The asymptotic behaviour of solutions of the Beltrami equation
We study an asymptotic behavior ( as $|z| \to \infty$ ) of homeomorphic solutions of the Beltrami equation by different conditions on the dilatation.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/143 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552660573356032 |
|---|---|
| author | Afanas’eva, E. S. Salimov, R. R. Афанасьева, Е. С. Салимов, Р. Р. |
| author_facet | Afanas’eva, E. S. Salimov, R. R. Афанасьева, Е. С. Салимов, Р. Р. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "",
"institution": null
},
{
"author": "",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Afanas’eva, E. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | We study an asymptotic behavior ( as $|z| \to \infty$ ) of homeomorphic solutions of the Beltrami equation by different conditions on the dilatation. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:02:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 9–16
УДК 517.5
Е.С. Афанасьева 1, Р. Р. Салимов 2
1 (Институт прикладной математики и механики НАН Украины,
Славянск)
2 (Институт математики НАН Украины, Киев)
2 ruslan623@yandex.ru
Асимптотическое поведение решений
уравнения Бельтрами
We study an asymptotic behavior ( as |z| → ∞ ) of homeomorphic solutions
of the Beltrami equation by different conditions on the dilatation.
В данной статье исследуется асимптотическое поведение при |z| → ∞
гомеоморфных решений уравнения Бельтрами c различными условия-
ми на дилатацию.
1. Введение. Пусть D — область в комплексной плоскости
C, т.е. связное открытое подмножество C и пусть µ(z) : D −→ C —
измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в. (почти всюду) в D. Уравнением
Бельтрами называется уравнение вида
fz̄ = µ(z) fz, (1)
где fz̄ = ∂f = (fx + ify)/2, fz = ∂f = (fx − ify)/2, z = x + iy, fx
и fy частные производные отображения f по x и y, соответственно.
Функция µ называется комплексным коэффициентом, а
Kµ(z) =
1 + |µ(z)|
1− |µ(z)|
(2)
дилатационным отношением уравнения (1). Уравнение Бельтрами (1)
называется вырожденным, если ess supKµ(z) = ∞.
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
10 Е. С. Афанасьева, Р. Р. Салимов
Существование гомеоморфного W 1,1
loc решения было недавно уста-
новлено для многих вырожденных уравнений Бельтрами, см., напр.,
соответствующие ссылки в монографиях [1,2].
2. Предварительные сведения. Напомним некоторые
определения. Борелева функция ρ : C −→ [0,∞] называется допусти-
мой для семейства кривых Γ в C, пишут ρ ∈ admΓ, если∫
γ
ρ(z) |dz| > 1 (3)
для всех γ ∈ Γ. Тогда модулем семейства кривых Γ называется вели-
чина
M(Γ) = inf
ρ∈admΓ
∫
C
ρ2(z) dm(z), (4)
здесь m обозначает меру Лебега в C.
Следуя работе [3], пару E = (A,C), где A ⊂ C — открытое множе-
ство и C — непустое компактное множество, содержащееся в A, назы-
ваем конденсатором. Конденсатор E называется кольцевым конденса-
тором, если G = A \ C — кольцо, т.е., если G — область, дополнение
которой C \ G состоит в точности из двух компонент. Говорят также,
что конденсатор E = (A,C) лежит в области D, если A ⊂ D. Оче-
видно, что если f : D −→ C — непрерывное, открытое отображение и
E = (A,C) — конденсатор в D, то (fA, fC) также конденсатор в fD.
Далее fE = (fA, fC).
Функция u : A −→ R абсолютно непрерывна на прямой, имеющей
непустое пересечение с A, если она абсолютно непрерывна на любом
отрезке этой прямой, заключенном в A. Функция u : A −→ R принад-
лежит классу ACL (абсолютно непрерывна на почти всех прямых),
если она абсолютно непрерывна на почти всех прямых, параллельных
любой координатной оси.
Обозначим через C0(A) множество непрерывных функций
u : A −→ R с компактным носителем, W0(E) = W0(A,C) —
семейство неотрицательных функций u : A −→ R таких, что:
1) u ∈ C0(A), 2) u(z) > 1 для z ∈ C и 3) u принадлежит классу ACL.
Также обозначим
Асимптотическое поведение решений уравнения Бельтрами 11
|∇u| =
√(
∂u
∂x
)2
+
(
∂u
∂y
)2
. (5)
Величину
cap E = cap (A,C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u|2 dm(z) (6)
называют ёмкостью конденсатора E .
Пусть D — область в C, а E ,F ⊆ D — произвольные ее
подмножества. Обозначим через ∆(E,F ;D) семейство всех кривых
γ : [a, b] −→ C , которые соединяют E и F в D, т.е., γ(a) ∈ E , γ(b) ∈ F
и γ(t) ∈ D при a < t < b .
В дальнейшем мы будем использовать равенство (см. теорему 1
в [5]):
cap E = M(∆(∂A, ∂C;A \ C)). (7)
Известно (см., напр., неравенство (8.9) в [4]), что
cap E > 4π
ln m(A)
m(C)
. (8)
Напомним следующие термины. Пусть d0 = dist (z0 , ∂D) и пусть
Q : D −→ [0 ,∞] — измеримая по Лебегу функция. Положим
A(z0, r1, r2) = {z ∈ C : r1 < |z − z0| < r2} , (9)
Si = S(z0, ri) = {z ∈ C : |z − z0| = ri} , i = 1, 2. (10)
Будем говорить, что гомеоморфизм f : D −→ C является кольце-
вым Q-гомеоморфизмом в точке z0 ∈ D, если соотношение
M (∆ (fS1, fS2, fD)) 6
∫
A
Q(z) · η2(|z − z0|) dm(z) (11)
выполнено для любого кольца A = A(z0, r1, r2), 0 < r1 < r2 < d0 и для
каждой измеримой функции η : (r1, r2) −→ [0,∞], такой, что
r2∫
r1
η(r) dr > 1 . (12)
12 Е. С. Афанасьева, Р. Р. Салимов
Говорят, что гомеоморфизм f : D −→ C является кольцевым Q-гомео-
морфизмом в области D, если условие (11) выполнено для всех точек
z0 ∈ D .
Следующее утверждение можно найти в работе [6], теорема 5.1.
Теорема 1. Пусть D и D′ — области в C, и f : D −→ D′ — го-
меоморфное решение уравнения Бельтрами (1) класса W 1,1
loc и Kµ ∈
L1
loc(D). Тогда f является кольцевым Q-гомеоморфизмом в каждой
точке z0 ∈ D с Q(z) = Kµ(z).
3. Поведение на бесконечности. Аcимптотическое по-
ведение на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов при опти-
мальных условиях исследовалось в работе [7]. Пусть r0 — произ-
вольное фиксированное положительное число. Для гомеоморфизма
f : C −→ C, полагаем
M(R, f) = max
|z−z0|=R
|f(z)− f(z0)| . (13)
Лемма 1. Пусть f : C −→ C — гомеоморфное решение уравнения
Бельтрами (1) класса W 1,1
loc . Если Kµ ∈ L1
loc(C), тогда
M (∆ (fS1, fS2, fA)) 6 Λ(R) , (14)
где S1 = S(z0, r0), S1 = S(z0, R), A = A(z0, r0, R) и
Λ(R) =
R∫
r0
ψ(t) dt
−2
·
∫
A
Kµ(z)ψ
2(|z − z0|) dm(z) (15)
для любой измеримой (по Лебегу) функции ψ : [0,∞] −→ [0,∞], такой,
что
0 <
R∫
r0
ψ(t) dt <∞ ∀ R > r0 . (16)
Д оказательство. Пусть A = A(z0, r0, R), 0 < r0 < R. Рассмотрим
измеримую функцию
η(t) =
ψ(t)
R∫
r0
ψ(t) dt
, t ∈ (r0, R)
0 , t ∈ R \ (r0, R).
(17)
Асимптотическое поведение решений уравнения Бельтрами 13
Отметим, что функция η(t) удовлетворяет условию (12). Тогда из тео-
ремы 1 следует оценка (14).
Лемма 2. Пусть µ : C −→ C — измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в.,
такая, что Kµ ∈ L1
loc(C). Тогда уравнение (1) не имеет гомеоморф-
ного решения f : C −→ C класса Соболева W 1,1
loc с асимптотикой
lim inf
R→∞
M(z0, f, R) e
− 2π
Λ(R) = 0 . (18)
Доказательство. Предположим противное, а именно, что суще-
ствует гомеоморфное решение f : C −→ C класса W 1,1
loc .
Рассмотрим кольцо A = A(z0, r0, R) с 0 < r0 < R. Тогда(
fBR, fBr0
)
— кольцевой конденсатор в C и, согласно (7), имеем ра-
венство
cap
(
fBR, fBr0
)
= M(△(∂fBR, ∂fBr0 ; fA)),
а ввиду гомеоморфности f, равенство
△ (∂fBR, ∂fBr0 ; fA) = f (△ (∂BR, ∂Br0 ;A)) .
В силу леммы 2 имеем
cap
(
fBR, fBr0
)
6 Λ(R) . (19)
С другой стороны, в силу неравенства (8) вытекает оценка
cap
(
fBR, fBr0
)
> 4π
ln m(fBR)
m(fBr0
)
. (20)
Комбинируя (19) и (20), получаем, что
m
(
fBr0
)
6 m (fBR) e
− 4π
Λ(R) . (21)
Заметим, что m (fBR) 6 πM2(z0, f, R), поэтому из неравенства (21)
вытекает следующая оценка√
m
(
fBr0
)
π
6M(z0, f, R) e
− 2π
Λ(R) . (22)
Очевидно, M0 =
√
m(fBr0
)
π > 0 и не зависит от R. Переходя к
нижнему пределу при R → ∞ и учитывая условие (18), получаем
m(fBr0) = 0, что противоречит гомеоморфности отображения f .
14 Е. С. Афанасьева, Р. Р. Салимов
Лемма 3. Пусть µ : C −→ C — измеримая функция с |µ(z)| < 1 п.в.
и Kµ ∈ L1
loc(C). Пусть существует неотрицательная измеримая (по
Лебегу) функция, такая, что
0 < I(R) =
R∫
r0
ψ(t) dt <∞ ∀ R > r0 , (23)
и при R→ ∞ ∫
A(z0,r0,R)
Kµ(z)ψ
2(|z − z0|) dm(z) 6 c · Ip(R) , (24)
где p 6 2. Тогда уравнение (1) не имеет гомеоморфного решения
f : C −→ C класса Соболева W 1,1
loc с асимптотикой
lim inf
R→∞
M(z0, f, R) exp
(
−2π
c
I2−p(R)
)
= 0 . (25)
Д оказательство. Ввиду условия (24), получаем
Λ(R) =
∫
A(z0,r0,R)
Kµ(z)ψ
2(|z − z0|) dm(z)(
R∫
r0
ψ(t) dt
)2 6 cIp−2(R) . (26)
Отсюда следует, что
exp
{
− 2π
Λ(R)
}
6 exp
{
−2π
c
I2−p(R)
}
. (27)
Таким образом, лемма 4 следует из леммы 3.
В дальнейшем, для целых k > 0 полагаем
e0 = 1, e1 = e, e2 = ee, . . . , ek+1 = exp{ek}, (28)
ln0 t = t, ln1 t = ln t, ln2 t = ln ln t, . . . , lnk+1 t = ln lnk t . (29)
Под N будем понимать произвольное натуральное число или ноль,
а под произведением вида
N∏
k=0
(∗) при N = 0 — выражение ∗, стоящее
в скобках.
Асимптотическое поведение решений уравнения Бельтрами 15
Лемма 4. При R > eN справедливо равенство
R∫
eN
dt
N∏
k=0
lnk t
= lnN+1R . (30)
Д оказательство. Действительно, выполнив замену переменных
s = lnN t, получим:
R∫
eN
dt
N∏
k=0
lnk t
=
lnN R∫
1
ds
s = ln lnN R = lnN+1R.
Положив в лемме 4, ψ(t) =
(
N∏
k=0
lnk t
)−1
, r0 = eN и p = 1, прихо-
дим к следующему утверждению.
Теорема 2. Пусть µ : C −→ C — измеримая функция с |µ(z)| < 1
п.в., такая, что Kµ ∈ L1
loc(C) и∫
A(z0, eN , R)
Kµ(z) dm(z)(
N∏
k=0
lnk |z − z0|
)2 6 c · lnN+1(R) ∀ R > eN . (31)
Тогда уравнение (1) не имеет гомеоморфного решения f : C −→ C
класса Соболева W 1,1
loc с асимптотикой
lim inf
R→∞
M(z0, f, R)
lnγN (R)
= 0 , (32)
где γ = 2π
C .
В теореме 2, положив N = 0, приходим к следующему следствию.
Следствие 1. Пусть µ : C −→ C — измеримая функция с |µ(z)| < 1
п.в., такая, что Kµ ∈ L1
loc(C) и∫
A(z0, 1, R)
Kµ(z) dm(x)
|z − z0|2
6 c · lnR ∀ R > 1 , (33)
Тогда уравнение (1) не имеет гомеоморфного решения f : C −→ C
класса Соболева W 1,1
loc с асимптотикой
lim inf
R→∞
M(z0, f, R)
R
2π
c
= 0 . (34)
16 Е. С. Афанасьева, Р. Р. Салимов
Следствие 2. Пусть µ : C −→ C — измеримая функция с |µ(z)| < 1
п.в., такая, что Kµ ∈ L1
loc(C) и
1
2πR
∫
S(z0,R)
Kµ(z) |dz| 6 K ∀ R > 1 . (35)
Тогда уравнение (1) не имеет гомеоморфного решения f : C −→ C
класса Соболева W 1,1
loc с асимптотикой
lim inf
R→∞
M(z0, f, R)
R1/K
= 0 .
Список литературы
[1] Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami
Equation: A Geometric Approach. Springer Advances in Mathematics.
ISBN 978-1-4614-3190-9, Due: May 31, 2012.
[2] Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in Modern Mapping
Theory / Springer Monographs in Mathematics /. — New York: Springer,
2009.
[3] Martio O., Rickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings //
Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. — 1969. — Vol. 448. — P. 1 – 40.
[4] Maz’ya V. Lectures on isoperimetric and isocapacitary inequalities in the
theory of Sobolev spaces // Contemp. Math. — 2003. — 338. — P. 307 —
340.
[5] Шлык В.А. О равенстве p-емкости и p-модуля // Сиб. мат. ж. — 1993. —
34, № 6. — C. 216 — 221.
[6] Ковтонюк Д.А., Салимов Р.Р., Севостьянов Е.А. К теории отображе-
ний классов Соболева и Орлича-Соболева. — К.: Наук. думка, 2013. —
303 с.
[7] Салимов Р.Р., Смоловая Е.С. О порядке роста кольцевых
Q-гомеоморфизмов на бесконечности // Укр. мат. журн. –– 2010. — 62,
№ 6. — С. 829 – 836.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-143 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Russian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:02:58Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/90/fb27715af282abb23be72f6413360190.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1432018-01-23T12:10:05Z The asymptotic behaviour of solutions of the Beltrami equation Асимптотическое поведение решений уравнения Бельтрами Afanas’eva, E. S. Salimov, R. R. Афанасьева, Е. С. Салимов, Р. Р. We study an asymptotic behavior ( as $|z| \to \infty$ ) of homeomorphic solutions of the Beltrami equation by different conditions on the dilatation. В данной статье исследуется асимптотическое поведение при $|z| \to \infty$ %на бесконечности гомеоморфных решений уравнения Бельтрами c различными условиями на дилатацию. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/143 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 9–16 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 9–16 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 9–16 3083-7529 1815-2910 ru https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/143/118 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Afanas’eva, E. S. Salimov, R. R. Афанасьева, Е. С. Салимов, Р. Р. The asymptotic behaviour of solutions of the Beltrami equation |
| title | The asymptotic behaviour of solutions of the Beltrami equation |
| title_alt | Асимптотическое поведение решений уравнения Бельтрами |
| title_full | The asymptotic behaviour of solutions of the Beltrami equation |
| title_fullStr | The asymptotic behaviour of solutions of the Beltrami equation |
| title_full_unstemmed | The asymptotic behaviour of solutions of the Beltrami equation |
| title_short | The asymptotic behaviour of solutions of the Beltrami equation |
| title_sort | asymptotic behaviour of solutions of the beltrami equation |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/143 |
| work_keys_str_mv | AT afanasevaes theasymptoticbehaviourofsolutionsofthebeltramiequation AT salimovrr theasymptoticbehaviourofsolutionsofthebeltramiequation AT afanasʹevaes theasymptoticbehaviourofsolutionsofthebeltramiequation AT salimovrr theasymptoticbehaviourofsolutionsofthebeltramiequation AT afanasevaes asimptotičeskoepovedenierešenijuravneniâbelʹtrami AT salimovrr asimptotičeskoepovedenierešenijuravneniâbelʹtrami AT afanasʹevaes asimptotičeskoepovedenierešenijuravneniâbelʹtrami AT salimovrr asimptotičeskoepovedenierešenijuravneniâbelʹtrami AT afanasevaes asymptoticbehaviourofsolutionsofthebeltramiequation AT salimovrr asymptoticbehaviourofsolutionsofthebeltramiequation AT afanasʹevaes asymptoticbehaviourofsolutionsofthebeltramiequation AT salimovrr asymptoticbehaviourofsolutionsofthebeltramiequation |