approach to study of impulsive systems with a delay
The paper examines the asymptotical stability of systems of ordinary dif-ferential equations with both a delay and impulsive perturbations by usingthe Razumikhin approach. The obtained result is applicable to the caseof an unbounded Lyapunov function so that limitations to the maximallength of the i...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/22 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552545271939072 |
|---|---|
| author | Іванов, І. Л. Іванов, І. Л. |
| author_facet | Іванов, І. Л. Іванов, І. Л. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "І. Л. Іванов",
"institution": "Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка НАН України"
}
] |
| author_sort | Іванов, І. Л. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:01:13Z |
| description | The paper examines the asymptotical stability of systems of ordinary dif-ferential equations with both a delay and impulsive perturbations by usingthe Razumikhin approach. The obtained result is applicable to the caseof an unbounded Lyapunov function so that limitations to the maximallength of the interval between the impulsive actions are not required. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2015, т. 12, № 5, 51–59
УДК 531.36
Пiдхiд до дослiдження стiйкостi
iмпульсних систем з запiзненням
I. Л. Iванов
Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка НАН України, Київ;
center@inmech.kiev.ua
The paper examines the asymptotical stability of systems of ordinary dif-
ferential equations with both a delay and impulsive perturbations by using
the Razumikhin approach. The obtained result is applicable to the case
of an unbounded Lyapunov function so that limitations to the maximal
length of the interval between the impulsive actions are not required.
Работа посвящена исследованию асимптотической устойчивости си-
стем обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием и
импульсным воздействием с применением подхода Разумихина. Полу-
ченный в работе результат учитывает случай неограниченной функции
Ляпунова и не налагает ограничений на максимальную длину интер-
валов между моментами импульсного воздействия.
1. Вступ
Теорiя руху систем з запiзненням при iмпульсних збуреннях є тема-
тикою, що активно розробляється [1–7]. У роботi [7] наведено огляд
останнiх результатiв, присвячених дослiдженню стiйкостi руху таких
систем, та показано, яким чином цi результати можуть бути застосо-
ванi при розв’язаннi задач механiки.
Один iз широко використовуваних методiв дослiдження таких си-
стем заснований на методi Ляпунова–Разумiхiна, що на початку за-
стосовувався до систем з запiзненням, але без iмпульсних збурень.
Отримуванi на основi цього методу умови стiйкостi складаються з
обмеження на похiдну функцiї Ляпунова при виконаннi умови Разу-
мiхiна, а також обмеження на поведiнку функцiї Ляпунова у точках
розриву.
c© I.Л. Iванов, 2015
52 I. Л. Iванов
У данiй статтi запропоновано узагальнення результату публiка-
цiї [5], у якiй розглядається проблема стiйкостi лiнiйної системи з
запiзненням i iмпульсною дiєю iз застосуванням методу розривних
функцiй Ляпунова. Зокрема, при узагальненнi розглядається бiльш
широкий клас систем (системи можуть бути нелiнiйними).
2. Означення та допомiжний результат
Означення 2.1. Функцiя f : R+ → R+ належить класу Хана,
якщо виконуються такi умови:
1) f(0) = 0;
2) f(x) > 0 при x > 0,
3) для всiх x2 > x1 ≥ 0 : f(x2) ≥ f(x1).
Означення 2.2. Функцiя v(t, x) належить класу V0, якщо вико-
нуються умови:
1) v(t, x) ∈ C1(E × Rn), де E =
∞⋃
k=0
(τk, τk+1), де τ0 = 0;
2) iснує принаймнi одна з границь: lim
t→τk−0
v(t, x) =
v(τk, x), lim
t→τk+0
v(t, x) = v(τk, x), k ∈ N.
Припущення А. Для функцiї v(t, x) iснує функцiя a класу Хана,
що a(‖x‖) ≤ v(t, x), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn.
Припущення Б. Для функцiї v(t, x) iснують функцiї a, b класу
Хана, що a(‖x‖) ≤ v(t, x) ≤ b(‖x‖), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn.
Нехай ∆x(t) = x(t + 0)− x(t), PC(X,Y ) — простiр функцiй X →
Y , неперервних злiва з не бiльш нiж зчисленною множиною точок
розриву першого роду, де X ⊂ R, Y ⊂ Rn.
Розглянемо систему з запiзненням та iмпульсною дiєю
dx
dt
= f(t, xt), t 6= τk,
∆x(t) = Ik(x), t = τk, k ∈ N
(1)
i початковi умови
x(t) = ϕ0(t), t ∈ [−r, 0], (2)
де x ∈ PC([−r,+∞),Rn), f ∈ C (R, PC([−r, 0),Rn)) — лiпшицева по
другому аргументу, τk → ∞, коли k → ∞, Ik ∈ C(Rn,Rn), ϕ0 ∈
C([−r, 0),Rn).
Припустимо, що задача Кошi (1), (2) має єдиний розв’язок.
Пiдхiд до дослiдження стiйкостi iмпульсних систем з запiзненням . . . 53
Теорема 2.1. (див. також [5]). Нехай система рiвнянь (1) та-
ка, що iснує функцiя v(t, x) класу V0, що задовольняє припущення А
та умови
(1) D−v(t, x(t))
∣∣∣∣
(1)
≤ 0, якщо v(t, ϕ(0+)) > v(t+ ζ, ϕ(ζ)), ζ ∈ [−r, 0],
де D− — лiва верхня похiдна Дiнi;
(2) v(τi + 0, x(τi + 0)) ≤ v(τi, x(τi)), i ∈ N.
Тодi стан рiвноваги x = 0 системи (1) стiйкий.
Доведення. Вiзьмемо ε > 0 та розглянемо область Γα,t = {x ∈
Rn|v(t, x) ≤ α}, виберемо α = a(ε), δ < min{‖x‖ : v(0, x) = α}.
Нехай ‖x0‖[r,0] < δ(ε), тодi x0 ∈ Γα,0 та припустимо, що ∃t1 >
0, x(t1; 0, ϕ0) ∈ ∂Γα,t1 , x(t; 0, ϕ0) /∈ Γα,t1 при t ∈ (t1, t1 + δ1), δ1 > 0.
Нехай t1 6= τj . Розглянемо функцiю v(t) = v(t, x(t; 0, ϕ0)) на мно-
жинi E. Оцiнимо похiдну v(t) при t = t1 з урахуванням умови
v(t, ϕ(0+)) > v(t+ ζ, ϕ(ζ)), ζ ∈ [−r, 0]:
D−v(t1) ≤ 0.
Якщо для деякого t ∈ (t1, t1 + δ1) виконується нерiвнiсть
v(t, x(t)) > v(t1, x(t1)), то при λ ∈ (0, 1) отримаємо оцiнку D−v(t1 +
λ(t − t1)) > 0, що неможливо. Тому iснує δ2 таке, що v(t, x(t)) ≤
v(t1, x(t1)) при всiх t ∈ [t1, t1 + δ2), звiдки отримаємо v(t, x(t)) ≤ α,
тобто x(t; 0, ϕ0) ∈ Γα,t при всiх t ∈ [t1, t1 + δ2). Якщо t1 = τj , то-
дi v(τj + 0, x(τj + 0)) ≤ v(τj , x(τj)) та v(τj + 0, x(τj + 0)) = α. То-
му аналогiчно можна отримати включення x(t; 0, ϕ0) ∈ Γα,t при всiх
t ∈ [t1, t1 + δ2). Таким чином, x(t; 0, ϕ0) ∈ Γα,t при всiх t ≥ 0. Звiдси
випливає стiйкiсть стану рiвноваги x = 0 системи (1).
Теорему доведено.
3. Основний результат
Сформулюємо умови асимптотичної стiйкостi нульового стану рiвно-
ваги системи (1).
Теорема 3.2. Припустимо, що для системи (1) iснує функцiя
v(t, x) класу V0, що задовольняє припущення Б, та додатно визна-
чена функцiя ω(t, x) класу V0, що задовольняє припущення А, такi,
що:
54 I. Л. Iванов
(1) d
dtv(t, x(t))
∣∣
(1)
≤ 0, якщо v(t + ζ, x(t + ζ)) ≤ p(v(t, x(t))) для ζ ∈
[−r, 0] (умова Разумiхiна), де p(s) > s при s > 0, p(0) = 0, p(s)
— неперервна;
(2) v(τk, x(τ
+
k )) ≤ v(τk, x(τk));
(3) виконується будь-яка з таких умов:
(а) множина M1 =
{
t ≥ 0
∣∣∣ ddtv(t, x(t))
∣∣
(1)
≤
−ω(t, x(t)), sup
ζ∈[−r,0]
{v(t, x(t + ζ))} ≤ p(v(t, x(t)))
}
та-
ка, що λ(M1) = ∞, де λ(.) — мiра Лебега на прямiй;
(б) множина M2 =
{
sup
ζ∈[−r,0]
{v(t, x(t + ζ))} > p(v(t, x(t)))
}
не-
обмежена.
Тодi нульовий стан рiвноваги системи (1) асимптотично стiйкий.
Доведення. Нульовий стан рiвноваги системи (1) асимптотично
стiйкий згiдно з теоремою 2.1. Доведемо асимптотичну стiйкiсть цьо-
го стану рiвноваги.
Оскiльки v(t, x) задовольняє припущення Б, то для деяких фун-
кцiй av та bv з класу Хана матиме мiсце оцiнка av(‖x‖) ≤ v(t, x) ≤
bv(‖x‖).
Нехай виконується умова (3б). Позначимо v0 = lim
t→∞
v(t, x(t)) та
припустимо, що v0 > 0. Завдяки умовам (1) та (2), вираз sup
ζ∈[−r,0]
{
v(t+
ζ, x(t + ζ))
}
являє собою незростаючу функцiю вiдносно t, тому має
мiсце граничне спiввiдношення
lim
t→∞
sup
ζ∈[−r,0]
{
v(t+ ζ, x(t+ ζ))
}
= v0, (3)
у якому наведена границя iснує.
Беручи до уваги властивостi функцiї p(s), можна стверджувати,
що для s0 < v0 iснує таке число a, що p(s − a) > s при s > s0. З
умови необмеженостi множини M2 випливає iснування послiдовностi
{θk}∞k=1 такої, що
sup
ζ∈[−r,0]
{
v(θk + ζ, x(θk + ζ))
}
> p(v(θk, x(θk))) (4)
Пiдхiд до дослiдження стiйкостi iмпульсних систем з запiзненням . . . 55
i θk → ∞ при k → ∞.
Розглянемо v(θk, x(θk)). З рiвностi (4) та оцiнки
sup
ζ∈[−r,0]
{
v(θk + ζ, x(θk + ζ))
}
≥ v0,
що є наслiдком спiввiдношення (3), випливає, що sup
ζ∈[−r,0]
{
v(θk +
ζ, x(θk + ζ))
}
> v(θk, x(θk)) + a, тому для деяких ζk ∈ [−r, 0] отри-
маємо v(θk + ζk, x(θk + ζk)) = sup
ζ∈[−r,0]
{
v(θk + ζ, x(θk + ζ))
}
. Беру-
чи до уваги умови (1) та (2) теореми, можна зробити висновок, що
v(θk+ζk, x(θk+ζk)) > v(θk+η, x(θk+η))+a при всiх η ∈ [0, |ζk|], i, вна-
слiдок цього, що v(t, x(t))+a < v(θk+ζk, x(θk+ζk)) для всiх t > θk. Не
зменшуючи загальностi, можна вимагати, щоб θk+1+ζk+1−θk−ζk > r
(якщо ця умова не виконується, то в якостi вихiдної послiдовностi
можна взяти таку пiдпослiдовнiсть послiдовностi {θk}, для якої вона
виконується). Тому для всiх k ∈ N матиме мiсце нерiвнiсть v(θk+1 +
ζk+1, x(θk+1 + ζk+1)) < v(θk + ζk, x(θk + ζk))− a та, вiдповiдно, нерiв-
нiсть v(θk+m+ ζk+m, x(θk+m+ ζk+m)) < v(θk+ ζk, x(θk+ ζk))−ma для
будь-якого m ∈ N. Це суперечить припущенню, що v0 = lim
t→∞
v(x(t)),
якщо взяти m достатньо великим.
Припустимо тепер, що λ(M1) = ∞. Доведемо спершу, що
lim
t→∞, t∈M1
v(t, x(t)) = 0. Позначимо M3 = [−r,∞]/(M1 ∪M2), тодi для
всiх t ∈M3 виконуються нерiвностi
sup
ζ∈[−r,0]
{
v(t+ ζ, x(t + ζ))
}
> p(v(t, x(t))),
−ω(t, x(t)) < v̇(t, x(t)) ≤ 0.
Нехай t′ ∈M1 ∪M3, t′′ > t′, t′′ − t′ < r. Покажемо, що
v(x(t′′)) ≤ v(x(t′)). (5)
Дiйсно, якщо t′′ ∈M2, тодi
p(v(x(t′′))) ≤ sup
ζ∈[−r,0]
{
v(t′′ + ζ, x(t′′ + ζ))
}
,
p(v(x(t′))) > sup
ζ∈[−r,0]
{
v(t′ + ζ, x(t′ + ζ))
}
.
56 I. Л. Iванов
Припустимо, що sup
t∈[t′,t′′]
{v(t, x(t))} > sup
ζ∈[−r,0]
{v(t′+ζ, x(t′+ζ))
}
, та,
взявши до уваги, що завдяки умовi (3) теореми наведенi супремуми
досягаються, позначимо t̃ = argmax
t∈[t′,t′′]
{v(t, x(t))}. Очевидно, що t̃ ∈M1∪
M3 та D−v(t̃, x(t̃)) ≥ 0, де пiд D− розглядається оператор похiдної
злiва. Тому iснує δ > 0 таке, що v(t̃−δ, x(t̃−δ)) < v(t̃, x(t̃)) i (t̃−δ, t̃) ⊂
M1 ∪M3. Це суперечить умовi (1) теореми.
Таким чином, враховуючи рiвнiсть
sup
ζ∈[−r,0]
{
v(t+ ζ, x(t + ζ))
}
≤ sup
ζ∈[−r,0]
{
v(s+ ζ, x(s + ζ))
}
, (6)
вiрну при всiх s < t, можна зробити висновок, що
v(x(t′′)) ≤ p−1
(
sup
ζ∈[−r,0]
{
v(t′ + ζ, x(t′ + ζ))
})
< v(x(t′)). (7)
Припустимо тепер, що t′′ ∈M1∪M3. Оскiльки нерiвнiсть (7) у ви-
падку (t′, t′′)∩M2 = ∅ тривiально випливає з умов (1) та (2) теореми,
то припустимо, що (t′, t′′) ∩M2 6= ∅. Вiзьмемо t̃ = sup
t≤t′′
{t|t ∈M2}, тодi
при всiх t ∈ (t̃, t′′] отримаємо
v(t, x(t)) ≤ v(t̃, x(t̃)) < v(t′, x(t′)).
Нерiвнiсть (5) була показана за умови t′′ − t′ < r. Проте це обме-
ження можна зняти. Якщо t′′ ∈ M2, то нерiвнiсть (5) випливає з не-
рiвностей (6) та (7) у вiдповiдностi до методу математичної iндукцiї.
Якщо t′′ ∈ M1 ∪M3, тодi, взявши t′′′ = sup
t≤t′′
{t|t ∈ M2} (отримаємо
t′′′ ∈ M2, бо M2 замкнута), з урахуванням умов (1) та (2) теореми
можна зробити висновок, що v(x(t′′)) ≤ v(x(t′′′)) ≤ v(x(t′)).
З нерiвностi (5) випливає, що функцiя v(t, x(t)) монотонна на мно-
жинi M1 ∪M3, а з умов (1) та (3а) теореми випливає, що ця функцiя
задовольняє нерiвностi
v(t, x(t)) ≤ v(x, 0) +
∫
(0,t)∩(M1∪M3)
v̇(s, x(s))ds ≤
≤ v(x, 0)−
∫
(0,t)∩M1
ω(s, x(s))ds
(8)
Пiдхiд до дослiдження стiйкостi iмпульсних систем з запiзненням . . . 57
для t ∈ M1 ∪M3. Доведемо, що lim
t→∞
t∈M1∪M3
v(t, x(t)) = 0. Припустимо,
що
lim
t→∞
t∈M1∪M3
v(t, x(t)) = v0 > 0. (9)
Таким чином, враховуючи оцiнку (8), отримаємо
v(x(t)) ≤ v(0, x(0))−
∫
(0,t)∩M1
ω(s, x(s))ds
≤ v(0, x(0))−
∫
(0,t)∩M1
a(‖x(s)‖)ds ≤
≤ v(0, x(0))−
∫
(0,t)∩M1
a(b−1
v (v0))ds → −∞, t→ ∞,
де функцiя a(.) задовольняє нерiвнiсть
a(‖x‖) ≤ ω(t, x).
Отримане спiввiдношення суперечить припущенню (9).
Таким чином, v(t, x(t)) → 0, t→ ∞ на M1∪M3 i, згiдно з рiвнiстю
(7), на [−r,∞), що означає асимптотичну стiйкiсть нульового стану
рiвноваги системи (1).
Теорему доведено.
4. Наслiдки та коментарi
Якщо в теоремi 3.2 ω(t, x) = g(v(t, x)), де g належить класу Хана,
то для асимптотичної стiйкостi виконання умови v(t, x) ≤ bv(‖x‖) не
потрiбне.
Теорема 4.3. Нехай для системи (1) iснує функцiя v(t, x) класу
V0, що задовольняє припущення А, i функцiя g : R+ → R+ з класу
Хана такi, що:
(1) d
dtv(t, x(t))
∣∣
(1)
≤ 0, якщо v(t, x(t + ζ)) ≤ p(v(t, x(t))) для ζ ∈
[−r, 0] (умова Разумiхiна), де p(s) > s при s > 0, p(0) = 0, p(s)
— неперервна;
58 I. Л. Iванов
(2) v(τk, x(τ
+
k )) ≤ v(τk, x(τk));
(3) виконується будь-яка iз таких умов:
(а) множина M1 =
{
t ≥ 0
∣∣∣ ddtv(t, x(t))
∣∣
(1)
≤
−g(v(t, x(t))), sup
ζ∈[−r,0]
{v(t, x(t + ζ))} ≤ p(v(t, x(t)))
}
така, що λ(M1) = ∞, де λ(.) — мiра Лебега на прямiй;
(б) множина M2 =
{
sup
ζ∈[−r,0]
{v(t, x(t + ζ))} > p(v(t, x(t)))
}
не-
обмежена.
Тодi нульовий стан рiвноваги (1) асимптотично стiйкий.
Для застосування корисним є випадок, коли M1
⋃
M2 = [−r,+∞).
Крiм того, у теоремах 2.1 – 4.3 без змiни схеми доведення можна замi-
нити параметр r в умовi Разумiхiна на довiльний додатнiй параметр
r′ (як правило, покладаючи r′ > r).
Наслiдок 4.1. Нехай для системи (1) iснує функцiя v(t, x) класу
V0, яка задовольняє припущення Б, та монотонна функцiя g : R+ →
R+, g(0) = 0, g(s) > 0, s > 0 такi, що:
(1) d
dtv(t, x(t))
∣∣
(1)
≤ −g(v(t, x(t))), якщо v(t, x(t + ζ)) ≤ p(v(t, x(t)))
для ζ ∈ [−r′, 0] (умова Разумiхiна), де p(s) > s при s > 0,
p(0) = 0, p(s) — неперервна;
(2) v(τk, x(τ
+
k )) ≤ v(τk, x(τk)).
Тодi нульовий стан системи (1) асимптотично стiйкий.
Отриманi результати можуть бути застосованi при дослiдженнi
механiчних та iншого роду систем, що мiстять запiзнення та iмпуль-
сну дiю. Приклади застосування результатiв такого типу при дослi-
дженнi стiйкостi енергосистем наведенi у роботах [8,9], у яких засто-
совуються у тому числi необмеженi функцiї Ляпунова.
5. Висновок
Отриманий у теоремi 3.2 висновок щодо асимптотичної стiйкостi мо-
же бути ефективно застосований до систем, для яких функцiя Ля-
пунова у певнi моменти чи перiоди часу не спадає, маючи нульову
Пiдхiд до дослiдження стiйкостi iмпульсних систем з запiзненням . . . 59
похiдну у точках неперервностi. Добре вiдомо, що таку властивiсть
мають деякi енергетичнi функцiї ряду механiчних систем.
Особливiстю даного результату, а також сформульованих до нього
наслiдкiв, є те, що вони:
1) не накладають обмежень на максимальний та мiнiмальний iн-
тервали мiж iмпульсними збуреннями;
2) дозволяють працювати з необмеженими функцiями Ляпунова.
[1] Lakshmikantham V., Liu X. Stability criteria for impulsive differential
equations in terms of two measures // J. Math. Anal. Appl. — 1989. —
137. — P. 591–604.
[2] Liu X., Ballinger V. Uniform asymptotyc stability of impulsive delay di-
fferential equations // Computers and mathematics with applications. —
2001. — 41. — P. 903–915.
[3] Tang X.H., Zhimin He, Yu J. S. Stability theorem for delay differential
equations with impulses // Applied Mathematics and Computation. —
2002. — 131, 2–3. — P. 373–381.
[4] Wang Q. Stability and boundedness of impulsive systems with time delay.
— PhD Thesis, Unix. of Waterloo, Ontario, Canada, 2007. — 204 p.
[5] Слынько В.И. Об условиях устойчивости движения линейных импуль-
сных систем с запаздыванием // Прикладная механика. — 2005. — 41,
6. — C. 130–138.
[6] Stamova I.M. Razumikhin–type theorems on stability in terms of
two measures for impulsive functional differential systems // Note di
Matematica. — 2006. — 26, 2. — P. 69–80.
[7] Мартынюк А.А. Элементы теории устойчивости движения гибри-
дных систем (обзор) // Прикладная механика. — 2015. — 51, 3. —
P. 3–66.
[8] Иванов И.Л. Устойчивость одной модели энергосистемы с запаздыва-
нием и импульсным воздействием // Аналiтична механiка та її засто-
сування: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. — 2012. — 9, 1. —
С. 114–127.
[9] Мартынюк А.А., Иванов И.Л. О связной устойчивости трёхмашин-
ной энергосистемы при импульсных возмущениях // Доповiдi НАН
України. — 2013. — № 7. — С. 64–71.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-22 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:08Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/e0/7ec090fe9298bbd899cee73b55d424e0.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-222018-01-23T12:01:13Z approach to study of impulsive systems with a delay Пiдхiд до дослiдження стiйкостi iмпульсних систем з запiзненням Іванов, І. Л. Іванов, І. Л. The paper examines the asymptotical stability of systems of ordinary dif-ferential equations with both a delay and impulsive perturbations by usingthe Razumikhin approach. The obtained result is applicable to the caseof an unbounded Lyapunov function so that limitations to the maximallength of the interval between the impulsive actions are not required. Работа посвящена исследованию асимптотической устойчивости си-стем обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием иимпульсным воздействием с применением подхода Разумихина. Полу-ченный в работе результат учитывает случай неограниченной функцииЛяпунова и не налагает ограничений на максимальную длину интер-валов между моментами импульсного воздействия. Інститут математики НАН України 2015-12-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/22 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 5 (2015): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 51-59 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 51-59 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 51-59 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/22/30 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Іванов, І. Л. Іванов, І. Л. approach to study of impulsive systems with a delay |
| title | approach to study of impulsive systems with a delay |
| title_alt | Пiдхiд до дослiдження стiйкостi iмпульсних систем з запiзненням |
| title_full | approach to study of impulsive systems with a delay |
| title_fullStr | approach to study of impulsive systems with a delay |
| title_full_unstemmed | approach to study of impulsive systems with a delay |
| title_short | approach to study of impulsive systems with a delay |
| title_sort | approach to study of impulsive systems with a delay |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/22 |
| work_keys_str_mv | AT ívanovíl approachtostudyofimpulsivesystemswithadelay AT ívanovíl approachtostudyofimpulsivesystemswithadelay AT ívanovíl pidhiddodoslidžennâstijkostiimpulʹsnihsistemzzapiznennâm AT ívanovíl pidhiddodoslidžennâstijkostiimpulʹsnihsistemzzapiznennâm |