Principles of localization for one-dimensional Schrödinger operator with distribution potential
In the paper, we investigate the spectrum of Shrodinger' operator $L$ with distribution potential from the space $H^{-1}_{loc}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. We obtain a generalization of Ismagilov's principles of localizations which gives necessary and sufficient conditions for the spec...
Збережено в:
| Дата: | 2016 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2016
|
| Онлайн доступ: | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/259 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine| _version_ | 1872552758065758208 |
|---|---|
| author | Mikhailets, V. A. Novikov, V. V. Михайлець, В. А. Новіков, В. В. |
| author_facet | Mikhailets, V. A. Novikov, V. V. Михайлець, В. А. Новіков, В. В. |
| author_institution_txt_mv | [
{
"author": "В. А. Михайлець",
"institution": "Інститут математики НАН України"
},
{
"author": "В. В. Новіков",
"institution": "Інститут математики НАН України"
}
] |
| author_sort | Mikhailets, V. A. |
| baseUrl_str | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2018-01-29T22:40:32Z |
| description | In the paper, we investigate the spectrum of Shrodinger' operator $L$ with distribution potential from the space $H^{-1}_{loc}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. We obtain a generalization of Ismagilov's principles of localizations which gives necessary and sufficient conditions for the spectrum of the operator $L$ to be bounded from below and discrete. |
| first_indexed | 2026-08-04T01:04:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
Збiрник праць Iн-ту математики НАН України 2016, т. 13, № 2, 204–213
УДК 517.927
В. А. Михайлець, В. В. Новiков
(Iнститут математики НАН України, Київ)
Принципи локалiзацiї для
одновимiрного оператора
Шрьодiнгера з
потенцiалом-розподiлом
mikhailets@imath.kiev.ua, vnovicov@kairosplanet.com
In the paper, we investigate the spectrum of Shrodinger’ operator
L with distribution potential from the space H−1
loc (R,R). We obtain
a generalization of Ismagilov’s principles of localizations which gives
necessary and sufficient conditions for the spectrum of the operator
L to be bounded from below and discrete.
В роботi дослiджується спектр оператора Шрьодiнгера L з по-
тенцiалом, що є розподiлом з класу H−1
loc (R,R). Отримано уза-
гальнення принципiв локалiзацiї Iсмагiлова, що дають необхiднi
та достатнi умови обмеженостi знизу та дискретностi спектра опе-
ратора L.
c© В. А. Михайлець, В. В. Новiков, 2016
Принципи локалiзацiї для ... оператора Шрьодiнгера... 205
1. Вступ та основнi результати
Розглянемо диференцiальний вираз
l[y] = −y′′ + q(t)y, t ∈ R. (1)
Якщо функцiя q ∈ L2
loc(R,R), то з диференцiальним виразом
(1) можна пов’язати в гiльбертовому просторi L2(R,C) предмi-
нiмальний оператор L′. Цей оператор заданий на щiльнiй в про-
сторi L2(R,C) множинi
D(L′) := C∞0 (R,C).
Легко перевiрити, що цей оператор є симетричний i тому до-
пускає замикання до мiнiмального оператора L̃. Спряжений до
оператора L′(L̃) максимальний диференцiальний оператор L за-
даний на щiльнiй в гiльбертовому просторi множинi
D(L) := {y ∈ L2(R,C)|y, y′ ∈ ACloc(R,C), l[y] ∈ L2(R,C)},
де ACloc(R,C) — простiр локально абсолютно неперервних на R
функцiй.
Теорiя таких операторiв, зокрема спектральна, добре розви-
нена (див., наприклад, [1, 2]). Зокрема вiдомо, що обмеженiсть
знизу оператора L′ тягне за собою самоспряженiсть оператора L̃,
тобто рiвнiсть L̃ = L. Тому природно постає питання про спектр
оператора L, зокрема умови його дискретностi, коли неперерв-
на частина спектра C(L) є порожньою множиною. Це питання
дослiджено досить повно (див., наприклад, [1, 2] i наведену там
лiтературу).
В останнi роки у зв’язку з задачами математичної фiзики по-
силився iнтерес до дослiдження операторiв Шрьодiнгера з по-
тенцiалами, що є деякими узагальненими функцiями (див., на-
приклад, [3, 4]). Зокрема з’ясувалося, що з диференцiальним
виразом (1) можна пов’язати оператори L̃ i L у бiльш загаль-
ному випадку, коли потенцiал q належить простору Соболєва
206 В. А. Михайлець, В. В. Новiков
H−1loc (R,R), тобто q = Q′ в сенсi узагальнених функцiй, де фун-
кцiя Q ∈ L2
loc(R,R).
Наслiдуючи [3, 4] введемо квазiпохiднi:
y[0] := y, y[1] := y′ −Qy, y[2] :=
(
y[1]
)′
+Qy[1] +Q2y,
i означимо максимальний оператор
Ly := −y[2]
з областю визначення
D(L) :=
{
y ∈ L2(R,C) |y, y[1] ∈ ACloc(R,C), Ly ∈ L2(R,C)
}
.
Предмiнiмальний оператор L′ визначається як звуження ма-
ксимального оператора L на пiдмножину фiнiтних функцiй, а
мiнiмальний оператор L̃ як замикання предмiнiмального. В ро-
ботi [4] доведено, що всi цi оператори щiльновизначенi в гiльбер-
товому просторi L2(R,C) i (L′)∗ = (L̃)∗ = L.
Зауважимо, що у випадку, коли функцiя q ∈ L2
loc(R,R), таке
означення операторiв збiгається з класичним.
Мета цiєї роботи полягає в узагальненнi результатiв Р.С. Iсма-
гiлова [5] на випадок, коли потенцiал q ∈ H−1loc (R,R). Зокрема до-
пускається, що q є (знакозмiнна) мiра Радона на локально ком-
пактному просторi R.
Аби сформулювати основнi результати, введемо деякi позна-
чення. Нехай Ω – вiдкритий скiнченний або нескiнченний iнтер-
вал в R,
ν(Ω) := inf
{
(L′y, y)
(y, y)
: y ∈ D(L′) \ {0}, suppy ⊂ Ω
}
. (2)
Зафiксуємо число h > 0 i покладемо
ωh
n :=
(
hn
2
, h
(n
2
+ 1
))
, n ∈ Z.
Основними результатами роботи є наступнi двi теореми.
Принципи локалiзацiї для ... оператора Шрьодiнгера... 207
Теорема 1 (перший принцип локалiзацiї). Предмiнiмальний
оператор L′ є обмеженим знизу тодi i лише тодi, коли числова
послiдовнiсть {ν(ωh
n)}+∞n=−∞ обмежена знизу.
В. Михайлець та В. Молибога [3] встановили, що обмеженiсть
знизу оператора L̃ (тобто L′) тягне за собою його самоспряже-
нiсть. Тому природно постає питання про умови дискретностi
його спектра. Вiдповiдь на нього дає наступна теорема.
Теорема 2 (другий принцип локалiзацiї). Для дискретностi
спектра напiвобмеженого оператора L = L̃ необхiдно та доста-
тньо, аби виконувалося граничне спiввiдношення
ν(ωh
n)→ +∞, |n| → ∞.
2. Доведення теорем
Встановимо спочатку два попереднi результати, з яких будуть
випливати теореми 1 та 2.
Нехай θ0(x) ∈ C2[0, h], suppθ0 ⊂ [0, h],
θ20(x) + θ20(x− h/2) = 1 (3)
при h/2 ≤ x ≤ h.
Позначимо
θk(x) := θ0 (x− hk/2) , k ∈ Z (4)
uk(x) := y(x)θ2k(x), vk(x) := y(x)θk(x)θk+1(x).
Лема 3. Для будь-якого y ∈ D(L′) виконується рiвнiсть:
(l[y], y) =
∞∑
k=−∞
(l[uk], uk) + 2
∞∑
k=−∞
(l[vk], vk)
−2
∞∑
k=−∞
kh
2
+h∫
kh
2
+h
2
|y|2(θ′kθk+1 − θkθ′k+1)
2dx.
(5)
208 В. А. Михайлець, В. В. Новiков
Доведення леми 3. Лiву частину рiвностi (5) можемо перепи-
сати так:
(l[y], y) =
∞∫
−∞
[
−(y[1])′y −Qy[1]y −Q2yy
]
dx
=
∞∫
−∞
(
y′ −Qy
)
y′ −Q(y′ −Qy)y −Q2|y|2]dx
=
∞∫
−∞
[
|y′|2 −Qyy′ −Qy′y
]
dx =
∞∫
−∞
[
|y′|2 −Q
(
|y|2
)′]
dx.
(6)
Розглянемо праву частину рiвностi (5), покладаючи в (6) y = uk
та y = vk. Запишемо
(l[uk], uk) =
kh
2
+h∫
kh
2
[
|u′k|2 −Q
(
|uk|2
)′]
dx, (7)
2(l[vk], vk) = 2
kh
2
+h∫
kh
2
+h
2
[
|v′k|2 −Q
(
|vk|2
)′]
dx, (8)
З формул (7) i (8) випливає
∞∑
k=−∞
(l[uk], uk) + 2
∞∑
k=−∞
(l[vk], vk) = (9)
=
∞∑
k=−∞
kh
2
+h∫
kh
2
+h
2
[
|u′k|2 + 2|v′k|2 + |u′k+1|2− (10)
−Q
((
|uk|2
)′
+ 2
(
|vk|2
)′
+
(
|uk+1|2
)′)]
dx
Принципи локалiзацiї для ... оператора Шрьодiнгера... 209
Розглянемо в формулi (9) доданки пiд iнтегралом
|u′k|2 = |y′θ2k + 2yθkθ
′
k|2 =
= |y′1θ2k + iy′2θ
2
k + 2y1θkθ
′
k + 2iy2θkθ
′
k|2
= (y′1θ
2
k + 2y1θkθ
′
k)2 + (y′2θ
2
k + 2y2θkθ
′
k)2
= (y′1)
2θ4k + 4y1y
′
1θ
2
kθkθ
′
k + 4y21θ
2
k(θ′k)2+
+(y′2)
2θ4k + 4y′2y2θ
2
kθkθ
′
k + 4y22θ
2
k(θ′k)2
= |y′|2θ4k + 4|y|2θ2k(θ′k)2 + 2(|y|2)′θ2kθkθ′k.
Таким чином,
|u′k|2 = |y′|2θ4k + 4|y|2θ2k(θ′k)2 + 2(|y|2)′θ2kθkθ′k. (11)
Окрiм того,
|v′k|2 = |(yθkθk+1)
′|2 = |y′θkθk+1 + y(θkθk+1)
′|2 =
= |y′|2θ2kθ2k+1 + |y|2((θkθk+1)
′)2 + (|y|2)′θkθk+1(θkθk+1)
′.
(12)
З формул (3) та (4) випливає, що
θ2k(x) + θ2k+1(x) = 1, якщо x ∈ [kh/2 + h/2, kh/2 + h],
θk(x)θ′k(x) + θk+1(x)θ′k+1(x) = 0, якщо x ∈ [kh/2 + h/2, kh/2 + h].
Таким чином, на пiдставi формул (11) i (12) маємо
|u′k|2 + 2|v′k|2 + |u′k+1|2 =
= |y′|2(θ4k + 2θ2kθ
2
k+1 + θ4k+1) + 2|y|2[2θ2k(θ′k)2+
+(θ′k)2θ2k+1 + 2θkθ
′
kθk+1θ
′
k+1 + θ2k(θ′k+1)
2 + 2θ2k+1(θ
′
k+1)
2]+
+2(|y|2)′(θ2kθkθ′k + θkθ
′
kθ
2
k+1 + θ2kθk+1θ
′
k+1 + θ2k+1θk+1θ
′
k+1) =
= |y′|2(θ2k + θ2k+1)
2 + 2|y|2[2θ2k(θ′k)2 + 4θkθ
′
kθk+1θ
′
k+1 + 2θ2k+1(θ
′
k+1)
2+
+(θ′k)2θ2k+1 − 2θkθ
′
kθk+1θ
′
k+1 + θ2k(θ′k+1)
2]+
+2(|y|2)′(θ2k(θkθ
′
k + θk+1θ
′
k+1) + θ2k+1(θk+1θ
′
k+1 + θkθ
′
k)) =
= |y′|2 + 2|y|2(2(θkθ
′
k + θk+1θ
′
k+1)
2) + (θ′kθk+1 − θkθ′k+1)
2) =
= |y′|2 + 2|y|2(θ′kθk+1 − θkθ′k+1)
2.
210 В. А. Михайлець, В. В. Новiков
Отже,
|u′k|2 + 2|v′k|2 + |u′k+1|2 = |y′|2 + 2|y|2(θ′kθk+1 − θkθ′k+1)
2. (13)
Безпосередньо перевiряється, що
(|uk|2)′ = (|y|2)′θ4k + 4|y|2θ3kθ′k, (14)
(|vk|2)′ = (|y|2)′θ2kθ2k+1 + |y|2(2θkθ′kθ2k+1 + 2θ2kθk+1θ
′
k+1). (15)
Враховуючи (14) та (15), отримуємо:
(|uk|2)′ + 2(|vk|2)′ + (|uk+1|2)′ = (|y|2)′(θ4k + 2θ2kθ
2
k+1 + θ4k+1)
+4|y|2(θ3kθ′k + θkθ
′
kθ
2
k+1 + θ2kθk+1θ
′
k+1 + θ3k+1θ
′
k+1)
= (|y|2)′(θ2k + θ2k+1)
2
+4|y|2(θ2k(θkθ
′
k + θk+1θ
′
k+1) + θ2k+1(θkθ
′
k + θk+1θ
′
k+1)) = (|y|2)′.
Отже,
(|uk|2)′ + 2(|vk|2)′ + (|uk+1|2)′ = (|y|2)′. (16)
Тепер з формул (6), (9), (13) та (16) випливає, що є правильною
рiвнiсть (5).
Лему 3 доведено.
Лема 4. Нехай iснує цiле число n0 таке, що ωh
n0
⊂ Ω. Тодi зна-
йдеться таке цiле число n, що ωh
n ⊂ Ω та виконується нерiв-
нiсть
ν(ωh
n) ≤ ν(Ω) +
32
|ωh
n|2
. (17)
Тут |ωh
n| — довжина вiдрiзка ωh
n.
Доведення. Для будь-якого y з D(L′) за лемою 3 маємо рiвнiсть
(l[y], y) =
∞∑
k=−∞
(l[uk], uk) + 2
∞∑
k=−∞
(l[vk], vk)−
−2
∞∑
k=−∞
kh
2
+h∫
kh
2
+h
2
|y|2(θ′kθk+1 − θkθ′k+1)
2dx.
Принципи локалiзацiї для ... оператора Шрьодiнгера... 211
Можна вважати, що |θ′0(x)| < 2/h, що не суперечить (3). Тодi з
останньої рiвностi випливає:
(l[y], y) ≥
∞∑
k=−∞
(l[uk], uk) + 2
∞∑
k=−∞
(l[vk], vk)− 32
|ωn|2
(y, y). (18)
Легко перевiрити, що
(y, y) =
∞∑
k=−∞
(uk, uk) + 2
∞∑
k=−∞
(vk, vk). (19)
Також, з означення величини ν (рiвнiсть (2)) випливає власти-
вiсть
∀δ > 0 ∃y ∈ D(L′), suppy ⊂ Ω :
(L′y, y) < (ν(Ω) + δ)(y, y). (20)
Пiдставляючи (19) та (20) в (18), отримаємо нерiвнiсть
∞∑
k=−∞
[
(l[uk], uk)−
(
ν(Ω) +
32
|ωh
n|2
+ δ
)
(uk, uk)
]
+
+2
∞∑
k=−∞
[
(l[vk], vk)−
(
ν(Ω) +
32
|ωh
n|2
+ δ
)
(vk, vk)
]
< 0.
(21)
Тому хоча б один з доданкiв в (21) менший за 0. Наприклад, з
iндексом k0. Тодi
ν
(
ωh
k0
)
≤ ν(Ω) +
32
|ωh
k0
|2
.
Лему 4 доведено.
Доведення теореми 1. Нехай для деякого α ∈ R виконується
нерiвнiсть ν
(
ωh
n
)
≥ α для всiх натуральних n. Тодi ∀y ∈ D(L′)
212 В. А. Михайлець, В. В. Новiков
знайдеться компакт Ω̄ такий, що suppy ⊂ Ω та Ω ⊃ ωn. За лемою
4 маємо
ν(Ω) ≥ ν(ωh
n)− 32
|ωh
n|2
≥ α− 32
|ωh
n|2
.
Тобто L′ ≥ α− 32
|ωh
n|2
.
Зворотно, нехай для деякого β ∈ R виконується нерiвнiсть
L′ ≥ β. З цього випливає, що ν
(
ωh
n
)
≥ β для всiх натуральних n.
Теорему 1 доведено.
Доведення теореми 2. Необхiднiсть. Нехай спектр S(L) дис-
кретний. Припустимо, що iснує таке число m > 0, що для будь-
якого натурального nm знайдеться такий номер |n| > nm, що
має мiсце нерiвнiсть: ν
(
ωh
n
)
< m, тобто iснує така функцiя
y ∈ D(L′) \ {0}, що
(Lyn, yn) < m(yn, yn), або (Lyn −myn, yn) < 0
звiдки випливає [2, с. 31, теорема 13], що лiвiше точки m знахо-
диться нескiнченна кiлькiсть точок спектра оператора L.
Достатнiсть. Нехай ν
(
ωh
n
)
→ +∞, |n| → ∞. Це значить, що
для будь-якого числа m > 0 iснує таке натуральне число nm, що
для будь-якого номера |n| > nm виконується нерiвнiсть ν
(
ωh
n
)
>
m. Тодi в силу леми 4 для будь-якої функцiї y ∈ D(L′) \ {0},
фiнiтної на
(
−∞, h
(
n
2 + 1
)]
буде
(Ly, y) >
(
m− 32
|ωh
n|2
)
(y, y),
а це значить, що [2, с. 31, теорема 12]
C(L) ∩
(
−∞,m− 32/|ωh
n|2
)
= ∅.
Внаслiдок довiльностi m отримуємо потрiбний результат.
Теорему 2 доведено.
Принципи локалiзацiї для ... оператора Шрьодiнгера... 213
Лiтература
[1] Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. – М.:
Наука, 1969. – 526 с.
[2] Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального ана-
лиза сингулярных дифференциальных операторов. – М.: Физмат-
гиз, 1963. – 340 с.
[3] Mikhailets V. A., Molyboga V. M. Remarks on Schrodinger operators
with singular matrix potentials // Methods Funct. Anal. Topology. –
2013. – 19, no. 2. – P. 161–167.
[4] Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с
сингулярными потенциалами // Мат. заметки. – 1999. – 66, № 6. –
С. 897–912.
[5] Исмагилов Р. С. Об условиях полуограниченности и дискретности
спектра для одномерных дифференциальных операторов // ДАН
СССР. – 1961. – 140, № 1. – С. 33–36.
|
| id | oai:trim.imath.kiev.ua:article-259 |
| institution | Transactions of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-08-04T01:04:31Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | trimimathkievua/f7/9336fb19e08dfbc1f454e618b0d354f7.pdf |
| spelling | oai:trim.imath.kiev.ua:article-2592018-01-29T22:40:32Z Principles of localization for one-dimensional Schrödinger operator with distribution potential Принципи локалізації для одновимірного оператора Шрьодінгера з потенціалом-розподілом Mikhailets, V. A. Novikov, V. V. Михайлець, В. А. Новіков, В. В. In the paper, we investigate the spectrum of Shrodinger' operator $L$ with distribution potential from the space $H^{-1}_{loc}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. We obtain a generalization of Ismagilov's principles of localizations which gives necessary and sufficient conditions for the spectrum of the operator $L$ to be bounded from below and discrete. В роботі досліджується спектр оператора Шрьодінгера $L$ з потенціалом, що є розподілом з класу $H^{-1}_{loc}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Отримано узагальнення принципів локалізації Ісмагілова, що дають необхідні та достатні умови обмеженості знизу та дискретності спектра оператора $L$. Інститут математики НАН України 2016-08-22 Article Article application/pdf https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/259 Transactions of Institute of Mathematics, the NAS of Ukraine; Vol. 13 No. 2 (2016): Differential equations and related problems of analysis; 204-213 Сборник Трудов Института математики НАН Украины; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 204-213 Збірник Праць Інституту математики НАН України; Том 13 № 2 (2016): Диференціальні рівняння і суміжні питання аналізу; 204-213 3083-7529 1815-2910 uk https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/259/233 Авторське право (c) 2016 В. А. Михайлець, В. В. Новіков |
| spellingShingle | Mikhailets, V. A. Novikov, V. V. Михайлець, В. А. Новіков, В. В. Principles of localization for one-dimensional Schrödinger operator with distribution potential |
| title | Principles of localization for one-dimensional Schrödinger operator with distribution potential |
| title_alt | Принципи локалізації для одновимірного оператора Шрьодінгера з потенціалом-розподілом |
| title_full | Principles of localization for one-dimensional Schrödinger operator with distribution potential |
| title_fullStr | Principles of localization for one-dimensional Schrödinger operator with distribution potential |
| title_full_unstemmed | Principles of localization for one-dimensional Schrödinger operator with distribution potential |
| title_short | Principles of localization for one-dimensional Schrödinger operator with distribution potential |
| title_sort | principles of localization for one-dimensional schrödinger operator with distribution potential |
| url | https://trim.imath.kiev.ua/index.php/trim/article/view/259 |
| work_keys_str_mv | AT mikhailetsva principlesoflocalizationforonedimensionalschrodingeroperatorwithdistributionpotential AT novikovvv principlesoflocalizationforonedimensionalschrodingeroperatorwithdistributionpotential AT mihajlecʹva principlesoflocalizationforonedimensionalschrodingeroperatorwithdistributionpotential AT novíkovvv principlesoflocalizationforonedimensionalschrodingeroperatorwithdistributionpotential AT mikhailetsva principilokalízacíídlâodnovimírnogooperatorašrʹodíngerazpotencíalomrozpodílom AT novikovvv principilokalízacíídlâodnovimírnogooperatorašrʹodíngerazpotencíalomrozpodílom AT mihajlecʹva principilokalízacíídlâodnovimírnogooperatorašrʹodíngerazpotencíalomrozpodílom AT novíkovvv principilokalízacíídlâodnovimírnogooperatorašrʹodíngerazpotencíalomrozpodílom |