная ϕ�
i, r
�
i можно однозначно вычислить
через r и ϕ�
i:
�r�i� = �r� − 1,
{r�i} =
{r}
1+Ci
{r} ≤ 1
2 + 1
2Ci
{r}−Ci
1−Ci
{r} ≥ 1
2 + 1
2Ci.
(5.2)
Заметим, что поскольку ϕ может принимать значения на отрез-
ке [0, 1), то выражения Ci =
1
4 min ({ϕ�
i}, 1− {ϕ�
i}) принимают
значения на отрезке [0, 18 ]. При этом, если Ci = 0, то график
выражения (5.2) есть график тождественного отображения, а
если Ci > 0, то график выражения (5.2) представляет собой
Примеры внутренних отображений цилиндра ... 75
ломаную из двух звеньев, которая строго ниже графика тож-
дественного отображения на внутренности отрезка [0, 1] и пе-
ресекается с графиком тождественного отображения в точках
(0, 0) и (1, 1). Как следствие, для любой точки цилиндра, у ко-
торой дробная часть ее r-координаты {r} �= 0, если ее прообраз
под действием f не лежит на прямой ϕ = 0, то у ее прообра-
за дробная часть ее r-координаты будет строго меньше, чем у
исходной точки.
Нейтральные итерации прямой ϕ = const всюду плотны в ци-
линдре. Кроме того, окружности r = 0 mod 1 инвариантны, и
на них отображение совпадает со стандартным растягивающим
отображением 2ϕ. Следовательно, окружности r = 0 mod 1 яв-
ляются нейтральным предельным множеством для своих то-
чек.
Легко проверить, что отображение f топологически сопря-
жено само с собой с помощью гомеоморфизма сдвига r �→ r+1.
Как следствие, на всех замкнутых кольцах Uk между окруж-
ностями r = k и r = k + 1 динамика одинакова с точностью до
сдвига r �→ r+1. Поэтому достаточно рассмотреть только одно
кольцо.
Рассмотрим замкнутое кольцо U0, ограниченное окружно-
стями r = 0 и r = 1. По построению все точки цилиндра блуж-
дающие, а кольца между окружностями r = 0 mod 1 являются
нейтрально инвариантными. Поэтому U0 является фундамен-
тальной окрестностью второго рода1 и для любой точки x ∈ U0,
O⊥
f (x) ⊂ U0.Поскольку U0 замкнуто, то и⊥(x) ⊂ U0.Для точек
x ∈ Int(U0) конкретный вид множеств ⊥(x) зависит от свойств
отображения f .
Для любого отрезка Iφ0 , образованного пересечением коор-
динатной прямой ϕ = φ0 c замкнутым кольцом U0, множество
∪
m
f−m(fm(Iφ0)) плотно в замкнутом кольце U0.
1См. раздел 4.6 в [2].
76 И. Ю. Власенко, Т. В. Рыбалкина
Рассмотрим отрезок I0 = U0 ∩ {ϕ = 0}. Этот отрезок удо-
бен тем, что для любой его внутренней точки x ∈ Int(I0) обра-
зы этой точки под действием последовательности нейтральных
отображений f−n◦fn накапливаются по направлению к окруж-
ности r = 0. Докажем этот факт.
Функция d(r,ϕ) выбрана так, что когда ϕ = 0, то d(r,ϕ) = 0.
Поэтому fn ((r, 0)) = (r + n, 0) для любой точки вида (r, 0) и
n ≥ 0. В частности, точки из I0 также имеют вид (r, 0).
Рассмотрим вышеприведенное выражение (5.2) для вычис-
ления прообразов точки под действием f−1. Применяя его к
вычислению f−n из точек (r+ n, 0) легко видеть, что для дру-
гих точек нейтрального сечения точки (r, 0) ϕ �= 0, поэтому,
как уже было отмечено выше, из выражения (5.2) следует, что
дробная часть ее r-координаты будет строго меньше, чем у ис-
ходной точки.
Таким образом, точки из внутренности отрезка I0 не явля-
ются ⊥-рекуррентными, и для любой точки из внутренности
отрезка I0 ее нейтральные итерации все дальше сдвигаются
по направлению к окружности r = 0. Возникает вопрос: как
устроено нейтрально предельное множество этих точек? Со-
стоит ли оно из окружности r = 0, или туда входят и другие
точки?
Используя определение f и выражение (5.2), нейтральные
итерации точек можно явно и точно вычислить. К примеру,
рассмотрим нейтральное сечение точки A = ( 12 , 0).
Нейтральное сечение состоит из точек f−n(fn(A)). Его мож-
но представить как объединение непересекающихся “нейтраль-
ных итераций”, множеств Δk = f−k(fk(A)) \ f−(k−1)(fk−1(A)).
Легко видеть, что
Δ0 = {A} =
�
(12 , 0)
�
,
Δ1 = f−1(f1(A)) \ {A} =
�
(49 ,
1
2)
�
,
Δ2 =
�
( 64
153 ,
1
4), (
64
153 ,
3
4)
�
,
Δ3 =
�
(20485049 ,
1
8), (
2048
5355 ,
3
8), (
2048
5355 ,
5
8), (
2048
5049 ,
7
8)
�
.
Примеры внутренних отображений цилиндра ... 77
Заметим, что отображение f симметрично по ϕ относитель-
но инволюции ϕ �→ 1− ϕ, поэтому нейтральное сечение и мно-
жества Δk также симметричны. Соответственно, достаточно
указать только половину этих множеств. В частности,
Δ4 =
�
(131072328185 ,
1
16), (
131072
358785 ,
3
16), (
131072
369495 ,
5
16), (
131072
358479 ,
7
16), . . .
�
,
Δ5 =
�
(1677721642335865 ,
1
32), (
16777216
47000835 ,
3
32), (
16777216
49142835 ,
5
32), (
16777216
48394665 ,
7
32),
(1677721649111623 ,
9
32), (
16777216
51359805 ,
11
32), (
16777216
50588685 ,
13
32), (
16777216
46930455 ,
15
32), . . .
�
.
Как мы видим, с каждой новой “нейтральной итерацией”
множеством Δk, максимальное значение r-координаты точек
множества Δk уменьшается, что подтверждает рассуждения
выше. Однако этот максимум не сходится к нулю. К приме-
ру, среди точек нейтрального сечения точки A = ( 12 , 0) есть
подпоследовательности, которые сходятся к некоторой точке
B = (0.393208 . . . , 0) ∈ I0.
Остановимся на этом факте подробнее. Поскольку точные
значения в виде дробей точек из нейтрального сечения точки
A достаточно громоздки, воспользуемся тем, что f имеет тре-
угольный вид, и введем короткие обозначения для точек ней-
тральных сечений. Поскольку для любой точки цилиндра на
каждой прямой ϕ = const содержится не более одной точки ее
нейтрального сечения, введем для точек нейтрального сечения
обозначения вида Aϕ, где A— точка, для которой рассматри-
вается нейтральное сечение, ϕ — угловая координата обознача-
емой точки нейтрального сечения точки A. К примеру, точку
(49 ,
1
2) обозначим через A 1
2
, а исходная точка A = (12 , 0) получит
дополнительное обозначение A0.
В этих обозначениях сходящиеся к B подпоследовательности
можно записать как (A 1
2n
) и (A1− 1
2n
). Эти две подпоследова-
тельности симметричны и переходят друг в друга с помощью
инволюции ϕ �→ 1− ϕ.
Покажем, что эти подпоследовательности действительно
сходятся к точке B. Из-за симметрии достаточно показать это
только для подпоследовательности (A 1
2n
).
78 И. Ю. Власенко, Т. В. Рыбалкина
Отметим, что поскольку f самосопряжено с помощью сдвига
r �→ r+1, то для f существует эффективный алгоритм вычис-
ления итераций нейтрального сечения, отличный от последо-
вательного вычисления множеств f−n(fn(x)). Именно, пусть у
нас вычислено множество f−n(fn(x)). Сдвинем его точки отоб-
ражением r �→ r + 1. В силу самосопряженности, полученные
точки принадлежат множеству f−n(fn+1(x)), и мы за один шаг
можем получить множество f−(n+1)(fn+1(x)), просто применив
выражение (5.2). При этом сдвиг r �→ r+1 и шаг �r�i� = �r�− 1
из выражения (5.2) взаимно компенсируют друг друга, поэто-
му там достаточно использовать только выражение для вычис-
ления {r�i}, добавляя целую часть, взятую из исходных точек.
В частности, для точек замкнутого цилиндра U0 целая часть
равна нулю, поэтому для них выражение для вычисления {r�i}
можно использовать напрямую. К примеру, точки A 1
8
и A 5
8
можно напрямую получить из точки A 1
4
, используя (5.2). Этот
способ вычислений существенно упрощает дальнейшие рассуж-
дения.
Вернемся к вышеприведенным точным значениям точек Aϕ
первых 5 итераций нейтрального сечения точки A. Уже на-
чиная с 4-й итерации, у этих точек, кроме точек A 1
16
и A 15
16
,
которые принадлежат последовательностям (A 1
2n
) и (A1− 1
2n
),
значение r-координаты меньше 0.38, что меньше, чем у точ-
ки B. Следовательно, вычисленные из них с помощью (5.2)
последующие итерации точек нейтрального сечения точки A
будут иметь еще меньшее значение r-координаты. Выше зна-
чения 0.38 могут быть только точки, вычисленные из A 1
16
и
A 15
16
.
A 15
16
и другие точки последовательности (A1− 1
2n
) мы рассмат-
ривать не будем, так как они симметричны последовательности
(A 1
2n
) и для них справедливо все то же, что и для точек после-
довательности (A 1
2n
).
Примеры внутренних отображений цилиндра ... 79
Рассмотрим, что можно вычислить из A 1
16
. Это точки A 1
32
и A 17
32
. A 1
32
принадлежат последовательности (A 1
2n
). Рассмот-
рим A 17
32
. A 17
32
вычислена из A 1
16
. Сравним ее с A 9
16
, которая
вычислена из A 1
8
. Для этих точек выражение (5.2) имеет вид
{r�i} = {r}
1+Ci
. По сравнению с A 9
16
, у A 17
32
значение исходной r-
координаты меньше, так как взято у A 1
16
, а не A 1
8
, а выражение
1 + Ci больше, так как 17
32 ближе к
1
2 , чем
9
16 . Поэтому r-коорди-
ната точки A 17
32
меньше, чем у точки A 9
16
, следовательно, так-
же меньше 0.38. Рассуждая по индукции, это же справедливо
и для всех точек последовательности (A 2n−1+1
2n
), вычисляемых
их точек последовательности (A 1
2n−1
).
Осталось проверить, действительно ли у точек последова-
тельности (A 1
2n
) r-координата не стремится к нулю. Вычислим
явно эту последовательность. ϕ-координата точки A 1
2n
– это 1
2n .
В соотношении {r�0} = {r}
1+C0
, C0 =
1
4 min ({ϕ�
0}, 1− {ϕ�
i}) = 1
4ϕ
�
0,
так как ϕ�
0 ≤ 1
2 . Поэтому C0 = 1
2n+2 и 1
1+C0
= 2n+2
2n+2+1
. r-коор-
дината точки A 1
2
равна 4
9 , как следствие, из соотношения (5.2)
r-координата точки A 1
2n
имеет вид 4
9
�n
k=2
2k+2
2k+2+1
. Это выра-
жение не сходится к нулю, поэтому последовательность точек
(A 1
2n
) нейтрального сечения точки A действительно сходится
к некоторой точке, лежащей выше окружности r = 0, которую
мы обозначим как
B =
�
lim
n→∞
4
9
n�
k=2
2k+2
2k+2 + 1
, 0
�
= (0.393208 . . . , 0).
Поскольку у оставшихся точек нейтрального сечения точки A
значение r-координаты меньше 0.38, то и у их предельных то-
чек значение r-координаты также меньше 0.38.
Следовательно, B — изолированная точка нейтрального пре-
дельного множества ⊥(A).
80 И. Ю. Власенко, Т. В. Рыбалкина
Выше мы рассмотрели нейтральное сечение единственной
точки A = (12 , 0) из внутренности отрезка I0. Однако если r-
координата точки отрезка I0 меньше либо равна 1
2 , то выраже-
ние (5.2) для вычисления r-координат их нейтральных итера-
ций имеет вид {r�i} = {r}
1+Ci
, а, следовательно, линейно зависит
от начальной точки, находящейся на отрезке I0. Соответствен-
но, у точек отрезка I0 с r-координатой в интервале (0, 12 ] их
нейтральное предельное множество в точности подобно выше-
описанному нейтральному предельному множеству ⊥(A), толь-
ко сжатому по r-координате пропорционально расположению
этих точек между точкой A = (12 , 0) и окружностью r = 0.
Отсюда следует, что точки отрезка I0 между точкой B и
окружностью r = 0 принадлежат множеству нейтрально пре-
дельных точек Lim⊥(f).
На самом деле можно показать, что все точки отрезка I0 при-
надлежат множеству нейтрально предельных точек Lim⊥(f).
Для точек, расположенных выше точки ( 12 , 0), рассуждения
несколько усложняются, так как полное выражение (5.2) для
вычисления r-координат имеет два варианта, в зависимости от
того, выше или ниже r-координата значения 1
2 + 1
2Ci. Одна-
ко, если взять достаточно высоко расположенную точку, на-
пример, точку (34 , 0), то точки ее нейтрального сечения с ϕ-
координатами, принадлежащими последовательности ( 1
2n ), бу-
дут иметь r-координату, большую, чем 1
2 . Это можно доказать,
полностью повторив для точки (34 , 0) рассуждения, которые ис-
пользовались для (12 , 0), только заменив там выражение для
вычисления r-координат нейтральных итераций с {r�i} = {r}
1+Ci
на {r�i} = {r}−Ci
1−Ci
. Как следствие, получим, что точки нейтраль-
ного сечения точки (34 , 0) с ϕ-координатами, принадлежащими
последовательности ( 1
2n ), сходятся к некоторой точке, также
принадлежащей внутренности отрезка I0. Из линейности отоб-
ражения {r�i} = {r}−Ci
1−Ci
этот же факт имеет место и для всех
точек внутренности отрезка I0, расположенных выше точки
Примеры внутренних отображений цилиндра ... 81
(34 , 0), а также для точек, расположенных ниже точки ( 34 , 0),
но выше некоторого предела.
Рассмотрим точки внутренности отрезка I0, расположенные
между точками (12 , 0) и (34 , 0). Спускаясь от точки (34 , 0) к точ-
ке (12 , 0), сначала все точки нейтрального сечения точки (x, 0)
с ϕ-координатами, принадлежащими последовательности ( 1
2n ),
будут иметь r-координату, большую, чем 1
2 и доказательство
сводится к случаю точки (34 , 0). Затем, начиная с некоторо-
го значения r-координаты, только конечное число точек будет
вычисляться с помощью выражения {r�i} = {r}−Ci
1−Ci
, а бесконеч-
ное число точек — с помощью выражения {r�i} = {r}
1+Ci
. В этом
случае сходимость точек нейтрального сечения точки (x, 0) с
ϕ-координатами, принадлежащими последовательности ( 1
2n ) к
некоторой точке, принадлежащей внутренности отрезка I0, до-
казывается аналогично случаю точки ( 12 , 0).
Получим, что произвольной точке с координатами (x, 0) из
внутренности отрезка I0 можно единственным образом сопо-
ставить наивысшую по r-координате точку ее нейтрально пре-
дельного множества, причем эта наивысшая точка нейтрально
предельного множества также находится во внутренности от-
резка I0 и причем строго ниже исходной точки. Обозначим r-
координату наивысшей точки через max⊥(x). max⊥(x) можно
рассматривать как монотонное отображение отрезка [0, 1] в се-
бя.
Покажем, что max⊥(x) непрерывно зависит от x. Зафикси-
руем точку (x, 0) во внутренности отрезка I0. Для любого до-
статочно малого ε > 0 обе точки (x ± ε, 0) также принадле-
жат внутренности отрезка I0. Образы отрезка I0 под действи-
ем отображений f−n◦fn представляют собой конечные наборы
отрезков Iϕ, где ϕ — некоторый прообраз 0 относительно отоб-
ражения 2nϕ. Каждый из отрезков Iϕ является гомеоморф-
ным образом отрезка I0 под действием некоторой ветви отоб-
ражения f−n ◦ fn. Поэтому на каждом из отрезков Iϕ будет в
точности по одной точке нейтрального сечения точек (x, 0) и
82 И. Ю. Власенко, Т. В. Рыбалкина
(x±ε, 0), причем в том же порядке, что и на Iϕ. Как следствие,
нейтральное сечение точки (x, 0) и любые его подмножества
мажорируются соответствующими подмножествами нейтраль-
ных сечений выше и ниже расположенных точек (x± ε, 0).
В частности, поскольку подпоследовательности точек ней-
трального сечения точки (x, 0) и точек (x ± ε, 0) с ϕ-коор-
динатами, принадлежащими последовательности ( 1
2n ), сходят-
ся, из этого следует непрерывность зависимости r-координаты
max⊥(x) наивысшей точки нейтрального предельного множе-
ства точки (x, 0) от выбора исходной точки (x, 0).
Отображение max⊥(x) отрезка [0, 1] в себя монотонно и
непрерывно, следовательно, это гомеоморфизм. Отсюда следу-
ет, что все точки внутренности отрезка I0 принадлежат мно-
жеству нейтрально предельных точек Lim⊥(f). А так как точ-
ки окружности r = 0 ⊥-рекуррентные, то они по определе-
нию тоже принадлежат Lim⊥(f). Из сопряженности сдвигом
r �→ r+1 следует, что вся прямая ϕ = 0 принадлежит Lim⊥(f).
Поскольку множество Lim⊥(f) замкнуто, а нейтральные обра-
зы прямой ϕ = 0 всюду плотны в цилиндре, отсюда следует,
что множество нейтрально предельных точек Lim⊥(f) совпа-
дает со всем цилиндром.
Заметим, что нейтральные итерации f−n ◦fn, n ≥ 1, перево-
дят нейтральные сечения в нейтральные сечения, а сходящиеся
подпоследовательности точек нейтрального сечения в сходя-
щиеся подпоследовательности. Поэтому нейтральные предель-
ные множества естественным образом самоподобны и обладают
фрактальной структурой. К примеру, у нейтрального сечения
точки A = (12 , 0) подпоследовательность (A 1
2n
) сходятся к точке
B = (0.393208 . . . , 0). Следовательно, для каждой точки ней-
трального сечения точки B найдется подпоследовательность
точек нейтрального сечения точки A, которая к ней сходится.
Примеры внутренних отображений цилиндра ... 83
Далее, для точки B наивысшей точкой ее нейтрально предель-
ного множества является точка B� = (0.309225 . . . , 0), к кото-
рой сходится подпоследовательность (B�
1
2n
) точек ее нейтраль-
ного сечения. Следовательно, B� и все точки ее нейтрального
сечения также входят в множество ⊥(A) и т.д. Рисунок 5.1 дает
некоторое представление, как устроено множество ⊥
��
3
4 , 0
��
.
Рис. 5.1. Первые 20 итераций нейтрального се-
чения точки (34 , 0). Левый нижний угол U0.
84 И. Ю. Власенко, Т. В. Рыбалкина
Покажем теперь, что точки внутренности отрезка I0 ней-
трально неблуждающие. Для этого рассмотрим малую окрест-
ность Dε произвольной точки (x, 0), являющуюся внутренно-
стью квадрата, образованного точками (x− ε,−ε), (x+ ε,−ε),
(x+ ε,+ε), (x− ε,+ε).
Как показано выше, для произвольной точки C2 = (x2, 0) из
внутренности отрезка I0 найдутся C1 = (x1, 0) и C0 = (x0, 0),
x0 > x1 > x2, такие, что подпоследовательность (C1
1
2n
) ней-
тральных сечений точки C1 стремится к C2 = (x2, 0), а подпо-
следовательность (C0
1
2n
) нейтральных сечений точки C0 стре-
мится к C1 = (x1, 0).
Тогда в произвольно малой окрестности U точки C2 содер-
жится некоторая подпоследовательность последовательности
точек (C1
1
2n
) нейтрального сечения точки C1, сходящаяся к C2,
и некоторый набор подпоследовательностей нейтрального се-
чения точки C0, сходящиеся к точкам последовательности то-
чек (C1
1
2n
), содержащимся в окрестности U . Обозначим мно-
жество угловых координат точек этих подпоследовательностей
нейтрального сечения точки C0 через E(U).
Как следствие, для любой произвольно малой окрестности
U точки C2 можно выбрать два двоично-рациональных чис-
ла (обозначим их d1
2m1 и
d2
2m2 ), которые принадлежат E(U) и,
следовательно, такие, что точки C0
di
2mi
∈ U .
Рассмотрим ветвь нейтральной итерации, которая переводит
точку C2 в точку ее нейтрального сечения C2
d2
2m2 − d1
2m1
. Обозна-
чим ее через h d2
2m2 − d1
2m1
. Это гомеоморфизм, элемент группы ав-
томорфизмов накрытия для некоторой степени f . Эта же ветвь
нейтральной итерации h d2
2m2 − d1
2m1
переводит точку C0
d1
2m1
в C0
d2
2m2
.
Но C0
di
2mi
∈ U . Следовательно, для произвольной окрестности
U имеем, что
h d2
2m2 − d1
2m1
(U) ∩ U �= ∅.
Примеры внутренних отображений цилиндра ... 85
Отсюда следует, что точка C2 — нейтрально неблуждающая.
Искомое утверждение следует из произвольности выбора точки
C2.
Полученное отображение f является искомым примером
внутреннего отображения, у которого есть ⊥-неблуждающая
точка, являющаяся ⊥-предельной, но не являющаяся ⊥-рекур-
рентной. �
В предыдущем примере ⊥-неблуждающие точки, не являю-
щиеся ⊥-рекуррентными, были ⊥-предельными.
Пример 5.2. Пример отображения, имеющего ⊥-неблужда-
ющие, но не ⊥-предельные (и, следовательно, не ⊥-рекуррент-
ные) точки.
Построение. Заменим в предыдущем примере 5.1 функцию
d(r,ϕ) на
d(r,ϕ) =
1
4
2
�
min ({r}, 1− {r}) 4
�
min ({ϕ}, 1− {ϕ}).
Как и в примере выше, благодаря специальному виду функ-
ции d(r,ϕ), отображение f−1, обратное к отображению f , мож-
но выписать явно. Пусть f ((r�,ϕ�)) = (r,ϕ). Отображение f
также имеет треугольный вид, и ϕ� можно разрешить через ϕ
независимо от r и r�. Как и в примере 5.1, для ϕ� имеется 2
значения: ϕ�
0 =
ϕ
2 и ϕ�
1 = (ϕ2 +
1
2) mod 1. Аналогично обозначим
C0 = 1
4
4
�
min ({ϕ�
0}, 1− {ϕ�
0}) и C1 = 1
4
4
�
min ({ϕ�
1}, 1− {ϕ�
1}).
Тогда для r�0 и r�1 выполнены соотношения
r�i + 1 + Ci
2
�
min ({r�i}, 1− {r�i}) = r
Запишем r�i, i ∈ {0, 1}, как сумму целой �r�i� и дробной {r�i}
частей:
�r�i�+ {r�i}+ 1 + Ci
2
�
min ({r�i}, 1− {r�i}) = �r�+ {r}.
Как и в примере выше, получим, что
{r�i}+ Ci
2
�
min ({r�i}, 1− {r�i}) = {r}.
86 И. Ю. Власенко, Т. В. Рыбалкина
Тогда {r�i} разрешается через {r} следующим образом:
{r�i} =
{r}− Ci
�
2
�
C2
i
4 + {r}− Ci
2
�
{r�i} ≤ 1− {r�i}
{r}− Ci
�
Ci
2 +
2
�
C2
i
4 + 1− {r}
�
{r�i} ≥ 1− {r�i}.
Поскольку условия {r�i} ≤ 1− {r�i} и {r�i} ≥ 1− {r�i} выражены
в терминах искомой величины {r�i}, их удобнее переписать в
терминах сравнения {r} с некоторым пороговым значением.
Если {r�i} ≤ 1−{r�i}, то {r�i} ≤ 1
2 , следовательно, {r} ≤ 1
2+
1√
2
Ci.
И наоборот, если {r�i} ≥ 1 − {r�i}, то {r�i} ≥ 1
2 , следовательно,
{r} ≥ 1
2+
1√
2
Ci. Тогда, зная ϕ�
i, r
�
i можно однозначно вычислить
через r и ϕ�
i:
�r�i� = �r� − 1 (5.3)
{r�i} =
{r}− Ci
�
2
�
C2
i
4 + {r}− Ci
2
�
{r} ≤ 1
2 + 1√
2
Ci
{r}− Ci
�
Ci
2 +
2
�
C2
i
4 + 1− {r}
�
{r} ≥ 1
2 + 1√
2
Ci.
Воспользуемся такими же обозначениями U0, I0, что и в при-
мере выше. Можно показать прямым вычислением, что для
любой точки A = (x, 0) внутренности отрезка I0 подпоследова-
тельность точек (A 1
2n
) нейтрального сечения точки A = (x, 0)
сходится к точке (0, 0).
Как следствие, точки из внутренности множества U0 не яв-
ляются ⊥-предельными точками.
Покажем, что все точки из внутренности множества U0 ⊥-
неблуждающие. Так как нейтральные итерации отрезка I0 всю-
ду плотны в U0, достаточно рассмотреть точки из внутренности
отрезка I0. Рассмотрим произвольную точку A ∈ Int I0. Рас-
смотрим произвольную малую открытую окрестность U точки
A. Пусть точка A имеет координаты (x, 0). Рассмотрим окруж-
ность r = x, проходящую через точку A. Так как U — открытая
Примеры внутренних отображений цилиндра ... 87
окружность, найдется ε > 0 такое, что метрическая окрест-
ность Bε(A) радиуса ε вокруг точки A полностью содержится
в U .
A
A'
B'
B
U
Рис. 5.2. К примеру 5.2.
Пусть B ∈ Bε(A) ∩ {r = x} ∩ ∪∞
n=0f
−n(fn(I0))— точка на
окружности r = x, которая содержится в Bε(A) и в некото-
рой нейтральной итерации I0. Пусть точка B имеет коорди-
наты (−ϕ�, x). Поскольку B лежит на нейтральной итерации
отрезка I0, найдется hϕ� — гомеоморфизм группы итерирован-
ной монодромии, который сдвигает отрезок, на котором лежит
точка B, в отрезок I0. Но тогда при этом отрезок I0 перейдет в
отрезок I �ϕ. Поскольку точки отрезка I0 выше всех своих ней-
тральных итераций, то точка A перейдет в точку A�, которая
будет ниже точки A, а точка B перейдет в точку B�, которая
будет выше точки A. Но тогда отрезок BA окружности r = x
перейдет в отрезок B�A� замкнутой кривой hϕ�({r = x}), ко-
торый так же, как и отрезок BA, пересекает каждую коорди-
натную прямую ϕ = const в единственной точке. Эта ситуа-
ция изображена на рисунке 5.2. Так как отрезок B�A� так же,
как и отрезок BA, пересекает каждую координатную прямую
ϕ = const в единственной точке, поскольку является его сдви-
гом под действием hϕ� , точка A� ниже точки A, а точка B� выше
точки A, то отрезок B�A� пересекает окружность r = x в шаре
88 И. Ю. Власенко, Т. В. Рыбалкина
Bε(A). Но отрезок B�A� по построению лежит в hϕ�(U). Следо-
вательно, U ∩ hϕ�(U) �= ∅ и U нельзя выделить из множества
∪hϕ∈Gf∞hϕ(U) компонентой связности.
Из произвольности выбора окрестности U следует, что точ-
ка A ⊥-неблуждающая. Из произвольности выбора точки A
следует, что все точки из внутренности I0 ⊥-неблуждающие.
Полученное отображение f является искомым примером
внутреннего отображения, у которого есть ⊥-неблуждающая
точка, не являющаяся ⊥-предельной и ⊥-рекуррентной. �
Список литературы
[1] Власенко И. Ю. Динамика внутренних отображений //
Нелiнiйнi коливання. — 2011. — 2. —С. 181–186.
[2] Власенко И. Ю. Внутренние отображения: топологические
инварианты и их приложения. —Працi Iнституту математи-
ки НАН України. Математика та її застосування. Iнститут
математики НАН України, Київ, 2014. — 101. —С. 225.
[3] Гринес В. З., Починка О. В. Введение в топологическую
классификацию каскадов на многообразиях размерности
два и три. —Москва–Ижевск: РХД, 2011. —С. 423.
[4] Власенко И. Ю. Пример нейтрально неблуждающей, но
не нейтрально рекуррентной точки // Укр. мат. журн. —
2015. — 67, 8. —С. 1030–1033.
[5] Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. —
М.: Мир, 1983. —С. 304.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-132 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:47Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/43/d13a98c21ae6b32fbd92687d0f374643.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1322018-01-23T11:58:55Z Examples of inner mappings of cylinder with neutrally non-wandering points that are not neutrally recurrent. Примеры внутренних отображений цилиндра с нейтрально неблуждающими точками, не являющимися нейтрально рекуррентными Vlasenko, I. Yu. Rybalkina, T. V. Власенко, И. Ю. Рыбалкина, Т. В. We construct examples of inner mappings of cylinder with neutrally non-wandering points that are not neutrally recurrent. Побудовано приклади внутрiшнiх вiдображень цилiндра, якi мають нейтрально неблукаючi точки, що не є нейтрально рекурентними. Інститут математики НАН України 2015-12-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/132 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 6 (2015): Topology of maps on low-dimensional manifolds; 68-88 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 68-88 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 6 (2015): Топологiя вiдображень маловимiрних многовидiв; 68-88 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/132/242 Авторське право (c) 2015 И. Ю. Власенко, Т. В. Рыбалкина |
| spellingShingle | Vlasenko, I. Yu. Rybalkina, T. V. Власенко, И. Ю. Рыбалкина, Т. В. Examples of inner mappings of cylinder with neutrally non-wandering points that are not neutrally recurrent. |
| title | Examples of inner mappings of cylinder with neutrally non-wandering points that are not neutrally recurrent. |
| title_alt | Примеры внутренних отображений цилиндра с нейтрально неблуждающими точками, не являющимися нейтрально рекуррентными |
| title_full | Examples of inner mappings of cylinder with neutrally non-wandering points that are not neutrally recurrent. |
| title_fullStr | Examples of inner mappings of cylinder with neutrally non-wandering points that are not neutrally recurrent. |
| title_full_unstemmed | Examples of inner mappings of cylinder with neutrally non-wandering points that are not neutrally recurrent. |
| title_short | Examples of inner mappings of cylinder with neutrally non-wandering points that are not neutrally recurrent. |
| title_sort | examples of inner mappings of cylinder with neutrally non-wandering points that are not neutrally recurrent. |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/132 |
| work_keys_str_mv | AT vlasenkoiyu examplesofinnermappingsofcylinderwithneutrallynonwanderingpointsthatarenotneutrallyrecurrent AT rybalkinatv examplesofinnermappingsofcylinderwithneutrallynonwanderingpointsthatarenotneutrallyrecurrent AT vlasenkoiû examplesofinnermappingsofcylinderwithneutrallynonwanderingpointsthatarenotneutrallyrecurrent AT rybalkinatv examplesofinnermappingsofcylinderwithneutrallynonwanderingpointsthatarenotneutrallyrecurrent AT vlasenkoiyu primeryvnutrennihotobraženijcilindrasnejtralʹnonebluždaûŝimitočkamineâvlâûŝimisânejtralʹnorekurrentnymi AT rybalkinatv primeryvnutrennihotobraženijcilindrasnejtralʹnonebluždaûŝimitočkamineâvlâûŝimisânejtralʹnorekurrentnymi AT vlasenkoiû primeryvnutrennihotobraženijcilindrasnejtralʹnonebluždaûŝimitočkamineâvlâûŝimisânejtralʹnorekurrentnymi AT rybalkinatv primeryvnutrennihotobraženijcilindrasnejtralʹnonebluždaûŝimitočkamineâvlâûŝimisânejtralʹnorekurrentnymi |