Variations on the shadow problem
The paper provides an overview of results associated with Problem of ''shadow'' obtained by the scientists of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine during the last two years. We focused on unsolved problems and estimates of necessary and sufficient conditions...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Автори та афіліації: |
|
| Ключові слова: | keywords |
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2017
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/155 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552673664827392 |
|---|---|
| author | Zelinskii, Yu. B. Зелінський, Ю. Б. |
| author_facet | Zelinskii, Yu. B. Зелінський, Ю. Б. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Ю. Б. Зелінський",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Zelinskii, Yu. B. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-02-13T13:58:16Z |
| description | The paper provides an overview of results associated with Problem of ''shadow'' obtained by the scientists of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine during the last two years. We focused on unsolved problems and estimates of necessary and sufficient conditions to ''Problem of shadow'' and its modifications. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2017, том 14, № 1, 163–170
УДК 517.5 + 513.83
Ю.Б. Зелiнський
(Iнститут математики НАН України, Київ)
zel@imath.kiev.ua
Варiацiї до задачi про “тiнь”
У роботi здiйснено огляд результатiв, пов’язаних з проблемою “тiнi”,
якi одержанi спiвробiтниками Iнституту математики НАН України за
останнi два роки. Проаналiзовано деякi нерозв’язанi задачi, наведено
оцiнки необхiдних та достатнiх умов розв’язання проблеми.
The paper provides an overview of results associated with Problem of
“shadow” obtained by the scientists of Institute of Mathematics of NAS of
Ukraine during the last two years. We focused on unsolved problems and
estimates of necessary and sufficient conditions to “Problem of shadow”
and its modifications.
Традицiйно пiдмножину евклiдового простору називають опуклою,
якщо разом з довiльною парою точок вона мiстить i вiдрiзок, який
з’єднує цi точки. Це еквiвалентно зв’язностi перетинiв пiдмножини з
довiльною дiйсною прямою. Бiльш загальним є аксiоматичний пiдхiд
до означення опуклостi (кажуть, що сiм’я множин складається з опу-
клих множин, якщо перетин довiльної кiлькостi їх належить до цiєї
ж сiм’ї [1]), який дозволяє назвати “опуклими” ряд екзотичних кла-
сiв множин, якi не асоцiюються зi звичним поняттям опуклостi, на-
приклад, множина всiх множин або сiм’я всiх замкнeних пiдмножин
деякого топологiчного простору. Питання аналiзу часто приводять до
iнших сiмейств множин, якi задовольняють аксiому опуклостi. Ниж-
че ми розглянемо ряд задач, розв’язок яких потребує використання
рiзних узагальнень поняття опуклостi.
Надалi пiд m-вимiрними площинами розумiємо m-вимiрнi афiннi
пiдпростори евклiдового простору Rn.
c© Ю.Б. Зелiнський, 2017
164 Ю.Б. Зелiнський
Означення 1. Скажемо, що множина E ⊂ Rn m-опукла вiдносно
точки x ∈ Rn\E, якщо знайдеться m-вимiрна площина L, така, що
x ∈ L i L ∩ E = ∅.
Будемо казати, що множина E ⊂ Rn m-опукла, якщо вона є m-
опуклою вiдносно усiх точок з її доповнення.
Означення 2. Скажемо, що вiдкрита множина G ⊂ Rn слабко m-
опукла, якщо вона m-опукла вiдносно кожної точки x ∈ ∂G, яка на-
лежить межi множини G.
Скажемо, що довiльна множина E ⊂ Rn слабко m-опукла, якщо
її можна апроксимувати ззовнi сiм’єю вiдкритих слабко m-опуклих
множин.
Обидва означення задовольняють аксiому опуклостi: перетин будь-
якого набору таких множин теж задовольняє означення. Для довiль-
ної множини E ⊂ Rn ми можемо розглянути мiнiмальну (слабко)
m–опуклу множину, яка мiстить E, i назвати її (слабкою) m-оболонкою
множини E.
Такi узагальненi опуклостi розглядалися у роботах [2–5].
Побудова такого роду оболонок тiсно пов’язана з наступною зада-
чею про “тiнь”, яку вперше розглянув Г. Худайберганов [6] i розв’язав
її для n = 2.
Задача (про “тiнь”). Якої мiнiмальної кiлькостi замкнених куль
в евклiдовому просторi Rn з центрами на сферi Sn−1, що попарно не
перетинаються, i радiусами, меншими вiд радiуса сфери, досить, щоб
довiльна пряма, яка проходить через центр сфери, перетинала хоча б
одну з цих куль? Iншими словами: коли центр сфери буде належати
до 1-опуклої оболонки об’єднання куль?
У [7] задача розв’язана повнiстю, показано, що для цього необхiдно
i достатньо n + 1 куль при n > 2. Даний розв’язок задачi iндукував
ряд близьких задач, дослiдженням яких займається група науковцiв
Iнституту математики НАН України, починаючи з 2015 р. Для деяких
з них отримано повний або частинний розв’язок, деякi — лишаються
нерозв’язаними проблемами донинi.
Перерахуємо цi задачi:
1. Як змiниться мiнiмальна кiлькiсть куль, якщо їх центри зсунути
зi сфери?
Варiацiї до задачi про “тiнь” 165
2. Як змiниться результат задачi 1, якщо замiсть куль розглядати
сiмейство опуклих множин, отриманих з деякої опуклої множи-
ни з непустою внутрiшнiстю за допомогою деякої групи перетво-
рень?
3. Якої мiнiмальної кiлькостi замкнутих куль в евклiдовому просто-
рi Rn з центрами на сферi Sn−1, що попарно не перетинаються,
i радiуса, меншого вiд радiуса сфери, достатньо, щоб довiльний
промiнь з центра сфери перетинав хоча б одну з цих куль?
4. Розглянути аналогiчнi задачi у комплексних та гiперкомплексних
евклiдових просторах.
5. Задача про “тiнь” не тiльки для центра сфери, а й для усiх точок
кулi, обмежених сферою Sn−1, якi не належать до об’єднання
вибраних куль.
6. Задача про “тiнь” для точок сфери Sn−1, якi не належать до
об’єднання вибраних куль, вiдносно прямих дотичних до сфери.
7. Задача про “тiнь” для куль постiйного радiуса.
8. Дослiдити задачу при змiнi групи перетворень, що дiє на сiмей-
ство множин.
9. Задача про “тiнь” для сiмейств опуклих множин, якi можуть по-
парно дотикатися або перетинатися мiж собою.
10. Дослiдити аналогiчнi задачi для слабкої m–опуклостi та її варi-
антiв.
Задачi 1–10 формулювалися у пiдбiрцi вiдкритих проблем на конфе-
ренцiях: XI-й Мiжнароднiй математичнiй лiтнiй школi “Алгебра, То-
пологiя, Аналiз” (1-14.08.2016 р.) в Одесi [8], “Сучаснi досягнення в
геометрiї та топологiї” (12-16.09.2016 р.) у Харковi [9] та Мiжнароднiй
конференцiї, присвяченiй 120-рiчницi вiд дня народження Казимира
Куратовського (27.09-1.10.2016 р.) у Львовi [10].
Розглянемо сучасний стан вiдповiдей на перерахованi задачi. Зада-
ча 1 розв’язана повнiстю.
166 Ю.Б. Зелiнський
Теорема 1 ([11]). Для того, щоб вибрана точка в n-вимiрному евклi-
довому просторi при n ≥ 2 належала до 1-опуклої оболонки сiмейства
вiдкритих (замкнених ) куль, якi дану точку не мiстять i попарно
не перетинаються, необхiдно i достатньо n куль.
Задача про “тiнь” при n = 3, коли центри куль розташованi на
елiпсоїдi обертання, дослiджена в [12]. Показано, що якщо вiдношення
бiльшої осi елiпсоїда до меншої не менше, нiж 2
√
2, то для створення
“тiнi” досить трьох куль.
Повна вiдповiдь на задачу 2 при виборi групи перетворень, що скла-
дається з рухiв i гомотетiй, отримана в [11]. Показано, що досить n еле-
ментiв сiмейства. Якщо групу перетворень зменшити, то кiлькiсть еле-
ментiв сiмейства, необхiдних для створення “тiнi”, можне збiльшитися.
Наприклад, якщо група перетворень буде складатися з паралельних
переносiв i гомотетiй, то необхiдно i достатньо 2n елементи сiмейства
[13]. Це частинна вiдповiдь на задачу 8 при даному виборi групи.
Означення 3. Скажемо, що множина E ⊂ Rn m-напiвопукла вiдно-
сно точки x ∈ Rn\E, якщо знайдеться m-вимiрна пiвплощина P та-
ка, що x ∈ P i P ∩E = ∅. Скажемо, що ця множина m-напiвопукла,
якщо вона m-напiвопукла вiдносно кожної точки x ∈ Rn\E.
Легко переконатися, що i це означення задовольняє аксiому опукло-
стi i ми можемо будувати m-напiвопуклi оболонки множин. При m = 1
отримуємо умову задачi 3. Для цiєї задачi отримано оцiнку зверху в
розмiрностi три — досить десяти куль [14]. Задача про знаходження
точної оцiнки залишається вiдкритою, невiдомi навiть оцiнки зверху у
розмiрностях бiльше трьох. Якщо ж об’єднати формулювання задач 1
i 3, то отримано точний результат [11].
Теорема 2. Для того, щоб вибрана точка в n-вимiрному евклiдовому
просторi при n ≥ 2 належала до 1-напiвопуклої оболонки сiмейства
вiдкритих (замкнених ) куль, що попарно не перетинаються i не мi-
стять дану точку, необхiдно i достатньо n+ 1 куль.
Аналогiчно показано, що Теорема 2 лишається вiрною, якщо кулi
замiнити опуклими тiлами з непустою внутрiшнiстю.
У випадку комплексного або гiперкомплексного евклiдового про-
стору можна розглянути аналогiчнi задачi вiдносно перетинiв сi-
мейств, вiдповiдно, комплексними або гiперкомплексними площинами.
Варiацiї до задачi про “тiнь” 167
Означення 4. Скажемо, що множина E ⊂ Cn(Hn) m-комплексно
(m-гiперкомплексно) опукла вiдносно точки z ∈ Cn\E (Hn\E), якщо
знайдеться m-вимiрна комплексна (гiперкомплексна) площина L,
така що: z ∈ L i L ∩ E = ∅. Скажемо, що ця множина m-
комплексно (m-гiперкомплексно) опукла, якщо вона m-комплексно
(m-гiперкомплексно) опукла вiдносно кожної точки z ∈ Cn\E(Hn\E).
Для задачi 4 з кулями, центри яких знаходяться на сферi, отримано
точну оцiнку при n = 2. Необхiдно i достатньо двох куль [14]. При
n > 2 (див. оцiнку зверху у [15]) — досить 2n куль в комплексному
евклiдовому просторi i 4n− 1 куль у гiперкомплексному.
Також в (гiпер) комплексному випадку отримана точна оцiнка,
якщо центри куль можуть зсуватися зi сфери.
Теорема 3 ([16]). Для того, щоб точка в n-вимiрному комплексному
(гiперкомплексному) евклiдовому просторi Cn(Hn), n > 2 належала
до 1-комплексної (1-гiперкомплексної) оболонки сiмейства вiдкритих
(замкнених ) куль, якi не мiстять дану точку i попарно не перети-
наються, необхiдно i досить n куль.
Задача 5 досить складна. Тут крiм майже очевидного факту, що
при n = 2, необхiдно i досить трьох куль, розмiщених у вершинах рiв-
ностороннього трикутника, радiус яких рiвний половинi висоти три-
кутника. Крiм цього факту — бiльше нiчого не вiдомо.
До задачi 6 є тiльки оцiнки знизу при n = 3 [17].
Задачу 9 iлюструє наступна теорема.
Теорема 4 ([18]). n+1-ї замкнутої кулi однакового радiуса у просто-
рi Rn з центрами на сферi Sn−1, необхiдно i досить для створення
“тiнi” в центрi сфери, якщо кулi можуть доторкатися одна до одної.
У [18] показано, що якщо кулi не перетинаються, то при n > 2 набiр
куль однакового радiуса з центрами на сферi не може забезпечити
“тiнi” у центрi сфери. Побудовано приклад з чотирьох куль однакового
радiуса, що забезпечують “тiнь” у вибранiй точцi.
Теорема 5 ([19]). Довiльний набiр з трьох вiдкритих куль однакового
радiуса, що попарно не перетинаються в евклiдовому просторi R3,
утворює 1-опуклу множину.
168 Ю.Б. Зелiнський
Теорема 6 ([19]). Для того, щоб точка у тривимiрному евклiдовому
просторi належала до 1-напiвопуклої оболонки сiмейства вiдкритих
(замкнених ) куль однакового радiуса, що попарно не перетинаються,
досить восьми куль.
Питання мiнiмальностi знайденої кiлькостi куль залишається вiд-
критим.
Означення 5. Скажемо, що вiдкрита множина G ⊂ Rn слаб-
ко m-напiвопукла, якщо вона m-напiвопукла вiдносно кожної точки
x ∈ ∂G, яка належить межi множини G. Скажемо, що довiльна
множина E ⊂ Rn слабко m-напiвопукла, якщо її можна апроксиму-
вати ззовнi сiм’єю вiдкритих слабко m-напiвопуклих множин.
Легко побудувати приклад слабко m-напiвопуклої, але не m-
напiвопуклої множини.
Приклад 1. Нехай B =
{
(x, y) : x2 + y2 < 2
}
— вiдкри-
тий круг на площинi xOy. Виберемо три точки a, b, c на колi
S1 =
{
(x, y) : x2 + y2 = 1
}
i розглянемо симплекс σ з вершинами в
цих точках. Розглянемо три променi la, lb, lc, що виходять з вибраних
точок, вiдповiдно, так, що додатково виконуються включення: b ∈ la,
c ∈ lb, a ∈ lc. Неважко переконатися, що множина E = B\(σ∪la∪lb∪lc)
є слабко 1-напiвопуклою, але не 1-напiвопуклою.
Теорема 7. Вiдкрита слабко 1-напiвопукла множина E на площинi
R2, яка не є 1-напiвопуклою, незв’язна.
Доведення. Нехай E — слабко 1-напiвопукла множина, яка не є 1-
напiвопуклою. Тодi iснує точка x ∈ R2\E така, що будь-яка пряма, що
проходить через цю точку, перетинає множину E обома променями,
на якi точка x її роздiляє. Виберемо одну з таких прямих l. Нехай
[a, b] ⊂ R2\E — вiдрiзок, що мiстить точку x. Точки a i b належать
межi множини E. В силу слабкої 1-напiвопуклостi множини E у цих
точках iснують променi ra, rb, вiдповiдно, якi не перетинають множину
E.
Тепер можливi два випадки:
Варiацiї до задачi про “тiнь” 169
1. Променi ra, rb не перетинаються. Тодi ламана ra ∪ [a, b] ∪ rb не
перетинає множину E за побудовою i в обох частинах, на якi ця лама-
на розбиває площину, знаходяться точки множини E. Отже, вона не
зв’язна.
2. Променi ra, rb перетинаються. Тодi ламана ra ∪ [a, b] ∪ rb не пе-
ретинає множину E i розбиває площину на три частини. Проведемо
пряму через точку x i точку перетину променiв ra, rb. Ця пряма пере-
тинає усi три частини, на якi ламана ra ∪ [a, b] ∪ rb розбила площину,
i, принаймнi у двох з цих частин, вона перетинається з множиною E.
Теорема доведена.
Вiдкрите питання. Чи вiрно, що вiдкрита слабко 1-напiвопукла
множина E на площинi R2, яка не є 1-напiвопуклою, має не менше нiж
три компоненти зв’язностi?
Лiтература
[1] Зелинский Ю.Б. Выпуклость. Избранные главы // Працi Iн-ту мат-ки
НАН України. — К.: Iн-т математики НАН України, 2012. — 92. — 280 c.
[2] Солтан В.П. Введение в аксиоматическую теорию выпуклости. — Ки-
шинев: Штиинца, 1984. — 256 с.
[3] Зелинский Ю.Б. Многозначные отображения в анализе. — К.: Наук.
Думка, 1993. — 264 с.
[4] Зелинский Ю.Б., Момот И.В. Об (n,m)-выпуклых множествах //
Укр. мат. журн. — 2001. — 53, № 3. — С. 422 – 427.
[5] Zelinskii Y. B., Gretsky A. S., Momot I. V. Some results on generalized
convex sets // Classical analysis. Proc. of 10-th intern. sympos. — 1999. —
Warsaw (Poland), 2001. — P. 113 – 124.
[6] Худайберганов Г. Об однородно-полиномиально выпуклой оболочке
объединения шаров // Рукопись деп. в ВИНИТИ 21.02.1982 г. № 1772. —
85 Деп.
[7] Зелинский Ю.Б., Выговская И.Ю., Стефанчук М.В. Обобщенно выпу-
клые множества и задача о тени // Укр. мат. журн. — 2015. — 67,
№ 12. — C. 1659 – 1666.
[8] Zelinskii Yu. B. Open topological and geometrical problems in analysis //
https://www.academia.edu/29063888/Open topological and geometrical
problems in analysis.
170 Ю.Б. Зелiнський
[9] Zelinskii Yu. B. Open topological and geometrical problems in analysis //
Abstracts of Reports of Int. Conf. “Modern advances in geometry and
topology in honor of professor A. A. Borisenko”, September 12 – 16, 2016. —
Kharkiv, 2016. — P. 52.
[10] Zelinskii Y. B. Some open topological problems in analysis // Abstracts of
reports of Intern. Conf. dedicated to the 120th anniversary of Kazimierz
Kuratowski, 27.09 – 1.10 2016. — Lviv, 2016. — P. 55.
[11] Зелинский Ю.Б. Задача о тени для семейства множеств // Зб. праць
Iн-ту математики НАН України. — К.: Iн-т математики НАН України,
2015. — 12, № 4. — C. 197 – 204.
[12] Ткачук М.В., Осипчук Т.М. Задача о тени для эллипсоида вращения //
Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2015. — К.: Iн-т матема-
тики НАН України. — 12, № 3. — C. 243 – 250.
[13] Зелинский Ю.Б., Стефанчук М.В. Узагальнення задачi про тiнь //
Укр. мат. журн. — 2016. — 68, № 6. — C. 657 – 662.
[14] Zelinskii Yu. B. Generalized Convex Envelopes of Sets and the Problem of
Shadow // Journal of Mathematical Sciences. — 2015. — 211, No. 5. —
P. 710 – 717.
[15] Zelinskii Yu. B. Problem of shadow (complex case) // Advances in
Mathematics: Scientific Journal. — 2016. — 5, No. 5. — P. 1 – 5.
[16] Zelinskii Yu. B. The problem of the shadows // Bulletin de la societe des
sci. et letters de Lodz. Ser. Rech. Deform. — 2016. — 66, No. 1. — P. 34 – 42.
[17] Zelinskii Yu. B. Problem of shadow for tangent bundle of straight line on
sphere // Proceedings of 7th International Conference on Complex Analysis
and Dynamical Systems (in print).
[18] Зелинский Ю.Б., Выговская И.Ю., Дакхил Х.К. Задача о тени для ша-
ров фиксированного радиуса // Укр. мат. вiсник. — 2016. — 13 (подана
к печати).
[19] Зелинский Ю.Б., Дакхил Х.К. Об одной задаче о тени для шаров фи-
ксированного радиуса // Труды ИПММ НАН Украины. — 2017 (подана
к печати).
[20] Дакхыл Х.К., Зелинський Ю.Б., Клiщук Б.А. Про слабко m–опуклi
множини // Доповiдi НАН України. — 2017 (подано до друку).
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-155 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:10Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/90/d474d136c024ae7c6e0cf9ea3dbdf490.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1552018-02-13T13:58:16Z Variations on the shadow problem Варіації до задачі про "тінь" Zelinskii, Yu. B. Зелінський, Ю. Б. The paper provides an overview of results associated with Problem of ''shadow'' obtained by the scientists of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine during the last two years. We focused on unsolved problems and estimates of necessary and sufficient conditions to ''Problem of shadow'' and its modifications. У роботі здійснено огляд результатів, пов’язаних з проблемою "тіні'',&nbsp; які одержані співробітниками Інституту математики НАН України за останні два роки. Проаналізовано деякі нерозв’язані задачі, наведено оцінки необхідних та достатніх умов розв'язання проблеми. Інститут математики НАН України 2017-04-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/155 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 14 No. 1 (2017): Vol. 14 No. 1 (2017): Analysis and Applications; 163-170 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 14 № 1 (2017): Том 14 № 1 (2017): Анализ и приложения; 163-170 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 14 № 1 (2017): Аналіз та застосування; 163-170 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/155/126 Авторське право (c) 2017 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Zelinskii, Yu. B. Зелінський, Ю. Б. Variations on the shadow problem |
| title | Variations on the shadow problem |
| title_alt | Варіації до задачі про "тінь" |
| title_full | Variations on the shadow problem |
| title_fullStr | Variations on the shadow problem |
| title_full_unstemmed | Variations on the shadow problem |
| title_short | Variations on the shadow problem |
| title_sort | variations on the shadow problem |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/155 |
| work_keys_str_mv | AT zelinskiiyub variationsontheshadowproblem AT zelínsʹkijûb variationsontheshadowproblem AT zelinskiiyub varíacíídozadačíproquottínʹquot AT zelínsʹkijûb varíacíídozadačíproquottínʹquot |