Elliptic B. Lawruk boundary value problems in the extended Sobolev scale
In the extended Sobolev scale, we investigate a class of elliptic problems with additional unknown functions in boundary conditions, which is introduced by B.~Lawruk. This scale consists of all Hilbert spaces that are interpolation spaces for pairs of Sobolev inner-product spaces and, moreover, admi...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/204 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552727760863232 |
|---|---|
| author | Chepurukhina, I. S. Чепурухіна, І. С. |
| author_facet | Chepurukhina, I. S. Чепурухіна, І. С. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. С. Чепурухіна",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Chepurukhina, I. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T10:33:50Z |
| description | In the extended Sobolev scale, we investigate a class of elliptic problems with additional unknown functions in boundary conditions, which is introduced by B.~Lawruk. This scale consists of all Hilbert spaces that are interpolation spaces for pairs of Sobolev inner-product spaces and, moreover, admits a constructive description in terms of H\"ormander spaces. We prove a theorem on the Fredholm property of the bounded operators corresponding to these problems on the extended Sobolev scale and a theorem on local regularity of their solutions in H\"ormander spaces. We find sufficient conditions under which the generalized derivatives (of a given order) of the solutions are continuous. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2015, т. 12, № 2, 338–374
УДК 517.956.223
I. С. Чепурухiна
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Елiптичнi крайовi задачi за
Б. Лавруком у розширенiй
соболєвськiй шкалi
Chepuruhina@mail.ru
In the extended Sobolev scale, we investigate a class of elliptic
problems with additional unknown functions in boundary conditions,
which is introduced by B. Lawruk. This scale consists of all Hilbert
spaces that are interpolation spaces for pairs of Sobolev inner-product
spaces and, moreover, admits a constructive description in terms of
Hörmander spaces. We prove a theorem on the Fredholm property
of the bounded operators corresponding to these problems on the
extended Sobolev scale and a theorem on local regularity of their
solutions in Hörmander spaces. We find sufficient conditions under
which the generalized derivatives (of a given order) of the solutions
are continuous.
У розширенiй соболєвськiй шкалi дослiджено клас елiптичних за-
дач з додатковими невiдомими функцiями у крайових умовах,
введений Б. Лавруком. Ця шкала складається з усiх гiльберто-
вих просторiв, iнтерполяцiйних для пар гiльбертових просторiв
Соболєва, i припускає конструктивний опис у термiнах просторiв
Хермандера. Доведено теорему про нетеровiсть обмежених опера-
торiв, вiдповiдних цим задачам у розширенiй соболєвськiй шкалi,
i теорему про локальну регулярнiсть їх розв’язкiв у просторах
Хермандера. Знайдено достатнi умови неперервностi узагальне-
них похiдних (заданого порядку) розв’язкiв.
c© I. С. Чепурухiна, 2015
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 339
1. Вступ
У 1963 роцi польським математиком Б. Лавруком [1–3] був вве-
дений важливий клас елiптичних крайових задач з додаткови-
ми невiдомими функцiями у крайових умовах. Цей клас приро-
дно виникає при переходi вiд загальної (нерегулярної) елiптичної
крайової до формально спряженої задачi i є замкненим вiдносно
такого переходу. Як з’ясувалося, до цього класу належать рiзнi
крайовi задачi, якi виникають у теорiї пружностi i гiдродинамi-
цi [4–6].
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком були дослiдженi у
соболєвських просторах В. О. Козловим, В. Г. Маз’єю i Й. Рос-
сманом [7, розд. 3] переважно для одного елiптичного рiвняння
та I. Я. Ройтберг [8,9] для елiптичних систем мiшаного порядку.
(Результати I. Я. Ройтберг викладено у монографiї Я. А. Ройт-
берга [10, розд. 2]). Було доведено теореми про нетеровiсть обме-
жених операторiв, що вiдповiдають цим задачам, i породженi
ними iзоморфiзми, теореми про апрiорнi оцiнки розв’язкiв задач
i пiдвищення регулярностi розв’язкiв. Вiдмiтимо, що з точки зо-
ру застосувань є найбiльш цiкавим саме випадок гiльбертових
просторiв, розглянутий у монографiї [7].
Мета цiєї роботи — встановити теореми про характер роз’вя-
зностi елiптичних крайових задач за Б. Лавруком i властивостi
їх розв’язкiв в розширенiй соболєвськiй шкалi, яка складається з
усiх гiльбертових просторiв, iнтерполяцiйних для пар гiльберто-
вих просторiв Соболєва. З теореми В. I. Овчинникова [11, п. 11.4]
випливає, що ця шкала утворена просторами Хермандера [12,13]
Hα(Rn) := B2,α(〈·〉) :=
{
w ∈ S ′(Rn) : α(〈ξ〉)ŵ(ξ) ∈ L2(Rn, dξ)
}
,
де α є довiльна додатна функцiя, RO-змiнна на нескiнченностi
за В. Г. Авакумовичем [14,15]. Тут ŵ — перетворення Фур’є по-
вiльно зростаючого розподiлу w, а 〈ξ〉 := (1 + |ξ|2)1/2.
Розширена соболєвська шкала була видiлена i дослiджена
В. А. Михайлецем i О. О. Мурачем [16–19]. Вона отримується з
340 I. С. Чепурухiна
гiльбертової соболєвської шкали методом iнтерполяцiї з функцiо-
нальним параметром пар просторiв i припускає коректне означе-
ння на гладких компактних многовидах за допомогою локальних
карт. Оскiльки при iнтерполяцiї просторiв успадковується обме-
женiсть лiнiйних операторiв та їх нетеровiсть (при незмiнному
дефектi), то цей метод є дуже корисним у теорiї елiптичних рiв-
нянь. Так, у роботах В. А. Михайлеця, О. О. Мурача i А. В. Аноп
[20–28] на основi методу iнтерполяцiї з функцiональним пара-
метром гiльбертових просторiв була побудована теорiя розв’я-
зностi елiптичних крайових задач у рiзних шкалах гiльбертових
просторiв Хермандера. Втiм, клас елiптичних крайових задач з
додатковими невiдомими функцiями у крайових умовах не був
охоплений цiєю теорiєю.
В останнiй час у роботах О. О. Мурача та I. С. Чепурухiної
[29–31] цей клас було дослiджено в уточненiй соболєвськiй шкалi.
Вона є вужчою за розширену соболєвську шкалу i складається з
просторiв Хермандера Hα, де функцiя α є правильно змiнною на
нескiнченностi за Й. Караматою [14,15]. Остання, на вiдмiну вiд
довiльної RO-змiнної функцiї, має числовий порядок змiнення
на нескiнченностi, що суттєво полегшує дослiдження елiптичних
крайових задач в уточненiй соболєвськiй шкалi.
Ця робота складається з восьми пунктiв. Пункт 1 — вступ. У
п. 2 дано означення елiптичної задачi з додатковими невiдоми-
ми функцiями у крайових умовах, запропоноване Б. Лавруком.
Там же розглянуто формальну спряжену до неї задачу i деякi
приклади. У п. 3 описано функцiональнi простори Хермандера,
якi утворюють розширену соболєвську шкалу. Основнi результа-
ти роботи сформульовано у п. 4. Це — теорема про нетеровiсть
обмежених операторiв, вiдповiдних задачi у цiй шкалi, i теоре-
ма про локальну регулярнiсть розв’язкiв задачi. Пункт 5 мiстить
вiдомi й потрiбнi у роботi результати з теорiї iнтерполяцiї про-
сторiв. Там наведено означення iнтерполяцiї з функцiональним
параметром пар гiльбертових просторiв i розглянуто її важли-
вi властивостi. Також сформульовано iнтерполяцiйнi властивостi
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 341
розширеної соболєвської шкали. У п. 6 доведено основнi резуль-
тати, наведенi у п. 4. Деякi їх застосування розглянуто у п. 7.
Там встановлено тонкi достатнi умови неперервностi узагальне-
них похiдних заданого порядку розв’язкiв дослiджуваної задачi,
зокрема, умови класичностi узагальненого розв’язку. Цi умови
сформульовано у термiнах приналежностi правих частин зада-
чi до вiдповiдних просторiв Хермандера. У завершальному п. 8
наведено висновки до роботи.
2. Постановка задачi
Нехай Ω — довiльна обмежена область у евклiдовому просторi
Rn, де n ≥ 2. Припускається, що її межа Γ := ∂Ω є нескiнченно
гладким замкненим (компактним i без краю) многовидом вимiр-
ностi n−1 (при цьому C∞-структура на Γ породжена простором
Rn). Як зазвичай, Ω = Ω ∪ Γ. Позначимо через ν(x) орт внутрi-
шньої нормалi до межi Γ у точцi x ∈ Γ.
Виберемо довiльно цiлi числа q ≥ 1, κ ≥ 1, m1, . . . ,mq+κ ∈
[0, 2q − 1] i r1, . . . , rκ.
Розглянемо в областi Ω (лiнiйну) крайову задачу iз κ дода-
тковими невiдомими функцiями у крайових умовах:
Au = f в Ω, (1)
Bju+
κ∑
k=1
Cj,kvk = gj на Γ, j = 1, ..., q + κ. (2)
Тут
A := A(x,D) :=
∑
|µ|≤2q
aµ(x)Dµ
є лiнiйний диференцiальний оператор на Ω парного порядку
2q ≥ 2, кожне
Bj(x,D) =
∑
|µ|≤mj
bj,µ(x)Dµ
342 I. С. Чепурухiна
є крайовий диференцiальний оператор на Γ порядку mj , а ко-
жне Cj,k = Cj,k(x,Dτ ) є (дотичний) диференцiальний оператор
на Γ порядку ordCj,k ≤ mj + rk. Усi коефiцiєнти цих диференцi-
альних операторiв є нескiнченно гладкими комплекснозначними
функцiями, заданими на Ω i Γ вiдповiдно.
Тут i надалi використовуються такi стандартнi позначен-
ня: µ := (µ1, . . . , µn) — мультиiндекс, |µ| := µ1 + · · · + µn,
Dµ := Dµ1
1 · · ·D
µn
n , Dl := i∂/∂xl, де i — уявна одиниця, а
x = (x1, . . . , xn) — довiльна точка простору Rn. Окрiм того,
покладаємо Dν := i∂/∂ν(x) та ξµ := ξµ11 . . . ξµnn для вектора
ξ = (ξ1, . . . ξn) ∈ Cn.
У крайовiй задачi (1), (2) функцiя u на Ω, i κ функцiй
v1, . . . , vκ на Γ є шуканими. В роботi усi функцiї та розподiли
вважаємо комплекснозначними.
Надалi припускаємо, що крайова задача (1), (2) є елiптичною
в областi Ω за Б. Лавруком [2, п. 1]. Слiдуючи [7, п. 3.1.3], подамо
означення елiптичностi цiєї задачi у такiй еквiвалентнiй формi.
Позначимо через A(0)(x, ξ) i B(0)
j (x, ξ) головнi символи дифе-
ренцiальних операторiвA(x,D) iBj(x,D) вiдповiдно. Нагадаємо,
що для кожного фiксованого x ∈ Ω вираз
A(0)(x, ξ) :=
∑
|µ|=2q
aµ(x)ξµ
є однорiдним полiномом порядку 2q змiнної ξ ∈ Cn, i для кожного
фiксованого x ∈ Γ вираз
B
(0)
j (x, ξ) :=
∑
|µ|=mj
bj,µ(x)ξµ
є однорiдним полiномом порядку mj змiнної ξ ∈ Cn. Окрiм того,
позначимо через C(0)
j,k (x, τ) головний символ дотичного диферен-
цiального оператора Cj,k(x,Dτ ), якщо ordCj,k = mj + rk. Для
кожної точки x ∈ Γ вираз C(0)
j,k (x, τ) є однорiдним полiномом
порядку mj + rk змiнної τ , де τ— довiльний дотичний вектор
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 343
до межi Γ у точцi x. Якщо ordCj,k < mj + rk, то покладаємо
C
(0)
j,k (x, τ) := 0.
Крайова задача (1), (2) називається елiптичною в областi Ω,
якщо виконуються такi три умови:
(i) Диференцiальний оператор A(x,D) є елiптичним у кожнiй
точцi x ∈ Ω, тобто A(0)(x, ξ) 6= 0 для довiльного вектора
ξ ∈ Rn \ {0}.
(ii) Диференцiальний оператор A(x,D) є правильно елiпти-
чним у кожнiй точцi x ∈ Γ, тобто для довiльного ве-
ктора τ 6= 0, дотичного до межi Γ у точцi x, многочлен
A(0)(x, τ + ζν(x)) комплексної змiнної ζ має q коренiв з до-
датною уявною частиною i стiльки ж коренiв з вiд’ємною
уявною частиною (пiдрахованих з урахуванням їх кратно-
стi).
(iii) Система крайових умов (2) накриває рiвняння (1) у кожнiй
точцi x ∈ Γ. Це значить, що для кожного вектора τ 6= 0,
дотичного до межi Γ у точцi x, крайова задача
A(0)(x, τ +Dt ν(x))θ(t) = 0 при t > 0,
B
(0)
j (x, τ +Dt ν(x))θ(t)
∣∣
t=0
+
κ∑
k=1
C
(0)
j,k (x, τ)λk = 0,
j = 1, ..., q + κ,
має лише тривiальний (нульовий) розв’язок. Ця задача
розглядається вiдносно невiдомої функцiї θ ∈ C∞([0,∞)),
що задовольняє умову θ(t) → 0 при t → ∞, i невiдо-
мих комплексних чисел λ1, . . . , λκ. Тут A(0)(x, τ + Dt ν(x))
i B(0)
j (x, τ + Dt ν(x)) є диференцiальнi оператори вiдносно
Dt := i∂/∂t, якi отримуємо, поклавши ζ := Dt у вiдповiдно
многочленах A(0)(x, τ + ζν(x)) i B(0)
j (x, τ + ζν(x)) змiнної ζ.
Вiдмiтимо, що умова (ii) є наслiдком умови (i) у випадку, коли
n ≥ 3.
344 I. С. Чепурухiна
Приклад 1. Простим прикладом елiптичної крайової задачi (1),
(2), де n = 2 i κ = 1, служить така задача:
∆u = f в Ω,
u+ v = g1 на Γ,
∂u
∂ν
+
∂v
∂τ
= g2 на Γ.
Тут ∆ — оператор Лапласа, а ∂/∂τ є похiдна вздовж кривої Γ.
Пов’яжемо iз задачею (1), (2) лiнiйне вiдображення
Λ : (u, v1, ..., vκ) 7→
7→
(
Au, B1u+
κ∑
k=1
C1,kvk, ..., Bq+κu+
κ∑
k=1
Cq+κ,kvk
)
,
де u ∈ C∞(Ω), v1, . . . , vκ ∈ C∞(Γ).
(3)
У роботi буде дослiджено властивостi продовження за неперерв-
нiстю цього вiдображення у пiдходящих парах гiльбертових про-
сторiв Хермандера.
Для опису областi значень цього продовження нам знадоби-
ться така формула Грiна [1, п. 4] (див. також [7, теорема 3.1.2]):
(Au,w)Ω +
q+κ∑
j=1
(
Bju+
κ∑
k=1
Cj,kvk, hj
)
Γ
= (u,A+w)Ω+
+
2q∑
j=1
(
Dj−1
ν u,Kjw +
q+κ∑
k=1
Q+
k,jhk
)
Γ
+
κ∑
j=1
(
vj ,
q+κ∑
k=1
C+
k,jhk
)
Γ
,
де функцiї u,w ∈ C∞(Ω) i v1, . . . , vκ, h1, . . . , hq+κ ∈ C∞(Γ) до-
вiльнi, а (·, ·)Ω i (·, ·)Γ є скалярнi добутки у гiльбертових про-
сторах L2(Ω) i L2(Γ) функцiй квадратично iнтегровних на Ω i Γ
вiдповiдно. Тут
A+w := A+(x,D)w(x) :=
∑
|µ|≤2q
Dµ(aµ(x)w(x)),
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 345
тобто A+ є формально спряжений диференцiальний оператор до
A вiдносно скалярного добутку в L2(Ω). Окрiм того, C+
k,j i Q+
k,j
є формально спряженi (дотичнi) диференцiальнi оператори до
вiдповiдно Ck,j i Qk,j вiдносно скалярного добутку в L2(Γ), при-
чому дотичнi диференцiальнi оператори Qk,j узятi iз зображення
крайових операторiв Bj у виглядi
Bj(x,D) =
2q∑
k=1
Qj,k(x,Dτ )Dk−1
ν .
(Звiсно, якщо k > mj , то Qj,k = 0). Нарештi, Kj := Kj(x,D) є
деякий лiнiйний крайовий диференцiальний оператор на Γ по-
рядку ordKj ≤ 2q − j.
З огляду на формулу Грiна розглянемо в областi Ω таку кра-
йову задачу iз q + κ додатковими невiдомими функцiями у кра-
йових умовах:
A+w = ω в Ω, (4)
Kjw +
q+κ∑
k=1
Q+
k,jhk = χj на Γ, j = 1, ..., 2q, (5)
q+κ∑
k=1
C+
k,jhk = χ2q+j на Γ, j = 1, ...,κ. (6)
Ця задача формально спряжена до задачi (1), (2) вiдносно за-
значеної формули Грiна. Вiдмiтимо [7, теорема 3.1.2], що елiпти-
чнiсть задачi (1), (2) рiвносильна елiптичностi формально спря-
женої задачi (4), (5), (6).
Зауважимо, що ця формула Грiна правильна i у випадку, коли
κ = 0. (Звiсно, тодi у нiй вiдсутнi суми, у яких пiдсумовування
здiйснюється за iндексом k або j, що пробiгає значення вiд 1
до κ.) Узявши довiльну елiптичну крайову задачу (без додатко-
вих невiдомих функцiй) i перейшовши до формально спряженої
задачi вiдносно цiєї формули Грiна, отримаємо елiптичну зада-
чу з q додатковими невiдомими функцiями у крайових умовах,
346 I. С. Чепурухiна
де 2q — порядок правильно елiптичного рiвняння, що фiгурує у
вихiднiй крайовiй задачi. Якщо ця задача нерегулярна, то до-
датковi невiдомi функцiї не можна, взагалi кажучи, виключити
з крайових умов формально спряженої задачi. Наведемо такий
приклад [7, п. 3.1.5].
Приклад 2. Для рiвняння Пуассона у двовимiрнiй областi Ω
розглянемо елiптичну крайову задачу з косою похiдною:
∆u = f в Ω,
α
∂u
∂τ
+ β
∂u
∂ν
= g на Γ.
Тут коефiцiєнти α, β є дiйсними функцiями класу C∞(Γ) такими,
що α2 + β2 = 1. (Як i ранiше, ∂/∂τ є похiдна вздовж кривої Γ.)
Для цiєї задачi формально спряженою вiдносно розглянутої фор-
мули Грiна (при κ = 0) є така крайова задача:
∆w = ω в Ω,
∂w
∂ν
− ∂(αh)
∂τ
= χ1 на Γ,
w − βh = χ2 на Γ.
(Останнє рiвняння помножили на i.) Ця задача мiстить дода-
ткову невiдому функцiю h у крайових умовах i є елiптичною за
Б. Лавруком в областi Ω. У випадку, коли β(x0) = 0 для де-
якої точки x0 ∈ Γ, функцiю h не можна виключити з крайових
умов. У цьому випадку вихiдна елiптична крайова задача не є
регулярною.
3. Розширена соболєвська шкала
Як говорилося у вступi, ця шкала складається з гiльбертових
просторiв Хермандера Hα(Rn), для яких показником регулярно-
стi служить довiльна додатна функцiя α, RO-змiнна на нескiн-
ченностi за В. Г. Авакумовичем. Клас таких функцiй позначаємо
через RO.
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 347
У цьому пунктi спочатку дамо означення класу RO, обгово-
римо деякi його властивостi i наведемо приклади. Потiм сфор-
мулюємо означення простору Hα(Rn) та його аналогiв для Ω i Γ.
Множина RO складається з усiх вимiрних за Борелем функцiй
α : [1,∞)→ (0,∞), для яких iснують числа b > 1 i c ≥ 1 такi, що
c−1 ≤ α(λt)
α(t)
≤ c для довiльних t ≥ 1, λ ∈ [1, b] (7)
(сталi b i c можуть залежати вiд α).
Клас RO був введений В. Г. Авакумовичем [32] у 1936 р. i є
достатньо вивченим (див. [14, додаток 1] i [15, пп. 2.0 – 2.2]).
Цей клас допускає простий опис [14, с. 87]:
α ∈ RO ⇔ α(t) = exp
(
β(t) +
t∫
1
γ(τ)
τ
dτ
)
для t ≥ 1,
де дiйснi функцiї β i γ вимiрнi за Борелем i обмеженi на пiвосi
[1,∞).
Для нас важлива наступна властивiсть [14, с. 88] класу RO.
Для кожної функцiї α ∈ RO iснують числа s0, s1 ∈ R, s0 ≤ s1, i
c1 ≥ 1 такi, що
c−1
1 λs0 ≤ α(λt)
α(t)
≤ c1λ
s1 для всiх t ≥ 1, λ ≥ 1. (8)
Покладемо
σ0(α) := sup {s0 ∈ R : виконується лiва нерiвнiсть в (8)},
σ1(α) := inf {s1 ∈ R : виконується права нерiвнiсть в (8)}.
Звiсно, −∞ < σ0(α) ≤ σ1(α) < ∞. Числа σ0(α) i σ1(α) назива-
ють вiдповiдно нижнiм i верхнiм iндексами Матушевської фун-
кцiї α ∈ RO (див. [33] i монографiю [15, п. 2.1.2]).
Нагадаємо деякi приклади RO-змiнних функцiй.
348 I. С. Чепурухiна
Приклад 3. Розглянемо неперервну функцiю α : [1,∞) →
(0,∞) таку, що
α(t) := ts(ln t)r1(ln ln t)r2 . . . (ln . . . ln︸ ︷︷ ︸
k разiв
t)rk при t� 1.
Тут k ∈ N i s, r1, . . . , rk ∈ R є довiльно вибранi параметри. Фун-
кцiя α належить до класу RO. Для неї σ0(α) = σ1(α) = s.
Приклад 4. Покладемо
η(t) := tσe(ln t)r для t ≥ 1.
Тут σ ∈ R i r ∈ (0, 1) є довiльно вибранi параметри. Функцiя η
належить до класу RO, причому σ0(η) = σ1(η) = σ. Вiдмiтимо,
що ця функцiя зростає швидше, нiж будь-яка функцiя α з при-
кладу 3 при s = σ, але повiльнiше за будь-яку функцiя з цього
ж прикладу при s > σ.
Функцiї з прикладiв 3 i 4 є правильно змiнними на нескiнчен-
ностi за Й. Караматою [34]. Остання властивiсть для вимiрної
за Борелем функцiї α : [1,∞) → (0,∞) означає iснування числа
s ∈ R такого, що
lim
t→∞
α(λ t)
α(t)
= λs для кожного λ > 0.
Число s називається порядком змiнення функцiї α на нескiнчен-
ностi. З теореми про рiвномiрну збiжнiсть [14, теорема 1.1] ви-
пливає такий факт: якщо неперервна функцiя α : [1,∞)→ (0,∞)
правильно змiнна на нескiнченностi за Й. Караматою порядку s,
то α ∈ RO i σ0(α) = σ1(α) = s.
Вiдмiтимо, що iснують функцiї α ∈ RO такi, що σ0(α) = σ1(α),
але α не еквiвалентна в околi нескiнченностi жоднiй функцiї
η > 0, правильно змiннiй на нескiнченностi. (Додатнi функцiї α i
η називаємо еквiвалентними в околi нескiнченностi, якщо обидвi
функцiї α(t)/η(t) i η(t)/α(t) обмеженi при t� 1.)
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 349
Приклад 5. Прикладом такої функцiї α ∈ RO служить функцiя
α(t) := eh(ln t) аргументу t ≥ 1, де h означено за формулами:
h(x) := 0 при x ∈ [0, 1] та h(x) := h(2j) + (x − 2j)1/2 при x ∈
[2j , 2j+1] для кожного цiлого j ≥ 0. Для неї σ0(α) = σ1(α) = 0.
Це обгрунтовано в [15, твердження 2.2.8].
Дамо також приклад функцiї класу RO з рiзними iндексами
Матушевської.
Приклад 6. Покладемо
α(t) :=
{
tθ+δ sin(ln ln t)r при t > e,
tθ при 1 ≤ t ≤ e.
Тут довiльно вибранi числовi параметри θ ∈ R, δ > 0 i r ∈ (0, 1].
Безпосередньо перевiряється, що α ∈ RO, причому σ0(α) = θ− δ
i σ1(α) = θ + δ.
Перейдемо тепер до просторiв Хермандера. Нехай α ∈ RO.
За означенням, комплексний лiнiйний простiр Hα(Rn), де n ∈ N,
складається з усiх розподiлiв w ∈ S ′(Rn) таких, що їх перетворе-
ння Фур’є ŵ локально iнтегровне за Лебегом на Rn i задовольняє
умову ∫
Rn
α2(〈ξ〉) |ŵ(ξ)|2 dξ <∞.
Тут S ′(Rn) — лiнiйний топологiчний простiр повiльно зростаю-
чих розподiлiв, заданих в Rn, введений Л. Шварцом. (Нагадає-
мо, що 〈ξ〉 := (1 + |ξ|2)1/2 є згладжений модуль вектора ξ ∈ Rn).
У роботi розподiли трактуємо як антилiнiйнi функцiонали на
просторi S(Rn) основних функцiй.
Скалярний добуток у просторi Hα(Rn) введений за формулою
(w1, w2)Hα(Rn) :=
∫
Rn
α2(〈ξ〉) ŵ1(ξ) ŵ2(ξ) dξ,
350 I. С. Чепурухiна
де w1, w2 ∈ Hα(Rn). Вiн задає на Hα(Rn) структуру гiльберто-
вого простору i породжує норму
‖w‖Hα(Rn) := (w,w)
1/2
Hα(Rn).
Цей простiр сепарабельний; у ньому щiльна множина C∞0 (Rn)
усiх нескiнченно диференцiйовних на Rn функцiй з компактним
носiєм.
Простiр Hα(Rn) є гiльбертiв iзотропний випадок просторiв
Bp,k, введених i дослiджених Л. Хермандером в [12, п. 2.2] (див.
також його монографiю [13, п. 10.1]). А саме, якщо p = 2 i
k(ξ) = α(〈ξ〉) для усiх ξ ∈ Rn, то Hα(Rn) = Bp,k. Вiдмiтимо,
що у гiльбертовому випадку p = 2 простори Хермандера збiгаю-
ться з просторами, введеними i дослiдженими Л. Р. Волевичем i
Б. П. Панеяхом [35, § 2].
У випадку степеневої функцiї α(t) ≡ ts, простiр Hα(Rn) стає
(гiльбертовим) простором Соболєва H(s)(Rn) порядку s ∈ R.
У загальнiй ситуацiї
(s0 < σ0(α), σ1(α) < s1) ⇒
⇒ H(s1)(Rn) ↪→ Hα(Rn) ↪→ H(s0)(Rn);
(9)
тут обидва вкладення неперервнi й щiльнi. Властивiсть (9) є пря-
мим наслiдком нерiвностi (8), записаної для t = 1.
Слiдуючи [18,19], клас функцiональних просторiв{
Hα(Rn) : α ∈ RO
}
(10)
називаємо розширеною соболєвською шкалою на Rn. Вiдмiти-
мо, що вона мiстить уточнену соболєвську шкалу, введену в [20].
Остання складається з усiх просторiв Hα(Rn), де функцiя η є
правильно змiнною на нескiнченностi за Й. Караматою.
У роботi потрiбнi аналоги розширеної соболєвської шкали для
областi Ω та її межi Γ. Вони будуються стандартним чином за
класом (10) (див. [19, c. 139] i [24, с. 139]). Наведемо вiдповiднi
означення. Припускаємо тепер, що n ≥ 2.
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 351
Як i ранiше, α ∈ RO. За означенням, лiнiйний простiр Hα(Ω)
складається зi звужень в область Ω усiх розподiлiв w ∈ Hα(Rn).
Норма в Hα(Ω) введена за формулою
‖u‖Hα(Ω) := inf
{
‖w‖Hα(Rn) : w ∈ Hα(Rn), w = u в Ω
}
,
де u ∈ Hα(Ω). Вiдносно цiєї норми простiр Hα(Ω) гiльбертiв i
сепарабельний, оскiльки вiн є факторпростiр простору Hα(Rn)
за пiдпростором{
w ∈ Hα(Rn) : suppw ⊆ Rn \ Ω
}
.
Множина C∞(Ω) щiльна в Hα(Ω).
Простiр Hα(Γ) складається з усiх розподiлiв на Γ, якi в ло-
кальних координатах належать до Hα(Rn−1). А саме, нехай до-
вiльним чином вибрано скiнченний атлас iз C∞-структури на
многовидi Γ, утворений локальними картами πj : Rn−1 ↔ Γj ,
де j = 1, . . . , λ. Окрiм того, нехай функцiї χj ∈ C∞(Γ), де
j = 1, . . . , λ, утворюють розбиття одиницi на Γ, яке задовольняє
умову suppχj ⊂ Γj . Тодi, за означенням, комплексний лiнiйний
простiр Hα(Γ) складається з усiх розподiлiв h на Γ таких, що
(χjh) ◦ πj ∈ Hα(Rn−1) для кожного j ∈ {1, . . . , λ}. Тут (χjh) ◦ πj
є представлення розподiлу h у локальнiй картi πj . У просторi
Hα(Γ) заданий скалярний добуток за формулою
(h1, h2)Hα(Γ) :=
λ∑
j=1
((χjh1) ◦ πj , (χj h2) ◦ πj)Hα(Rn−1),
де h1, h2 ∈ Hα(Γ). Цей простiр гiльбертiв i сепарабельний та з
точнiстю до еквiвалентностi норм не залежить вiд зазначеного
вибору атласу i розбиття одиницi [24, с. 139]. Множина C∞(Γ)
щiльна в Hα(Γ).
Означенi щойно функцiональнi простори утворюють розши-
ренi соболєвськi шкали
{Hα(Ω) : α ∈ RO} i {Hα(Γ) : α ∈ RO} (11)
352 I. С. Чепурухiна
на Ω i Γ вiдповiдно. Вони мiстять шкали гiльбертових просторiв
Соболєва: якщо α(t) ≡ ts для деякого s ∈ R, то Hα(Ω) =: H(s)(Ω)
i Hα(Γ) =: H(s)(Γ) є соболєвськi простори порядку s.
Вкладення просторiв є вiдношенням часткового порядку на
шкалах (11), яке має таку властивiсть. Нехай α, η ∈ RO i
G ∈ {Ω,Γ}. Вiдношення функцiй α/η обмежене в околi нескiн-
ченностi тодi i тiльки тодi, коли Hη(G) ↪→ Hα(G). Це вкладення
щiльне i неперервне. Воно компактне тодi i тiльки тодi, коли
α(t)/η(t) → 0 при t → ∞. Ця властивiсть є наслiдком теорем
2.2.2 i 2.2.3 з монографiї Л. Хермандера [12].
На її пiдставi робимо висновок, що властивiсть (9) залишає-
ться правильною, якщо у нiй замiнити Rn на Ω або Γ. При цьому
вкладення просторiв є щiльними i компактними.
Потрiбнi нам iнтерполяцiйнi властивостi розширеної соболєв-
ської шкали будуть розглянутi у п. 5.
4. Основнi результати
Сформулюємо основнi результати статтi про характер розв’язно-
стi елiптичної крайової задачi (1), (2) i регулярнiсть її розв’язкiв
у розширенiй соболєвськiй шкалi.
Попередньо домовимося про таке. Далi будемо використову-
вати простори Хермандера Hα(G) iз G ∈ {Ω,Γ}, для яких по-
казник регулярностi поданий у виглядi α(t) ≡ η(t)ts, де η ∈ RO
i s ∈ R. Для того, щоб не писати аргумент t у верхньому iнде-
ксi, що служить показником регулярностi, будемо використову-
вати функцiональний параметр %(t) := t аргументу t ≥ 1. Тодi
Hα(G) = Hη%s(G). Звiсно, якщо η ∈ RO i s ∈ R, то η%s ∈ RO та
σ0(η%s) = σ0(η) + s i σ1(η%s) = σ1(η) + s.
Пов’яжемо iз задачею (1), (2) гiльбертовi простори
Dη(Ω,Γ) := Hη(Ω)⊕
κ⊕
k=1
Hη%rk−1/2
(Γ),
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 353
та
Eη%−2q
(Ω,Γ) := Hη%−2q
(Ω)⊕
q+κ⊕
j=1
Hη%−mj−1/2
(Γ),
де η ∈ RO. У соболєвському випадку, коли η(t) ≡ ts для деякого
s ∈ R, цi простори позначаємо через D(s)(Ω,Γ) i E(s−2q)(Ω,Γ)
вiдповiдно.
Окрiм того, iз дослiджуваною задачею i формально спряже-
ною до неї задачею пов’яжемо лiнiйнi простори N i N+ нескiн-
ченно гладких розв’язкiв цих задач у випадку нульових правих
частин. А саме: N складається з усiх розв’язкiв
(u, v1, ..., vκ) ∈ C∞(Ω)× (C∞(Γ))κ
задачi (1), (2) у випадку, коли f = 0 на Ω i gj = 0 на Γ для
кожного j ∈ {1, . . . , q + κ}. Аналогiчно, N+ складається з усiх
розв’язкiв
(w, h1, ..., hq+κ) ∈ C∞(Ω)× (C∞(Γ))q+κ
задачi (4), (5), (6) у випадку, коли ω = 0 на Ω i χj = 0 на Γ
для кожного j ∈ {1, . . . , 2q + κ}. Оскiльки цi задачi елiптичнi в
областi Ω, простори N i N+ скiнченновимiрнi [7, лема 3.4.2].
Теорема 1. Для довiльного функцiонального параметра η ∈ RO
такого, що σ0(η) > 2q − 1/2, вiдображення (3) продовжується
єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеженого оператора
Λ : Dη(Ω,Γ)→ Eη%−2q
(Ω,Γ). (12)
Цей оператор нетерiв. Його ядро збiгається з N , а область зна-
чень Λ(Dη(Ω,Γ)) складається з усiх векторiв
(f, g) := (f, g1, . . . , gq+κ) ∈ Eη%−2q
(Ω,Γ) (13)
таких, що
(f, w)Ω +
q+κ∑
j=1
(gj , hj)Γ = 0 для всiх (w, h1, ..., hq+κ) ∈ N+. (14)
354 I. С. Чепурухiна
Iндекс оператора (12) дорiвнює dimN − dimN+ i не залежить
вiд η.
У формулi (14) i далi через (·, ·)Ω i (·, ·)Γ позначено скалярнi
добутки у гiльбертових просторах L2(Ω) i L2(Γ), а також про-
довження цих добуткiв за неперервнiстю.
Тут доречно нагадати, що лiнiйний обмежений оператор
T : E1 → E2, який дiє у парi банахових просторiв E1 i E2, назива-
ють нетеровим, якщо його ядро kerT i коядро E2/T (E1) скiнчен-
новимiрнi. Якщо цей оператор нетерiв, то його область значень
T (E1) замкнена в E2 (див., наприклад, [36, Лемма 19.1.1]). Число
indT := dim kerT − dim(E2/T (E1))
називають iндексом фредгольмового оператора T .
В окремому випадку, коли N = {0} i N+ = {0}, оператор (12)
встановлює iзоморфiзм мiж просторами Dη(Ω,Γ) i Eη%−2q
(Ω,Γ).
У загальнiй ситуацiї цей оператор задає iзоморфiзм мiж деяки-
ми їх (замкненими) пiдпросторами, якi мають скiнченну кови-
мiрнiсть. У цьому зв’язку корисно розглянути такi розклади цих
просторiв у прямi суми пiдпросторiв:
Dη(Ω,Γ) = N u
{
(u, v1, ..., vκ) ∈ Dη(Ω,Γ) :
(u, θ)Ω +
κ∑
k=1
(vk, θk)Γ = 0 для всiх (θ, θ1, ..., θκ) ∈ N
} (15)
та
Eη%−2q
(Ω,Γ) = N+u{(
f, g) ∈ Eη%−2q
(Ω,Γ) : виконується (14)
}
.
(16)
Тут, як i у теоремi 1, параметр η ∈ RO такий, що σ0(η) > 2q−1/2.
Цi розклади iснують, оскiльки у їх правих частинах пiдпростори
мають перетин {0} i скiнченна вимiрнiсть першого пiдпростору
дорiвнює ковимiрностi другого.
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 355
Позначимо через P i P+ вiдповiдно проектори просторiв
Dη(Ω,Γ) i Eη%−2q
(Ω,Γ) на другий доданок у сумах (15) i (16) па-
ралельно першому доданку. Вiдображення P i P+ не залежать
вiд η.
Теорема 2. Для будь-якого параметра η ∈ RO такого, що
σ0(η) > 2q − 1/2 звуження вiдображення (12) на пiдпростiр
P (Dη(Ω,Γ)) є iзоморфiзмом
Λ : P
(
Dη(Ω,Γ)
)
↔ P+
(
Eη%−2q
(Ω,Γ)
)
. (17)
Розглянемо питання про регулярнiсть узагальнених розв’яз-
кiв елiптичної крайової задачi (1), (2). Спочатку дамо означення
такого розв’язку. Покладемо
D2q−1/2+(Ω,Γ) :=
⋃
α∈RO:
σ0(α)>2q−1/2
Hα(Ω) =
⋃
s>2q−1/2
H(s)(Ω)
(остання рiвнiсть виконується з огляду на властивiсть (9)). Ве-
ктор
(u, v) := (u, v1, . . . , vκ) ∈ D2q−1/2+(Ω,Γ)
називаємо (сильним) узагальненим розв’язком крайової задачi
(1), (2) з правою частиною
(f, g) := (f, g1, . . . , gq+κ) ∈ D′(Ω)×
(
D′(Γ)
)q+κ
,
якщо Λ(u, v) = (f, g), де Λ є оператор (12) для деякого η ∈ RO iз
σ0(η) > 2q − 1/2. Звiсно, це означення коректне, тобто не зале-
жить вiд η. Тут i далi D′(Ω) i D′(Γ) є лiнiйнi топологiчнi простори
усiх розподiлiв на Ω i Γ вiдповiдно.
Нехай V є довiльна вiдкрита множина у просторi Rn така, що
Ω0 := Ω ∩ V 6= ∅. Покладемо Γ0 := Γ ∩ V (можливий випадок,
коли Γ0 = ∅). Позначимо через Hα
loc(Ω0,Γ0), де α ∈ RO, лiнiй-
ний простiр усiх розподiлiв u ∈ D′(Ω) таких, що χu ∈ Hα(Ω)
356 I. С. Чепурухiна
для довiльної функцiї χ ∈ C∞(Ω) iз suppχ ⊂ Ω0 ∪ Γ0. Ана-
логiчно, позначимо через Hα
loc(Γ0) лiнiйний простiр усiх розпо-
дiлiв h ∈ D′(Γ) таких, що χh ∈ Hα(Γ) для довiльної функцiї
χ ∈ C∞(Γ) iз suppχ ⊂ Γ0. Покладемо
Dηloc(Ω0,Γ0) := Hη
loc(Ω0,Γ0)×
κ∏
k=1
Hη%rk−1/2
loc (Γ0),
Eη%
−2q
loc (Ω0,Γ0) := Hη%−2q
loc (Ω0,Γ0)×
q+κ∏
j=1
Hη%−mj−1/2
loc (Γ0),
де η ∈ RO.
Теорема 3. Нехай вектор (u, v) ∈ D2q−1/2+(Ω,Γ) є узагальне-
ним розв’язком елiптичної крайової задачi (1), (2), права ча-
стина якої задовольняє умову (f, g) ∈ Eη%
−2q
loc (Ω0,Γ0) для деякого
η ∈ RO iз σ0(η) > 2q − 1/2. Тодi (u, v) ∈ Dηloc(Ω0,Γ0).
Вiдмiтимо такi окремi випадки цiєї теореми.
Якщо Ω0 = Ω i Γ0 = Γ, то, звiсно, Dηloc(Ω0,Γ0) = Dη(Ω) i
Eη%
−2q
loc (Ω0,Γ0) = Eη%−2q
(Ω). У цьому випадку теорема 3 ствер-
джує, що регулярнiсть узагальненого розв’язку (u, v) пiдвищує-
ться глобально, тобто в усiй областi Ω аж до її межi Γ.
Якщо Ω0 = Ω i Γ0 = ∅, то за теоремою 3 регулярнiсть компо-
ненти u цього розв’язку пiдвищується в околах усiх внутрiшнiх
точок замкненої областi Ω.
Для соболєвської шкали, коли η(t) ≡ ts, теореми 1–3 доведено
В. О. Козловим, В. Г. Маз’єю i Й. Россманом [7, пп. 3.2, 3.4] для
цiлих s ≥ 2q та I. Я. Ройтберг [8, 9] для дiйсних s > 2q − 1/2 i
загальних елiптичних систем (див. також [10, п. 2.4]). Для уто-
чненої соболєвської шкали, коли η(t) є правильно змiнною фун-
кцiєю на нескiнченностi порядку s, цi теореми доведено в [29] у
випадку s > 2q i в [30] у випадку 2q − 1/2 < s ≤ 2q.
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 357
5. Iнтерполяцiя з функцiональним параме-
тром
Розширена соболєвська шкала має важливу iнтерполяцiйну вла-
стивiсть, на яку буде спиратися наше доведення ключової теоре-
ми 1. А саме: кожний простiр Hα(G), де G ∈ {Rn,Ω,Γ} i α ∈ RO,
є результатом iнтерполяцiї з пiдходящим функцiональним пара-
метром пари соболєвських просторiв H(s0)(G) i H(s1)(G), якщо
s0 < σ0(α) i σ1(α) < s1. Бiльше того, ця шкала замкнена вiдносно
методу iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбер-
тових просторiв.
Тому нагадаємо означення цього методу та його основнi вла-
стивостi. Вiн уперше з’явився в роботi К. Фояша i Ж.-Л. Лiон-
са [37, с. 278]. У його викладi будемо слiдувати монографiї [24,
п. 1.1]. Для наших цiлей достатньо обмежитися сепарабельними
гiльбертовими просторами.
Нехай задана упорядкована пара X := [X0, X1] сепарабельних
комплексних гiльбертових просторiв X0 i X1 така, що виконує-
ться неперервне i щiльне вкладенняX1 ↪→ X0. ПаруX називаємо
припустимою. Iснує самоспряжений додатно визначений опера-
тор J у гiльбертовому просторi X0 з областю визначення X1,
який є iзометричним iзоморфiзмом J : X1 ↔ X0. Оператор J
визначається за парою X однозначно; вiн називається породжу-
ючим для X.
Позначимо через B множину всiх вимiрних за Борелем фун-
кцiй ψ : (0,∞)→ (0,∞), якi обмеженi на кожному вiдрiзку [a, b],
де 0 < a < b < ∞, i вiдокремленi вiд нуля на кожнiй множинi
[r,∞), де r > 0.
Нехай ψ ∈ B. За допомогою спектральної теореми, у гiльбер-
товому просторi X0 означений (взагалi, необмежений) оператор
ψ(J) як борелева функцiя вiд самоспряженого оператора J . По-
значимо через [X0, X1]ψ або, коротше, через Xψ область визна-
358 I. С. Чепурухiна
чення оператора ψ(J), надiлену скалярним добутком
(w1, w2)Xψ := (ψ(J)w1, ψ(J)w2)X0
i вiдповiдною нормою ‖w‖Xψ = (w,w)
1/2
Xψ
. Простiр Xψ гiльбер-
тiв i сепарабельний, причому виконується неперервне i щiльне
вкладення Xψ ↪→ X0.
Функцiю ψ ∈ B називаємо iнтерполяцiйним параметром, якщо
для довiльних припустимих пар X = [X0, X1] i Y = [Y0, Y1] гiль-
бертових просторiв та для будь-якого лiнiйного вiдображення T ,
заданого на X0, виконується така властивiсть. Якщо при кожно-
му j ∈ {0, 1} звуження вiдображення T на простiр Xj є обмеже-
ним оператором T : Xj → Yj , то i звуження вiдображення T на
простiр Xψ є обмеженим оператором T : Xψ → Yψ. Тодi будемо
казати, що простiр Xψ отриманий iнтерполяцiєю з функцiональ-
ним параметром ψ пари X.
Функцiя ψ ∈ B є iнтерполяцiйним параметром тодi i тiль-
ки тодi, коли вона псевдоугнута в околi нескiнченностi, тобто
еквiвалентна там деякiй угнутiй додатнiй функцiї. Цей фунда-
ментальний результат випливає з теореми Ж. Петре [38, 39] про
опис усiх iнтерполяцiйних функцiй додатного степеня (див. та-
кож монографiю [40, п. 5.4]). Доведення цього результату наве-
дено, наприклад, в монографiї [24, п. 1.1.9].
Вказана на початку цього пункту iнтерполяцiйна властивiсть
розширеної соболєвської формулюється так.
Твердження 1. Нехай заданi функцiя α ∈ RO i дiйснi числа s0,
s1 такi, що s0 < σ0(α) i s1 > σ1(α). Покладемо
ψ(t) =
{
t−s0/(s1−s0) α
(
t1/(s1−s0)
)
при t ≥ 1,
α(1) при 0 < t < 1.
(18)
Тодi функцiя ψ ∈ B є iнтерполяцiйним параметром i виконує-
ться така рiвнiсть гiльбертових просторiв з еквiвалентнiстю
норм у них: [
H(s0)(G), H(s1)(G)
]
ψ
= Hα(G),
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 359
де G ∈ {Rn,Ω,Γ}. Якщо G = Rn, то буде навiть рiвнiсть норм
у цих просторах.
Цей результат встановлено В. А. Михайлецем i О. О. Мурачем
в [24, теореми 2.19 i 2.22] для G ∈ {Rn,Γ} i в [19, теорема 5.1]
для G = Ω. Там же показано, що розширена соболєвська шкала
замкнена вiдносно розглянутого методу iнтерполяцiї i збiгається
(з точнiстю до еквiвалентностi норм) з класом усiх гiльберто-
вих просторiв, iнтерполяцiйних для пар соболєвських просторiв
[H(s0)(G), H(s1)(G)], де s0, s1 ∈ R i s0 < s1. (Останнiй факт випли-
ває з теореми В. I. Овчинникова [11, с. 511] про опис усiх iнтерпо-
ляцiйних гiльбертових просторiв для заданої пари гiльбертових
просторiв.) У цьому зв’язку нагадаємо, що властивiсть гiльбер-
тового простору H бути iнтерполяцiйним для припустимої пари
X = [X0, X1] означає виконання таких двох умов: а) наявнi непе-
рервнi вкладення X1 ↪→ H ↪→ X0, б) якщо лiнiйний обмежений
оператор T : X0 → X0 такий, що його звуження на простiр X1 є
обмеженим оператором T : X1 → X1, то i звуження оператора T
на простiр H є обмеженим оператором T : H → H.
Наприкiнцi цього пункту наведемо двi загальнi властивостi
iнтерполяцiї, якi будуть використанi в доведеннях. Перша з них
показує, що при iнтерполяцiї просторiв успадковується не лише
обмеженiсть, але й нетеровiсть лiнiйних операторiв при деяких
додаткових умовах [24, п. 1.1.7].
Твердження 2. Нехай X = [X0, X1] i Y = [Y0, Y1] є припу-
стимi пари гiльбертових просторiв. Нехай, окрiм того, на X0
задане лiнiйне вiдображення T таке, що його звуження на про-
стори Xj, де j = 0, 1, є обмеженими i нетеровими операторами
T : Xj → Yj, якi мають спiльне ядро i однаковий iндекс. Тодi для
довiльного iнтерполяцiйного параметра ψ ∈ B обмежений опе-
ратор T : Xψ → Yψ нетерiв з тим же ядром i iндексом, а його
область значень дорiвнює Yψ ∩ T (X0).
Друга властивiсть зводить iнтерполяцiю ортогональних сум
гiльбертових просторiв до iнтерполяцiї її доданкiв [24, п. 1.1.5].
360 I. С. Чепурухiна
Твердження 3. Нехай задане скiнченне число припустимих
пар [X
(k)
0 , X
(k)
1 ] гiльбертових просторiв, де k = 1, . . . , p. Тодi для
довiльного параметра ψ ∈ B виконується рiвнiсть гiльбертових
просторiв [ p⊕
k=1
X
(k)
0 ,
p⊕
k=1
X
(k)
1
]
ψ
=
p⊕
k=1
[
X
(k)
0 , X
(k)
1
]
ψ
разом iз рiвнiстю норм у них.
6. Доведення основних результатiв
Дамо послiдовно доведення теорем 1, 2 i 3, сформульованих у
п. 4.
Доведення теореми 1. У випадку просторiв Соболєва, тобто
коли ϕ(t) ≡ ts i s > 2q − 1/2, ця теорема доведена в моногра-
фiї [7, теорема 3.4.1] для цiлих s i в статтях [8, 9] та у книзi [10,
теорема 2.4.1] для дiйсних s > 2q − 1/2 i загальних елiптичних
систем. Виведемо теорему 1 iз соболєвського випадку за допомо-
гою iнтерполяцiї з функцiональним параметром.
Нехай параметр η ∈ RO задовольняє умову σ0(η) > 2q − 1/2.
Виберемо дiйснi числа l0 i l1 такi, що 2q − 1/2 < l0 < σ0(η) i
σ1(η) < l1. Вiдображення (3) продовжується за неперервнiстю
до обмежених i нетерових операторiв
Λ : D(li)(Ω,Γ)→ E(li−2q)(Ω,Γ) для кожного i ∈ {0, 1}, (19)
якi дiють у парах просторiв Соболєва. Оператори (19) мають
спiльне ядро N та однаковий iндекс, рiвний dimN − dimN+.
Окрiм того,
Λ
(
D(li)(Ω,Γ)
)
=
{
(f, g) ∈ E(li−2q)(Ω,Γ) : правильно (14)
}
. (20)
Означимо функцiю ψ за формулою (18), в якiй беремо η := α
та s0 := l0 i s1 := l1. Згiдно з твердженням 1 функцiя ψ є iнтер-
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 361
поляцiйним параметром. Тому на пiдставi твердження 2 з обме-
женостi i нетеровостi обох операторiв (19) випливає обмеженiсть
i нетеровiсть оператора
Λ :
[
D(l0)(Ω,Γ),D(l1)(Ω,Γ)
]
ψ
→
→
[
E(l0−2q)(Ω,Γ), E(l1−2q)(Ω,Γ)
]
ψ
.
(21)
Вiн є звуженням оператора (19) з i = 0. Покажемо, що (21) є
оператор (12) iз формулювання теореми 1.
Для цього опишемо iнтерполяцiйнi простори, у яких дiє опе-
ратор (21). Згiдно з твердженням 3 маємо:[
D(l0)(Ω,Γ),D(l1)(Ω,Γ)
]
ψ
=
[
H(l0)(Ω), H(l1)(Ω)
]
ψ
⊕
⊕
κ⊕
k=1
[H(l0+rk−1/2)(Γ), H(l1+rk−1/2)(Γ)
]
ψ
(22)
та [
E(l0−2q)(Ω,Γ), E(l1−2q)(Ω,Γ)
]
ψ
=
=
[
H(l0−2q)(Ω), H(l1−2q)(Ω)
]
ψ
⊕
⊕
q+κ⊕
j=1
[H(l0−mj−1/2)(Γ), H(l1−mj−1/2)(Γ)
]
ψ
.
(23)
Тут на пiдставi твердження 1 виконуються такi рiвностi просто-
рiв разом еквiвалентнiстю норм у них:[
H(l0)(Ω), H(l1)(Ω)
]
ψ
= Hη(Ω), (24)[
H(l0+rk−1/2)(Γ), H(l1+rk−1/2)(Γ)
]
ψ
= Hη%rk−1/2
(Γ) (25)
та [
H(l0−2q)(Ω), H(l1−2q)(Ω)
]
ψ
= Hη%−2q
(Ω), (26)[
H(l0−mj−1/2)(Γ), H(l1−mj−1/2)(Γ)
]
ψ
= Hη%−mj−1/2
(Γ). (27)
362 I. С. Чепурухiна
Щодо останнiх трьох формул зауважимо таке. Рiвнiсть (25) отри-
мали, поклавши
α := η%rk−1/2, s0 := l0 + rk − 1/2, s1 := l1 + rk − 1/2
у твердженнi 1. Аналогiчно, рiвностi (26) та (27) отримали, по-
клавши у цьому твердженнi
α := η%−2q, s0 := l0 − 2q, s1 := l1 − 2q
та
α := η%−mj−1/2, s0 := l0 −mj − 1/2, s1 := l1 −mj − 1/2
вiдповiдно. При цьому в усiх випадках функцiя ψ задоволь-
няє (18).
На пiдставi формул (22), (24) i (25) маємо рiвнiсть[
D(l0)(Ω,Γ),D(l1)(Ω,Γ)
]
ψ
= Dη(Ω,Γ). (28)
Окрiм того, на пiдставi формул (23), (26) i (27) маємо ще одну
рiвнiсть [
E(l0−2q)(Ω,Γ), E(l1−2q)(Ω,Γ)
]
ψ
= Eη%−2q
(Ω,Γ). (29)
Цi рiвностi просторiв виконуються разом з еквiвалентнiстю норм.
З останнiх двох рiвностей негайно випливає, що обмежений i
нетерiв оператор (21) дiє у парi просторiв (12). Оскiльки, до того
ж, цей оператор є продовженням за неперервнiстю вiдображен-
ня (3), то вiн є оператором (12). Згiдно з твердженням 2 ядро
цього оператора та його iндекс збiгаються з спiльним ядром N
та однаковим iндексом dimN − dimN+ операторiв (19). Окрiм
того, на пiдставi цього ж твердження i формули (20) маємо:
Λ
(
Dη(Ω,Γ)
)
= Eη%−2q
(Ω,Γ) ∩ Λ
(
D(l0)(Ω,Γ)) =
=
{
(f, g) ∈ Eη%−2q
(Ω,Γ) : виконується (14)
}
.
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 363
Тут також скористалися вкладенням
Eη%−2q
(Ω,Γ) ↪→ E(l0)(Ω,Γ),
що є наслiдком властивостi (9). Таким чином, обгрунтовано усi
властивостi оператора (12), вказанi у теоремi 1.
Теорема 1 доведена.
Доведення теореми 2. За теоремою 1 звуження оператора
(12) на пiдпростiр P (Dη(Ω,Γ)) є неперервним i взаємно однозна-
чним лiнiйним вiдображенням цього пiдпростору на пiдпростiр
P+(Eη%−2q
(Ω,Γ)). Тому згiдно з теоремою Банаха про обернений
оператор це вiдображення є iзоморфiзмом (17). Теорема 2 дове-
дена.
Доведення теореми 3. За умовою, (u, v) ∈ D2q−1/2+(Ω,Γ). То-
му (u, v) ∈ D(s)(Ω,Γ) для деякого числа s такого, що 2q − 1/2 <
s < σ0(η). Вiдмiтимо, що Dη(Ω,Γ) ↪→ D(s)(Ω,Γ) з огляду на вла-
стивiсть (9).
Спочатку встановимо цю теорему у випадку глобальної регу-
лярностi, тобто коли Ω0 = Ω i Γ0 = Γ. Тодi, за умовою,
(f, g) = Λ(u, v) ∈ Eη%−2q
(Ω,Γ).
Звiдси на пiдставi теореми 1 запишемо
(f, g) ∈ Eη%−2q
(Ω,Γ) ∩ Λ
(
D(s)(Ω,Γ)
)
= Λ
(
Dη(Ω,Γ)
)
.
Отже, поряд з умовою Λ(u, v) = (f, g) виконується рiвнiсть
Λ(u′, v′) = (f, g) для деякого вектора (u′, v′) ∈ Dη(Ω,Γ). Тодi
(u◦, v◦) := (u, v)− (u′, v′) ∈ D(s)(Ω,Γ) i Λ(u◦, v◦) = 0,
що за теоремою 1 (розглянутою у соболєвському випадку) тягне
за собою включення
(u◦, v◦) ∈ N ⊂ C∞(Ω)×
(
C∞(Γ)
)κ
.
364 I. С. Чепурухiна
Звiдси
(u, v) = (u′, v′) + (u◦, v◦) ∈ Dη(Ω,Γ).
Тим самим теорема 3 доведена у розглянутому випадку.
Звiдси виведемо її у загальнiй ситуацiї. Позначимо
Υ :=
{
χ ∈ C∞(Ω) : suppχ ⊂ Ω0 ∪ Γ0
}
.
Попередньо доведемо, що за умови теореми 3 є правильною для
кожного i ∈ N iмплiкацiя(
χ(u, v) ∈ Dη(Ω,Γ) +D(s+i−1)(Ω,Γ) для всiх χ ∈ Υ
)
⇒
⇒
(
χ(u, v) ∈ Dη(Ω,Γ) +D(s+i)(Ω) для всiх χ ∈ Υ
)
.
(30)
Тут i далi у доведеннi використовуємо алгебраїчнi суми просто-
рiв. Звiсно, добуток функцiї χ ∈ Υ на вектор вигляду (u, v) ро-
зумiємо по-компонентно, до того ж χh := (χ�Γ)h для h ∈ D′(Γ).
Виберемо довiльне i ∈ N i припустимо, що посилка iмплi-
кацiї (30) iстинна. Розглянемо будь-яку функцiю χ ∈ Υ та
функцiю θ ∈ Υ таку, що θ = 1 в околi suppχ. За умовою,
χ(f, g) ∈ Eη%−2q
(Ω,Γ), де (f, g) = Λ(u, v).
Переставивши оператор множення на функцiю χ з усiма ди-
ференцiальними операторами A, Bj i Cj,k, отримаємо такi рiвно-
стi:
A(χu) = A(χθu) = χA(θu) +A′(θu) = χAu+A′(θu), (31)
Bj(χu) = Bj(χθu) = χBj(θu) +B′j(θu) = χBju+B′j(θu), (32)
Cj,k(χvk) = Cj,k(χθvk) = χCj,k(θvk) + C ′j,k(θvk) =
= χCj,kvk + C ′j,k(θvk).
(33)
Тут A′ — деякий лiнiйний диференцiальний вираз на Ω, B′j —
деякий крайовий диференцiальний вираз на Γ, а C ′j,k — деякий
дотичний диференцiальний вираз на Γ. Коефiцiєнти цих виразiв
є нескiнченно гладкими функцiями на Ω i Γ вiдповiдно, а порядки
задовольняють умови
ordA′ ≤ 2q − 1, ordB′j ≤ mj − 1, ordC ′j,k ≤ mj + rk − 1. (34)
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 365
Покладемо
Λ′(u, v) :=
(
A′u, B′1u+
κ∑
k=1
C ′1,kvk, ..., B
′
q+κu+
κ∑
k=1
C ′q+κ,kvk
)
.
З рiвностей (31) – (33) випливає, що
Λ(χ(u, v)) = χΛ(u, v) + Λ′(θ(u, v)) = χ(f, g) + Λ′(θ(u, v)). (35)
За посилкою iмплiкацiї (30) запишемо
θ(u, v) = (u1, v1) + (u2, v2)
для деяких векторiв
(u1, v1) ∈ Dη(Ω,Γ) i (u2, v2) ∈ D(s+i−1)(Ω,Γ).
Звiдси на пiдставi рiвностi (35) можемо записати
Λ(χ(u, v)) = (f1, g1) + (f2, g2), (36)
де
(f1, g1) := χ(f, g) + Λ′(u1, v1) ∈ Eη%−2q
(Ω,Γ), (37)
(f2, g2) := Λ′(u2, v2) ∈ E(s+i−2q)(Ω,Γ). (38)
Пояснимо останнi два включення. На пiдставi нерiвностей (34)
вiдображення
(u, v) 7→ Λ′(u, v), де (u, v) ∈ C∞(Ω)× (C∞(Γ))κ,
продовжується за неперервнiстю до обмеженого оператора
Λ′ : D(l)(Ω,Γ)→ E(l+1−2q)(Ω,Γ) для кожного l > 2q − 1/2.
Звiдси при l := s+ i− 1 та з включення (u2, v2) ∈ D(s+i−1)(Ω,Γ)
випливає включення (38).
366 I. С. Чепурухiна
Далi, з обмеженостi операторiв
Λ′ : D(lp)(Ω,Γ)→ E(lp+1−2q)(Ω,Γ) ↪→ E(lp−2q)(Ω,Γ), p = 0, 1,
випливає на пiдставi iнтерполяцiйних формул (28) i (29) обме-
женiсть оператора
Λ′ : Dη(Ω,Γ) =
[
D(l0)(Ω,Γ),D(l1)(Ω,Γ)
]
ψ
→
→
[
E(l0−2q)(Ω,Γ), E(l1−2q)(Ω,Γ)
]
ψ
= Eη%−2q
(Ω,Γ).
(39)
Тут числа l0 i l1 та iнтерполяцiйний параметр ψ такi, як у дове-
деннi теореми 1. Тепер включення (37) є наслiдком (39) та вклю-
чень χ(f, g) ∈ Eη%−2q
(Ω,Γ) i (u1, v1) ∈ Dη(Ω,Γ).
Скористаємося проектором P+ i теоремою 2 (у соболєвському
випадку також). З рiвностi (36) та включень (37) i (38) випливає,
що
Λ(χ(u, v)) = P+Λ(χ(u, v)) =
= P+(f1, g1) + P+(f2, g2) = Λ(u1, v1) + Λ(u2, v2).
Тут вектори
(u1,v1) ∈ P
(
Dη(Ω,Γ)
)
i (u2, v2) ∈ P
(
D(s+i)(Ω,Γ)
)
(40)
є розв’язки (єдинi) задач
Λ(u1, v1) = P+(f1, g1) ∈ P+
(
Eη%−2q
(Ω,Γ)
)
i
Λ(u2, v2) = P+(f2, g2) ∈ P+
(
E(s+i−2q)(Ω,Γ)
)
.
Тепер з рiвностi
Λ(χ(u, v)) = Λ((u1, v1) + (u2, v2)),
де вектори χ(u, v) i (u1, v1) + (u2, v2) належать до D(s)(Ω,Γ), ви-
пливає на пiдставi теореми 1, що
χ(u, v) = (u1, v1) + ((u2, v2) + (u◦, v◦))
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 367
для деякого вектора
(u◦, v◦) ∈ N ⊂ C∞(Ω)× (C∞(Γ))κ.
Ця формула з урахуванням включень (40) та довiльностi функцiї
χ ∈ Υ означає iстиннiсть висновку iмплiкацiї (30).
Таким чином, доведено, що ця iмплiкацiя iстинна для кожного
i ∈ N. Нагадаємо, що (u, v) ∈ D(s)(Ω,Γ); тому посилка iмплiкацiї
(30) iстинна при i = 1. Виберемо число p ∈ N таке, що p > σ1(η);
тодi D(p)(Ω,Γ) ⊂ Dη(Ω,Γ) з огляду на властивiсть (9). Скори-
ставшись iмплiкацiєю (30) послiдовно для значень i = 1, 2, . . . , p,
робимо висновок, що
χ(u, v) ∈ Dη(Ω,Γ) +D(p)(Ω,Γ) = Dη(Ω,Γ)
для довiльного χ ∈ Υ. Отже, (u, v) ∈ Dηloc(Ω0,Γ0).
Теорема 3 доведена.
7. Застосування
Як застосування розширеної соболєвської шкали отримаємо до-
статнi умови неперервностi узагальнених похiдних (заданого по-
рядку) компонент розв’язку (u, v) елiптичної крайової задачi
(1), (2). Цi умови ми виведемо з теореми 3 i такої версiї (див. [24,
с. 134] i [41, с. 1486]) теореми вкладення Хермандера [12, с. 59].
Твердження 4. Нехай функцiя α ∈ RO i цiле число l ≥ 0. Тодi
∞∫
1
t2l+n−1α−2(t) dt <∞ ⇔ Hα(Ω) ↪→ C l(Ω),
∞∫
1
t2l+n−2α−2(t) dt <∞ ⇔ Hα(Γ) ↪→ C l(Γ).
Цi вкладення неперервнi.
368 I. С. Чепурухiна
Зауважимо, що у соболєвському випадку, коли α(t) ≡ ts для
деякого s ∈ R, твердження 4 стає теоремою вкладення Соболєва:
s > l + n/2 ⇔ H(s)(Ω) ↪→ C l(Ω),
s > l + (n− 1)/2 ⇔ H(s)(Γ) ↪→ C l(Γ).
Нехай множини Ω0 i Γ0 є такi, як у п. 4.
Теорема 4. Нехай задано цiле число l ≥ 0. Припустимо, що
виконуються умови теореми 3 для деякого параметра η ∈ RO
такого, що σ0(η) > 2q − 1/2 i
∞∫
1
t2l+n−1η−2(t)dt <∞ (41)
Тодi u ∈ C l(Ω0 ∪ Γ0).
Доведення. Виберемо довiльну точку x ∈ Ω0 ∪ Γ0 i функцiю
χ ∈ C∞(Ω) таку, що suppχ ⊂ Ω0 ∪ Γ0 i χ = 1 в деякому околi
точки x. На пiдставi теореми 3, умови (41) i твердження 4 маємо
включення
χu ∈ Hη(Ω) ⊂ C l(Ω).
Звiдси, з урахуванням довiльностi вибору x та χ випливає, що
u ∈ C l(Ω0 ∪ Γ0). Теорема 4 доведена.
Теорема 5. Нехай задано цiлi числа l ≥ 0 i k ∈ {1, ...,κ}. При-
пустимо, що виконуються умови теореми 3 для деякого пара-
метра η ∈ RO такого, що σ0(η) > 2q − 1/2 i
∞∫
1
t2(l−rk)+n−1η−2(t)dt <∞. (42)
Тодi vk ∈ C l(Γ0).
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 369
Доведення. Виберемо довiльну точку x ∈ Γ0 i функцiю χ ∈
C∞(Γ) таку, що suppχ ⊂ Γ0 i χ = 1 в деякому околi точки x. На
пiдставi теореми 3, умови (42) i твердження 4, у якому беремо
α(t) ≡ η(t)trk−1/2, маємо включення
χvk ∈ Hη%rk−1/2
(Γ) ⊂ C l(Γ).
Звiдси, з урахуванням довiльностi вибору x та χ випливає, що
vk ∈ C l(Γ0). Теорема 5 доведена.
З твердження 4 випливає, що умови (41) i (42) не лише до-
статнi у теоремах 4 i 5 вiдповiдно, але i необхiднi на класi усiх
розв’язкiв, що розглядаються у цих теоремах.
За допомогою теорем 4 i 5 встановимо тепер достатню умо-
ву, за якою узагальнений розв’язок (u, v) елiптичної крайо-
вої задачi (1), (2) є класичним, тобто u ∈ C2q(Ω)
⋂
Cm(Ω) i
vk ∈ Cm+rk(Γ) для кожного k ∈ {1, . . . ,κ}. Тут позначено
m := max{m1, ...,mq+κ}. Якщо розв’язок (u, v) є класичним, то
лiвi частини задачi (1), (2) обчислюються за допомогою класи-
чних похiдних i є неперервними функцiями на Ω i Γ вiдповiдно.
Теорема 6. Нехай вектор (u, v) ∈ D2q−1/2+(Ω,Γ) є узагальне-
ним розв’зком елiптичної крайової задачi (1), (2), правi частини
якої задовольняють умови
f ∈ Hη1%−2q
loc (Ω,∅) ∩Hη2%−2q
(Ω,Γ), (43)
gj ∈ Hη2%
−mj−1/2
(Γ), j = 1, ..., q + κ, (44)
для деяких параметрiв η1, η2 ∈ RO таких, що σ0(η1) > 2q− 1/2,
σ0(η2) > 2q − 1/2 i
∞∫
1
t2q+n−1η−2
1 (t)dt <∞,
∞∫
1
t2m+n−1η−2
2 (t)dt <∞.
Тодi розв’язок (u, v) класичний.
370 I. С. Чепурухiна
Доведення. З теореми 4 при l := 2q, Ω0 := Ω i Γ0 := ∅ випливає,
що u ∈ C2q(Ω), а при l := m, Ω0 := Ω, i Γ0 := Γ випливає, що
u ∈ Cm(Ω). З теореми 5 при l := m + rk i Γ0 := Γ випливає
включення vk ∈ Cm+rk(Γ) для кожного k ∈ {1, . . . ,κ}. Отже,
(u, v) — класичний розв’язок крайової задачi (1), (2). Теорема
доведена.
8. Висновки
У статтi дослiджено елiптичну крайову задачу за Б. Лавруком у
гiльбертових просторах Хермандера, якi утворюють розширену
соболєвську шкалу. Доведено, що цiй задачi вiдповiдають нете-
ровi обмеженi оператори, якi дiють у вiдповiдних парах просто-
рiв Хермандера (теорема 1) та породжують iзоморфiзми мiж їх
пiдпросторами скiнченної ковимiрностi (теорема 2). Дослiджено
локальну регулярнiсть узагальнених розв’язкiв задачi на розши-
ренiй соболєвськiй шкалi (теорема 3). Для них встановлено новi
достатнi умови неперервностi узагальнених частинних похiдних
заданого порядку (теореми 4 i 5) та умову класичностi узагальне-
ного розв’язку (теорема 6). Цi умови сформульованi у термiнах
приналежностi правих частин задачi до просторiв Хермандера.
Авторка дякує О. О. Мурачу за керiвництво роботою.
Лiтература
[1] Лаврук Б. О параметрических граничных задачах для эллиптиче-
ских систем линейных дифференциальных уравнений. I. Постро-
ение сопряженных задач // Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math.
Astronom. Phys. – 1963. – 11, No 5. – P. 257–267.
[2] Лаврук Б. О параметрических граничных задачах для эллиптиче-
ских систем линейных дифференциальных уравнений. II. Грани-
чная задача для полупространства // Bull. Acad. Polon. Sci. Sér.
Sci. Math. Astronom. Phys. – 1963. – 11, No 5. – P. 269–278.
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 371
[3] Лаврук Б. О параметрических граничных задачах для эллипти-
ческих систем линейных дифференциальных уравнений. III. Со-
пряженная граничная задача для полупространства // Bull. Acad.
Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. – 1965. – 13, No 2. – P.
105–110.
[4] Aslanyan A. G., Vassiliev D. G., Lidskii V. B. Frequences of free
oscillations of thin shell interacting with fluid // Functional Anal.
Appl. – 1981. – 15, No 3. – P. 157–164.
[5] Ciarlet P. G. Plates and junctions in ellastic multistructures. An
asymptotic analysis. – Paris: Mayson, 1990. – viii+218 p.
[6] Nazarov S., Pileckas K. On noncompact free boundary problems for
the plane stationary Navier–Stokes equations // J. Reine Angew.
Math. – 1993. – 438. – P. 103–141.
[7] Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Rossmann J. Elliptic boundary value
problems in domains with point singularities. – Providence: Amer.
Math. Soc., 1997. – 414 p.
[8] Ройтберг И. Я. Эллиптические граничные задачи для общих си-
стем уравнений в полных шкалах банаховых пространств // До-
клады Академии Наук. – 1997. – 354, № 1. – С. 25–29.
[9] Roitberg I. Ya. Elliptic boundary value problems for general elliptic
systems in complete scales of Banach spaces // Oper. Theory: Adv.
and Appl. – 1998. – 102. – P. 231–241.
[10] Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of
distributions. — Dordrecht: Kluwer Acad. Publisher, 1999. – x+276 p.
[11] Ovchinnikov V. I. The methods of orbits in interpolation theory //
Math. Rep. Ser. 1. – 1984. – No. 2. – P. 349–515.
[12] Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с ча-
стными производными. – Москва: Мир, 1965. – 380 с.
[13] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов
с частными производными: В 4-х т. Т. 2. Дифференциальные опе-
раторы с постоянными коэффициентами. – Москва: Мир, 1986. –
456 с.
[14] Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – Москва: Наука,
1985. – 144 с.
372 I. С. Чепурухiна
[15] Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular Variation. –
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. – 512 p.
[16] Михайлец В. А., Мурач А. А. Интерполяционные пространства
Хермандера и эллиптические операторы // Теорiя наближення
функцiй та сумiжнi питання / Зб-к праць Iн-ту математики НАН
України. – 5, № 1. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2008. –
С. 205–226.
[17] Михайлец В. А., Мурач А. А. Об эллиптических операторах на
замкнутом многообразии // Доп. НАН України. – 2009. – № 3. –
С. 13–19.
[18] Михайлец В. А., Мурач А. А. Расширенная соболевская шкала и
эллиптические операторы // Укр. мат. журн. — 2013. — 65, № 3. –
С. 368–380.
[19] Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation Hilbert spaces between
Sobolev spaces // Results Math. – 2015. – 67, No 1. – P. 135–152.
[20] Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптические операторы в
уточненной шкале функциональных пространств // Укр. мат.
журн. – 2005. – 57, № 5 – С. 689–696.
[21] Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и
эллиптические краевые задачи. II // Укр. мат. журн. – 2006. – 58,
№ 3. – С. 352–370.
[22] Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и
эллиптические краевые задачи. III // Укр. мат. журн. – 2007. –
59, № 5. – С. 679–701.
[23] Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптическая краевая задача в
двусторонней уточненной шкале пространств // Укр. мат. журн. –
2008. – 60, № 4. – С. 497–520.
[24] Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хермандера, интер-
поляция и эллиптические задачи. – Kиев: Институт математики
НАН Украины, 2010. – 372 с. (Доступно как arXiv:1106.3214.)
[25] Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpo-
lation, and elliptic problems // Banach J. Math. Anal. – 2012. – 6,
No. 2. – P. 211–281.
Елiптичнi крайовi задачi за Б. Лавруком... 373
[26] Аноп А. В. Загальна елiптична крайова задача в розширенiй со-
болєвськiй шкалi // Доп. НАН України. – 2014. – № 4. – С. 7–14.
[27] Аноп А. В., Мурач А. А. Регулярные эллиптические краевые зада-
чи в расширенной соболевской шкале // Укр. мат. журн. – 2014. –
66, № 7. – С. 867–883.
[28] Anop A. V., Murach A. A. Parameter-elliptic problems and
interpolation with a function parameter // Methods Funct. Anal.
Topology. – 2014. — 20, No 2. – P. 103–116.
[29] Чепурухiна I. С. Про деякi класи елiптичних крайових задач у
просторах узагальненої гладкостi // Диференцiальнi рiвняння i
сумiжнi питання / Зб-к праць Iн-ту математики НАН України. –
11, № 2. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2014. – С. 284–304.
[30] Chepurukhina I. S., Murach A. A. Elliptic problems in the sense of
B. Lawruk on two-sided refined scale of spaces. – Methods Funct.
Anal. Topology. – 2015. – 21, No 1. – P. 6–21.
[31] Chepurukhina I. S., Murach A. A. Elliptic boundary-value problems
in the sense of Lawruk on Sobolev and Hörmander spaces // Укр.
мат. журн. – 2015. – 67, № 5. – С. 672–691.
[32] Avakumović V. G. O jednom O-inverznom stavu // Rad Jugosloven-
ske Akad. Znatn. Umjetnosti. – 1936. – 254. – P. 167—186.
[33] Matuszewska W. On a generalization of regularly increasing functi-
ons // Studia Math. – 1964. – 24. – P. 271–279.
[34] Karamata J. Sur certains "Tauberian theorems" de M. M. Hardy et
Littlewood // Mathematica (Cluj). – 1930. – 3. – P. 33–48.
[35] Волевич Л.Р., Панеях Б.П. Некоторые пространства обобщенных
функций и теоремы вложения // Успехи мат. наук. – 1965. – 20,
№ 1. – С. 3–74.
[36] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с
частными производными: В 4-х т. Т. 3. Псевдодифференциальные
операторы. – Москва: Мир, 1987. – 696 с.
[37] Foiaş C., Lions J.-L. Sur certains théorèmes d’interpolation // Acta
Scient. Math. Szeged. – 1961. – 22, No 3–4. – P. 269–282.
374 I. С. Чепурухiна
[38] Peetre J. On interpolation functions // Acta Sci. Math. (Szeged). –
1966. – 27. – P. 167–171.
[39] Peetre J. On interpolation functions. II // Acta Sci. Math. (Szeged). –
1968. – 29, No. 1–2. – P. 91–92.
[40] Берг Й, Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства. Введе-
ние. – Москва: Мир, 1980. – 264 с.
[41] Зинченко Т. Н., Мурач А. А. Эллиптические по Дуглису–Нирен-
бергу системы в пространствах Хермандера // Укр. мат. журн. –
2012. – 64, № 11. – С. 1477–1491.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-204 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:02Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/2b/aef2f5bd25fe29658dcf4bf7cb5a952b.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2042018-01-29T10:33:50Z Elliptic B. Lawruk boundary value problems in the extended Sobolev scale Еліптичні крайові задачі за Б. Лавруком у розширеній соболєвській шкалі Chepurukhina, I. S. Чепурухіна, І. С. In the extended Sobolev scale, we investigate a class of elliptic problems with additional unknown functions in boundary conditions, which is introduced by B.~Lawruk. This scale consists of all Hilbert spaces that are interpolation spaces for pairs of Sobolev inner-product spaces and, moreover, admits a constructive description in terms of H\"ormander spaces. We prove a theorem on the Fredholm property of the bounded operators corresponding to these problems on the extended Sobolev scale and a theorem on local regularity of their solutions in H\"ormander spaces. We find sufficient conditions under which the generalized derivatives (of a given order) of the solutions are continuous. У розширеній соболєвській шкалі досліджено клас еліптичних задач з додатковими невідомими функціями у крайових умовах, введений Б. Лавруком. Ця шкала складається з усіх гільбертових просторів, інтерполяційних для пар гільбертових просторів Соболєва, і припускає конструктивний опис у термінах просторів Хермандера. Доведено теорему про нетеровість обмежених операторів, відповідних цим задачам у розширеній соболєвській шкалі, і теорему про локальну регулярність їх розв'язків у просторах Хермандера. Знайдено достатні умови неперервності узагальнених похідних (заданого порядку) розв'язків. Інститут математики НАН України 2015-06-25 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/204 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 2 (2015): Differential equations and related problems of analysis; 338-374 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 338-374 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 2 (2015): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 338-374 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/204/181 Авторське право (c) 2015 І. С. Чепурухіна |
| spellingShingle | Chepurukhina, I. S. Чепурухіна, І. С. Elliptic B. Lawruk boundary value problems in the extended Sobolev scale |
| title | Elliptic B. Lawruk boundary value problems in the extended Sobolev scale |
| title_alt | Еліптичні крайові задачі за Б. Лавруком у розширеній соболєвській шкалі |
| title_full | Elliptic B. Lawruk boundary value problems in the extended Sobolev scale |
| title_fullStr | Elliptic B. Lawruk boundary value problems in the extended Sobolev scale |
| title_full_unstemmed | Elliptic B. Lawruk boundary value problems in the extended Sobolev scale |
| title_short | Elliptic B. Lawruk boundary value problems in the extended Sobolev scale |
| title_sort | elliptic b. lawruk boundary value problems in the extended sobolev scale |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/204 |
| work_keys_str_mv | AT chepurukhinais ellipticblawrukboundaryvalueproblemsintheextendedsobolevscale AT čepuruhínaís ellipticblawrukboundaryvalueproblemsintheextendedsobolevscale AT chepurukhinais elíptičníkrajovízadačízablavrukomurozšireníjsobolêvsʹkíjškalí AT čepuruhínaís elíptičníkrajovízadačízablavrukomurozšireníjsobolêvsʹkíjškalí |