Inverse Cauchy problem for fractional diffusion equation with generalized functions in the right-hand sides
We establish the unique solvability of the inverse Cauchy problem for a time fractional diffusion equation with distributions in the right-hand sides of the equation and in the initial condition. This problem is to find the pair of the following functions: the generalized solution (continuous in tim...
Gespeichert in:
| Datum: | 2016 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/214 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552740333289472 |
|---|---|
| author | Lopushanska, G. P. Rapita, V. R. Лопушанська, Г. П. Рапіта, В. Р. |
| author_facet | Lopushanska, G. P. Rapita, V. R. Лопушанська, Г. П. Рапіта, В. Р. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "Г. П. Лопушанська",
"institution": "Львівський національний університет імені Івана Франка"
},
{
"author": "В. Р. Рапіта",
"institution": "Львівський національний університет імені Івана Франка"
}
] |
| author_sort | Lopushanska, G. P. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T12:50:07Z |
| description | We establish the unique solvability of the inverse Cauchy problem for a time fractional diffusion equation with distributions in the right-hand sides of the equation and in the initial condition. This problem is to find the pair of the following functions: the generalized solution (continuous in time in generalized sense) of direct Cauchy problem and the unknown minor coefficient (depending on the time variable) of the equation. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 1, 204–227
УДК 517.95
Г. П. Лопушанська, В. Р. Рапiта
(Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка,
Львiв)
Обернена задача Кошi для рiвняння
дробової дифузiї з узагальненими
функцiями у правих частинах
lhp@ukr.net, vrapita@gmail.com
We establish the unique solvability of the inverse Cauchy problem for
a time fractional diffusion equation with distributions in the right-
hand sides of the equation and in the initial condition. This problem
is to find the pair of the following functions: the generalized solution
(continuous in time in generalized sense) of direct Cauchy problem
and the unknown minor coefficient (depending on the time variable)
of the equation.
Встановлено однозначну розв’язнiсть оберненої задачi Кошi для
рiвняння дифузiї з дробовою похiдною за часом та узагальненими
функцiями у правих частинах рiвняння та початкової умови. За-
дача полягає у знаходженнi пари функцiй: узагальненого розв’яз-
ку (неперервного за часом в узагальненому сенсi) прямої задачi
Кошi та невiдомого, залежного вiд часової змiнної, неперервного
коефiцiєнта у молодшому членi рiвняння.
c© Г. П. Лопушанська, В. Р. Рапiта, 2016
Обернена задача Кошi для рiвняння дробової дифузiї... 205
1. Вступ
У [1] - [6] доведено теореми iснування i єдиностi, а також одержа-
но зображення за допомогою функцiй Грiна класичних розв’яз-
кiв задач Кошi для рiвнянь iз дробовою похiдною за часом. Елiп-
тичнi й параболiчнi крайовi задачi для рiвнянь iз частинними
похiдними, а також задача Кошi для рiвнянь iз дробовою по-
хiдною за часом при узагальнених функцiях у правих частинах
достатньо повно дослiдженi (див. [7] - [14] та бiблiографiю).
Оберненi крайовi задачi на визначення головного коефiцiєнта
або залежних вiд частини змiнних крайових даних чи правої час-
тини рiвняння дробової дифузiї вивчались у [15] - [21] та iнших
працях.
У цiй статтi вивчаємо обернену задачу Кошi на визначення
молодшого коефiцiєнта у рiвняннi – доводимо iснування та єди-
нiсть розв’язку (u, r) задачi
u
(β)
t −A(x,D)u− r(t)u = F0(x)g(t), x ∈ Rn, t ∈ (0, T ], (1)
u |t=0= F1(x), x ∈ Rn, (2)
(
u(·, t), ϕ0(·)
)
= F (t), t ∈ [0, T ] (3)
де β ∈ (0, 1), F0, F1 – заданi узагальненi функцiї, F, g – зада-
нi неперервнi функцiї, (u(·, t), ϕ0(·)) – значення невiдомої уза-
гальненої функцiї u на заданiй основнiй функцiї ϕ0 для кожного
t ∈ [0, T ], A(x,D) – елiптичний диференцiальний оператор дру-
гого порядку,
A(x,D)u =
n∑
i,j=1
aij(x)uxixj +
n∑
i=1
ai(x)uxi + a(x)u,
aij , ai, a ∈ C∞(Rn), i, j ∈ {1, . . . , n}.
206 Г. П. Лопушанська, В. Р. Рапiта
2. Основнi позначення, означення та допо-
мiжнi результати
Використовуємо позначення: N – множина натуральних чисел,
Z+ = N ∪ 0, Q = Rn × (0, T ], n ∈ N, D(Rn) – простiр не-
скiнченно диференцiйованих функцiй з компактними носiями в
Rn, E(Rn) = C∞(Rn), D(Q̄) – простiр нескiнченно диферен-
цiйовних функцiй v, якi мають компактнi носiї за просторовими
змiнними i такi, що ( ∂∂t)
kv|t=T = 0, k ∈ Z+, Dk(Rn) – простiр
функцiй iз Ck(Rn), k ∈ N, якi мають компактнi носiї,
||ϕ||Dk(Rn) = max
|κ|≤k
max
x∈suppϕ
|Dκϕ(x)|,
де κ = (κ1, . . . , κn), κj ∈ Z+, j ∈ {1, . . . , n}, |κ| = κ1 + · · · + κn,
Dκϕ(x) = ∂|κ|ϕ(x)
∂x
κ1
1 ...∂xκnn
, D′(Rn), E ′(Rn) i D′(Q̄) – простори лiнiйних
неперервних функцiоналiв (узагальнених функцiй) вiдповiдно на
D(Rn), E(Rn) та D(Q̄), (f, ϕ) – значення f ∈ D′(Rn) (f ∈ E ′(Rn),
f ∈ D′(Q̄)) на основнiй функцiї ϕ ∈ D(Rn) (вiдповiдно на ϕ ∈
E(Rn), ϕ ∈ D(Q̄)). Зауважимо, що E ′(Rn) – простiр узагальнених
функцiй з компактними носiями.
Нехай D′+(R) = {f ∈ D′(R) : f = 0 для t < 0},
D′C(Q̄) = {v ∈ D′(Q̄) : (v(·, t), ϕ(·)) ∈ C[0, T ] ∀ϕ ∈ D(Rn)},
g∗̂ϕ – згортка узагальненої функцiї g i основної функцiї ϕ:
(g∗̂ϕ)(x) = (g(ξ), ϕ(x+ ξ)),
f∗g – згортка узагальнених функцiй f i g:
(f ∗ g, ϕ) = (f, g∗̂ϕ) ∀ϕ ∈ D(Rn).
Використовуємо функцiю fλ ∈ D′+(R) [22]:
fλ(t) = θ(t)tλ−1
Γ(λ) для λ > 0 та fλ(t) = f ′1+λ(t) для λ ≤ 0,
Обернена задача Кошi для рiвняння дробової дифузiї... 207
де Γ(z) — гамма-функцiя, θ(t) — функцiя Хевiсайда. Правильнi
спiввiдношення
fλ ∗ fµ = fλ+µ, fλ∗̂fµ = fλ+µ.
Зауважимо, що похiдна Рiмiна-Лiувiлля v
(β)
t (x, t) порядку
β > 0 визначена формулою [22]
v
(β)
t (x, t) = f−β(t) ∗ v(x, t),
регуляризована похiдна дробового порядку β ∈ (0, 1) визначена
як [2]
Dβ
t v(x, t) =
1
Γ(1− β)
[ ∂
∂t
t∫
0
v(x, τ)
(t− τ)β
dτ − v(x, 0)
tβ
]
=
= v
(β)
t (x, t)− f1−β(t)v(x, 0).
Нехай C2,β(Q) – клас функцiй v ∈ C(Q), якi мають в Q не-
перервнi похiднi до другого порядку включно за просторовими
змiнними та неперервну Dβ
t v,
C2,β(Q̄) = C2,β(Q) ∩ C(Q̄),
(Lv)(x, t) = v
(β)
t (x, t)−A(x,D)v(x, t),
(Lregv)(x, t) = Dβ
t v(x, t)−A(x,D)v(x, t),
(L̂v)(x, t) = f−β(t)∗̂v(x, t)− Â(x,D)v(x, t), (x, t) ∈ Q,
де Â(x,D) – формально спряжений до A(x,D) диференцiальний
вираз.
Правильна формула Грiна [14]∫
Q
v(y, τ)(L̂ψ)(y, τ)dydτ =
∫
Q
(Lregv)(y, τ)ψ(y, τ)dydτ+ (4)
208 Г. П. Лопушанська, В. Р. Рапiта
+
∫
Rn
v(y, 0)dy
T∫
0
f1−β(τ)ψ(y, τ)dτ
∀v ∈ C2,β(Q̄), ψ ∈ D(Q̄).
Припущення:
(A1) g ∈ C[0, T ], F0, F1 ∈ E ′(Rn).
(A2) F, F (β) ∈ C[0, T ] i |F (t)| ≥ f = const > 0, t ∈ [0, T ],
ϕ0 ∈ D(Rn).
Означення 1. Пара функцiй
(u, r) ∈ D′C(Q̄)× C[0, T ],
яка задовольняє тотожнiсть
(u, L̂ψ) =
T∫
0
g(t)
(
F0(·), ψ(·, t)
)
dt+
T∫
0
r(t)
(
u(·, t), ψ(·, t)
)
dt+ (5)
+
(
F1(·),
T∫
0
f1−β(t)ψ(·, t)dt
)
∀ψ ∈ D(Q̄)
та умову (3), називається розв’язком задачi (1)-(3).
Iз (2) i (3) випливає необхiдна умова узгодження даних задачi
(F1, ϕ0) = F (0). (6)
Для доведення розв’язностi задачi застосовуємо метод функ-
цiї Грiна.
Означення 2. Вектор-функцiя (G0(x, t, y, τ), G1(x, t, y)) така,
що при достататньо регулярних g0, g1 функцiя
u(x, t) =
t∫
0
dτ
∫
Rn
G0(x, t, y, τ)g0(y, τ)dy + (7)
Обернена задача Кошi для рiвняння дробової дифузiї... 209
+
∫
Rn
G1(x, t, y)g1(y)dy, (x, t) ∈ Q̄
є класичним (iз C2,β(Q̄)) розв’язком задачi Кошi
Lregu(x, t) = g0(x, t), (x, t) ∈ Q,
u(x, 0) = g1(x) x ∈ Rn,
називається вектор-функцiєю Грiна цiєї задачi.
З означення 2 випливає, що
(LG0)(x, t, y, τ) = δ(x− y, t− τ), (x, t), (y, τ) ∈ Q,
де δ – дельта-функцiя Дiрака,
(LregG1)(x, t, y) = 0, (x, t) ∈ Q, y ∈ Rn,
G1(x, 0, y) = δ(x− y), x, y ∈ Rn.
У [3]– [5] встановлено iснування вектор-функцiї Грiна задачi
Кошi (1), (2), додатнiсть її компонент, знайдено їх оцiнки та оцiн-
ки їх похiдних, вивченi оператори Грiна на класах гельдерових
функцiй. Далi використовуємо позначення
(Ĝ0ϕ)(y, τ) =
T∫
τ
dt
∫
Rn
G0(x, t, y, τ)ϕ(x, t)dx,
(Ĝ1ϕ)(y) =
T∫
0
dt
∫
Rn
G1(x, t, y)ϕ(x, t)dx,
(Ĝ0ϕ)(y, t, τ) =
∫
Rn
G0(x, t, y, τ)ϕ(x) dx,
(Ĝ1ϕ)(y, t) =
∫
Rn
G1(x, t, y)ϕ(x) dx.
Лема 1. [14] Правильнi наступнi спiввiдношення:
(Ĝ0(L̂ψ))(y, τ) = ψ(y, τ), (y, τ) ∈ Q̄, ψ ∈ D(Q̄), (8)
210 Г. П. Лопушанська, В. Р. Рапiта
(Ĝ1(L̂ψ))(y) =
T∫
0
f1−β(t)ψ(y, τ) dt,
y ∈ Rn, ψ ∈ D(Q̄),
(9)
G1(x, t, y) =
t∫
0
f1−β(τ)G0(x, t, y, τ)dτ,
(x, t) ∈ Q, y ∈ Rn.
(10)
Лема 2. Для всiх k ∈ Z+, мультиiндексiв α, |α| = k, ϕ ∈ D(Rn)
(Ĝ0ϕ)(·, t, τ) ∈ C∞(Rn), 0 ≤ τ < t ≤ T,
(Ĝ1ϕ)(·, t) ∈ C∞(Rn), t ∈ [0, T ]
та справджуються оцiнки∣∣Dα
y (Ĝ0ϕ)(y, t, τ)
∣∣ ≤ c0(t− τ)β−1||ϕ||Dk(Rn),
y ∈ Rn, 0 ≤ τ < t ≤ T,
(11)
∣∣Dα
y (Ĝ1ϕ)(y, t)
∣∣ ≤ c1||ϕ||Dk(Rn), (y, t) ∈ Q̄. (12)
Тут i далi C, c, bi, ci, Ci (i ∈ Z+) – додатнi сталi.
Доведення. З результатiв [3], [4] випливають наступнi оцiнки у
випадку n ≥ 3:
G0(x, t, y, τ) ≤ C
(t−τ)|x−y|n−2 ,
G1(x, t, y) ≤ C
tβ |x−y|n−2 при |x|2 < tβ ,
G0(x, t, y, τ) ≤ C(t−τ)β−1
|x−y|n ·
(
|x−y|2
4(t−τ)β
)1+ n
2(2−β)
e
−c
(
|x−y|2
4(t−τ)β
) 1
2−β
,
G1(x, t, y) ≤ C
|x−y|n ·
(
|x−y|2
4tβ
) n
2(2−β)
e
−c
(
|x−y|2
4tβ
) 1
2−β
, |x|2 > tβ .
Використовуючи наведенi вище оцiнки, при n ≥ 3, для всiх
ϕ ∈ D(Rn), мультиiндексiв α, |α| = k, отримуємо
Обернена задача Кошi для рiвняння дробової дифузiї... 211
∣∣∣ ∫
Rn
G0(x, t, y, τ)Dαϕ(x)dx
∣∣∣ ≤
≤
∫
{x∈Rn:|x−y|2<(t−τ)β}
G0(x, t, y, τ)|Dαϕ(x)|dx +
+
∫
{x∈Rn:|x−y|2>(t−τ)β}
G0(x, t, y, τ)|Dαϕ(x)|dx ≤
≤ C
∫
{x∈Rn:|x−y|2<(t−τ)β}
|Dαϕ(x)|
(t− τ)|x− y|n−2
dx +
+C
∫
{x∈Rn:|x−y|2>(t−τ)β}
(t− τ)β−1
|x− y|n
·
( |x− y|2
4(t− τ)β
)1+ n
2(2−β) ×
×e
−c
(
|x−y|2
4(t−τ)β
) 1
2−β
|Dαϕ(x)|dx ≤
≤ C1
[ 1
(t− τ)
(t−τ)β/2∫
0
rdr +
∞∫
tβ/2
r
1+ n
2−β (t− τ)
−1− nβ
2(2−β) ×
× e−c
(
r2
(t−τ)β
) 1
2−β
dr
]
||ϕ||Dk(Rn) ≤
≤ C2
[ 1
(t− τ)
(t−τ)β/2∫
0
rdr+
+(t− τ)β−1
∞∫
1
z
n
2
+1−βe−cz dz
]
||ϕ||Dk(Rn) ≤
≤ c0(t− τ)β−1||ϕ||Dk(Rn), (x, t) ∈ Q.
Аналогiчно отримуємо
212 Г. П. Лопушанська, В. Р. Рапiта
∣∣∣ ∫
Rn
G1(x, t, y)Dαϕ(x)dx
∣∣∣ ≤
≤
∫
{x∈Rn:|x−y|2<tβ}
G1(x, t, y)|Dαϕ(x)|dx+
+
∫
{x∈Rn:|x−y|2>tβ}
G1(x, t, y)|Dαϕ(x)|dx ≤
≤ C3
[ ∫
{x∈Rn:|x−y|2<tβ}
1
tβ|x− y|n−2
dx +
+
∫
{x∈Rn:|x−y|2>tβ}
1
|x− y|n
·
( |x− y|2
4tβ
) n
2(2−β)
e
−c
(
|x−y|2
4tβ
) 1
2−β
dx
]
×
×‖ϕ‖Dk(Rn) ≤ C4
[ 1
tβ
tβ/2∫
0
r dr+
+
∞∫
tβ/2
r
−1+ n
2−β t
− nβ
2(2−β) e
−c
(
r2
tβ
) 1
2−β
dr
]
||ϕ||Dk(Rn) ≤
≤ C5
[ 1
tβ
tβ/2∫
0
r dr +
∞∫
1
z
n
2
−1e−cz dz
]
||ϕ||Dk(Rn) ≤
≤ c1||ϕ||Dk(Rn), (x, t) ∈ Q̄.
Згiдно з оцiнками G0(x, t, y, τ),
lim
|y|→∞
Ĝ0(Dαϕ)(y, t, τ) = 0, 0 ≤ τ < t ≤ T, ϕ ∈ D(Rn).
Обернена задача Кошi для рiвняння дробової дифузiї... 213
Оскiльки
∂
∂yj
G0(x, t, y, τ) = − ∂
∂xj
G0(x, t, y, τ)+
+
( ∂
∂yj
+
∂
∂xj
)
G0(x, t, y, τ), j ∈ {1, . . . , n}
i подiбно для похiдних вищих порядкiв, врахувавши також, що
функцiї( ∂
∂yj
+
∂
∂xj
)p
G0(x, t, y, τ), j ∈ {1, . . . , n}, p ∈ Z+
мають такi ж особливостi, як G0(x, t, y, τ), iнтегруючи частинами
та враховуючи одержанi вище оцiнки, отримуємо, що
Dα
y (Ĝ0ϕ)(·, t, τ) ∈ C∞(Rn), 0 ≤ τ < t ≤ T
для довiльної ϕ ∈ D(Rn) та оцiнки (11).
Так само доводимо, що
Dα
y (Ĝ1ϕ)(·, t) ∈ C∞(Rn), t ∈ [0, T ]
для довiльної ϕ ∈ D(Rn) та встановлюємо оцiнки (12).
Подiбно розглядаємо випадки n = 1 та n = 2.
Теорема 1. За припущень (A1) iснує єдиний розв’язок u ∈
D′C(Q̄) задачi Кошi
Lu = g(t)F0(x), (x, t) ∈ Q,
u(x, 0) = F1(x), x ∈ Rn.
(13)
Вiн визначений формулою
(
u(·, t), ϕ(·)
)
=
t∫
0
g(τ)
(
F0(·), (Ĝ0ϕ)(·, t, τ)
)
dτ+
+
(
F1(·), (Ĝ1ϕ)(·, t)
)
∀ϕ ∈ D(Rn), t ∈ [0, T ].
(14)
214 Г. П. Лопушанська, В. Р. Рапiта
Доведення. Теорема доводиться за схемою доведення теореми
3 iз [23]. Функцiя F (x, t) = F0(x) · g(t) належить D′C(Q̄), бо для
всiх ϕ ∈ D(Rn) функцiя (F0(x) ·g(t), ϕ(x)) = (F0, ϕ)g(t) неперерв-
на на [0, T ]. Узагальненi функцiї e правих частинах (13) мають
скiнченнi порядки сингулярностей: iснують цiлi k0, k1 i функцiї
gjα ∈ L1,loc(Rn), |α| ≤ kj , j = 0, 1 такi, що
(Fj , ϕ) =
∑
|α|≤kj
∫
Rn
gjα(y)Dαϕ(y)dy
∀ϕ ∈ D(Rn), j = 0, 1.
(15)
Це записуємо так: s(Fj) ≤ kj , j = 0, 1.
Використовуючи зображення (15) та лему 2, переконуємось,
що для довiльної ϕ ∈ D(Rn)
t∫
0
g(τ)
(
F0(y), (Ĝ0ϕ)(y, t, τ)
)
dτ =
=
∑
|α|≤k0
t∫
0
g(τ)
[ ∫
Rn
g0α(y)Dα(Ĝ0ϕ)(y, t, τ)dy
]
dτ,
(
F1(y), (Ĝ1ϕ)(y, t)
)
=
∑
|α|≤k1
∫
Rn
g1α(y)Dα(Ĝ1ϕ)(y, t)dy
та правильнi оцiнки
∣∣∣ t∫
0
g(τ)
(
F0(y), (Ĝ0ϕ)(y, t, τ)
)
dτ
∣∣∣ ≤
≤ c0||ϕ||Dk0 (Rn) ·
t∫
0
|g(τ)|(t− τ)β−1 dτ ≤
≤ b0tβ||ϕ||Dk0 (Rn), t ∈ [0, T ],
(16)
Обернена задача Кошi для рiвняння дробової дифузiї... 215∣∣(F1(y), (Ĝ1ϕ)(y, t)
)∣∣ ≤ b1||ϕ||Dk1 (Rn), t ∈ [0, T ]. (17)
При ϕ ∈ D(Rn) права частина (14) належить C[0, T ].
Покажемо, що функцiя (14) є розв’язком задачi у сенсi озна-
чення 1. Використовуючи (14) та лему 2, для довiльної ψ ∈ D(Q)
знаходимо
(
u, (L̂ψ
)
=
T∫
0
(
u(·, t), (L̂ψ)(·, t)
)
dt =
=
T∫
0
( t∫
0
g(τ)
(
F0(y), (Ĝ0(L̂ψ))(y, t, τ)
)
dτ
)
dt +
+
T∫
0
(
F1(y), (Ĝ1(L̂ψ))(y, t)
)
dt =
=
(
F0(y),
T∫
0
dt
t∫
0
g(τ)(Ĝ0(L̂ψ))(y, t, τ)dτ
)
+
+
(
F1(y),
T∫
0
(Ĝ1(L̂ψ))(y, t)dt
)
=
=
(
F0(y),
T∫
0
g(τ)dτ
T∫
τ
(Ĝ0(L̂ψ))(y, t, τ)dt
)
+
+
(
F1(y),
T∫
0
(
Ĝ1(L̂ψ)
)
(y, t)dt
)
=
=
(
F0(y) · g(τ),
(
Ĝ0(L̂ψ)
)
(y, τ)
)
+
(
F1, Ĝ1(L̂ψ)
)
.
Скориставшись формулами (8) та (9), для функцiї u, заданої
формулою (14), i довiльної ψ ∈ D(Q) одержуємо тотожнiсть (5)
216 Г. П. Лопушанська, В. Р. Рапiта
при r(t) = 0, t ∈ [0, T ]. За означенням 1 функцiя (14) є розв’яз-
ком задачi (13) шуканого класу. Єдинiсть розв’язку задачi дово-
диться, як у [23].
3. Розв’язнiсть оберненої задачi
Перейдемо до доведення iснування розв’язку оберненої задачi
Кошi. З теореми 1 випливає, що за припущень (А1), (А2) при
вiдомiй функцiї r ∈ C[0, T ] розв’язок u ∈ D′C(Q̄) задачi (1), (2)
задовольняє рiвняння
(
u(·, t), ϕ(·)
)
=
t∫
0
r(τ)
(
u(·, t), (Ĝ0ϕ)(·, t, τ)
)
dτ + hϕ(t) (18)
для кожної ϕ ∈ D(Rn), де
hϕ(t) =
t∫
0
g(τ)
(
F0(·), (Ĝ0ϕ)(·, t, τ)
)
dτ+
+
(
F1(·), (Ĝ1ϕ)(·, t)
)
, t ∈ [0, T ]
(19)
та hϕ ∈ C[0, T ] для довiльної ϕ ∈ D(Rn). I навпаки, будь-який
розв’язок u ∈ D′C(Q̄) рiвняння (18) є розв’язком задачi (1), (2).
З рiвняння (1) (
u
(β)
t (·, t), ϕ0(·)
)
=
=
(
u(·, t), (Âϕ0)(·)
)
+ r(t)
(
u(·, t), ϕ0(·)
)
+ g(t)(F0, ϕ0).
Використовуючи умову (3), отримуємо
F (β)(t) =
(
u(·, t), (Âϕ0)(·)
)
+ r(t)F (t) + g(t)(F0, ϕ0),
а враховуючи припущення (А2), знаходимо
r(t) =
[
F (β)(t)−
(
u(·, t), (Âϕ0)(·)
)
− g(t)(F0, ϕ0)
][
F (t)
]−1
,
t ∈ (0, T ].
(20)
Обернена задача Кошi для рiвняння дробової дифузiї... 217
Нехай
r(u, t) =
[
F (β)(t)−
(
u(·, t), (Âϕ0)(·)
)
− g(t)(F0, ϕ0)
] [
F (t)
]−1
,
t ∈ (0, T ].
Пiдставивши r(u, t) в (18) замiсть r, для кожної ϕ ∈ D(Rn)
отримаємо нелiнiйне рiвняння(
u(·, t), ϕ(·)
)
=
t∫
0
r(u, τ)
(
u(·, t), (Ĝ0ϕ)(·, t, τ)
)
dτ + hϕ(t)
(21)
вiдносно невiдомої u ∈ D′C(Q̄). Отож, задачу (1)–(3) зведено до
системи (21), (20).
Правильне обернене твердження: якщо пара (u, r) – розв’язок
системи (21), (20), то вона є розв’язком задачi (1)–(3).
Теорема 2. За припущень (А1), (А2) i (6) iснує T ∗ ∈ (0, T ]
(вiдповiдно Q∗ = Rn × (0, T ∗]) i розв’язок
(u, r) ∈ D′C(Q̄∗)× C[0, T ∗]
задачi(1)-(3): функцiя u є розв’язком рiвняння (21), r визначена
згiдно з (20).
Доведення. Як було встановлено вище, за припущень теореми
пара функцiй (u, r) ∈ D′C(Q̄)×C[0, T ] є розв’язком задачi (1)-(3)
тодi i тiльки тодi, коли функцiя u ∈ D′C(Q̄) є розв’язком рiвняння
(21), r ∈ C[0, T ] визначена формулою (20). Iз теореми 1 випливає,
що права частина (21) неперервна на [0, T ]. Достатньо довести
розв’язнiсть рiвняння (21) в D′C(Q̄).
Також iз доведення теореми 1 випливає iснування таких чисел
Ĉ > 0, K ∈ N, K ≥ max{k0, k1}, де s(Fj) ≤ kj , kj = 0, 1, що∣∣(u(·, t), ϕ(·)
)∣∣ ≤ Ĉ||ϕ||DK(Rn) ∀ϕ ∈ D(Rn).
218 Г. П. Лопушанська, В. Р. Рапiта
Нехай R > 0,
MR = MR(Q) = {v ∈ D′C(Q̄) :
||v||K = max
t∈[0,T ]
sup
ϕ∈DK(Rn)
∣∣(v(·, t), ϕ(·)
)∣∣
||ϕ||DK(Rn)
≤ R}.
Визначимо оператор P : D′C(Q̄)→ D′C(Q̄) як(
(Pv)(·, t), ϕ(·)
)
= hϕ(t)+
+
t∫
0
r(v, τ)
(
v(·, t), (Ĝ0ϕ)(·, t, τ)
)
dτ ∀ϕ ∈ DK(Rn),
де hϕ(t) визначена згiдно з (19).
Доведемо розв’язнiсть рiвняння (21) в MR, застосовуючи
принцип Банаха. Спочатку покажемо iснування таких R > 0,
T ∗ ∈ (0, T ], Q∗ i M∗R = MR(Q∗), що
P : M∗R →M∗R.
Використовуючи (15) i доведення леми 2, для v ∈ MR, ϕ ∈
DK(Rn) отримуємо
∣∣∣ t∫
0
g(τ)
(
F0(·), (Ĝ0ϕ)(·, t, τ)
)
dτ
∣∣∣ ≤ b0||ϕ||DK(Rn) t
β, (22)
|hϕ(t)| ≤ b0||ϕ||Dk0 (Rn)t
β + b1||ϕ||Dk1 (Rn) ≤
≤
[
b0t
β + b1
]
||ϕ||DK(Rn).
(23)
Для будь-якої v ∈MR маємо∣∣∣(v(·, τ), (Âϕ0)(·)
)∣∣∣ ≤ R‖Âϕ0‖DK(Rn) := b2R,
а тодi
|r(v, τ)| ≤ B + b2R
f
,
Обернена задача Кошi для рiвняння дробової дифузiї... 219
де B = max
t∈[0,T ]
|F (β)(t)− g(t)(F0, ϕ0)|.
Отже, для будь-якої v ∈MR∣∣∣((Pv)(·, t), ϕ(·)
)∣∣∣ ≤ [b0tβ + b1
]
||ϕ||DK(Rn)+
+
(B + b2R)R
f
t∫
0
||(Ĝ0ϕ)(·, t, τ)||DK(Rn)dτ.
За лемою 2
t∫
0
||(Ĝ0ϕ)(·, t, τ))||DK(Rn)dτ ≤ qtβ||ϕ||DK(Rn).
Отже, ∣∣∣((Pv)(·, t), ϕ(·)
)∣∣∣ ≤
≤
[
b0t
β + b1 +
(B + b2R)Rqtβ
f
]
||ϕ||DK(Rn) =
=
[
q0t
βR2 + q1t
βR+ b0t
β + b1
]
||ϕ||DK(Rn),
(24)
де q0 = b2q
f , q1 = Bq
f , i тодi∣∣∣((Pv)(·, t), ϕ(·)
)∣∣∣
||ϕ||DK [0,T ]
≤ q0t
βR2 + q1t
βR+ b0t
β + b1
∀v ∈MR, ϕ ∈ D(Rn).
Для виконання нерiвностi
q0t
βR2 + q1t
βR+ b0t
β + b1 ≤ R ∀t ∈ [0, T ∗] (25)
при деякому T ∗ ∈ (0, T ] виберемо спочатку R > 2b1 i t0 ∈ (0, T ]
так, щоб
b0t
β + b1 ≤ R/2 ∀t ∈ [0, t0].
220 Г. П. Лопушанська, В. Р. Рапiта
Тодi при R > max{1, 2b1} нерiвнiсть (25) випливає з нерiвностi
(q0 + q1)tβR ≤ 1
2
∀t ∈ [0, t∗], (26)
правильної при t∗ = min{t0, [(q0 + q1)R]−1/β}. Ми довели, що
iснують числа
R > max{1, 2b1}, T ∗ = min{t∗, T} > 0
такi, що для всiх t ∈ [0, T ∗], v ∈ M∗R нерiвнiсть (25) виконується
i, отже, P : M∗R →M∗R.
Тепер покажемо, що оператор P є стисним на M∗R для вибра-
ного R. При v1, v2 ∈M∗R, ϕ ∈ DK(Rn) i t ∈ [0, T ∗] маємо∣∣∣((Pv1)(·, t), ϕ(·)
)
−
(
(Pv2)(·, t), ϕ(·)
)∣∣∣ =
=
∣∣∣((Pv1)(·, t)− (Pv2)(·, t), ϕ(·)
)∣∣∣ =
=
∣∣∣ t∫
0
[
r(v1, τ)
(
v1(·, t), (Ĝ0ϕ)(·, t, τ)
)
−
−r(v2, τ)
(
v2(·, t), (Ĝ0ϕ)(·, t, τ)
)]
dτ
∣∣∣ =
=
∣∣∣ t∫
0
[
r(v1, τ)
(
v1(·, t)− v2(·, t), Ĝ0ϕ(·, t, τ)
)
+
+
(
r(v1, τ)− r(v2, τ)
)(
v2(·, t), Ĝ0ϕ(·, t, τ)
)]
dτ
∣∣∣ ≤
≤
t∫
0
∣∣∣r(v1, τ)
∣∣∣ · ∣∣∣(v1(·, t)− v2(·, t), Ĝ0ϕ(·, t, τ)
)∣∣∣dτ+
+
1
f
t∫
0
∣∣∣(v1(·, τ)− v2(·, τ), (Âϕ0)(·)
)∣∣∣ · ∣∣∣(v2(·, t), Ĝ0ϕ(·, t, τ)
)∣∣∣dτ.
Обернена задача Кошi для рiвняння дробової дифузiї... 221
Тодi ∣∣∣((Pv1)(·, t), ϕ(·)
)
−
(
(Pv2)(·, t), ϕ(·)
)∣∣∣
||ϕ||DK(Rn)
≤
≤ B + b2R
f
t∫
0
sup
ϕ∈DK(Rn)
∣∣∣(v1(·, τ)− v2(·, τ), (Ĝ0ϕ)(·, t, τ)
)∣∣∣
||(Ĝ0ϕ)(·, t, τ)||DK(Rn)
×
×
||(Ĝ0ϕ)(·, t, τ)||DK(Rn)
||ϕ||DK(Rn)
dτ+
+
R||Âϕ0||DK(Rn)
f
t∫
0
∣∣∣(v1(·, τ)− v2(·, τ), (Âϕ0)(·)
)∣∣∣
||Âϕ0||DK(Rn)
×
× sup
ϕ∈DK(Rn)
||(Ĝ0ϕ)(·, t, τ)||DK(Rn)
||ϕ||DK(Rn)
dτ ≤
≤
[B + 2b2R
f
sup
ϕ∈DK(Rn)
t∫
0
||(Ĝ0ϕ)(·, t, τ)||DK(Rn)dτ
||ϕ||DK(Rn)
]
·||v1 − v2||K ≤
≤ (B + 2b2R)qtβ
f
||v1 − v2||K =
= (2q0R+ q1)tβ||v1 − v2||K ∀t ∈ [0, T ∗].
Зауважимо, що при Â(x,D)ϕ0(x) ≡ 0, x ∈ Rn в одержано-
му виразi вiдсутнiй множник 2: у цьому випадку в попереднiй
формулi(
v1(·, τ)− v2(·, τ), (Âϕ0)(·)
)
= 0 для всiх τ ∈ [0, T ∗].
222 Г. П. Лопушанська, В. Р. Рапiта
При t ∈ [0, T ∗] та вибраному R маємо
(2q0R+ q1)tβ ≤ 2q0R+ q1
2(q0 + q1)R
=
=
2q0
2(q0 + q1)
+
q1
2(q0 + q1)R
<
2q0 + q1
2(q0 + q1)
< 1.
Отже, P – стисний оператор на MR(Q∗), i за теоремою Банаха
одержуємо розв’язнiсть рiвняння (21) у MR(Q∗) ⊂ D′C(Q̄∗).
Теорема 3. За умов F ∈ C[0, T ], F (t) 6= 0, t ∈ [0, T ] розв’язок
(u, r) ∈ D′C(Q̄)× C[0, T ]
задачi (1)-(3) єдиний.
Доведення. Вiзьмемо два розв’язки
(u1, r1), (u2, r2) ∈ D′C(Q̄)× C[0, T ]
задачi (1)-(3) i пiдставимо їх у рiвняння (1). Отримаємо рiвняння
u
(β)
1t − u
(β)
2t = A(u1 − u2) + (r1 − r2)u1 + r2(u1 − u2).
Нехай u = u1 − u2, r = r1 − r2. Тодi u задовольняє в Q рiвняння
u
(β)
t = Au+ r2u+ ru1
та нульову початкову умову.
З означення розв’язку
(u, L̂ψ) =
T∫
0
[
r2(t)
(
u(·, t), ψ(t)
)
+ r(t)
(
u1(·, t), ψ(t)
)]
dt
для будь-якої ψ ∈ D(Q̄).
Обернена задача Кошi для рiвняння дробової дифузiї... 223
Згiдно з [14], для кожної % ∈ D(Q̄) iснує така ψ = Ĝ0% ∈ D(Q̄),
що L̂ψ = % в Q̄. Тодi з попередньої тотожностi
T∫
0
(
u(·, t), %(·, t)
)
dt =
=
T∫
0
(
r2(t)u(·, t) + r(t)u1(·, t), (Ĝ0%)(·, t)
)
dt
для будь-якої % ∈ D(Q̄), а iз (20) та умови перевизначення (3)(
u(z, t), (Âϕ0)(z)
)
= −r(t)F (t), t ∈ [0, T ]. (27)
Знайшовши iз (27) вираз для функцiї r(t), пiдставляємо його у
попередню тотожнiсть. Отримуємо
T∫
0
(
u(·, t), %(·, t)
)
dt =
=
T∫
0
(
r2(t)u(·, t)−
(
u(z, t), (Âϕ0)(z)
)
F (t)
u1(·, t), (Ĝ0%)(·, t)
)
dt
для кожної % ∈ D(Q̄), i ця рiвнiсть може бути записана як
T∫
0
(
u(·, t), %(·, t)− r2(t)(Ĝ0%)(·, t) +
(Âϕ0)(·)w%(t)
F (t)
)
dt = 0 (28)
для кожної % ∈ D(Q̄), де
w%(t) =
(
u1(·, t), (Ĝ0%)(·, t)
)
– вiдома функцiя. Згiдно з лемою 2 [14],
Ĝ0% ∈ D(Q̄) ∀% ∈ D(Q̄),
224 Г. П. Лопушанська, В. Р. Рапiта
а тому w% ∈ C[0, T ],
%(·, t)− r2(t)(Ĝ0%)(·, t) +
(Âϕ0)(·)w%(t)
F (t)
∈ D(Rn), t ∈ [0, T ]
та неперервна за t ∈ [0, T ]. Отож, для довiльних ϕ ∈ D(Rn), µ ∈
D(0, T ) iснує єдиний розв’язок % = %g iнтегрального рiвняння
%(x, t)− r2(t)(Ĝ0%)(x, t) +
(Âϕ0)(x)w%(t)
F (t)
=
= ϕ(x)µ(t), (x, t) ∈ Q̄,
яке є iнтегральним рiвнянням Вольтерри другого роду з iнте-
гровним ядром. Цей розв’язок
%g(·, t) ∈ D(Rn) ∀t ∈ [0, T ]
та неперервний за t ∈ [0, T ]. Тодi з (28) отримуємо
T∫
0
(
u(·, t), ϕ(·)
)
µ(t)dt = 0 ∀ϕ ∈ D(Rn), µ ∈ D(0, T ).
За лемою Дю-Буа-Реймона [22, c. 95](
u(·, t), ϕ(·)
)
= 0 ∀ϕ ∈ D(Rn), t ∈ [0, T ],
так що u = 0 в D′C(Q̄). А тодi з (27) випливає, що
r(t) = 0 ∀t ∈ [0, T ].
4. Висновки
У статтi доведено теореми про iснування та єдинiсть розв’язку
оберненої задачi Кошi (1)-(3) для рiвняння з дробовою похiд-
ною за часом – задачi на знаходження неперервного за часом в
Обернена задача Кошi для рiвняння дробової дифузiї... 225
узагальненому сенсi розв’язку прямої задачi та невiдомого, за-
лежного вiд часу, неперервного коефiцiєнта у молодшому членi
рiвняння при заданих узагальнених функцiях у правих частинах
рiвняння та початкової умови.
Одержанi результати переносяться на випадок заданих уза-
гальнених функцiй iз ширших просторiв. Зокрема, теореми iсну-
вання та єдиностi залишаються правильними при Fj ∈ D′b(Rn),
j = 0, 1, де
Db(Rn) = {f ∈ C∞(Rn) : Dγf обмеженi в Rn ∀γ}.
Лiтература
[1] Anh V. V., Leonenko N. N. Spectral analysis of fractional kinetic
equations with random datas // J. of Statistical Physics. – 2001. –
104, No 5/6. – P. 1349–1387.
[2] Djrbashian M. M., Nersessyan A. B. Fractional derivatives and
Cauchy problem for differentials of fractional order // Izv. AN Arm.
SSR. Matematika. – 1968. – 3. – P. 3–29.
[3] Eidelman S. D., Ivasyshen S.D ., Kochubei A. N. Analytic methods in
the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic
type // Basel-Boston-Berlin: Birkhauser Verlag, 2004.
[4] Кочубей А. Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дроб-
ного порядка // Дифференц. уравнения. – 1989. – 25, № 8. – C.
1359–1368.
[5] Кочубей А. Н., Эйдельман С. Д. Уравнения одномерной фрак-
тальной диффузии // Доп. НАН України. – 2003. – № 12. – C.
11–16.
[6] Voroshylov A. A., Kilbas A. A. Conditions of the existence of classi-
cal solution of the Cauchy problem for diffusion-wave equation with
Caputo partial derivative // Dokl. Ak. Nauk. – 2007. – 414, No 4. –
P. 1–4.
[7] Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям само-
сопряженных операторов // Киев: Наукова думка, 1965. – 800 c.
226 Г. П. Лопушанська, В. Р. Рапiта
[8] Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные задачи для дифферен-
циально-операторных уравнений // Киев: Наукова думка, 1984. –
284 с.
[9] Городецький В. В., Лiтовченко В. А. Задача Кошi для псевдоди-
ференцiальних рiвнянь у просторах узагальнених функцiй типу
S′ // Доп. АН України. – 1992. — № 10. – С. 6–9.
[10] Житарашу Н. В. Теоремы об изоморфизмах в Lp-теории слабых
решений параболических граничных задач // Докл. АН СССР. –
1981. – 260, № 5. – С. 1054–1058.
[11] Rojtberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of
distributions // Dordrecht: Kluver Acad. Publishers, 1996. – 415 p.
[12] Лионс Ж.–Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и
их приложения // Москва: Мир, 1971. – 372 с.
[13] Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хермандера, интер-
поляция и эллиптические задачи // Kиев: Ин-т математики НАН
Украины, 2010. – 372 с. (Доступна як arXiv:1106.3214.)
[14] Лопушанская Г. П., Лопушанский А. О., Пасичник О. В. Задача
Коши для уравнений с дробной производной по времени в про-
странстве обобщенных функций // Сиб. матем. журн. – 2011. –
52, № 6. – С. 1288–1299.
[15] Aleroev T. S., Kirane M., Malik S. A. Determination of a source term
for a time fractional diffusion equation with an integral type over-
determination condition // Electronic J. of Differential Equations. –
2013. – 2013, No 270. – P. 1–16.
[16] Cheng J., Nakagawa J., Yamamoto M., Yamazaki T. Uniqueness in an
inverse problem for a one-dimentional fractional diffusion equation //
Inverse Problems. – 2009. – 25, No 11. – P. 1–16. (Доступна як
http://dx.doi.org/10.1088/0266-5611/25/11/115002.)
[17] El-Borai Mahmoud M. On the solvability of an inverse fractional
abstract Cauchy problem // LJRRAS. – 2011. – 4. – P. 411–415.
[18] Hatano Y., Nakagawa J., Wang Sh., Yamamoto M. Determinati-
on of order in fractional diffusion equation // Journal of Math-for-
Industry. – 2013. – 5A. – P. 51–57.
Обернена задача Кошi для рiвняння дробової дифузiї... 227
[19] Nakagawa J., Sakamoto K., Yamamoto M. Overview to mathemati-
cal analysis for fractional diffusion equation – new mathematical
aspects motivated by industrial collaboration // Journal of Math-
for-Industry. – 2010. – 2A. – P. 99–108.
[20] Rundell W., Xu X., Zuo L. The determination of an unknown
boundary condition in fractional diffusion equation // Applicable
Analysis. – 2012. – 92, No 7. – P. 1511–1526.
[21] Zhang Y., Xu X. Inverse source problem for a fractional diffusion
equation // Inverse Problems. – 2011. – 27, No 3. – P. 1–12. (До-
ступна як http://dx.doi.org/10.1088/0266-5611/27/3/035010.)
[22] Владимиров В. С. Уравнения математической физики. Изд. 4-е //
Москва: Наука, 1985. – 512 c.
[23] Лопушанський А. О. Регулярнiсть розв’язкiв крайових задач для
дифузiйно-хвильового рiвняння з узагальненими функцiями в
правих частинах // Карпатськi матем. публ. – 2013. – 5, № 2. – С.
279–289.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-214 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:14Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/c7/262afadb04afd87e56ba0d689d190ec7.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2142018-01-29T12:50:07Z Inverse Cauchy problem for fractional diffusion equation with generalized functions in the right-hand sides Обернена задача Коші для рівняння дробової дифузії з узагальненими функціями у правих частинах Lopushanska, G. P. Rapita, V. R. Лопушанська, Г. П. Рапіта, В. Р. We establish the unique solvability of the inverse Cauchy problem for a time fractional diffusion equation with distributions in the right-hand sides of the equation and in the initial condition. This problem is to find the pair of the following functions: the generalized solution (continuous in time in generalized sense) of direct Cauchy problem and the unknown minor coefficient (depending on the time variable) of the equation. Встановлено однозначну розв'язність оберненої задачі Коші для рівняння дифузії з дробовою похідною за часом та узагальненими функціями у правих частинах рівняння та початкової умови. Задача полягає у знаходженні пари функцій: узагальненого розв'язку (неперервного за часом в узагальненому сенсі) прямої задачі Коші та невідомого, залежного від часової змінної, неперервного коефіцієнта у молодшому члені рівняння. Інститут математики НАН України 2016-05-16 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/214 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 1 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 204-227 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 204-227 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 204-227 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/214/191 Авторське право (c) 2016 Г. П. Лопушанська, В. Р. Рапіта |
| spellingShingle | Lopushanska, G. P. Rapita, V. R. Лопушанська, Г. П. Рапіта, В. Р. Inverse Cauchy problem for fractional diffusion equation with generalized functions in the right-hand sides |
| title | Inverse Cauchy problem for fractional diffusion equation with generalized functions in the right-hand sides |
| title_alt | Обернена задача Коші для рівняння дробової дифузії з узагальненими функціями у правих частинах |
| title_full | Inverse Cauchy problem for fractional diffusion equation with generalized functions in the right-hand sides |
| title_fullStr | Inverse Cauchy problem for fractional diffusion equation with generalized functions in the right-hand sides |
| title_full_unstemmed | Inverse Cauchy problem for fractional diffusion equation with generalized functions in the right-hand sides |
| title_short | Inverse Cauchy problem for fractional diffusion equation with generalized functions in the right-hand sides |
| title_sort | inverse cauchy problem for fractional diffusion equation with generalized functions in the right-hand sides |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/214 |
| work_keys_str_mv | AT lopushanskagp inversecauchyproblemforfractionaldiffusionequationwithgeneralizedfunctionsintherighthandsides AT rapitavr inversecauchyproblemforfractionaldiffusionequationwithgeneralizedfunctionsintherighthandsides AT lopušansʹkagp inversecauchyproblemforfractionaldiffusionequationwithgeneralizedfunctionsintherighthandsides AT rapítavr inversecauchyproblemforfractionaldiffusionequationwithgeneralizedfunctionsintherighthandsides AT lopushanskagp obernenazadačakošídlârívnânnâdrobovoídifuzíízuzagalʹnenimifunkcíâmiupravihčastinah AT rapitavr obernenazadačakošídlârívnânnâdrobovoídifuzíízuzagalʹnenimifunkcíâmiupravihčastinah AT lopušansʹkagp obernenazadačakošídlârívnânnâdrobovoídifuzíízuzagalʹnenimifunkcíâmiupravihčastinah AT rapítavr obernenazadačakošídlârívnânnâdrobovoídifuzíízuzagalʹnenimifunkcíâmiupravihčastinah |