Estimate of the modulus of continuity of boundary values of quaternion Cauchy-type integral
It is proved an upper estimate for the modulus of continuity of boundary values of a quaternionic Cauchy-type integral.
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/169 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552688544120832 |
|---|---|
| author | Gerus, O. F. Герус, О. Ф. |
| author_facet | Gerus, O. F. Герус, О. Ф. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. Ф. Герус",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Gerus, O. F. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:10:05Z |
| description | It is proved an upper estimate for the modulus of continuity of boundary values of a quaternionic Cauchy-type integral. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, том 12, № 3, 97–109
УДК 517.5
О. Ф. Герус
(Житомирський державний унiверситет iменi Iвана Франка,
Житомир)
ogerus@zu.edu.ua
Оцiнка модуля неперервностi
межових значень кватернiонного
iнтеграла типу Кошi
It is proved an upper estimate for the modulus of continuity of boundary
values of a quaternionic Cauchy-type integral.
Доведено верхню оцiнку модуля неперервностi межових значень ква-
тернiонного iнтеграла типу Кошi.
1. Вступ. А. Зигмунд [1] вперше довiв оцiнку модуля неперерв-
ностi тригонометрично спряженої функцiї на прямiй, що рiвносиль-
на оцiнцi модуля неперервностi сингулярного iнтеграла Кошi на колi.
З цiєї оцiнки, зокрема, випливає теорема Племеля-Привалова про iн-
варiантнiсть класiв Гьольдера вiдносно сингулярного iнтеграла Кошi.
Оцiнка А. Зигмунда узагальнювалась на бiльш широкi класи кривих у
роботах Л. Г. Магнарадзе [2, 3], А. А. Бабаєва та В. В. Салаєва [4, 5, 6],
П. М. Тамразова [7, 8], О. Ф. Геруса [9, 10, 11], Т. С. Салiмова [12],
Є. М. Динькiна [13]. Зокрема, з’ясувалось, що найбiльш широким кла-
сом кривих (див. [6, 9]), для яких вона має такий же вигляд, як i на
колi, є клас регулярних кривих (у яких мiра частини кривої, що по-
трапляє в круг, не перевищує сталої, помноженої на радiус круга). На
бiльш загальних кривих (див. [6, 9, 10, 12, 13, 11]) мажоранта погiр-
шується i починає залежати ще i вiд кривої.
В роботi [14] розглянуто узагальнення iнтеграла типу Кошi в те-
орiї так званих α-гiперголоморфних функцiй, якi дiють з простору
c⃝ Institute of Mathematics, 2015
98 О. Ф. Герус
R2, надiленого певною структурою кватернiонного множення, у алге-
бру комплексних кватернiонiв. Доведено формули для межових зна-
чень iнтеграла на замкнених кусково-ляпуновських кривих та теорему
Племеля-Привалова про iнварiантнiсть класiв Гьольдера для вiдповiд-
ного сингулярного iнтеграла, через який виражаються межовi значе-
ння. В роботi [15] доведенi аналогiчнi формули на замкнених жорда-
нових спрямлюваних кривих. В роботi [16] отримано оцiнку модуля
неперервностi вiдповiдного сингулярного iнтеграла. В цiй роботi отри-
мано оцiнку модуля неперервностi межових значень кватернiонного
узагальнення iнтеграла типу Кошi в теорiї α-гiперголоморфних фун-
кцiй.
2. Кватернiони. Кватернiонний iнтеграл типу Ко-
шi. Позначимо через H = H(R) та H(C) вiдповiдно алгебри дiй-
сних та комплексних кватернiонiв, тобто таких, що подаються у ви-
глядi a =
∑3
k=0 akik, де {ak}3k=0 ⊂ R для дiйсних кватернiонiв i
{ak}3k=0 ⊂ C — для комплексних; i0 = 1, а i1, i2, i3 — уявнi одиницi
з правилом множення: i12 = i2
2 = i3
2 = i1i2i3 = −1; комплексну уяв-
ну одиницю позначатимемо через i. H є некомутативною асоцiативною
алгеброю над полем дiйсних чисел, яка не має дiльникiв нуля. H(C)
є некомутативною асоцiативною алгеброю над полем комплексних чи-
сел, яка має дiльники нуля. Пiд модулем комплексного кватернiона
розумiтимемо його евклiдову норму |a| = ∥a∥R8 .
Нехай α ∈ C, z := xi1 + yi2, ζ := ξi1 + ηi2 — дiйснi кватернiони, якi
мiстяться в евклiдовому просторi R2, надiленому додатковою структу-
рою кватернiонного множення, H(p)
n — функцiї Ганкеля роду p ∈ {1; 2}
i порядку n ∈ {0; 1; 2} (див. [17]). Позначимо:
Eα(z) :=
(−1)p
i
4
H
(p)
0 (α|z|) при α ̸= 0,
1
2π
ln |z| при α = 0,
де
p =
{
1 при Im(α) > 0 або α > 0,
2 при Im(α) < 0 або α < 0.
Вiдомо (див., напр., [18]), що функцiя Eα є фундаментальним
розв’язком оператора Гельмгольца ∆α2 := ∆R2+Mα2
, де ∆R2 = ∂2
1+∂2
2 ,
∂k = ∂
∂xk
, Ma — оператор множення на a ∈ C.
Оцiнка модуля неперервностi межових значень... 99
Кватернiонним ядром Кошi Kα називається фундаментальний
розв’язок оператора α∂ := ∂1 ◦ M i1 + ∂2 ◦ M i2 + Mα подiбно до то-
го, як класичне ядро Кошi є фундаментальним розв’язком оператора
Кошi-Рiмана ∂ := ∂
∂x + i ∂
∂y . Завдяки факторизацiї оператора Гельм-
гольца (див. [19], [15])
∆α2 = −α∂ ◦−α∂
маємо
Kα(z) = −−α∂[Eα](z),
звiдки отримуємо
Kα(z) =
(−1)p
iα
4
(
H
(p)
1 (α|z|) z
|z|
+H
(p)
0 (α|z|)
)
при α ̸= 0,
1
2πz
при α = 0.
Функцiї Ганкеля H
(p)
0 (t), H(p)
1 (t) розкладаються в ряди (див. [17]):
H
(p)
0 (t) =
(
1− (−1)p
2i
π
(ln
t
2
+C)
) ∞∑
k=0
(−1)kt2k
22k(k!)2
+
+
2i
π
∞∑
k=1
(−1)k+pt2k
22k(k!)2
k∑
m=1
1
m
,
(1)
H
(p)
1 (t) =
(
1− (−1)p
2i
π
(ln
t
2
+C)
) ∞∑
k=0
(−1)kt2k+1
22k+1k!(k + 1)!
+
+ (−1)p
(
2i
πt
+
it
2π
)
+
i
π
∞∑
k=1
(−1)k+pt2k+1
22k+1k!(k + 1)!
(
k+1∑
m=1
1
m
+
k∑
m=1
1
m
)
,
(2)
де C — стала Ейлера.
Для замкненої жорданової спрямлюваної кривої Γ ⊂ R2 i неперерв-
ної функцiї f : Γ −→ H(C) кватернiонний iнтеграл типу Кошi визнача-
ється формулою (див. [15])
Φα[f ](z) :=
∫
Γ
Kα(ζ − z)σ f(ζ), z ∈ R2 \ Γ,
де σ := dηi1 − dξi2.
3. Межовi значення кватернiонного iнтеграла
типу Кошi. Нехай Ω+ — обмежена область з межею Γ,
100 О. Ф. Герус
Ω− := C \ (Ω+ ∪Γ). Позначимо через Φ+
α [f ], Φ−
α [f ] звуження iнтеграла
Φα[f ], вiдповiдно, на областi Ω+, Ω−.
Теорема 1. ([15]) Нехай Γ — замкнена жорданова спрямлювана кри-
ва, f : Γ −→ H(C) — неперервна функцiя i нехай iнтеграл
Ψα[f ](t) := lim
δ→0
∫
Γ\Γt,δ
|Kα(ζ − t)| |σ| |f(ζ)− f(t)|, t ∈ Γ,
де Γt,δ := {ζ ∈ Γ : |ζ − t| 6 δ}, iснує рiвномiрно вiдносно t ∈ Γ. Тодi
iснує iнтеграл
Fα[f ](t) := lim
δ→0
∫
Γ\Γt,δ
Kα(ζ − t)σ (f(ζ)− f(t)), t ∈ Γ;
крiм того, функцiї Φ±
α [f ] неперервно продовжуються вiдповiдно на
замикання Ω+, Ω− i справедливi наступнi формули:
Φ+
α [f ](t) = (Iα(t) + 1)f(t) + Fα[f ](t), t ∈ Γ, (3)
Φ−
α [f ](t) = Iα(t)f(t) + Fα[f ](t), t ∈ Γ, (4)
де
Iα(t) := −α
∫∫
Ω+
Kα(ζ − t)dξdη.
В роботi [16] доведено верхню оцiнку модуля неперервностi сингу-
лярного iнтеграла Fα[f ] в термiнах модуля неперервностi пiдiнтеграль-
ної функцiї f та метричної характеристики кривої. Метою цiєї роботи
є отримання подiбних оцiнок для межових значень Φ+
α [f ], Φ−
α [f ]. Як
видно з формул (3), (4), головну труднiсть тут складає оцiнка модуля
неперервностi iнтеграла Iα.
Нехай δ > 0, ωΓ(f, δ) := sup
|z1−z2|6δ
{z1;z2}⊂Γ
|f(z1) − f(z2)| — модуль непе-
рервностi функцiї f на Γ,
ΩΓ(f, a, b) :=
sup
a6t6b
ωΓ(f, t)
t
при 0 < a 6 b,
ΩΓ(f, b, b) при 0 < b < a,
Оцiнка модуля неперервностi межових значень... 101
Γz,δ := {ζ∈Γ : |ζ−z| 6 δ}, θz(δ) := mesΓz,δ — криволiнiйна мiра Лебега
множини Γz,δ (див. [6]),
Θ(z, δ) :=
δ2
θz(4δ)− θz(δ)
.
Надалi позначатимемо через c (·), c (·, ·), c (·, ·, ·) додатнi сталi (мо-
жливо рiзнi), якi залежать лише вiд аргументiв у дужках. Символом
c без аргументiв позначатимемо абсолютнi сталi.
Теорема 2. Нехай функцiя f : Γ −→ H(C) задовольняє умови
sup
z∈Γ
d∫
0
ΩΓ(f,Θ(z, x), x) dx < +∞,
sup
z∈Γ
d∫
0
| lnx|ωΓ(f, x) dθz(x) < +∞.
Тодi функцiї Φ±
α [f ] неперервно продовжуються вiдповiдно на замика-
ння Ω+, Ω− i для δ ∈
(
0,min
{
1
3e
− 1
3 ; d
3
}]
справедливi оцiнки
ωΓ(Φ
±
α [f ], δ) 6c sup
z∈Γ
2d∫
0
ΩΓ(f,Θ(z, x), x)
dx
1 +
x
δ
+
+c(α) sup
z∈Γ
d∫
0
| lnx|ωΓ(f, x)
1 +
ωΓ(f, x)
ωΓ(f, 4δ)
dθz(x)+
+c(α) δ
sup
z∈Γ
d∫
3δ
ωΓ(f, x)
x
dθz(x) + ln
d
3δ
,
(5)
де d — дiаметр кривої Γ.
Доведення. Оцiнимо ωΓ(Iα, δ). Для цього, використовуючи розкла-
дання в ряди функцiй Ганкеля (1), (2), розглянемо подання
Iα(t) =
5∑
q=1
I(q)α (t),
102 О. Ф. Герус
де
I(1)α (t) :=
∫∫
Ω+
∞∑
k=0
ak,p
(−1)k+1α2k+2
22k+2(k!)2
|ζ − t|2kdξ dη,
ak,p :=
(−1)pi+ 2
π
(
C + ln α
2
)
при k = 0,
(−1)pi+ 2
π
(
C + ln α
2 +
k∑
m=1
1
m
)
при k > 0,
I(2)α (t) :=
∫∫
Ω+
∞∑
k=0
bk,p
(−1)k+1α2k+3
22k+3k!(k + 1)!
|ζ − t|2k(ζ − t)dξ dη,
bk,p :=
(−1)pi+ 2
π
(
C − 1
2 + ln α
2
)
при k = 0,
(−1)pi+ 2
π
(
C − 1
2(k+1) −
k∑
m=1
1
m + ln α
2
)
при k > 0,
I(3)α (t) :=
1
π
∫∫
Ω+
ln |ζ − t|
∞∑
k=0
(−1)k+1α
2k+2|ζ − t|2k
22k+1(k!)2
dξ dη,
I(4)α (t) :=
1
π
∫∫
Ω+
ln |ζ − t|
∞∑
k=0
(−1)k+1α
2k+3|ζ − t|2k(ζ − t)
22k+2k!(k + 1)!
dξ dη,
I(5)α (t) := − α
2π
∫∫
Ω+
1
ζ − t
dξ dη.
Нехай {t1; t2} ⊂ Γ, h := |t1 − t2| 6 δ. Тодi
∣∣∣I(1)α (t1)− I(1)α (t2)
∣∣∣ 6
∣∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
Ω+
t1,3h
∞∑
k=0
ak,p
α2k+2
22k+2(k!)2
|ζ − t1|2kdξ dη
∣∣∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
Ω+
t1,3h
∞∑
k=0
ak,p
α2k+2
22k+2(k!)2
|ζ − t2|2kdξ dη
∣∣∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3h
∞∑
k=1
ak,p
α2k+2
22k+2(k!)2
(
|ζ − t1|2k − |ζ − t2|2k
)
dξ dη
∣∣∣∣∣∣∣∣ =:
=: M1 +M2 +M3.
Оцiнка модуля неперервностi межових значень... 103
M1 6
∞∑
k=0
|ak,p|
|α|2k+2
22k+2(k!)2
∫∫
Ω+
t1,3h
|ζ − t1|2kdξ dη 6
6 π
∞∑
k=0
|ak,p|
|α|2k+232k+2
22k+2(k!)2(k + 1)
h2k+2 6 c(α)δ2.
Аналогiчно оцiнюється M2. Для ζ ∈ Ω+ \Ω+
t1,3h
виконується нерiвнiсть
|ζ − t2| 6 4
3 |ζ − t1|. Тому
M3 6
∞∑
k=1
|ak,p|
|α|2k+2
22k+2(k!)2
×
×
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3h
||ζ − t1| − |ζ − t2||
2k−1∑
m=0
|ζ − t1|2k−1−m|ζ − t2|mdξ dη 6
6 h
∞∑
k=1
|ak,p|
22k−2 |α|2k+2
32k+1(k!)2
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3h
|ζ − t1|2k−1dξ dη 6
6 h
∞∑
k=1
|ak,p|
22k−2 |α|2k+2
32k+1(k!)2
2π
2k + 1
d2k+1 6 c(α, d)δ.
Таким чином,
ωΓ
(
I(1)α , δ
)
6 c(α, d)δ. (6)
∣∣∣I(2)α (t1)− I(2)α (t2)
∣∣∣ 6
∣∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
Ω+
t1,3h
∞∑
k=0
bk,pα
2k+3
22k+3k!(k + 1)!
|ζ − t1|2k(ζ − t1)dξ dη
∣∣∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
Ω+
t1,3h
∞∑
k=0
bk,pα
2k+3
22k+3k!(k + 1)!
|ζ − t2|2k(ζ − t2)dξ dη
∣∣∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3h
∞∑
k=1
bk,pα
2k+3
22k+3k!(k + 1)!
×
×
(
|ζ − t1|2k(ζ − t1)− |ζ − t2|2k(ζ − t2)
)
dξ dη
∣∣∣∣∣∣ =: M4 +M5 +M6.
104 О. Ф. Герус
M4 6
∞∑
k=0
|bk,p|
|α|2k+3
22k+3k!(k + 1)!
∫∫
Ω+
t1,3h
|ζ − t1|2k+1dξ dη 6
6 2π
∞∑
k=0
|bk,p|
|α|2k+3(3h)2k+3
22k+3(k!)(k + 1)!(2k + 3)
6 c(α)δ3.
Аналогiчно оцiнюється M5.
M6 6
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3h
∞∑
k=1
|bk,p| |α|2k+3
22k+3k!(k + 1)!
∣∣|ζ − t1|2k − |ζ − t2|2k
∣∣ |ζ − t1|dξ dη+
+
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3h
∞∑
k=1
|bk,p| |α|2k+3
22k+3k!(k + 1)!
|ζ − t2|2k|t2 − t1|dξ dη =: M7 +M8.
Аналогiчно оцiнцi M3, отримуємо M7 6 c(α, d)δ, а також
M8 6h
∞∑
k=1
|bk,p|
22k−3 |α|2k+3
32kk!(k + 1)!
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3h
|ζ − t1|2kdξ dη 6
6h
∞∑
k=1
|bk,p|
22k−3 |α|2k+3
32kk!(k + 1)!
π
k + 1
d2k+2 6 c(α, d)δ.
Тому M6 6 c(α, d)δ i, отже,
ωΓ
(
I(2)α , δ
)
6 c(α, d)δ. (7)
Оцiнка модуля неперервностi межових значень... 105
∣∣∣I(3)α (t1)− I(3)α (t2)
∣∣∣ 6 1
π
∣∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
Ω+
t1,3h
∞∑
k=0
α2k+2
22k+1(k!)2
|ζ − t1|2k ln |ζ − t1|dξ dη
∣∣∣∣∣∣∣∣+
+
1
π
∣∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
Ω+
t1,3h
∞∑
k=0
α2k+2
22k+1(k!)2
|ζ − t2|2k ln |ζ − t2|dξ dη
∣∣∣∣∣∣∣∣+
+
1
π
∣∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3h
∞∑
k=1
α2k+2
22k+1(k!)2
×
×
(
|ζ − t1|2k ln |ζ − t1| − |ζ − t2|2k ln |ζ − t2|
)
dξ dη
∣∣∣∣∣∣ =: M9 +M10 +M11.
При δ < 1
3e
− 1
3 маємо
M9 6 1
π
∞∑
k=0
|α|2k+2
22k+1(k!)2
∫∫
Ω+
t1,3h
|ζ − t1|2k| ln |ζ − t1||dξ dη 6
6
∞∑
k=0
|α|2k+232k+2
22k(k!)2(k + 1)
h2k+2 ln
1
3h
6 c(α)δ2 ln
1
3δ
6 c(α)δ.
Аналогiчно оцiнюється M10.
M11 6
∞∑
k=1
|α|2k+2
22k+1(k!)2
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3h
| ln |ζ − t1|| ||ζ − t1| − |ζ − t2|| ×
×
2k−1∑
m=0
|ζ − t1|2k−1−m|ζ − t2|mdξ dη+
+
∞∑
k=1
|α|2k+2
22k+1(k!)2
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3h
|ζ − t2|2k |ln |ζ − t1| − ln |ζ − t2|| dξ dη 6
106 О. Ф. Герус
6 h
∞∑
k=1
22k−1 |α|2k+2
32k−1(k!)2
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3h
|ζ − t1|2k−1| ln |ζ − t1||dξ dη+
+ h
∞∑
k=1
|α|2k+222k−2
32k−1(k!)2
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3h
|ζ − t1|2k−1dξ dη 6
6 h
∞∑
k=1
22k |α|2k+2
32k−1(k!)2
π
2k + 1
(
1
2k + 1
+ d2k+1(ln d+ 1)
)
6 c(α, d)δ.
Отже,
ωΓ
(
I(3)α , δ
)
6 c(α, d)δ. (8)
Мiркуючи як i при оцiнюваннi модулiв неперервностi iнтегралiв
I
(2)
α , I(3)α , при δ < 1
3e
− 1
3 отримуємо
ωΓ
(
I(4)α , δ
)
6 c(α, d)δ. (9)
2π
α
∣∣∣I(5)α (t1)− I(5)α (t2)
∣∣∣ 6
∣∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
Ω+
t1,3δ
1
ζ − t1
dξ dη
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
Ω+
t1,3δ
1
ζ − t2
dξ dη
∣∣∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣∣∣
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3δ
t2 − t1
(ζ − t1)(ζ − t2)
dξ dη
∣∣∣∣∣∣∣∣ =: M12 +M13 +M14.
M12 6
∫∫
Ω+
t1,3δ
1
|ζ − t1|
dξ dη 6 6πδ,
M13 6
∫∫
Ω+
t1,3δ
1
|ζ − t2|
dξ dη 6 8πδ.
M14 6 |t2 − t1|
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3δ
1
|ζ − t1||ζ − t2|
dξ dη 6
6 3
2
|t2 − t1|
∫∫
Ω+\Ω+
t1,3δ
1
|ζ − t1|2
dξ dη 6 3πδ ln
d
3δ
.
Оцiнка модуля неперервностi межових значень... 107
Тому
ωΓ(I
(5)
α , δ) 6 αδ(7 +
3
2
ln
d
3δ
). (10)
Враховуючи рiвностi (3), (4), з оцiнок (6), (7), (8), (9), (10) та оцiнки
(7) роботи [16] простими мiркуваннями випливає нерiвнiсть (5). Тео-
рема доведена.
Означення 1. Замкнена жорданова спрямлювана крива Γ називає-
ться регулярною або K-регулярною, якщо iснує така додатна стала
K, що для всiх z ∈ Γ i всiх δ > 0 виконується умова θz(δ) 6 Kδ.
Наслiдок 1. Нехай Γ — K-регулярна крива i функцiя f : Γ −→ H(C)
задовольняє умову
d∫
0
ωΓ(f, x)
x
dx < ∞.
Тодi функцiї Φ±
α [f ] неперервно продовжуються вiдповiдно на замика-
ння Ω+, Ω− i для δ ∈
(
0,min
{
1
3e
− 1
3 ; d
3
}]
справедливi оцiнки
ωΓ(Φ
±
α [f ], δ) 6 c(K, d, α)
2d∫
0
ωΓ(f, x)
x
(
1 +
x
δ
)dx+ c(α)δ ln
d
3δ
. (11)
Доведення є дослiвним повторенням доведення наслiдка 1 робо-
ти [16].
Позначимо
Hµ(Γ) := {f : Γ −→ H(C) : ωΓ(f, δ) = O(δµ), δ → 0}.
З попереднього наслiдка очевидним чином випливає наступне твер-
дження, вiдоме як теорема типу Племеля-Привалова (у випадку, коли
Γ — кусково-ляпуновська крива, див. [14]).
Наслiдок 2. Нехай Γ — K-регулярна крива, 0 < µ < 1 i f ∈ Hµ(Γ).
Тодi функцiї Φ±
α [f ] неперервно продовжуються вiдповiдно на замика-
ння Ω+, Ω− i Φ±
α [f ] ∈ Hµ(Γ).
108 О. Ф. Герус
Лiтература
[1] Zygmund A. Sur le module de continuité de la somme de la série conjuguée
de la série de Fourier // Prace Matematyczno-Fizyczne. — 1924. — 33. —
P. 125 – 132.
[2] Магнарадзе Л. Г. Об одном обобщении теоремы Племеля-Привалова //
Сообщ. АН Груз. ССР. — 1947. — 8, № 8. — С. 509 – 516.
[3] Магнарадзе Л. Г. Об одном обобщении теоремы И. И. Привалова и его
применение к некоторым граничным задачам теории функций и к син-
гулярным интегральным уравнениям // ДАН СССР. — 1949. — 68,
№ 4. — С. 657 – 660.
[4] Бабаев А. А. Об особом интеграле с непрерывной плотностью // Уч.
зап. Азерб. ун-та. Серия физ.-мат. и хим. наук. — 1965. — № 5. — С. 11 –
28.
[5] Бабаев А. А., Салаев В. В. Одномерный сингулярный оператор с не-
прерывной плотностью по замкнутой кривой // ДАН СССР. — 1973.
209, № 6. — С. 1257 – 1260.
[6] Салаев В. В. Прямые и обратные оценки для особого интеграла Коши
по замкнутой кривой // Мат. заметки. — 1976. — 19, № 3. — С. 365 – 380.
[7] Тамразов П. М. Об ограниченных голоморфных функциях в компле-
ксной области // 3-й съезд болг. матем. Резюмета на докладите III кон-
грес на Болгарските математици. — Ч. 1. — Варна, 1972. — С. 186 – 187.
[8] Тамразов П. М. Гладкости и полиномиальные приближения. — К.: На-
укова думка, 1975. — 272 с.
[9] Герус О. Ф. Конечноразностные гладкости интегралов типа Коши //
Укр. мат. журн. — 1977. — 29, № 5. — С. 642 – 646.
[10] Герус О. Ф. Некоторые оценки модулей гладкости интегралов типа Ко-
ши // Укр. мат. журн. — 1978. — 30, № 5. — С. 594 — 601.
[11] Герус О. Ф. Оценка модуля непрерывности интеграла типа Коши в
области и на её границе // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 10. —
С. 1321 – 1328.
[12] Салимов Т. С. Прямая оценка для сингулярного интеграла Коши по
замкнутой кривой // Науч. труды МВ и ССО Азерб. ССР. Серия физ.-
мат. наук. — 1979. — № 5. — С. 59 – 75.
[13] Дынькин Е. М. Гладкость интегралов типа Коши // Зап. науч. семин.
ЛОМИ. — 1979. — 92. — С. 115 — 133.
[14] Gerus O., Schneider B., Shapiro M. On boundary properties of α-
hyperholomorphic functions in domains of R2 with the piece-wise Li-
apunov boundary // Progress in Analysis. Proceedings of 3rd International
Оцiнка модуля неперервностi межових значень... 109
ISAAC Congress. Berlin, Germany, 20 – 25 August 2001. — Volume 1. —
Berlin:World Scientific, 2003. — P. 375 – 382.
[15] Gerus O. F., Shapiro M. V. On a Cauchy-type integral related to the
Helmholtz operator in the plane // Boletin de la Sociedad Matemática
Mexicana. — 2004. — 10, № 1. — P. 63 – 82.
[16] Герус О. Ф. Оцiнка модуля неперервностi кватернiонного сингулярного
iнтеграла Кошi // Укр. мат. журн. — 2010. — 62, № 10. — С. 1428 – 1435.
[17] Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. — М.: Физматгиз, 1963. — 1100 с.
[18] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука,
1981. — 512 с.
[19] Rocha-Chávez R., Shapiro M. V., Tovar L. M. On the Hilbert operator for
α-hyperholomorphic function theory in R2 // Complex Variables Theory
Appl. — 2000. — 43, № 1. — P. 1 – 28.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-169 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:25Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/90/28559679338b56f6479e52aa3269c590.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1692018-01-23T12:10:05Z Estimate of the modulus of continuity of boundary values of quaternion Cauchy-type integral Оцінка модуля неперервності межових значень кватерніонного інтеграла типу Коші Gerus, O. F. Герус, О. Ф. It is proved an upper estimate for the modulus of continuity of boundary values of a quaternionic Cauchy-type integral. Доведено верхню оцінку модуля неперервності межових значень кватерніонного інтеграла типу Коші. Інститут математики НАН України 2015-04-23 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/169 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 3 (2015): Analysis and Applications; 97–109 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 3 (2015): Анализ и приложения; 97–109 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 3 (2015): Аналіз та застосування; 97–109 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/169/138 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Gerus, O. F. Герус, О. Ф. Estimate of the modulus of continuity of boundary values of quaternion Cauchy-type integral |
| title | Estimate of the modulus of continuity of boundary values of quaternion Cauchy-type integral |
| title_alt | Оцінка модуля неперервності межових значень кватерніонного інтеграла типу Коші |
| title_full | Estimate of the modulus of continuity of boundary values of quaternion Cauchy-type integral |
| title_fullStr | Estimate of the modulus of continuity of boundary values of quaternion Cauchy-type integral |
| title_full_unstemmed | Estimate of the modulus of continuity of boundary values of quaternion Cauchy-type integral |
| title_short | Estimate of the modulus of continuity of boundary values of quaternion Cauchy-type integral |
| title_sort | estimate of the modulus of continuity of boundary values of quaternion cauchy-type integral |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/169 |
| work_keys_str_mv | AT gerusof estimateofthemodulusofcontinuityofboundaryvaluesofquaternioncauchytypeintegral AT gerusof estimateofthemodulusofcontinuityofboundaryvaluesofquaternioncauchytypeintegral AT gerusof ocínkamodulâneperervnostímežovihznačenʹkvaterníonnogoíntegralatipukoší AT gerusof ocínkamodulâneperervnostímežovihznačenʹkvaterníonnogoíntegralatipukoší |