Problems of stabilization and damping of external perturbations in control systems
New criteria for output stabilizability of linear control systems using staticand dynamic regulators are obtained. It is shown that the arising algo-rithms of stabilization are available for a certain class of nonlinear controlsystems. Algorithms for constructing the control laws providing a specifi...
Gespeichert in:
| Datum: | 2015 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2015
|
| Online Zugang: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/25 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552548006625280 |
|---|---|
| author | Мазко, О. Г. Кусій, С. М. Мазко, О. Г. Кусій, С. М. |
| author_facet | Мазко, О. Г. Кусій, С. М. Мазко, О. Г. Кусій, С. М. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "О. Г. Мазко",
"institution": "Iнститут математики НАН України"
},
{
"author": "С. М. Кусій",
"institution": null
}
] |
| author_sort | Мазко, О. Г. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-23T12:01:13Z |
| description | New criteria for output stabilizability of linear control systems using staticand dynamic regulators are obtained. It is shown that the arising algo-rithms of stabilization are available for a certain class of nonlinear controlsystems. Algorithms for constructing the control laws providing a specifiedevaluation of the weighted damping level of input signals and initial per-turbations and robust stability of the equilibrium state of control systemare proposed. The results are illustrated by an example for a stabilizationsystem of a single-link robot manipulator. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:01:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iнституту математики НАН України 2015, т. 12, №5, 90–108
УДК 517.93;519.711
Задачi стабiлiзацiї i гасiння
зовнiшнiх збурень у системах
керування ∗
О. Г. Мазко, С.М. Кусiй
Iнститут математики НАН України, Київ;
mazko@imath.kiev.ua, sergii.kusii@gmail.com
New criteria for output stabilizability of linear control systems using static
and dynamic regulators are obtained. It is shown that the arising algo-
rithms of stabilization are available for a certain class of nonlinear control
systems. Algorithms for constructing the control laws providing a specified
evaluation of the weighted damping level of input signals and initial per-
turbations and robust stability of the equilibrium state of control system
are proposed. The results are illustrated by an example for a stabilization
system of a single-link robot manipulator.
Получены новые критерии стабилизируемости по выходу линейных си-
стем управления с помощью статических и динамических регуляторов.
Показано, что вытекающие из данных критериев алгоритмы стабили-
зации применимы для некоторого класса нелинейных систем управ-
ления. Предложены алгоритмы построения законов управления, обес-
печивающих заданную оценку взвешенного уровня гашения входных
сигналов и начальных возмущений, а также робастную устойчивость
состояния равновесия управляемой системы. Полученные результаты
продемонстрированы на примере системы стабилизации однозвенного
робота-манипулятора.
1. Вступ
При математичному моделюваннi руху складних динамiчних об’єктiв
використовуються диференцiальнi та рiзницевi системи рiвнянь, що
∗ Робота виконана за частковою пiдтримкою НДР № 0112U001015.
c© О.Г. Мазко, С.М. Кусiй, 2015
Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 91
мiстять невизначенi елементи (параметри, функцiї, зовнiшнi збурен-
ня тощо). Для таких систем виникає необхiднiсть побудови статичних
або динамiчних регуляторiв, що забезпечують робастну стiйкiсть ста-
нiв рiвноваги та зниження впливу зовнiшнiх збурень на динамiку ке-
рованих об’єктiв. Вказанi якостi системам керування надають методи
теорiї H∞-оптимiзацiї, а також методи iнварiантних елiпсоїдiв (див.,
наприклад, [1–9]). Задачi стабiлiзацiї навiть для класiв лiнiйних си-
стем за умов неповної iнформацiї про їх стан недостатньо вивченi i
розв’язанi лише при додаткових обмеженнях [10, 11].
Слiд зазначити, що практичне застосування багатьох методiв син-
тезу систем керування базується на розв’язуваннi лiнiйних матри-
чних нерiвностей (ЛМН). Для цього створенi достатньо ефективнi
засоби LMI Toolbox комп’ютерної системи Matlab [12].
В данiй роботi пропонуються новi методи побудови статичних та
динамiчних регуляторiв, що забезпечують асимптотичну стiйкiсть
стану рiвноваги деякого класу нелiнiйних систем керування. Для кла-
су лiнiйних систем з керованими i спостережуваними виходами розро-
бляються алгоритми побудови динамiчних регуляторiв, що забезпе-
чують верхню оцiнку зваженого рiвня гасiння вхiдних сигналiв та ро-
бастну стабiлiзацiю вiдносно заданої множини невизначеностей. При
цьому використовується критерiй якостi, що є аналогом H∞-норми
передатної матричної функцiї системи керування [13].
Будемо використовувати такi позначення:
• In — одинична матриця порядку n;
• 0n×m — нульова матриця розмiрiв n×m;
• X = XT > 0 (≥ 0) — додатно (невiд’ємно) визначена матриця X ;
• i(X) = {i+, i−, i0} — iнерцiя симетричної матрицi X , яку утворюють
кiлькостi її додатних, вiд’ємних i нульових власних значень, врахо-
вуючи кратностi;
• λmax(X) (λmin(X)) — максимальне (мiнiмальне) власне значення
матрицi X ;
• A+ — псевдообернена матриця;
• ‖x‖ — евклiдова норма вектора x;
• B⊥ (C⊥) — ортогональне доповнення матрицi B ∈ Rn×m (C ∈ Rl×n)
повного рангу m (l), що визначається спiввiдношеннями
BTB⊥ = 0, det
[
B,B⊥] 6= 0 (C⊥CT = 0, det
[
CT , C⊥T ] 6= 0);
• WA — матриця, стовпцi якої утворюють базис ядра матрицi A;
• Co{A1, . . . , Aν} — опуклий многогранник (полiтоп) з вершинами
A1, . . . , Aν у просторi матриць.
92 О.Г. Мазко, С.М. Кусiй
2. Стабiлiзацiя по вимiрюваному виходу
Розглянемо нелiнiйну систему керування
ẋ = A(x)x +B(x)u, y = C(x)x +Du, (1)
де x ∈ Rn, u ∈ Rm i y ∈ Rl — вектори вiдповiдно стану, керування
i вимiрюваного виходу системи, а A(x), B(x), C(x) i D — матрицi
вiдповiдних розмiрiв. Припускаємо, що залежностi A(x), B(x) i C(x)
неперервнi, причому rankB(x) ≡ m i rankC(x) ≡ l в деякому околi
S0 = {x : ‖x‖ ≤ h} точки x = 0, а D — стала матриця. Разом з (1)
розглядаємо лiнiйну систему
ẋ = Ax+Bu, y = Cx+Du, (2)
де A = A(0), B = B(0) i C = C(0).
2.1. Статичнi регулятори
Сформулюємо умови стабiлiзацiї нульового стану рiвноваги систем
(1) i (2) за допомогою статичних регуляторiв
u = Ky, K ∈ KD, (3)
де KD = {K ∈ Rm×l : det(Im −KD) 6= 0}. Замкнена система (2), (3)
має вигляд
ẋ =Mx, M = A+BD(K)C, (4)
де D(K) = (Im −KD)−1K — нелiнiйний оператор. Якщо спектр ма-
трицi M розмiщений у пiвплощинi C−
α = {λ : Reλ+ α < 0}, де α ≥ 0,
то систему (4) називаємо α-стiйкою. Спектральний запас стiйкостi
α-стiйкої системи не менший, нiж α.
Теорема 2.1. Наступнi твердження еквiвалентнi:
1) Iснує статичний регулятор (3), що забезпечує α-стiйкiсть
замкненої системи (4).
2) Iснує матриця X = XT > 0, що задовольняє спiввiдношення
B⊥T (AX +XAT + 2αX)B⊥ < 0, (5)
i(∆) =
{
l, n, 0
}
, ∆ =
[
AX +XAT + 2αX XCT
CX 0
]
. (6)
Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 93
3) Iснують взаємнооберненi матрицi X = XT > 0 i Y = Y T > 0,
що задовольняють спiввiдношення (5) i
C⊥(ATY + Y A+ 2αY )C⊥T < 0. (7)
При виконаннi одного iз тверджень 2) або 3) регулятор
u = Ky, K = −D(−K0) ∈ KD, (8)
де K0 — розв’язок ЛМН
AX +XAT + 2αX +BK0CX +XCTKT
0 B
T < 0, (9)
забезпечує α-стiйкiсть замкненої системи (4).
Критерiй α-стiйкостi у виглядi твердження 2) встановлено в [13]
на основi леми 1 [14]. Еквiвалентнiсть тверджень 2) i 3) випливає
iз формули для iндексiв iнерцiї блочної матрицi (див. [15, c. 147])
i±(∆1) = i±(C⊥L1C
⊥T ) + l = i±(∆), де
∆1 = RT∆R =
C⊥L1C
⊥T 0 C⊥L1C
+
0 0 Il
C+TL1C
⊥T Il C+TL1C
+
,
L1 = ATY + Y A+ 2αY, R =
[
Y C⊥T 0 Y C+
0 Il 0
]
, detR 6= 0.
Стосовно еквiвалентностi тверджень 1) i 3) див. також [5].
Теорема 2.2. Нехай виконується одне iз тверджень 2) або 3)
теореми 2.1 для системи (2). Тодi спiввiдношення (8) i (9) визна-
чають статичний регулятор, що забезпечує асимптотичну стiй-
кiсть нульового стану x ≡ 0 та квадратичну функцiю Ляпунова
v(x) = xTXx замкненої нелiнiйної системи (1), (8).
Доведення. Умови (5), (6) або (5), (7) забезпечують сумiснiсть
ЛМН (9) вiдносно K0. При цьому в силу неперервностi матричних
функцiй A(x), B(x) i C(x) для деякого h > 0 виконуються спiввiдно-
шення
M(x)X +XMT (x) + 2αX < 0, v̇(x) < −2αv(x) ≤ 0, x ∈ S0,
де M(x) = A(x) + B(x)K0C(x), S0 = {x : ‖x‖ < h}, v̇(x) — похi-
дна функцiї v(x) в силу замкненої системи (1), (8). Тому твердження
теореми 2.2 є наслiдком теореми 2.1 i теореми Ляпунова про асим-
птотичну стiйкiсть [16].
Теорема доведена.
94 О.Г. Мазко, С.М. Кусiй
2.2. Динамiчнi регулятори
Наведемо аналоги теорем 2.1 i 2.2, використовуючи клас динамiчних
регуляторiв
ξ̇ = Zξ + V y, u = Uξ +Ky, (10)
де ξ ∈ Rr, r ≤ n, Z, V , U i K — невiдомi матрицi. Спiввiдношення
(1) i (10) можна подати у виглядi системи керування зi статичним
регулятором у розширеному фазовому просторi:
˙̂x = Â(x̂)x̂+ B̂(x̂)û, ŷ = Ĉ(x̂)x̂+ D̂û, û = K̂ŷ, (11)
де
x̂ =
[
x
ξ
]
, ŷ =
[
y
ξ
]
, û =
[
u
ξ̇
]
, K̂ =
[
K U
V Z
]
,
Â(x̂) =
[
A(x) 0n×r
0r×n 0r×r
]
, B̂(x̂) =
[
B(x) 0n×r
0r×m Ir
]
,
Ĉ(x̂) =
[
C(x) 0l×r
0r×n Ir
]
, D̂ =
[
D 0l×r
0r×m 0r×r
]
.
При умовi K ∈ KD замкнена лiнiйна система (2), (10) має вигляд
˙̂x = M̂ x̂, M̂ = Â+ B̂D̂(K̂)Ĉ, (12)
де Â = Â(0), B̂ = B̂(0), Ĉ = Ĉ(0), D̂(K̂) = (Im+r−K̂D̂)−1K̂, причому
D̂(K̂) =
[
D(K) (Im −KD)−1U
V (Il −DK)−1 Z + V D(Im −KD)−1U
]
,
M̂ =
[
M B(Im −KD)−1U
V (Il −DK)−1C Z + V D(Im −KD)−1U
]
.
Теорема 2.3. Наступнi твердження еквiвалентнi:
1) Iснує динамiчний регулятор (10) порядку r ≤ n, що забезпечує
α-стiйкiсть замкненої системи (12).
2) Iснують матрицi X i X0, що задовольняють спiввiдношення
(5) i
i(∆0) = {l, n, 0}, X ≥ X0 > 0, rank(X −X0) ≤ r, (13)
де
∆0 =
[
AX0 +X0A
T + 2αX0 X0C
T
CX0 0
]
.
Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 95
3) Iснують матрицi X i Y , що задовольняють спiввiдношення
(5), (7) i
W =
[
X In
In Y
]
≥ 0, rankW ≤ n+ r. (14)
Доведення. За теоремою 2.1 маємо наступний критерiй iснування
статичного регулятора, що забезпечує α-стiйкiсть замкненої системи:
B̂⊥T (ÂX̂ + X̂ÂT + 2αX̂)B̂⊥ < 0, i(∆̂) = {l + r, n+ r, 0}, (15)
де
∆̂ =
[
ÂX̂ + X̂ÂT + 2αX̂ X̂ĈT
ĈX̂ 0
]
, X̂ =
[
X XT
1
X1 X2
]
> 0, α ≥ 0.
Перше спiввiдношення в (15), враховуючи структуру блочних ма-
триць, зводиться до матричної нерiвностi (5) вiдносно X . Застосуємо
конгруентне перетворення матрицi ∆̂:
L̂∆̂L̂T =
[
∆0 0
0 ∆1
]
, (16)
де
L̂ =
In −XT
1 X
−1
2 0 −AXT
1 X
−1
2
0 0 Il −CXT
1 X
−1
2
0 Ir 0 0
0 0 0 Ir
, ∆1 =
[
2αX2 X2
X2 0
]
.
Тут дiагональний блок ∆0 визначено в (13) при X0 = X−XT
1 X
−1
2 X1.
При цьому i(∆1) = {r, r, 0}, rank (X − X0) = rank (XT
1 X
−1
2 X1) ≤ r i
X ≥ X0.
Отже, iз (15) випливають спiввiдношення (5) i (13) для деяких
додатно визначених матриць X i X0. Навпаки, якщо система спiв-
вiдношень (5) i (13) сумiсна вiдносно X = XT > 0 i X0 = XT
0 > 0,
то, враховуючи (16), завжди можна знайти блочну матрицю X̂ > 0,
що задовольняє спiввiдношення (15). При цьому матриця X повинна
бути її першим дiагональним блоком, а значеннями X1 i X2 можуть
бути, наприклад, множник розкладу X −X0 = XT
1 X1 ≥ 0 i одинична
матриця Ir вiдповiдно.
Еквiвалентнiсть тверджень 1) i 3) також всановлюється iз ура-
хуванням блочної структури використаних матриць. Слiд вiдмiтити,
96 О.Г. Мазко, С.М. Кусiй
що матрицi X i X0 задовольняють твердження 2) лише тодi, коли
матрицi X i Y = X−1
0 задовольняють твердження 3). Для виконання
спiввiдношень (14) необхiдно, щоб матрицi X i Y були додатно ви-
значеними. Рангове обмеження в (14) завжди виконується у випадку
динамiчного регулятора повного порядку r = n.
Теорема доведена.
Iз теореми 2.3 випливає наступний алгоритм побудови динамiчно-
го регулятора (10), що забезпечує α-стiйкiсть системи (12), а також
асимптотичну стiйкiсть нульового стану замкненої нелiнiйної системи
(11).
Алгоритм 2.1. 1) Знаходження матриць X i X0, що задовольня-
ють спiввiдношення (5) i (13).
2) Розклад невiд’ємно визначеної матрицi
X −X0 = XT
1 X1 ≥ 0, X1 ∈ R
r×n, rankX1 ≤ r.
3) Розв’язування ЛМН
ÂX̂ + X̂ÂT + 2αX̂ + B̂K̂0ĈX̂ + X̂ĈT K̂T
0 B̂
T < 0
вiдносно K̂0 при умовах det (Im +K0D) 6= 0 i α ≥ 0, де
X̂ =
[
X XT
1
X1 Ir
]
> 0, K̂0 =
[
K0 U0
V0 Z0
]
.
4) Обчислення матриць регулятора (10) по формулах
K = (Im +K0D)−1K0, U = (Im +K0D)−1U0,
V = V0(Il +DK0)
−1, Z = Z0 − V0D(Im +K0D)−1U0.
(17)
3. Оцiнка рiвня гасiння збурень в рiвняннях
регулятора
3.1. Статичнi регулятори
Розглянемо системи (1) i (2) з початковим вектором x(0) = x0 i керу-
ванням
u = K∗y + w, K∗ ∈ KD, (18)
Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 97
де w ∈ Rm — вектор обмежених зовнiшнiх збурень. Перепишемо вiд-
повiднi замкненi системи у виглядi
ẋ = A∗(x)x +B∗(x)w, y = C∗(x)x +D∗w, x(0) = x0, (19)
ẋ = A∗x+B∗w, y = C∗x+D∗w, x(0) = x0, (20)
де A∗(x) = A(x) + B(x)D(K∗)C(x), B∗(x) = B(x)(Im − K∗D)−1,
C∗(x) = (Il − DK∗)−1C(x), A∗ = A∗(0), B∗ = B∗(0), C∗ = C∗(0),
D∗ = (Il − DK∗)−1D, D(K∗) = (Im − K∗D)−1K∗. Вхiдна вектор-
функцiя w(t) i початковий вектор x0 вважаються невiдомими.
Введемо для систем (19) i (20) критерiй якостi
J = sup
0<‖w‖2
P
+xT
0 X0x0<∞
‖y‖Q√
‖w‖2P + xT0X0x0
, (21)
де
‖y‖2Q =
∫ T
0
yTQy dt, ‖w‖2P =
∫ T
0
wTPw dt, T > 0,
Q = QT > 0, P = PT > 0 i X0 = XT
0 > 0 — додатно визначенi ваговi
матрицi. Вирази ‖y‖Q i ‖w‖Q при T = ∞ є зваженими L2-нормами
векторiв вихiдних i вхiдних сигналiв системи. Величина (21) хара-
ктеризує рiвень впливу зовнiшнiх збурень i початкового вектора на
якiсть перехiдного процесу системи. Якщо Q = Il, P = Im i T = ∞,
то значення J спiвпадає з H∞-нормою передатної матричної функцiї
H(λ) = C(λIn −A)−1B +D лiнiйної системи (3) з нульовим початко-
вим вектором [1].
Означення 3.3. Система (19) називається неекспансивною, якщо
її вектор виходу при довiльному T > 0 задовольняє нерiвнiсть
∫ T
0
yTQydt ≤
∫ T
0
wTPwdt + xT0X0x0. (22)
Очевидно, що для неекспансивної системи характеристика J ≤ 1.
Лема 3.1. Нехай для деяких матриць K∗ i X = XT виконується
система спiввiдношень
0 < X ≤ X0, Φ(x) ≤ 0, (23)
98 О.Г. Мазко, С.М. Кусiй
де
Φ(x) =
[
AT∗X +XA∗ + CT∗ QC∗ XB∗ + CT∗ QD∗
BT∗ X +DT
∗ QC∗ DT
∗ QD∗ − P
]
, x ∈ R
n.
Тодi нелiнiйна система (19) є неекспансивною. При цьому, якщо
Φ(0) < 0, то нульовий стан x ≡ 0 даної системи з невизначенiстю
w = Θy, ΘTPΘ ≤ Q, (24)
робастно стiйкий зi спiльною функцiєю Ляпунова v(x) = xTXx.
Доведення. Обчислимо вираз
v̇(x) + yTQy − wTPw = zTΦ(x)z,
де zT = [xT , wT ], v̇(x) — похiдна квадратичної функцiї v(x) = xTXx
в силу системи (19). Пiсля iнтегрування даного виразу, враховуючи
спiввiдношення (23), маємо нерiвнiсть (22). Асимптотична стiйкiсть
стану x ≡ 0 замкненої системи (19) з невизначенiстю (24) (тобто ро-
бастна стiйкiсть) є наслiдком теореми 1 iз [18].
Лема доведена.
Для лiнiйної системи (20) маємо критерiй неекспансивностi.
Лема 3.2. Лiнiйна система (20) є неекспансивною тодi i лише
тодi, коли для деякої матрицi X = XT при x = 0 виконується
система спiввiдношень (23). При цьому, якщо Φ(0) < 0, то система
(20) з невизначенiстю (24) робастно стiйка зi спiльною функцiєю
Ляпунова v(x) = xTXx.
Доведення. Твердження достатностi є наслiдком леми 3.1. Для
доведення твердження необхiдностi використаємо розклади додатно
визначених матриць Q = Q̃T Q̃, P = P̃T P̃ , X0 = X̃T
0 X̃0 i перетворимо
систему (20):
˙̃x = Ãx̃+ B̃w̃, ỹ = C̃x̃+ D̃w̃, x̃(0) = x̃0, (25)
де x̃ = X̃0x, ỹ = Q̃y, w̃ = P̃w, Ã = X̃0A∗X̃
−1
0 , B̃ = X̃0B∗P̃−1,
C̃ = Q̃C∗X̃
−1
0 i D̃ = Q̃D∗P̃−1. При цьому критерiй якостi (21) для
системи (25) набуває вигляду
J̃ = sup
0<‖w̃‖2
Im
+x̃T
0 x̃0<∞
‖ỹ‖Il√
‖w̃‖2Im + x̃T0 x̃0
.
Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 99
Iз доведення теореми 1 [17] випливає, що J̃ ≤ γ (J̃ < γ) тодi i лише
тодi, коли для деякої матрицi X̃ = X̃T виконується система ЛМН
0 < X̃ ≤ γ2In, Ω̃γ =
ÃT X̃ + X̃Ã X̃B̃ C̃T
B̃T X̃ −γ2Im D̃T
C̃ D̃ −Il
≤ 0 (< 0).
Перетворимо останнi нерiвностi:
0 < X ≤ γ2X0, Ωγ = ST Ω̃γS =
AT∗X +XA∗ XB∗ CT∗
BT∗ X −γ2P DT
∗
C∗ D∗ −Q−1
≤ 0,
де X = X̃T
0 X̃X̃0, S = diag
{
X̃0, P̃ , Q̃
−1T
}
. Застосовуючи лему Шура
до блочного виразу Ωγ , отримуємо матричну нерiвнiсть
Φγ =
[
AT∗X +XA∗ + CT∗ QC∗ XB∗ + CT∗ QD∗
BT∗ X +DT
∗ QC∗ DT
∗ QD∗ − γ2P
]
≤ 0.
У випадку γ = 1 маємо спiввiдношення Φ(0) = Φ1 ≤ 0. Причому,
якщо виконується строга матрична нерiвнiсть, то нульовий стан x ≡ 0
замкненої системи (20), (24) асимптотично стiйкий [18].
Лема доведена.
Зазначимо, що характеристику J лiнiйної системи (20) можна об-
числити як розв’язок оптимiзацiйної задачi:
J = inf
{
γ : Φγ ≤ 0, 0 < X ≤ γ2X0, K∗ ∈ KD
}
.
До множини параметрiв оптимiзацiї X i K∗ можна приєднати також
елементи додатно визначених матриць X0, P i Q.
В [13] отримано необхiднi i достатнi умови iснування матрицi K∗,
для якої матрична нерiвнiсть Φγ < 0 виконується для деякої матрицi
X = XT > 0 при γ = 1. При цьому характеристика J < 1, якщо
X ≤ X0. Враховуючи цi умови, маємо наступне твердження.
Теорема 3.4. Для лiнiйної системи (20) iснує матриця K∗ та-
ка, що J < 1 тодi i лише тодi, коли сумiсна система спiввiдношень
WT
R
[
ATX +XA+ CTQC XB + CTQD
BTX +DTQC DTQD − P
]
WR < 0, (26)
100 О.Г. Мазко, С.М. Кусiй
WT
L
[
AY + Y AT +BP−1BT Y CT +BP−1DT
CY +DP−1BT DP−1DT −Q−1
]
WL < 0, (27)
0 < X ≤ X0, XY = In, (28)
де R = [C,D], L = [BT , DT ]. При виконаннi умов (26) – (28) нульовий
стан систем (19) i (20) з невизначенiстю (24) робастно стiйкий зi
спiльною функцiєю Ляпунова v(x) = xTXx.
Зауваження 3.2. Якщо матрицiX i Y задовольняють умови (26)
– (28), то матрицю K∗ в теоремi 3.4 можна побудувати у виглядi
K∗ = K0(Il +DK0)
−1, (29)
де K0 — довiльна матриця, що задовольняє спiввiдношення
LT0K0R0 +RT0K
T
0 L0 +Ω < 0, −K0 ∈ KD,
R0 =
[
R, 0l×l
]
, L0 =
[
L, 0m×m
]
X̃,
X̃ =
X 0 0
0 0 Il
0 Im 0
, Ω =
ATX +XA XB CT
BTX −P DT
C D −Q−1
.
3.2. Динамiчнi регулятори
Розглянемо системи (1) i (2) з динамiчним зворотним зв’язком
ξ̇ = Zξ + V y, u = Uξ +Ky + w, ξ(0) = ξ0, (30)
де ξ ∈ Rr i w ∈ Rm — вектори вiдповiдно стану регулятора i вхiдних
сигналiв (зовнiшнiх збурень), Z, V , U i K — невiдомi сталi матрицi.
При умовi K ∈ KD вiдповiднi замкненi системи мають вигляд
˙̂x = M̂(x)x̂ + N̂(x)w, y = F̂ (x)x̂ + Ĝw, x̂(0) = x̂0, (31)
˙̂x = M̂x̂+ N̂w, y = F̂ x̂+ Ĝw, x̂(0) = x̂0, (32)
де
x̂ =
[
x
ξ
]
, M̂(x) =
[
A(x) +B(x)K0C(x) B(x)U0
V0C(x) Z0
]
,
N̂(x) =
[
B(x) +B(x)K0D
V0D
]
, F̂ (x) =
[
C(x) +DK0C(x), DU0
]
,
Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 101
Ĝ = D +DK0D, K0 = D(K), M̂ = M̂(0), N̂ = N̂(0), F̂ = F̂ (0),
U0 = (Im−KD)−1U, V0 = V (Il−DK)−1, Z0 = Z+V D(Im−KD)−1U.
Нехай критерiй якостi Ĵ типу (21) i умови неекспансивностi даних
систем визначають додатно визначенi матрицi P , Q i X̂0. За лемою
3.1 нелiнiйна система (31) є неекспансивною, якщо
0 < X̂ ≤ X̂0, Φ̂(x̂) ≤ 0, x̂ ∈ R
n+r, (33)
де
Φ̂(x̂) =
[
M̂T (x̂)X̂ + X̂M̂(x̂) + F̂T (x̂)QF̂ (x) X̂N̂(x̂) + F̂T (x̂)QĜ
N̂T (x̂)X̂ + ĜTQF̂ (x) ĜTQĜ− P
]
,
X̂ =
[
X XT
1
X1 X2
]
> 0, X̂0 =
[
X0 XT
01
X01 X02
]
> 0.
Будемо шукати динамiчний регулятор (30) з нульовим початковим
вектором ξ0 = 0. Тодi критерiй якостi Ĵ спiвпадає з J .
Теорема 3.5. Для лiнiйної системи (2) iснує динамiчний регу-
лятор (30), що забезпечує критерiй якостi J < 1 тодi i лише тодi,
коли для деяких матриць X = XT > 0 i Y = Y T > 0 виконується
система ЛМН (14), (26), (27) i X ≤ X0. При цьому нульовий стан
x̂ ≡ 0 систем (31) i (32) з невизначенiстю (24) робастно стiйкий.
Доведення. За лемою 3.2 лiнiйна система (32) є неекспансивною
тодi i лише тодi, коли спiввiдношення (33) виконуються при x̂ = 0.
При цьому J < 1, якщо Φ̂(0) < 0. Оскiльки ξ0 = 0, то обмеження на
X̂ i X̂0 в (33) зводяться до спiввiдношення для перших дiагональних
блокiв 0 < X ≤ X0 (див. доведення леми 3.1).
Перепишемо спiввiдношення Φ̂(0) < 0 у виглядi ЛМН вiдносно
блочної матрицi K̂0:
L̂T K̂0R̂+ R̂T K̂T
0 L̂+ Ω̂ < 0, (34)
де
Ω̂ =
ATX +XA ATXT
1 XB CT
X1A 0 X1B 0
BTX BTXT
1 −P DT
C 0 D −Q−1
, L̂T =
XB XT
1
X1B X2
0 0
D 0
,
102 О.Г. Мазко, С.М. Кусiй
R̂ =
[
C 0 D 0
0 Ir 0 0
]
, K̂0 =
[
K0 U0
V0 Z0
]
.
Для iснування розв’язку K̂0 матричної нерiвностi (34) необхiдно i
достатньо, щоб виконувались спiввiдношення [6]
WT
R̂
Ω̂WR̂ < 0, WT
L̂
Ω̂WL̂ < 0. (35)
Обчислимо матрицi
WR̂ = E1
WR 0
0 0
0 Il
, WL̂ = E2
WL 0
0 Im
0 0
,
де
E1 =
In 0 0 0
0 0 Ir 0
0 Im 0 0
0 0 0 Il
, E2 =
Y 0 0 Y T1
Y1 0 0 Y2
0 0 Im 0
0 Il 0 0
,
X̂−1 = Ŷ =
[
Y Y T1
Y1 Y2
]
.
Блоки взаємнообернених матриць X̂ i Ŷ задовольняють рiвностi
XY +XT
1 Y1 = In, XY T1 +XT
1 Y2 = 0,
X1Y +X2Y1 = 0, X1Y
T
1 +X2Y2 = Ir.
Враховуючи цi рiвностi i блочну структуру наведених виразiв, спiв-
вiдношення (35) набувають вигляду (26) i (27), де невiдомими є лише
першi дiагональнi блокиX i Y вiдповiдних матриць X̂ i Ŷ . Умови (14)
є необхiдними i достатнiми для iснування блочних взаємнообернених
матриць X̂ > 0 i Ŷ > 0 iз наперед заданими першими дiагональними
блоками X > 0 i Y > 0 (див., наприклад, [5, лема А.7]). При цьому
рангове обмеження в (14) завжди виконується у випадку динамiчного
регулятора повного порядку r = n.
При виконаннi умов (14), (26), (27) i 0 < X ≤ X0 робастна стiй-
кiсть стану x̂ ≡ 0 систем (31) i (32) з невизначенiстю (24) є наслiдком
теореми 1 iз [18]. При цьому v(x̂) = x̂T X̂x̂ є спiльною функцiєю Ля-
пунова вiдповiдних сiмей систем.
Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 103
Наведемо алгоритм побудови динамiчного регулятора (30), що за-
довольняє теорему 3.5.
Алгоритм 3.1. 1) обчислення матриць WR i WL;
2) знаходження матриць X = XT > 0 i Y = Y T > 0, що задоволь-
няють спiввiдношення (14), (26), (27) i X ≤ X0;
3) формування блочних взаємнообернених матриць X̂ i Ŷ ;
4) розв’язання ЛМН (34) вiдносно K̂0 при обмеженнi det(Il +
DK0) 6= 0;
5) обчислення матриць регулятора (30) по формулах (17).
В п. 3) наведеного алгоритму можна використати формулу Фро-
бенiуса для обернення блочних матриць [19], згiдно з якою
X = Y −1 + Y −1Y T1 H
−1Y1Y
−1, X1 = −H−1Y1Y
−1, X2 = H−1,
деH = Y2−Y1Y −1Y T1 . Якщо для деяких матрицьX1 iH виконуються
спiввiдношення
X − Y −1 = XT
1 HX1 ≥ 0, H = HT > 0, rankX1 ≤ r,
то можна покласти X2 = H−1, Y1 = −HX1Y i Y2 = H +HX1Y X
T
1 H .
Зокрема, при умовах r = n i X > Y −1 можна взяти X1 = X2 =
X − Y −1 i H = (X − Y −1)−1.
Слiд вiдмiтити, що в теоремах 3.4 i 3.5 матрицi P i Q є заданими.
Але в алгоритмi робастної стабiлiзацiї 3.1 їх можна вважати невiдо-
мими i обчислювати разом з додатно визначеними матрицями X i Y .
Крiм того, можна враховувати невизначенiсть A ∈ Co{A1, . . . , Aα},
де Co{A1, . . . , Aν} =
{∑ν
i=1 αiAi :
∑ν
i=1 αi = 1, αi ≥ 0, i = 1, ν
}
. При
цьому необхiдно задовольнити систему 2α ЛМН типу (26) i (27) для
кожної вершини Ai заданого полiтопа. В лемах 3.1 i 3.2 можна враху-
вати також невизначеностi B ∈ Co{B1, . . . , Bβ} i C ∈ Co{C1, . . . , Cγ},
використовуючи вiдповiднi системи ЛМН.
4. Приклад
Розглянемо систему керування одноланкового робота-манiпулятора,
круговий рух ланки якого навколо одного з кiнцiв здiйснюється за
допомогою гнучкого з’єднання ланки та виконавчого механiзму (рис.
104 О.Г. Мазко, С.М. Кусiй
Рис. 1. Одноланковий робот-манiпулятор.
1). Мiж виконавчим механiзмом (валом електродвигуна) i кiнцем лан-
ки знаходиться лiнiйна торсiйна пружина. Дана система описується
у виглядi двох нелiнiйних диференцiальних рiвнянь другого роду, якi
вiдповiдають за механiчний баланс виконавчого механiзму та ланки
робота-манiпулятора без урахування сил тертя i зовнiшнiх збурень.
Рiвняння руху системи представляються у векторно-матричнiй фор-
мi (1), де
A(x) =
0 1 0 0
−µghϕ(θ1) + k
J1
0
k
J1
0
0 0 0 1
k
J2
0 − k
J2
− d
J2
,
B =
0
0
0
1
J2
, x =
θ1
θ̇1
θ2
θ̇2
,
θ1 i θ2 — кутовi координати вiдповiдно ланки манiпулятора i валу дви-
гуна, u — керуючий момент, який створює двигун, J1 i J2 — моменти
iнерцiї вiдповiдно ланки манiпулятора i валу двигуна, k — жорсткiсть
передатного механiзму, d — коефiцiєнт демпфування, µ — маса лан-
ки манiпулятора, h — довжина ланки манiпулятора, g — прискорення
вiльного падiння, µgh sin θ1 — момент сили тяжiння, що дiє на ланку
манiпулятора, ϕ(θ) = (sin θ)/θ — неперервна функцiя.
Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 105
Нехай µgh = 5, d = 0, 1, k = 100, J1 = 1, J2 = 0, 3 i вимiрюється
вектор виходу
y = Cx+Du =
[
θ̇2 + u
]
, C =
[
0 0 0 1
]
, D =
[
1
]
.
Використовуючи алгоритм 2.1, отримано матрицi динамiчного ре-
гулятора (10)
K =
[
1, 03905
]
, U =
[
1, 78373 0, 47388 3, 32968 −4, 93660
]
,
V =
−1, 77794
3, 46321
27, 22583
−1, 20941
,
Z =
7, 75694 −18, 47507 −128, 02370 5, 73633
12, 78966 −22, 37844 −179, 45836 7, 37386
135, 31195 −252, 41576 −2078, 56531 84, 27264
−39, 63772 77, 04892 614, 12793 −35, 01502
,
який забезпечує α-стiйкiсть замкненої лiнiйної системи (12) при α =
0, 3. Нульовий розв’язок замкненої нелiнiйної системи (11) також
асимптотично стiйкий.
0 0,2 0,4 0,6 t
-1
-0,5
0
0,5
1
x, ξ
x
1
x
2
x
3
x
4
ξ
1
ξ
2
ξ
3
ξ
4
Рис. 2. Поведiнка замкненої си-
стеми керування (алгоритм 2.1).
0 0,5 1 1,5 t
-3
-2
-1
0
1
2
x, ξ
x
1
x
2
x
3
x
4
ξ
1
ξ
2
ξ
3
ξ
4
Рис. 3. Поведiнка замкненої си-
стеми керування (алгоритм 3.1).
Крiм того, поклавши в (21) P = 1, Q = 0, 01 i X0 = 10I4, за
допомогою алгоритму 3.1 побудовано динамiчний регулятор (30) з
106 О.Г. Мазко, С.М. Кусiй
матрицями
K =
[
1, 82161
]
, U =
[
−1, 29476 0, 01041 1, 25865 0, 96167
]
,
V =
1, 10060
−13, 80181
−2, 03002
51, 48452
,
Z =
−2, 27078 −76, 73505 4, 34814 220, 43906
1, 01722 −0, 21598 −0, 03272 0, 85998
2, 21576 72, 41993 −4, 24540 −223, 16699
−0, 04464 0, 56263 1, 08013 −5, 89252
,
що забезпечує критерiй якостi J < 1. Знайдено також матрицi
X =
7, 67175 −0, 67223 −0, 46220 −0, 33429
−0, 67223 1, 76134 1, 98760 0, 53081
−0, 46220 1, 98760 5, 20547 0, 70099
−0, 33429 0, 53081 0, 70099 0, 17849
,
Y =
374, 39850 −165, 72393 376, 51701 −135, 90249
−165, 72393 1627, 17576 −178, 84153 151, 20462
376, 51701 −178, 84153 393, 51496 −179, 48245
−135, 90249 151, 20462 −179, 48245 4902, 68005
,
що задовольняють систему ЛМН (14), (26), (27) i X ≤ X0, а в якостi
доповнюючих блокiв X1 та X2 вибраний вираз X − Y −1. При цьому
нульовий розв’язок систем (31) i (32) з невизначенiстю (24) робастно
стiйкий зi спiльною функцiєю Ляпунова v(x̂) = x̂T X̂x̂.
На рис. 2 i 3 показана поведiнка розв’язку замкненої нелiнiйної
системи керування (31) з початковим вектором
x̂0 =
[
0, 1, −0, 2, 0, 3, −0, 4, −0, 1, 0, 2, −0, 3, 0, 4
]T
при використаннi динамiчного регулятора повного порядку r = 4 з
матрицями K, U , V i Z, якi отриманi за допомогою алгоритмiв 2.1 i
3.1. Суцiльними i штрих-пунктирними лiнiями позначено траєкторiї
вiдповiдно системи xi(t) i регулятора ξi(t) (i = 1, 4).
Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень у системах . . . 107
5. Висновок
В роботi отримано новi критерiї iснування i алгоритми побудови ста-
тичних i динамiчних регуляторiв, що забезпечують асимптотичну
стiйкiсть станiв рiвноваги деякого класу нелiнiйних систем керування
у векторно-матричнiй формi. Для цього ж класу систем розроблено
алгоритми побудови законiв керування, якi забезпечують властивiсть
неекспансивностi та оцiнку критерiю якостi, що характеризує зваже-
ний рiвень гасiння вхiдних сигналiв, а також робастну стабiлiзацiю
нульового стану рiвноваги вiдносно заданої множини невизначено-
стей. Чисельна реалiзацiя запропонованих методiв побудови стабi-
лiзуючих регуляторiв базується на розв’язаннi систем лiнiйних ма-
тричних нерiвностей iз залученням ефективних засобiв комп’ютерної
системи Matlab.
Основнi результати роботи продемонстровано на прикладi нелi-
нiйної системи керування одноланкового робота-манiпулятора.
[1] Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. —
М.: Наука, 2002. — 303 с.
[2] Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности: гаранти-
рованные результаты в задачах управления и идентификации. — К.:
Наук. думка, 2006. — 264 с.
[3] Zhou K., Doyle J. C., Glover K. Robust and optimal control. —
Englewood: Prentice-Hall, Inc., 1996. — 586 p.
[4] Dullerud G.E., Paganini F.G. A Course in Robust Control Theory. A
Convex Approach. — Berlin: Springer-Verlag, 2000. — 419 p.
[5] Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе
линейных матричных неравенств. — М.: Физматлит, 2007. — 280 с.
[6] Gahinet P., Apkarian P. A Linear Matrix Inequality Approach to H∞
Control // Intern. J. of Robust and Nonlinear Control. — 1994. — 4. —
P. 421 – 448.
[7] Kwakernaak H. Robust control and H∞-optimization — Tutorial paper //
Automatica. — 1993. — 29, 2. — P. 255–273.
[8] Ларин В.Б., Туник А.А. О компенсации внешних возмущений дина-
мической обратной связью по выходной переменной // Прикладная
механика. — 2006. — 42, 5. — С. 132–144.
108 О.Г. Мазко, С.М. Кусiй
[9] Назин С.А., Поляк Б.Т., Топунов М.В. Подавление ограниченных
внешних возмущений с помощью метода инвариантных эллипсоидов
// Автоматика и телемеханика.— 2007. — № 3. — С. 106–125.
[10] Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Трудные задачи линейной теории
управления. Некоторые подходы к решению // Автоматика и
телемеханика.— 2005. — № 5. — С. 7–46.
[11] Алиев Ф.А., Ларин В. Б. Задачи стабилизации системы с обратной
связью по выходной переменной (обзор) // Прикладная механика. —
2011. — 47, 3. — С. 3–49.
[12] Gahinet P., Nemirovski A., Laub A. J., Chilali M. The LMI Control
Toolbox. For Use with Matlab. User’s Guide. — Natick, MA: The
MathWorks, Inc., 1995. — 138 p.
[13] Мазко А. Г., Кусий С.Н. Стабилизация по измеряемому выходу и
оценка уровня гашения возмущений в системах управления // Нелi-
нiйнi коливання.— 2015. — 18, 3. — С. 373–387.
[14] Мазко О.Г., Богданович Л.В. Робастна стiйкiсть i оптимiзацiя нелi-
нiйних систем керування // Аналiтична механiка та її застосування:
Зб. пр. Iн-ту математики НАН України. — 2012. — 9, 1. — С. 213–230.
[15] Mazko A.G. Matrix equations, spectral problems and stability of dynamic
systems // Int. book series “Stability, Oscillations and Optimization of
Systems” / Eds A.A. Martynyuk, P. Borne and C. Cruz-Hernandez. —
Cambridge: Cambridge Sci. Publ., 2008. — Vol. 2. — xx+270 p.
[16] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. —
М.: Наука, 1967. — 472 с.
[17] Баландин Д.В., Коган М.М. Обобщенное H∞-оптимальное управ-
ление как компромисс между H∞-оптимальным управлением и γ-
оптимальным управлениями // Автоматика и телемеханика.— 2010.
— № 6. — С. 20–38.
[18] Мазко А. Г. Робастная устойчивость и оценка функционала качества
нелинейных систем управления // Автоматика и телемеханика. —
2015. — № 2. — С. 73–88.
[19] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 552 с.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-25 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:01:11Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/41/753ebf84933b5d04a51ee840ccaf0e41.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-252018-01-23T12:01:13Z Problems of stabilization and damping of external perturbations in control systems Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень у системах керування Мазко, О. Г. Кусій, С. М. Мазко, О. Г. Кусій, С. М. New criteria for output stabilizability of linear control systems using staticand dynamic regulators are obtained. It is shown that the arising algo-rithms of stabilization are available for a certain class of nonlinear controlsystems. Algorithms for constructing the control laws providing a specifiedevaluation of the weighted damping level of input signals and initial per-turbations and robust stability of the equilibrium state of control systemare proposed. The results are illustrated by an example for a stabilizationsystem of a single-link robot manipulator. Получены новые критерии стабилизируемости по выходу линейных си-стем управления с помощью статических и динамических регуляторов.Показано, что вытекающие из данных критериев алгоритмы стабили-зации применимы для некоторого класса нелинейных систем управ-ления. Предложены алгоритмы построения законов управления, обес-печивающих заданную оценку взвешенного уровня гашения входныхсигналов и начальных возмущений, а также робастную устойчивостьсостояния равновесия управляемой системы. Полученные результатыпродемонстрированы на примере системы стабилизации однозвенногоробота-манипулятора. Інститут математики НАН України 2015-12-01 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/25 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 12 No. 5 (2015): Mathematical problems of mechanics and computational mathematics; 90-108 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 90-108 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 12 № 5 (2015): Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики; 90-108 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/25/21 Авторське право (c) 2015 Праці Інституту математики НАН України |
| spellingShingle | Мазко, О. Г. Кусій, С. М. Мазко, О. Г. Кусій, С. М. Problems of stabilization and damping of external perturbations in control systems |
| title | Problems of stabilization and damping of external perturbations in control systems |
| title_alt | Задачi стабiлiзацiї i гасiння зовнiшнiх збурень у системах керування |
| title_full | Problems of stabilization and damping of external perturbations in control systems |
| title_fullStr | Problems of stabilization and damping of external perturbations in control systems |
| title_full_unstemmed | Problems of stabilization and damping of external perturbations in control systems |
| title_short | Problems of stabilization and damping of external perturbations in control systems |
| title_sort | problems of stabilization and damping of external perturbations in control systems |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/25 |
| work_keys_str_mv | AT mazkoog problemsofstabilizationanddampingofexternalperturbationsincontrolsystems AT kusíjsm problemsofstabilizationanddampingofexternalperturbationsincontrolsystems AT mazkoog problemsofstabilizationanddampingofexternalperturbationsincontrolsystems AT kusíjsm problemsofstabilizationanddampingofexternalperturbationsincontrolsystems AT mazkoog zadačistabilizaciíigasinnâzovnišnihzburenʹusistemahkeruvannâ AT kusíjsm zadačistabilizaciíigasinnâzovnišnihzburenʹusistemahkeruvannâ AT mazkoog zadačistabilizaciíigasinnâzovnišnihzburenʹusistemahkeruvannâ AT kusíjsm zadačistabilizaciíigasinnâzovnišnihzburenʹusistemahkeruvannâ |