Approximation by linear methods of classes of $(\psi,\bar\beta)-$differentiable functions.
We calculate the least upper bounds for approximations in the metric of the space $L_2$ by linear methods of summation of Fourier series on classes of periodic functions $L^\psi_{\bar\beta,1}$ defined by sequences of multipliers $\psi=\psi(k)$ and shifts of argument $\bar\beta=\beta_k$
Saved in:
| Date: | 2013 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2013
|
| Online Access: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/183 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Download file: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552704310509568 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. С. Сердюк",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "І. В. Соколенко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T14:44:27Z |
| description | We calculate the least upper bounds for approximations in the metric of the space $L_2$ by linear methods of summation of Fourier series on classes of periodic functions $L^\psi_{\bar\beta,1}$ defined by sequences of multipliers $\psi=\psi(k)$ and shifts of argument $\bar\beta=\beta_k$ |
| first_indexed | 2026-08-04T01:03:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
Çáiðíèê ïðàöü Ií-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè 2013, Ò.10, �1, 245�254
ÓÄÊ 517.5
À.Ñ. Ñåðäþê, I. Â. Ñîêîëåíêî (Ií-ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè,
Êè¨â)
ÍÀÁËÈÆÅÍÍß ËIÍIÉÍÈÌÈ ÌÅÒÎÄÀÌÈ ÊËÀÑIÂ
(ψ, β̄)−ÄÈÔÅÐÅÍÖIÉÎÂÍÈÕ ÔÓÍÊÖIÉ
We calculate the least upper bounds for approximations in the metric of the
space L2 by linear methods of summation of Fourier series on classes of
periodic functions Lψ
β̄,1
de�ned by sequences of multipliers ψ = ψ(k) and shifts
of argument β̄ = βk.
Îá÷èñëåíî òî÷íi âåðõíi ìåæi íàáëèæåíü â ìåòðèöi ïðîñòîðó L2 ëiíié-
íèìè ìåòîäàìè ïiäñóìîâóâàííÿ ðÿäiâ Ôóð'¹ êëàñiâ ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié
Lψ
β̄,1
, ÿêi çàäàþòüñÿ ïîñëiäîâíîñòÿìè ìóëüòèïëiêàòîðiâ ψ = ψ(k) òà
çñóâiâ àðãóìåíòó β̄ = βk.
Íåõàé C i Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, � ïðîñòîðè 2π-ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié
çi ñòàíäàðòíèìè íîðìàìè ‖ ·‖C i ‖ · ‖Lp . Îäèíè÷íó êóëþ â ïðîñòîði
Lp ïîçíà÷àòèìåìî ÷åðåç Bp, òîáòî
Bp = {ϕ ∈ Lp : ‖ϕ‖Lp ≤ 1}, 1 ≤ p ≤ ∞.
Íåõàé äàëi ψ = ψ(k) i β̄ = βk, k = 1, 2, . . . , � äîâiëüíi ïîñëiäîâ-
íîñòi äiéñíèõ ÷èñåë òàêi, ùî ðÿä
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βkπ
2
)
¹ ðÿäîì Ôóð'¹ äåÿêî¨ ôóíêöi¨ Ψβ̄ ∈ L1. Òîäi ÷åðåç Lψ
β̄,p
, 1≤p≤∞, ïî-
çíà÷èìî ìíîæèíó âñiõ 2π-ïåðiîäè÷íèõ ôóíêöié f , ÿêi ìàéæå ñêðiçü
çîáðàæóþòüñÿ çà äîïîìîãîþ çãîðòêè
f(x)=
a0
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x−t)Ψβ̄(t)dt=
a0
2
+
(
ϕ ∗Ψβ̄
)
(x), a0 ∈ R, ϕ ∈ B0
p , (1)
äå B0
p = {ϕ ∈ Bp : ϕ ⊥ 1}.
c© À.Ñ. Ñåðäþê, I. Â. Ñîêîëåíêî, 2013
246 À.Ñ. Ñåðäþê, I. Â. Ñîêîëåíêî
Ôóíêöiþ ϕ â çîáðàæåííi (1) íàçèâàþòü (ψ, β̄)-ïîõiäíîþ ôóíêöi¨ f i
ïîçíà÷àþòü fψ
β̄
(x). Ïîíÿòòÿ (ψ, β̄)-ïîõiäíî¨ ââåäåíî Î.I. Ñòåïàíöåì
(äèâ., íàïðèêëàä, [1, c. 142]). ßêùî ϕ ∈ B0
1 , a Ψβ̄ ∈ Lp, òî ç íåðiâ-
íîñòi Þíãà äëÿ çãîðòîê (äèâ. [1, c. 293]):
‖y∗z‖Lp ≤
1
π
‖y‖Ls‖z‖Lq , 1 ≤ s ≤ p ≤ ∞,
1
q
= 1− 1
s
+
1
p
, y ∈ Ls, z ∈ Lq,
âèïëèâà¹, ùî Lψ
β̄,1
⊂ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞. Ïðè p = 2 âêëþ÷åííÿ Ψβ̄ ∈ L2
åêâiâàëåíòíå âèêîíàííþ óìîâè
∞∑
k=1
ψ2(k) <∞. (2)
Ðîçãëÿíåìî ïîñëiäîâíîñòi ôóíêöié λk(δ) i µk(δ), ÿêi çàäàíi íà äå-
ÿêié ìíîæèíi E ⊂ R ç ãðàíè÷íîþ òî÷êîþ δ0 i çàäîâîëüíÿþòü óìîâè
λ0(δ) = 1, µ0(δ) = 0 ∀δ ∈ E,
lim
δ→δ0
λk(δ) = 1, lim
δ→δ0
µk(δ) = 0 k = 1, 2, . . . .
(3)
Ïðè äîâiëüíîìó ôiêñîâàíîìó δ ∈ E îçíà÷èìî ëiíiéíèé îïåðàòîð
Uδ = Uδ(λ;µ), ÿêèé êîæíié ôóíêöi¨ f ∈ Lψ
β̄,1
ñòàâèòü ó âiäïîâiäíiñòü
ôóíêöiþ
Uδ(λ;µ; f ;x) =
a0
2
+
∞∑
k=1
(λk(δ)(ak cos kx+ bk sin kx)+
+µk(δ)(−bk cos kx+ ak sin kx)),
äå ak, bk � êîåôiöi¹íòè Ôóð'¹ ôóíêöi¨ f .
Ó äàíié ðîáîòi ðîçãëÿäà¹òüñÿ çàäà÷à ïðî çíàõîäæåííÿ òî÷íèõ
çíà÷åíü âåëè÷èí
Eδ(Lψβ̄,1;λ;µ)L2 = sup
f∈Lψ
β̄,1
‖f(x)− Uδ(λ;µ; f ;x)‖L2 . (4)
Ì๠ìiñöå íàñòóïíå òâåðäæåííÿ.
Íàáëèæåííÿ ëiíiéíèìè ìåòîäàìè êëàñiâ . . . 247
Òåîðåìà 1. Íåõàé ïîñëiäîâíiñòü ψ = ψ(k) çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó
(2), à ïîñëiäîâíîñòi ôóíêöié λk(δ) i µk(δ) � óìîâè (3). Òîäi äëÿ
äîâiëüíî¨ ïîñëiäîâíîñòi äiéñíèõ ÷èñåë β̄ = βk i äîâiëüíîãî δ ∈ E ⊂ R
Eδ(Lψβ̄,1;λ;µ)L2 =
1√
π
( ∞∑
k=1
(
(1− λk(δ))2 + µ2
k(δ)
)
ψ2(k)
)1/2
.
Äîâåäåííÿ. Îñêiëüêè çãiäíî ç (1) äëÿ áóäü-ÿêî¨ f ∈ Lψ
β̄,1
ak cos kx+ bk sin kx =
1
π
π∫
−π
ψ(k) cos
(
k(x− t)− βkπ
2
)
fψ
β̄
(t)dt,
−bk cos kx+ ak sin kx =
1
π
π∫
−π
ψ(k) sin
(
k(x− t)− βkπ
2
)
fψ
β̄
(t)dt,
òî ìàéæå ñêðiçü âèêîíó¹òüñÿ ðiâíiñòü
Uδ(λ;µ; f ;x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
fψ
β̄
(x− t)Uδ(λ;µ; t)dt, (5)
â ÿêié Uδ(λ;µ; t) � ôóíêöiÿ, ðÿä Ôóð'¹ ÿêî¨ ìîæíà ïðåäñòàâèòè ó
âèãëÿäi
∞∑
k=1
ψ(k)
(
λk(δ) cos
(
kt−βkπ
2
)
+µk(δ) sin
(
kt−βkπ
2
))
.
Ç ðiâíîñòåé (1) i (5) îäåðæó¹ìî
Eδ(Lψβ̄,1;λ;µ)L2 = sup
ϕ∈B0
1
∥∥∥∥∥ 1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)
(
Ψβ̄(t)− Uδ(λ;µ; t)
)
dt
∥∥∥∥∥
L2
.
Îñêiëüêè ôóíêöiÿ Ψβ̄(t)− Uδ(λ;µ; t) îðòîãîíàëüíà äî áóäü-ÿêî¨ ñòà-
ëî¨, òî
Eδ(Lψβ̄,1;λ;µ)L2 = sup
ϕ∈B1
∥∥∥∥∥ 1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)
(
Ψβ̄(t)− Uδ(λ;µ; t)
)
dt
∥∥∥∥∥
L2
.
248 À.Ñ. Ñåðäþê, I. Â. Ñîêîëåíêî
ßê âiäîìî (äèâ., íàïðèêëàä, [2, íàñëiäîê Ä 1.2., c. 392]), ÿêùî
u ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, òî
‖u‖Lp = sup
g∈Bp′
π∫
−π
g(t)u(t)dt,
1
p
+
1
p′
= 1. (6)
Âðàõîâóþ÷è ñïiââiäíîøåííÿ (6), iíâàðiàíòíiñòü ìíîæèíè B2 âiä-
íîñíî çñóâó àðãóìåíòó òà ðiâíiñòü Ïàðñåâàëÿ, ìà¹ìî
Eδ(Lψβ̄,1;λ;µ)L2 =
=
1
π
sup
ϕ∈B1
sup
g∈B2
π∫
−π
g(x)
π∫
−π
ϕ(t)
(
Ψβ̄(x− t)− Uδ(λ;µ;x− t)
)
dtdx =
=
1
π
sup
g∈B2
sup
ϕ∈B1
π∫
−π
ϕ(t)
π∫
−π
g(x+ t)
(
Ψβ̄(x)− Uδ(λ;µ;x)
)
dxdt =
=
1
π
sup
g∈B2
∥∥∥∥∥
π∫
−π
g(x+ t)
(
Ψβ̄(x)− Uδ(λ;µ;x)
)
dx
∥∥∥∥∥
L∞
=
=
1
π
sup
g∈B2
π∫
−π
g(x)
(
Ψβ̄(x)− Uδ(λ;µ;x)
)
dx =
1
π
∥∥Ψβ̄ − Uδ(λ;µ)
∥∥
L2
=
=
1
π
∥∥∥∥ ∞∑
k=1
ψ(k)
(
(1−λk(δ)) cos
(
kx−βkπ
2
)
+µk(δ) sin
(
kx−βkπ
2
))∥∥∥∥
L2
=
=
1√
π
( ∞∑
k=1
(
(1− λk(δ))2 + µ2
k(δ)
)
ψ2(k)
)1/2
.
Òåîðåìó äîâåäåíî.
Çàóâàæåííÿ 1. Ç òåîðåìè 1 äàíî¨ ðîáîòè i òåîðåìè 1 ç ðîáîòè
[3] âèïëèâà¹, ùî
Eδ(Lψβ̄,1;λ;µ)L2 = Eδ(Cψβ̄,2;λ;µ)C ,
Íàáëèæåííÿ ëiíiéíèìè ìåòîäàìè êëàñiâ . . . 249
äå Eδ(Cψβ̄,2;λ;µ)C = sup
f∈Cψ
β̄,2
‖f(x)− Uδ(λ;µ; f ;x)‖C , à Cψβ̄,2 = C ∩ Lψ
β̄,2
.
Òàêèì ÷èíîì, ìàþòü ìiñöå âñi òâåðäæåííÿ ïî íàáëèæåííþ êëàñiâ
Lψ
β̄,1
â ìåòðèöi ïðîñòîðó L2, ÿêi ¹ àíàëîãi÷íèìè äî òâåðäæåíü, ùî
ñòîñóþòüñÿ ðiâíîìiðíèõ íàáëèæåíü êëàñiâ Cψ
β̄,2
, îòðèìàíèõ ó [3]. Íà-
âåäåìî äåÿêi ç íèõ.
Ðîçãëÿíåìî ëiíiéíi ïîëiíîìiàëüíi ìåòîäè íàáëèæåííÿ ôóíêöié
ç êëàñiâ Lψ
β̄,1
. Íåõàé Λ = ‖λ(n)
k ‖ i M = ‖µ(n)
k ‖, n = 0, 1, . . . ,
k = 0, 1, . . . , � íåñêií÷åííi òðèêóòíi ìàòðèöi ÷èñåë òàêi, ùî:
λ
(n)
0 = 1, µ
(n)
0 = 0, n = 0, 1, 2, . . . ,
λ
(n)
k = 0, µ
(n)
k = 0, k = n+ 1, n+ 2, . . . ,
lim
n→∞
λ
(n)
k = 1, lim
n→∞
µ
(n)
k = 0, k = 1, 2, . . . ,
(7)
i ëiíiéíèé îïåðàòîð Un = Un(Λ; M) êîæíié ôóíêöi¨ f ∈ L1 ñòàâèòü ó
âiäïîâiäíiñòü òðèãîíîìåòðè÷íèé ïîëiíîì
Un(Λ; M; f ;x) =
a0
2
+
n∑
k=1
(λ(n)
k (ak cos kx+ bk sin kx)+
+µ(n)
k (−bk cos kx+ ak sin kx)), (8)
äå ak i bk � êîåôiöi¹íòè Ôóð'¹ ôóíêöi¨ f.
Äëÿ ìåòîäiâ Un òåîðåìà 1 ôîðìóëþ¹òüñÿ òàêèì ÷èíîì.
Òåîðåìà 1′. Íåõàé ïîñëiäîâíiñòü ψ(k) çàäîâîëüíÿ¹ óìîâó (2), à
Λ = ‖λ(n)
k ‖ i M = ‖µ(n)
k ‖ � óìîâè (7). Òîäi äëÿ äîâiëüíî¨ ïîñëiäîâ-
íîñòi äiéñíèõ ÷èñåë β̄ = βk i äîâiëüíîãî n ∈ N
En(Lψβ̄,1; Λ;M)L2 = sup
f∈Lψ
β̄,1
‖f(x)− Un(Λ; M; f ;x)‖L2 =
=
1√
π
(
n∑
k=1
(
(1− λ
(n)
k )2 + (µ(n)
k )2
)
ψ2(k) +
∞∑
k=n+1
ψ2(k)
)1/2
. (9)
250 À.Ñ. Ñåðäþê, I. Â. Ñîêîëåíêî
Ç òåîðåìè 1′ äëÿ äåÿêèõ êëàñè÷íèõ ëiíiéíèõ ìåòîäiâ íàáëèæåííÿ
âèïëèâàþòü òàêi íàñëiäêè.
ßêùî
λ
(n)
k =
{
1, 0 ≤ k ≤ n,
0, k > n,
i µ
(n)
k ≡ 0,
òî òðèãîíîìåòðè÷íèé ïîëiíîì Un(Λ; M; f ;x) ¹ ÷àñòèííîþ ñóìîþ
Ôóð'¹ Sn(f ;x) ôóíêöi¨ f ïîðÿäêó n. Â öüîìó âèïàäêó
En(Lψβ̄,1; Λ;M)L2 = E(Lψ
β̄,1
;Sn)L2 =
1√
π
( ∞∑
k=n+1
ψ2(k)
)1/2
. (10)
Äëÿ êëàñiâ Lψ
β̄,1
ïðè ψ(k) = qk, 0 < q < 1, ç (10) îäåðæó¹ìî
E(Lψ
β̄,1
;Sn)L2 =
qn+1√
π(1− q2)
. (11)
Ïðè βk ≡ β, β ∈ R, ðiâíiñòü (11) óòî÷íþ¹ àñèìïòîòè÷íó ðiâíiñòü
(12) ç [4] ó òîìó ñåíñi, ùî çàçíà÷åíà ðiâíiñòü (12) ç [4] ïðè p = 2
çàëèøèòüñÿ âiðíîþ, ÿêùî â íié âèëó÷èòè çàëèøêîâèé ÷ëåí.
Ç (9) i (10) âèïëèâà¹, ùî íàéêðàùèì ëiíiéíèì ìåòîäîì íàáëèæåí-
íÿ âèãëÿäó (8) êëàñiâ Lψ
β̄,1
ó ìåòðèöi ïðîñòîðó L2 ¹ ìåòîä Ôóð'¹. Öåé
ôàêò ìîæíà îòðèìàòè ç iíøèõ ìiðêóâàíü. Íåõàé f ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞,
i
En(f)Lp = inf
Tn
‖f − Tn‖Lp
� íàéêðàùå íàáëèæåííÿ ôóíêöi¨ f â ìåòðèöi ïðîñòîðó Lp òðèãîíî-
ìåòðè÷íèìè ïîëiíîìàìè ïîðÿäêó íå âèùîãî íiæ n.
Íåõàé äàëi N ⊂ Lp i Un � ëiíiéíèé îïåðàòîð âèãëÿäó (8). Òîäi
âåëè÷èíó
En(N)Lp = inf
Un
sup
f∈N
‖f − Un(f)‖Lp (12)
íàçèâàþòü íàéêðàùèì ëiíiéíèì íàáëèæåííÿì êëàñó N çà äîïîìîãîþ
ëiíiéíèõ îïåðàòîðiâ âèãëÿäó (8) ó ìåòðèöi ïðîñòîðó Lp, à îïåðàòîð
U∗n, ÿêèé ðåàëiçó¹ inf ó ïðàâié ÷àñòèíi (12), íàçèâà¹òüñÿ íàéêðàùèì
ëiíiéíèì îïåðàòîðîì íàáëèæåííÿ êëàñó N.
Âèêîíó¹òüñÿ íàñòóïíå òâåðäæåííÿ.
Íàáëèæåííÿ ëiíiéíèìè ìåòîäàìè êëàñiâ . . . 251
Òåîðåìà 2. Íåõàé 1 ≤ p ≤ ∞, à ïîñëiäîâíîñòi ψ = ψ(k) i β̄ = βk
òàêi, ùî ψ(k) 6= 0 ∀k ∈ N i Ψβ̄ ∈ Lp. Òîäi äëÿ äîâiëüíîãî n ∈ N
En(Lψβ̄,1)Lp =
1
π
En(Ψβ̄)Lp . (13)
Äîâåäåííÿ. Íåâàæêî ïåðåêîíàòèñÿ, ùî ÿêùî ψ(k)6=0 äëÿ ∀k∈N,
òî äëÿ áóäü-ÿêî¨ f ∈ Lψ
β̄,1
i äîâiëüíîãî òðèãîíîìåòðè÷íîãî ïîëiíî-
ìà ç íóëüîâèì ñåðåäíiì çíà÷åííÿì T 0
n(t) =
n∑
k=1
(αk cos kt + γk sin kt),
αk, γk ∈ R, çãîðòêà
a0
2
+
π∫
−π
fψ
β̄
(x− t)T 0
n(t)dt (14)
çîáðàæó¹òüñÿ ó âèãëÿäi ïîëiíîìà Un(Λ; M; f ;x), îçíà÷åíîãî â (8), ïðè
λ
(n)
k =
αk
ψ(k)
cos
βkπ
2
+
γk
ψ(k)
sin
βkπ
2
,
µ
(n)
k =
γk
ψ(k)
cos
βkπ
2
− αk
ψ(k)
sin
βkπ
2
;
i íàâïàêè, äîâiëüíèé òðèãîíîìåòðè÷íèé ïîëiíîì Un(Λ; M; f ;x)
âèãëÿäó (8) çîáðàæó¹òüñÿ ó âèãëÿäi çãîðòêè (14) ç ïîëiíîìîì T 0
n(t),
êîåôiöi¹íòè ÿêîãî ìàþòü âèãëÿä
αk = ψ(k)
(
λ
(n)
k cos
βkπ
2
− µ
(n)
k sin
βkπ
2
)
,
γk = ψ(k)
(
λ
(n)
k sin
βkπ
2
+ µ
(n)
k cos
βkπ
2
)
.
Òîìó, ç óðàõóâàííÿì (1), (8) i (12), ìà¹ìî
En(Lψβ̄,1)Lp = inf
Un
sup
f∈Lψ
β̄,1
‖f − Un(f)‖Lp =
252 À.Ñ. Ñåðäþê, I. Â. Ñîêîëåíêî
= inf
T 0
n
sup
f∈Lψ
β̄,1
∥∥∥∥∥∥ 1
π
π∫
−π
fψ
β̄
(x− t)
(
Ψβ̄(t)− T 0
n(t)
)
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
=
= inf
T 0
n
sup
ϕ∈B0
1
∥∥∥∥∥∥ 1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)
(
Ψβ̄(t)− T 0
n(t)
)
dt
∥∥∥∥∥∥
Lp
.
Âðàõîâóþ÷è, ùî (Ψβ̄ −T 0
n) ⊥ 1, ñïiââiäíîøåííÿ (6) òà iíâàðiàíòíiñòü
Bp′ âiäíîñíî çñóâó àðãóìåíòà, îäåðæó¹ìî
En(Lψβ̄,1)Lp =
=
1
π
inf
T 0
n
sup
ϕ∈B1
sup
g∈Bp′
π∫
−π
g(x)
π∫
−π
ϕ(t)
(
Ψβ̄(x− t)− T 0
n(x− t)
)
dtdx =
=
1
π
inf
T 0
n
sup
g∈Bp′
sup
ϕ∈B1
π∫
−π
ϕ(t)
π∫
−π
g(x)
(
Ψβ̄(x− t)− T 0
n(x− t)
)
dxdt =
=
1
π
inf
T 0
n
sup
g∈Bp′
∥∥∥∥
π∫
−π
g(x+ t)
(
Ψβ̄(x)− T 0
n(x)
)
dx
∥∥∥∥
L∞
=
=
1
π
inf
T 0
n
sup
g∈Bp′
π∫
−π
g(x)
(
Ψβ̄(x)− T 0
n(x)
)
dx.
ßê âiäîìî ç [2, c. 27], äëÿ äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨ u ∈ Lp, 1 ≤ p ≤ ∞,
ì๠ìiñöå ñïiââiäíîøåííÿ äâî¨ñòîñòi:
inf
α∈R
‖u− α‖Lp = sup
g∈B0
p′
π∫
−π
g(t)u(t)dt,
1
p
+
1
p′
= 1. (15)
Îñêiëüêè (Ψβ̄ − T 0
n) ⊥ 1, òî â ñèëó (15)
En(Lψβ̄,1)Lp =
1
π
inf
T 0
n
sup
g∈B0
p′
π∫
−π
g(x)
(
Ψβ̄(x)− T 0
n(x)
)
dx =
Íàáëèæåííÿ ëiíiéíèìè ìåòîäàìè êëàñiâ . . . 253
=
1
π
inf
T 0
n
inf
α∈R
‖Ψβ̄(t)− T 0
n(t)− α‖Lp =
1
π
En(Ψβ̄)Lp .
Òåîðåìó 2 äîâåäåíî.
Ç ìiðêóâàíü, âèêîðèñòàíèõ ïðè äîâåäåííi òåîðåìè 2, âèïëèâ๠òà-
êîæ, ùî ïðè ψ(k) 6= 0 äëÿ ∀k ∈ N, äëÿ êëàñó Lψ
β̄,1
ñåðåä óñiõ ëiíiéíèõ
ìåòîäiâ íàáëèæåííÿ Un âèãëÿäó (8) ó ìåòðèöi ïðîñòîðó Lp íàéêðà-
ùèì ¹ ìåòîä U∗n(Λ; M; f ;x), ùî ïîðîäæåíèé ñèñòåìîþ ÷èñåë
λ
(n)
k =
α∗k
ψ(k)
cos
βkπ
2
+
γ∗k
ψ(k)
sin
βkπ
2
,
µ
(n)
k =
γ∗k
ψ(k)
cos
βkπ
2
− α∗k
ψ(k)
sin
βkπ
2
,
äå α∗k i γ
∗
k � êîåôiöi¹íòè ïîëiíîìà íàéêðàùîãî íàáëèæåííÿ òâiðíîãî
ÿäðà Ψβ̄ ó ìåòðèöi ïðîñòîðó Lp. Îñêiëüêè En(Ψβ̄)2 = ‖Ψβ̄−Sn(Ψβ̄)‖2,
òî íàéêðàùèì ëiíiéíèì ìåòîäîì íàáëèæåííÿ U∗n êëàñiâ Lψ
β̄,1
ó ìåò-
ðèöi ïðîñòîðó L2 ¹ ìåòîä Ôóð'¹.
Íàâåäåìî íàñëiäîê ç òåîðåìè 1′ äëÿ ìåòîäó Âàëëå Ïóññåíà. Íåõàé
n = 0, 1, 2, . . . , 0 ≤ m ≤ n, m ∈ N, i
λ
(n)
k =
1, 0 ≤ k ≤ n−m,
1− k−n+m
m+1 , n−m < k ≤ n,
0, k > n,
µ
(n)
k ≡ 0.
Òîäi ïîëiíîì Un(Λ; M; f ;x) âèãëÿäó (8) ¹ ñóìîþ Âàëëå Ïóññåíà
Vn,m(f ;x) ôóíêöi¨ f i çãiäíî ç (9)
E(Lψ
β̄,1
; Λ;M)L2 = E(Lψ
β̄,1
;Vn,m)L2 =
=
1√
π
(
1
(m+1)2
n∑
k=n−m+1
(k−n+m)2ψ2(k) +
∞∑
k=n+1
ψ2(k)
)1/2
, (16)
 [5, ñ. 1680] äîâåäåíî, ùî ïðè 0 < q < 1
1
(m+ 1)2
n∑
k=n−m+1
(k−n+m)2q2k +
∞∑
k=n+1
q2k =
254 À.Ñ. Ñåðäþê, I. Â. Ñîêîëåíêî
=
q2(n−m+1)(1 + q2 − q2(m+1)(2m+ 3− q2(2m+ 1)))
(m+ 1)2(1− q2)3
. (17)
Ç (16) i (17) äëÿ êëàñiâ Lψ
β̄,1
ïðè ψ(k) = qk, 0 < q < 1, îòðèìó¹ìî
ðiâíiñòü
E(Lψ
β̄,1
;Vn,m)L2 =
=
qn−m+1
√
π(m+ 1)
√
1 + q2 − q2(m+1)(2m+ 3− q2(2m+ 1))
(1− q2)3
. (18)
Ïðè βk ≡ β, β ∈ R, ðiâíiñòü (18) óòî÷íþ¹ àñèìïòîòè÷íó ðiâíiñòü
(71), îòðèìàíó â [5]. À ñàìå, çàçíà÷åíà ðiâíiñòü (71) ç [5] çàëèøà¹òüñÿ
âiðíîþ, ÿêùî â íié âèëó÷èòè çàëèøêîâèé ÷ëåí.
1. Ñòåïàíåö À.È. Ìåòîäû òåîðèè ïðèáëèæåíèé: Â 2 ÷. � Êèåâ: Èí-ò ìàòå-
ìàòèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, 2002. � ×. 1. � 427 c.
2. Êîðíåé÷óê Í.Ï. Òî÷íûå êîíñòàíòû â òåîðèè ïðèáëèæåíèÿ. � Ì.: Íàóêà,
1987. � 423 ñ.
3. Ñåðäþê À.Ñ., Ñîêîëåíêî I.Â. Ðiâíîìiðíi íàáëèæåííÿ êëàñiâ (ψ, β̄)-
äèôåðåíöiéîâíèõ ôóíêöié ëiíiéíèìè ìåòîäàìè // Ïðîáëåìè òåîði¨ íàá-
ëèæåííÿ ôóíêöié òà ñóìiæíi ïèòàííÿ: Çá. ïðàöü Iíñòèòóòó ìàòåìàòèêè
ÍÀÍ Óêðà¨íè. � 2011. � 8, �1.� Ñ. 181 � 189.
4. Ñåðäþê À.Ñ. Íàáëèæåííÿ êëàñiâ àíàëiòè÷íèõ ôóíêöié ñóìàìè Ôóð'¹ â
ìåòðèöi ïðîñòîðó Lp // Óêð. ìàò. æóðí. � 2005. � 57, � 10. � C. 1395 �
1408.
5. Ñåðäþê À.Ñ. Ïðèáëèæåíèå èíòåãðàëîâ Ïóàññîíà ñóììàìè Âàëëå Ïóññåíà
â ðàâíîìåðíîé è èíòåãðàëüíîé ìåòðèêàõ // Óêð. ìàò. æóðí. � 2010. � 62,
� 12. � C. 1672 � 1686.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-183 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:03:40Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/0c/3b4a074ed65f9ec3e2b167e87672eb0c.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-1832018-01-29T14:44:27Z Approximation by linear methods of classes of $(\psi,\bar\beta)-$differentiable functions. Наближення лінійними методами класів $(\psi,\bar\beta)-$диференційовних функцій Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. We calculate the least upper bounds for approximations in the metric of the space $L_2$ by linear methods of summation of Fourier series on classes of periodic functions $L^\psi_{\bar\beta,1}$ defined by sequences of multipliers $\psi=\psi(k)$ and shifts of argument $\bar\beta=\beta_k$ Обчислено точні верхні межі наближень в метриці простору $L_2$ лінійними методами підсумовування рядів Фур'є класів періодичних функцій $L^\psi_{\bar\beta,1}$, які задаються послідовностями мультиплікаторів $\psi=\psi(k)$ та зсувів аргументу $\bar\beta=\beta_k$ Інститут математики НАН України 2013-07-15 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/183 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 10 No. 1 (2013): Approximation Theory of Functions and Related Problems; 245-254 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 245-254 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 10 № 1 (2013): Tеорiя наближення функцiй та сумiжнi питання; 245-254 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/183/149 Авторське право (c) 2013 Інститут математики НАН України |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. Approximation by linear methods of classes of $(\psi,\bar\beta)-$differentiable functions. |
| title | Approximation by linear methods of classes of $(\psi,\bar\beta)-$differentiable functions. |
| title_alt | Наближення лінійними методами класів $(\psi,\bar\beta)-$диференційовних функцій |
| title_full | Approximation by linear methods of classes of $(\psi,\bar\beta)-$differentiable functions. |
| title_fullStr | Approximation by linear methods of classes of $(\psi,\bar\beta)-$differentiable functions. |
| title_full_unstemmed | Approximation by linear methods of classes of $(\psi,\bar\beta)-$differentiable functions. |
| title_short | Approximation by linear methods of classes of $(\psi,\bar\beta)-$differentiable functions. |
| title_sort | approximation by linear methods of classes of $(\psi,\bar\beta)-$differentiable functions. |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/183 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas approximationbylinearmethodsofclassesofpsibarbetadifferentiablefunctions AT sokolenkoiv approximationbylinearmethodsofclassesofpsibarbetadifferentiablefunctions AT serdûkas approximationbylinearmethodsofclassesofpsibarbetadifferentiablefunctions AT sokolenkoív approximationbylinearmethodsofclassesofpsibarbetadifferentiablefunctions AT serdyukas nabližennâlíníjnimimetodamiklasívpsibarbetadiferencíjovnihfunkcíj AT sokolenkoiv nabližennâlíníjnimimetodamiklasívpsibarbetadiferencíjovnihfunkcíj AT serdûkas nabližennâlíníjnimimetodamiklasívpsibarbetadiferencíjovnihfunkcíj AT sokolenkoív nabližennâlíníjnimimetodamiklasívpsibarbetadiferencíjovnihfunkcíj |