Some semi-homogeneous elliptic boundary-value problems in complete extended Sobolev scale

We investigate a regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous elliptic equation given in a bounded Euclidean domain with infinitely smooth boundary. We prove that the operator of the problem is bounded and Fredholm in appropriate pairs of H\"ormander inner product spaces. They...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Anop, A. V., Murach, A. A., Аноп, А. В., Мурач, О. О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Інститут математики НАН України 2016
Online Zugang:	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/251
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
Завантажити файл:

Institution

Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine

_version_	1872552747531763712
author	Anop, A. V. Murach, A. A. Аноп, А. В. Мурач, О. О.
author_facet	Anop, A. V. Murach, A. A. Аноп, А. В. Мурач, О. О.
author_institution_txt_mv	[ { "author": "А. В. Аноп", "institution": "Інститут математики НАН України" }, { "author": "О. О. Мурач", "institution": "Інститут математики НАН України" } ]
author_sort	Anop, A. V.
baseUrl_str	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai
collection	OJS
datestamp_date	2018-01-29T15:15:41Z
description	We investigate a regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous elliptic equation given in a bounded Euclidean domain with infinitely smooth boundary. We prove that the operator of the problem is bounded and Fredholm in appropriate pairs of H\"ormander inner product spaces. They are parametrized with an arbitrary radial function RO-varying at infifnity in the sense of V.~Avakumovi\'c and form the extended Sobolev scale. We prove that the problem generates a complete collection of isomorphisms on this scale. We also establish a priori estimates for generalized solutions to the problem in these H\"ormander spaces.
first_indexed	2026-08-04T01:04:21Z
format	Article
fulltext	Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 27–54 УДК 517.956.223 А. В. Аноп, О. О. Мурач (Iнститут математики НАН України, Київ) Деякi напiводнорiднi елiптичнi крайовi задачi у повнiй розширенiй соболєвськiй шкалi ahlv@ukr.net, murach@imath.kiev.ua We investigate a regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous elliptic equation given in a bounded Euclidean domain with infinitely smooth boundary. We prove that the operator of the problem is bounded and Fredholm in appropriate pairs of Hörmander inner product spaces. They are parametrized with an arbitrary radi- al function RO-varying at infifnity in the sense of V. Avakumović and form the extended Sobolev scale. We prove that the problem generates a complete collection of isomorphisms on this scale. We also establish a priori estimates for generalized solutions to the problem in these Hörmander spaces. Дослiджено регулярну елiптичну крайову задачу для однорiдно- го елiптичного рiвняння, заданого в обмеженiй евклiдовiй областi з нескiнченно гладкою межею. Доведено, що оператор цiєї задачi є обмеженим i нетеровим у пiдходящих парах гiльбертових про- сторiв Хермандера. Вони параметризованi довiльною радiальною функцiєю, RO-змiнною на нескiнченностi за В. Авакумовичем, та утворюють розширену соболєвську шкалу. Доведено що дослi- джувана задача породжує повний набiр iзоморфiзмiв на цiй шка- лi. Встановлено також апрiорнi оцiнки узагальнених розв’язкiв задачi у цих просторах Хермандера. c© А. В. Аноп, О. О. Мурач, 2016 28 А. В. Аноп, О. О. Мурач 1. Вступ Простори Соболєва вiдiграють ключову роль у сучаснiй теорiї елiптичних диференцiальних рiвнянь. Фундаментальний резуль- тат цiєї теорiї полягає у тому, що елiптичнi крайовi задачi є нете- ровими у пiдходящих парах гiльбертових соболєвських просторiв (див., наприклад, монографiї [1 – 5], довiдник [6] i огляд [7]). Тут простором розв’язкiв задачi служить простiр Соболєва дiйсного порядку s ≥ 2q, де 2q — парний порядок елiптичного рiвняння. У випадку довiльного s < 2q цей результат не є правильним. Втiм, для низки важливих застосувань (при дослiдженнi вла- стивостей функцiї Грiна задачi, у теорiї елiптичних задач зi сте- пеневими особливостями у правих частинах, спектральнiй те- орiї елiптичних операторiв) потрiбнi деякi версiї цього резуль- тату у вказаному випадку. Вони були встановленi Ж.-Л. Лiон- сом, Е. Мадженесом [3, 8 – 10] i Я. А. Ройтбергом [11 – 13]. Тео- реми Лiонса–Мадженеса i Ройтберга про нетеровiсть елiптичної крайової задачi у просторах з довiльним показником регуляр- ностi s ∈ R є iстотно рiзними. Вони використовують як простiр розв’язкiв задачi або деяке звуження соболєвського простору по- рядку s (пiдхiдЖ.-Л. Лiонса i Е. Мадженеса), або деяку модифi- кацiю цього простору, яка складається з елементiв iншої приро- ди, нiж розподiли у евклiдовiй областi (пiдхiд Я. А. Ройтберга). Проте, для напiводнорiдних елiптичних крайових задач, у яких елiптичне рiвняння є однорiдним, зазначений фундамен- тальний результат залишається правильним для довiльного дiй- сного s < 2q. Це випливає з теореми Ж.-Л. Лiонса i Е. Мадже- неса [3, с. 216, 217] (див. [14]). Саме такi задачi i дослiджуються у данiй статтi. Незважаючи на важливу роль у теорiї диференцiальних рiв- нянь з частинними похiдними, соболєвська шкала не є достатньо тонко градуйованою для ряду задач цiєї теорiї [5,15 – 19]. Це спо- нукало Л. Хермандера [5, п. 2.2] ще у 1963 роцi ввести широке i змiстовне узагальнення соболєвських просторiв. Для просторiв Деякi напiводнорiднi елiптичнi крайовi задачi... 29 Хермандера показником регулярностi розподiлiв служить не чи- сло, як для просторiв Соболєва, а досить загальний функцiональ- ний параметр, залежний вiд частотних змiнних. Вiн дозволяє iстотно тонше охарактеризувати регулярнiсть розподiлiв за вла- стивостями поведiнки на нескiнченностi їх перетворення Фур’є. Л. Хермандер дав важливi застосування введених ним просторiв у теорiї диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними [5,15]. Недавно В. А. Михайлець i О. О. Мурач [20 – 25] видiлили i дослiдили важливi класи гiльбертових просторiв Хермандера, якi отримуються iнтерполяцiєю з функцiональним параметром пар гiльбертових просторiв Соболєва. Один з цих класiв, назва- ний розширеною соболєвською шкалою, складається з усiх гiль- бертових просторiв, iнтерполяцiйних для зазначених пар [24,25]. Його важливий пiдклас — уточнена соболєвська шкала — утворе- на просторами Хермандера, для яких показник регулярностi має числовий порядок змiнення на нескiнченностi (є правильно змiн- ною функцiєю за Й. Карамата [26,27]). За допомогою вказаного методу iнтерполяцiї В. А. Михайлець i О. О. Мурач побудували теорiю загальних елiптичних крайових задач в уточненiй собо- лєвськiй шкалi (див. монографiї [17, 18] та огляди [28, 29]). Так, згаданi вище результати про нетеровiсть задач були перенесенi на цю шкалу. Для розширеної соболєвської шкали така теорiя побудована лише у випадку просторiв Хермандера, якi складаються з до- сить регулярних розподiлiв (утворюють так би мовити “позитив- ну” частину шкали). Доведено теореми про характер розв’язностi елiптичних крайових задач у цих просторах Хермандера [30 – 34]. Мета даної роботи — встановити версiї цих теорем для усiєї (тобто повної) розширеної соболєвської шкали стосовно напiво- днорiдних регулярних елiптичних крайових задач, у яких є одно- рiдним елiптичне рiвняння. Робота складається iз семи роздiлiв. Перший роздiл — вступ. У розд. 2 розглянуто регулярну елiптичну крайову задачу для однорiдного елiптичного рiвняння, формулу Грiна i вiдповiд- 30 А. В. Аноп, О. О. Мурач ну формально спряжену задачу. Розд. 3 присвячений просто- рам Хермандера, якi утворюють розширену соболєвську шкалу. У розд. 4 сформульовано основнi результати статтi. Серед них: теорема 1 про нетеровiсть операторiв, якi вiдповiдають розгляну- тiй задачi у розширенiй соболєвськiй шкалi, теорема 2 про поро- джений задачею повний набiр iзоморфiзмiв i теорема 3 про апрi- орну оцiнку узагальнених розв’язкiв задачi у цiй шкалi. Розд. 5 мiстить вiдомi результати, потрiбнi нам для доведення цих те- орем. Доведення останнiх наведено у розд. 6. Останнiй розд. 7 мiстить висновки до роботи. 2. Постановка задачi Нехай Ω — довiльна обмежена область у евклiдовому просторi Rn, де n ≥ 2, а її межа Γ := ∂Ω є нескiнченно гладким замкне- ним многовидом вимiрностi n − 1. (Як звичайно вважаємо, що нескiнченно гладка структура на Γ породжена простором Rn.) В областi Ω розглядаємо таку крайову задачу: Au(x) ≡ ∑ \|µ\|≤2q aµ(x)Dµu(x) = 0, x ∈ Ω, (1) Bju(x) ≡ ∑ \|µ\|≤mj bj,µ(x)Dµu(x) = gj(x), x ∈ Γ, j = 1, . . . , q. (2) Тут A — лiнiйний диференцiальний вираз парного порядку 2q ≥ 2, заданий на Ω := Ω ∪ Γ, а кожне Bj — крайовий лiнiй- ний диференцiальний вираз порядку mj ≤ 2q − 1, заданий на Γ. Усi коефiцiєнти цих виразiв є нескiнченно гладкими комплексно- значними функцiями: aµ ∈ C∞(Ω) i bj,µ ∈ C∞(Γ). Взагалi, у ро- ботi усi функцiї та розподiли припускаємо комплекснозначними. Покладемо B := (B1, . . . , Bq). Деякi напiводнорiднi елiптичнi крайовi задачi... 31 У формулах (1), (2) використано такi стандартнi позначення: µ := (µ1, . . . , µn) — мультиiндекс з цiлими невiд’ємними компо- нентами, \|µ\| := µ1 + . . .+µn, Dµ := Dµ1 1 . . . Dµn n , Dk := i∂/∂xk при k = 1, . . . , n, де i — уявна одиниця, а x = (x1, . . . , xn) є довiльна точка простору Rn. Вiдмiтимо, що диференцiальне рiвняння (1) є однорiдним. От- же, вiдповiдна крайова задача (1), (2) є напiводнорiдною. Надалi припускаємо, що ця крайова задача є регулярною елi- птичною в областi Ω, тобто диференцiальний вираз A правильно елiптичний на Ω, а набiр B крайових диференцiальних виразiв нормальний i задовольняє умову накриття (або доповнювально- стi) щодо A на Γ (див., наприклад, [3, розд. 2, п. 1.4] або [6, розд. 3, § 6, п. 2]). Нагадаємо, що, згiдно з умовою нормальностi набору B, числа mj = ordBj усi рiзнi. Покладемо C∞(Ω, A) := { u ∈ C∞(Ω) : Au = 0 в Ω } . Пов’яжемо з напiводнорiдною крайовою задачею (1), (2) лiнiйне вiдображення u 7→ Bu = (B1u, . . . , Bqu), де u ∈ C∞(Ω, A). Ми дослiджуємо його продовження за неперервнiстю у пiдходя- щих парах гiльбертових функцiональних просторiв. Для опису областi значень цього продовження нам знадоби- ться формула Грiна (Au, v)Ω + q∑ j=1 (Bju,C + j v)Γ = (u,A+v)Ω + q∑ j=1 (Cju,B + j v)Γ, правильна для будь-яких функцiй u, v ∈ C∞(Ω) (див., напри- клад, [3, розд. 2, п. 2.2] або [6, гл. III, § 6, п. 3]). Тут A+v(x) := ∑ \|µ\|≤2q Dµ(aµ(x) v(x)) 32 А. В. Аноп, О. О. Мурач є лiнiйний диференцiальний вираз, формально спряжений до A, а {B+ j }, {Cj}, {C + j } — деякi нормальнi набори крайових лiнiйних диференцiальних виразiв з коефiцiєнтами класу C∞(Γ). Порядки цих виразiв задовольняють умову ordBj + ordC+ j = ordCj + ordB+ j = 2q − 1. У формулi Грiна i далi через (·, ·)Ω i (·, ·)Γ позначенi скалярнi до- бутки у просторах L2(Ω) i L2(Γ) функцiй, квадратично iнтегров- них на Ω i Γ вiдповiдно, а також продовження за неперервнiстю цих скалярних добуткiв. Напiводнорiдна крайова задача A+v(x) = 0, x ∈ Ω, (3) B+ j v(x) = 0, x ∈ Γ, j = 1, . . . , q, (4) є формально спряженою до задачi (1), (2) вiдносно формули Грi- на. Вiдмiтимо, що крайова задача є регулярною елiптичною тодi i тiльки тодi, коли формально спряжена до неї задача є регуляр- ною елiптичною [3, розд. 2, п. 2.5]. Пов’яжемо iз крайовими задачами (1), (2) i (3), (4) лiнiйнi простори N := { u ∈ C∞(Ω) : Au = 0 в Ω, Bu = 0 на Γ } , N+ := { v ∈ C∞(Ω) : A+v = 0 в Ω, B+v = 0 на Γ } ; тут B+ := (B+ 1 , . . . , B + q ). Оскiльки цi задачi є регулярними елi- птичними, простори N i N+ скiнченновимiрнi [3, розд. 2, п. 5.2]. Зауважимо, що простiр N+ не залежить вiд вибору спряженого набору B+ крайових виразiв, якi задовольняють формулу Грi- на [3, розд. 2, п. 2.5]. 3. Розширена соболєвська шкала Вона складається з гiльбертових iзотропних просторiв Херман- дера Hα, для яких показником регулярностi розподiлiв служить Деякi напiводнорiднi елiптичнi крайовi задачi... 33 довiльний функцiональний параметр α ∈ RO. Дамо означення класу RO i просторiв Hα. За означенням, клас RO складається з усiх вимiрних за Бо- релем функцiй α : [1,∞) → (0,∞), для кожної з яких iснують числа b > 1 i c ≥ 1 такi, що c−1 ≤ α(λt) α(t) ≤ c для будь-яких t ≥ 1, λ ∈ [1, b] (сталi b i c можуть залежати вiд α). Цi функцiї називають RO (або OR)-змiнними на нескiнченностi. Клас RO введений В. Г. Авакумовичем [35] у 1936 р. i добре вивчений (див. мо- нографiї [26, додаток 1] i [27, пп. 2.0 – 2.2]). Цей клас припускає простий опис [26, с. 87]: α ∈ RO ⇔ α(t) = exp ( β(t) + t∫ 1 γ(τ) τ dτ ) для t ≥ 1, де функцiї β, γ : [1,∞)→ R вимiрнi за Борелем i обмеженi. Вiдмiтимо, що для кожної функцiї α ∈ RO iснують числа s0, s1 ∈ R, s0 ≤ s1, i c0, c1 > 0 такi, що c0λ s0 ≤ α(λt) α(t) ≤ c1λ s1 для усiх t ≥ 1, λ ≥ 1 (5) (див., наприклад, [26, с. 88]). Покладемо σ0(α) := sup{s0 ∈ R : виконується лiва нерiвнiсть у (5)}, σ1(α) := inf{s1 ∈ R : виконується права нерiвнiсть у (5)}; тут −∞ < σ0(α) ≤ σ1(α) < ∞. Числа σ0(α) i σ1(α) є вiдповiдно нижнiм i верхнiм iндексами Матушевської функцiї α ∈ RO [36] (див. також [27, п. 2.1.2]). Наведемо деякi приклади RO-змiнних функцiй. 34 А. В. Аноп, О. О. Мурач Приклад 1. Нехай неперервна функцiя α : [1,∞)→ (0,∞) така, що α(t) := ts(ln t)r1(ln ln t)r2 . . . (ln . . . ln︸︷︷︸ k разiв t)rk при t� 1. Тут довiльно вибранi натуральний параметр k i дiйснi параметри s, r1, . . . , rk. Функцiя α належить до класу RO, причому σ0(α) = σ1(α) = s. Вiдмiтимо, що вона є еталонним прикладом правильно змiнної функцiї за Караматою на нескiнченностi порядку s (див., наприклад, [26, п. 1.1]). Приклад 2. Нехай θ ∈ R, δ > 0 i r ∈ (0, 1]. Розглянемо функцiю α(t) := { tθ+δ sin(ln ln t)r при t > e, tθ при 1 ≤ t ≤ e. Безпосередньо перевiряється, що вона належить до класу RO, причому σ0(α) = θ − δ i σ1(α) = θ + δ. Нехай α ∈ RO. Перейдемо до означення простору Херманде- ра Hα. Спочатку розглянемо цей простiр на Rn, де n ∈ N. За означенням, комплексний лiнiйний простiр Hα(Rn) складається з усiх розподiлiв w ∈ S ′(Rn) таких, що їх перетворення Фур’є ŵ локально iнтегровне за Лебегом на Rn i задовольняє умову∫ Rn α2(〈ξ〉) \|ŵ(ξ)\|2 dξ <∞. Тут S ′(Rn) — лiнiйний топологiчний простiр Л. Шварца повiль- но зростаючих розподiлiв, заданих в Rn, а 〈ξ〉 := (1 + \|ξ\|2)1/2 є згладжений модуль вектора ξ ∈ Rn. Ми трактуємо розподiли як антилiнiйнi функцiонали на вiдповiдному просторi основних функцiй. У просторi Hα(Rn) означено скалярний добуток за формулою (w1, w2)Hα(Rn) := ∫ Rn α2(〈ξ〉) ŵ1(ξ) ŵ2(ξ) dξ, Деякi напiводнорiднi елiптичнi крайовi задачi... 35 де w1, w2 ∈ Hα(Rn). Вiн задає на Hα(Rn) структуру гiльберто- вого простору i норму ‖w‖Hα(Rn) := (w,w) 1/2 Hα(Rn). Простiр Hα(Rn) сепарабельний. Вiн неперервно вкладається у S ′(Rn); у ньому щiльна множина C∞0 (Rn) нескiнченно диферен- цiйовних на Rn функцiй з компактним носiєм. Простiр Hα(Rn) є гiльбертiв iзотропний випадок просторiв Bp,k, введених i дослiджених Л. Хермандером в [5, п. 2.2] (див також його монографiю [15, п. 10.1]). А саме, Hα(Rn) = Bp,k, якщо p = 2 i k(ξ) = α(〈ξ〉) при ξ ∈ Rn. Вiдмiтимо, що у гiльбер- товому випадку p = 2 простори Хермандера збiгаються з про- сторами, введеними i дослiдженими Л. Р. Волевичем i Б. П. Па- неяхом [37, § 2]. Якщо функцiя α степенева: α(t) ≡ ts, то Hα(Rn) =: H(s)(Rn) є (гiльбертiв) простiр Соболєва порядку s ∈ R. Узагалi, якщо числа s0, s1 ∈ R задовольняють умови s0 < σ0(α) i σ1(α) < s1, то H(s1)(Rn) ↪→ Hα(Rn) ↪→ H(s0)(Rn), причому обидва вкладення неперервнi та щiльнi. З огляду на [24] клас функцiональних просторiв{ Hα(Rn) : α ∈ RO } (6) називаємо розширеною соболєвською шкалою на Rn. Вiн видiле- ний i дослiджений В. А. Михайлецем i О. О. Мурачем [23] (див. також їх монографiї [17,18, п. 2.4.2] i статтю [25]). Для крайових задач в Ω використовуються аналоги шкали (6) для областi Ω та її межi Γ. Цi аналоги будуються стандартним чином за просторомHα(Rn) (див. [25, с. 139] та [17, с. 139]). Дамо вiдповiднi означення; тепер n ≥ 2. За означенням, комплексний лiнiйний простiр Hα(Ω) склада- ється зi звужень на область Ω усiх розподiлiв w ∈ Hα(Rn). Вiн надiлений нормою ‖v‖Hα(Ω) := inf { ‖w‖Hα(Rn) : w ∈ Hα(Rn), w = v в Ω } , 36 А. В. Аноп, О. О. Мурач де v ∈ Hα(Ω). Простiр Hα(Ω) гiльбертiв i сепарабельний вiд- носно цiєї норми. Вiн неперервно вкладається у лiнiйний топо- логiчний простiр D′(Ω) усiх розподiлiв, заданих на областi Ω. Множина C∞(Ω) щiльна в Hα(Ω). Перейдемо до простору Hα(Γ). Коротко кажучи, вiн склада- ється з усiх розподiлiв на Γ, якi в локальних координатах на- лежать до Hα(Rn−1). Дамо детальне означення. Нехай довiль- ним чином вибрано скiнченний атлас iз C∞-структури на мно- говидi Γ, утворений локальними картами πj : Rn−1 ↔ Γj , де j = 1, . . . ,κ. Тут вiдкритi множини Γ1, . . . ,Γκ складають по- криття многовиду Γ. Нехай також довiльно вибрано функцiї χj ∈ C∞(Γ), де j = 1, . . . ,κ, якi утворюють розбиття одиницi на Γ i задовольняють умову suppχj ⊂ Γj . Тодi, за означенням, комплексний лiнiйний простiр Hα(Γ) складається з усiх розпо- дiлiв h ∈ D′(Γ) таких, що (χjh) ◦ πj ∈ Hα(Rn−1) для кожного j ∈ {1, . . . ,κ}. Тут i далi D′(Γ) — лiнiйний топологiчний про- стiр усiх розподiлiв на Γ, а (χjh) ◦ πj є зображення розподiлу h у локальнiй картi πj . У просторi Hα(Γ) означений скалярний добуток за формулою (h1, h2)Hα(Γ) := κ∑ j=1 ((χjh1) ◦ πj , (χj h2) ◦ πj)Hα(Rn−1), де h1, h2 ∈ Hα(Γ). Цей простiр гiльбертiв i сепарабельний. Вiн з точнiстю до еквiвалентностi норм не залежить вiд зазначеного вибору атласу i розбиття одиницi [17, с. 139]. Простiр Hα(Γ) не- перервно вкладається у D′(Γ). Множина C∞(Γ) щiльна в Hα(Γ). Щойно означенi функцiональнi простори утворюють розши- ренi соболєвськi шкали {Hα(Ω) : α ∈ RO} i {Hα(Γ) : α ∈ RO} (7) на Ω i Γ вiдповiдно. Вони мiстять шкали гiльбертових просторiв Соболєва: якщо α(t) ≡ ts для деякого s ∈ R, то Hα(Ω) =: H(s)(Ω) i Hα(Γ) =: H(s)(Γ) є простори Соболєва порядку s на Ω i Γ вiд- повiдно. Деякi напiводнорiднi елiптичнi крайовi задачi... 37 Корисно вiдмiтити деякi властивостi шкал (7), пов’язанi з вкладеннями просторiв. Нехай α1, α2 ∈ RO. Вiдношення фун- кцiй α1/α2 обмежене в околi нескiнченностi тодi i тiльки тодi, коли Hα2(Ω) ↪→ Hα1(Ω). Це вкладення неперервне i щiльне. Во- но компактне тодi i тiльки тодi, коли α1(t)/α2(t)→ 0 при t→∞. Ця властивiсть зберiгає силу, якщо в нiй замiнити Ω на Γ. Вона є прямим наслiдком теорем 2.2.2 i 2.2.3 з монографiї Л. Херман- дера [5]. Окремим випадком цiєї властивостi є така: (s0 < σ0(α), σ1(α) < s1) ⇒ ⇒ H(s1)(G) ↪→ Hα(G) ↪→ H(s0)(G), (8) де α ∈ RO i G ∈ {Ω,Γ}. Цi вкладення компактнi та щiльнi. 4. Основнi результати Сформулюємо результати статтi про властивостi регулярної елi- птичної крайової задачi (1), (2) у розширенiй соболєвськiй шкалi. Для довiльного α ∈ RO покладемо Hα(Ω, A) := { u ∈ Hα(Ω) : Au = 0 в Ω } . Тут i далi образ Au розумiємо у сенсi теорiї розподiлiв на Ω. Лi- нiйний многовидHα(Ω, A) є замкненим у просторiHα(Ω). Справ- дi, нехай послiдовнiсть (uk) ∞ k=1 ⊂ Hα(Ω, A) i розподiл u ∈ Hα(Ω) такi, що uk → u в Hα(Ω) при k → ∞. Тодi uk → u в D′(Ω) при k →∞ на пiдставi неперервного вкладення Hα(Ω) ↪→ D′(Ω). Звiдси 0 = Auk → Au в D′(Ω) при k →∞. Тому Au ∈ Hα(Ω, A), тобто множина Hα(Ω, A) замкнена. Ми розглядаємо Hα(Ω, A) як пiдпростiр (замкнений) гiльбертового простору Hα(Ω). Оскiльки диференцiальний вираз A елiптичний на Ω, то Hα(Ω, A) ⊂ C∞(Ω) (див., наприклад, [3, розд. 2, теорема 3.2]). Проте Hα(Ω, A) 6⊂ C∞(Ω). Покладемо N+ 1 := { (C+ 1 v, . . . , C + q v) : v ∈ N+ } . 38 А. В. Аноп, О. О. Мурач Звiсно, dimN+ 1 ≤ dimN+ <∞. Вiдмiтимо, що може бути строга нерiвнiсть dimN+ 1 < dimN+, як це випливає з [15, с. 257]. Теорема 1. Нехай α ∈ RO. Тодi множина C∞(Ω, A) щiльна у просторi Hα(Ω, A), а вiдображення u 7→ Bu, де u ∈ C∞(Ω, A), продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеже- ного нетерового оператора B : Hα(Ω, A)→ q⊕ j=1 Hα%−mj−1/2 (Γ) =: Hα(Γ). (9) Ядро цього оператора дорiвнює N , а область значень складає- ться з усiх векторiв (g1, . . . , gq) ∈ Hα(Γ) таких, що q∑ j=1 (gj , C + j v)Γ = 0 для усiх v ∈ N+. (10) Iндекс оператора (9) дорiвнює dimN − dimN+ 1 й не залежить вiд α. У формулi (9) використано для зручностi функцiональний па- раметр %(t) := t аргументу t ≥ 1. Отже, (α%−mj−1/2)(t) = α(t) t−mj−1/2 для довiльного t ≥ 1. Будемо i надалi використовувати параметр % у позначеннях про- сторiв Хермандера для того, щоб не писати аргумент t у верх- ньому iндексi, який служить показником регулярностi для цих просторiв. З огляду на теорему 1 нагадаємо, що лiнiйний обмежений опе- ратор T : E1 → E2, де E1 i E2 — банаховi простори, називають нетеровим, якщо його ядро kerT i коядро E2/T (E1) скiнченнови- мiрнi. Якщо оператор T нетерiв, то його область значень T (E1) замкнена в E2 (див., наприклад, [38, лема 19.1.1]). Iндекс нете- рового оператора T означається за формулою indT := dim kerT − dim(E2/T (E1)). Деякi напiводнорiднi елiптичнi крайовi задачi... 39 Вiдмiтимо також, що у формулi (10) величина (gj , C + j v)Γ є значенням розподiлу gj ∈ D′(Γ) на основнiй функцiї C+ j v ∈ C∞(Γ). Якщо N = {0} i N+ 1 = {0}, то оператор (9) є iзоморфiзм простору Hα(Ω, A) на Hα(Γ). У загальному випадку iзоморфiзм зручно будувати за цим оператором за допомогою такої леми. Лема 1. Нехай α ∈ RO. Тодi правильнi такi розклади просто- рiв, у яких дiє оператор (9), у виглядi прямих сум пiдпросторiв Hα(Ω, A) = N u {u ∈ Hα(Ω, A) : (u,w)Ω = 0 ∀ w ∈ N}, (11) Hα(Γ) = N+ 1 u {(g1, . . . , gq) ∈ Hα(Γ) : виконується (10)}. (12) У формулi (11) пiвторалiнiйна форма (u,w)Ω коректно означена на довiльних функцiях u ∈ Hα(Ω, A) i w ∈ C∞(Ω) за формулою (u,w)Ω := lim k→∞ (uk, w)Ω, де (uk) ∞ k=1 є довiльна послiдовнiсть, яка лежить у C∞(Ω, A) i прямує до u у просторi Hα(Ω, A). У зв’язку з цiєю лемою корисно вiдмiтити таке. Нехай w ∈ C∞(Ω) i α ∈ RO. Якщо σ1(α) < −1/2, то вiдображення u 7→ (u,w)Ω, де u ∈ C∞(Ω), не можна, взагалi кажучи, продовжити до обмеженого лiнiйного функцiонала на просторi Hα(Ω). Зокрема, для соболєвських просторiв це випливає з їх властивостей [4, теореми 4.8.2(c) i 4.3.2/1(c)]. Втiм, вiдображення u 7→ (u,w)Ω, де u ∈ C∞(Ω, A), допускає продовження (за неперервнiстю) до обмеженого лiнiйного функцiонала на пiдпросторi Hα(Ω, A), яке б не було число σ1(α). Це стверджує останнє речення леми. Позначимо через P i P+ 1 проектори вiдповiдно просторiв Hα(Ω, A) i Hα(Γ) на другий доданок у сумах (11) i (12) пара- лельно першому доданку. Теорема 2. Для кожного α ∈ RO звуження вiдображення (9) на пiдпростiр P (Hα(Ω, A)) є iзоморфiзмом B : P (Hα(Ω, A))↔ P+ 1 (Hα(Γ)). (13) 40 А. В. Аноп, О. О. Мурач Ця теорема дає пiдстави говорити, що напiводнорiдна елiпти- чна крайова задача (1), (2) породжує повний набiр iзоморфiзмiв (13), оскiльки у ньому параметр α пробiгає увесь клас RO. Нехай α ∈ RO i (g1, . . . , gq) ∈ Hα(Γ). Функцiю u ∈ Hα(Ω, A) називаємо (сильним) узагальненим розв’язком напiводнорiдної крайової задачi (1), (2), якщо Bu = (g1, . . . , gq), де B позначає оператор (9). Цей розв’язок задовольняє таку апрiорну оцiнку. Теорема 3. Для будь-якої функцiї α ∈ RO i кожного числа σ > 0 iснує число c = c(α, σ) > 0 таке, що для довiльної функцiї u ∈ Hα(Ω, A) виконується нерiвнiсть ‖u‖Hα(Ω) ≤ c ( ‖Bu‖Hα(Γ) + ‖u‖ Hα%−σ (Ω) ) . (14) Для уточненої соболєвської шкали, яка є важливим пiдкласом розширеної соболєвської шкали, теореми 1 i 3 доведено в [14, те- ореми 1.1 i 7.1] (див. також монографiї [17,18, п. 3.3]). У випадку соболєвських просторiв, коли α(t) ≡ ts i s ∈ R \ {1/2−k : k ∈ N}, теореми 1 i 3 мiстяться у результатах Ж.-Л. Лiонса i Е. Мадже- неса [3, с. 216 i 217]. Наскiльки нам вiдомо, лема 1 i пов’язана з нею теорема 2 є новими навiть для соболєвських просторiв. Зауважимо, що теореми 1 i 2 можна вважати деякими версiя- ми класичної теореми Ґарнака про достатнi умови збiжностi по- слiдовностi гармонiчних функцiй (див., наприклад, [39, п. 2.6]). При цьому замiсть рiвномiрної збiжностi використовується збi- жнiсть у просторi Хермандера Hα(Ω). 5. Допомiжнi результати Доведення теореми 1 буде спиратися на два результати, отрима- них нами у статтях [30, 40]. Вони стосуються характеру розв’я- зностi неоднорiдних регулярних елiптичних крайових задач у просторах Хермандера, якi належать до розширеної соболєвської шкали. Наведемо тут цi результати. З огляду на позначення, ви- користанi у зазначених статтях, будемо у цьому роздiлi подавати функцiональний параметр α у виглядi α = ϕ%2q, де ϕ ∈ RO. Деякi напiводнорiднi елiптичнi крайовi задачi... 41 Твердження 1. Нехай параметр ϕ ∈ RO задовольняє умову σ0(ϕ) > −1/2. Тодi вiдображення u 7→ (Au,Bu), де u ∈ C∞(Ω), продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеже- ного i нетерового оператора (A,B) : Hϕ%2q(Ω)→ Hϕ(Ω)⊕Hϕ%2q(Γ). (15) Цей оператор нетерiв. Його ядро збiгається з N , а область зна- чень складається з усiх векторiв (f, g1, . . . , gq) ∈ Hϕ(Ω)⊕Hϕ%2q(Γ) таких, що (f, v)Ω + q∑ j=1 (gj , C + j v)Γ = 0 для кожного v ∈ N+. (16) Iндекс оператора (15) дорiвнює dimN − dimN+ й не залежить вiд ϕ. Це твердження доведено у статтi [30, теорема 1]. Воно не є iстинним у випадку, коли σ0(ϕ) ≤ −1/2. Зокрема, вiдображення u 7→ Bju, де u ∈ C∞(Ω), не можна продовжи- ти до неперервного оператора Bj : H(s+2q)(Ω) → D′(Γ), якщо s + 2q ≤ mj + 1/2 (див. [3, теорема 9.5]). У цьому випадку нам знадобиться версiя твердження 1, у якiй простiр Hϕ(Ω) замi- нено на деякий бiльш вужчий простiр Hη(Ω). Перед тим, як її сформулювати, введемо простiр, що слугуватиме у нiй областю визначення оператора (A,B). Нехай ϕ, η ∈ RO. Покладемо Dϕ%2q A,η (Ω) := { u ∈ Hϕ%2q(Ω) : Au ∈ Hη(Ω) } . У лiнiйному просторi Dϕ%2q A,η (Ω) означимо скалярний добуток роз- подiлiв u1 i u2 за формулою (u1, u2) Dϕ% 2q A,η (Ω) := (u1, u2) Hϕ%2q (Ω) + (Au1, Au2)Hη(Ω). 42 А. В. Аноп, О. О. Мурач Останнiй задає на Dϕ%2q A,η (Ω) структуру гiльбертового простору [40, с. 49, 50] (у цiй роботi зроблено зайве припущення про те, що функцiя ϕ/η обмежена в околi нескiнченностi). Виконується неперервне вкладення Dϕ%2q A,η (Ω) ↪→ Hϕ%2q(Ω). Сформулюємо тепер потрiбний нам результат. Нехай довiльно вибрано функцiональний параметр ϕ ∈ RO iз σ0(ϕ) ≤ −1/2 i числа s0, s1 ∈ R, якi задовольняють умови s0 < σ0(ϕ), s1 > σ1(ϕ) i s1 ≥ 0. Покладемо η(t) := t−s0s1/(s1−s0)ϕ(ts1/(s1−s0)) при t ≥ 1. (17) Функцiя η належить до класу RO, причому виконується непе- рервне вкладення Hη(Ω) ↪→ L2(Ω). Твердження 2. У зроблених припущеннях множина C∞(Ω) щiльна у просторi Dϕ%2q A,η (Ω), а вiдображення u → (Au,Bu), де u ∈ C∞(Ω), продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеженого i нетерового оператора (A,B) : Dϕ%2q A,η (Ω)→ Hη(Ω)⊕Hϕ%2q(Γ). (18) Ядро цього оператора збiгається з N , а область значень скла- дається з усiх векторiв (f, g1, . . . , gq) ∈ Hη(Ω)⊕Hϕ%2q(Γ), якi задовольняють умову (16). Iндекс оператора (18) дорiвнює dimN − dimN+ й не залежить вiд ϕ i η. Це твердження доведено у статтi [40, теорема 1]. Для доведення леми 1 знадобиться шкала {Hs,(2q)(Ω) : s ∈ R} гiльбертових просторiв, уведена Я. А. Ройтбергом [11, 12]. Вона знайшла рiзнi застосування у теорiї елiптичних крайових задач [1,13,41,42]. Попередньо введемо гiльбертiв простiр Hs,(0)(Ω), за допомо- гою якого будується простiр Hs,(2q)(Ω). Покладемо Hs,(0)(Ω) := Деякi напiводнорiднi елiптичнi крайовi задачi... 43 H(s)(Ω) у випадку, коли s ≥ 0. Якщо s < 0, то Hs,(0)(Ω) позна- чає дуальний гiльбертiв простiр до простору H(−s)(Ω) вiдносно скалярного добутку в L2(Ω). А саме, Hs,(0)(Ω), де s < 0, є попов- ненням множини C∞(Ω) за гiльбертовою нормою ‖u‖Hs,(0)(Ω) := := sup { \|(u,w)Ω\| ‖w‖H(−s)(Ω) : w ∈ H(−s)(Ω), w 6= 0 } . (19) Тепер можемо означити гiльбертiв простiр Hs,(2q)(Ω). Покла- демо E2q := {1/2, 3/2, . . . , 2q − 1/2}. Якщо s ∈ R \ E2q, то, за означенням, простiр Hs,(2q)(Ω) є поповненням лiнiйного много- виду C∞(Ω) за гiльбертовою нормою ‖u‖Hs,(2q)(Ω) := := ( ‖u‖2 Hs,(0)(Ω) + 2q∑ k=1 ‖(∂k−1 ν u)�Γ‖2 H(s−k+1/2)(Γ) )1/2 . (20) Тут ∂ν — оператор диференцiювання уздовж орта ν внутрiшньої нормалi до межi Γ областi Ω. Якщо s ∈ E2q, то простiр Hs,(2q)(Ω) означений за допомогою iнтерполяцiї пари гiльбертових просто- рiв; а саме: Hs,(2q)(Ω) := [ Hs−ε,(2q)(Ω), Hs+ε,(2q)(Ω) ] 1/2 , де 0 < ε < 1. Права частина цiєї рiвностi не залежить з то- чнiстю до еквiвалентностi норм вiд зазначеного вибору ε. Озна- чення iнтерполяцiйного простору [E1, E2]1/2 для довiльної пари гiльбертових просторiв E1 i E2 таких, що неперервно E2 ↪→ E1, наведено, наприклад, у монографiї [3, розд. 1, п. 2.1]. Нам потрiбна така властивiсть простору Hs,(2q)(Ω). Твердження 3. Для будь-якого s ∈ R норми у просторах Hs,(2q)(Ω) i H(s)(Ω) еквiвалентнi на C∞(Ω, A). 44 А. В. Аноп, О. О. Мурач Якщо s > 2q− 1/2, то твердження 3 випливає з еквiвалентно- стi зазначених у ньому норм на C∞(Ω) (див. [13, п. 2.1]). Якщо s ≤ 2q− 1/2, то це твердження є прямим наслiдком iзоморфiзму (4.196) з монографiї [17, п. 4.4.2], у якому покладаємо σ+2q := s, L := A i X := {0} (а також рiвностi (4.198) цiєї монографiї у ви- падку напiвцiлих s < 0). 6. Доведення Доведемо послiдовно теорему 1, лему 1 i теореми 2 i 3. Доведення теореми 1. З огляду на позначення, застосованi у попередньому роздiлi, покладемо ϕ := α%−2q; тодi ϕ ∈ RO i α = ϕ%2q. Скористаємося твердженням 1 у випадку σ0(ϕ) > −1/2, або твердженням 2 у випадку σ0(ϕ) ≤ −1/2. Розглянемо звуження обмежених нетерових операторiв (15) i (18) на простiр Hα(Ω, A). У кожному з цих випадкiв отримаємо обмежений оператор (A,B) : Hα(Ω, A)→ {0} ⊕Hα(Γ). Його друга компонента є обмеженим оператором (9). Покажемо, що цей оператор задовольняє висновок теореми 1. Ядро kerB оператора (9) дорiвнюєN i тому скiнченновимiрне. Справдi, kerB = N ∩ Hα(Ω, A) = N за побудовою цього опера- тора i на пiдставi тверджень 1 i 2. Область значень оператора (9) складається з усiх векторiв (g1, . . . , gq) ∈ Hα(Γ) таких, що вектор (0, g1, . . . , gq) належить до областi значень оператора (15) або (18) у залежностi вiд числа σ0(ϕ). Тому, згiдно з цими твер- дженнями, область значень оператора (9) замкнена i складає- ться з усiх векторiв (g1, . . . , gq) ∈ Hα(Γ), якi задовольняють (10). Покажемо, що її ковимiрнiсть дорiвнює dimN+ 1 . Розглядаємо N+ 1 як скiнченновимiрний пiдпростiр простору H1/α(Γ). Остан- нiй є дуальним до простору Hα(Γ) вiдносно скалярного добутку в L2(Γ). (Це стандартним чином випливає з очевидної дуальностi просторiв H1/α(Rn−1) i Hα(Rn−1) вiдносно скалярного добутку Деякi напiводнорiднi елiптичнi крайовi задачi... 45 в L2(Rn−1). Зауважимо також, що, звiсно, α ∈ RO⇔ 1/α ∈ RO.) Тому простiр, дуальний до пiдпростору N+ 1 , збiгається з фактор- простором Hα(Γ)/ { (g1, . . . , gq) ∈ Hα(Γ) : виконується умова (10) } . Отже, ковимiрнiсть областi значень оператора (9) дорiвнює dimN+ 1 i тому скiнченна. Таким чином, цей оператор нетерiв, причому його iндекс дорiвнює dimN − dimN+ 1 . Залишається показати, що множина C∞(Ω, A) щiльна у про- сторi Hα(Ω, A), а обмежений оператор (9) є продовженням вiд- ображення u → Bu, заданого на функцiях u ∈ C∞(Ω, A). Друга з цих властивостей виконується за побудовою цього оператора i на пiдставi тверджень 1 i 2. Обґрунтуємо зазначену щiльнiсть. Будемо мiркувати подiбно до роботи [14, c. 1551 – 1553]. Нетерiв обмежений оператор (9) породжує у канонiчний спо- сiб (топологiчний) iзоморфiзм B : Hα(Ω, A)/N ↔ Rα(Γ). (21) Тут i далi через Rα(Γ) позначено область значень оператора (9), яка розглядається як пiдпростiр простору Hα(Γ). Розгля- немо iзоморфiзм B−1, обернений до (21). Вiн кожному вектору g = (g1, . . . , gq) ∈ Rα(Γ) ставить у вiдповiднiсть клас сумiжностi B−1g = [u] = {u+ w : w ∈ N} ∈ Hα(Ω, A)/N елемента u ∈ Hα(Ω, A) такого, що Bu = g. Вiдмiтимо, що g ∈ Rα(Γ) ∩ ( C∞(Γ) )q ⇒ ⇒ ( B−1g = [u] для деякого u ∈ C∞(Ω, A) ) . (22) Справдi, якщо виконується посилка цiєї iмплiкацiї, то напiво- днорiдна елiптична крайова задача (1), (2) має розв’язок u ∈ 46 А. В. Аноп, О. О. Мурач H(2q)(Ω) на пiдставi твердження 1, розглянутого у випадку со- болєвських просторiв. Оскiльки правi частини цiєї задачi є не- скiнченно гладкими, то u ∈ C∞(Ω) (див., наприклад, [3, с. 191]). Тому u ∈ C∞(Ω, A) i Bu = g у сенсi оператора (9), тобто є пра- вильним висновок iмплiкацiї (22). Тепер не важко обґрунтувати щiльнiсть множини C∞(Ω, A) у просторi Hα(Ω, A). Виберемо довiльну функцiю u ∈ Hα(Ω, A) i покладемо g := Bu = B[u] ∈ Rα(Γ) ⊂ Hα(Γ). Оскiльки множина C∞(Γ) щiльна у кожному просторi Hχ(Γ), де χ ∈ RO, то iснує послiдовнiсть (g(k))∞k=1 ⊂ (C∞(Γ))q така, що g(k) → g в Hα(Γ) при k →∞. Оскiльки пiдпростори Rα(Γ) i N+ 1 простору Hα(Γ) задовольняють умови Rα(Γ) ∩N+ 1 = {0} i codimRα(Γ) = dimN+ 1 <∞, то Hα(Γ) = N+ 1 uRα(Γ). (23) На пiдставi цiєї прямої суми запишемо g = 0+g i g(k) = ω(k)+h(k) для довiльного номера k, де кожне ω(k) ∈ N+ 1 i h(k) ∈ Rα(Γ). Звiд- си, використовуючи властивостi послiдовностi (g(k))∞k=1, робимо висновок, що послiдовнiсть векторiв h(k) = g(k) − ω(k) ∈ Rα(Γ) ∩ ( C∞(Γ) )q прямує до вектора g у просторi Hα(Γ). Тому B−1h(k) = [uk] для деякої функцiї uk ∈ C∞(Ω, A) на пiдставi властивостi (22). Окрiм того, [uk] = B−1h(k) → B−1g = [u], тобто [uk − u] → 0 у факторпросторi Hα(Ω, A)/N при k → ∞. Отже, uk−u+wk → 0 у просторi Hα(Ω, A) при k →∞ для деякої послiдовностi (wk) ∞ k=1 ⊂ N . Таким чином, uk+wk → u вHα(Ω, A) при k →∞, де кожне uk+wk ∈ C∞(Ω, A). З огляду на довiльнiсть Деякi напiводнорiднi елiптичнi крайовi задачi... 47 вибору функцiї u ∈ Hα(Ω, A) ми встановили щiльнiсть множини C∞(Ω, A) у просторi Hα(Ω, A). Теорема 1 доведена. Доведення леми 1. Обґрунтуємо спочатку останнє її речення. Нехай вiд’ємне число s < σ0(α). Виберемо довiльним чином фун- кцiю w ∈ C∞(Ω). Застосувавши послiдовно формули (19), (20), твердження 3 i праве неперервне вкладення (8), отримаємо для будь-якої функцiї u ∈ C∞(Ω, A) такi нерiвностi: \|(u,w)Ω\| ≤ ‖u‖Hs,(0)(Ω)‖w‖H(−s)(Ω) ≤ ‖u‖Hs,(2q)(Ω)‖w‖H(−s)(Ω) ≤ ≤ c1‖u‖H(s)(Ω)‖w‖H(−s)(Ω) ≤ c1c2‖u‖Hα(Ω)‖w‖H(−s)(Ω). Тут c1 i c2 — деякi додатнi числа, незалежнi вiд u i w. Отже, iснує число c = c(w) > 0 таке, що для довiльної функцiї u ∈ C∞(Ω, A) правильна нерiвнiсть \|(u,w)Ω\| ≤ c ‖u‖Hα(Ω). Звiдси негайно випливає, що лiнiйний функцiонал (u,w)Ω, за- даний на функцiях u ∈ C∞(Ω, A), продовжується за неперерв- нiстю до лiнiйного обмеженого функцiоналу (·, w)Ω на просторi Hα(Ω, A). Тим самим обґрунтоване останнє речення леми. Доведемо тепер формулу (11). Попередньо вiдмiтимо, що дру- гий доданок у її правiй частинi є пiдпростором з огляду на непе- рервнiсть функцiоналу (·, w)Ω наHα(Ω, A). Скористаємося таким розкладом простору Hs,(0)(Ω) у пряму суму пiдпросторiв: Hs,(0)(Ω) = N u { v ∈ Hs,(0)(Ω) : (v, w)Ω = 0 ∀ w ∈ N } . (24) Ця рiвнiсть правильна, оскiльки пiдпростори у її правiй части- нi, звiсно, мають лише тривiальний перетин i, окрiм того, кови- мiрнiсть другого з них дорiвнює скiнченнiй вимiрностi першого. Останнє обґрунтовується так: якщо розглядати N як пiдпростiр простору H(−s)(Ω), то простiр, дуальний до N вiдносно скаляр- ного добутку в L2(Ω), є факторпростором простору Hs,(0)(Ω) за 48 А. В. Аноп, О. О. Мурач другим доданком у формулi (24), i тому вимiрнiсть цього фа- кторпростору дорiвнює dimN . Звiсно, пiдпростори у правiй частинi потрiбної нам формули (11) теж мають лише тривiальний перетин, проте обґрунтування того, що ковимiрнiсть другого з них дорiвнює dimN не прохо- дить у запропонований щойно спосiб. Втiм, можна використати розклад (24). Довiльно виберемо функцiю ω ∈ Hα(Ω, A). Нам треба показати, що її можна зобразити у виглядi ω = w◦ + v◦, де w◦ ∈ N , а v◦ ∈ Hα(Ω, A) задовольняє умову (v◦, w)Ω = 0 для довiльного w ∈ N . Нехай послiдовнiсть (ωk) ∞ k=1 ⊂ C∞(Ω, A) така, що ωk → ω у просторi Hα(Ω, A) при k → ∞. Згiдно з пра- вим неперервним вкладенням (8) ця послiдовнiсть збiгається у соболєвському просторi H(s)(Ω). Тому вона фундаментальна у просторi Hs,(2q)(Ω) на пiдставi твердження 3. Отже, вона фун- даментальна i у просторi Hs,(0)(Ω) з огляду на формулу (20). На пiдставi розкладу (24) запишемо ωk = wk + vk для кожного номера k; тут wk ∈ N , а vk ∈ C∞(Ω, A) задовольняє умову (vk, w)Ω = 0 для довiльного w ∈ N. (25) З фундаментальностi послiдовностi (ωk) ∞ k=1 у просторi Hs,(0)(Ω) випливає фундаментальнiсть послiдовностей (wk) ∞ k=1 ⊂ N i (vk) ∞ k=1 у ньому ж. Оскiльки простiр N скiнченновимiрний, то на ньому усi норми еквiвалентнi. Отже, послiдовнiсть (wk) ∞ k=1 фундаментальна у просторi Hα(Ω, A) i тому збiгається у ньому до деякої функцiї w◦ ∈ N . Покладемо v◦ := ω − w◦ ∈ Hα(Ω, A). Вiдмiтимо, що vk = ωk − wk → ω − w◦ = v◦ в Hα(Ω, A) при k →∞. Тому, перейшовши до границi у формулi (25), отримуємо потрi- бну нам властивiсть функцiї v◦: (v◦, w)Ω = lim k→∞ (vk, w)Ω = 0 для довiльного w ∈ N. Тим самим ми обґрунтували розклад (11). Деякi напiводнорiднi елiптичнi крайовi задачi... 49 Другий розклад у цiй лемi — формулу (12) — встановлено у доведеннi теореми 1 як розклад (23). Лема 1 доведена. Доведення теореми 2. Нехай α ∈ RO. За теоремою 1 звуження обмеженого оператора (9) на пiдпростiр P (Hα(Ω, A)) є обмеже- ним оператором B : P (Hα(Ω, A))→ P+ 1 (Hα(Γ)). (26) Покажемо, що останнiй оператор бiєктивний. Вiн iн’єктивний. Справдi, якщо Bu = 0 для деякої функцiї u ∈ P (Hα(Ω, A)), то u ∈ N . Звiдси на пiдставi розкладу (11) з леми 1 робимо висновок, що u = 0. Доведемо, що оператор (26) сюр’єктивний. Виберемо довiль- ним чином вектор g ∈ P+ 1 (Hα(Γ)). За теоремою 1 iснує функцiя u ∈ Hα(Ω, A) така, що Bu = g. Скориставшись розкладом (11), запишемо u = u1 + u2, де u1 ∈ N i u2 ∈ P (Hα(Ω, A)). Тодi g = Bu = Bu1 +Bu2 = Bu2. Отже, оператор (26) сюр’єктивний. Таким чином, лiнiйний обмежений оператор (26) є бiєктивним. Отже, вiн є iзоморфiзмом (13) за теоремою Банаха про обернений оператор. Теорема 2 доведена. Доведення теореми 3. Довiльно виберемо функцiю α ∈ RO i число σ > 0. Для доведення потрiбної оцiнки (14) скористаємося теоремою 2 i проектором P . Для довiльної функцiї u ∈ Hα(Ω, A) маємо такi нерiвностi: ‖u‖Hα(Ω) ≤ ‖Pu‖Hα(Ω) + ‖u− Pu‖Hα(Ω), (27) ‖Pu‖Hα(Ω) ≤ c1 ‖BPu‖Hα(Γ) = c1 ‖Bu‖Hα(Γ). (28) Тут c1 — норма оператора, оберненого до iзоморфiзму (13). Вiд- мiтимо, що остання рiвнiсть правильна, оскiльки Bu = BPu+B(u− Pu) = BPu, 50 А. В. Аноп, О. О. Мурач де u− Pu ∈ N . Оцiнимо останню норму у формулi (27). Оскiльки простiр N скiнченновимiрний, то на ньому усi норми еквiвалентнi, зокрема, норми у просторах Hα(Ω) i Hα%−σ(Ω). Тому iснує число c2 > 0 таке, що для довiльного u ∈ Hα(Ω, A) правильна нерiвнiсть ‖u− Pu‖Hα(Ω) ≤ c2 ‖u− Pu‖Hα%−σ (Ω) ≤ ≤ c2 ( ‖u‖ Hα%−σ (Ω) + ‖Pu‖ Hα%−σ (Ω) ) ≤ c2(1 + c3)‖u‖ Hα%−σ (Ω) . Тут c3 — норма проектора P : Hα%−σ(Ω, A)→ Hα%−σ(Ω, A). Отже, ‖u− Pu‖Hα(Ω) ≤ c2(1 + c3)‖u‖ Hα%−σ (Ω) . (29) Тепер потрiбна оцiнка (14) є прямим наслiдком нерiвностей (27) – (29). Теорема 3 доведена. 7. Висновки У гiльбертових просторах Хермандера дослiджено регулярну елiптичну крайову задачу (1), (2) для однорiдного елiптично- го рiвняння, заданого в обмеженiй евклiдовiй областi з нескiн- ченно гладкою межею. Доведено, що оператор, вiдповiдний цiй задачi, є обмеженим i нетеровим у пiдходящих парах просторiв Хермандера, якi утворюють розширену соболєвську шкалу (те- орема 1). Показником регулярностi для простору Хермандера, який служить областю визначення цього оператора, є довiльна функцiя класу RO. Доведено, що зазначений оператор породжує повний набiр iзоморфiзмiв мiж пiдпросторами скiнченної кови- мiрностi вiдповiдних просторiв Хермандера (теорема 2). Вста- новлено апрiорну оцiнку узагальнених розв’язкiв дослiджуваної задачi у просторах Хермандера (теорема 3). Деякi напiводнорiднi елiптичнi крайовi задачi... 51 Лiтература [1] Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям само- сопряженных операторов. – К.: Наук. думка, 1965. – 800 с. [2] Егоров Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа. – М.: Наука, 1984. – 360 с. [3] Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971. – 372 с. [4] Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространс- тва, дифференциальные операторы. – М.: Мир, 1980. – 664 с. [5] Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с ча- стными производными. – М.: Мир, 1965. – 380 с. (Перевод ан- глоязычного издания: Hörmander L. Linear Partial Differential Operators. — Berlin etc., Springer–Verlag, 1963). [6] Функциональный анализ / Под общ. ред. С. Г. Крейна. – М.: На- ука, 1972. – 544 с. [7] Agranovich M. S. Elliptic boundary problems // Encycl. Math. Sci. 79. Partial differential equations, IX. – Berlin: Springer–Verlag, 1997. – P. 1–144. [8] Lions J.-L., Magenes E. Problémes aux limites non homogénes, V // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3). – 1962. – 16. – P. 1–44. [9] Lions J.-L., Magenes E. Problémes aux limites non homogénes, VI // J. Anal. Math. – 1963. – 11. – P. 165–188. [10] Мадженес Э. Интерполяционные пространства и уравнения в ча- стных производных // Успехи мат. наук. – 1966. – 21, 2. – С. 169–218. [11] Ройтберг Я. А. Эллиптические задачи с неоднородными грани- чными условиями и локальное повышение гладкости вплоть до границы обобщенных решений // Докл. АН СССР. – 1964. – 157, 4. – С. 798–801. [12] Ройтберг Я. А. Теорема о гомеоморфизмах, осуществляемых в Lp эллиптическими операторами, и локальное повышение гладкости обобщенных решений // Укр. мат. журн. – 1965. – 17, 5. – С. 122–129. 52 А. В. Аноп, О. О. Мурач [13] Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of di- stributions. – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1996. – xii+415 p. [14] Михайлец В. А., Мурач А. А. Регулярная эллиптическая грани- чная задача для однородного уравнения в двусторонней уточнен- ной шкале пространств // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, 11. – С. 1536–1555. [15] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В 4-х т. – Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. – М.: Мир, 1986. – 456 с. [16] Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem.— Berlin: Wiley–VCH, 2000. — 348 p. [17] Михайлец В. А., Мурач А. А. Пространства Хермандера, интер- поляция и эллиптические задачи. – K.: Ин-т математики НАН Украины, 2010. – 372 с. (Доступно как arXiv:1106.3214.) [18] Mikhailets V. A., Murach A. A. Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. – Berlin/Boston: De Gruyter, 2014. – xii+297 p. [19] Nicola F., Rodino L. Global Pseudodifferential Calculas on Euclidean Spaces. – Basel: Birkhäser, 2010. – x+306 p. [20] Михайлец В. А., Мурач А. А. Эллиптические операторы в уто- чненной шкале функциональных пространств // Укр. матем. журн. – 2005. – 57, № 5 – С. 689–696. [21] Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, 3. – С. 352–370. [22] Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces // Methods Funct. Anal. Topology. – 2008. – 14, 1. – P. 81–100. [23] Михайлец В. А., Мурач А. А. Интерполяционные пространства Хермандера и эллиптические операторы // Зб. праць Iн-ту мате- матики НАН України. – 2008. – 5, 1. – С. 205–226. Деякi напiводнорiднi елiптичнi крайовi задачi... 53 [24] Михайлец В. А., Мурач А. А. Расширенная соболевская шкала и эллиптические операторы // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, 3. – С. 368–380. [25] Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces // Results Math. – 2015. – 67, 1. – P. 135–152. [26] Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – Москва: Наука, 1985. – 144 с. [27] Bingham N. H., Goldie C. M., Teugels J. L. Regular Variation. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. – 512 p. [28] Михайлец В. А., Мурач А. А. Простори Хермандера та елiптичнi задачi // Науковий вiсник Чернiвецького нац. ун-ту. Математи- ка. – 2011. – 1, 1–2. – С. 129–144. [29] Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpola- tion, and elliptic problems // Banach J. Math. Anal. – 2012. – 6, 2. – P. 211–281. [30] Аноп А. В., Мурач А. А. Регулярные эллиптические краевые зада- чи в расширенной соболевской шкале // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, 7. – С. 867–883. [31] Anop A. V., Murach A. A. Parameter-elliptic problems and interpolation with a function parameter // Methods Funct. Anal. Topology. – 2014. – 20, 2. – P. 103–116. [32] Аноп А. В. Загальна елiптична крайова задача в розширенiй со- болєвськiй шкалi // Доповiдi НАН України. Матем. Природозн. Технiчнi науки. – 2014. – 4. – С. 7–14. [33] Аноп А. В. Елiптичнi крайовi задачi в многозв’язнiй областi в роз- ширенiй соболєвськiй шкалi // Диференцiальнi рiвняння та сумi- жнi питання аналiзу / Зб. праць Iн-ту математики НАН Украї- ни. – 2013. – 10, 2. – С. 37–59. [34] Аноп А. В. Елiптичнi крайовi задачi для систем диференцiаль- них рiвнянь у просторах узагальненої гладкостi // Диференцi- альнi рiвняння та сумiжнi питання / Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2014. – 11, 2. – С. 7–34. [35] Avakumović V. G. O jednom O-inverznom stavu // Rad Jugosloven- ske Akad. Znatn. Umjetnosti. – 1936. – 254. – P. 167–186. 54 А. В. Аноп, О. О. Мурач [36] Matuszewska W. On a generalization of regularly increasing functi- ons // Studia Math. – 1964. – 24. – P. 271–279. [37] Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщен- ных функций и теоремы вложения // Успехи мат. наук. – 1965. – 20, 1. – С. 3–74. [38] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В 4-х т. – Т. 3. Псевдодифференциаль- ные операторы. – М.: Мир, 1987. – 696 с. [39] Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. – М.: На- ука, 1989. – 464 с. [40] Аноп А. В., Мурач О. О. До теорiї елiптичних крайових задач у просторах Хермандера // Зб. праць Iн-ту математики НАН Укра- їни. – 2015. – 12, 2. – С. 39–64. [41] Roitberg Ya. A. Boundary value problems in the spaces of distri- butions. – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1999. – x+276 p. [42] Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities. — Providence: American Mathematical Society, 1997. – ix+414 p.
id	oai:trim.imath.kiev.ua:article-251
institution	Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-08-04T01:04:21Z
publishDate	2016
publisher	Інститут математики НАН України
record_format	ojs
resource_txt_mv	trimimathkievua/f2/d4f2a1dc7b7c6af5f4b9844ad49cfdf2.pdf
spelling	oai:trim.imath.kiev.ua:article-2512018-01-29T15:15:41Z Some semi-homogeneous elliptic boundary-value problems in complete extended Sobolev scale Деякі напіводнорідні еліптичні крайові задачі у повній розширеній соболєвській шкалі Anop, A. V. Murach, A. A. Аноп, А. В. Мурач, О. О. We investigate a regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous elliptic equation given in a bounded Euclidean domain with infinitely smooth boundary. We prove that the operator of the problem is bounded and Fredholm in appropriate pairs of H\"ormander inner product spaces. They are parametrized with an arbitrary radial function RO-varying at infifnity in the sense of V.~Avakumovi\'c and form the extended Sobolev scale. We prove that the problem generates a complete collection of isomorphisms on this scale. We also establish a priori estimates for generalized solutions to the problem in these H\"ormander spaces. Досліджено регулярну еліптичну крайову задачу для однорідного еліптичного рівняння, заданого в обмеженій евклідовій області з нескінченно гладкою межею. Доведено, що оператор цієї задачі є обмеженим і нетеровим у підходящих парах гільбертових просторів Хермандера. Вони параметризовані довільною радіальною функцією, RO-змінною на нескінченності за В.~Авакумовичем, та утворюють розширену соболєвську шкалу. Доведено що досліджувана задача породжує повний набір ізоморфізмів на цій шкалі. Встановлено також апріорні оцінки узагальнених розв'язків задачі у цих просторах Хермандера. Інститут математики НАН України 2016-08-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/251 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 27-54 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 27-54 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 27-54 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/251/226 Авторське право (c) 2016 А. В. Аноп, О. О. Мурач
spellingShingle	Anop, A. V. Murach, A. A. Аноп, А. В. Мурач, О. О. Some semi-homogeneous elliptic boundary-value problems in complete extended Sobolev scale
title	Some semi-homogeneous elliptic boundary-value problems in complete extended Sobolev scale
title_alt	Деякі напіводнорідні еліптичні крайові задачі у повній розширеній соболєвській шкалі
title_full	Some semi-homogeneous elliptic boundary-value problems in complete extended Sobolev scale
title_fullStr	Some semi-homogeneous elliptic boundary-value problems in complete extended Sobolev scale
title_full_unstemmed	Some semi-homogeneous elliptic boundary-value problems in complete extended Sobolev scale
title_short	Some semi-homogeneous elliptic boundary-value problems in complete extended Sobolev scale
title_sort	some semi-homogeneous elliptic boundary-value problems in complete extended sobolev scale
url	https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/251
work_keys_str_mv	AT anopav somesemihomogeneousellipticboundaryvalueproblemsincompleteextendedsobolevscale AT murachaa somesemihomogeneousellipticboundaryvalueproblemsincompleteextendedsobolevscale AT anopav somesemihomogeneousellipticboundaryvalueproblemsincompleteextendedsobolevscale AT muračoo somesemihomogeneousellipticboundaryvalueproblemsincompleteextendedsobolevscale AT anopav deâkínapívodnorídníelíptičníkrajovízadačíupovníjrozšireníjsobolêvsʹkíjškalí AT murachaa deâkínapívodnorídníelíptičníkrajovízadačíupovníjrozšireníjsobolêvsʹkíjškalí AT anopav deâkínapívodnorídníelíptičníkrajovízadačíupovníjrozšireníjsobolêvsʹkíjškalí AT muračoo deâkínapívodnorídníelíptičníkrajovízadačíupovníjrozšireníjsobolêvsʹkíjškalí

Some semi-homogeneous elliptic boundary-value problems in complete extended Sobolev scale

Institution

Ähnliche Einträge