Periodic solutions of differential equations with discontinuous nonlinearity
We study periodic solutions of first and second orders nonhomogeneous differential equations with discontinuous nonlinearity. Forced periodic oscillation are studied for first order differential equations with and without sliding mode.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/218 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552740092116992 |
|---|---|
| author | Nizhnik, I. L. Нижник, І. Л. |
| author_facet | Nizhnik, I. L. Нижник, І. Л. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. Л. Нижник",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Nizhnik, I. L. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T01:38:29Z |
| description | We study periodic solutions of first and second orders nonhomogeneous differential equations with discontinuous nonlinearity. Forced periodic oscillation are studied for first order differential equations with and without sliding mode. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 1, 274–288
УДК 517.911.5
I. Л. Нижник
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Перiодичнi розв’язки
диференцiальних рiвнянь iз
розривною нелiнiйнiстю
irene@imath.kiev.ua
We study periodic solutions of first and second orders nonhomoge-
neous differential equations with discontinuous nonlinearity. Forced
periodic oscillation are studied for first order differential equations
with and without sliding mode.
Дослiджуються перiодичнi розв’язки неоднорiдних диферен-
цiальних рiвнянь першого та другого порядкiв iз розривною нелi-
нiйнiстю. Дослiдженi вимушенi перiодичнi коливання для рiвнянь
першого порядку iз наявнiстю та без ковзних режимiв.
1. Вступ
Дослiдження перiодичних розв’язкiв для нелiнiйних диферен-
цiальних рiвнянь є актуальною тематикою, якiй присвячена ве-
лика кiлькiсть праць: наприклад, див. посилання у лiтературi
[1–6]. Поряд iз цим, особливу увагу придiляють вивченню рiв-
нянь iз розривними нелiнiйностями завдяки їх важливостi у при-
кладних задачах: див. працi [7–12] та посилання у них. Цi задачi
c© I. Л. Нижник, 2016
Перiодичнi розв’язки диференцiальних рiвнянь... 275
вiдiграють важливу прикладну роль, оскiльки у термiнах роз-
ривних систем формулюються багаточисельнi змiстовнi задачi
iнженерно-технiчного характеру, що пов’язанi з сейсмiчними ко-
ливаннями, проходженням ударних хвиль та вибухових процесiв,
управлiнням манiпуляторами, тощо. Останнiм часом ряд задач
розглянуто у наступних роботах [13–19].
2. Неоднорiднi рiвняння першого порядку
Будемо дослiджувати перiодичнi розв’язки рiвняння
y′(t) + sign y(t) = A sin t, A ≥ 0, (1)
що описує вимушенi коливання, спричиненi зовнiшньою перiо-
дичною силою A sin t. Оскiльки у рiвняннi (1) незалежна змiна є
часом та має напрям, то для цього рiвняння можливi так званi
"ковзнi режими". Дослiдження диференцiальних рiвнянь iз роз-
ривною правою частиною у випадку "ковзних режимiв" прово-
дяться у роботах [11,12], що основанi на теорiї диференцiальних
включень.
Якщо в момент часу t0 розв’язок має нульовi початковi данi,
то розв’язок є тотожнiм нулем на всьому iнтервалi [t0, t0 + l], де
зовнiшня сила f = A sin t приймає значення по модулю меншi за
1, а на правому кiнцi iнтервалу рiвнi 1.
Таким чином, для рiвняння (1) пiд розв’язком будемо розумi-
ти неперервну функцiю y(t), яка зовнi своїх нулiв є класичним
розв’язком рiвнянням (1), а на iнтервалах I, де y(t) ≡ 0, (якщо
такi iснують) виконується "ковзний режим". Зауважимо, що таке
означення розв’язку узгоджується з означенням розв’язку рiвня-
ння (1), якщо його iнтерпретувати як диференцiальне включен-
ня, покладаючи sign 0 = [−1, 1].
Знайдемо 2π–перiодичнi розв’язки рiвняння (1). У випадку
наявностi "ковзних режимiв" на iнтервалах I1 = [t1 − l, t1] та
I2 = [t1 + π − l, t1 + π] розв’язок на цих iнтервалах є тотожнiй
276 I. Л. Нижник
нуль, значення t1 знаходимо iз умови A sin(t1) = 1, тобто
t1 = arcsin
1
A
. (2)
Мiж iнтервалами I1 та I2 розв’язок задовольняє рiвняння y′+1 =
A sin(t) i умови y(t1) = 0, y(t1 + π − l) = 0. Тодi
y(t) = A(cos t1 − cos t) + t1 − t. (3)
Довжина l iнтервалу з "ковзним режимом" визначається iз умо-
ви y(t1 + π − l) = 0 та наближено при 1 < A < 1.5 задається
наступним виразом
l ≈ π − 3 arccos
1
A
. (4)
Рис.1 2π–перiодичний розв’язок рiвняння (1), A = 1.1, на
iнтервалi часу [0, arcsin(1/A) + 4π].
На рис.1 представлений графiк 2π–перiодичного розв’язку з ам-
плiтудою A = 1.1 зовнiшньої сили з "ковзними режимами" на
iнтервалах, отриманих iз iнтервалу [2.438, 4.282] зсувом на kπ,
k ∈ Z.
Перiодичнi розв’язки диференцiальних рiвнянь... 277
Якщо "ковзнi режими" вiдсутнi, то 2π–перiодичний розв’язок
рiвняння має вигляд
y(t) =
{
A(cos t2 − cos t) + t2 − t, t2 ≤ t ≤ t2 + π,
A(cos t2 − cos t)− (t2 − t), t2 + π ≤ t ≤ t2 + 2π.
(5)
Параметр t2 у формулах (5) визначається рiвнiстю
t2 = arccos
π
2A
. (6)
Рис.2 2π–перiодичний розв’язок рiвняння (1), A = 1.9, на
вiдрiзку часу [arccos(π/(2A)), 4π + arccos(π/(2A))].
На рис.2 представлений 2π–перiодичний розв’язок рiвняння (1)
без "ковзних режимiв" для амплiтуди A = 1.9 зовнiшньої сили.
Теорема 1. Перiодичнi розв’язки рiвняння (1) та їх "ковзний
режим" можуть отримуватись при кусочно-лiнiйнiй апрокси-
мацiї розривної нелiнiйностi
sign y = fε(y) ≡
1, y > ε,
1
ε
y, |y| ≤ ε,
−1, y < −ε.
(7)
278 I. Л. Нижник
при ε→ 0.
Доведення. Задача Кошi для рiвняння (1) з початковою умо-
вою y(t) =y0 i кусково-лiнiйною апроксимацiєю нелiнiйностi (7)
призводить до розв’язку
y(t) = (y0 +
Aε2
1 + ε2
)e−
t
ε +
Aε
1 + ε2
sin t− Aε2
1 + ε2
cos t. (8)
При ε→ 0 розв’язок (8) дає "ковзний режим" y ≡ 0. Аналогiчно
можна показати, що при ε → 0 отримуємо перiодичний розв’я-
зок. Теорема 1 доведена.
3. Неоднорiднi рiвняння другого порядку
Розглянемо рiвняння другого порядку iз розривною нелiнiйнiстю
y′′ + y = sign y + f(t), (9)
де f(t) – неперервна функцiя. Пiд розв’язком рiвняння (9) розу-
мiють неперервно-диференцiйовну функцiю y(t), яка зовнi своїх
нулiв є класичним розв’язком рiвнянням (9). Зауважимо, що таке
означення розв’язку узгоджується з означенням розв’язку рiвня-
ння (9), якщо його iнтерпретувати як диференцiальне включен-
ня, покладаючи sign 0 = [−1, 1]. В роботi [15] описанi всi розв’яз-
ки однорiдного (f ≡ 0) рiвняння (9), коли тотожнiй нуль y ≡ 0 є
розв’язком рiвняння. Наведемо цей результат у виглядi теореми.
Теорема 2. 1) Якщо розв’язок рiвняння
y′′ + y = sign y (10)
не має нулiв на всiй осi, тодi цей розв’язок має вигляд
y(t) = ±1 + a cos t+ b sin t, a2 + b2 < 1,
де знак + вiдповiдає додатнiм, а знак - вiдповiдає вiд’ємним
розв’язкам.
Перiодичнi розв’язки диференцiальних рiвнянь... 279
2) Якщо розв’язок y(t) рiвняння (10) має простий нуль у то-
чцi t0, тобто y(t0) = 0, y′(t0) 6= 0, тодi вiн L = 2l–перiодичний,
де l = 2arctan(|y′(0)|) та однозначно визначається при всiх t,
еквiвалентний функцiї вигляду
y(t) = 1−
cos(t− l
2)
cos l2
, 0 ≤ t ≤ l,
y(t) = −y(t− l), l ≤ t ≤ 2l = L.
3) Якщо розв’язок y(t) 6≡ 0 рiвняння (10) та має двократний
нуль, тобто y(t0) = y′(t0) = 0, тодi всi нулi такого розв’язку
двократнi.
Такi розв’язки мають наступну структуру: на всiй осi t ∈
(−∞,+∞) iснує скiнченне або нескiнченне число вiдкритих iн-
тервалiв Ik, k = 1, 2, ...,≤ ∞, що не перетинаються i мають
довжину 2π таких, що розв’язки вiдмiннi вiд нуля лише на цих
iнтервалах Ik = (ak, ak + 2π) i розв’язки мають вигляд
y(t) = ±(1− cos(t− ak)), t ∈ Ik. (11)
Наявнiсть можливостi 3) показує, що для рiвняння (10) задача
Кошi може мати не єдиний розв’язок.
Теорема 3. Для рiвняння (9) з неперервною функцiєю f(t)
розв’язок задачi Кошi з початковими умовами
y(t0) = a, y′(t0) = b
iснує локально в деякому околi точки t0, якщо початковi данi
ненульовi a2 + b2 6= 0, або |f(t0)| > 1.
У випадку a = b = 0 i |f(t0)| < 1 iснує принаймнi два розв’яз-
ки
y(t) = ±(1− cos(t− t0)) +
∫ t+t0
t0
sin(t+ t0 − τ)f(τ) dτ. (12)
280 I. Л. Нижник
Доведення. У випадку a2 + b2 6= 0 розв’язок має вигляд
y(t) = a cos(t− t0) + b sin(t− t0)± (1− cos(t− t0))+
+
∫ t+t0
t0
sin(t+ t0 − τ)f(τ) dτ,
(13)
де знак плюс вiдповiдає випадку a > 0 або a = 0 i b > 0. У iнших
випадках у виразi (13) стоїть знак мiнус. Якщо a = b = 0, то
розв’язок задачi Кошi має вигляд (12) при умовi, що |f(t0)| > 1
i знак ± спiвпадає iз знаком f(t0). Теорема 3 доведена.
Результат теореми 2 використаємо для дослiдження перiоди-
чних розв’язкiв рiвняння (9).
Теорема 4. Рiвняння
y′′ + y = sign y + ε sin
t
2n
, ε > 0, n ∈ N (14)
має 4nπ-перiодичний розв’язок
y(t) = (1− cos t)sign (sin
t
2n
) + ε(1− 1
4n2
)−1 sin
t
2n
. (15)
Доведення. При t ∈ (0, 2nπ) розв’язок (15) додатнiй та задо-
вольняє рiвняння
y′′ + y = 1 + ε sin
t
2n
.
На iнтервалi t ∈ (2nπ, 4nπ) розв’язок (15) вiд’ємний та задоволь-
няє рiвняння
y′′ + y = −1 + ε sin
t
2n
.
При t = 2nπ розв’язок (15) перетворюється в нуль, є неперерв-
ним з неперервною похiдною. Розв’язок (15) є 4nπ-перiодичним
розв’язком рiвняння (14). Теорема 4 доведена.
Зауваження 1. Як показує явний вигляд (15), його головний
член при ε → +0, тобто функцiя (1 − cos t)sign sin t
2n є 4nπ-
перiодичною, а її перiод визначається перiодом малого при ε→
+0 збурення зовнiшньої сили ε sin t
2n .
Перiодичнi розв’язки диференцiальних рiвнянь... 281
На рис. 3 зображений графiк функцiї (15) при n = 2 та ε = 0.2.
Рис. 3 Розв’язок (15) рiвняння (14) при n = 2, ε = 0.2.
Теорема 5. Задача Кошi для рiвняння
y′′ + y = sign y + ε (16)
з початковими умовами y(0) = 2, y
′
(0) = 0 має єдиний розв’я-
зок на всiй осi, якщо ε 6= 0. При цьому при ε > 0 розв’язок є
2π-перiодичним i має вигляд
y(t) = 1 + ε+ (1− ε) cos t, ε > 0, −∞ < t <∞. (17)
При ε < 0 розв’язок є 2l-перiодичним та має вигляд
y(t) =
1− |ε|+ (1 + |ε|) cos t, −l1 ≤ t ≤ l1,
−(1 + |ε|)(1− cos(t− l)
cos(l − l1)
, l1 ≤ t ≤ 2l − l1,
(18)
де l1 = π − arcsin
2
√
|ε|
1 + |ε|
, l − l1 = π − arctan
2
√
|ε|
1+|ε| .
282 I. Л. Нижник
При ε = −1 розв’язок розглядуваної задачi Кошi на всiй осi є
5π
2
перiодичний, зображений на рис. 4.
Рис. 4. Розв’язок задачi Кошi y(t) (18) при ε = −1 на iнтервалi
[0, 5π].
Зауваження 2. У випадку рiвняння (16) при ε → +0 розв’я-
зок (17) задачi Кошi є 2π перiодичним, а при ε → −0 розв’я-
зок (18) є 4π перiодичним.
Якщо зовнiшня сила f(t) у рiвняннi (9) є перiодичною i до-
статньо великою, тодi у рiвняннi можуть з’явитись перiодичнi
розв’язки, що описують вимушенi коливання з перiодом зовнi-
шньої сили.
Теорема 6. Нехай у рiвняннi
y′′ + y = sign y + ε sinωt (19)
частота ω > 1. Якщо амплiтуда ε зовнiшньої сили задовольняє
умову
ε >
ω2 − 1
ω
tan
π
2ω
, (20)
Перiодичнi розв’язки диференцiальних рiвнянь... 283
то для рiвняння (19) iснує перiодичний розв’язок з перiодом T =
2π
ω вигляду
y(t) = − ε
ω2 − 1
sinωt+ y0(t;T ), (21)
де функцiя y0(t;T ) має по t перiод T, є непарною по t i на iнтер-
валi t ∈ (0, T2 ) має вигляд
y0(t;T ) =
sin t− sin(t− T )
sin T
2
− 1. (22)
Доведення. Функцiя y0(t;T ) вигляду (22) є розв’язком рiвняння
y′′0 + y0 = −sign (sinωt).
Крiм того, функцiя y(t) iз (21) приймає вiд’ємнi значення на iн-
тервалi t ∈ (0, T2 ) в силу умов (20). Тому функцiя y(t) є розв’яз-
ком рiвняння (19). Теорема 6 доведена.
Рис. 5. Перiодичний розв’язок рiвняння (19) при
ε = 150, ω =
√
2.
У випадку, коли амплiтуда ε зовнiшньої сили може бути малою,
наприклад, при ε → 0, то характер розв’язкiв рiвняння (19) за-
лежить вiд природи числа ω.
284 I. Л. Нижник
Теорема 7. Нехай ω > 1, а перiод T = ω
2π є неспiврозмiрний з
числом π, тобто числа sinωnπ 6= 0 при всiх цiлих n > 0. Тодi
для довiльного скiнченного iнтервалу [0, t0] iснує ε0 таке, що
при 0 < ε < ε0 iснує розв’язок y(t; ε) рiвняння (19) на iнтервалi
t ∈ [0, t0] для всiх 0 < ε < ε0 i цей розв’язок при ε → +0 має
границею розв’язок y(t; 0) типу 3 iз теореми 2 з iзольованими
кратними нулями в точках t = 2nπ ∈ [0, t0], де знаки розв’язку
y(t; 0) на iнтервалах In = (2nπ, 2(n + 1)π),n > 0 визначаються
знаками чисел αn = −sign sin 2ωnπ i y(t) < 0 при t ∈ I0.
Доведення грунтується на таких лемах.
Лема 1. Нехай у рiвняннi (19) ω > 1 – фiксоване. Тодi iснує
таке ε1 > 0, що при 0 < ε < ε1 функцiя
y1(t) = −(1− cos t)− ε
ω2 − 1
sin(ωt) (23)
є розв’язком рiвняння (19) при t ∈ (0, π) = I0.
Доведення. Функцiя −(1−cos t) на iнтервалi I0 спадна i змiню-
ється вiд нуля при t = 0 до -2 при t = π. Функцiя − ε
ω2−1 sin(ωt)
приймає вiд’ємнi значення при ε > 0 i t ∈ (0, π2ω ) = I1, тому на
iнтервалi I1 функцiя y1(t) приймає вiд’ємнi значення. Поскiльки
функцiя − ε
ω2−1 sin(ωt) за модулем не перевищує ε
ω2−1 , то при
ε1 = (1− cos(
π
2ω
))(ω2 − 1) (24)
i 0 < ε < ε1 функцiя y1(t) iз (23) приймає вiд’ємнi значення
на iнтервалi I0, але тодi на цьому iнтервалi вона є розв’язком
рiвняння (19). Лема 1 доведена.
Лема 2. Нехай виконуються умови теореми 7. Для довiльного
iнтервалу (0, L) iснує ε0 > 0, ε0 < ε1 таке, що розв’язок y1(t)
вигляду (23) однозначно продовжується по t на iнтервал (0, t0)
як розв’язок рiвняння (19) при 0 < ε < ε0, всi нулi простi, а
знак похiдної у кожному нулi не залежить вiд ε.
Перiодичнi розв’язки диференцiальних рiвнянь... 285
Доведення. На iнтервалi (0, t0) iснує скiнченне число точок ви-
гляду 2nπ, (n = 1, ...k). В цих точках за умовою теореми 7, числа
sin(2ωnπ) = αn вiдмiннi вiд нуля. В силу неперервностi функцiї
sin(ωt) iснує таке δ i число α > 0, що при |t − 2nπ| < δ для всiх
n = 1, ..., k виконується | sin(t − 2nπ)ω| ≥ α. Будемо продовжу-
вати розв’язок (23) поступово на все бiльшi iнтервали, поки не
вичерпаємо весь iнтервал (0, t0). Вираз (23) є розв’язком рiвня-
ння (19) до першого нуля пiсля t = 0.
Оскiльки при ε → 0 у функцiї y(t) вигляду (23) найменший
нуль t1(ε) 6= 0 має границю 2π, то iснує додатне ε2 < ε1 таке,
що |t1(ε) − 2π| < δ при всiх ε < ε2. В силу визначення δ маємо
наступну оцiнку
| ε
ω2 − 1
sin(ωt1(ε))| >
αε
ω2 − 1
. (25)
Якщо число − ε
ω2−1 sin(ω2π) – вiд’ємне, то функцiя (23) приймає
вiд’ємнi значення на iнтервалi (0, 3π) при всiх ε < ε3 < ε2, де ε3 =
ω2−1
α (1− cos(ωδ)). Але тодi вираз (23) є розв’язком рiвняння (19)
на iнтервалi (0, 3π) при всiх ε < ε3. Якщо число − ε
ω2−1 sin(ω2π)
– додатне, то у функцiї (23) є нуль t1(ε) < 2π, а вираз (23) є
розв’язком рiвняння (19) лише на iнтервалi (0, t1(ε)).
Довизначимо вираз (23) на iнтервалi (t1(ε), 3π) наступним чи-
ном
y2(t) = 1− cos(t− t1) + sin t1 sin(t− t1)−
ε
ω2 − 1
sin(ωt). (26)
Легко бачити, що iснує ε4 < ε3 таке, що вираз (26) приймає
додатнi значення при t ∈ (t1(ε), 3π) для всiх ε < ε4. Тому
вираз (26) є розв’язком рiвняння (19) на iнтервалi (t1(ε), 3π).
Таким чином, побудовано продовження розв’язку (23) на весь
iнтервал (0, 3π). Далi мiркування потрiбно повторити. Розв’язок
(23), продовжений у виглядi (26), буде розв’язком рiвняння (19)
до першого нуля t2(ε) виразу (26). Цей нуль t2(ε) при ε → 0
прямує до 4π. На iнтервалi (0, t2(ε)) вираз (23), продовжений
286 I. Л. Нижник
виразом (26), є розв’язком рiвняння (19). При малих ε вiн
лежить в δ-околi точки 4π. Продовження розв’язку через нуль
t2(ε) можна виконати аналогiчно до продовження розв’язку
через нуль t1(ε). За скiнченне число k шагiв так будується
продовження на весь iнтервал (0, L). Лема 2 доведена.
Доведення теореми 7. На основi леми 2 побудований розв’язок
задовольняє твердження теореми. Легко бачити, що при ε →
0 цей розв’язок на кожному iз iнтервалiв (2nπ, 2(n + 1)π),n =
1, ..., k спiвпадає з функцiєю ±(1 − cos t), де знак визначається
знаком числа − sin(2ωnπ). Теорема 7 доведена.
Рис. 6. Розв’язок рiвняння (19) при ω =
√
2 i ε→ +0.
Лiтература
[1] Самойленко А. М. Элементы математической теории многочасто-
тных колебаний. Инвариантные торы. – М.: Наука. 1987. – 301 с.
[2] Самойленко А. М., Ронто Н. Й. Численно–аналитические методы
исследования периодических решений. – К.: Выща школа, 1976. –
178 с.
Перiодичнi розв’язки диференцiальних рiвнянь... 287
[3] Samoilenko A. M., Petryshyn R. Multifrequency Oscillations of
Nonlinear Systems. – Dordrecht-Boston-London: Kluwer Academic
Publishers, 2004. – 317 p.
[4] Самойленко А. М., Петришин Р. I. Математичнi аспекти теорiї
нелiнiйних коливань. – К.: Наукова думка, 2004. – 474 c.
[5] Samoilenko A. M., Teplinskii Yu. V. Elements of Mathematical
Theory of Evolutionary Equations in Banach Spaces / World Scienti-
fic Series on Nonlinear Science. Series A: Vol. 86. – World Sientific,
2013. – 408 pp.
[6] Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравне-
ния с импульсным воздействием. – К.: Выща школа, 1987. – 288 с.
[7] Андронов А. А., Витт А .А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. –
М.: Физматгиз, 1959. – 915 с.
[8] Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию
нелинейных колебаний. – М.: Наука, 1987. – 385 с.
[9] Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Хаотические и стохастические коле-
бания. – М.: Наука, 1987. – 424 с.
[10] Перестюк Н. А., Плотников В. А., Самойленко А. М., Скрипник
Н. В. Импульсные дифференциальные уравнения с многозначной
и разрывной правой частью. – К.: Институт математики НАН
Украины, 2007. – 427 c.
[11] Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной пра-
вой частью. – М.: Наука. 1985. – 224 с.
[12] Уткин В. И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и
управления. – М.: Наука. 1981. – 368 с.
[13] Самойленко А. М., Нижник И. Л. Дифференциальные уравнения
с биустойчивой нелинейностью // Укр. мат. журн. – 2015. – 67,
№ 4. – С. 517–554.
[14] Самойленко A. M., Нижник I. Л. Обмеженi розв’язки рiвняння
четвертого порядку з модельною бiстiйкою нелiнiйнiстю // Укр.
мат. вiсник. – 2009. – 6, № 3. – С. 400–424.
[15] Нижник I. Л., Краснєєва А. О. Перiодичнi розв’язки рiвнянь дру-
гого порядку з розривною нелiнiйнiстю // Нелiнiйнi коливання. –
2012. – 15, № 3. – С. 381–389.
288 I. Л. Нижник
[16] Павленко В. Н., Федяшев М. С. Периодические решения парабо-
лического уравнения с однородным граничным условием Дирихле
и разрывной нелинейностью линейного роста // Укр. мат. журн. –
2012. – 64, № 8. – C. 1080–1088.
[17] Kamachkin A., Potapov D., Yevstafyeva V. Solutions to second order
differential equations with discontinuous right-hand side // Electronic
J. Diff. Eq. – 2014. – No. 221. – P. 1–6.
[18] Kamachkin A., Potapov D., Yevstafyeva V. Non-existence of periodic
solutions to non–autonomous second-order differential equation with
discontinuous nonlinearity // Electronic J. Diff. Eq. – 2016. – No. 4. –
P. 1–8.
[19] Kamachkin A., Potapov D., Yevstafyeva V. Existence of solutions
for second order differential equations with discontinuous right–hand
side // Electronic J. Diff. Eq. – 2016.– No. 124. – P. 1–9.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-218 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:14Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/b4/a95cbf5f9d0969c9920622a9fb8293b4.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2182018-01-23T01:38:29Z Periodic solutions of differential equations with discontinuous nonlinearity Періодичні розв'язки диференціальних рівнянь із розривною нелінійністю Nizhnik, I. L. Нижник, І. Л. We study periodic solutions of first and second orders nonhomogeneous differential equations with discontinuous nonlinearity. Forced periodic oscillation are studied for first order differential equations with and without sliding mode. Досліджуються періодичні розв'язки неоднорідних диференціальних рівнянь першого та другого порядків із розривною нелінійністю. Досліджені вимушені періодичні коливання для рівнянь першого порядку із наявністю та без ковзних режимів. Інститут математики НАН України 2016-05-16 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/218 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 1 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 274-288 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 274-288 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 274-288 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/218/196 Авторське право (c) 2016 І. Л. Нижник |
| spellingShingle | Nizhnik, I. L. Нижник, І. Л. Periodic solutions of differential equations with discontinuous nonlinearity |
| title | Periodic solutions of differential equations with discontinuous nonlinearity |
| title_alt | Періодичні розв'язки диференціальних рівнянь із розривною нелінійністю |
| title_full | Periodic solutions of differential equations with discontinuous nonlinearity |
| title_fullStr | Periodic solutions of differential equations with discontinuous nonlinearity |
| title_full_unstemmed | Periodic solutions of differential equations with discontinuous nonlinearity |
| title_short | Periodic solutions of differential equations with discontinuous nonlinearity |
| title_sort | periodic solutions of differential equations with discontinuous nonlinearity |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/218 |
| work_keys_str_mv | AT nizhnikil periodicsolutionsofdifferentialequationswithdiscontinuousnonlinearity AT nižnikíl periodicsolutionsofdifferentialequationswithdiscontinuousnonlinearity AT nizhnikil períodičnírozv039âzkidiferencíalʹnihrívnânʹízrozrivnoûnelíníjnístû AT nižnikíl períodičnírozv039âzkidiferencíalʹnihrívnânʹízrozrivnoûnelíníjnístû |