Approximation of classes $(\psi,\bar\beta)$-differentiable functions by interpolating trigonometric polynomials
We calculate the least upper bounds of pointwise approximations by interpolating trigonometric polynomials with equidistant nodes of interpolation for classes convolutions of $2\pi$-periodic functions, which belong to the unit ball of the space $L_2$, with an arbitrary square summable kernel.
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/219 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552745659006976 |
|---|---|
| author | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. |
| author_facet | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "А. С. Сердюк",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "І. В. Соколенко",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Serdyuk, A. S. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T13:15:15Z |
| description | We calculate the least upper bounds of pointwise approximations by interpolating trigonometric polynomials with equidistant nodes of interpolation for classes convolutions of $2\pi$-periodic functions, which belong to the unit ball of the space $L_2$, with an arbitrary square summable kernel. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 1, 289–299
УДК 517.5
А. С. Сердюк, I. В. Соколенко
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Наближення класiв
(ψ, β̄)-диференцiйовних функцiй
iнтерполяцiйними
тригонометричними полiномами
serdyuk@imath.kiev.ua, sokol@imath.kiev.ua
We calculate the least upper bounds of pointwise approximations
by interpolating trigonometric polynomials with equidistant nodes of
interpolation for classes convolutions of 2π-periodic functions, which
belong to the unit ball of the space L2, with an arbitrary square
summable kernel.
Обчислено значення точних верхнiх меж поточкових наближень
iнтерполяцiйними тригонометричними полiномами з рiвномiрним
розподiлом вузлiв iнтерполяцiї класiв згорток 2π-перiодичних
функцiй, що належать одиничнiй кулi у просторi L2, з довiльним
сумовним з квадратом твiрним ядром.
У роботi продовжуються дослiдження апроксимативних вла-
стивостей iнтерполяцiйних тригонометричних полiномiв Ла-
гранжа на класах (ψ, β̄)-диференцiйовних функцiй, введених
О. I. Степанцем [1, Гл III]. З iсторiєю дослiджень у цьому на-
прямку можна ознайомитись по роботах [2, Гл. VIII], [3–5] та по
наведенiй у них бiблiографiї.
c© А. С. Сердюк, I. В. Соколенко, 2016
290 А. С. Сердюк, I. В. Соколенко
Нехай Lp, 1 ≤ p < ∞, — простiр 2π-перiодичних сумовних у
p-му степенi на [−π, π] функцiй ϕ зi стандартною нормою
‖ϕ‖p =
( π∫
−π
|ϕ(t)|pdt
)1/p
;
L∞ — простiр 2π-перiодичних вимiрних та iстотно обмежених
функцiй ϕ, в якому норма задана рiвнiстю
‖ϕ‖∞ = ess sup
t
|ϕ(t)|;
C — простiр 2π-перiодичних неперервних функцiй ϕ з нормою
‖ϕ‖C = max
t
|ϕ(t)|.
Позначимо через Cψ
β̄,p
, 1 ≤ p ≤ ∞, множину всiх 2π-
перiодичних функцiй f , якi зображуються за допомогою згортки
f(x) =
a0
2
+
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)Ψβ̄(t)dt, a0 ∈ R, ϕ ∈ B0
p , (1)
B0
p = {ϕ ∈ Lp : ‖ϕ‖p ≤ 1, ϕ ⊥ 1},
iз фiксованим твiрним ядром Ψβ̄ ∈ Lp′ , 1/p+1/p′ = 1, ряд Фур’є
якого має вигляд
Ψβ̄(t) ∼
∞∑
k=1
ψ(k) cos
(
kt− βkπ
2
)
,
де ψ = ψ(k) i β̄ = βk, k = 1, 2, . . . , — довiльнi послiдовностi
дiйсних чисел. Функцiю ϕ у зображеннi (1) називають (ψ, β̄)-
похiдною функцiї f i позначають fψ
β̄
(x). Поняття (ψ, β̄)-похiдної
належить О. I. Степанцю (див., наприклад, [1]). Оскiльки ϕ ∈ Lp,
Наближення класiв (ψ, β̄)-диференцiйовних функцiй... 291
a Ψβ̄ ∈ Lp′ , то (див. [1, c. 144]) згортка (1) є неперервною фун-
кцiєю, а, отже, Cψ
β̄,p
⊂ C.
При βk ≡ β, β ∈ R, класи Cψ
β̄,p
позначатимемо через Cψβ,p.
Якщо ψ(k) = k−r i βk ≡ r, r ∈ N, то класи Cψ
β̄,p
є вiдомими кла-
сами диференцiйовних функцiй W r
p . Якщо ψ(k) = qk, 0 < q < 1,
то класи Cψ
β̄,p
будемо позначати Cq
β̄,p
. При βk ≡ β, β ∈ R, Cq
β̄,p
є
вiдомими класами iнтегралiв Пуассона Cqβ,p. Зрозумiло, що при
p = 2 умова включення Ψβ̄ ∈ L2 еквiвалентна виконанню умови
∞∑
k=1
ψ2(k) <∞. (2)
Нехай f(x) — довiльна 2π-перiодична неперервна функцiя.
Через S̃n(f ;x) будемо позначати тригонометричний полiном по-
рядку n, що iнтерполює f(x) у точках x
(n)
k = 2kπ/(2n + 1),
k = 0, 1, . . . , 2n, тобто такий, що
S̃n(f ;x
(n)
k ) = f(x
(n)
k ), k = 0, 1, . . . , 2n.
Для будь-якого класу N ⊂ C розглянемо величини
E(N; S̃n;x) = sup
f∈N
|f(x)− S̃n(f ;x)|, n ∈ N, x ∈ R. (3)
У данiй роботi обчислено точнi значення величин (3) при
N = Cψ
β̄,2
i довiльних ψ(k), що задовольняють умову (2). А саме,
встановлено наступне твердження.
Теорема 1. Нехай послiдовнiсть дiйсних чисел ψ(k) задоволь-
няє умову (2). Тодi для довiльної послiдовностi β̄ = βk, βk ∈ R, i
довiльного n ∈ N у кожнiй точцi x ∈ R виконується рiвнiсть
E(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) =
2√
π
∞∑
m=1
sin2 (2n+ 1)mx
2
m(2n+1)+n∑
k=m(2n+1)−n
ψ2(k)
1/2
.
(4)
292 А. С. Сердюк, I. В. Соколенко
Наведемо деякi наслiдки з теореми 1.
Наслiдок 1. Нехай q ∈ (0, 1), β̄ = βk — довiльна послiдовнiсть
дiйсних чисел i n ∈ N. Тодi
E(Cq
β̄,2
; S̃n;x) =
∣∣∣∣sin (2n+ 1)x
2
∣∣∣∣ 2qn+1√
π(1− q2)
×
×
(
1 + q2(2n+1)
1− 2q2(2n+1) cos(2n+ 1)x+ q4(2n+1)
)1/2
, x ∈ R. (5)
Наслiдок 2. Нехай ψ(k) = k−r, r > 1/2, β̄ = βk — довiльна
послiдовнiсть дiйсних чисел i n ∈ N. Тодi
E(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) =
∣∣∣∣sin (2n+ 1)x
2
∣∣∣∣ 2√
πΓ(2r)(2n+ 1)r
×
×
1∫
0
%−n/(2n+1)(1 + %) ln2r−1 %−1
(1− %1/(2n+1))(1− 2% cos(2n+ 1)x+ %2)
d%
1/2
, x ∈ R,
(6)
де Γ(x) — гамма-функцiя.
Зазначимо, що формулу (4) можна вважати iнтерполяцiйним
аналогом отриманої в [6] рiвностi для точної верхньої межi рiв-
номiрних наближень функцiй f з класу Cψ
β̄,2
частинними сумами
Фур’є Sn(f) порядку n, яка має вигляд
E(Cψ
β̄,2
;Sn)C = sup
f∈Cψ
β̄,2
‖f(x)− Sn(f ;x)‖C =
1√
π
( ∞∑
k=n+1
ψ2(k)
)1/2
.
(7)
Зiставлення (4) i (7) дозволяє записати загальне спiввiдноше-
ння
0 ≤
E(Cψ
β̄,2
; S̃n;x)
E(Cψ
β̄,2
;Sn)C
≤ 2, x ∈ R. (8)
Наближення класiв (ψ, β̄)-диференцiйовних функцiй... 293
Для деяких важливих класiв Cψ
β̄,2
оцiнку (8) можна уточнити.
За виконання умов наслiдку 1 має мiсце рiвнiсть [6, с. 186]
E(Cq
β̄,2
;Sn)C =
2qn+1√
π(1− q2)
. (9)
Тому, спiвставляючи (5) i (9), отримуємо
E(Cq
β̄,2
; S̃n;x)
E(Cq
β̄,2
;Sn)C
=
= 2
∣∣∣∣sin (2n+1)x
2
∣∣∣∣
(
1 + q2(2n+1)
1−2q2(2n+1) cos(2n+1)x+q4(2n+1)
)1/2
. (10)
При n→∞ з (10) випливає асимптотична рiвнiсть
E(Cq
β̄,2
; S̃n;x)
E(Cq
β̄,2
;Sn)C
= 2
∣∣∣∣sin (2n+ 1)x
2
∣∣∣∣
(
1 +O(1)
q2(2n+1)
(1− q2n+1)2
)
, (11)
де O(1) — величина, рiвномiрно обмежена вiдносно всiх розгля-
дуваних параметрiв.
Аналоги рiвностi (11) для класiв iнтегралiв Пуассона Cqβ,2 бу-
ло встановлено в [5], а для класiв Cψ
β̄,p
таких, що ψ(k) > 0 i
lim
k→∞
ψ(k + 1)/ψ(k) = 0, — в роботi [4].
Доведення теореми 1. Iнтерполяцiйний тригонометричний
полiном S̃n(f ;x) можна записати (див., наприклад, [2, c. 128-
129]) в явному виглядi наступним чином:
S̃n(f ;x) =
a
(n)
0
2
+
n∑
k=1
(a
(n)
k cos kx+ b
(n)
k sin kx), (12)
де
a
(n)
k =
2
2n+ 1
2n∑
i=0
f(x
(n)
i ) cos kx
(n)
i , k = 0, 1, 2, . . . ,
294 А. С. Сердюк, I. В. Соколенко
b
(n)
k =
2
2n+ 1
2n∑
i=0
f(x
(n)
i ) sin kx
(n)
i , k = 1, 2, . . . .
Зв’язок мiж коефiцiєнтами Фур’є ak i bk функцiї f(x) (f ∈ C)
i коефiцiєнтами a(n)
k i b(n)
k iнтерполяцiйного полiнома S̃n(f ;x) ви-
ражається за допомогою рiвностей [2, c. 130]
a
(n)
k = ak +
∞∑
m=1
(am(2n+1)+k + am(2n+1)−k), k = 0, 1, 2, . . . , (13)
b
(n)
k = bk +
∞∑
m=1
(bm(2n+1)+k − bm(2n+1)−k), k = 1, 2, . . . (14)
Згiдно з (1) для довiльної функцiї f з класу Cψ
β̄,2
ї ї коефiцiєнти
Фур’є виражаються формулами
ak = 1
π
π∫
−π
ψ(k) cos
(
kt− βkπ
2
)
ϕ(t)dt,
bk = 1
π
π∫
−π
ψ(k) sin
(
kt− βkπ
2
)
ϕ(t)dt.
(15)
Об’єднуючи формули (1) та (12)–(15), для f ∈ Cψ
β̄,2
одержуємо
f(x)− S̃n(f ;x) =
1
π
π∫
−π
ϕ(x− t)
∞∑
m=1
m(2n+1)+n∑
ν=m(2n+1)−n
ψ(ν)×
×
(
cos
(
νt− βνπ
2
)
− cos
(
νt−m(2n+ 1)x− βνπ
2
))
dt =
= − 2
π
π∫
−π
ϕ(x− t)
∞∑
m=1
m(2n+1)+n∑
ν=m(2n+1)−n
ψ(ν)×
× sin
(2n+ 1)mx
2
sin
(
νt− (2n+ 1)mx
2
− βνπ
2
)
dt. (16)
Наближення класiв (ψ, β̄)-диференцiйовних функцiй... 295
Розглядаючи точну верхню межу по функцiях f з класу Cψ
β̄,2
у лiвiй i правiй частинi рiвностi (16), здiйснюючи замiну змiнної
t = −τ та враховуючи iнварiантнiсть множин Cψ
β̄,2
вiдносно зсуву
аргументу, приходимо до висновку, що в кожнiй точцi x ∈ R
мають мiсце рiвностi
E(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) =
2
π
sup
ϕ∈B0
2
π∫
−π
ϕ(x− t)
∞∑
m=1
m(2n+1)+n∑
ν=m(2n+1)−n
ψ(ν)×
× sin
(2n+ 1)mx
2
sin
(
νt− (2n+ 1)mx
2
− βνπ
2
)
dt =
=
2
π
sup
ϕ∈B0
2
π∫
−π
ϕ(t)
∞∑
m=1
m(2n+1)+n∑
ν=m(2n+1)−n
ψ(ν)×
× sin
(2n+ 1)mx
2
sin
(
νt+
(2n+ 1)mx
2
+
βνπ
2
)
dt. (17)
Застосовуючи до правої частини (17) спiввiдношення двоїсто-
стi [7, c. 27]
sup
ϕ∈B0
p
π∫
−π
ϕ(t)u(t)dt = inf
α∈R
‖u−α‖p′ , u ∈ Lp′ , 1 ≤ p ≤ ∞,
1
p
+
1
p′
= 1,
(18)
при p = 2 та рiвнiсть Парсеваля, одержуємо
E(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) =
2
π
inf
α∈R
∥∥∥∥∥
∞∑
m=1
m(2n+1)+n∑
ν=m(2n+1)−n
ψ(ν)×
× sin
(2n+ 1)mx
2
sin
(
νt+
(2n+ 1)mx
2
+
βνπ
2
)
− α
∥∥∥∥∥
2
=
296 А. С. Сердюк, I. В. Соколенко
=
2√
π
inf
α∈R
∞∑
m=1
m(2n+1)+n∑
k=m(2n+1)−n
ψ2(k) sin2 (2n+ 1)mx
2
+ α2
1/2
=
=
2√
π
∞∑
m=1
sin2 (2n+ 1)mx
2
m(2n+1)+n∑
k=m(2n+1)−n
ψ2(k)
1/2
.
Теорему 1 доведено.
Доведення наслiдку 1. З рiвностi (4), покладаючи ψ(k) = qk
та враховуючи, що
m(2n+1)+n∑
k=m(2n+1)−n
q2k =
q2m(2n+1)−2n(1− q2(2n+1))
(1− q2)
,
маємо
E2(Cq
β̄,2
; S̃n;x) =
4(1− q2(2n+1))
π(1− q2)q2n
∞∑
m=1
sin2 (2n+ 1)mx
2
q2m(2n+1).
(19)
Проводячи елементарнi перетворення i користуючись форму-
лою
∞∑
k=1
%k cos kt =
% cos t− %2
1− 2% cos t+ %2
, |%| < 1,
отримуємо
∞∑
m=1
sin2 (2n+ 1)mx
2
q2m(2n+1) =
=
1
2
∞∑
m=1
(1− cos (2n+ 1)mx)q2m(2n+1) =
= sin2 (2n+1)x
2
q2(2n+1)(1 + q2(2n+1))
(1− q2(2n+1))(1− 2q2(2n+1) cos(2n+1)x+ q4(2n+1))
.
(20)
Наближення класiв (ψ, β̄)-диференцiйовних функцiй... 297
Об’єднуючи спiввiдношення (19) та (20), одержуємо рiвнiсть
E2(Cq
β̄,2
; S̃n;x) = sin2 (2n+ 1)x
2
4q2(n+1)
π(1− q2)
×
× (1 + q2(2n+1))
1− 2q2(2n+1) cos(2n+1)x+ q4(2n+1)
, (21)
з якої випливає (5). Наслiдок 1 доведено.
Доведення наслiдку 2. Поклавши ψ(k) = k−r у рiвностi (4),
можемо записати
E2(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) =
4
π
∞∑
m=1
sin2 (2n+ 1)mx
2
×
× (ζ(2r,m(2n+ 1)− n)− ζ(2r,m(2n+ 1) + n+ 1)) , (22)
де ζ(s, l) =
∞∑
m=0
(l + m)−s, Re(s) > 1, Re(l) > 0, — дзета-
функцiя Гурвiца. Враховуючи iнтегральне зображення дзета-
функцiї Гурвiца
ζ(s, l) =
1
Γ(s)
∞∫
0
ts−1e−lt
1− e−t
dt,
маємо
ζ(2r,m(2n+ 1)− n)− ζ(2r,m(2n+ 1) + n+ 1) =
=
1
Γ(2r)
∞∫
0
t2r−1e−(m(2n+1)−n)t
1− e−t
(
1− e−(2n+1)t
)
dt.
Отже,
E2(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) =
4
πΓ(2r)
∞∫
0
t2r−1
(
1− e−(2n+1)t
)
ent
1− e−t
×
298 А. С. Сердюк, I. В. Соколенко
×
∞∑
m=1
sin2 (2n+ 1)mx
2
e−m(2n+1)tdt. (23)
Користуючись рiвностями (20) при q = e−t/2, t > 0, з (23)
одержуємо
E2(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) = sin2 (2n+ 1)x
2
4
πΓ(2r)
×
×
∞∫
0
t2r−1e−(n+1)t(1 + e−(2n+1)t)
(1− e−t)(1− 2e−(2n+1)t cos(2n+ 1)x+ e−2(2n+1)t)
dt. (24)
Здiйснивши спочатку замiну змiнних τ = (2n + 1)t, а потiм —
% = e−τ , отримуємо
E2(Cψ
β̄,2
; S̃n;x) = sin2 (2n+ 1)x
2
4
πΓ(2r)(2n+ 1)2r
×
×
∞∫
0
t2r−1e−(n+1)t/(2n+1)(1 + e−t)
(1− e−t/(2n+1))(1− 2e−t cos(2n+ 1)x+ e−2t)
dt =
= sin2 (2n+ 1)x
2
4
πΓ(2r)(2n+ 1)2r
×
×
1∫
0
%−n/(2n+1)(1 + %) ln2r−1 %−1
(1− %1/(2n+1))(1− 2% cos(2n+ 1)x+ %2)
d%. (25)
З формули (25) випливає рiвнiсть (6). Наслiдок 2 доведено.
Лiтература
[1] Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. — Киев:
Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Ч. 1. — 427 c.
[2] Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. — Киев:
Ин-т математики НАН Украины, 2002. — Ч. 2. — 468 c.
Наближення класiв (ψ, β̄)-диференцiйовних функцiй... 299
[3] Сердюк А. С. Наближення нескiнченно диференцiйовних перiо-
дичних функцiй iнтерполяцiйними тригонометричними полiнома-
ми // Укр. мат. журн. — 2004. — 56, № 4. — C. 495–505.
[4] Сердюк А. С., Войтович В. А. Наближення класiв цiлих функцiй
iнтерполяцiйними аналогами сум Валле Пуссена // Проблеми те-
орiї наближень та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. — 2010. — 7, № 1. — С. 274–297.
[5] Сердюк А. С. Наближення iнтерполяцiйними тригонометричними
полiномами на класах перiодичних аналiтичних функцiй // Укр.
мат. журн. — 2012. — 64, № 5. — C. 698–712.
[6] Сердюк А. С., Соколенко I. В. Рiвномiрнi наближення класiв
(ψ, β)-диференцiйовних функцiй лiнiйними методами // Пробле-
ми теорiї наближень та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту матема-
тики НАН України. — 2011. — 8, № 1. — С. 181–189.
[7] Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. —
Москва: Наука, 1987. — 423 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-219 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:19Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/e3/3a69ee9fe0ad0db89a78d5ea34bf1fe3.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2192018-01-29T13:15:15Z Approximation of classes $(\psi,\bar\beta)$-differentiable functions by interpolating trigonometric polynomials Наближення класів $(\psi,\bar\beta)$-диференційовних функцій інтерполяційними тригонометричними поліномами Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. We calculate the least upper bounds of pointwise approximations by interpolating trigonometric polynomials with equidistant nodes of interpolation for classes convolutions of $2\pi$-periodic functions, which belong to the unit ball of the space $L_2$, with an arbitrary square summable kernel. Обчислено значення точних верхніх меж поточкових наближень інтерполяційними тригонометричними поліномами з рівномірним розподілом вузлів інтерполяції класів згорток $2\pi$-періодичних функцій, що належать одиничній кулі у просторі $L_2$, з довільним сумовним з квадратом твірним ядром. Інститут математики НАН України 2016-05-16 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/219 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 1 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 289-299 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 289-299 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 1 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 289-299 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/219/200 Авторське право (c) 2016 А. С. Сердюк, І. В. Соколенко |
| spellingShingle | Serdyuk, A. S. Sokolenko, I. V. Сердюк, А. С. Соколенко, І. В. Approximation of classes $(\psi,\bar\beta)$-differentiable functions by interpolating trigonometric polynomials |
| title | Approximation of classes $(\psi,\bar\beta)$-differentiable functions by interpolating trigonometric polynomials |
| title_alt | Наближення класів $(\psi,\bar\beta)$-диференційовних функцій інтерполяційними тригонометричними поліномами |
| title_full | Approximation of classes $(\psi,\bar\beta)$-differentiable functions by interpolating trigonometric polynomials |
| title_fullStr | Approximation of classes $(\psi,\bar\beta)$-differentiable functions by interpolating trigonometric polynomials |
| title_full_unstemmed | Approximation of classes $(\psi,\bar\beta)$-differentiable functions by interpolating trigonometric polynomials |
| title_short | Approximation of classes $(\psi,\bar\beta)$-differentiable functions by interpolating trigonometric polynomials |
| title_sort | approximation of classes $(\psi,\bar\beta)$-differentiable functions by interpolating trigonometric polynomials |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/219 |
| work_keys_str_mv | AT serdyukas approximationofclassespsibarbetadifferentiablefunctionsbyinterpolatingtrigonometricpolynomials AT sokolenkoiv approximationofclassespsibarbetadifferentiablefunctionsbyinterpolatingtrigonometricpolynomials AT serdûkas approximationofclassespsibarbetadifferentiablefunctionsbyinterpolatingtrigonometricpolynomials AT sokolenkoív approximationofclassespsibarbetadifferentiablefunctionsbyinterpolatingtrigonometricpolynomials AT serdyukas nabližennâklasívpsibarbetadiferencíjovnihfunkcíjínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomami AT sokolenkoiv nabližennâklasívpsibarbetadiferencíjovnihfunkcíjínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomami AT serdûkas nabližennâklasívpsibarbetadiferencíjovnihfunkcíjínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomami AT sokolenkoív nabližennâklasívpsibarbetadiferencíjovnihfunkcíjínterpolâcíjnimitrigonometričnimipolínomami |